Asigurari - Seminarii

Seminar 1 – 25 februarie

DETERMINAREA TARIFELOR (PRIMELOR) DE ASIGURARE LA ASIGURĂRILE DE BUNURI PE BAZA INDICELUI DE DESPĂGUBIRE La asigurările de bunuri prima de asigurare se calculează cu ajutorul indicelui de despăgubire pe baza datelor furnizate de statistică şi cu ajutorul calculelor probabilistice. Indicele de despăgunire arată în procente cât reprezintă valoarea pagubelor din valoarea totală a bunurilor asigurate. I k - indice de despăgubire în anul k ; f k - frecvenţa relativă de realizare a indicelui de despăgubire în anul k. Prima de asigurare plătită de către asigurat societăţii de asigurare are 2 destinaţii:  1. prima netă (p);  2. adaosul de primă netă (A). Pb = p + A ; Pb - prima brută; p = I +σ I

; I - indice mediu de despăgubire; σ I - abaterea medie pătratică (în asigurări σ se numeşte adaos de risc) Prima netă este destinată constituirii fondului de asigurare din care se vor face plăţi de despăgubiri celor asiguraţi) n

I=

∑ Ik k =1

; unde n – număr de ani luaţi în calcul

n

σ I = σ I2 ; n

2

unde σ I2 = ∑ ( I k − i ) × f k = ( I1 − i ) 2 × f1 + ( I 2 − i ) 2 × f 2 + ... + ( I n − 1) 2 × f n k =1

i – valoarea medie a indicelui de despăgubire şi se calculează astfel: n

i = ∑ I k × f k = I1 × f1 + I 2 × f 2 + ... + I n × f n k =1

Adaosul de primă netă are 4 destinaţii: a1 - este partea din adaos destinată constituirii fondului de rezervă şi poate fi maxim 25% din prima netă; a 2 - reprezintă partea din adaos destinată finanţării măsurilor de prevenire şi combatere a riscurilor; dacă societatea de asigurare nu doreşte să finanţeze a 2 =0; a3 - partea din adaos destinată acoperirii cheltuielilor de administrare şi gestionare a fondului de asigurare şi se calculează în funcţie de anii anteriori; a 4 - profitul. A = ( a1 + a 2 + a3 + a 4 ) × p 1

Suma celor 4 destinaţii poate fi maxim 50% din prima netă. Pentru a calcula mărimea fondului de rezervă ( a1 ) şi pentru a stabili intervalul de variaţie a indicelui de despăgubire se utilizează inegalitatea BIENAYME-CEBTŞEV potrivit căreia probabilitatea ca în modul diferenţa dintre I k şi i să fie mai mică sau egală dispersia cu ε este mai mare sau egală cu 1 − ε2 σ2 P ( I k − i ≤ ε ) ≥ 1 − 2I ε ε – multiplu la adaosul de risc

ε = k ×σ I p ( Ik − i ≤ k × σ I ) ≥ 1 −

1 k2

1  1  a1 = 1 − 1 − 2  = 2  k  k Intervalul de variaţie a indicelui de despăgubire este I k ∈ ( i − k × σ I ; i + k × σ I )

Aplicaţia 1 Să se determine: 1. mărimea primei nete unice; 2. intervalul de variaţie a indicelui de despăgubire; 3. prima brută ştiind că: suma asigurată Sa = 10.000 lei a1 = ? – se calculează pentru k = 2 a 2 = 10 % a3 = 10 % a4 = 5 % Se mai cunosc indicii de despăgubire şi frecvenţele relative la o categorie de bunuri pe o perioadă de 7 ani:

2

I1 = 0,0545

f1 = 0,1852

I 2 = 0,0608

f 2 = 0,1402

I 3 = 0,0583

f 3 = 0,1107

I 4 = 0,0563

f 4 = 0,1112

I 5 = 0,0675

f 5 = 0,1326

I 6 = 0,0859

f 6 = 0,1784

I 7 = 0,098

f 7 = 0,1416

Rezolvare: 1. mărimea primei nete unice: p = I +σ I n

I= An

1 2 3 4 5 6 7

∑I k =1

n

Ik

0,0545 0,0608 0,0583 0,0563 0,0675 0,0859 0,098

k

=

0,0545 + 0,0608 + 0,0583 + 0,0563 + 0,0675 + 0,0859 + 0,098 = 0,06875 7 fk

0,1852 0,1402 0,1107 0,1112 0,1326 0,1784 0,1416

Ik × fk (7 cifre după virgulă) 0,0100934 0,0085241 0,0064538 0,0062605 0,0089505 0,0153245 0,0138768 i = ∑ Ik × fk

Ik − i (4 cifre după virgulă) - 0,0149 - 0,0086 - 0,0111 - 0,0131 - 0,0019 0,0164 0,0285

( I k − i) 2 × f K

(7 cifre după virgulă) 0,0002220 0,0000739 0,0001232 0,0001716 0,0000036 0,0002689 0,0008122

(7 cifre după virgulă) 0,0000411 0,0000103 0,0000136 0,0000190 0,0000004 0,0000479 0,0001150

σ I2 = ∑ ( I k − i ) × f k 2

i = 0,0694836

σ I2 = 0,0002473

σ I = 0,0002473 = 0,0157257 p = I + σ I = 0,06875 + 0,0157257 = 0,0844757 = 8,45% p (lei) = p% × Sa = 8,45% × 10.000 = 845 lei 2. intervalul de variaţie a indicelui de despăgubire: p ( Ik − i ≤ k × σ I ) ≥ 1 −

( I k − 1) 2

1 k2

3

I k ∈ ( i − k ×σ I ;i + k ×σ I ) Pentru k = 2 => I k ∈ (0,0380322 ; 0,100935) i − k × σ I = 0,0694836 − 2 × 0,0157257 = 0,0380322 i + k × σ I = 0,0694836 + 2 × 0,0157257 = 0,100935 3. prima brută: Pb = p + A = 8,45 % + 4,225 % = 12,675 % ≈ 13 % A = ( a1 + a 2 + a3 + a 4 ) × p = ( 25% + 10% + 10% + 5% ) × 8,45% = 4,225% Pentru k = 2 => a1 =

1 1 = 2 = 0,25 = 25% 2 k 2

Pb în lei = Pb% x Sa = 13% x 10.000 = 1.300 lei Sa – limita maximă.

