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PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO VIA LMI PARA CONVERSOR CC-CC DA TOPOLOGIA BOOST

Dos S. Magalhães, Caio

ENG730: Tópicos especiais em engenharia elétrica I, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia (UFBA) Rua Professor Aristides Novis, Escola Politécnica da UFBA, Departamento de Engenharia Elétrica, quarto andar, Federação. Resumo Este artigo tem como objetivo reproduzir os resultados de Ollala et al. (2010). Deseja-se projetar um controlador robusto de realimentação de estados para um conversor boost a partir de um algoritmo de otimização convexa com restrições na forma de LMIs. O conversor é modelado de forma que não-linearidades e incertezas estão contidas em um politopo convexo. A partir das LMIs, é possível maximizar a rejeição de perturbações e alocar os polos de malha fechada em uma região de interesse. O controlador obtido é testado no programa PSIM para verificar as especificações de projeto, que são critérios de desempenho no regime transitório e ganho máximo da impedância de saída do conversor. Palavras-chave Conversor boost, controle robusto, síntese ℋ∞, linear matriz inequality, realimentação de estados.

1

Introdução

Conversores chaveados de potência CC-CC são dispositivos que permitem ajustar o nível de tensão contínua de uma fonte para a carga de maneira energeticamente eficiente. Além de baixas perdas, é esperado que o conversor tenha uma saída bem regulada, rejeite perturbações vindas da fonte ou da carga e que possua características transitórias desejáveis (baixo sobressinal e baixo tempo de acomodação, por exemplo). Para alcançar esses objetivos, é necessário projetar um sistema de controle para o dispositivo. Entretanto, devido a não linearidade do conversor CC-CC, a síntese de um controlador não é trivial. Estratégias de controle não linear com garantia de estabilidade foram propostas, mas muitas vezes apresentam transitórios pouco previsíveis e são de difícil implementação. Para resolver esse problema, métodos de controle linear robusto foram desenvolvidos por vários autores de modo a assegurar estabilidade em diferentes pontos de operação do conversor. Dentre eles, a técnica com LMI fornece a vantagem de não necessitar da definição de funções de ponderação e permitir a alocação de polos facilmente a partir de restrições. Por isso, esta estratégia será utilizada neste trabalho para projetar um controlador de realimentação de estados para um conversor de topologia boost. O objetivo deste trabalho é reproduzir os resultados não experimentais do artigo “LMI robust control design for boost PWM converters” (Olalla et al, 2010), focando na síntese do controlador robusto e na simulação no programa PSIM. A sequência deste artigo será similar ao original. A seção 2 será dedicada à modelagem do conversor boost em espaço de estados, de acordo com a formulação da síntese ℋ∞ . A seção 3 irá apresentar as LMIs do problema ℋ∞ e da alocação de polos de malha fechada. Na seção 4 serão definidos os parâmetros de projeto, o

cálculo de controlador robusto e os testes de desempenho do conversor no programa PSIM. Por fim, na seção 5 serão feitas considerações de conclusão do trabalho. 2 Modelagem dinâmica do conversor boost com incertezas A figura 1 mostra um esquemático do conversor boost, sendo 𝑣𝑜 a tensão de saída, 𝑣𝑔 a tensão de linha, e 𝑖𝑙𝑜𝑎𝑑 a perturbação na corrente de carga. A tensão de saída deve ser regulada tendo como referencia a tensão 𝑉𝑟𝑒𝑓 . A carga resistiva é modelada por 𝑅, enquanto o indutor e capacitor do conversor são representados por 𝐿 e 𝐶, respectivamente.

