Aula 12 - Potenciais Unidimensionais.pdf

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  • Words: 2,251
  • Pages: 32
Cap. 1

09-10-2018

Prof. Dr. Elias Oliveira Serqueira 1 [email protected]

2

𝐸

𝐸

3

ℏ2 𝑑 2 ψ π‘₯ βˆ’ + 𝑉 π‘₯ ψ π‘₯ = 𝐸ψ π‘₯ 2π‘š 𝑑π‘₯ 2

𝐸 Região I

ℏ2 𝑑 2 ψ𝐼 π‘₯ βˆ’ = 𝐸ψ𝐼 π‘₯ 2π‘š 𝑑π‘₯ 2 𝑑 2 ψ𝐼 π‘₯ 2π‘šπΈ = βˆ’ ψ π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 ℏ2 𝐼 𝑑 2 ψ𝐼 π‘₯ = βˆ’π‘˜ 2 ψ𝐼 π‘₯ 2 𝑑π‘₯ ψ𝐼 π‘₯ = 𝐴𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐡𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯ π‘˜=

2π‘šπΈ ℏ2

RegiΓ£o II

RegiΓ£o III

ℏ2 𝑑 2 ψ𝐼𝐼 π‘₯ βˆ’ + 𝑉0 ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐸ψ𝐼𝐼 π‘₯ 2π‘š 𝑑π‘₯ 2 𝑑 2 ψ𝐼𝐼 π‘₯ 2π‘š = βˆ’ 𝐸 βˆ’ 𝑉0 ψ𝐼𝐼 π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 ℏ2 𝑑 2 ψ𝐼𝐼 π‘₯ 2π‘š = 𝑉 βˆ’ 𝐸 ψ𝐼𝐼 π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 ℏ2 0 𝑑 2 ψ𝐼𝐼 π‘₯ 2ψ π‘₯ = π‘ž 𝐼𝐼 𝑑π‘₯ 2 ψ𝐼𝐼 π‘₯ = π‘ž=

𝐢𝑒 π‘žπ‘₯

+

𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘₯

2π‘š 𝑉 βˆ’πΈ ℏ2 0

ℏ2 𝑑 2 ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ βˆ’ = 𝐸ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ 2π‘š 𝑑π‘₯ 2 𝑑 2 ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ 2π‘šπΈ = βˆ’ ψ π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 ℏ2 𝐼𝐼𝐼 𝑑 2 ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ 2ψ = βˆ’π‘˜ 𝐼𝐼𝐼 π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐺𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯ π‘˜=

2π‘šπΈ ℏ2

4

G=0 Aplicando a condição de continuidade

RegiΓ£o I ψ𝐼 π‘₯ = 𝐴𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐡𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯

RegiΓ£o II ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐢𝑒 π‘žπ‘₯ + 𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘₯

ψ𝐼 π‘₯ = 0 = ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 0 𝐴 1 + 𝐡 1 = 𝐢 1 + 𝐷 (1)

𝐴+𝐡 =𝐢+𝐷

RegiΓ£o III

π‘‘ΟˆπΌ π‘₯ 𝑑π‘₯

ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘₯

= π‘₯=0

π‘‘ΟˆπΌπΌ π‘₯ 𝑑π‘₯

π‘₯=0

π‘–π‘˜π΄ 1 βˆ’ π‘–π‘˜π΅ 1 = π‘žπΆ 1 βˆ’ π‘žπ· 1 π‘–π‘˜π΄ βˆ’ π‘–π‘˜π΅ = π‘žπΆ βˆ’ π‘žπ· π‘ž π‘ž π΄βˆ’π΅ = πΆβˆ’ 𝐷 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜

6

𝐴+𝐡 =𝐢+𝐷 Somando-as

2𝐴 = 1 +

π΄βˆ’π΅ =

π‘ž π‘ž πΆβˆ’ 𝐷 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜

π‘ž π‘ž 𝐢+ 1βˆ’ 𝐷 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜

1 π‘–π‘˜ + π‘ž 1 π‘–π‘˜ βˆ’ π‘ž 𝐴= 𝐢+ 𝐷 2 π‘–π‘˜ 2 π‘–π‘˜

Subtraindo-as

π‘ž π‘ž 2𝐡 = 1 βˆ’ 𝐢+ 1+ 𝐷 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜ 𝐡=

