Aula 15 - Potenciais Unidimensionais..pdf

Cap. 1

29-10-2018

Prof. Dr. Elias Oliveira Serqueira 79 [email protected]

𝐹 𝑣

𝑣 𝐹 𝑣

81

ℏ2 𝑑 2 ψ 𝑥 − + 𝑉 𝑥 ψ 𝑥 = 𝐸ψ 𝑥 2𝑚 𝑑𝑥 2

ℏ2 𝑑 2 ψ 𝑥 − + 2𝜋 2 𝑚𝜗 2 𝑥 2 ψ 𝑥 = 𝐸ψ 𝑥 2 2𝑚 𝑑𝑥 𝑑2 ψ 𝑥 2𝑚 2 2𝑚 2 2 − 2 2𝜋 𝑚𝜗 𝑥 ψ 𝑥 = − 2 𝐸ψ 𝑥 𝑑𝑥 2 ℏ ℏ 𝑑2 ψ 𝑥 4𝜋 2 𝑚2 𝜗 2 2 2𝑚𝐸 − 𝑥 ψ 𝑥 = − ψ 𝑥 2 2 2 𝑑𝑥 ℏ ℏ 𝑑2 ψ 𝑥 2𝑚𝐸 4𝜋 2 𝑚2 𝜗 2 2 + 2 ψ 𝑥 − 𝑥 ψ 𝑥 =0 𝑑𝑥 2 ℏ ℏ2 𝑑2 ψ 𝑥 2𝑚𝐸 2𝜋 𝑚 𝜗 + − 2 2 𝑑𝑥 ℏ ℏ

2

𝑥2 ψ 𝑥 = 0

82

2

𝑑 ψ 𝑥 2𝑚𝐸 2𝜋𝑚𝜗 + − 𝑑𝑥 2 ℏ2 ℏ

2

𝑥2 ψ 𝑥 = 0

𝑑2 ψ 𝑥 2𝑥2 ψ 𝑥 = 0 + 𝛽 − 𝛼 𝑑𝑥 2

2𝑚𝐸 =𝛽 ℏ2 2𝜋𝑚𝜗 =𝛼 ℏ

𝜀 = 𝛼𝑥 𝑑ψ 𝑑𝜀 𝑑ψ 𝑑ψ = = 𝛼 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝑑 𝑑𝜀 𝑑ψ 𝑑 𝑑 2 ψ 𝑑 𝑑ψ = = = 𝛼 𝑑𝑥 𝑑𝜀 𝑑𝑥 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑ψ 𝑑2 ψ 𝑑 𝑑ψ 𝛼 =𝛼 2 =𝛼 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝑑𝜀

83

𝑑2 ψ 𝑥 2𝑥2 ψ 𝑥 = 0 + 𝛽 − 𝛼 𝑑𝑥 2 𝜀 2 = 𝛼𝑥 2 𝑑2 ψ 𝛼 2 + 𝛽 − 𝛼𝜀 2 ψ = 0 𝑑𝜀 𝑑2 ψ 𝛽 + − 𝜀2 ψ = 0 2 𝑑𝜀 𝛼

