As Filas De Espera

INTRODUÇÃO 

FILAS DE ESPERA



wating line models 

As filas de espera ocorrem porque as pessoas, as peças e as avarias chegam aos servidores a um ritmo superior aquele que são servidos/resolvidos; As filas de espera tornam-se uma questão critica devido ao aumento da satisfação dos clientes, aumento da qualidade dos serviços e da competição entre empresas; As Filas de Espera são analisadas através da aplicação de conceitos matemáticos a que normalmente se designa por Teoria das Filas de Espera.

João Paulo Pinto Comunidade Lean ThinkingJoão Paulo Pinto, Engenharia e Gestão Industrial ©

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

ANÁLISE DA FILA DE ESPERA

ELEMENTOS DE UMA FILA DE ESPERA   

Utilizadores (chegada), ex. equipamentos avariados; Servidores, ex. equipa de Manutenção; A fila de espera.

Potenciais utilizadores

Chegada

Servidor

Fila de espera

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

2

de 28

3

de 28



Taxa de Chegada ou Taxa de Avarias – é a frequência com que as avarias (ocorrências, chegadas) acontecem num dado período de tempo. A taxa de falhas é modelada por uma determinada distribuição probabilística. Através de alguns anos de investigação concluiu-se que a distribuição que melhor representa a taxa de falhas é a Distribuição de Poisson. A taxa de falhas é representada por  (falhas por unidade de tempo).



Taxa de Serviço – taxa de satisfação, mede-se através do tempo necessário para satisfazer uma dada ocorrência. O tempo de serviço é geralmente descrito pelo Distribuição Exponencial Negativa. A taxa de serviço é expressa através de  (reparações por unidade de tempo).

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

4

de 28

ESTRUTURAS TÍPICAS

ESTRUTURAS TÍPICAS Service

Avarias

Facility

Em

2

Fila Tipo 1 Service Facility

FILA

Serviço

Uma fila para um servidor

Avarias

3

1

Fila

Tipo 2 Service Facility

Avarias Em

Serviço

Uma fila para um servidor de múltiplas fases de 28

ESTRUTURAS TÍPICAS Type 1 Service Facility 1

Em serviço

Equipa 2

Em serviço

Equipa 3

Em serviço

Uma fila para multíplos servidores 5

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

Equipa 1

6

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

de 28

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

de 28

4 Type 2 Service Facility 1 Em Serviço

Avarias

Após Intervenção Type 1 Service Facility 2

Type 2 Service Facility 2

Multiplos servidores com multiplas fases João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

7

de 28

8

UM SERVIDOR PARA UMA FILA

UM SERVIDOR PARA UMA FILA



Algumas limitações/condições a ter em conta:  As ocorrências são atendidas de acordo com a ordem de chegada, ie FIFO (first in, first out);  Cada equipamento imobilizado tem de esperar até ser atendido;  As ocorrências são independentes das chegas anteriores e a taxa de falhas é constante.

P ( X )  (e – – – – 9

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

As ocorrências são descritas pela Distribuição de Poisson e resultam de uma população infinita;

de 28

UM SERVIDOR PARA UMA FILA



X ) / X !

onde P(X) = probabilidade de X ocorrências X = número de ocorrências por unidade de tempo;  = taxa de falas e = base do logaritmo natural (2.71828) 10

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

de 28

UM SERVIDOR PARA UMA FILA

Probability=P(X)=(e- X)/X!

Probabilidade

Probabilidade

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

1

2

3

4

=2 João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

5

6

7

8

9

0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0

1

X

2

3

4

=4 11

de 28

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

5

6

7

8

9

X 12

de 28

UM SERVIDOR PARA UMA FILA

UM SERVIDOR PARA UMA FILA 





Os tempos de Serviço podem variar de servidor para servidor, e são independentes, a taxa de serviço é designada por  . A taxa de serviço ocorre de acordo com a distribuição exponencial negativa P(T)

P (T )  e   T

for



T 0



– onde P(T) = probabilidade do serviço demorar mais que T unidades de tempo.



A taxa de serviço tem de ser superior à taxa de falhas, caso contrário teremos uma fila infinita! A teoria das filas de espera não dá resposta à seguinte questão: “qual o número mínimo de servidores necessários de modo que a fila não se forme nem os servidores estejam desocupados?” Em vez disso, gera “características operacionais” Ls – Número médio de equipamentos imobilizados (na fila e em reparação). Lq - Número médio de equipamentos na fila (queue length).

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

13

de 28

    

Ws – Tempo médio de imobilização; Wq – Tempo médio na fila de espera; Pn – Probabilidade de encontrar n equipamentos no sistema num dado período de tempo; P0 – Probabilidade de encontrarmos o serviço de manutenção desocupado.

14

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

de 28

O número médio de equipamento no sistema é dado por:

L 



 



2 32

O tempo médio (por equipamento) passado no sistema é dado por:

W 

1 1    32

Um exemplo: 

– A Empresa X consegue reparar 3 equipamentos a uma taxa de 3 por hora. A ocorrências de solicitações para este tipo de serviço é de 2 por hora.