1 π‘–π‘˜ βˆ’ π‘ž 1 π‘–π‘˜ + π‘ž 𝐢+ 𝐷 2 π‘–π‘˜ 2 π‘–π‘˜

7

ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐢𝑒 π‘žπ‘₯ + 𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘₯

ψ𝐼 π‘₯ = 𝐴𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐡𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯

ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘₯

π‘‘ΟˆπΌπΌ π‘₯ 𝑑π‘₯

ψ𝐼𝐼 π‘₯ = π‘Ž = ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = π‘Ž 𝐢𝑒 π‘žπ‘Ž + 𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘Ž = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž

π‘₯=π‘Ž

π‘‘ΟˆπΌπΌπΌ π‘₯ = 𝑑π‘₯

π‘₯=π‘Ž

π‘žπΆπ‘’ π‘žπ‘Ž βˆ’ π‘žπ·π‘’ βˆ’π‘žπ‘Ž = π‘–π‘˜πΉπ‘’ π‘–π‘˜π‘Ž π‘–π‘˜ 𝐢𝑒 π‘žπ‘Ž βˆ’ 𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘Ž = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž π‘ž

somando 2𝐢𝑒 π‘žπ‘Ž

π‘–π‘˜ = 1+ 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž π‘ž

2𝑒 π‘žπ‘Ž 𝐹=𝐢 π‘–π‘˜ 1 + π‘ž 𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž

Fazendo 𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘Ž = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž βˆ’ 𝐢𝑒 π‘žπ‘Ž

𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘Ž

2𝑒 π‘žπ‘Ž 𝐹=𝐢 π‘ž + π‘–π‘˜ π‘–π‘˜π‘Ž 𝑒 π‘ž

2π‘žπ‘’ π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž π‘–π‘˜π‘Ž =𝐢 𝑒 βˆ’ 𝐢𝑒 π‘žπ‘Ž π‘ž + π‘–π‘˜

2π‘žπ‘’ π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž 𝐹=𝐢 π‘–π‘˜ + π‘ž

8

𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘Ž

2π‘žπ‘’ π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž π‘–π‘˜π‘Ž =𝐢 𝑒 βˆ’ 𝐢𝑒 π‘žπ‘Ž π‘ž + π‘–π‘˜

2π‘žπ‘’ π‘žπ‘Ž π‘žπ‘Ž 𝐷=𝐢 𝑒 βˆ’ 𝐢𝑒 π‘žπ‘Ž 𝑒 π‘žπ‘Ž π‘ž + π‘–π‘˜

𝐷=𝐢

2π‘ž βˆ’ 1 𝑒 2π‘žπ‘Ž π‘ž + π‘–π‘˜

𝐷=𝐢

2π‘ž βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝑒 π‘ž + π‘–π‘˜

𝐷=𝐢

π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝑒 π‘ž + π‘–π‘˜

9

𝐴+𝐡 =𝐢+𝐷 Somando-as Como 𝐷 = 𝐢

2𝐴 =

2𝐴 = 1 + π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝑒 π‘ž + π‘–π‘˜

π΄βˆ’π΅ = π‘ž π‘ž 𝐢+ 1βˆ’ 𝐷 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜ entΓ£o

π‘–π‘˜ + π‘ž π‘–π‘˜ βˆ’ π‘ž π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝐢+ 𝐢 𝑒 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜

𝐢=

𝐢=

1 𝐴= 2

π‘–π‘˜ + π‘ž π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 2π‘žπ‘Ž βˆ’ 𝑒 𝐢 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜

𝐴 π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 2π‘žπ‘Ž 1 π‘–π‘˜ + π‘ž 2 π‘–π‘˜ βˆ’ π‘–π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ 𝑒

2𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 2π‘žπ‘Ž βˆ’ 𝑒 π‘–π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ π‘–π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜

