Aritmetica 8

Compendio de Ciencias VIII-E

Aritmética

CAPÍTULO

22 OBJETIVOS * Calcular el MCD y MCM en la resolución de problemas de textos. * Deducir las propiedades que cumplen el MCD y MCM * Aplicar las propiedades en la resolución de problemas de la vida cotidiana

INTRODUCCIÓN ENTRE EL MARKETING Y LA ARITMÉTICA Reuniéndose el gerente de producción y el gerente de ventas de una reconocida fábrica de jaboncillos de tocador, se escuchaba las siguientes reflexiones: Luis

: Si Roberto – Dirigiéndose al Gerente de Ventas – entiendo tu postura; deseas “romper” el mercado, pero así las posibilidades son varias.

Roberto : Bueno, pero así podemos competir en el mercado en las condiciones más óptimas, enteniendo que estamos en una recesión muy dura y conjugado con la producción que tenemos te planteo el siguiente problema: Mira tenemos tres plantas de producción, la planta A produce 1080 pastillas diarias, la segunda planta B, 2700 y la planta C, 2490 pastillas por cada día. Deseamos saber cuántas cajas de diferentes capacidad podemos utilizar para su presentación en el mercado. Sabiendo que al empaquetar en ellas la producción de cada planta no sobran ni faltan pastillas.

1.

Si MC M a,b   m y k  

2.

Si MCM  a,b   m

 

Entonces MC M  ak , bk   m k

Demostrar que: MCM a , b  donde k   mk k k

Resolución:

Resolución:

m  a,    Como MC M  a,b   m   m  b,    Multiplicamos por k: km  k a  k a   km  k b   kb   º

º

º

Por lo tanto. c  (k a)y (k b)  c  (km ) En efecto pues m  MCM  a, b 

SISTEMA HELICOIDAL

1

º

 c  (km )

2

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias VIII-E

1.

º

º

Si N  7  6 ; N  8  7 Hallar N si es el menor número de 3 cifras que cumple la condición:

Aritmética

8.

A  15  40

¿Cuál es el menor número que dividido por 3, 4 y 7 siempre deja un residuo 2? Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

3.

¿Cuáles son los dos números primos entre si cuyo MCM es 330 y su suma 37? Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

4.

5.

2

9.

Carlos se va de compras a Plaza Vea y compró manzanas en tal número que si las agrupa formando montones de 5 en 5; de 7 en 7; de 8 en 8 o de 12 en 12 siempre sobra 1 ¿cuántas manzanas como mínimo ha comprado? Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

10. Se tiene: 8B1  A

2

MCM

 3726

 A;B 

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

Hallar: (A+B)

En una empresa en la que trabajan 150 empleados, salen de vacaciones un cierto número de ellos. Si se agrupan los que quedan de 10 en 10; de 12 en 12; de 15 en 15 y de 20 en 20 sobran siempre 6 empleados. Sin embargo al agruparlos de 18 en 18 no sobra ninguno ¿cuántos empleados hay de vacaciones?

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

Si el número de naranjas que tiene un vendedor se cuenta de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 siempre le sobran 11. Hallar el número de naranjas si es el menor posible. Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

7.

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

¿Cuántos múltiplos comunes tiene: 6; 10 y 12 comprendidos entre 113 y 563?

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 6.

2

B  15  40 para que el mínimo común múltiplo tenga 200 divisores.

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 2.

Hallar n2 en los números:

Hallar el número de ladrillos necesarios para construir un cubo compacto sabiendo que su arista está comprendida entre 2 y 3 m y que las dimensiones del ladrillo a usarse son de 20, 15 y

11. Se tiene: B   a  1  a  a  1  además: MCM

MCM B;F 

 B;13 F 

Calcular: a Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 12. El MCM de un par de números es 240 y los cocientes sucesivos que se han obtenido al aplicar el algoritmo de Euclides para la obtención de su MCD son 1 y 5. Determinar el menor de los números. Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 13. Si: A  MC D

 31!;32!;33 !;34 !...   

8cm.

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

   30 núm eros 

B  MC M

 13 !;14 !;15 !;16 !.. .    6 núm ero s 

Calcular en cuántas cifras cero termina A B Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

Aritmétic a

Compendio de Ciencias VIIIE

14. Si se cumple: * MC D  A, B   A 3 * MC M  A, B   2 A Calcular la suma de cifras de A si la diferencia de los números es 24. Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 15. Calcula la suma de dos números cuya diferencia es 7 y su MCM es 330.