Seminar 2 – 3 martie

Aplicaţia 2 Să se determine: 1. mărimea primei nete unice; 2. intervalul de variaţie a indicelui de despăgubire; 3. prima brută ştiind că: Sa = 25.000 lei a2 = 5 % a3 = 10 % a 4 = 10 % Pentru a calcula a1 şi intervalul de variaţie se consideră k = 3 Se mai cunosc indicii de despăgubire şi frecvenţele relative la o categorie de bunuri pe o perioadă de 5 ani: I1 = 0,0125

f1 = 0,1

I 2 = 0,02

f 2 = 0,2

I 3 = 0,05

f 3 = 0,2

I 4 = 0,132

f 4 = 0,3

I 5 = 0,032

f 5 = 0,2

4

1. prima netă unică: p = I +σ I n

I=

∑I k =1

n

k

=

0,0125 + 0,02 + 0,05 + 0,132 + 0,032 = 0,0493 5

An

1 2 3 4 5

i = ∑ Ik × fk

Ik

0,0125 0,02 0,05 0,132 0,032

2

σ I2 = 0,0022715

σ I = 0,0022715 = 0,0476602 p = I + σ I = 0,0493 + 0,0476602 = 0,0969602 = 9,70% p (lei) = p% × Sa = 9,70% × 25.000 = 2.425 lei 2. intervalul de variaţie a indicelui de despăgubire: 1 k2

I k ∈ ( i − k ×σ I ;i + k ×σ I ) Pentru k = 3 => I k ∈ (- 0,0817306 ; 0,2042306) i − k × σ I = 0,06125 − 3 × 0,0476602 = −0,0817306 i + k × σ I = 0,06125 + 3 × 0,0476602 = 0,2042306 3. prima brută: Pb = p + A = 9,7 % + 3,492 % = 13,192 % ≈ 13 % A = ( a1 + a 2 + a3 + a 4 ) × p = (11% + 5% + 10% + 10% ) × 9,70% = 3,492% Pentru k = 2 => a1 =

0,1 0,2 0,2 0,3 0,2

Ik × fk (7 cifre după virgulă) 0,00125 0,004 0,01 0,0396 0,0064

σ I2 = ∑ ( I k − i ) × f k

i = 0,06125

p ( Ik − i ≤ k × σ I ) ≥ 1 −

fk

1 1 = 2 = 0,11 = 11% 2 k 3

5

(4 c vi -0 -0 -0 -0 -0

Pb în lei = Pb% x Sa = 11 x 25.000 = 3.250 lei

Aplicaţia 3 Să se determine: 1. mărimea primei nete unice; 2. intervalul de variaţie a indicelui de despăgubire; 3. prima brută ştiind că: Sa = 20.000 lei a2 = 5 % a3 = 5 % a 4 = 10 % Pentru a calcula a1 şi intervalul de variaţie se consideră k = 4 Se mai cunosc indicii de despăgubire şi frecvenţele relative la o categorie de bunuri pe o perioadă de 5 ani: 4 = 0,1290 31 6 = = 0,1935 31 6 = = 0,1935 31 7 = = 0,2258 31 8 = = 0,2580 31

f1 = I1 = 0,02

f2

I 2 = 0,03 I 3 = 0,03333 I 4 = 0,045 I 5 = 0,04444

f3 f4 f5

1. prima netă unică: p = I +σ I n

I=

∑I k =1

n

k

=

0,02 + 0,03 + 0,03333 + 0,045 + 0,04444 = 0,0345 5

6

An

Ik

fk

Ik × fk (7 cifre după

1

0,02

2

0,03

3

0,03333

4

0,045

5

0,0444

0,129 0 0,193 5 0,193 5 0,225 8 0,258 0

virgulă) 0,00258

virgulă) - 0,0164

virgulă) 0,0002689

virgulă) 0,0000346

0,005805

- 0,0064

0,0000409

0,0000079

0,0064493

- 0,0031

0,0000096

0,0000018

0,010161

0,0085

0,0000722

0,0000163

0,0114655

0,0079

0,0000624

0,0000160

i = ∑ Ik × fk

σ I2 = ∑ ( I k − i ) × f k 2

i = 0,0364608

σ I2 = 0,0000766

σ I = 0,0000766 = 0,0087521 p = I + σ I = 0,0345 + 0,0087521 = 0,0432521 = 4,33% p (lei) = p% × Sa = 4,33% × 20.000 = 866 lei 2. intervalul de variaţie a indicelui de despăgubire: p ( Ik − i ≤ k × σ I ) ≥ 1 −

1 k2

I k ∈ ( i − k ×σ I ;i + k ×σ I ) Pentru k = 4 => I k ∈ (0,0014524 ; 0,0714692) i − k × σ I = 0,0364608 − 4 × 0,0087521 = 0,0014524 i + k × σ I = 0,0364608 + 4 × 0,0087521 = 0,0714692 3. prima brută: Pb = p + A = 4,33 % + 1,136 % = 5,47 % ≈ 5 % A = ( a1 + a 2 + a3 + a 4 ) × p = ( 6,25% + 5% + 5% + 10% ) × 4,33% = 1,136% Pentru k = 4 => a1 =