𝐢=

π‘ž π‘ž πΆβˆ’ 𝐷 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜

𝑖2π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

𝑖2π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ 𝐢= 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

10

Como

π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝐷=𝐢 𝑒 π‘ž + π‘–π‘˜

e

2π‘žπ‘’ π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž 𝐹=𝐢 π‘–π‘˜ + π‘ž

𝑖2π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝐷= 𝐴 𝑒 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž π‘ž + π‘–π‘˜ 𝑖2π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 𝑒 2π‘žπ‘Ž 𝐷= 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

𝑖2π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ 2π‘žπ‘’ π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž 𝐹= 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž π‘–π‘˜ + π‘ž

𝑖4π‘˜π‘žπ‘’ π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž 𝐹= 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

11

𝐴+𝐡 =𝐢+𝐷

Subtraindo-as

2𝐡 = 1 βˆ’

π΄βˆ’π΅ =

π‘ž π‘ž πΆβˆ’ 𝐷 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜

π‘ž π‘ž 𝐢+ 1+ 𝐷 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜

1 π‘–π‘˜ βˆ’ π‘ž 1 π‘–π‘˜ + π‘ž 𝐡= 𝐢+ 𝐷 2 π‘–π‘˜ 2 π‘–π‘˜ 1 π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 𝐡=βˆ’ 2 π‘–π‘˜

𝑖2π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ 1 π‘ž + π‘–π‘˜ 𝐴 + π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž 2 π‘–π‘˜

𝑖2π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 𝑒 2π‘žπ‘Ž 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 𝑒 2π‘žπ‘Ž 𝐡= βˆ’ + 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

𝐡=

π‘ž + π‘–π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 𝑒 2π‘žπ‘Ž βˆ’ 1 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

𝐡=

π‘ž 2 + π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž βˆ’ 1 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

𝐡=

π‘ž 2 βˆ’ π‘–π‘˜π‘ž + π‘–π‘˜π‘ž βˆ’ 𝑖 2 π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž βˆ’ 1 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

12

ψ𝐼 π‘₯ = 𝐴𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐡𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯ ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐢𝑒 π‘žπ‘₯ + 𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘₯ ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘₯

𝐢 𝐴= 2

π‘–π‘˜ + π‘ž π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 2π‘žπ‘Ž βˆ’ 𝑒 π‘–π‘˜ π‘–π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜

𝐢 𝐡= 2

π‘–π‘˜ βˆ’ π‘ž π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ + 𝑒 2π‘žπ‘Ž π‘–π‘˜ π‘–π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜

π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝐷=𝐢 𝑒 π‘ž + π‘–π‘˜

2π‘žπ‘’ π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž 𝐹=𝐢 π‘ž + π‘–π‘˜

13

ψ𝐼 π‘₯ = 𝐴𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐡𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯ ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐢𝑒 π‘žπ‘₯ + 𝐷𝑒 βˆ’π‘žπ‘₯ ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘₯

𝐡=

π‘ž 2 + π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž βˆ’ 1 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

𝑖2π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 𝑒 2π‘žπ‘Ž 𝐷= 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž 𝐢=

𝑖2π‘˜ π‘ž + π‘–π‘˜ 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

𝑖4π‘˜π‘žπ‘’ π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž 𝐹= 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

14

𝑣𝐼𝐼𝐼 𝐹 βˆ— 𝐹 𝑇= 𝑣𝐼 π΄βˆ— 𝐴

RegiΓ£o I

RegiΓ£o II

RegiΓ£o III

βˆ’π‘–4π‘˜π‘žπ‘’ π‘žπ‘Ž+π‘–π‘˜π‘Ž 𝑖4π‘˜π‘žπ‘’ π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž β„π‘˜πΌπΌπΌ βˆ— π‘š π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž + π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž 𝐴 π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž 𝐴 𝑇= β„π‘˜πΌ βˆ— π‘š 𝐴 𝐴 𝑇=

