Astrofisica Stellare: Appendice

Capitolo 12 Appendici 12.1. Grandezze fondamentali Grandezze Fisiche Costante di Gravitazione Costante di Boltzmann Costante di Planck Costante di Corpo Nero Velocit` a della luce Costante di Stefan Boltzmann Massa dell’elettrone Energia a riposo dell’elettrone Massa del protone Energia a riposo del protone Carica dell’ elettrone Raggio classico dell’elettrone Sezione d’urto Thomson Volt-elettrone Energia associata a 1 K Temperatura associata ad 1 eV

G = 6.67 10−8 k = 1.38 10−16 h = 6.62 10−27 h = h/2π= 1.05 10−27 ¯ a = 7.56 10−15 c = 3.00 1010 σ = ac/4 = 5.67 10−5 me = 9.11 10−28 me c2 = 0.511 mp = 1.67 10−24 mp c2 = 938.27 e = 4.80 10−10 re = e2 /me c2 = 2.82 10−13 (8π/3)re2 = 6.65 10−25 1 eV = 1.60 10−12 8.62 10−5 1.16 104

dyn cm2 g erg K−1 erg sec erg sec erg cm−3 K−4 cm sec dyn cm−2 K−4 gr MeV gr MeV ues cm cm2 erg eV K

M = 1.99 1033 L = 3.90 1033 R = 6.96 1010 V = -26.74 MV = +4.83 B-V = 0.62 1 A.U. = 1.49 1013 1 pc = 3.09 1018 1 ly = 9.46 1017

gr erg sec−1 cm mag mag mag cm cm cm

Grandezze Astronomiche Massa del Sole Luminosit` a del Sole Raggio del Sole Magnitudine Visuale del Sole Magnitudine assoluta del Sole Indice di colore del Sole Unit` a Astronomica Parsec Anno Luce

1

2

12.2. Funzioni di Fermi Valori delle funzioni di Fermi

∞

Z Fn (α) = 0

xn dx eα+x + 1

per vari valori di ”n” ed al variare del parametro di degenerazione ψ = −α da -4 (gas non degenere) a +20 (completa degenerazione). ψ -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 19.0 19.5 20.0

F1/2 0.016 0.026 0.043 0.070 0.114 0.183 0.290 0.449 0.678 0.990 1.396 1.900 2.502 3.196 3.976 4.837 5.770 6.772 7.837 8.962 1.014 1.137 1.266 1.399 1.538 1.680 1.827 1.979 2.134 2.293 2.457 2.624 2.795 2.969 3.147 3.329 3.514 3.702 3.894 4.089 4.287 4.488 4.692 4.900 5.110 5.323 5.540 5.759 5.981

F3/2 13 48 37 72 59 80 50 79 09 21 38 83 46 60 98 07 73 57 97 99 43 90 46 91 05 71 76 04 45 86 18 32 18 68 75 31 30 65 30 21 30 54 86 24 61 94 19 31 26

101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101

0.024 0.039 0.065 0.107 0.175 0.285 0.460 0.734 1.152 1.772 2.661 3.891 5.537 7.668 1.035 1.365 1.762 2.232 2.780 3.409 4.126 4.932 5.834 6.833 7.935 9.142 1.045 1.188 1.342 1.508 1.686 1.877 2.080 2.296 2.526 2.769 3.025 3.296 3.581 3.880 4.194 4.523 4.867 5.227 5.603 5.994 6.401 6.825 7.265

F−1/2 27 93 61 58 80 77 85 66 80 79 68 98 25 80 37 42 77 73 24 92 10 90 22 81 26 02 74 47 70 74 88 41 62 78 16 03 64 26 12 48 58 66 94 66 05 33 72 43 68

101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102

0.032 0.052 0.085 0.137 0.219 0.342 0.521 0.764 1.072 1.431 1.820 2.214 2.595 2.953 3.285 3.591 3.874 4.137 4.383 4.614 4.833 5.042 5.241 5.432 5.617 5.795 5.967 6.134 6.297 6.455 6.609 6.760 6.907 7.051 7.193 7.331 7.467 7.600 7.731 7.860 7.986 8.111 8.234 8.355 8.474 8.591 8.707 8.822 8.935