1 1 = 2 = 0,0625 = 6,25% 2 k 4

Pb în lei = Pb% x Sa = 5 x 20.000 = 1.000 lei

7

Seminar 3 – 10 martie

DETERMINAREA TARIFELOR DE PRIME DE ASIGURARE LA ASIGURĂRILE DE VIAŢĂ PE BAZA NUMERELOR DE COMUTAŢIE La asigurările de viaţă primele de asigurare se calculează cu ajutorul numerelor de comutaţie luate din tabelele de mortalitate pe baza datelor furnizate de statistică în urma recensămintelor efectuate în rândul populaţiei. Dintre numerele de comutaţie menţionăm: 1. Dx = l x × v x ; unde: x – vârsta; l x – numărul supravieţuitorilor de vârstă x; v x – factor sau coeficient de fructificare ce ţine cont de rata dobânzii; Dx – numărul supravieţuitorilor de vârstă x actualizaţi cu factorul de fructificare v. w

2. N x = ∑ Dx

; unde: w – vârsta maximă;

x =1

N x – număr total al supravieţuitorilor actualizaţi cu factorul de fructificare v. 3. C x = d x × v x ; unde: d x – numărul persoanelor decedate la vârsta x; C x – numărul persoanelor decedate la vârsta x actualizate cu factorul de fructificare v. w

4. M x = ∑ C x x =1

; unde: M x – numărul total al persoanelor decedate scontate actualizate cu factorul de fructificare v.

8

1. ASIGURAREA DE SUPRAVIEŢUIRE 1.1. Asigurarea de supravieţuire pe termen lung cu plata forfetară a sumei asigurate Aplicaţia 1 Să se determine prima netă unică şi prima anuală datorate de o persoană care la vârsta de 30 ani a încheiat o poliţă de asigurare de 50.000 lei sumă încasabilă peste 10 ani, gradul de fructificare a fondurilor de asigurare fiind de 5 %. D( x +n )

D( 30+10 )

D40 12.053 = 50.000 × = 29.926 lei D( x ) D30 D30 20.138 n – numărul de ani pe care se încheie asigurarea Pn = Sa ×

Pa = Sa ×

= Sa ×

D( x + n ) N ( x ) − N ( x+m )

= Sa ×

= 50.000 ×

D( 40 ) N ( 30 ) − N ( 40 )

= 50.000 ×

12.053 = 3.725 lei 355.641 − 193.869

m – număr de ani pe care se plăteşte prima anuală ; m ≤ n 1.2. Asigurarea de supravieţuire cu plata sumei asigurate sub formă de rentă viageră Aplicaţia 2 Să se determine prima netă unică (Pn) respectiv prima anuală (Pa) aferentă unei asigurări de supravietuire cu plata unei rente periodice viagere în următoarele condiţii: persoana asigurată are vârsta de 55 ani şi solicită asigurarea pentru o sumă a rentei de 25.000 lei pe care să o încaseze: a) la începutul fiecărui an sau anticipat; b) la sfârşitul fiecărui an sau posticipat. Rata de actualizare luată în calcul este de 5 % iar pentru Pa se consideră m = n = 10 ani. a) Anticipat: Pn = Sa ×

N( x) D( x )

= Sa ×

N ( 55 ) D( 55 )

= 25.000 ×

68.010,5 = 320.665 lei 5.302,3

9

Pa = Sa ×

N( x) N ( x ) − N ( x+m )

= Sa ×

N ( 55 ) N ( 55 ) − N ( 65 )

= 25.000 ×

68.010,5 = 39.930 lei 68.010,5 − 25.429,7

Seminar 4 – 17 martie b) Posticipat: Pn = Sa × Pa = Sa ×

N ( x +1) D( x )

= Sa ×

N ( x +1) N ( x ) − N ( x+m )

N ( 56 ) D( 55 )

= 25.000 ×

= Sa ×

60.708,20 = 286.235 lei 5.302,30

N ( 56 ) N ( 55 ) − N ( 65 )

= 25.000 ×

60.708,20 = 35.643 lei 68.010,5 − 25.429,7

Posticipat asiguratul plăteşte mai puţin decât anticipat. 1.3. Asigurare de rentă pe o perioadă limitată de timp Aplicaţia 3 Să se determine prima netă unică aferentă unei asigurări de rentă pentru suma de 30.000 lei/an încheiată pe o perioadă limitată de timp în cazul în care persoana asigurată are vârsta de 50 ani, iar durata asigurării este de 10 ani cu plata rentei anticipat respectiv posticipat. a) Anticipat: Pn = Sa ×

N ( x ) − N ( x+n ) D( x )

= Sa ×

N ( 50 ) − N ( 60 ) D( 50 )

= 30.000 ×

97.673,5 − 42.455,5 = 234.299 lei 7.070,2

b) Posticipat: Pn = Sa ×

N ( x +1) − N ( x + m+1) D( x )

= Sa ×

N ( 51) − N ( 61) D( 50 )

= 30.000 ×

90.603,3 − 38.569,8 = 220.787 lei 7.070,2

Asiguratului îi convine să încheie asigurarea în cea de-a doua variantă (posticipat) deoarece plăteşte mai puţin.

