Arusbolakbalik

Arus Bolak-Balik Arus bolak balik dihasilkan oleh generator yang menghasilkan tegangan bolak-balik dan biasanya dalam bentuk fungsi sinusoida (sinus atau cosinus). Tegangan dan arus bolak balik dapat dinyatakan dalam bentuk

V (t ) =Vm cos(ωt ) atau V (t ) =Vm sin ωt +

π



I (t ) = I m cos(ωt ) atau I (t ) = I m sin ωt + 

 2

π  2

Rangkaian R Perhatikan rangkaian AC dengan sebuah hambatan (R), rangkaian ini dinamakan rangkaian resistif. Misalkan Artinya

V(t)

R

VR(t)

V (t ) =Vm cos(ωt ) VR (t ) =V (t ) =VRm cos(ωt ) =Vm cos(ωt )

Dengan menggunakan aturan Kirchhoff, arus pada rangkaian adalah

V (t ) − IR = 0 →

I (t ) =

V (t ) VRm cos(ωt ) = R R CK-FI112.08-1

I R (t ) = I Rm cos(ωt )

atau

Arus dan tegangan pada resistor mempunyai fasa yang sama (sefasa)

IRm = VRm/R

Kaitan antara arus maksimum adalah

maksimum

I Rm =

dengan

tegangan

VRm R

Grafik VR(t) dan IR(t) V(t) I(t) t

Rangkaian L Perhatikan rangkaian AC dengan komponen induktor (L), rangkaian ini dinamakan rangkaian induktif. Misalkan Maka

V(t)

L

VL(t)

V (t ) =Vm cos(ωt ) VL (t ) =VLm cos(ωt ) =Vm cos(ωt ) CK-FI112.08-2

Dengan menggunakan aturan Kirchhoff

V (t ) − L

V (t ) dI = 0 → dI = dt dt L

Bila diintegralkan akan diperoleh

I (t ) =

VLm VLm cos ( ω t ) dt = sin(ωt ) L ∫ ωL

I L (t ) =

Arus dan tegangan mempunyai beda fasa sebesar π/2 (tegangan mendahului arus)

VLm π sin(ωt ) = I Lm sin(ωt ) = I Lm cos ωt −  2 ωL  ILm = VLm/ωL

Besaran ωL dinamakan reaktansi induktif (XL) yang menyatakan resistansi efektif pada rangkaian induktif.

X L = ωL Jadi

I Lm =

VLm XL

Grafik VL(t) dan IL(t) pada induktor VL(t) I(t)

CK-FI112.08-3

Rangkaian C Perhatikan rangkaian AC dengan komponen kapasitor (C), rangkaian ini dinamakan rangkaian kapasitif.

V(t)

Misalkan

V (t ) =Vm cos(ωt )

Maka

VC (t ) =VCm cos(ωt ) = Vm cos(ωt )

C

VC(t)

Dengan menggunakan aturan Kirchhoff

V (t ) −

I (t ) =

Q = 0 → Q = CV (t ) = CVm cos(ωt ) C

dQ d = (CVm cos(ωt )) = −ωCVm sin(ωt ) dt dt

I C (t ) = −ωCVCm sin(ωt ) = −I Cm sin(ωt ) = I Cm cos ωt + 

ICm = ωCVCm

Besaran

1

ωC

π  2

Arus dan tegangan mempunyai beda fasa sebesar π/2 (arus mendahului tegangan)

dinamakan reaktansi kapasitif (XC) yang

menyatakan resistansi efektif pada rangkaian kapasitif.

XC =

1

ωC CK-FI112.08-4

Jadi

I Cm =

VCm XC

Grafik VC(t) dan IC(t) VC(t) I(t)

Rangkaian RLC seri Perhatikan rangkaian AC yang terdiri dari hambatan (R), induktor (L) dan kapasitor (C) yang tersusun seri

VR(t) R

VL(t) L

VC(t) C

V(t)

Misalkan tegangan sumber adalah V (t ) =Vm cos(ωt ) , sedangkan arus pada rangkaian adalah I (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) , ϕ menyatakan beda fasa antara arus dan tegangan. Karena rangkaian seri, maka arus pada setiap komponen sama dengan arus total, yaitu I (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) . Tegangan pada masing-masing komponen

CK-FI112.08-5

Komp onen

I( t)

R

I (t ) = I m cos(ωt + ϕ )

V(t)

L

VR (t ) =VRm cos(ωt + ϕ ) π I (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) VL (t ) =VLm cos ωt + ϕ + 

C

I (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) VC (t ) =VCm cos ωt + ϕ −



2



Dengan

π  2

VRm = I RmR = I mR VLm = I LmX L = I mX L = I m (ωL ) VCm = I CmX C = I mX C =

Im (ωC )

Sehingga

V (t ) =VR (t ) +VL (t ) +VC (t ) π     R cos(ωt + ϕ ) + ωL cos ωt + ϕ +   2   Vm cos(ωt ) = I m   1   ωt + ϕ − π  + cos     2   ωC  “hambatan efektif” total (Vm/Im) dan beda fasa antara arus dan tegangan (ϕ) sulit ditentukan melalui cara aljabar trigonometri

CK-FI112.08-6

Rangkaian RLC paralel Perhatikan rangkaian AC yang terdiri dari hambatan (R), induktor (L) dan kapasitor (C) yang tersusun paralel

IR(t) V(t)

IL(t)

IC(t)