04 40 26 58 18 62 14 34 16 68 40 36 40 46 22 32 34 4 2 6 8 2 6 8 0 0 4 6 2 4 6 4 6 8 0 4 2 6 4 2 8 6 2 2 4 8 6 0 0

3

12.3. Sistemi fotometrici A partire da circa la met` a del secolo scorso, `e stato progressivamente introdotto un gran numero di sistemi fotometrici, talch´e al presente il Database di Asiago ne lista pi` u di 200. Nella tabella ne riportiamo alcuni tra i pi usati. Per lungo tempo il sistema UBV di Johnson e Morgan del 1953, con la rielaborazione ed estensione all’infrarosso di Johnson (1965), hanno costituito uno standard quasi universalmente adottato. In tempi pi` u recenti hanno peraltro registrato una crescente applicazione i sistemi rossi e infrarossi SAAO e di Cousin. Di particolare rilevanza il sistema di filtri adottato dall’Hubble Space Telescope (HST) di cui riportiamo, a titolo di esempio, alcuni tra i numerosi filtri della Wide Field Planetary Camera 1 (WFPC1): tre bande UV e i due filtri che pi` u da vicino approssimano le bande B e V di Johnson. In coda alla tabella riportiamo infine il sistema a banda stretta di Str¨omgren, che dal 1956 continua a godere una buona popolarit`a per la particolare correlazione dei suoi indici di colore con importanti caratteristiche delle strutture stellari, quali la metallicit`a. Sistema

Anno

Banda

λc

WHM

Johnson and Morgan

1953

Johnson

1965

SAAO

1973

Cousins

1976

WFPC1

1989

Str¨ omgren and Crawford

1956

U B V U B V R I J K L’ M J H K L M R I 122M 194W 336W 439W 455W u v b y Hβ Hβ

3580 4390 5450 3516 4407 5479 6846 8640 1.25 µ 2.20 µ 3.57 µ 5.00 µ 1.23 µ 1.65 µ 2.23 µ 3.46 µ 5.08 µ 6470 7865 1218 1887 3358 4330 5380 3449 4109 4672 5476 4857 4857

550 990 850 684 927 875 2090 2194 0.37 0.59 1.00 1.19 0.28 0.31 0.36 0.57 0.53 1515 1090 162 427 466 671 1587 377 199 180 235 30 140

La Tabella riporta nell’ordine la designazione del sistema fotometrico, l’anno di definizione, le bande del sistema, la lunghezza d’onda centrale λc e la larghezza a mezza altezza (WHM). Ove non altrimenti indicato le lunghezze d’onda λc sono in Angstrom, i valori della WHM nella stessa unit` a di λc .

4

12.4. Diagrammi HR teorici ed osservativi La Fig. 12.1 riporta la relazione tra temperatura efficace ed indice di colore per una stella di composizione chimica solare e gravit` a superficiale log g = 3.5.

Fig. 12.1. Indice di colore B-V in funzione della temperatura efficace Te.

Come atteso, si evidenzia come l’indice B-V risulti ben correlato con le temperature efficaci solo per Te minori di ∼ 10000 K. A temperature maggiori l’indice tende a ”saturare”, tendendo asintoticamente ad un valore di poco inferiore a -0.2. Nel contempo la correzione bolometrica ha un minimo per Te ∼ 6700 K, temperatura alla quale `e massima l’emissione nella banda del visibile. La Fig. 12.2 pone in evidenza le trasformazioni topologiche che ne seguono nel trasportare dati da un diagramma HR teorico logL, logTe al corrispondente diagramma CM osservativo Mv, B-V.

Fig. 12.2. Collocazione nel diagramma CM dei rettangoli del corrispondente diagramma teorico.

Si pu`o in particolare notare la drastica deformazione dei dati teorici alle maggiori temperature, dovuta alla concomitante azione della compressione dei valori di B-V e al subitaneo aumento della correzione bolometrica. Se ne trae l’evidenza che la distribuzione nel diagramma CM dei Rami Orizzontali degli ammassi globulari `e largamente il risultato di una tale trasformazione. In tale contesto `e utile notare come la subitanea variazione di pendenza che si verifica attorno ai 10 000 K (Turn Down) possa essere usato come un affidabile indicatore di temperatura, utile per ricavare una valutazione delle temperature indipendente dal colore nel caso di ammassi molto arrossati. Resta peraltro evidente che uno studio dettagliato delle strutture di stelle calde di Ramo Orizzontale richiede l’utilizzo di opportune indici di colore in bande UV.

