Asuransi Jiwa Kelompok 4.docx

ASURANSI JIWA untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Aktuaria Dosen Pengampu : Iqbal Kharisudin, S.Pd., M.Sc.

Disusun Oleh : 1. 2. 3. 4.

Nidia Sinta Dewi Anung Pramudita Arifian Rivaldi Meidenita Intan A

(4112316009) (4112316016) (4112316018) (4112316019)

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN AJARAN 2017/2018

ASURANSI JIWA 1. Pengertian Asuransi jiwa adalah sebuah janji dari perusahaan asuransi (pihak penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwa apabila nasabah mengalami risiko kematian dalam hidupnya, perusahaan asuransi akan memberikan santunan (manfaat kematian) dengan jumlah tertentu kepada ahli waris dari nasabah tersebut. Mengingat asuransi jiwa merupakan kontrak jangka Panjang, perusahaan asuransi harus memperhatikan penetapan suku bunga, administrasi yang efisien, dan investasi dana yang aman. Selain itu, nasabah juga harus memperhatikan tingkat suku bunga dan kontrak tertulis antara dirinya dan perusahaan. Dalam kontrak, disertakan juga besarnya premi (sejumlah uang yang harus dibayarkan oleh nasabah), periode pembayaran, dan besarnya manfaat kematian yang akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi. Kontrak antara perusahaan asuransi dan nasabah tersebut dinamakan polis asuransi, sedangkan besarnya manfaat kematian tergantung pada peluang meninggal (umur, riwayat kesehatan, jenis kelamin, pekerjaan), dan suku bunga ditetapkan oleh pihak perusahaan asuransi.

BERBAGAI BENTUK ASURANSI JIWA 1. Asuransi Berjangka Merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana. Karena itu yang pertama kali kita pelajari. Dibawah kontrak ini santunan asuransi akan dibayarkan perusahaan kepada pewaris si tertanggung meninggal selama jangka waktu tertentu, disebut jangka waktu polis. Jangka waktu biasanya 5 tahun, 10 tahun, 15 tahun atau 20 tahun. Untuk memudahkan perhitungan maka akan kita pandang terlebih dahulu dengan jangka waktu setahun. Misalkan ada 1x

orang, semuanya tepat berusia X, sepakat menyerahkan

sebesar A rupiah ke suatu dana dan pada akhir tahun Rp. 1 akan dibayarkan kepada setiap pewaris dari yang meninggal di antara mereka sepanjang tahun tersebut. Dana yang terkumpul beserta bunganya setahun dianggap tepat sama dengan seluruh pembayaran santunan Rp. 1 bagi setiap yang meninggal. Jadi tidak kurang maupun tidak bersisa. Banyaknya yang meninggal setahun dari sebanyak 1x pembayaran setahun kemudian adalah d x

adalah d x

, jadi seluruh

rupiah. Dana yang terkumpul beserta

bunganya adalah A. 1x (1+i) sehingga : d x =A .1 x ( 1+i) Jadi

A=d x /(1 x ( 1+i )) ¿ vd x /1 x ¿ v x+1 d x /1x v x ¿ C x /D x

Nilai A diatas dapat pula diperoleh secara diskanto ( bunga dan peluang meninggal ). Nilai tunai dari Rp. 1 yang akan dibayar setahun lagi adalah v, peluang yang akan dibayarkan adalah q x ( yaitu jika meninggal ), jadi vd x =C x / D x 1x Nilai A ini disebut premi tunggal bersih suatu asuransi sebesar Rp. 1 selama setahun. A=vq x =

Nilai Rp. 1 hanya akan dibayarkan bila si tertanggung meninggal dalam jangka waktu setahun. Bila dia hidup mencapai usia x+1 maka dia tidak mendapat apapun. 2. Asuransi seumur hidup