L

R

C

Misalkan tegangan sumber adalah V (t ) =Vm cos(ωt ) , sedangkan arus pada rangkaian adalah I (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) , ϕ menyatakan beda fasa antara arus dan tegangan. Karena rangkaian paralel, maka tegangan pada setiap komponen sama dengan tegangan sumber, yaitu V (t ) =Vm cos(ωt ) . Arus pada masing-masing komponen Komp onen

V(t)

I(t)

R

V (t ) =Vm cos(ωt )

L

V (t ) =Vm cos(ωt )

I R (t ) = I Rm cos(ωt ) π I L (t ) = I Lm cos ωt + 

C

V (t ) =Vm cos(ωt )



I C (t ) = I Cm cos ωt − 

2

π  2

Dengan

I Rm =

Vm R

I Lm =

Vm V = m X L (ωL )

I Cm =

Vm =Vm (ωC ) XC

CK-FI112.08-7

Sehingga

I (t ) = I R (t ) + I L (t ) + I C (t ) 1 π  1 cos ωt +    cos(ωt ) + R ωL 2   I m cos(ωt + ϕ ) =Vm     ωt − π  C + cos ω     2    “hambatan efektif total” dan beda fasa antara arus dan tegangan sulit ditentukan dengan cara seperti ini

Penggunaan diagram Phasor (Phase vector) Analisa rangkaian AC menggunakan aljabar trigonometri ternyata sulit dilakukan terutama bila rangkaiannya tidak sederhana. Dengan menggunakan diagram phasor, beberapa kesulitan aljabar diselesaikan dengan bantuan gambar (geometri). Suatu phasor adalah seperti vektor biasa yang mempunyai besar (panjang) dan arah (sudut terhadap sumbu tertentu). Besaran yang dinyatakan dengan fungsi harmonik (sinus dan cosinus) seperti tegangan dan arus dapat digambarkan sebagai sebuah phasor. CK-FI112.08-8

Misalnya

V (t ) =Vm cos(ωt + ϕ ) dalam notasi phasor →

dinyatakan sebagai V (t ) =Vm∠(ωt + ϕ ) Panjang phasor

Sudut phasor yang menyatakan arah

Bila digambarkan dalam diagram phasor

Vm

(ωt + ϕ) V(t) = Vmcos(ωt + ϕ)

Tinjau kembali rangkaian RLC seri

V (t ) =VR (t ) +VL (t ) +VC (t ) π     R cos(ωt ) + ωL cos ωt + ϕ +   2   Vm cos(ωt ) = I m   1  π cos ωt + ϕ −  +  2   ωC  Bila menggunakan cara phasor

→

→

→

→

V =VR +VL +VC

Vm → ω ϕ V = V ∠ ( t + ) = ∠(ωt + ϕ ) Rm R R → π  Vm  π   ∠ ωt + ϕ +  VL =VLm∠ ωt + ϕ +  = 2  ωL  2   →  ωt + ϕ − π  = ωCV ∠ ωt + ϕ − π  V = V ∠   m  Cm  C 2 2    CK-FI112.08-9

Penggambaran dalam diagram phasor VLm VRm

(ωt + ϕ + π/2)

VLm VRm

(ωt + ϕ)

VCm Vm

(ωt + ϕ − π/2)

VCm

VLm − VCm

δ

VRm

Vm = (VLm −VCm )2 + (VRm )2 = Im

(X L − X C )2 + R 2

V −V  δ = arctan Lm Cm   VRm   X − XC  = arctan L  R  

→

V =Vm∠(ωt + ϕ + δ )

ϕ menyatakan beda fasa antara arus dan tegangan

Dengan demikian

V =Vm cos(ωt ) =Vm cos(ωt + ϕ + δ ) → artinya ϕ = −δ Jadi

Berarti tegangan mendahului arus

V (t ) =Vm cos(ωt ) I (t ) =

Vm R 2 + (X L − X C )2

  X − XC   cos ωt − arctan L   R  

CK-FI112.08-10

R 2 + (X L − X C )2 dinamakan impedansi, yang

Besaran

menyatakan “hambatan efektif total” untuk rangkaian RLC seri, dilambangkan dengan Z.

Z seri = R 2 + (X L − X C )2 Daya
Pada resistor

Daya sesaat P = I 2R = (I Rm cos(ωt ))2 R = (I Rm )2 R cos2 (ωt ) Daya rata-rata dalam satu perioda adalah T

∫ Pdt

P =

0

0

=

T

2π

(IRm ) R ∫ cos2 (ωt )dt 2

 2π    ω 

Dari tabel integral diperoleh hasilnya adalah π

( I Rm )2 R = 2


Pada induktor

Daya sesaat

P = IVL = (I Lm ) sin(ωt )(VLm ) cos ωt = (I LmVLm ) sin(ωt ) cos(ωt ) (I V ) = Lm Lm sin(2ωt ) 2

Daya rata-rata

 I LmVLm 2π   ∫ sin(2ωt )dt 2 0 P = =0 (2π ω ) CK-FI112.08-11


Pada kapasitor

Daya sesaat

P = IVC = (I Cm ) sin(ωt )(VCm ) cos ωt = (I LmVLm ) sin(ωt ) cos(ωt ) (I V ) = Lm Lm sin(2ωt ) 2

Daya rata-rata

 I LmVLm 2π   ∫ sin(2ωt )dt 2 0 P = =0 (2π ω )

Jadi daya didisipasikan hanya pada hambatan saja.

Beberapa contoh
Tentukan beda fasa antara arus dan tegangan serta besar impedansi pada rangkaian RLC paralel.


CK-FI112.08-12