Figura 1. Representação esquemática do conversor boost com acionamento PWM (Olalla et al, 2010)

O acionamento do conversor se dá pelo sinal binário 𝑢𝑏 , produzido a partir de um circuito PWM, cujo período de comutação é 𝑇𝑠 . Como mostra a figura 2, o intervalo de comutação equivale à soma das parcelas 𝑇𝑜𝑛 , na qual 𝑢𝑏 = 1, e 𝑇𝑜𝑓𝑓 , 𝑢𝑏 = 0. A razão cíclica 𝑑𝑑 , definida como 𝑇𝑜𝑛 ⁄(𝑇𝑜𝑛 + 𝑇𝑜𝑓𝑓 ), é o sinal de controle que permite gerar o pulso binário a partir da comparação com uma portadora triangular. A modelagem do conversor é feita assumindo que a variação da razão cíclica ocorre de

maneira muito lenta em relação à frequência de chaveamento.

2

1⁄(𝐷𝑑′ 𝑅). Assim, é possível definir um vetor de incertezas 𝒑 = (𝑅, 𝐷𝑑′ , 𝛿, 𝛽) de modo que o sistema pode ser reescrito como: {

𝑥̇ (𝑡) = 𝑨(𝒑)𝑥(𝑡) + 𝑩𝓌 𝓌(𝑡) + 𝑩𝑢 (𝒑)𝑢(𝑡) + 𝑩𝑟𝑒𝑓 𝑉𝑟𝑒𝑓 𝑧(𝑡) = 𝑪𝑧 𝑥(𝑡) + 𝑫𝑧𝓌 𝓌(𝑡) + 𝑫𝑧𝑢 𝑢(𝑡)

(4)

Assim, é possível formar um politopo convexo de 𝐿 = 2𝑁 vértices com as matrizes 𝑨 e 𝑩𝑢 , sendo 𝑁 o número de parâmetros incertos: [𝑨(𝒑), 𝑩𝑢 (𝒑)] ∈ 𝐶𝑜{𝒢1 , 𝒢2 , … , 𝒢𝐿 } = Figura 2. Sinais de entrada e saída do circuito PWM (Ollala et al, 2010).

Assim, obtém-se o modelo médio aumentado do conversor, posteriormente linearizado em torno de um ponto de operação. 𝑥̇ (𝑡) = 𝑨𝑥(𝑡) + 𝑩𝓌 𝓌(𝑡) + 𝑩𝑢 𝑢(𝑡) + 𝑩𝑟𝑒𝑓 𝑉𝑟𝑒𝑓 { 𝑧(𝑡) = 𝑪𝑧 𝑥(𝑡) + 𝑫𝑧𝓌 𝓌(𝑡) + 𝑫𝑧𝑢 𝑢(𝑡)

(1)

onde 𝑨 ∈ ℝ𝑛 × 𝑛 , 𝑩𝓌 ∈ ℝ𝑛 × 𝑟 , 𝑩𝑢 ∈ ℝ𝑛 × 𝑚 , 𝑪𝑧 ∈ ℝ𝑝 × 𝑛 , 𝑫𝑧𝓌 ∈ ℝ𝑝 × 𝑟 , 𝑫𝑧𝑢 ∈ ℝ𝑝 × 𝑚 e 𝑖𝐿 (𝑡) 𝑥(𝑡) = [𝑣𝑜 (𝑡)], 𝓌(𝑡) = [𝑖𝑙𝑜𝑎𝑑 (𝑡)], 𝑢(𝑡) = [𝑑𝑑 ], 𝑥3 (𝑡) 𝑧(𝑡) = [𝑣𝑜 (𝑡)], 𝑥3 (𝑡) = ∫(𝑉𝑟𝑒𝑓 − 𝑣𝑜 (𝑡))𝑑𝑡. O estado 𝑥3 foi adicionado para permitir seguimento de referência com realimentação de estado. No ponto de operação, o erro de saída para referência é nulo, logo 𝑥3 é constante em estado estacionário. A única perturbação considerada é da corrente de carga. Para encontrar as matrizes do sistema, admite-se 𝑣𝑔 constante (𝑉𝑔 ) e a razão cíclica de operação 𝐷𝑑 . Para o caso do conversor boost, é conveniente também definir 𝐷𝑑′ = 1 − 𝐷𝑑 para expressar as matrizes. 0 𝑨=

