Aritmetica Fernando Requena Nola.doc

IDEPUNP/ CICLO REGULAR / ABRIL - JULIO 2007

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ARITMETICA

SEMANA Nº 01 TEMA: CONJUNTOS COORDINADOR: Prof. Mat. Fernando Requena Nolasco.

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IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL - JULIO 2007

I ) A - B = A �B´ A = { 1, 2,3} B = { 4,5, 6} A´= { x / x �U �x �A} = U - AII ) A - B = B´- A´ h) Conjuntos Ejemplos: I )  A �B  ´= A´�B´ Comparables: Cuando Sean por lo menos uno está A = { 1, 2} B = { 1,3} U = { 1, 2,3 II )} A �B  ´= A´�B´ incluido en otro.

1. Noción o Concepto: Ente matemático, sinónimo de reunión, colección, agrupación, agregado, clase o conglomerado de objetos reales o abstractos llamados elementos. Se denotan por A, B,..... y sus elementos

elementos.

i) Conjuntos Disjuntos o Ajenos: No tienen elementos comunes.

A = { 1, 2}

2. Determinación: a) Por Extensión o Forma Tabular: Se describe cada uno de los elementos:

B = { 3, 4}

j) Conjunto de Conjuntos: Cuando por lo menos tiene a un conjunto como elemento.

A = { 1, { 2} }

A = { 2, 4, 6,8}

B = { 1, { 2} , { 3} }

b) Por Comprensión o Forma Constructiva: Se determina a sus elementos por una propiedad común que generaliza a todos sus elementos.

2

e) Complemento:

�A B� = {B1, 2,3} A = { 1, 2,3} B = { 1, 2,3, 4}A�

a, b, c,....

A =�٣�� { x/ x N

ARITEMTICA

k) Familia de Conjuntos: Todos sus elementos son conjuntos.

P = { { 1} , { 2} , { 1, 2,3} }

l) Conjunto Potencia: un conjunto A , se llama conjunto potencia de A , al formado por todos los subconjuntos de A .

x 8 par } Dado

3. Relaciones: a) Pertenencia: De elemento a conjunto

 P  A 

 �ó � A = { 2,3} ;

A �B = { 1}

7. Leyes y Propiedades: a) Reflexivas o Idempotencia b) Conmutativas

I ) A �A = A II ) A �A = A III ) ADA = � I ) A �B = B �A II ) A �B = B �A III ) ADB = BDA

c) Asociativas d) Distributivas I ) A � B �C  =  A �B  �C II ) A � B �C  =  A �B  �C III ) AD  BDC  =  ADB  DC I ) A � B �C  =  A �B  � A �C  II ) A � B �C  =  A �B  � A �C  III )  A �B  �C =  A �C  � B �C 

3 �B

4 �A

b) Infinito: Número ilimitado de elementos

A = { 1, 2,...}

c) Nulo o Vacío: Carece de elementos.

A = �= {

}

d) Unitario o Singletón: Tiene un solo elemento

P = { 5}

e) Universal o Referencial (U ) : Contiene a todos los conjuntos considerados.

# de subconjuntos propios n A 3

=2

*2 .

-1 = 2 -1 = 7

Subconjunto Impropio:

Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado es igual a éste. Ejemplo: Del anterior

{ 1, 2,3}

6. Operaciones: a)

Unión:

A �B = { x / x �A �x �B} B = { 2,3} � U = { 2,3} b) Intersección: Conjuntos Iguales: A �B = { x / x �A �x �B}

A = { 2}

f) Tienen los elementos

mismos

c)

I ) A �� = A II ) A �� = � III ) A �U = U IV ) A �U = A I )  A´ ´= A

II ) A �A´= U III ) A �A´= � IV )�´= U V )U ´= � i) De la Diferencia j) Leyes de Morgan

Diferencia:

d) Diferencia Simétrica:

ADB = { x / x � A - B  �x � B - A  }

A´= { 3}

Relaciones Cardinales:

con

AyB Si disjuntos:

a)

son

n  A �B  = n  A  + n  B  Si A y B no son

b)

disjuntos:

n  A �B  = n  A  + n  B  -

c) Para 3 conjuntos cualesquiera A, B y C

n  A �B �C  = n  A  + n  B  + n 

- n  B �C  + n  A � 9. Diagramas a) De VENN EULER b) De CARROL: Generalmente para conjuntos disjuntos

U

A

B

c) LINEALES: Para conjuntos comparables

� �

�

h) Del Complemento

A = { 2,3} ; B = { 3, 2} � AA =- B B = { x / x �A �x �B}

g) Conjuntos Equivalentes: Tienen el mismo número de

8.