10

2. ASIGURAREA DE DECES Aplicatia 4 Să se determine prima netă unică la o asigurare de deces închiriată în următoarele condiţii: persoana are vârsta de 40 ani şi solicită o sumă asigurată de 50.000 lei, coeficient de fructificare este de 5%/an iar durata asigurării are următoarele ipoteze: 1. termen de 1 an; - cu plata sumei anticipat şi posticipat 2. termen mediu de 10 ani; 3. perioada nedeterminată. Să se aleagă varianta cea mai avantajoasă pentru asigurat. 1. Asigurarea pe termen de 1 an: a) anticipat: Pn = Sa ×

dx d 303 = Sa × 40 = 50.000 × = 163 lei lx l 40 93.076

b) posticipat: Pn = Sa ×

dx × vx lx

;

vx =

1 1 + rd

rd – rata dobânzii Pn = Sa × vx =

dx 303 × v x = 50.000 × × 0,9523 = 155 lei lx 93.076

1 = 0,9523 1 + 5%

2. Asigurarea pe termen mediu de 10 ani: a) anticipat: Pn = Sa ×

M x − M ( x+n ) Dx

= Sa ×

M 40 − M 50 2.817 − 2.416 = 50.000 × = 1.663 lei D40 12.053

b) posticipat: Pn = Sa ×

M ( x +1) − M ( x + n +1) Dx

= Sa ×

M 41 − M 51 2.779 − 2.368 = 50.000 × = 1.705 lei D40 12.053

11

3. Asigurarea pe perioadă nedeterminată: a) anticipat: Pn = Sa ×

Mx M 2.817 = Sa × 40 = 50.000 × = 11.686 lei Dx D40 12.053

b) posticipat: Pn = Sa ×

M ( x +1) Dx

= Sa ×

M 41 2.779 = 50.000 × = 11.528 lei D40 12.053

Asiguratul alege ca fiind cea mai avantajoasă varianta 3 ţinând cont de condiţiile asigurării de deces şi de suma de bani pe care o plăteşte. Aplicaţia 5 Să se determine prima anuală aferentă unei asigurări de deces în următoarele condiţii: persoana are vârsta de 50 ani iar asigurarea se încheie pentru o sumă asigurată de 10.000 lei. Asiguratul solicită stabilirea primei anuale în următoarele ipoteze: 1. asigurarea se încheie cu plata primei anuale pe toată durata contractului; 2. plata primei anuale se face pe o perioadă mai scurtă - anticipat şi posticipat decât contractul şi anume de 10 ani. 3. asigurarea se încheie pe termen limitat de 15 ani a) m = n = 15 b) m = 10 ; n = 15 Să se aleagă varianta cea mai avantajoasă pentru asigurat. 1. Plata Pa pe toată durata contractului : Anticipat: Pa = Sa ×

Mx M 2.416 = Sa × 50 = 10.000 × = 247 lei Nx N 50 97.673,5

Posticipat: Pa = Sa ×

M ( x +1) Nx

= Sa ×

M 51 2.368 = 10.000 × = 242 lei N 50 97.673,5

2. Plata Pa pe o perioadă mai scurtă decât contractul, de 10 ani: Anticipat:

12

Pa = Sa ×

Mx M 50 2.416 = Sa × = 10.000 × = 438 lei N x − N ( x+m ) N 50 − N 60 97.673,5 − 42.455,5

Posticipat: Pa = Sa ×

M ( x +1) N x − N ( x+m )

= Sa ×

M 51 2.368 = 10.000 × = 429 lei N 50 − N 60 97.673,5 − 42.455,5

3. Asigurarea pe termen limitat de 15 ani: Anticipat: Pa = Sa ×

M x − M ( x+n ) N x − N ( x+m )

a) m = n = 15 Pa = Sa ×

M 50 − M 65 2.416 − 1.519 = 10.000 × = 124 lei N 50 − N 65 97.673,5 − 25.429,7

b) m = 10 ; n = 15 Pa = Sa ×

M 50 − M 65 2.416 − 1.519 = 10.000 × = 162 lei N 50 − N 60 97.673,5 − 42.455,5

Posticipat: Pa = Sa ×

M ( x +1) − M ( x + n +1) N x − N ( x+m )

a) m = n = 15 Pa = Sa ×

M 51 − M 66 2.368 − 1.441 = 10.000 × = 128 lei N 50 − N 65 97.673,5 − 25.429,7

b) m = 10 ; n = 15 Pa = Sa ×

M 51 − M 66 2.368 − 1.441 = 10.000 × = 168 lei N 50 − N 60 97.673,5 − 42.455,5

Asiguratul alege ca fiind cea mai avantajoasă varianta 3b ţinând cont de suma de bani pe care o plăteşte şi perioada pe care plăteşte această sumă. 1. PaT = 247 x 15 = 3.705 lei 2. PaT = 438 x 10 = 4.380 lei => dintre 1 şi 2 rămâne varianta 1. 3.a. PaT = 124 x 15 = 1.860 lei

13

=> dintre 1 şi 3.a rămâne varianta 3.a. 3.b. PaT = 162 x 10 = 1.620 lei => dintre 3.a şi 3.b. rămâne varianta 3.b. Seminar 5 – 24 martie

3. ASIGURĂRI MIXTE DE VIAŢĂ Aplicaţia 1 O persoană în vârstă de 55 ani încheie o asigurare mixtă de viaţă pentru o perioadă de 10 ani şi suma asigurată de 50.000 lei. Se cere să se determine anticipat şi posticipat prima netă unică şi prima anuală ştiind că la prima anuală: a) m = n = 10 ani; b) m ≠ n ; m = 5 ani. a) m = n = 10 ani Prima netă unică: Anticipat: Pn = Sa ×

D( x + n ) + M ( x ) − M ( x + n ) D( x )

= 50.000 ×

= Sa ×

D65 + M 55 − M 65 = D55

2.729,40 + 2.157 − 1.519 = 31.754lei 5.302,30

Posticipat: Pn = Sa ×

D( x + n+1) + M ( x +1) − M ( x + n+1) D( x )