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

O número médio de equipamento na fila de espera é dado por:

2 22 Lq    (   ) 3(3  2)

15

de 28

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

16

de 28



RELAÇÃO ENTRE A DIMENSÃO DA FILA E O FACTOR DE UTILIZAÇÃO 

O tempo médio de permanência na fila é:

2  Wq    (   ) 3(3  2)

0,90 0,80 Tempo de espera (Wq); horas



1,00

O factor de utilização (ocupação) é dado por:

   

0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 7%

13%

20%

27%

33%

40%

47%

53%

60%

67%

73%

80%

87%

93%

Factor de utilização

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

17

de 28

MULTÍPLOS SERVIDORES PARA UMA FILA Vamos utilizar os dados do exemplo anterior e considerar a abertura de mais um canal servidor (ex. uma nova equipa de reparação). Vamos admitir que o segundo canal de serviço exibe a mesma taxa de reparação (3/hora) e a taxa de chegada mantém inalterada (2 avarias/hora).

O número de equipamentos imobilizados (L) pode ser dado por: M             P   L 2  (M  1)!(M   )  0     



João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

de 28

MULTÍPLOS SERVIDORES PARA UMA FILA 



18

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

19

de 28

Onde M é o número de servidores e Po a probabilidade de não haver nenhum equipamento imobilizado.

P0  João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

1

P

20

de 28

Para M   

 M  1 1    n  1    M M P          n !  M !       M    n 0



Por exemplo, admitindo M = 2, teremos:

 1 1  2 n  1  2 2 23 2 P           ! 3 2 ! 3 ( 2  3 )  2 n     0 n    logo:

MULTÍPLOS SERVIDORES PARA UMA FILA

P0 

Finalmente temos L:

Tempo médio de imobilização:



Nº médio de equipamentos na fila:

1 1   0.5 P 2

2   2  2  3   2 3   0.5   0.75 L 2 3  (1)!((2  3)  2)      João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©



Tempo médio de espera: = 2.5 minutes

21

de 28

Lq  L 

Wq 

 

Lq  22

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

de 28

Efeitos no Nível de Serviço Características Operacionais

A informação obtida até agora é sumariada na tabela que se segue e comparada com uma equipa (apenas) de manutenção mais eficiente (capaz de efectuar 4 reparações por hora).

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

L 

= 0.083

MULTÍPLOS SERVIDORES PARA UMA FILA 

W 

= 22.5 minutes

23

de 28

Características Operacionais

Uma equipa de Manutenção

2 equipas de Manutenção

Uma equipa mais eficiente

P0

0.33

0.5

0.5

L

2 cars

0.75 cars

1 car

W

60 minutes

22.5 minutes

30 minutes

Lq

1.33 cars

0.083 cars

0.5 cars

Wq

40 minutes

2.5 minutes

15 minutes

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

24

de 28

COMENTÁRIO 



A melhoria do serviço prestado resultante da abertura do 2º canal teve um efeito significativo em todas as características operacionais. Em particular, no tempo de espera que diminuiu de 40 minutos com 1 equipa para (ou de 15 minutos com 1 equipa mais eficiente) para apenas 2.5 minutos com 2 equipas. Da mesma forma, o número de equipamentos na fila cai para 0.083. Contudo, este resultado não implica que uma segunda equipa de manutenção deva ser activada.

Valores de Lq para múltiplos servidores. Nota: para utilizar esta tabela o valor de entrada do factor de utilização é obtido considerando apenas um servidor (s=1).

Uma analise económica deve ser levada a cabo para estudar as diversas alternativas.

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

25

de 28

Exemplo #1 O serviço de Manutenção tem um técnico a tempo inteiro. Os pedidos chegam a este serviço com uma taxa média de 2.4 por hora. A taxa de serviço deste técnico é de 3.0 pacientes por hora (20 minutos por paciente). Para estes dados pretende-se conhecer o seguinte: – Qual o factor de utilização do técnico? – Qual o tempo médio de espera de pedido? – Se a empresa optar por aumentar o número de técnicos para dois em cada turno, qual será a ocupação de cada? – Considerando ainda os dois técnicos em cada turno, qual o tempo médio de espera de cada pedido? – Considere-se agora uma outra situação: um técnico apoiado por um ajudante (formando um só servidor mas com duas fases) de tal forma que a taxa de atendimento passa a ser 6 por hora. Qual o tempo médio de espera nesta situação? – Dado que as taxas de serviço e de reparação são equivalentes nas alíneas d e e, como se explica que os tempos de espera sejam diferentes? João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

27

de 28

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

26

de 28

Exemplo #2 Uma instituição bancária pretende definir o horário de atendimento dos seus funcionários ao balcão. A chegada de clientes à instituição não é constante ao longo do dia, ver quadro abaixo.

Regra geral, quando um cliente tem de esperar mais de cinco minutos para ser atendido este reclama com os funcionários de atendimento (e em alguns casos isso pode representar perda do cliente). Para evitar este tipo de reclamações pretende-se definir o horário de trabalho de quatro funcionários de balcão, supondo que cada funcionário precisa, em média, de cinco minutos para atender um cliente.

João Paulo Pinto, COMUNIDADE LEAN THINKING ©

28

de 28