Aula6-lgr

Lugar Geométrico das Raízes • Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da função de transferência de malha aberta G(s)H(s). • Os pólos de malha fechada são solução da equação 1 + G(s)H(s) = 0, ou: → arg( G(s)H(s) ) = ± 180o (2k+1), k = 0, 1, 2, ...

→ | G(s)H(s) | = 1 u

Para cada ponto so (do plano complexo s) que satisfaz a condição de ângulo, arg( G (so)H(so) ), há um ganho K correspondente que satisfaz a condição de módulo.

Lugar Geométrico das Raízes • LGR: Gráfico dos pólos de malha fechada para todos os valores do ganho K de 0 a ∞. • Para traçarmos o gráfico, vimos que precisamos apenas achar os pontos que satisfazem a condição angular (a aplicação da condição do módulo dirá que valor de K corresponde a uma dada localização no LGR). • Primeiro passo: localizar os pólos (pontos de partida do LGR) e zeros (pontos de chegada do LGR) de malha aberta (ou seja, da função de transferência G(s)H(s) ). • A seguir: determinar que porções do eixo real pertencem ao LGR (ponto de teste so).

Lugar Geométrico das Raízes → Regra geral 1: Os pontos no eixo real que encontramse à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros são parte do LGR. (por que?) • Próximo passo:determinar o número de ramos do LGR. → Regra geral 2: Um ramo do LGR parte de cada pólo de malha aberta do sistema (correspondente a K = 0). Para K → ∞, cada ramo irá terminar em um zero de malha aberta. Se o sistema tiver n pólos e m zeros finitos, com n ≥ m, m ramos irão terminar nos m zeros finitos, e os n – m ramos restantes irão terminar nos n – m zeros no infinito. (→ Mas onde estão estes zeros no infinito?)

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Lugar Geométrico das Raízes • Zeros no infinito e assíntotas – Regra geral 3: → Vimos que as assíntotas originam-se no eixo real no ponto: ∑ pólos − ∑ zeros σ= n−m → e partem ao longo dos ângulos: θ=

180o (2k + 1) , k = 0, 1, 2... n−m

Lugar Geométrico das Raízes • Exemplo:

G(s) =

1 , H (s) = 1 s s 2 + 2s + 2

(

)

→ Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta • não há zeros de malha aberta; • pólos de malha aberta: s = 0 e s = −1 ± j → Passo 2: Determinar o LGR no eixo real ⇒ o eixo real negativo (por que?) → Passo 3: Zeros no infinito ⇒ 3 zeros no infinito e, portanto, 3 assíntotas (por que?)

Lugar Geométrico das Raízes • Assíntotas: 0 + (−1 + j ) + (−1 − j ) 2 • ponto de partida: σ = =− 3 3 • ângulos: θ =

180o (2k + 1) 3

→ Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de malha aberta e termina em um zero finito (nenhum, neste caso) ou em um zero no infinito. • Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real negativo (→ − ∞); • E os outros dois ramos?

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Lugar Geométrico das Raízes • Os outros dois ramos partem dos pólos complexo conjugados e “caminham” na direção dos zeros no infinito → Mas de que modo?

Lugar Geométrico das Raízes • Ângulos de partida (a partir dos pólos complexos conjugados): determinam a direção em que os ramos partem dos pólos de malha aberta. → Considere um ponto de teste so muito próximo (à uma distância ε > 0) do pólo em s = – 1 + j. • Suponha que um vetor partindo do pólo para so faça um ângulo θ em relação ao eixo real positivo. Neste caso, como fica a condição de ângulo? m

n

i =1

j =1

∠G ( so ) H ( so ) = ∑ ∠( s − zi ) − ∑ ∠( s − pi ) = −θ − 135o − 90o

Lugar Geométrico das Raízes m

n

i =1

j =1

∠G ( so ) H ( so ) = ∑ ∠( s − zi ) − ∑ ∠( s − pi ) = −θ − 135o − 90o

⇒ Estes ângulos serão constantes, independentes de θ, somente se a distância ε entre so e o pólo em s = – 1 + j for muito pequena.