5

12.5. Potenziali di ionizzazione La Tabella riporta per i vari elementi il valore in eV dell’energia necessaria per l’estrazione dei primi dieci elettroni periferici cui corrispondono i primi dieci gradi di ionizzazione e le conseguenti caratteristiche sequenze di righe spettrali (I= atome neutro, II = una volta ionizzato etc).

Z

I

II

III

IV

1H 2 He 3 Li 4 Be 5B 6C 7N 8O 9F 10 Ne 11 Na 12 Mg 13 Al 14 Si 15 P 16 S 17 Cl 18 Ar 19 K 20 Ca 21 Se 22 Ti 23 V 24 Cr 25 Mn 26 Fe 27 Co 28 Ni 29 Cu 30 Zn 31 Ga 32 G 33 As 34 Se 35 Br 36 Kr 37 Rb 38 Sr 39 Y 40 Zr 41 Nb 42 Mo

13.598 24.587 5.392 9.322 8.298 11.260 14.534 13.618 17.422 21.564 5.139 7.646 5.986 8.151 10.486 10.360 12.967 15.759 4.341 6.113 6.54 6.82 6.74 6.766 7.435 7.870 7.86 7.635 7.726 9.394 5.999 7.899 9.81 9.752 11.814 13.999 4,177 5.695 6.38 6.84 6.88 7.099

54.416 75.638 18.211 25.154 24.383 29.601 35.116 34.970 40.962 47.286 15.035 18.828 16.345 19.725 23.33 23.81 27.629 31.625 11.871 12.80 13.58 14.65 16.50 15.640 16.18 17.06 18.168 20.292 17.964 20.51 15.934 18.633 21.19 21.8 24.359 27.28 11.030 12.24 13.13 14.32 16.15

122.451 153.893 37.930 47.887 47.448 54.934 62.707 63.45 71.64 80.143 28.447 33.492 30.18 34.83 39.61 40.74 45.72 50.908 24.76 27.491 29.310 30.96 33.667 30.651 33.50 35.17 36.83 39.722 30.71 34.22 28.351 30.820 36 36.95 40 43.6 20.52 22.99 25.04 27.16

217.713 259.368 64.492 77.472 77.412 87.138 97.11 98.91 109.24 119.99 45.141 51.37 47.30 53.46 59.81 60.91 67.10 73.47 43.266 46.707 49.1 51.2 54.8 51.3 54.9 55.2 59.4 64 45.71 50.13 42.944 47.3 52.5 52.6 57 61.8 34.34 38.3 46.4

V

VI

VII

VIII

IX

X

340.217 392.077 97.888 113.896 114.240 126.21 138.39 141.26 153.71 166.77 65.023 72.68 67.8 75.02 82.66 84.41 91.66 99.22 65.23 69.3 72.4 75.0 79.5 75.5 79.9 82.6

489.981 552.057 138.116 157.161 157.93 172.15 186.50 190.47 205.05 220.43 88.049 97.03 91.007 100.0 108.78 111.1 119.36 128.12 90.56 95 99 102 108 103 108

667.029 739.315 185,182 207.27 208.47 224.94 241.43 246.52 263.22 280.93 114.193 124.319 117.56 127.7 138.0 140.8 150.17 161.1 119.27 125 129 133 139 134

871.387 953.886 239.09 264.18 265.90 284.59 303.17 309.41 328.23 348.28 143.456 154.86 147.24 158.7 168.5 173.7 184.7 196.46 151.06 157 162 166 174

1103.09 1195.60 299.87 327.95 330.21 351.10 371.73 379.10 400.05 422.44 175.814 188.54 180.02 193.2 205.8 209.3 221.8 235.04 186.13 193 199 203

1362.16 1465.09 367.53 398.57 401.43 424.50 447.09 455.62 478.68 503.44 211.70 225.32 215.91 230.5 244.4 243.3 262.1 276 224.5 232 238