Asuransi berjangka yang dibicarakan di depan amat sederhana dan murah (premi rendah). Akan tetapi bila jangka waktu sudah habis, sitertanggung tidak memperoleh apapun dari prusahaan asuransi kecuali bersyukur kepad aTuhan bahwa dia masih diberi umur panjang. Bila yang bersangkutan ingin diasuransikan teruskan maka dia harus membeli polis baru karena kontrak yang lama sudah habis. Membeli polis baru akan relative lebih mahal mengingat usianya sudah semakin tua sehingga peluang meninggalnya makin tinggi. Asuransi seumur hidup adalah cara yang lebih murah dan praktis dibadingkan dengan asuransi berjangka yang bersambung. Dengan asuransi seumur hidup maka santunan asuransi akan pasti dibayar tanpa memperdulikan kapan maut akan menjemput. Premi dapat dibayarkan sekaligus(premi tunggal) atau terbatas sampai beberapa tahun, ataupun seumur hidup. Misalkan A x menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari asuransi seumur hidup sebesar Rp 1 bagi seseorang berusia (x), ini berarti bila (x) meninggal maka kepada pewarisnya akan dibayar Rp.1,- pada akhir tahun dia meningeal. Dengan cara diskonto, seperti pada asuransi berjangka, diperoleh

=

2 = Vd X / l X + v d + . . . + v W −X +1 d W / l X d X +1 + . . . + v W +1 d W )/ v X l X ( v X +1 d X + v X +2

=

( CX

AX

AX

=

X+ 1

+ C X +1 + . . . + CW )/ D X

MX / DX

3. Asuransi Endowmen Asuransi Endowmen merupakan penyewaan gagasan asuransi berjangka , dengan kata lain endowmen merupakan perpaduan antara asuransi berjangka dengan endowmen murni . jadi bila si tertanggung meninggal selama jangka waktu asuransi misalnya n tahun , maka kepada pewarisnya akan dibayarkan Rp. 1 , sedangkan bila mencapai usia x + n maka kepadanya akan dibayarkan Rp. 1 pada akhr tahun ke x + n Simbol yang digunakan untuk jenis asuransi ini adalah A x: n diatas x. Jadi

tanpa symbol 1

1

E

A x: n= A x :n +n x ¿( M x −M x+ n)/ D x + D x+n / Dx ¿ ( M x −M x+n + D x+n ) / D x 4. Asuransi tertunda Gagasan asuransi tertunda mirip dengan anuitas tertunda. Simbol untuk gagasan asuransi berjangka tertunda adalah m A 1x :n

simbol ini menyatakan premi tunggal bersih

untuk asuransi berjangka n tahun sebesar Rp. 1 dikeluarkan bagi orang berusia x yang tertunda m tahun. Ini berarti pembayaran Rp. 1 akan dilakukan perusahaan asuransi bagi pewaris (x) pada akhir tahun dia meninggal asal dia meninggal antara usia x+m dan x+m+n tahun. Dengan menggunakan cara perhitungan seperti waktu menurunkan rumus

A 1x: n

maka diperoleh m A 1x :n =v m +1

d m +n d +…+ v m +n x+m+n −1 1x 1x x+ m+1 ¿( v d x+ m+ …+ v x+m +n d x+ m+n−1)/v x 1x ¿ ( C x+m + …+C x+m +n−1 ) / D x ¿( M x+m−M x+m +n)/ D x

Simbol ini, seperti dapat diduga menyatakan premi tunggal bersih endowmen sebesar Rp. 1 bagi (x) selama n tahun, santunan akan dibayarkan bila (x) meninggal dunia antara usia x+m dan X+m+n atau mencapai usia x+m+n. Bila (x) meninggal antara usia x dan x+m maka tidak ada pembayaran. Demikian pula m A x

menyatakan premi tunggal bersih asuransi seumur hidup sebesar Rp. 1 bagi

(x), pembayaran baru akan dilaksanakan bila (x) meninggal sesudah berumur x+m tahun. Dengan mudah dapat ditunjukan bahwa : m A x =M x+m / Dx

Jenis Asuransi Jiwa 1. Asuransi yang dibayarkan seketika pada saat kematian (model kontinu) Besarnya manfaat kematian dan waktu pembayaran hanya bergantung pada lamannya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampai tertanggung meninggal. Untuk menghitung besarnya manfaat kematian, model yang digunakan ialah fungsi manfaat b (¿¿ t) , dan fungsi diskon ( v t ¿ . ¿ Berikut didefinisikan fungsi nilai manfaat kematian pada saat sekarang dari

zt ,

yaitu : z t=bt v t zt

adalah nilai sekarang untuk niali polis dari pembayaran manfaat kematian.