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Lugar Geométrico das Raízes m

n

i =1

j =1

∠G ( so ) H ( so ) = ∑ ∠( s − zi ) − ∑ ∠( s − pi ) = −θ − 135o − 90o

• Condição angular: ∠G ( so ) H ( so ) = − θ − 225o = −180o ⇒ θ = − 45° • Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um ângulo de − 45° • Como as raízes complexas ocorrem em pares conjugados ⇒ ângulo de partida a partir do pólo em s = – 1 – j é + 45°.

Lugar Geométrico das Raízes • Uma questão permanece: como os pólos de malha fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e atingem as assíntotas (K → ∞) ? • Considere a reta a − 45° a partir do pólo em s = – 1 + j. • Se nos movermos ao longo desta linha: → As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0 e s = – 1 + j não irão mudar. → No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – j irá diminuir. ⇒ Portanto, a fase será menos negativa do que – 180° ao longo desta linha.

Lugar Geométrico das Raízes • Assim, como θ deve variar para que a condição de ângulo continue sendo satisfeita?

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Lugar Geométrico das Raízes • Próximas considerações: • Em que ponto o LR corta o eixo imaginário? • Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se?

• Para isto, considere o sistema dado por: 1 G ( s ) H ( s) = s ( s + 1) (s + 2 ) • LGR? • Pólos e zeros de malha aberta; • Porção do eixo real pertencente ao LGR; • Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.

Lugar Geométrico das Raízes K G ( s) H ( s ) = K

1 s (s + 1) ( s + 2)

• Nenhum zero de malha aberta; • Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2; • Zeros no infinito: n – m = 3 ⇒ • θ=

180(2k + 1) 3

σ=

0 + (−1) + (−2) = −1 3− 0

• Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a esquerda, na direção – ∞; • E nos pólos em s = 0 e s = – 1?

Lugar Geométrico das Raízes • Pólos em s = 0 e s = – 1 → Um ramo parte de 0 e outro de – 1 ⇒ em algum ponto sobre o eixo real, os ramos se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se complexos. ⇒ Como determinar este ponto em que os ramos se separam?

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Lugar Geométrico das Raízes • Determinação do ponto de quebra: • Até agora: ao variar K de 0 a ∞, como o LGR (ou seja, os pólos de malha fechada) variam? • Agora: ao caminharmos ao longo do LGR, como K varia? → Começando de s = 0, e movendo-se para a esquerda (não há LR à direita de s = 0) ⇒ o valor de K aumenta. → Começando de s = – 1, e movendo-se para a direita, também sabemo que o valor de K aumenta. → Se continuássemos em cima do eixo real, ao invés de acompanharmos os pólos de malha fechada, ao passarmos do ponto de quebra, o valor de K passa a diminuir, até 0.

Lugar Geométrico das Raízes • Determinação do ponto de quebra (continuação): • Portanto, o ponto de quebra é um ponto de máximo para K. • Assim, para determinar o ponto de quebra, podemos pensar em K como uma função de s, K(s). O ponto de máximo de K(s), que é o ponto de quebra, pode ser encontrado por: ∂K ( s) = 0 . Mas K ( s) = ? ∂s • Como K somente é definido ao longo do LGR, para pontos pertencentes ao LR, pode-se obter K(s) a partir da condição de magnitude.

Lugar Geométrico das Raízes • IMPORTANTE: Os pontos de quebra podem ser pontos de separação de partida ou de chegada em relação ao eixo real. • Se um lugar das raízes estiver entre dois pólos de malha aberta adjacentes sobre o eixo real, então existe pelo menos um ponto de separação de partida entre os dois pólos. • Analogamente, se existir um lugar das raízes entre dois zeros adjacentes (um zero pode estar localizado em – ∞) sobre o eixo real, então sempre existirá pelo menos um ponto de separação de chegada entre os dois zeros. • Se existir um lugar das raízes entre um pólo e um zero (finito ou infinito) de malha-aberta sobre o eixo real, então não podem existir pontos de separação de partida ou chegada, ou então, lá existirá tanto pontos de separação de partida como de chegada.

