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Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica

Diagramas de Bode     



Introdução Diagramas de Bode Escala Logarítmica de Amplitude Escala Logarítmica de Frequência Análise dos Termos das Funções de Resposta em Frequência Composição do Diagrama de Bode Diagramas de Bode

1

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Diagramas de Bode   

Introduzido em 1940 H.W. Bode Análise de Amplificadores Eletrônicos    

Análise de sistemas de diferentes naturezas Termos de primeira e segunda ordem Traçado rápido e manual Curvas de Magnitude |H(jω )| e fase de H(jω ) Diagramas de Bode

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Obtenção do Diagrama de Bode:  

Regime Permanente Senoidal Curva de Magnitude de H(jω ) 



Traçada em função da frequência escala log-log

Curva de Fase de H(jω ) 

Traçada em função da frequência escala linear-log

Diagramas de Bode

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Escala Logarítmica de Amplitude 

Eixo das ordenadas em Decibeis   

Alexander Graham Bell Relação de Dois Níveis de Potência Elementos Dissipativos • Relação Quadrática Entre as Variáveis e os Elementos

Diagramas de Bode

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Exemplo: 

100 rad/s 



2 oitavas (22) acima de 25 rad/s

100 rad/s 

3 décadas abaixo (10-3) de 100.000 rad/s

Diagramas de Bode

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Diagramas de Bode

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Razão Entre Amplitudes:  

Amplitude do Sinal de Saída - | Y(jω ) | Amplitude do Sinal de Entrada - | X(jω ) |

Diagramas de Bode

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Exemplo de um Diagrama de Bode: Bode Diagrams From: U(1) 10 0

-20 -30 -40 0 -50 To: Y(1)

Phase (deg); Magnitude (dB)

-10

-100 -150 -200 10-1

100

101

Frequency (rad/sec)

Diagramas de Bode

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Exemplo:

Diagramas de Bode

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Exemplo - Representação Gráfica

Diagramas de Bode

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Caso em que as raízes do numerador e do denominador de são reais e negativas.

Diagramas de Bode

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Bode Diagrams

Bode Diagrams From: U(1)

-10

30

-20

20

-40 0 -20 -40 -60 -80 10-1

10

0 80

60 To: Y(1)

Phase (deg); Magnitude (dB)

40

-30

To: Y(1)

Phase (deg); Magnitude (dB)

From: U(1) 0

40

20

100

101

102

103

0 10-1

100

101

102

103

Frequency (rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Diagramas de Bode

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Análise dos Termos da Resposta em Frequência

Uma vez que log10[A . B] = log10[A] + log10[B] pode-se avaliar o efeito de cada um dos termos individualmente. Diagramas de Bode

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Primeira Classe de Termos

Diagramas de Bode

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Primeira Classe de Termos -

Diagramas de Bode

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Segunda Classe de Termos

Diagramas de Bode

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Segunda Classe de Termos -

Diagramas de Bode

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Segunda Classe de Termos – Curva de Fase

Diagramas de Bode

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Exercício: Mostrar que para esta classe de termos 







No ponto de interseção assíntotas de baixa e alta frequências, assíntotas diferem curva real de magnitude em 3.0 dB, para o caso de termos do numerador e em –3.0 dB para o caso de termos do denominador. Que a curva assintótica tem contribuição de fase de 45º (na frequência de cada raiz do numerador) e de –45º (na frequência de cada raiz do denominador) de, isto é Que as curvas real e assintótica diferem de +11 o e –11o para , no caso de termos do denominador. Verificar que para esta classe de termos, frequências uma década abaixo do ponto de quebra praticamente não exercem influência nas curvas de magnitude e fase Diagramas de Bode

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Terceira Classe de Termos

Diagramas de Bode

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Características de Magnitude e de Fase

Diagramas de Bode

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Diagramas de Bode

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Exercício 1: Considere um sistema com a seguinte resposta em frequência, com . Obter as equações de magnitude e fase, justificando as curvas apresentadas anteriomente.