a. Asuransi dengan Manfaat Bertingkat (Varying Benefit Insurance) Untuk asuransi jiwa berjangka n-tahun, pembayaran manfaat kematian dilakukan hanya jika nasabah meninggal didalam n-tahun masa kepesertaannya sejak memutuskan terdaftar menjadi peserta asuransi. Nilai sekarang aktuaria asuransi berjangka n-tahun dengan pembayaran manfaat kematian sebesar 1 unit dan dilakukan seketika pada saat x mengalami kematian adalah

E[Z], dinotasikan

1 x :n ⌉ ¿ dengan Z adalah fungsi dari T : ¿ ¿ ´¿ A 1 x :n ⌉ ∞ ¿ = E[Z] = ∫ z t f T ( t ) dt ¿ 0 ¿ ´A¿ n

=

∫ v tt P x μ x ( t ) dt 0 n

=

∫ e−δt t px μx ( t ) dt 0

Selanjutnya, diperoleh variansinya :

1 1 x :n ⌉ x :n ⌉ ¿ ¿ ¿¿ )2 Var(Z) = −¿ ¿ A¿ ¿ ¿ ´¿ A ¿ ¿ Nilai sekarang aktuaria asuransi seumur hidup (whole life insurance) : ∞

A´ x =E [ Z ] =∫ vt t Px μx ( t ) dt 0

Untuk seseorang yang terseleksi pada saat [x] dan sekarang berusia [x]+h maka nilai sekarang aktuarianya sebesar : ∞ t A´ [ x ] +h =∫ v t P [ x ] +h μ x ( h+ t ) dt 0

Contoh : Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup (whole life) dengan uang pertanggungan senilai 50 diterbitkan atas (x).Manfaat meninggal dibayarkan pada saat meninggal dunia. Jika probability density function dari future lifetime T untuk (x) adalah :

{

t f ( x )= 5000 ,∧0≤ t ≤ 100 0,∧lainnya Dan δ=0.10 , Hitunglah premi tunggal neto (net single premium)! Jawab : 100 −δt −0.1 t A´ x =∫ e f T ( t ) dt = ∫ e 0

=

NSP =

−e−7

´x bt A

( 15 + 501 )+ 501 = 50

|

t −t −0.1 t e−0.1 t 70 dt = e − 5000 500 50 0 =

1 11 −7 − e 50 50

( 501 − 5011 e )=1−11 e −7

Penyelesaian menggunakan software R :

−10

=0.9995006

b. Asuransi Dwiguna ( Endowment Insurance) Asuransi dwiguna terdiri atas dwiguna murni berjangka n-tahun dan dwiguna berjangka n-tahun. Untuk suatu asuransi dwiguna murni berjangka n-tahun, manfaat kematian akan diberikan pada akhir tahun ke-n apabila nasabah tetap hidup minimal selama n-tahun sejak masuk menjadi peserta asuransi. Nilai sekarang aktuaria untuk dwiguna murni memiliki dua notasi yang berarti

sama, yaitu

x :n ⌉ ¿ atau n E x : ¿ A¿ x :n ⌉ ¿ nEx ¿ A¿ Var[Z] = v 2 n n p x ( 1−n p x )=v 2 n n p x nq x

Asuransi dwiguna n-tahun dapat dipandang sebagai kombinasi dari asuransi berjangka n-tahun dan dwiguna murni tahun. Oleh karena itu, pada asuransi dwiguna, manfaat kematian akan diberikan seketika pada saat kematian apabila peserta asuransi meninggal sebelum n-tahun. Sebaliknya, apabila masih hidup sampai dengan n-tahun, kepadanya akan diberikan dwiguna murni.

x :n ⌉ ¿ x :n ⌉ ¿ x :n ⌉ ¿ ¿ ¿ ¿ ´¿ A

Var [Z] =

x :n ⌉ ¿ x :n ⌉ ¿ ¿ ¿ 2 ¿ A¿ ¿ A¿ ¿ ¿

Contoh : Z 1 merupakan variable acak nilai sekarang dari asuransi dwiguna berjangka n-tahun sebesar 1 yang dibayarkan seketika pada saat x meninggal dunia. Z 2 adalah variable acak nilai sekarang untuk suatu asuransi jiwa kontinu berjangka n-tahun sebesar 1 untuk x. Hitunglah var[ Z 1 ] apabila diketahui : i) Var[ Z 2 ] = 0.01 n ii) v =30 iii) n px =0.80 E [ Z ] =0.04 iv) Jawab :