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Lugar Geométrico das Raízes • Voltando ao exemplo: K G ( s) H ( s ) = K

1 s (s + 1) ( s + 2)

• Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, devese ter: K = −1 → equação característica s ( s + 1) (s + 2 ) do sistema • Pode-se definir K(s) como: K ( s) = − s ( s + 1) (s + 2 )

(

)

∂K ( s ) = −(3s 2 + 6 s + 2) = 0 ∂s 6 ± 62 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 3 3s 2 + 6 s + 2 = 0 ⇒ s = − = −1 ± 6 3

K ( s ) = − s 3 + 3s 2 + 2 s ⇒

Lugar Geométrico das Raízes s = −1 ±

3 ⇒ s1 = −0.4226; s2 = −1.5774 3

• Como podemos saber qual é o valor de s correspondente ao ponto de quebra? ⇒ Somente s1 pertence ao LGR!!! • Realmente, substituindo s1 e s2 para determinar o respectivo valor de K:

Lugar Geométrico das Raízes • Portanto, o LGR para o sistema é da forma:

• O que o LGR nos diz a respeito do sistema?

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Lugar Geométrico das Raízes • Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada degrau unitário? • Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau.

• Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido? • Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema para o K dado possui 3 raízes reais → 2 muito mais lentas do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo jω: são portanto pólos dominantes. ⇒ Com dois pólos dominantes reais, o sistema é sobreamortecido.

• Como determinar o valor de K para o qual o sistema irá cruzar o eixo imaginário?

Lugar Geométrico das Raízes • Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo imaginário: ⇒ Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz. C ( s) G(s) K = = R ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) s 3 + 3s 2 + 2 s + K ⇒ K <6 ⇒ K >0 ⇒ 0 < K < 6 para o sistema ser estável ⇒ K = 6 : as raízes da equação característica (pólos de malha fechada) são imaginárias.

Lugar Geométrico das Raízes • Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação? → Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada para este valor de K:

s 3 + 3s 2 + 2 s + 6 = 0 → O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz é imaginária. Assim, s = jω e:

− jω3 − 3ω2 + 2 jω + 6 = 0 → Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:

− ω3 + 2ω = 0 e − 3ω2 + 6 = 0

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Lugar Geométrico das Raízes − ω3 + 2ω = 0 ⇒ −ω (ω2 − 2 = 0 ) ⇒ ω = 0; ω = ± 2 − 3ω2 + 6 = 0 ⇒ ω2 = 2 ⇒ ω = ± 2

• Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de √2 rd/s. • Em outras palavras, o lugar das raízes corta o eixo imaginário em ω = √2 . • Exemplo: Plote o lugar das raízes para um sistema com realimentação unitária, com: s+2 G(s) = s ( s + 1)

Lugar Geométrico das Raízes G(s) =

s+2 s ( s + 1)

1) Localizar os pólos e zeros de malha aberta no plano complexo s. → zeros: s = – 2; pólos: s = 0; s = – 1. 2) Eixo real ∈ LGR: s < – 2 e – 1 < s < 0. 3) Assíntotas: 2 pólos e 1 zero ⇒ 1 zero no infinito e, portanto, 1 assíntota. θ = 180(2k+1)/1 = 180. 4) Pontos de quebra: K ( s ) = −

1 s2 + s =− G(s) s+2

Lugar Geométrico das Raízes 4) Pontos de quebra (continuação):

(

)

∂K ( s ) (2s + 1) (s + 2 ) − s 2 + s (1) = 0 =− ∂s ( s + 2)2

(

)

2s 2 + 5s + 2 − s 2 + s = 0 ⇒ s 2 + 4s + 2 = 0

− 4 ± 42 − 4 ⋅ 2 = −2 ± 2 2 → Observe que estes dois pontos estão no lugar das raízes ⇒ Um é o ponto de separação de partida e o outro de chegada em relação ao eixo real. s=

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