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Tema 2: Cinemática Movimento mecânico, sistema de referência, trajectória; Posição, deslocamento, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea; Movimento curvilíneo Movimento relativo 2019-03-04

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Movimento mecânico • Na natureza os objectos ocupam uma determinada posição no espaço e as interacções entre o objecto e o ambiente que o rodeia ocorre sempre no tempo ⇒ ⇒É impossível separar o espaço do tempo. Em mecânica, chama-se movimento à mudança de posição de de uma partícula (objecto de estudo) relativamente a um refeferencial (sistema de referência); Quando a posião não varia, diz-se que o objecto está em repouso • Qual é a importância do sistema de referência? – O repouso e o movimento noções relativas; um mesmo objecto pode estar simultaneamente em repouso e em movimento para diferentes sistemas de referência 2019-03-04

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Trajectória_rectilínea • Trajectória- linha imaginária descrita pelo móvel (partícula) durante o seu movimento.
Trajectória rectilínea (mov. rectilíneo)

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Trajectória_curvilínea
Trajectória curvilínea (mov. Curvilíneo)
Trajectória circular (mov. circular)

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Posição • No movimento rectilíneo, a posição, relativamente a um referencial, é indicada através de uma única variável (ex: x para um movimento horizontal ou y para movimento vertical):
=
 Nota: ao escrever as equações horárias é preciso considerar que dependendo da relação direcção do eixo x e a direcção da velocidade v, o sinal de v e da aceleração a pode ser positivo ou negativo. Para o movimento curvilíneo a posição indica-se por meio de um raio vector:   =
  +    +   Ou   =
  +    2019-03-04

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Posição_ equações paramétricas


=
 •  =  

=  Exemplo 1:   = 3 sin 2  + 4 cos 2 
= 3 sin 2   = 4 cos 2 Trajectória do movimento:  

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+

 

= 1 -Elipse

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Deslocamento_mov rectilíneo • Deslocamento- variação da posição em função do tempo: ∆
=
 −
 ;  >  ∆
−pode ser positivo (objecto afasta-se da origem), negativo (aproxima-se a origem) e nulo, se as posições inicial e final coincidirem. O percurso (distância percorrida), d, é sempre positivo 2019-03-04

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Deslocamento_mov curvilíneo • Sendo vector, a posição, o deslocamento também será vector: ∆ =   −   = ∆ = ∆
 + ∆  + ∆  Exemplo 2: Achar o vector deslocamento de uma partícula que move-se de   = −3 + 2  + 5 para   = 9 + 2  + 8 Resp: ∆ = 12 + 3 2019-03-04

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Velocidade • Velocidade média- é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo correspondente: %&'( =

∆ ∆)

- mov rectilíneo

Diferenciar da velocidade escalar média %'*+,-,.,&'( =

%&'(

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(010 )010

=

(010 ∆)

∆ ∆
∆ ∆

= =  +  +  ∆ ∆ ∆ ∆ Fisica I_FE_Mecanica_Cinematica

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Velocidade_cont • Velocidade instantânea: Quando se fala da velocidade de um corpo, em geral refere-se à velocidade num instante arbitrário, o valor para o qual tende a velocidade média quando ∆t tende para zero.ânea

%=

∆ lim ∆)→5 ∆)

=

Ou %  = lim

%  =

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( ()

( - mov rectilíneo () ∆. ) (. )

∆)→5 ∆)

=

()

- no caso mais geral


 +   +  , ou

%  = %  + %  + %6  Fisica I_FE_Mecanica_Cinematica

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A direcção da velocidade instantânea % é sempre tangente à trajectória seguida pela partícula no ponto onde ela se encontra.

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• Comparando as últimas duas expressões conclui-se que as componentes (projecções nos eixos) do vector velocidade derivando as componentes do vector posição.

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• Exemplo 2: Para no instante t = 15 s, Calcule a velocidade de um coelho que desloca-se de acordo com as seguintes equações paramêtricas (expressas no SI):
 = −0.31  + 7.2 + 28 e   = 0.22  − 9.1 + 30 %  =

%  =

( () ( ()

= −0.62 + 7.2 ; % 15 = −2.1 (m/s) = 0.44 − 9.1; % 15 = −2.5 (m/s)

%  =

% 15 =

−2.1

%   + %   ; 

+ −2.5



= 3.3

−2.5 ? = @A@BC = @A@BC 1.19 = 49.96° ≈ 50° −2.1 2019-03-04

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Aceleração • A aceleração é a taxa de variação temporal da velocidade. Resulta da variação da velocidade (pisando no acelerador ou no travão de um carro por exemplo). • Aceleração média define-se como sendo a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo correspondente a essa variação: @&'( = 2019-03-04

F ) GF )H ) G)H

@&'(

ou

%  − %  =  − 

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Aceleração instantânea: quando o intervalo de tempo tende para zero, a aceleração média tende para a aceleração instantânea.