Var[ Z 1 ] =

x :n ⌉ ¿ x :n ⌉ ¿ ¿ ¿ A¿ ¿ ¿ A¿ ¿

=

=

1 x :n ⌉ ¿ 1 x :n ⌉ x :n ⌉ ¿ x :n ⌉ ¿ A¿ ¿ A ¿¿ ¿ ¿

1 x :n ⌉ ¿ A ¿¿ ¿

1 x :n ⌉ ¿ 1 x :n ⌉ ¿ 1 x :n ⌉ x :n ⌉ ¿ ¿ 1 ¿1 + ¿ A x :n2⌉ A¿ ¿¿ ) ¿ ¿ ¿ A ¿¿ A ¿¿ A ¿¿ ¿ ¿

= Var[ Z 2 ] +

(v

2n n

p x −2 E [ Z 2 ] v n n p x −v 2 n n p x2 )

= 0.01 + {(0.09)(0.08) – 2(0.04)(0.30)(0.80) – (0.09)(0.64)} = 0.0052 c. Asuransi Tertunda (Deffered Annuities) Asuransi tertunda m-tahun memberikan manfaat kematian jika nasabah meninggal setelah m-tahun menjadi peserta asuransi. Asuransi ini dapat diapikasikan pada asuransi jiwa seumur hidup (m-year deferred whole life insurance) dan asuransi jiwa berjangka (m-year deferred n-year term insurance). Untuk asuransi jiwa seumur hidup tertunda m-tahun, berlaku :

∞

´ x =∫ v t t p x μ x ( t ) dt E[Z] = m|A m

Kemudian untuk yang berjangka, dinotasikan x :n ⌉ ¿ m+ n ¿−1 ´x = A ∫ v t t p x μ x ( t ) dt m|n ¿ m A¿ ¿ Contoh : Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup tertunda 5 tahun diterbitkan atas (x) dengan manfaat meninggal dibayarkan pada saat meninggal dunia. Jika diketahui force of mortality constant

μ=0.04

dan δ =0.10 . Berapakah nilai sekarang aktuaria

asuransi ini? Jawab : ∞

∞

´ x =∫ v t t p x μ x ( t ) dt=∫ e−δt e−μt μ x ( t ) dt E[Z] = 5| A 5

5

∞

=

∫ e−0.10 t e−0.04 t ( 0.04 ) dt 5

=

|

( 0.04 ) e−0.14 t ∞ 2 −0.7 = e =0.1419 −0.14 5 7

Penyelesaian contoh menggunakan software R :

d. Asuransi dengan manfaat kematian yang tak tetap (varying benefit insurance) Dalam berbagai aplikasi , fungsi ( z t ) ialah z t = bt v t . Fungsi tersebut dapat dianalisis , salah satunya pada manfaat kematian yang dapat naik atau turun mengikuti deret aritmatika . Asuransi jiwa seummur hidup dengan manfaat kematian meningkat pertahun (annually increasing whole life insurance) akan memberikan manfat kematian sebesar 1 unit pada saat terjadi kemaian di tahun pertama, 2 unit pada tahun kedua , dan seterusnya. bt = ⌊t +1 ⌋

t ≥ 0,

vt = vt

t ≥ 0,

Z = Di mana tanda

⌊T +1 ⌋ v T ⌊⌋

T ≥ 0,

menyatakan bilangan bulat terbesar .

Nilai sekarang aktuaria untuk sekarang ini ialah : ∞

( I A´ ) X = E [ Z ] =

∫ ⌊t +1 ⌋ v t

t

px μx ( t ¿ dt

0

Kenaikan manfat kematian paa asuransi jiwa dalam setahun kemungkinan tidak terjadi sekali. Missal, kenaikan manfaat kematian sebesar 1/m untuk setiap interval dalam m buah interval selama jangka waktu asuransi. Dengan demikian akan diperoleh : bt =

⌊ tm+1 ⌋ m

vt = vt

Z =

⌊ Tm+ 1 ⌋ v T m

t ≥ 0, t ≥ 0, T ≥ 0,

dan nilai sekarang aktuaria untuk assuransi ini (m-thly increasing whole life insurance ), yaitu (m) ´ )x E [ Z ] = (I A

Kemudian, apabila pembayaran manfaat kematian dilakukan jika kematian terjadi dalam jangka waktu n-tahun , asuransi ini disebut m-thly increasing whole life insurance Pada kasus di mana m → ∞