127.6 81.70 88.6 78.5 84.4 90.8 93.0

155.4 103.0 111.0 99.2 106 116

192.8 126 136 122.3 129

230.9 150 162 146.2

277.1 177 191

102.6 68

125 126.8

153

93.5 62.63 68.3 59.7 64.7 71.0 71.6 77.0 81.5 50.55 61.2

Come atteso, l’energia per estrarre l’ultimo elettrone, giungendo alla ionizzazione totale, appare crescere con continuit` a all’aumentare di Z. Per il Ca risulta, ad esempio, pari a 5470 V. Si noti come molti elementi posseggano potenziali di prima ionizzazione inferiori a quello dell’idrogeno, richiedendo quindi minori temperature per una prima ionizzazione. Caso differente `e invece quello dell’elio che, assieme al Neon, richiede temperature pi elevate: le righe dell’HeII appariranno quindi solo ad alte temperature, alle quali l’idrogeno `e ormai in larga parte completamente ionizzato. Per l’apparizione di righe dell’HeII nello spettro del visibile si richiede anche che gli elettroni dell’atomo una volta ionizzato si portino a popolare livelli eccitati le cui energie di transizione ricadano nella banda ottica. Transizioni dallo stato fodamentale interessano infatti solo l’estremo UV.

6

12.6. I nuclei atomici La Tabella riporta l’eccesso o difetto di massa di nuclei sino al Silicio, ogni nucleo restando identificato dal numero di protoni (Z) e da quello di neutroni (N). Per maggior chiarezza, al di sotto di ogni valore di Z viene anche indicato il simbolo del ripettivo elemento chimico. L’eccesso di massa `e misurato per ogni nucleo come M-A (in MeV), dove A `e il numero di nucleoni e si assume come unit` a di massa 1/12 della massa del nucleo del Carbonio 12. La sottolineatura segnala le configurazioni stabili.

Z

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H

2 He

3 Li

4 Be

5 B

6 C

7 N

8 O

9 F

10 Ne

11 Na

12 Mg

13 Al

14 Si

7.29 13.14 14.95 25.90 33.80 . . . . . . . . . . . . . .

14.93 2.42 11.39 17.59 26.11 31.65 . . . . . . . . . . . .

25.13 11.68 14.09 14.91 20.95 24.97 35.30 43.30 . . . . . . . . . .

18.38 15.77 4.94 11.35 12.61 20.18 25.00 35.70 . . . . . . . . .

27.94 22.92 12.42 12.05 8.67 13.37 16.56 24.20 29.4 . . . . . . . .

28.91 15.70 10.65 0.00 3.13 3.02 9.87 13.69 17.60 . . . . . . .

25.50 17.34 5.35 2.86 0.10 5.68 7.87 13.27 16.40 . . . . . .

23.11 8.01 2.86 -4.74 -0.81 -0.78 3.33 3.80 10.70 . . . . .

17.70 10.69 1.95 0.87 -1.49 -0.02 -0.05 2.83 . . . . .

16.48 5.32 1.75 -7.04 -5.73 -8.03 -5.15 -5.95 . . . .

12.98 6.84 -2.18 -5.18 -9.53 -8.42 -9.36 -7.51 -6.60 . .

17.50 10.91 -0.38 -5.47 -13.93 -13.19 -16.21 -14.58 -15.02 . .

18.00 6.77 -0.05 -8.91 -12.21 -17.20 -16.85 -18.21 -15.89 .

10.80 3.82 -7.15 -12.39 -21.49 -21.89 -24.43 -22.95 -24.09

Si noti l’assenza di isobari contigui e, in generale, come l’isotopo stabile rappresenti la configurazione a massima energia di legame ( massa minima) tra tutti i suoi isobari. Dai dati in tabella, `e immediato ricavare l’energia fornita per nucleone nelle successive fusioni di H in He, He in C e cos`ı di seguito. Queste energie sono riportate nella successiva tabella ove si `e fatto uso dell’ulteriore dato che fornisce per il Fe 56 un eccesso di massa pari a -60.61 Mev

H→ 4 He 4 He→12 C 12 C→ 24 Mg 24 Mg→28 Si 28 Si→56 Fe

6.68 0.60 0.58 0.19 0.31

MeV MeV MeV MeV MeV

Se ne evince ancora una volta che la fusione dell’idrogeno in elio `e di gran lunga la maggior sorgente di energia nucleare a disposizione delle strutture stellari e, di conseguenza, che la stragrande maggioranza delle strutture stellari osservate devono essere in fase di combustione di idrogeno.