Ou

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J% J J
J
@ ≡ @ = = =  J J J J J% J% J% J%6 @ = =  +  + = J J J J J
J  J

=   +   +   J J J Fisica I_FE_Mecanica_Cinematica

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• Num gráfico % = K  , a aceleração é sempre tangente à curva no ponto considerado. E a área sob o gráfico representa o deslocamento.

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Composição de movimentos_mov em duas dimensões • Quando a partícula movimenta-se num plano ou no espaço tridimensional, o movimento pode ser analisado separadamente pelos eixos de coordenada(equações paramétricas). • Movimento de projéteis ( oblíquo e Lançamento horizontal-trabalho em grupos)

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Lançamento oblíquo_caso especial 1 • Caso especial do movimento bi-dimensional em que a partícula move-se no plano vertical com velocidade inicial %5 e aceleração constante e igual à da queda livre C. Para lançamento centrado em
5 = 5 = 0, teremos:

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Lançamento oblíquo_trajectória

% = %5 cos ? • % = % sin ? − C ⇒ integrando em função de t  5 obtem-se as coordenadas x e t do vector posição: • L


 = %5 cos ? 

 − C  

  = %5 sin ?  substituíndo em y obtem-se a trajectória do movimento:

• 
=
tan ? 2019-03-04

⇒ isolando t em x e

  − C  FO PQR S  Fisica I_FE_Mecanica_Cinematica

-parábola 19

Lançamento oblíquo_altura maxima e alcance • Para encontrar a altura máxima, consideremos que nesse instante % = 0 = %5 sin ? − C ⇒  =

FO RTU S V

 

. Substituíndo este tempo em y, obtem-se:

%5 sin ? ≡W= C



1 %5 sin ? − C 2 C

1 %5 sin ? W= C 2 C

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=



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• Para achar o alcance, precisamos de encontrar o tempo de trânsito (tempo total de observação) e depois substituímos em x: Atingido o alcance, nesse instante y = 0. Logo,  ) = %5 sin ? ) −

FO RTU S V

)

 C)  

= 0. Ou,

) − )  = 0, cuja solução é:

FO RTU S V

− ) = 0 ⇒ ) = 0 ∨ ) =

FO RTU S V

2%5 sin ? %5 
) ≡ X = %5 cos ? = sin 2? C C Conclui-se que o máximo valor de R atinge-se para 2? = 90°. Logo,

Discutir efeito do ar sobre o movimento do projéctil! 2019-03-04

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Lançamento horizontal • TPC #1(grupos de 2-3 estudantes no máximo) Data final de entrega (ao docente de aulas práticas) : Semana de 11 à 15 de Março 1. A partir do lançamento oblíquo, faça análise semelhante para o caso do lançamento horizontal , ou seja, velocidade inicial de lançamento é paralela ao eixo x (grupos ímpares: referencial é tal que o eixo x é dirigido para a direita e y para baixo; grupos pares: referencial é tal que o eixo x é dirigido para a direita e y para cima). 2. Escreva as equações paramétricas do vector posição para uma bola lançada para o cesto da equipa adversária, por um basquetebolista situado a 3 m do seu cesto, a uma altura de 2 m. Considere que θ = 60° e v0 = 8 m/s. a origem do sistema de coordenadas está situada no solo, junto ao cesto do jogador. Determine a velocidade da bola 2 segundos após o lançamento. 2019-03-04

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Movimento circular_caso especial 2 • Quando uma apartícula está em movimento circular, ela descreve uma circunferência ou um arco de cincunferência.

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• Mesmo que a velocidade escalar seja constante, num movimento circular sempre há aceleração devido à variação do vector velocidade. • Suponhamos que a velocidade escalar (o módulo do vector velocidade) é constante. Num dado instante t a posição e a velocidade da partícula , relativamente ao referencial localizado na centro de circunferência, representa-se por   e velocidade %  , respectivamente. Num outro instante  Y =  + ∆, a posição e a velocidade serão %  + ∆ e % Y  + ∆ , tal como indica a figura abaixo. 2019-03-04

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• Sendo semelhantes os dois triângulos podemos estabelecer a relação:

•

∆F ∆.