IV )  A �B  �C =  A �C  � B �C 

e) De la Inclusión A = { 1, 2} � P  A = { { 1}f), {De 2} la, { Exclusión 1, 2} , �} b) Inclusión: De conjunto Si A �B � n A a conjunto. A = { 2,3} 2 n� P  A � = 2 = 4 I ) A �B = B � �= 2 B = { 2,3, 4} � A �B ó B �A II ) A �B = A *1 . Subconjunto Propio: Es III ) A - B = � 4. Cardinal de un Conjunto: aquel que siendo Cantidad diferentes de IV ) ADB = B - A subconjunto de un elementos: conjunto dado, no es Si A y B son disjuntos � n  A = 2 y n  B  = 3 igual a éste. I ) A �B = � 5. Clases: Dado: A = { 1, 2,3} a) Finito: Tiene Sus subconjuntos II ) A - B = A determinado número de propios son: elementos diferentes: III ) ADB = A �B A = { 2,3} Elemento Neutro �, { 1} , { 2} , { 3} , { 1, 2} , { 1,3} g) , { 2,3 }

2 �A

A - B = { 2}

� �

Im  i 

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ARITEMTICA

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ARITMÉTICA

SEMANA Nº 01 CONJUNTOS COORDINADOR: PROF.MAT. FERNANDO REQUENA NOLASCO RESPONSABLES:PROF. FERNANDO REQUENA NOLASCO, LIC. LILIANA VICENTE NIZAMA, ING. RODONALDO AREVALO REYES, ING. ROLLY VEGA ALBAN.

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2.

3.

Determine por extensión el siguientes conjunto. P = {(5 -x) Z+/x N  x  5} Dar como respuesta el producto del mayor y el menor de los elementos. a) 5 b)10 c) 13 d) 15 e) 12 Determine por comprensión F = {0: 4; 24; 124; 624, 3124} a) {(5x-1)/x  N  x < 5} b) {(5x-4)/x  N  x  5} c) {(5x-1)/x  Z+  x < 6} d) {(5x-1)/x  N  x < 6} e) {(5x-1)/x  Z  x  5} Determinar extensión conjunto :

A = {Números impares menores que 30} B = {(2x -1)/x  N  1  X  5} I) B  A II) {1, 5, 11}P(A) III)  A IV) {5, 7}  B V) B  Determinar las proposiciones falsas a) todas b) I y II c) I y III d) II y III e) II, III, V 6.

por el

Se tiene los siguientes conjuntos P = {2a; b} ; Q= {c+1; 2b-3} ; R= {c+5; 2a-1} Ademas se sabe que : n(P)  1  Q = R Calcular el valor de a+b+c a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

� x -1 � de los A = �x / �N �-5 < x 7. �19¿Cuántos � 2 conjuntos siguientes � �

son vacíos? I) A = {x  N / x2 + 3x + 2 = 0} II) B = {x  R / x = x  x  x} III) C = {x  Q / 3 < x < 5} IV) D = {x  R / x2 = 4  2x = 3} V) E = {x  (R-{0} / -x = x-1} a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) {0, 1, 2, 3} b) {-1, 0, 1, 3, 9} c) {-1, 0, 3, 9, 19} d) {1, 3, 9, 19} e) {1, 2, 3} 4.

¿Cuántas son verdaderas, de las proposiciones siguientes, con respecto al conjunto A? A = {2; {4}; {6, 8}; {}} I ) {2} A II)

A



{{2}}

III) {{}}  A IV) 6 

A

V) {{6, 8 }}  A VI) {}  A a) 1 b) c) d)5 e) 6 5.

Sean los conjuntos

2 4

8.

Tenemos el conjunto unitario “R”: R = {28; 2x + 2y; 6x - 6y + 4} Hallar el número de subconjuntos propios de “T” T = {2x; 4x; 2y; 4y -2} a) 5 b) 7 c) 9 d) 13 e) 15

ARITMÉTICA

5 9.

Hallar el número de subconjuntos del conjunto “J”: J = {1/3; 1/8; 1/15; 1/24; …….; 1/120} a) 1018 b) 1020 c) 1022 d) 1024 e) 1026

10. Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto. M = {x/6; x/24; x/60; x/120; …….; x/2184} a) 4090 b) 4091 c) 4092 d) 4095 e) 4096 11. Calcular el valor de “b” sabiendo que los conjunto siguientes son iguales:

{

}

A = 7 a - 2 b ;160

B = {8; 49a – 4b} a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25 12. ¿Qué nombres tienen las leyes siguientes? I) A  A = A II) A D (B D C) = (A D B) D C II) A   =  IV) (A  B)’ = A’  B’ a) Conmutativa, distributiva, elemento neutro y morgan b) Relfexiva, distritbutiva, elemento neutro y complemento. c) Idempotencia, asociativa, elemento neutro, morgan d) Reflexiva, asociativa, absorción y morgan e) Idempotencia, diferencia simetrica, elemento neutro y complemento. 13. ¿Qué leyes o propiedades son falsas?