, fungsinya menjadi :

bt = t

t ≥ 0,

vt = vt

t ≥ 0,

Z = T vT

T ≥ 0,

Sehingga nilai sekarang aktuarianya adalah ∞

´ )x = E [ Z ] = ( ´I A

∫ t v tt p x μ x (t) dt 0

∞

t

( )

∫ ∫ ds

=

0

v t t p x μ x (t) dt

0

∞ ∞

=

∞

∫∫ v t p x μ x (t)dtds t

0

=

s

∫ s │ A´ x ds 0

Asuransi seperti ini disebut asuransi kontinu dengan manfaat kematian meningkat atau continuously increasing whole life insurance. Penurunan manfaat kematian asuransi disebut annually decreasing whole life insurance . Misalnya, suatu asuransi akan memberikan manfaat kematian sebesar n apabila terjadi kematian di tahun pertama, n-1 di tahun kedua dan seterusnya sampai dengan jangka waktu asuransi selesai . fungsi untuk asuransi jenis ini menjadi : bt = n−⌊ t ⌋ t ≤ n 0∧t> n

{

vt = vt

t>0

{

T (n −⌊T ⌋ ) T ≤n Z= v 0∧t >n

Nilai sekarang aktuaria untuk asuransi ini ialah n

(D A´ ) =

∫ v t (n−⌊ t ⌋) t p x μx (t )dt 0

Contoh seorang (30) mengikuti polis asuransi jiwa dengan santunan jematian 10 juta dibayarkan pada saat meninggal dunia. Morlita mengikuti hokum Gompertz B=10−5 ;C= 1,09, dan tingkat suku bunga kontinu δ =5 . Hitunglah nilai sekarang aktuaria untuk : a. Asuransi jiwa seumur hidup; b. Asuransi jiwa seumur hidup yang tertunda 5 tahun; c. Asuransi berjangka 20 tahun; d. Asuransi berjangka 20 tahun yang tertunda 10 tahun;

e. Asuransi dwiguna murni 10 tahun; f. Asuransi dwiguna berjangka 15 tahun; g. Asuransi jiwa berjangka 4 tahun dengan santunan meningkat per tahun sebesar 5 juta; Artinya, akan diberikan santunan kematian sebesar 10 juta pada saat terjadi kematian pada tahun pertama, 15 juta pada saat erjadi kematian di tahun kedua, dan seterusnya meningkat hingga tahun keempat h. Asuransi jiwa berjangka 5 tahun dengan santunan menurun per tahun sebesar 1 juta Artinya, akan diberikan santunan kematian sebesar 10 juta pada saat terjadi kematian pada tahun pertama , 9 juta pada saat terjadi kematian di tahun kedua dan seterusnya menurun 1 juta hingga tahun kelima. Jawab : fungsi survival diasumsikan mengikuti hokum Gompertz s(x) = exp

t p30=

[

−B ( c x −1) log ( C )

s (30+t ) = s (30)

]

[

−10−5 exp (1.09 30+t −1) log ( 1.09 )

[

−10−5 exp (1.09 30−1) log ( 1.09 )

∞

a.

A´

=

∫ ( be−δt ) t p x μ (x+ t)dt 0

Syntax program :

∞

b.

´ x = m| A

; μ ( x ) =BC x ; μ ( 30+t ) =BC

∫ ( be−δt ) t p x μ x ( t ) dt 0

Syntax program :

]

]

c.

x :n ⌉ ¿ ¿ ´¿ A

n

=

∫ ( be−δt ) t p x . μ (x+t )dt 0

Syntax proram :

d.

⌉ ¿ x :n ¿ = m| A ¿

m+ n

∫ ( be−δt ) t p x μ(x +t )dt m

Syntax program:

e.

x :n ⌉ ¿ ¿ ´A¿

= ( bv n )

n

px

Syntax program :

f.

x :n ⌉ ¿ ¿ ´¿ A

x :n ⌉ ¿ ¿ ´¿ A

=

+

x :n ⌉ ¿ ¿ ´¿ A

=

be (¿¿−δt ) t p x . μ( x +t) dt n

∫¿ 0

¿

Syntax program :