βˆ’π‘– 2 16π‘˜ 2 π‘ž 2 𝑒 π‘žπ‘Ž+π‘–π‘˜π‘Ž+π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž + π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž π‘ž + π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž

𝑇=

16π‘˜ 2 π‘ž 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž + π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž π‘ž + π‘–π‘˜

2

βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘–π‘˜ 2 𝑒 2π‘žπ‘Ž 16

17

18

ℏ2 𝑑 2 ψ π‘₯ βˆ’ + 𝑉 π‘₯ ψ π‘₯ = 𝐸ψ π‘₯ 2π‘š 𝑑π‘₯ 2 𝐸

ℏ2 𝑑 2 ψ𝐼 π‘₯ βˆ’ = 𝐸ψ𝐼 π‘₯ 2π‘š 𝑑π‘₯ 2

ℏ2 𝑑 2 ψ𝐼𝐼 π‘₯ βˆ’ + 𝑉0 ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐸ψ𝐼𝐼 π‘₯ 2π‘š 𝑑π‘₯ 2

ℏ2 𝑑 2 ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ βˆ’ = 𝐸ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ 2π‘š 𝑑π‘₯ 2

𝑑 2 ψ𝐼 π‘₯ 2π‘šπΈ = βˆ’ ψ π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 ℏ2 𝐼

𝑑 2 ψ𝐼𝐼 π‘₯ 2π‘š = βˆ’ 𝐸 βˆ’ 𝑉0 ψ𝐼𝐼 π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 ℏ2

𝑑 2 ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ 2π‘šπΈ = βˆ’ ψ π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 ℏ2 𝐼𝐼𝐼

𝑑 2 ψ𝐼 π‘₯ = βˆ’π‘˜ 2 ψ𝐼 π‘₯ 2 𝑑π‘₯

𝑑 2 ψ𝐼𝐼 π‘₯ 2ψ π‘₯ = βˆ’π‘ž 𝐼𝐼 𝑑π‘₯ 2

ψ𝐼 π‘₯ = 𝐴𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐡𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯ π‘˜=

2π‘šπΈ ℏ2

ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘₯ + 𝐷𝑒 βˆ’π‘–π‘žπ‘₯ π‘ž=

2π‘š 𝐸 βˆ’ 𝑉0 ℏ2

𝑑 2 ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ 2ψ = βˆ’π‘˜ 𝐼𝐼𝐼 π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐺𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯ π‘˜=

2π‘šπΈ ℏ2

19

G=0 Aplicando a condição de continuidade ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘₯ + 𝐷𝑒 βˆ’π‘–π‘žπ‘₯

ψ𝐼 π‘₯ = 𝐴𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐡𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯

ψ𝐼 π‘₯ = 0 = ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 0 𝐴 1 + 𝐡 1 = 𝐢 1 + 𝐷 (1)

𝐴+𝐡 =𝐢+𝐷

ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘₯

π‘‘ΟˆπΌ π‘₯ 𝑑π‘₯

= π‘₯=0

π‘‘ΟˆπΌπΌ π‘₯ 𝑑π‘₯

π‘₯=0

π‘–π‘˜π΄ 1 βˆ’ π‘–π‘˜π΅ 1 = π‘–π‘žπΆ 1 βˆ’ π‘–π‘žπ· 1 π‘˜π΄ βˆ’ π‘˜π΅ = π‘žπΆ βˆ’ π‘žπ· π‘ž π‘ž π΄βˆ’π΅ = πΆβˆ’ 𝐷 π‘˜ π‘˜

20

𝐴+𝐡 =𝐢+𝐷 Somando-as

2𝐴 = 1 +

π΄βˆ’π΅ =

π‘ž π‘ž πΆβˆ’ 𝐷 π‘˜ π‘˜

π‘ž π‘ž 𝐢+ 1βˆ’ 𝐷 π‘˜ π‘˜

1 π‘˜+π‘ž 1 π‘˜βˆ’π‘ž 𝐴= 𝐢+ 𝐷 2 π‘˜ 2 π‘˜

Subtraindo-as

π‘ž π‘ž 2𝐡 = 1 βˆ’ 𝐢 + 1 + 𝐷 π‘˜ π‘˜ 𝐡=

1 π‘˜βˆ’π‘ž 1 π‘˜+π‘ž 𝐢+ 𝐷 2 π‘˜ 2 π‘˜

21

ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘₯ + 𝐷𝑒 βˆ’π‘–π‘žπ‘₯

ψ𝐼 π‘₯ = 𝐴𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐡𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯

ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘₯

π‘‘ΟˆπΌπΌ π‘₯ 𝑑π‘₯

ψ𝐼𝐼 π‘₯ = π‘Ž = ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = π‘Ž 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž + 𝐷𝑒 βˆ’π‘–π‘žπ‘Ž = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž

π‘₯=π‘Ž

π‘‘ΟˆπΌπΌπΌ π‘₯ = 𝑑π‘₯

π‘₯=π‘Ž

π‘–π‘žπΆπ‘’ π‘–π‘žπ‘Ž βˆ’ π‘–π‘žπ·π‘’ βˆ’π‘–π‘žπ‘Ž = π‘–π‘˜πΉπ‘’ π‘–π‘˜π‘Ž π‘˜ 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž βˆ’ 𝐷𝑒 βˆ’π‘–π‘žπ‘Ž = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž π‘ž

somando 2𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž

π‘˜ = 1+ 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž π‘ž

2𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž 𝐹=𝐢 π‘˜ 1 + 𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž π‘ž

Fazendo 𝐷𝑒 βˆ’π‘–π‘žπ‘Ž = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘Ž βˆ’ 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž

𝐷𝑒 βˆ’π‘–π‘žπ‘Ž

2𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž 𝐹=𝐢 π‘ž + π‘˜ π‘–π‘˜π‘Ž 𝑒 π‘ž

2π‘žπ‘’ π‘–π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž 𝐹=𝐢 π‘˜+π‘ž 2π‘žπ‘’ 𝑖 π‘žβˆ’π‘˜ 𝐹=𝐢 π‘˜+π‘ž

2π‘žπ‘’ π‘–π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž π‘–π‘˜π‘Ž =𝐢 𝑒 βˆ’ 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž π‘ž+π‘˜

22

π‘Ž

𝐷𝑒 βˆ’π‘–π‘žπ‘Ž

2π‘žπ‘’ π‘–π‘žπ‘Žβˆ’π‘–π‘˜π‘Ž π‘–π‘˜π‘Ž =𝐢 𝑒 βˆ’ 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž π‘ž+π‘˜

2π‘žπ‘’ π‘–π‘žπ‘Ž π‘–π‘žπ‘Ž 𝐷=𝐢 𝑒 βˆ’ 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž 𝑒 π‘–π‘žπ‘Ž π‘ž+π‘˜

𝐷=𝐢

2π‘ž βˆ’ 1 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž π‘ž+π‘˜

𝐷=𝐢

2π‘ž βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 𝑖2π‘žπ‘Ž 𝑒 π‘ž+π‘˜

𝐷=𝐢

π‘ž βˆ’ π‘˜ 𝑖2π‘žπ‘Ž 𝑒 π‘ž+π‘˜

23

𝐴+𝐡 =𝐢+𝐷 Somando-as Como 𝐷 = 𝐢

2𝐴 =

π΄βˆ’π΅ =

2𝐴 = 1 + π‘ž βˆ’ π‘˜ 𝑖2π‘žπ‘Ž 𝑒 π‘ž+π‘˜

π‘ž π‘ž 𝐢+ 1βˆ’ 𝐷 π‘˜ π‘˜

entΓ£o

π‘˜+π‘ž π‘˜βˆ’π‘ž π‘ž βˆ’ π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝐢+ 𝐢 𝑒 π‘˜ π‘˜ π‘ž+π‘˜

𝐢=

𝐢=

𝐢=

π‘ž π‘ž πΆβˆ’ 𝐷 π‘˜ π‘˜

1 𝐴= 2

π‘˜+π‘ž π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑖2π‘žπ‘Ž βˆ’ 𝑒 𝐢 π‘˜ π‘˜ π‘ž+π‘˜