𝑑2 ψ − 𝜀2ψ = 0 2 𝑑𝜀 Solução deve vir de

ψ 𝜀 = 𝑒𝑏 𝜀

𝑑ψ 𝜀 = 𝑏𝑒 𝑏 𝜀 𝑑𝜀

𝜀 →∞ 𝑑2 ψ 𝜀 2𝑒𝑏 𝜀 = 𝑏 𝑑𝜀 2

84

𝑑2 ψ 2ψ = 0 − 𝜀 𝑑𝜀 2

𝑏2𝑒 𝑏 𝜀 − 𝜀 2 𝑒 𝑏 𝜀 = 0 𝑏2 − 𝜀 2 = 0 𝑏 =±𝜀

Solução deve vir de

ψ 𝜀 = 𝐴𝑒

𝑎𝜀2

+ 𝐵𝑒

−𝑎𝜀2

𝑑ψ 𝜀 2 2 = 2𝑎𝜀𝐴𝑒 𝑎𝜀 − 2𝑎𝜀𝐵𝑒 −𝑎𝜀 𝑑𝜀 𝑑2 ψ 𝜀 = 𝑑𝜀 2

ψ 𝜀 =𝐴

𝜀2 𝑒2

+𝐵

𝜀2 𝑒− 2

85

ψ 𝜀 =𝐵 𝜀2 𝑒− 2

𝐻 𝜀

𝐻 𝜀 +

𝜀2 𝑒− 2

ψ 𝜀 =

𝑑ψ 𝜀 𝑑𝜀

=

𝑑2 ψ 𝜀 𝑑𝜀 2 =

𝜀2 −2 −𝑒

𝜀2 −𝜀𝑒 − 2

𝜀2 𝑒− 2

𝑑 𝑑ψ 𝜀 = 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝐻 𝜀 − 𝜀𝑒

𝜀2 −2

𝜀 →∞

𝑑𝐻 𝜀 𝑑𝜀

𝜀2 𝜀2 𝑑𝐻 𝜀 𝑑 = −𝜀𝑒 − 2 𝐻 𝜀 + 𝑒 − 2 𝑑𝜀 𝑑𝜀

−𝜀 𝐻 𝜀 −

𝜀2 −2 𝜀𝑒

𝜀2 𝜀2 2 𝑑𝐻 𝜀 − 2 𝑑𝐻 𝜀 −2 𝑑 𝐻 𝜀 − 𝜀𝑒 +𝑒 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝑑𝜀 2 86

𝜀2 𝜀2 𝜀2 𝑑𝐻 𝜀 𝜀2 𝑑 2 𝐻 𝜀 𝑑2 ψ 𝜀 − − − − = −𝑒 2 𝐻 𝜀 + 𝜀 2 𝑒 2 𝐻 𝜀 − 2𝜀𝑒 2 +𝑒 2 2 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝑑𝜀 2 2𝐻 𝜀 𝜀2 𝑑2 ψ 𝜀 𝑑𝐻 𝜀 𝑑 − = − 𝐻 𝜀 + 𝜀 2 𝐻 𝜀 − 2𝜀 + 𝑒 2 2 2 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝑑𝜀

2 𝑑𝐻 𝜀 𝑑 𝐻 𝜀 2 − 𝐻 𝜀 + 𝜀 𝐻 𝜀 − 2𝜀 + 𝑑𝜀 𝑑𝜀 2

𝜀2 −2 𝑒

𝜀2 𝛽 − + − 𝜀2 𝑒 2 𝐻 𝜀 = 0 𝛼

𝑑2 𝐻 𝜀 𝑑𝐻 𝜀 𝛽 − 2𝜀 + − 𝜀2 − 1 + 𝜀2 𝐻 𝜀 = 0 2 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝛼 𝑑2 𝐻 𝜀 𝑑𝐻 𝜀 𝛽 − 2𝜀 + −1 𝐻 𝜀 =0 𝑑𝜀 2 𝑑𝜀 𝛼 ∞

𝑎𝑘 𝜀 𝑘 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜀 + 𝑎2 𝜀 2 + 𝑎3 𝜀 3 + 𝑎4 𝜀 4 + ⋯

𝐻 𝜀 = 𝑘=0

87

∞

𝑑𝐻 𝜀 = 𝑑𝜀 2

𝑎𝑘 𝜀 𝑘

𝐻 𝜀 =

∞

𝑘𝑎𝑘 𝜀 𝑘−1

𝑘=0

𝑘=1

𝑑 𝐻 𝜀 = 𝑑𝜀 2

∞

𝑘 𝑘 − 1 𝑎𝑘 𝜀 𝑘−2 𝑘=2 ∞

∞

𝑘 𝑘 − 1 𝑎𝑘

𝜀 𝑘−2

− 2𝜀

𝑘=2 ∞

𝑘𝑎𝑘

𝜀 𝑘−1

𝑘=1 ∞

𝑘 𝑘 − 1 𝑎𝑘 𝑘=2

𝜀 𝑘−2

−

2𝑘𝑎𝑘

𝛽 + −1 𝛼 ∞

𝜀𝑘

+

𝑘=1

𝑘=0

∞

𝑎𝑘 𝜀 𝑘 = 0 𝑘=0

𝛽 − 1 𝑎𝑘 𝜀 𝑘 = 0 𝛼

Troca de índice “k” para “m+2” e retornando para “k” ∞

𝑘 𝑘 − 1 𝑎𝑘 𝜀 𝑘−2 → 𝑘=2

∞

∞

𝑚 + 2 𝑚 + 1 𝑎𝑚+2 𝜀 𝑚 𝑚=0

𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝑎𝑘+2 𝜀 𝑘

→ 𝑘=0

88

∞

∞

𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝑎𝑘+2

𝜀𝑘

−

𝑘=0

2𝑘𝑎𝑘

𝑘=1

2𝑘𝑎𝑘 𝜀 𝑘 + 𝑘=1

∞

𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝑎𝑘+2 − 2𝑘𝑎𝑘 + 𝑘=1

𝛽 2𝑎2 + − 1 𝑎0 + 𝛼 𝛽 2𝑎2 + − 1 𝑎0 = 0 𝛼

∞

𝑘=1

+ 𝑘=0

∞

𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝑎𝑘+2 𝜀 𝑘 −

2𝑎2 +

𝜀𝑘

𝑛=1

∞

2𝑎2 +

∞

𝛽 − 1 𝑎𝑘 𝜀 𝑘 = 0 𝛼

𝛽 − 1 𝑎0 + 𝛼

∞

𝑘=1

𝛽 − 1 𝑎𝑘 𝜀 𝑘 = 0 𝛼

𝛽 𝛽 − 1 𝑎𝑘 𝜀 𝑘 + − 1 𝑎0 = 0 𝛼 𝛼

𝛽 𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝑎𝑘+2 + − 1 − 2𝑘 𝑎𝑘 𝜀 𝑘 = 0 𝛼 1 𝛽 𝑎2 = − − 1 𝑎0 2 𝛼