A x:n⌉ g. ( I ¿ ¿ ¿´ ¿¿

n

=

∫ ( ( b+ It ) e−δt ) 0

I= besar kenaikan santunan Syntax program :

t

px . μ ( x +t ) dt

+ [ ( bv n ) n p x ]

A x :n ⌉ h. ( D ¿ ¿ ´¿ ¿¿

n

=

∫ (( b− Dt ) e−δt )

t

px . μ (x+ t)dt

0

D = besar penurunan santunan Syntax program:

Setelah script file tersebut di source-kan , fungsi – fungsi tersebut dapat dipanggil menggunakan perintah berikut :

Jadi , premi tunggal bersih seorang pria (30) dengan santunan 10 juta rupiah: o Asuransi jiwa seumur hidup ialah Rp.456.885,00 o Asuransi jiwa seumur hidup yang tertunda 5 tahun adalah Rp.449.616,00 o Asuransi jiwa berjangka 20 tahun adalah Rp.38.822,00 o Asuransi jiwa berjangka 20 tahun yang tertunda 10 tahun adalah Rp. 55.401,00 o Asuransi jiwa yang dwiguna murni 15 tahun adalah Rp.4.704.487,00

o Asuransi jiwa dwiguna berjangka 30 tahun adalah Rp.2.260.925,00 o Asuransi jiwa berjangka 4 tahun dengan santunan meningkat 5 juta pertahun adalah Rp.11.554,00 o Asuransi jiwa berjangka 5 tahun dengan santunan menurun 1 juta pertahun adalah Rp.5.397,00 o 2. ASURANSI YANG DIBAYARKAN PADA AKHIR TAHUN KEMATIAN Model asuransi yang dibayarkan pada akhir tahun kematian dapat disebut asurani dengan pembayaran secara diskrit. Pada kenyataannya , manfaat kematian yang dibayarkan seketika pada saat terjadinya kematian masi sulit dilaksanakan . Model yang masih dibangun oleh fungsi T ialah sisa usia masa depan (future life time) dari asuransi jiwa saaat polis diterbitkan (kontinu). Distribusi peluang T yang berbentuk table kehidupan secara diskrit yang dinyatakan sebagai distribusi peluang K , yaitu sisa usia masa depan dan asuransi pada saat polis diterbitkan. Asuransi ini dapat dinyatakan sebagai asuransi yang dibayarakan pada akhir tahun kematian. Fungsi manfaat bk +1 yaitu jumlah pembayaran mnfaat dimana indeks k+1 menyatakan sisa usia dari nasabah dan fungsi diskonto v k +1 yaitu factor diskonto suku bunga yang ditetapkan unbtuk periode dari waktu pengembalian pembayaran sampai waktu diterbitkannya polis ketika tertanggung mempunyai sisa usia masa depan k , yaitu ketika tertanggung meninggal pada tahun k+1 dari asuransi Nilai sekarang pada saat polis diterbitkan pada pembayaran manfaat asuransi dinotasikan dengan z k+1 , yaitu : z k+1 = bk + 1 v k+1 z k+1 dihitung sejak polis diterbitkan, dimana tahu terjadinya kematian adalah 1+k , yang didefinisikan sebagai variable random diskrit nilai bulat terbesar dari issa usia masa depan a. Asuransi Jiqa Berjangka n-Tahun (n-Year Term Insurance) Dari asuransi berjangka n-tahun yang memberikan 1 unit pada akhir tahun kematian , diperoleh :

{

bk +1= 1,∧k =0,1, … … ,(n−1) 0,untuk lainnya v k +1 = v k +1

{

z= v

k +1

,∧k =0,1, … … ,(n−1) 0, untuk lainnya

Nilai sekarang aktuaria untukasuransi ini diberikan dengan : x :n ⌉ ¿ ¿ A¿

Dengan menggunakan rumus penurunan secara aljabar dapat diperoleh rumus rekursi untuk nilai sekarang aktuaria dari asuransi berjangka : x :n ⌉ ¿ ¿ A¿

n−1

= vq x + vp x ∑ v k k−1 p x+1 q x+ k k=1

n−2

= vq x + vp x ∑ v j=0

j+1 j

px +1 q x+ 1+k =

x+ 1:n−1⌉ ¿ ¿ vq x + vp x A ¿

Variansi dari asuransi berjangka n-tahun, yaitu: x : n⌉ x :n⌉ ¿ ¿¿ 1 ) 2 ¿ A¿ var [ Z ]= 2 A¿ ¿ Di mana : x :n ⌉ ¿ ¿ 2 A¿ Contoh : Jika l x =100