′ 𝐷𝑑

𝐶

[0

− −

′ 𝐷𝑑

𝐿 1 𝑅𝐶

−1

0 0 0]

, 𝑩𝓌

𝑩𝑢 = − [ 𝑪𝑧 = [0

2

′ 𝑅)𝐶 (𝐷𝑑

0 1

]

0 , 𝑩𝑟𝑒𝑓 = [0] 1

0], 𝑫𝑧𝓌 = [0], 𝑫𝑧𝑢 = [0]

, 𝜆𝑖 ≥ 0, ∑𝐿𝑖=1 𝜆𝑖 = 1}

(5)

Considerando as restrições das variáveis incertas como do tipo: 𝑅 ∈ [𝑅𝑚𝑖𝑛 , 𝑅𝑚𝑎𝑥 ] 𝐷𝑑′

∈ [𝐷𝑑′ 𝑚𝑖𝑛 , 𝐷𝑑′ 𝑚𝑎𝑥 ]

𝛿 ∈ [1⁄𝐷𝑑′ 𝑚𝑎𝑥 , 1⁄𝐷𝑑′ 𝑚𝑖𝑛 ] 2

2

𝛽 ∈ [1⁄(𝐷𝑑′ 𝑚𝑎𝑥 𝑅𝑚𝑎𝑥 ) , 1⁄(𝐷𝑑′ 𝑚𝑖𝑛 𝑅𝑚𝑖𝑛 )] (6) Então, tem-se um politopo convexo de 16 vértices, formados pela permutação dos valores máximo e mínimo de cada parâmetro incerto de 𝒑. Note que esta é uma solução conservadora para o problema, pois 𝛿 e 𝛽 são considerados independentes de 𝑅 e 𝐷𝑑′ , o que não é verdade. Assim, o politopo contém pontos impossíveis de se obter em um caso real de conversor. Definidas as incertezas, é necessário encontrar uma lei de controle do tipo 𝑢(𝑡) = 𝑲𝑥(𝑡) de modo a garantir um nível mínimo de rejeição de perturbação e boa resposta transitória para todos os pontos do politopo convexo [𝑨(𝒑), 𝑩𝑢 (𝒑)]. Como será visto na próxima seção, o projeto via LMI se mostra muito eficaz para resolver esse tipo de problema.

3 Definição das LMI de projeto

0 1 = [− 𝐶 ], 0

𝑉𝑔 ′𝐿 𝐷𝑑 𝑉𝑔

{∑𝐿𝑖=1 𝜆𝑖 𝒢𝑖

(2)

(3)

Neste estudo, os únicos termos considerados incertos são os parâmetros 𝑅 e 𝐷𝑑′ . Note que, dessa forma, apenas as matrizes 𝑨 e 𝑩𝑢 são incertas. Entretanto, como essas matrizes não dependem linearmente dos parâmetros incertos, é necessário criar duas novas variáveis incertas 𝛿 = 1⁄𝐷𝑑′ e 𝛽 =

Esta seção é dividida em três partes. Primeiramente são definidas as LMIs de síntese ℋ∞ robusta, de modo a garantir um nível mínimo de rejeição de perturbação para todas as plantas possíveis do politopo do modelo do conversor. Na segunda parte, temos a apresentação das LMIs responsáveis por alocar os polos de malha fechada numa região desejada. Por fim, a última subseção trata do algoritmo de otimização para a síntese do controlador a partir das LMIs. 3.1 LMIs de síntese robusta ℋ∞ Considerando uma função de transferência genérica 𝐻(𝑠) entre a saída 𝑧 e a perturbação 𝓌 de

um sistema, a norma ℋ∞ de 𝐻(𝑠) pode ser expressa como: ‖𝐻(𝑠)‖∞ =

sup

‖𝑧(𝑡)‖2

𝓌(𝑡)≠0 ‖𝓌(𝑡)‖2

(7)

