Aula 3 Mod Comput

Análise Dimensional Teoria de Semelhança e Modelos Reduzidos

1 G. Silva - DEC/FCT/UNL

. Revisão de conceitos da Física . Grandezas caracterizadoras de fenómenos físicos (velocidade, aceleração, pressão, força, atrito) . Caracterização dimensional La Mb Tc . Validade de leis físicas versus sistemas de unidades h= Nº. Alunos x 0.085 (h em metros) i.e. valor numérico de grandezas depende de escala de medida de sistema de unidades

Relações funcionais que representem leis físicas têm que ser dimensionalmente homogéneas

2

Fórmulas Dimensionalmente Incorrectas Sedimentologia Fórmulas de Transporte Sólido

Dynamique Fluviale, J. C. Lebreton, Eyrolles

3

Bridgman Qualquer grandeza secundária pode exprimir-se através de um produto de potências das grandezas primárias. # Quer relacionar-se o espaço z percorrido na queda de um objecto de massa m, com o tempo t consumido. Pode admitir-se que as quantidades envolvidas são (m, t, g, z)

•

z =α gamb tc

•

[L ] = [L T − 2 ]a M b T c

⎧1 = a ⎪ 0 = − 2 a + c∴ z = α gt 2 ⎨ • ⎪0 =b ⎩ i.e. z é proporcional a gt2 sem intervenção de m.

Passos associados à análise dimensional 1. Definir que variáveis devem integrar o modelo para representar o fenómeno. 2. Definir as quantidades primárias. 3. Exprimir,

dimensionalmente,

cada

uma

das

restantes quantidades em termos das quantidades primárias.

4

1.

Se quiser mudar as dimensões da barra, à escala h/H, o que fazer com as forças, para gerar iguais tensões?

2.

E se quiser usar escala transversal diferente, ao distorcer coluna, haverá outras consequências?

λ=

P

H ⇒ ( Area ) p = λ 2 h

( Area ) m

( Area ) p ⎡ Força ⎤ σ=⎢ ⇒ ( Força ) p = ⎥ ( Area ) m ⎣ Area ⎦ ( Força ) p = λ 2

( Força ) m

( Força ) m

Q H h Q P

- Se a escala transversal for diferente de λ, é essa escala transversal que deve ser considerada para converter as forças e garantir iguais tensões. - Não.

Porém, se se pretendesse estudar encurvadura, a distorção interviria: 4 λ ⎧ ⎧ I ⎛ ⎞ transversal 2 λ = = απ (P ) E Euler 2 ⎜ 2⎟ ⎪ ⎪ Euler p λ H ⎝ ⎠ longitudinal p ⇒ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ λ = λ2 σ = σ transversal p m ⎩ ⎩ forças

5

Teorema de Buckingham ou dos Pis Buckingham, E. On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914). Buckingham, E. The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915). Buckingham, E. Model experiments and the forms of empirical equations Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).

É condição necessária e suficiente para que haja homogeneidade dimensional que a relação entre as variáveis caracterizadoras de um fenómeno se possa escrever sob a forma de expressão que dependa apenas de números adimensionais. Existindo n grandezas físicas a considerar, sendo p as grandezas ou quantidades primárias, então pode achar-se

F(Π 1 ,Π 2 ,...,Π n − p ) = 0 ou

Π 1 =f (Π 2 ,Π 3 ,...,Π n −p ) Um enunciado mais dirigido a aplicações apresenta-se a seguir 6

Fórmulas Dimensionalmente Incorrectas

Fórmula de Manning (1889)

V = C R 2/3 S1/2 (Velocidade, raio hidráulico, declive)

Fórmula UBC Período fundamental de Edifício

0.05 hn T= D hn= altura de prédio em pés; D = dimensão paralela à direcção de aplicação de força em pés; T período fundamental estimado, em segundos 7

Enunciado 2

• Teorema dos Pis Se a equação f(q1,q2,...,qn)=0 for a única relação entre q1,q2,...,qn e se for válida quaisquer que sejam as unidades em que são medidas aquelas quantidades, então existe

f(Π1, Π2,..., Πm)=0 em que Π1, Π2,...,Πn são produtos adimensionais dos q's.

Se k for o número mínimo de quantidades primárias necessárias para exprimir as dimensões dos q's, então é n-m=k

Langhaar, Dimensional Analysis and the Theory of Models, Wiley, 1951, acrescenta que o número de Π's (independentes) é igual à diferença entre o número total de variáveis e a característica da matriz dimensional. 8

PROPRIEDADE Montando a matriz dimensional, o teorema implica que o número de Π’s independentes é igual à diferença entre o número total de variáveis e a característica dessa matriz.