Diagramas de Bode

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Exercício: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

Diagramas de Bode

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Bode Diagram 20

Magnitude (dB)

10

0

-10

Phase (deg)

-20 0

-45

-90 -1

10

0

10

10

1

2

10

3

10

Frequency (rad/sec)

Diagramas de Bode

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Exercício 2: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

Diagramas de Bode

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Bode Diagram 20

Magnitude (dB)

15

10

5

Phase (deg)

0 0

-30

-60 -1

10

10

0

1

10

2

10

3

10

4

10

Frequency (rad/sec)

Diagramas de Bode

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Exercício 3: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

Diagramas de Bode

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Bode Diagram 20

Magnitude (dB)

0 -20 -40 -60 -80 0

Phase (deg)

-45 -90 -135 -180 -1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

Frequency (rad/sec)

Diagramas de Bode

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Para todos os exercícios apresentados a seguir, determinar o ganho DC, grau relativo e a expressão do sinal de saída y(t), em regime permanente de operação, considerando como sinal de entrada do sistema

π x( t ) = 10 sen( 20t ) + 5 cos( 100t + ) 2

Diagramas de Bode

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Exercício 4: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

Diagramas de Bode

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Bode Diagram 0

Magnitude (dB)

-5 -10 -15 -20 -25 -30 90

Phase (deg)

45 0 -45 -90 -2

10

-1

10

10

0

1

10

2

10

3

10

4

10

Frequency (rad/sec)

Diagramas de Bode

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Exercício 5: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

1200( jω + 120 ) H ( jω ) = 2 [( jω ) + 10 jω + 100 ]( jω + 600 )

Diagramas de Bode

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Bode Diagram 20

0

Magnitude (dB)

-20

-40

-60

-80

-100 0

Phase (deg)

-45

-90

-135

-180 -1

10

10

0

1

2

10

10 Frequency (rad/sec)

Diagramas de Bode

3

10

4

10

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Exercício 6: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência. Para este sistema, determine o sinal de entrada na forma x( t ) = A sen( ωt ) admitindo que o sinal de saída em regime permanente de operação é dado por

π y( t ) = 10 sen( ωt − ) 2

1200 e − jω 5 ( jω + 120 ) H ( jω ) = 2 [( jω ) + 10 jω + 100 ]( jω + 600 ) Diagramas de Bode

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50

0

-50

-100 -1 10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

6

0

x 10

-1

-2

-3 -1 10

0

10

1

10

2

10

Diagramas de Bode

3

10

4

10

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Exercício 7: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

1200( jω − 120 ) H ( jω ) = [( jω )2 + 10 jω + 100 ]( jω + 600 )

Diagramas de Bode

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Bode Diagram 50

Magnitude (dB)

0

-50

-100

-150 180

Phase (deg)

90 0 -90 -180 -1

10

0

10

1

10

2

10

Diagramas Bode Frequency de (rad/sec)

3

10

4

10

5

10

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Exercício 8: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

10 H ( jω ) = [( jω )2 + 105 jω + 500 ] jω

Diagramas de Bode

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Bode Diagram 0

Magnitude (dB)

-50 -100 -150 -200 -250 -90

Phase (deg)

-135 -180 -225 -270 -1

10

0

10

1

10

2

10

Diagramas de Bode

Frequency (rad/sec)

3

10

4

10

40

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Exercício 9: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

10 jω H ( jω ) = 2 ( jω ) + 105 jω + 500

Diagramas de Bode

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Bode Diagram -20

Magnitude (dB)

-30

-40

-50

-60 90

Phase (deg)

45 0 -45 -90 -1

10

0

10

1

10

2

10

Diagramas de Bode Frequency (rad/sec)

3

10

4

10

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Exercício 10: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

( jω )2 + 4 jω + 100 H ( jω ) = ( jω )2 + 80 jω + 4000

Diagramas de Bode

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Bode Diagram 10

Magnitude (dB)

0 -10 -20 -30 -40 -50 180

Phase (deg)

135 90 45 0 0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec) Diagramas de Bode

3

10

4

10

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Exercício 11: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência.

1 1 2 ( jω ) + jω + 1 50 H ( jω ) = 4000 1 1 2 ( jω ) + jω + 1 100 25 Diagramas de Bode

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Bode Diagram 10

Magnitude (dB)

0 -10 -20 -30 -40 0

Phase (deg)

-45 -90 -135 -180 0

10

1

10

2

10

Diagramas de Bode Frequency (rad/sec)

3

10

4

10

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Exercício 12: Para os sistemas representados pelos diagramas de Bode apresentados a seguir, determinar suas respectivas funções resposta em frequência, justificando a escolha de cada um dos termos que as compõe.

Diagramas de Bode

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Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica Bode Diagrams

Phase (deg); Magnitude (dB)

0

-50

-100 200 150 100 50 0 1 10

2

10

3

10

Diagramas de Bode Frequency (rad/sec)

4

10

5

10

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Diagramas de Bode

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