= 50.000 ×

= Sa ×

D66 + M 56 − M 66 = D55

2.521,30 + 2.101 − 1.441 = 29.999lei 5.302,30

Prima anuală: Anticipat: Pa = Sa ×

D( x + n ) + M ( x ) − M ( x + n )

= 50.000 ×

N ( x ) − N ( x+m )

= Sa ×

D65 + M 55 − M 65 = N 55 − N 65

2.729,40 + 2.157 − 1.519 = 3.954lei 68.101,50 − 25.429,70 14

Posticipat: Pa = Sa ×

D( x + n +1) + M ( x +1) − M ( x + n+1) N ( x ) − N ( x+m )

= 50.000 ×

= Sa ×

D66 + M 56 − M 66 = N 55 − N 65

2.521,30 + 2.101 − 1.441 = 3.736lei 68.010,50 − 25.429,70

b) m ≠ n ; m = 5 ani. Prima netă unică este la fel ca şi în cazul m = n = 10 ani Prima anuală: Anticipat: Pa = Sa ×

D( x + n ) + M ( x ) − M ( x + n ) N ( x ) − N ( x+m )

= 50.000 ×

= Sa ×

D65 + M 55 − M 65 = N 55 − N 60

2.729,40 + 2.157 − 1.519 = 6.589lei 68.101,50 − 42.455,5

Posticipat: Pa = Sa ×

D( x + n +1) + M ( x +1) − M ( x + n+1)

= 50.000 ×

N ( x ) − N ( x+m )

= Sa ×

D66 + M 56 − M 66 = N 55 − N 60

2.521,30 + 2.101 − 1.441 = 6.224lei 68.010,50 − 42.455,5 REZERVA MATEMATICĂ LA ASIGURĂRILE DE VIAŢĂ

Să se determine rezerva matematică teoretică de prime la o asigurare de supravieţuire cu plata forfetară a sumei asigurate de 100.000 lei asigurare încheiată de o persoană de 30 ani la momentul contractării poliţei pentru o perioadă de 10 ani la sfârşitul anului IV al derulării contractului de asigurare. 1. Metoda prospectivă: Rt = Sa× ( n−t ) E( x +t ) − Pa ×

( n −t ) ∂ ( x + t )

E, ∂ -anuităţi

15

Rt = Sa ×

Rt = Sa ×

R 4 = Sa ×

D( x + n )

− Sa ×

D( x +t ) D( x + n ) D( x +t ) D40 D34

D( x +n ) N ( x ) − N ( x+m )

 N ( x +t ) − N ( x + n ) × 1 −  N ( x ) − N ( x +m ) 

 N − N 40 × 1 − 34  N 30 − N 40

×

N ( x +t ) − N ( x + n ) D( x +t )

   

 12.053  280.885 − 193.869   = 100.000 × × 1 −  = 33.906 lei 16.427  355.641 − 193.869  

2.Metoda retrospectivă: Rt =

Pa × t ∂ x t Ex Sa ×

Rt =

D( x + n )

×

N ( x ) − N ( x +m ) D( x +t )

N ( x ) − N ( x +t ) D( x )

Dx Rt = Sa × R 4 = Sa ×

D( x + n ) D( x +t )

×

N ( x ) − N ( x +t ) N ( x ) − N ( x+m )

D40 N 30 − N 34 12.053 355.641 − 280.885 × = 100.000 × × = 33.906 lei D34 N 30 − N 40 16.427 355.641 − 193.869

Aplicaţia 2 X = 32 ani Sa = 250.000 lei n = 8 ani t = 5 ani 1. Metoda prospectivă:  N ( x +t ) − N ( x + n ) × 1 − D( x +t )  N ( x ) − N ( x +m )  N − N 40  D  R5 = Sa × 40 × 1 − 37 D37  N 32 − N 40  Rt = Sa ×

D( x + n )

R5 = 250.000 ×

   

12.053  234.023 − 193.869  × 1 −  = 143.826lei 14.083  316.363 − 193.869 

16

2.Metoda retrospectivă: Rt = Sa × R 4 = Sa ×

D( x + n ) D( x +t )

×

N ( x ) − N ( x +t ) N ( x ) − N ( x+m )

D40 N 32 − N 37 12.053 316.363 − 234.023 × = 250.000 × × = 143.826 lei D37 N 32 − N 40 14.083 316.363 − 193.869

Seminar 6 – 31 martie

DETERMINAREA PRIMELOR DE ASIGURARE ŞI A DESPĂGUBIRII LA ASIGURĂRILE DE BUNURI 1. ASIGURĂRILE DE ANIMALE Aplicaţie O persoană încheie o asigurare facultativă pentru animalele de gospodărie astfel:  2 vaci de rasă: - una de 8 luni la Sa 1.000 lei; - una de 3 ani la Sa 2.000 lei;  3 porci de peste 6 luni: Sa 700 lei fiecare;  2 cai peste 2 ani: Sa 1.950 lei fiecare;  10 oi de peste 1 an: Sa 160 lei fiecare. Presupunem că au avut loc următoarele evenimente: a) La 6 zile de la încheierea asigurării şi plata primei, o vacă de 3 ani se accidentează fiind necesară sacrificarea ei. Din cauza eviscerării necorespunzătoare carnea a devenit improprie consumului. Greutatea totală era de 420 kg, valoarea declarată 2.225 lei iar pielea a rămas asiguratului la suma de 65 lei. Carnea a fost confiscată de abator la preţul de 4 lei/kg. La data producerii evenimentului în gospodărie mai erau şi 2 viţei de rasă de 4 luni. b) La 2 luni de la încheierea asigurării 2 porci s-au îmbolnăvit de pestă porcină, veterinarul dispunând sacrificarea lor urgentă fără recuperări. Valoarea declarată în procesul verbal era de 800 de lei pentru fiecare porc. c) La 5 luni de la încheierea asigurării se accidentează o oaie fiind necesară sacrificarea ei urgentă. Din procesul verbal rezultă:  greutatea brută: 42 kg;  valoarea declarată: 200 lei. Asiguratului i-au rămas: 17