– x untuk 0 ≤ x ≤100

40 :25 ⌉ ¿ dan jika i=0.05, hitunglah ! ¿ A¿

Jawab:

|q x =k p x q x+k

k

=

l x+k −l x+k +1 lx

|q x

=

k

40 : 25 ⌉ ¿ = ¿ A¿ =

=

1 100−x

1 60

24

1 ∑ (1.05)−(k+1) 60

+ v 25 25 p40=¿

k=0

1 (14.09395) + = 60

= 0.407159

7 (0.295308) 12

25 ⌉ ¿ ¿ 1 a 60 ¿

Penyelesaian menggunakan software R :

setelah script file tersebut di source-kan maka fungsi ini dapat dipanggil menggunakan perintah berikut :

b. Asuransi Jiwa Seumur Hidup (Whole Life Insurance) Asuransi jiwa seumur hidup adalah jenis asuransi yang memberikan perlindungan kepada pesertanya seumur hidup atau maksimal hingga berusia 100 tahun. Polis asuransi jiwa seumur hidup diklasifikasikan ke dalam dua jenis yaitu : 1. Polis Asuransi Jiwa Seumur Hidup Biasa (Ordinary Whole Life Insurance) 2. Polis Asuransi Jiwa Seumur Terbatas (Limited Payment Whole Life Insurance) Nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini ialah : ∞

Ax =

∑ v k+1 k Px q x+k k=0

Rumus rekursi ini ialah : A x = vq x + vA x+1 p x

c. Asuransi Jiwa Dwiguna (Endowment Insurance) Asuransi Dwiguna adalah proteksi yang memberikan jumlah uang pertanggungan saat tertanggung meninggal dalam periode tertentu, sekaligus memberikan seluruh uang pertanggungan jika ia masih hidup pada masa akhir pertanggungan. Karena memberikan dua manfaat inilah, asuransi ini disebut dwiguna.

Fungsi untuk asuransi dwiguna ialah : bk +1=1

k = 0, 1, ...

{

k +1 v k +1= v nk =0, 1, … ,(n−1) v k =n , ( n+1 ) , …

{

k+1 Z = v nk =0,1, … ,( n−1) v k=n , ( n+1 ) , …

Nilai sekarang aktuaria dari asuransi dwiguna ialah : n

A x n|=∑ v k+1 k px q x+k k=0

Rumus rekursi ini ialah : n

A x n|=∑ v k+1 k px q x+k + v n n p x k=0

d. Asuransi dengan Santunan yang Tak Tetap (Varying Benefit Insurance) Asuransi jiwa seumur hidup dengan santunan yang meningkat setiap tahun menyediakan santunan sejumlah k+1 unit apabila tertanggung meninggal pada tahun-tahun kematian. Fungsi manfaat dan fungsi diskonto serta variabel random dari nilai sekarang ialah : bk +1=k +1

k = 0, 1, 2, ...

k+1

k = 0, 1, 2, ...

v k +1=v

Z =(k + 1) v

k +1

k = 0, 1, 2, ...

Nilai sekarang aktuaria dari asuransi jiwa seumur hidup dengan santunan yang meningkat setiap tahun dinotasikan dengan (IA). Asuransi jiwa berjangka n-tahun dengan santunan yang menurun setiap tahun, selama periode n-tahun menyediakan manfaat pada akhir tahun kematian sejumlah n-k dimana k adalah lamanya tertanggung hidup sejak asuransi diterbitkan. Dengan fungsi sebagai berikut :

{

bk +1= n−k k=0,1, … ,(n−1) 0 k =n , ( n+1 ) , … v k +1=v

k+1

k=0,1, …

{

k+1 Z = ( n−k ) v k=0,1, … ,(n−1) 0 k =n , ( n+1 ) , …

Nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa berjangka n-tahun dengan santunan yang 1 menurun setiap tahun dinotasikan dengan (DA ) xn| px v ¿ (v q x+ k ) ¿ ¿k ( n−k ) ¿ k

n−1

( n−k ) v k +1 k p x q x+ k =∑ ¿ k=0

n−1

( DA )1x n|=∑ ¿ k=0

n−1

∑ (n−k )k|1

=

Ax

k=0

Contoh Soal : Seorang (40) mengikuti polis asuransi jiwa dengan santunan kematian 10 juta dibayarkan pada akhir tahun kematian dan (i = 0.05). Diberikan fungsi survival yang digunakan : i. ii.