A’

=



II) A 



=

U

III) U’ =  IV) A D

A =



I)

A

V) A – B = B’ – A a) I y II b) II y III c) III y IV d) II y V e) IV y V 14. Dados los conjuntos P y Q se sabe que n(P) + n(Q) = 60; n  Q 9 = ; además n  P  21 n(P-Q) = 2n(Q). Hallar n(PQ) a) 4 b) 6 c) 5 d) 3 e) 2 15. Sea U = {3, 4, 5, ….} y los conjuntos A = {2x / x  U  x < 8} B = {2x – 2 / x  A} Hallar el número de elementos de A  B a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 16. Graficamente determine el valor de verdad de las operaciones siguientes: I) (P – Q)  (P - R) = P – (Q  R) II) (P – R)  (Q - R) = (P  Q) – R III) P (Q – R) = (P  Q) – (P  R) a) VVV b) VVF c) VFF d) FVV e) FFF 17. Dados los conjuntos P, Q, R, contenidos en U, tales que: n(P  Q  R) = 93 n[P – (Q  R)] = 18 n[(P  Q) – R] = 7 n(P) = n(Q) = 41; n(R) = 46 n[(Q  R) –P] = 7 Calcule n[(P’  Q’  R’)’] a) 5 b) 9 c) 10

IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL - JULIO 2007 d) e) 6

4

18. Para 2 conjuntos A y B se cumple que: A tiene 64 subconjuntos B tiene 16 subconjuntos A  B tiene 128 subconjuntos ¿Cuántos elementos tiene A  B? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 19. Rolly como pollo y/o pescado en su almuerzo cada día y durante cierto mes del año. Si come 18 días pollo, 21 días pescado y 11 días pollo y pescado. ¿En que mes comió esto? a) Enero b) Febrero c) Marzo d) Abril e) Mayo 20. En un salón del IDEPUNP, de 60 personas; 20 son mujeres y cierto número de personas estudian aritmética; 8 mujeres y 14 hombres no estudian aritmética. ¿Cuántas personas estudian aritmética? a) 34 b) 36 c) 38 d) 40 e) 42 21. De 80 tablistas, 50 no conocían Colán; 45 no conocen Yacila y 38 no conocen, ni Colán ni Yacila. ¿Cuántos tablistas conocen Colán y Yacila? a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27 22. En una encuensta a 600 estudiantes de la UNP tienen las siguientes preferencias;

Musica de la Tuna, Peña Criolla y la Orquestina. El número de alumnos que prefieren a las tres agrupaciones es igual a:. 1/8 prefieren sólo la Tuna 1/4 prefieren sólo la Peña criolla 1/5 prefieren sólo la Orquestina 1/3 prefieren sólo la Tuna y Peña Criolla 1/2 Prefieren sólo la Peña Criolla y Orquestina 1/7 prefieren sólo la tuna y la Orquestina ¿Cuántos alumnos prefieren la Tuna, la Peña Criolla y la Orquestina? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 23. Una empresa de mototaxis, dispone de cierto número de unidades, de los cuales 20 estan en reparación. Además: 100 circulan en la mañana 80 en la tarde 60 en la noche 40 en la mañana y tarde 30 en la tarde y noche 20 en la mañana y noche ¿Cuántos mototaxistas tiene en total la empresa si además se sabe que 10 trabajan todo el día o sea mañana, tarde y noche? a) 130 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180 24. En una aula del IDEPUNP hay 78 alumnos entre hombres y mujeres-. Ademas se sabe que:

ARITMÉTICA

6 -

14 hombres prefieren Algebra. 22 hombres prefieren Aritmética 5 hombres y 10 mujeres prefieren otros cursos. 40 hombres hay en el aula 16 prefieren los 2 cursos 18 prefieren sólo Algebra ¿Cuántas mujeres prefieren sólo aritmética? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL - JULIO 2007 AUTO EVALUACIÓN

Pregunta

1)

¿Cual es el cardinal del conunto T? T = {x /x  N  2 < x 6} a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 6

2)

¿Cuales propiedades son verdaderas? I) Si A  B =   A =  B= II) B  (A –B) =  III) Si A  B =   A y B son disjuntos. IV) Si A  B  B  A’ V) Si A D B =   A  B a) I y V b) I, II y III c) II, III y Iv d) III, IV y V e) I, II y V

3)

¿Cuales son los valores de verdad de las proposiciones siguientes? I) n{} = 0 II) n {} = 1 IIi)  = {} IV)   P (M) V)   {} a) VFFVV b) VVFVV c) VVVFF d) FFFVV e) FFFFF

4)

De un grupo de personas; el 15% no conoce Piura el 13% no conocen Sullana; el 83% conoce ambas ciduades ¿Qué procentaje no conce Piura ni Sullana? a) 13 b) 12 c) 11 d) 14 e) 15

CLAVES AUTOEVALUACIÓN: 1) b 2) 3) 4) c

b a

ARITMÉTICA

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HOJA DE CLAVES CICLO: MAYO JULIO 2007 CURSO: ARITMETICA SEMANA: 01 CONJUNT OS

Clave

Tiempo Dificultad (Min.) a 2 d 2 d 3 b 2 d 3 b 4 d 4 b 4 d 3 d 3 c 4 c 2 d 2 b 3 c 3 d 3 a 4 c 3 b 3 c 3 a 3 b 3 e 3 a 4 AUTOEVALUACIÓN b 2 b 3 a 3 c 3