Assim, para o sistema descrito por (1) e lei de controle do tipo 𝑢(𝑡) = 𝑲𝑥(𝑡), é possível garantir um custo máximo 𝛾 da norma ℋ∞ se existem uma matriz simétrica definida positiva 𝑾 ∈ ℝ𝑛 × 𝑛 e uma matriz 𝒀 ∈ ℝ𝑚 × 𝑛 tais que a seguinte LMI é verdadeira: 𝑨𝑾 + 𝑾𝑨′ + 𝑩𝑢 𝒀 + 𝒀′ 𝑩𝑢 ′ [ 𝑩𝓌 ′ 𝑪𝑧 𝑾 + 𝑫𝑧𝑢 𝒀

𝑩𝓌 𝑾𝑪𝑧 ′ + 𝒀′ 𝑫𝑧𝑢 ′ ]< 𝟎 −𝛾𝑰 𝟎 𝟎 −𝛾𝑰

(8)

Para o sistema representado por (1) e lei de controle do tipo 𝑢(𝑡) = 𝑲𝑥(𝑡), os polos de malha fechada do sistema estarão na região 𝑆(𝛼, 𝜌, 𝜃) se existem uma matriz simétrica definida positiva 𝑾 ∈ ℝ𝑛 × 𝑛 e uma matriz 𝒀 ∈ ℝ𝑚 × 𝑛 tais que as seguintes LMIs são verdadeiras: 𝑨𝑾 + 𝑾𝑨′ + 𝑩𝑢 𝒀 + 𝒀′ 𝑩𝑢 ′ + 2𝛼𝑾 < 𝟎 −𝜌𝑾 [ 𝑨𝑾 + 𝑩𝑢 𝒀

𝑾𝑨′ + 𝒀′ 𝑩𝑢 ′ ]<𝟎 −𝜌𝑾

(10) (11)

cos 𝜃 (𝑨𝑾 + 𝑾𝑨′ + 𝑩𝑢 𝒀 + 𝒀′ 𝑩𝑢 ′ ) [ sin 𝜃 (−𝑨𝑾 + 𝑾𝑨′ − 𝑩𝑢 𝒀 + 𝒀′ 𝑩𝑢 ′ ) sin 𝜃 (𝑨𝑾 − 𝑾𝑨′ + 𝑩𝑢 𝒀 − 𝒀′ 𝑩𝑢 ′ ) ] < 𝟎 (12) cos 𝜃 (𝑨𝑾 + 𝑾𝑨′ + 𝑩𝑢 𝒀 + 𝒀′ 𝑩𝑢 ′ )

e o ganho 𝑲 do controlador é dado por 𝒀𝑾−𝟏 . Para o caso robusto, basta encontrar 𝑾, 𝒀 e 𝛾 que satisfaçam (8) para todos os vértices {𝒢1 , 𝒢2 , … , 𝒢𝐿 } do politopo convexo.

e o ganho 𝑲 do controlador é dado por 𝒀𝑾−𝟏 . Para o caso robusto, basta encontrar 𝑾, 𝒀, 𝛼, 𝜌 e 𝜃 que satisfaçam (10), (11) e (12) para todos os vértices {𝒢1 , 𝒢2 , … , 𝒢𝐿 } do politopo convexo.

3.2 LMIs de alocação dos polos de malha fechada O objetivo é alocar os polos de malha fechada no interior da região 𝑆(𝛼, 𝜌, 𝜃) ilustrada na figura 3. Assim, um polo genérico 𝑥 ± 𝑗𝑦 deve respeitar as seguintes restrições: 𝑥 < −𝛼 < 0, |𝑥 ± 𝑗𝑦 | < 𝜌, 𝑦 < 𝑥 cot 𝜃

3.3 Algoritmo de síntese robusta ℋ∞ com restrição de polos Por fim, o projeto de síntese de um controlador robusto de realimentação de estados é dado pelo seguinte algoritmo de otimização:

(9) min 𝛾 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 (8), (10), (11), (12) 𝑾,𝒀

∀{𝒢𝑖 } , 𝑖 = 1, 2, … , 𝐿

(13)

Novamente, o ganho do controlador é dado por 𝒀𝑾−𝟏 e obtém-se um custo garantido 𝛾 da norma ℋ∞ para todos as plantas possíveis dentro do politopo convexo [𝑨(𝒑), 𝑩𝑢 (𝒑)], sempre respeitando a região de restrição 𝑆(𝛼, 𝜌, 𝜃) dos polos de malha fechada. 4 Projeto do controlador e resultados das simulações

Figura 3. Região do plano complexo desejada para a alocação dos polos (Olalla et al, 2010).