S (x) = 100 – x −0.0001 (1.09 x −1) S (x) = exp log ( 1.09 )

(

)

; x = 0, 1, 2, ..., 100 ; x = 0, 1, 2, ..., 100

Hitunglah nilai sekarang aktuaria untuk : a. b. c. d. e. f. g.

Asuransi jiwa seumur hidup Asuransi jiwa seumur hidup yang tertunda 5 tahun Asuransi jiwa berjangka 25 tahun Asuransi jiwa berjangka 20 tahun yang tertunda 10 tahun Asuransi jiwa dwiguna murni 25 tahun Asuransi jiwa dwiguna berjangka 25 tahun Asuransi jiwa berjangka 4 tahun dengan santunan meningkat pertahun sebesar 5 juta; artinya, akan diberikan santunan kematian sebesar 10 juta pada saat terjadi kematian pada tahun pertama, 15 juta pada saat terjadi kematian pada tahun kedua, dan seterusnya meningkat 5 juta hingga tahun keempat h. Asuransi jiwa berjangka 5 tahun dengan santunan menurun per tahun sebesar 1 juta, artinya akan diberikan santunan kematian sebesar 10 juta pada saat terjadi kematian

pada tahun pertama, 9 juta pada saat terjadi kematian pada tahun kedua, dan seterusnya menurun 1 juta per tahun hingga tahun kelima

Jawab : Fungsi survival : s (x) = 1 – (0.01x)2 Maka,

k

s (30+k ) 100−(30+k ) 70−k = = s( 30) 100−30 70

p30=

q=1− v=

s (30+ k) 100−(30+ k ) k =1− = s (30) 100−30 70

1 1 = (1+0.06) 1.06

ω=100−40

a)

∑

A 40=

k=0

( b v k+1 ) k p40 q 40+k

Syntax program :

ω=100−40

b)

5| A 40 =

∑

k=m

( b v k +1) k p 40 q 40+k

Syntax program :

c)

A

1 40 : 25|

=

n−1=24

∑ k=0

( b v k+1 ) k p40 q 40+k

Syntax program :

d)

e)

A= ( bv ) pq Syntax program :

A

1 40 : 25|

=( b v 25) 25 p40

Syntax program :

f)

A 40 : 25|= A140: 25|+ A

n−1=24

40 :

1 25|

(∑ (

=

k=0

Syntax program :

g)

(IA)140 :4|=

)

b v k +1 ) k p 40 q 40+ k + ( v 25 25 p40 )

n−1=3

∑ ( ( b+ Ik ) v k+ 1) k p 40 q 40+k k=0

I = besaran kenaikan santunan Syntax program :

h)

1 40 : 5|

(DA )

=

n−1=4

∑ ( ( b−Dk ) v k +1) k p 40 q 40+k k =0

D = besar penurunan santunan Syntax program :

Setelah script file tersebut di-source-kan, fungsi-fungsi tersebut dapat dipanggil menggunakan perintah berikut :

Jadi, premi tunggal bersih seorang pria (40) dengan santunan 10 juta rupiah, yaitu :       

Asuransi jiwa seumur hidup ialah Rp 3.154.882,00 Asuransi jiwa seumur hidup yang tertunda 5 tahun ialah Rp 2.524.587,00 Asuransi jiwa berjangka 25 tahun ialah Rp 2.348.991,00 Asuransi jiwa berjangka 20 tahun yang tertunda 10 tahun ialah Rp 1.377.438,00 Asuransi jiwa dwiguna murni 25 tahun ialah Rp 1.722.600,00 Asuransi jiwa dwiguna berjangka 25 tahun ialah Rp 4.071.490,00 Asuransi jiwa berjangka 4 tahun dengan santunan meningkat 5 juta per tahun ialah Rp 1.016.226,00  Asuransi jiwa berjangka 5 tahun dengan santunan menurun 1 juta per tahun ialah Rp 584.297,00

Menggunakan script file program sebelumnya yang telah di-source-kan kemudian mengganti fungsi ‘expression’ yang sesuai. Maka penyelesaian contoh bagian ii menggunakan perintah berikut :