𝛽 𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝑎𝑘+2 + − 1 − 2𝑘 𝑎𝑘 = 0 𝛼

𝑎𝑘+2

1 𝛽 𝑎2 = 1− 𝑎0 2 𝛼 𝛽 2𝑘 + 1 − 𝛼 = 𝑎 𝑘 + 2 𝑘 + 1 89𝑘

𝑎𝑘+2

Para k=1

𝛽 𝛽 𝛽 3− 3− 𝛼 𝛼 𝛼 𝑎 = 𝑎1 𝑎3 = 𝑎 = 3 2 1 6 1+2 1+1 1 2+1−

𝛽 𝛼 = 𝑎 𝑘+2 𝑘+1 𝑘 2𝑘 + 1 −

1 𝛽 𝑎2 = 1− 𝑎 2 𝛼 0

Para k=2

𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 5− 5 − 1 − 𝛽 𝛼 1 𝛼 𝛼 𝛼 1− 𝑎 = 𝑎0 𝑎4 = 𝑎 = 4 3 2 𝛼 0 4 3 2 2+2 2+1 2 4+1−

Para k=3

𝛽 𝛽 7− 𝛼 𝛼 𝑎5 = 𝑎3 = 5 4 3+2 3+1

6+1−

𝛽 𝛽 𝛽 7− 3− 𝛼 𝛼 𝛼 𝑎1 = 𝑎1 3 2 5 4 3 2

3−

90

Para k=4

𝛽 𝛽 9− 𝛼 𝛼 𝑎6 = 𝑎4 = 6 5 4+2 4+1 8+1−

Para k=5

𝛽 𝛽 11 − 𝛼 𝛼 𝑎7 = 𝑎 = 7 6 5+2 5+1 5 10 + 1 −

𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 1− 9− 5− 1− 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝑎0 = 𝑎0 4 3 2 6 5 4 3 2

5−

𝛽 𝛽 3− 𝛼 𝛼 𝑎1 5 4 3 2

7−

=

𝛽 𝛽 𝛽 7− 3− 𝛼 𝛼 𝛼 𝑎1 7 6 5 4 3 2

11 −

91

∞

𝑎𝑘 𝜀 𝑘 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜀 + 𝑎2 𝜀 2 + 𝑎3 𝜀 3 + 𝑎4 𝜀 4 + 𝑎5 𝜀 5 + 𝑎6 𝜀 6 + 𝑎7 𝜀 7 + ⋯

𝐻 𝜀 = 𝑘=0

𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 1 − 7 − 3 − 1 𝛽 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝐻 𝜀 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜀 + 1− 𝑎0 𝜀 2 + 𝑎1 𝜀 3 + 𝑎0 𝜀 4 + 𝑎1 𝜀 5 2 𝛼 6 4 3 2 5 4 3 2 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 9− 5− 1− 11 − 7− 3− 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 + 𝑎0 𝜀 6 + 𝑎1 𝜀 7 + ⋯ 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2 3−

𝐻 𝜀 = 𝑎0 1 +

+ 𝑎1

𝛽 5−𝛼

𝛽 𝛼

5−

𝛽 1−𝛼

𝛽 9−𝛼

𝛽 5−𝛼

𝛽 1−𝛼

1 𝛽 2 1− 𝜀 + 𝜀4 + 𝑎0 𝜀 6 + ⋯ 2 𝛼 4 3 2 6 5 4 3 2 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 3−𝛼 7−𝛼 3−𝛼 11 − 𝛼 7 − 𝛼 3 − 𝛼 𝜀+ 𝜀3 + 𝜀5 + 𝜀7 + ⋯ 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2

92

𝑎𝑘+2

𝛽 𝛼 = 𝑎𝑘 𝑘+2 𝑘+1 2𝑘 + 1 −

93

𝑎𝑘+2 𝑎𝑘

𝛽 2𝑘 2 𝛼 = ≅ 2= 𝑘 𝑘+2 𝑘+1 𝑘 2𝑘 + 1 −

Condição de divergência

𝑎𝑘+2 2 = 𝑘→∞ 𝑎𝑘 𝑘 lim

94