Essas restrições são necessárias para assegurar um comportamento transitório satisfatório. Quanto maior o 𝛼, menor o tempo de acomodação, e enquanto maior o 𝜃, maior o amortecimento do sistema e, consequentemente, menor o sobressinal. Já o módulo dos polos está relacionado à frequência dos mesmos, e deve ser limitado por um 𝜌 de modo a garantir que essas frequências estejam bem abaixo da frequência de comutação. Caso contrário, o modelo médio utilizado deixa de ser uma boa aproximação para o comportamento do conversor.

Para exemplificar o método, escolheu-se um conversor boost com os parâmetros indicados na tabela 1. As grandezas incertas, 𝑅 e 𝐷𝑑′ , têm como valores nominais 50Ω e 0,5, respectivamente. 𝐷𝑑′ 𝑅 𝑉𝑟𝑒𝑓 (𝑣𝑜 ) 𝑉𝑔 𝐶 𝐿 𝑇𝑠

[0,3 1] [10 50]Ω 24 𝑉 12 𝑉 600 𝜇𝐹 310 𝜇𝐻 5 𝜇𝑠

Tabela 1. Parâmetros selecionados do conversor boost.

Note que, embora a tensão de entrada seja considerada constante, a admissão de incertezas em 𝐷𝑑′ implica que o conversor conseguirá trabalhar com 𝑉𝑔 na faixa de [𝑣𝑜 𝐷𝑑′ 𝑚𝑖𝑛 𝑣𝑜 𝐷𝑑′ 𝑚𝑎𝑥 ] = [7,2 24]V. Além disso, dados os intervalos de incerteza de 𝐷𝑑′ e 𝑅, as variáveis incertas 𝛿 e 𝛽 estão contidas em [1 3,333] e [0.02 1,111]Ω−1 , respectivamente. 4.1 Projeto do controlador de realimentação de estados.

Figura 4. Tensão e corrente de saída em condições nominais de carga e razão cíclica (𝑅 = 50Ω e 𝐷𝑑′ = 0,5).

As variáveis de restrição dos polos de malha fechada são definidas na tabela 2. O raio 𝜌 foi definido de forma a ter os polos com frequência máxima de um décimo da frequência de comutação. O ângulo 𝜃 de 25° permite garantir um amortecimento 𝜉 mínimo de 0,4. Com esses dois parâmetros definidos, o maior 𝛼 encontrado mantendo a factibilidade do algoritmo foi de 120.

𝛼 𝜌 𝜃

Figura 5. Tensão e corrente de saída em condição nominal apenas de carga (𝑅 = 50Ω e 𝐷𝑑′ = 0,3).

120 2𝜋⁄(10𝑇𝑠 ) 25°

Tabela 2. Parâmetros selecionados da região 𝑆(𝛼, 𝜌, 𝜃) dos polos de malha fechada.

Dessa forma, o algoritmo (13) forneceu os seguintes resultados: 𝑲 = [−0,9783 − 0,9543 339,5883] 𝛾 = 8,674

(14) (15)

Assim, tem-se um custo garantido máximo de 8,674 (ou 18,76 dB) da norma ℋ∞ para qualquer planta do politopo convexo [𝑨(𝒑), 𝑩𝑢 (𝒑)], além da garantia de polos dentro da região 𝑆(𝛼, 𝜌, 𝜃) definida.