Ou ∆F ∆)

= F .

F .

= ∙

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∆. ∆)

⇒@+ =

F .

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• Sendo a velocidade linear (escalar) o rácio entre o arco descrito ∆s e o intervalo de tempo ∆t, v = ∆s/∆t , conclui-se que para ∆t = T , ∆s = 2πr. Logo, 2[ %= \ Se a velocidade linear for variável, a aceleração terá duas componetes perpendiculares entre sí, tangencial devido a variação do módulo e normal (centrípeta), devido a variação da direcção do vector velocidade: @ = @] + @^ @] =

(F ()

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;

@] =

F .

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• Em geral no movemento circular avaliam-se as relações angulares,nomeadamente: _=

(S ()

- velocidade angular ⇒

)

? = ?5 + ` _  J )O

? = ?5 + _  − 5 para velocidade angular fixa J_ J  ? a= =  J J ) ⇒_ = _5 + b) a  J O

_ = _5 + a  − 5 e  ? = ?5 + _  − 5 + a  − 5 

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Movimento relativo • A velocidade de uma partícula depende do referencial do observador (medidor de velocidade). Normalmente assumem-se como referencias, ontos fixos, como por exemplo uma árvore ou um poste de iluminação. Consequenetmente, para um radar da polícia devidamente calibrado, medir correctamente a velocidade de um carro que se aproxima, é necessário que esteja em repouso relativamente ao solo. 2019-03-04

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Movimento relativo- unidimensional • Suponhamos que dois observadores inerciais, O e O´situados nas origens dos sistemas de referência A e B respectivamente, observam o movimento de uma partícula P. O´ desloca-se à velocidade constante u = vBA.

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• %c - velocidade da partícula medida pelo observador O e %´c -velocidade da mesma partícula medida pelo observador móvel O´: %c = e + %´c A velocidade medida por O é a soma da velocidade medida por O´ mais a velocidade do observador O´mediada por O. Para relacionar as aceleraçõs medidas pelos dois observadores inerciais, teremos que derivar a equação: (Ff ()

=

(g ()

+

(F´f ⇒ ()

@c = @´c .

A aceleração de uma partícula medida por observadores em diferentes refrerenciais inerciais é invariante (os dois medem a mesma aceleração). 2019-03-04

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• Exemplo 3: a velocidade do referencial inecrial O´medida por O é u = 52 km/h. determine a velocidade da partícula v medida por O´, se o observador O lê v = -78 km/h. Resp:
 = e +
´() J e J
´() J
 = + = J J J % = e + %´ ; onde u > 0 e v < 0 ⇒ %´ = % − e = + −78 − 52 = −130 
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Movimento relativo- bi-dimensional • No caso bi-dimensional, a relação de eventos medidos pelos dois observadores O e O´é: c = kl + ´c ; kl = mm´ Derivando termo a termo a equação, encontramops a Relação de velocidades: %c = %kl + %´c ; Analogamente, @c = +@´c ;

( Fno ()

=0

Os dois observadores medem a mesma velocidade! 2019-03-04

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• Exemplo 4: Um avião move-se para o Leste enquanto o piloto direcciona o aparelho para o Sudeste de modo a compenasar um vento constante que sopra para o Nordeste. A velocidade do avião relativamente ao vento é de 215 km/h, formando um ângulo θ com o Sudeste. A velocidade do vento u relativamente ao solo é de 65 km/h e forma um ângulo de 20° com o Nordeste. (a) Qual é a velocidade do avião em relação ao solo? (b) Qual é o valor de θ?

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• (i) Desenhar um diagrama que ilustre a situação de modo a visualizar os vectores. • (ii) a partir do diagrama, usar convenientemente as equações que relacionam eventos nos dois referenciais: %lp = % ; %qp = e e %lq = %´

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• Analisando o diagrama conclui-se que: OX ≡ Leste; OY ≡ Norte. ⇒ % = e + %´

% = % Y cos r + e sin s ou, L Y % = −% sin r + e cos s % = 215 cos r + 65 sin 20°  0 = −215 sin r + 65 cos 20° Da segunda equação obtem-se:

sin r = 20° ⇒ r = 16,5°. Logo, % ≡ % = 215 cos 16,5° + 65 sin 20° = 228 
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