Exemplo #1 O escoamento de certos fluidos a partir de um reservatório depende de p= pressão, v= velocidade, l= característica geométrica longitudinal do contentor, λ= característica geométrica transversal, η= característica geométrica das irregularidades da parede, ρ = massa volúmica do fluido, μ= viscosidade dinâmica, σ= coeficiente de tensão superficial, e= coeficiente de compressibilidade volumétrica 10 grandezas : três da dinâmica do escoamento:p, v, g; três da geometria: l, λ e η; e quatro do fluido:ρ, μ, σ, ε 3 quantidades primárias; portanto, 7 grandezas adimensionais e independentes 9

Matriz Dimensional

p

v

g

l η

λ

L M

−1 1

1 0

1 0

1 1 0 0

1 0

T

− 2 −1 − 2 0 0

0

ρ

μ

ε

σ

− 3 −1 −1 1 1 1

0 1

−1 − 2 − 2

0

pC 1 vC 2 lC 3 λC 4 ηC 5 ρ C 6 μC 7 σ C 8 ε C 9 gC 10 = cons tan te p 1v 2g 3i 4 η 5λ 6ρ 7μ 8ε 9σ C

C

C

C

C

C

C

C

C

−C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 5 + C 6 − 3C 7 − C 8 −C 9

L

.T

C 10

.M

= constan te

C 1 +C 7 +C 8 + C 9 +C 10

−2C 1 −C 2 − 2C 3 −C 8 −2C 9 −2C 10

=L M T 0

0

0

C1 C2 C3 −1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 −2 −1 −2 0 0

C4 1 −3 −1 −1 0 0 C5 0 1 1 1 1 =0 C6 0 0 −1 −2 −2 0 C7 C8 C9 10 C10

.

Escolhendo por exemplo C2, C3 e C8 como independentes, com menor ≠0

−C1 + C 4 + C 5 + C6 − 3C7 − C 9 1 1 −1 C2 C +C +C + C 1 7 9 10 0 0 1 C3 = − −2C − 2C − 2C 1 9 10 −1 −2 −1 C8

p Π1 = 2 ρv σ Π5 = ρvl 2 i.e.

λ η μ , Π2 = , Π3 = , Π4 = l l ρvl ε , Π6 = 2 ρv

gl , Π7 = 2 v

p λ η μ σ ε gl f( 2 , , , , , 2 , 2)= 0 2 ρv l l ρvl ρvl ρv v

ou

λ η μ p σ ε gl , , 2 = Φ( 2, 2 , 2) l l ρvl ρvl ρv v ρv 11

v =F gh

Froude

ρvl =R m σ σ 2 ⇒ 2 =W ρvl ρvh

Reynolds Weber

v F = gl corresponde ao quociente das forças de inércia pelas de gravidade [ρ dx dy dz (dv/dt)] : [ρ g dx dy dz], com dz/dt=v. Por isso, se o número de Froude for alto é um índice revela maior importância relativa das forças de inércia 12

λ geom

Semelhança de Froude e resistência mecânica Em modelo construido para satisfazer a semelhança de Froude, e.g. em casos de estudo de estabilidadede quebramares, a preservação de

v F = gl

implica

lp lm = t m lm t p lp lm tm = lp tp

[λ ]

1 /2

geom

[

= λ tempo

]

Se se usar no modelo o mesmo material, como o volume diminui proporcionalmente a λ3 , as forças volúmicas também assim diminuem. Resulta que as tensões associadas a essas forças, porque as áreas apenas são divididas pelo quadrado de λ, são diminuidas no modelo à 13 escala geométrica.

Satisfação simultânea de semelhança de Froude e de Reynolds?

⎧ρmvmlm ρpvplp = ⎪⎪ μ μp m ⎨ v vp m = ⎪ gphp ⎪⎩ gmhm

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

vm lp = vp lm vp vm = hm hp

⎧ vm lp = ⎪⎪ v l p m ⎨v h ⎪ m= m hp ⎪⎩ vp

⎧[λv ]=1/λgeom ⎨ λ = λgeom ⎩[ v ]

Impossível !

Para escoamentos turbulentos, no modelo e no protótipo, se os números de Reynolds estiverem acima da zona de transição de escoamento laminar para turbulento, ainda que diferentes, a semelhança é satisfatória (Teoria da Semelhança", V. F. Mota, ed. URGS).

14

Considerandos sobre Froude e Reynolds

15

16

Reading – Ocean Engineering- MIT Free Ware

17

18

Ver página da cadeira!

19

20