Note que caso nominal apresentou sobressinal de aproximadamente 2,67% e tempo de acomodação de cerca de 10 ms (equivalente a um 𝛼 de 400 no critério de 2%), enquanto o exemplo com razão cíclica fora do ponto de operação teve sobressinal de 3.96% e tempo de acomodação de aproximadamente 20 ms (ou 𝛼 = 200). Ambos os resultados são, portanto, condizentes com as especificações de projeto para a alocação dos polos. Estudaram-se também dois casos com carga não nominal de 10 Ω. Assim como nos exemplos anteriores, a primeira simulação foi feita com 𝐷𝑑′ nominal de 0,5 e a segunda com 𝐷𝑑′ = 0,3. Os resultados estão ilustrados nas figuras 6 e 7 respectivamente.

4.2 Simulação do conversor controlado no software PSIM As duas primeiras simulações foram feitas com carga nominal (50 Ω) e perturbação degrau na corrente de carga de 0,5 A. No primeiro exemplo (figura 4), foi testada a rejeição de perturbação com 𝐷𝑑′ = 0,5, o que corresponde à tensão nominal 𝑉𝑔 de entrada de 12 V. O segundo exemplo, exibido na figura 5, foi simulado com um valor não nominal de 𝐷𝑑′ = 0,3, equivalente à tensão 𝑉𝑔 de 7,2 V.

Figura 6. Tensão e corrente de saída em condição nominal apenas de razão cíclica (𝑅 = 10Ω e 𝐷𝑑′ = 0,5).

Figura 7. Tensão e corrente de saída fora das condições nominais (𝑅 = 10Ω e 𝐷𝑑′ = 0,3).

Também nestes dois casos verifica-se que o tempo de acomodação e sobressinal respeitam as restrições da região desejada 𝑆(𝛼, 𝜌, 𝜃). Na simulação com 𝐷𝑑′ nominal, obteve-se um sobressinal 2,33% e acomodação de cerca de 10 ms, enquanto no segundo caso os valores foram 3.33% e 15 ms, respectivamente. Além disso, é também importante verificar o custo garantido da norma ℋ∞ da função de perturbação do sistema. Como a perturbação 𝓌 foi definida como a perturbação na corrente de saída e saída 𝑧 é a própria tensão de saída do conversor, 𝐻(𝑠) corresponde à impedância de saída do circuito. As figuras 8 e 9 mostram os diagramas do bode desta função com 𝐷𝑑′ nominal e carga de 50 e 10 Ω, respectivamente. A varredura CA foi feita entre as frequências de 10 Hz e 100 kHz, em ambos os casos.

Figura 8. Diagramas de Bode da impedância de saída do conversor com 𝑅 = 50Ω e 𝐷𝑑′ = 0,5.

Figura 9. Diagramas de Bode da impedância de saída do conversor com 𝑅 = 10Ω e 𝐷𝑑′ = 0,5.

No primeiro exemplo, o ganho máximo foi de 5,46 dB, enquanto no segundo foi de 3,42 dB. Ambos estão muito abaixo do custo máximo garantido de 18,76 dB, certamente devido à definição de um politopo conservador. 5 Considerações finais Embora, o controlador obtido não tenha sido igual ao do artigo original, os resultados das simulações no PSIM foram semelhantes em termos de desempenho de regime transitório e rejeição de perturbação. Assim, conclui-se que o método de projeto via LMIs é bastante eficaz para lidar com o problema de controle robusto de conversores de potência. Não foi possível testar o sistema com um

protótipo fisíco, mas o artigo também obtém resultados experimentais muito próximos aos simulados. Deve-se salientar que esta estratégia apresenta a vantagem de calcular do ganho do controlador automaticamente, enquanto outros métodos de controle robusto requerem ajustes manuais. É esperado também que o projeto via LMIs seja adequado para projetar de conversores de potência mais complexos. Estratégias similares mais avançadas permitem a construção de um politopo menos conservador e garantia de estabilidade durante o transitório inicial do dispositivo.

Referências Bibliográficas Ollala C., Levya R., El Aroudi A., Garcés P., Quinnec I. : ‘LMI robust control design for boost PWM converters’. IET Power Electron., 2010, 3, (1), pp. 75-85.