𝐴 π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑖2π‘žπ‘Ž 1 π‘˜+π‘ž 2 π‘˜ βˆ’π‘˜ π‘ž+π‘˜ 𝑒

2𝐴 π‘ž+π‘˜ 2 π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑖2π‘žπ‘Ž βˆ’ 𝑒 π‘˜ π‘ž+π‘˜ π‘˜ π‘ž+π‘˜

2π‘˜ π‘ž + π‘˜ 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

2π‘˜ π‘ž + π‘˜ 𝐢= 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

24

Como

π‘ž βˆ’ π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝐷=𝐢 𝑒 π‘ž+π‘˜

e

2π‘žπ‘’ 𝑖 π‘žβˆ’π‘˜ 𝐹=𝐢 π‘˜+π‘ž

π‘Ž

𝑖2π‘˜ π‘ž + π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2π‘žπ‘Ž 𝐷= 𝐴 𝑒 π‘ž+π‘˜ π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž 2π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘˜ 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž 𝐷= 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

2π‘˜ π‘ž + π‘˜ 2π‘žπ‘’ 𝑖 π‘žβˆ’π‘˜ 𝐹= 𝐴 π‘˜+π‘ž π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

π‘Ž

4π‘˜π‘žπ‘’ 𝑖 π‘žβˆ’π‘˜ π‘Ž 𝐹= 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž 25

𝐴+𝐡 =𝐢+𝐷

Subtraindo-as

2𝐡 = 1 βˆ’

π΄βˆ’π΅ =

π‘ž π‘ž πΆβˆ’ 𝐷 π‘˜ π‘˜

π‘ž π‘ž 𝐢+ 1+ 𝐷 π‘˜ π‘˜

1 π‘˜βˆ’π‘ž 1 π‘˜+π‘ž 𝐡= 𝐢+ 𝐷 2 π‘˜ 2 π‘˜ 1 π‘žβˆ’π‘˜ 𝐡=βˆ’ 2 π‘˜

2π‘˜ π‘ž + π‘˜ 1 π‘ž+π‘˜ 𝐴 + 2 π‘˜ π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

2π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘˜ 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž 𝐴 2 2 𝑖2π‘žπ‘Ž π‘ž+π‘˜ βˆ’ π‘žβˆ’π‘˜ 𝑒

π‘žβˆ’π‘˜ π‘ž+π‘˜ π‘ž + π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘˜ 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž 𝐡= βˆ’ + 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

𝐡=

π‘ž + π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘˜ 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž βˆ’ 1 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

𝐡=

π‘ž 2 βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž βˆ’ 1 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

𝐡=

π‘ž 2 βˆ’ π‘˜π‘ž + π‘˜π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž βˆ’ 1 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

26

ψ𝐼 π‘₯ = 𝐴𝑒 π‘–π‘˜π‘₯ + 𝐡𝑒 βˆ’π‘–π‘˜π‘₯ ψ𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐢𝑒 π‘–π‘žπ‘₯ + 𝐷𝑒 βˆ’π‘–π‘žπ‘₯ ψ𝐼𝐼𝐼 π‘₯ = 𝐹𝑒 π‘–π‘˜π‘₯

𝐡=

π‘ž 2 βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž βˆ’ 1 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

2π‘˜ π‘ž βˆ’ π‘˜ 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž 𝐷= 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž 𝐢=

2π‘˜ π‘ž + π‘˜ 𝐴 2 2 𝑖2π‘žπ‘Ž π‘ž+π‘˜ βˆ’ π‘žβˆ’π‘˜ 𝑒

4π‘˜π‘žπ‘’ 𝑖 π‘žβˆ’π‘˜ π‘Ž 𝐹= 𝐴 π‘ž + π‘˜ 2 βˆ’ π‘ž βˆ’ π‘˜ 2 𝑒 𝑖2π‘žπ‘Ž

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