Aula 09 - Teoria De Shrodinger.pdf

Cap. 1

01-10-2018

Prof. Dr. Elias Oliveira Serqueira 31 [email protected]

ℏ2 𝑑 2 Ψ 𝑥, 𝑡 𝜕Ψ 𝑥, 𝑡 − + 𝑉 𝑥 Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑖ℏ 2𝑚 𝑑𝑥 2 𝜕𝑡

Ψ 𝑥, 𝑡 = ψ 𝑥 𝜑 𝑡

ℏ2 𝑑 2 ψ 𝑥 𝜑 𝑡 − 2𝑚 𝑑𝑥 2

𝜕 ψ 𝑥 𝜑 𝑡 + 𝑉 𝑥 ψ 𝑥 𝜑 𝑡 = 𝑖ℏ 𝜕𝑡

ℏ2 𝑑2 ψ 𝑥 𝜕𝜑 𝑡 − 𝜑 𝑡 + 𝑉 𝑥 ψ 𝑥 𝜑 𝑡 = 𝑖ℏψ 𝑥 2𝑚 𝑑𝑥 2 𝜕𝑡 32

ℏ2 𝑑2 ψ 𝑥 𝜕𝜑 𝑡 − 𝜑 𝑡 + 𝑉 𝑥 ψ 𝑥 𝜑 𝑡 = 𝑖ℏψ 𝑥 2𝑚 𝑑𝑥 2 𝜕𝑡 Dividindo toda equação por Ψ 𝑥, 𝑡 = ψ 𝑥 𝜑 𝑡 𝑑2 ψ 𝑥 ℏ2 𝜕𝜑 𝑡 𝜑 𝑡 𝑖ℏψ 𝑥 𝑉 𝑥 ψ 𝑥 𝜑 𝑡 2 2𝑚 𝑑𝑥 𝜕𝑡 − + = ψ 𝑥 𝜑 𝑡 ψ 𝑥 𝜑 𝑡 ψ 𝑥 𝜑 𝑡 ℏ2 1 𝑑 2 ψ 𝑥 1 𝜕𝜑 𝑡 − + 𝑉 𝑥 = 𝑖ℏ 2𝑚 ψ 𝑥 𝑑𝑥 2 𝜑 𝑡 𝜕𝑡

ℏ2 1 𝑑 2 ψ 𝑥 − +𝑉 𝑥 =𝐴 2 2𝑚 ψ 𝑥 𝑑𝑥 1 𝜕𝜑 𝑡 𝑖ℏ =𝐴 𝜑 𝑡 𝜕𝑡 33

1 𝜕𝜑 𝑡 𝑖ℏ =𝐴 𝜑 𝑡 𝜕𝑡

𝜕𝜑 𝑡 𝐴 = 𝜑 𝑡 𝜕𝑡 𝑖ℏ

𝜕𝜑 𝑡 𝑖𝐴 = 2 𝜑 𝑡 𝜕𝑡 𝑖 ℏ

𝜕𝜑 𝑡 𝐴 = −𝑖 𝜑 𝑡 𝜕𝑡 ℏ O método de solução:

𝑑𝜑 𝑡′ 𝐴 = −𝑖 𝑑𝑡′ 𝜑 𝑡′ ℏ

ln 𝜑 𝑡

𝜑 𝜑0

𝐴 = −𝑖 𝑡′ ℏ

𝜑 𝑡 𝐴 ln = −𝑖 𝑡 𝜑0 ℏ

𝑡 𝑡0 =0

𝜑

𝑑𝜑 𝑡′ 𝐴 = −𝑖 𝜑 𝑡′ ℏ 𝜑0

𝑡

𝑑𝑡′ 𝑡0 =0

𝐴 ln 𝜑 𝑡 − ln 𝜑0 = −𝑖 𝑡 − 𝑡0 ℏ 𝜑 𝑡 𝐴 = exp −𝑖 𝑡 𝜑0 ℏ

𝐴 𝜑 𝑡 = 𝜑0 exp −𝑖 𝑡 ℏ

𝜑 𝑡 =

𝐴 −𝑖 𝑡 𝜑0 𝑒 ℏ

34

𝜑 𝑡 =

𝐴 −𝑖 𝑡 𝜑0 𝑒 ℏ

Note que o expoente deve ser adimensional

𝐴 = 𝑇 −1 ℏ

Assim, essa relação leva a entender que a grandeza A seja energia da forma

𝐴 = 𝐸 = ℏ𝜔 Onde a parte temporal da função de onda

𝜑 𝑡 = 𝜑0 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 35

Retornando as equações: ℏ2 1 𝑑 2 ψ 𝑥 − +𝑉 𝑥 =𝐴 2𝑚 ψ 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑖ℏ

×

ψ 𝑥

1 𝜕𝜑 𝑡 =𝐴 𝜑 𝑡 𝜕𝑡

Rescrevendo a 1º ao realizar a devida operação, obtém-se ℏ2 𝑑 2 ψ 𝑥 − + 𝑉 𝑥 ψ 𝑥 = 𝐸ψ 𝑥 2𝑚 𝑑𝑥 2 Equação de Schrodinger independente do Tempo

36

37

38

39

40

41

No limite, vão para zero

42

43

1 0

44

45