 pielea: 5 lei;  carnea: 5 lei/kg;  lână: 2,5 kg la 2,5 lei/kg. Se menţionează că la data producerii evenimentului asigurat în afara oii sacrificate mai erau 12 oi. Să se determine: 1. Primele de asigurare plătite, ştiind că:  cota tarifară este 8 % la bovine şi ovine;  cota tarifară este 15 % la cabaline şi porcine. 2. Despăgubirile cuvenite după fiecare eveniment ştiind că randamentul minimal la tăiere este 0,49 la bovine de peste 2 ani şi 0,39 la ovine.

Rezolvare: 1. Prime de asigurare: Pa = Sa x Ct ; Vaci:

Ct – cota tarifară

Pa = 1.000 x 8 % + 2.000 x 8 % = 240 lei

Porci: Pa = 700 x 3 x 15 % = 315 lei Cai:

Pa = 1.950 x 2 x 15 % = 585 lei

Oi:

Pa = 160 x 10 x 8 % = 128 lei

PaT = 240 + 315 + 585 + 128 = 1.268 lei PaT – prima anuală totală 2. Despăgubiri:

a) pagubă cu recuperări => în această situaţie se aplică sistemul despăgubirii proporţionale Sa < valoarea reală Dp = Pg ×

Sa 2.000 = 1.336,8 × = 1.201,62 lei Vr 2.225

Pg = Vr – Rec unde: Dp – despăgubiri; Pg – pagubă; Vr – valoarea reală; Rec – recuperări. Rec = Rec carne + Rec piele = 823,2 + 65 = 888,2 Rec carne = Gb x η x Pvz = 420 x 0,49 x 4 = 823,2 lei unde: Gb – greutatea brută;

18

η – randamentul minimal la tăiere; Pvz – preţ de vânzare Pg = 2.225 – 888,2 = 1.336,8 lei. b) pagubă fără recuperări => în această situaţie în calculul despăgubirilor se aplică sistemul primului risc , adică despăgubirea = paguba Sa < Vr Dp = Pg ≤ Sa ≤ Vr Pg = Vr = 800 x 2 = 1.600 lei

=>Dp = Sa = 1.400 lei

Sa = 700 x 2 = 1.400 lei

c) Dp = Pg ×

Sa Vr

Pg = Vr – Rec = 200 – 93,15 = 106,85 lei Recuperări = piele + carne + lână = 5 + 81,9 + 2,5 x 2,5 = 93,15 lei Rec carne = Gb x η x Pvz = 42 x 0,39 x 5 = 81,9 lei În situaţia în care în gospodărie există mai multe animale de aceeaşi categorie şi vârstă decât cele asigurate în calculul despăgubirii se aplică regula proporţiei de număr. nr _ animale _ asigurate Sar = Sa × nr _ total _ animale _ aceeasi _ categorie _ si _ var sta Sar – suma asigurării redusă (recalculată) Sar = 160 × Dp = Pg ×

10 = 123,08 lei 13

Sar 123,08 = 106,85 × = 65,76 lei Vr 200

De ştiut din curs:  vârstele pentru cuprindere în asigurare;  momentul în care începe râspunderea societăţii de asigurare;  situaţiile în care societatea de asigurare refuză plata despăgubirii.

19

2. ASIGURĂRILE DE CULTURI AGRICOLE Pa = Sat x CT Sat – se obţine înmulţind Sa pe o unitate de măsură cu nr de kg, ha sau o altă unitate de măsură. Despăgubirea: În calculul despăgubirii există 2 situaţii: 1. Când terenul se reînsămânţează formula este: Dp = sup rafata _ distrusa × Sa ha × Gdra × Cr ≤ în limita suprafeţei asigurate 2. Dacă terenul nu se reînsămânţează: Dp = sup rafata _ distrusa × Sa ha × Gdra unde: Cr – cotă de reînsămânţare; Gdra – grad de distrugere din riscuri asigurate; Sat – suma asigurată totală; CT – cota tarifară. Pentru calculul Gdra avem 2 posibilităţi: 1. Gdra =

nr _ plante _ distruse _ din _ riscuri _ asigurate × 100 nr _ total _ de _ plante s-au o altă unitate de măsură: kg, buc

2. Gdra = Gdt – Gdrna Gdt =

Pg × 100 Q

Pg = Q − Qef Gdrna =

nr _ de _ plante _ distruse _ din _ riscuri _ neasigurate × 100 nr _ total _ de _ plante _ ( kg , buc, etc )

20

unde: Qef – cantitate efectiv obţinută; Q – cantitatea medie pentru care s-a încheiat asigurarea; Pg – paguba; Gdrna – grad de distrugere din riscuri neasigurate; Gdt – gradul de distrugere total. Aplicaţia 1 I. O cultură de grâu aparţinând unei societăţi din Mureş a fost distrusă parţial de grindină pe o suprafaţă de 1,8 ha. La constatare s-a stabilit că pe terenul distrus a existat un număr mediu de plante de 340 plante/ m 2 din care 200 de plante au fost distruse de grindină, iar restul au rămas neatinse. Pe un teren cu o cultură asemănătoare nedistrusă de nici o cauză există un număr mediu de 420 plante/ m 2 , diferenţa de 80 plante/ m 2 se datorează îngheţului din timpul iernii (risc neasigurat). Ulterior din cauza secetei prelungite din cursul perioadei de vegetaţie cultura a fost compromisă total, reînămânţându-se terenul. Să se stabilească: 1. Pa plătită ştiind că Ct = 7,5%, Sas = 1,8 ha , Sa = 2.100 lei/ha. 2. Despăgubirea încasată ştiind că Cr = 30 %. 3. Precizaţi despăgubirea în situaţia în care suprafaţa distrusă a fost de 2,8 ha. Rezolvare:

1. Pa = Sat x Ct Sat = Suprafaţa asigurată x Sa/ha = 1,8 ha x 2.100 lei/ha = 3.780 lei Pa = 3.780 x 7,5 % = 283,5 lei Pa – se poate plăti într-o singură tranşă sau în cote astfel: a) dacă asigurarea se încheie în anul anterior pentru anul curent cotele vor fi: RI = 50% × Pa = 141,25 - se plăteşte în momentul încheierii asigurării RII = 30% × Pa = 85,05 - se plăteşte până la 15 februarie anul curent RIII = 20% × Pa = 56,3 - se plăteşte până la 15 martie anul curent b) dacă asigurarea se încheie în anul în curs pentru acelaşi an, cotele vor fi: RI = 50% × Pa = 141,75 - se plăteşte în momentul încheierii asigurării RII = 30% × Pa = 85,05 - se plăteşte în termen de o lună de la încheierea asigurării RIII = 20% × Pa = 56,3 - se plăteşte în termen de 2 luni de la încheierea asigurării cu termen de păsuire de o lună însă cu condiţia să nu intre în perioada de rezultat

2. Dp = suprafaţa distrusă x Sa/ha x Gdra x Cr 21

în limita suprafeţei asigurate nr _ plante _ distruse _ din _ riscuri _ asigurate × 100 nr _ total _ de _ plante 200 Gdra = × 100 = 47,61% 420 Gdra =

Dp = 1,8 ha x 2.100 lei/ha x 47,61 % x 30 % = 539,89 lei

3. Dp = 1,8 ha x 2.100 lei/ha x 47,61 % x 30 % = 539,89 lei Despăgubirea este aceeaşi ca şi la punctul 2 deoarece nu se depăşeşte o suprafaţă mai mare decât cea asigurată.

Aplicaţia 2 O vie altoită cu producţie de struguri de vin aparţinând unei societăţi agricole din Constanţa a fost distrusă de grindină pe o suprafaţă de 25 ha. Pe suprafaţa distrusă se găsesc intercalaţii între butucii de viţă altoită şi cei de viţă hibridă. Prin metoda rândurilor de probă 10 probe a câte 5 m s-a stabilit că din 2.660 butuci de vie/ha sunt pe rod 2.400 butuci din care 2.050 butuci viţă altoită şi 350 butuci de viţă hibridă. La constatarea definitivă prin evaluare în teren s-a stabilit că via a fost atacată şi de putregaiul cenuşiu al strugurilor în proporţie de 12 % (risc neasigurat). Producţia medie este: - 1.200 grame/butuc de viţă altoită; - 500 grame/ butuc de viţă hibridă. Producţia medie estimată la hectar pentru care s-a încheiat asigurarea este de 5.000 kg. Să se stabilească: 1. Pa ştiind că Sasig = 30 ha, Ct = 9,5 %; 2. Gdra; 3. Despăgubirea cuvenită. Sa/ha = 5.000 lei/ha Rezolvare:

1. Pa = Sat x Ct Sat = suprafaţa asigurată x Sa/ha = 30 ha x 5.000 lei/ha = 150.000 lei 22

Pa = 150.00 x 9,5 % = 14.250 lei - se plăteşte la fel ca şi la problema 1

2. Gdra = Gdt – Gdrna Gdt =

Pg × 100 Q

Pg = Q − Qef = 5.000 − (1,2kq × 2.050 + 0,5 × 350) = 5.000 − (2.460 + 175) = 2365kg / ha 2.365 × 100 = 47,3% 5.000 Gdra = 47,3 % - 12 % = 35,3 % Gdt =

3. Dp = suprafaţa distrusă x Sa/ha x Gdra ≤ suma asigurată Dp = 25 ha x 5.000 lei/ha x 35,3 % = 125.000 x 35,3 % = 44.125 lei De ştiut din carte la asigurările agricole:  Riscurile care se asigură;  Riscurile care nu se asigură;  Situaţiile în care societatea de asigurare nu plăteşte despăgubirea şi momentul în care începe răspunderea societăţii de asigurare. Seminar 8 – 14 aprilie

ASIGURĂRI DE CLĂDIRI, CONSTRUCŢII Aplicaţia 1 O persoană încheie o asigurare facultativă pentru clădirile şi construcţiile din gospodărie astfel:  Casa: L = 15 m, l = 10 m, utilă 142,5 m 2 la valoarea declarată de 50.000 lei;  Magazia: suprafaţă construită de 36 m 2 , suprafaţă utilă 32,5 m 2 la valoarea declarată de 5.000 lei;  Grajdul şi şura pentru animale cu o suprafaţă construită de 102 m 2 , suprafaţa utilă 98,5 m 2 , valoare 12.500 lei . Presupunem că în cursul anului au avut loc următoarele evenimente: 1. Luna Februarie:

23

Ca urmare a furtunii şi a greutăţii stratului de zăpadă s-a distrus în întregime acoperişul la grajd şi şură. Din procesul verbal rezultă următoarele pagube: învelitoare de ţiglă distrusă pe o suprafaţă de 85 m 2 şi şarpanta distrusă pe o suprafaţă de 60 m 2 . Recuperări:  900 buc ţiglă la preţul de 1,7 lei/buc;  0,55 m 3 lemn cioplit de la şarpantă la preţul de 125 lei/ m 2 ;  275 kg deşeuri lemn foc la preţul de 0,25 lei/kg. Preţurile din devizul de reparaţii sunt:  66,5 lei/ m 2 pentru refacerea învelitorii din ţiglă;  37,5 lei/ m 2 pentru refacerea şarpantei;  coeficientul valorii rămase (Cvr) stabilit în funcţie de vechime şi starea de întreţinere a construcţiei este de 0,8 (uzura de 0,2 sau 20%) 2. Luna Mai: În urma unei ploi torenţiale s-au produs infiltraţii de apă prin acoperiş la casă afectând planşeul şi pereţii interiori. Reparaţiile necesare sunt:  tencuiele interioare: 60 m 2 , 15,3 lei/ m 2 ;  zugrăveli interioare: 85 m 2 , 28,6 lei/ m 2 . Cvr = 0,9%. 3. Luna Iulie: Ca urmare a unei alunecări de teren magazia a fost distrusă în întregime. Din procesul verbal rezultă următoarele recuperări:  1.500 buc cărămidă la preţ de 1,5 lei/buc;  500 buc ţiglă la preţ de 1,85 lei/buc;  200 kg deşeuri lemn de foc la preţ de 0,25 lei/kg. S-au făcut cheltuieli de demontare şi recondiţionare în valoare de 115,7 lei. Cvr – 0,9. 4. Luna August: După o furtună cu descărcări electrice şura ia foc şi arde în întregime. În procesul verbal se consemnează că nu s-au făcut recuperări. Şura avea o suprafaţă construită de 40 m 2 , suprafaţă utilă 36,5 m 2 . Cvr - 0,8. Să se determine: a) Primele de asigurare achitate ştiind că s-a reînnoit contractul de asigurare pentru al 3-lea an consecutiv la casă, grajd şi şură aducând în plus în anul curent magazia, iar în cei 2 ani anteriori consecutivi de asigurare nu s-au produs daune şi nu li s-au plătit despăgubiri. b) Despăgubirile cuvenite pentru fiecare eveniment ce a avut loc. Notă: - valoarea din nou unitară pe m 2 este : - casă: 772,5 lei/ m 2 ;

24

- restul 135,7 lei/ m 2 . Cota tarifară pentru clădiri şi construcţii din mediul rural este de 0,8 %.

Rezolvare:

a.) Pa = Sa x Ct Sa – minim dintre valoarea reală şi valoarea declarată. Vr = Vnv/ m 2 x Su x Cvr Casă: Vr = 772,5 x 142,5 x 0,9 = 99.073,125

=> Sa = 50.000

Valoarea declarată = 50.000 Magazia: Vr = 135,7 x 32,5 m 2 x 0,9 = 3.969,225 lei

=> Sa = 3.969,225

Valoarea declarată = 5.000 Grajd şi şură: Vr = 135,7 x 98,5 m 2 x 0,8 = 10.693,16 lei

=> Sa = 10.693,16

Valoarea declarată = 12.500 Vr – valoarea reală Vnv/ m 2 - valoarea din nou unitară pe m 2 Su – suprafaţa uitlă Pa casă = 50.00 x 0,8 % = 400 lei Pa magazie = 3.969,225 x 0,8 = 31,75 lei Pa şură şi grajd = 10.693,16 x 0,8 % = 85,55 lei Deoarece la casă, grajd şi şură este al 3-lea an de asigurare consecutiv fără evenimente va beneficia de o reducere la Pa. Reducerile sau bonificaţiile sunt:  pentru al 2-lea an 10 %  pentru al 3-lea an 25 %  pentru al 4-lea an 30% PaT= 31,75 + (400+85,55) x 25 % = 395,91 lei.

b.) Daune

25

b.1.) Daună parţială cu recuperări: Dp = Pg ≤ Sa Pg = V rep – Rec Vrep = 85 m 2 x 66,5 lei/ m 2 + 60 m 2 x 37,5 lei/ m 2 = 7.902,5 lei Recuperări grajd şi şură: (900 x 1,2 + 0,55 x 125) x Cvr (x 0,8) x 275 x 0,25 = 1.347,75 Pg = Rep – Rec = 7.902,5 – 1.342,75 = 6554,7 lei Dp = 6.554,7 lei Sarămasă = Sa – Dp = 10.693,16 – 6.554,75 = 4.138,41 lei b.2.) Daunăţială fără recuperări: Dp = Pg ≤ Sa Pg = Vrep – Rec (0) = 60 m 2 x 15,3 + 85 m 2 x 28,6 lei = 3.349 lei. Dp = 3.349 lei Sa rămasă = Sa – Dp = 50.000 – 3.349 = 46.651 lei b.3.) Dauna totală cu recuperări: Dp = Pg Pg = Vmea – Rec + cheltuieli de recuperare Vmea – valoarea din momentul producerii evenimentului asigurat Pg = 3.969,225 – 2.907,5 + 115,7 = 1.177,425 Recuperări: 1.500 x 1,5 + 500 x 1,85 (x 0,9) + 200 x 0,25 = = 2.250 + 925 x 0,9 + 50 = 2.907,5 lei Dp = 1.177,425 b.4.) daună totală fără recuperări: Dp = Pg Pg = Valoarea reală Dp =36,5 x Vum x Cvr = 36,5 x 0,8 x 135,7 = 3.962,44 lei Sar2 = Sar 1 – Dp = 4.138,41 – 3.962,44 = 125,97 lei

26