18. Hallar la suma de dos números enteros cuyo MCM es 22400 y tales que en el cálculo del MCD mediante divisiones sucesivas se obtuvieron 2; 5 y 3 sucesivamente como cocientes. Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 19. Dos engranajes de 40 y 25 dientes cada uno. El primero de 120 revoluciones por hora, al cabo de cuantos minutos se encuentran por tercera vez en la posición de partida. Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 16. Se tiene un millar de ladrillos cuyas dimensiones son 20cm, 15cm, y 60cm. ¿Cuántos ladrillos como mínimo sobrarán si se formó un cubo compacto? Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

20. Tres obreros que colocan locetas en un área de 107 m2. El primer obrero emplea 30 min por m2, el segundo emplea 36min por m2 y el tercero 42 min por m2. ¿Cuántas horas tardarán en culminar dicho trabajo, si se desea que cada uno de los tres obreros empleen un mínimo de tiempo y cubran cada uno un número exacto de m2 al mismo tiempo?

17. El largo de un rectángulo excede al ancho en 6m. ¿Cuánto mide su perímetro, si el ancho es igual al MCM de 20, 12 y 16 en m?

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

1. Calcular la suma de los 8 primeros múltiplos comunes de 24 y 36 (múltiplos de   ) A) 2224

divisor sea 36 y su mínimo común múltiplo sea 5148.

B) 2592 C) 2672 D) 3224 E) 3236 2.

SISTEMA HELICOIDAL

Hallar el mayor de dos números tales que su máximo común

1

Compendio de Ciencias VIIIE

Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son 10×15×18. ¿cuál es el menor de estos ladrillos para formar un cubo compacto? A) 210

Aritmétic a

4.

B) 240 A) 639 D) 468

C) 250 D) 270 E) 280 5.

Hallar un número mayor de 200 que al dividirlo poe: 9; 5 y 2 deja de residuo 1. B) 369 C) 396 E) 486

3. ¿Cual es el menor número positivo que es divisible por 5; 2 y 9? A) 45 B) 80 C) 90 D) 60 E) 30

2

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias VIII-E

Aritmética

CAPÍTULO

23 OBJETIVOS * * * *

Determinar una fracción de números enteros. Construir el conjunto de número racionales a partir de fracciones equivalentes. Clasificar los números fraccionarios por su característica. Reconocer las fracciones contínuas.

INTRODUCCIÓN Se atribuye a Pitágoras (unos 500 años antes de nuestra era) el notable descubrimiento de los números irracionales. Para poner esto de manifiesto construyamos un cuadrado y tracemos la diagonal OA. Esto es:

A

1 1 –2

•

–1

0

1

A’

2

Razonemos por reducción al absurdo y supongamos que sea m (siendo m y n primos entre sí, lo que siempre n

resulta después de simplificar la fracción). La medida de la diagonal OA tomado el lado por unidad aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo O1A se obtiene. 2

2

1 1 

De donde:

2

m n

2

2n2 = m2 = #par  m = 2k 2n2 = 4k2 n2 = 2k2 = # par  n = 2q

Pero esto es imposible pues habíamos supuesto que m y n son primos entre sí.

Aritmétic a

Compendio de Ciencias VIIIE

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES FRACCIONES DE NÚMEROS ENTEROS Consideremos el conjunto Z = {....; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; .....} y un nümero entero, por ejemplo (–21. La correspondencia de Z en  que a cada nümero entero le hace corresponder su producto por (–21 es una aplicación que simbolizamos por x(–21, (Fig. 11. FIGURA 1  ———

x

(–2)

Z





3 2 1 0 –1

–6 –4 –2 0 2

–2

4



 3 La aplicación x    es un operador sobre A.  2 a donde a b y b son nümeros enteros, con b distinto de cero, se llaman fracciones de nümeros enteros. AsI. En general, los operadores de la forma en

7 ; ..... 5 7 20 son fracciones de nümeros enteros. a Si es una fracción, el nümero entero a se llama b numerador y el nümero entero b se llama denominador. 2

;

0

FRACCIONES EQUIVALENTES 2 aplicados al nümero y 15. 3 3

Fijate en los operadores 2



2 (15)  10 3

•

Las aplicaciones que, como la anterior, a un nümero entero le asocian otro mediante operaciones se llaman operadores sobre Z.

•

2 3

(15)  10

Producen el mismo resultado. Por esta razón las fracciones

y

2

son equivalentes.

2 La aplicación x(–21.    es un operador sobre  .

3

3

Escribimos. •

Consideremos el conjunto A = {8; –4; –6; –10} si aplicamos a este conjunto x(–31 obtenemos el conjunto B = {–24; 12; 18; 30} si al conjunto B le aplicamos el operador  (21 obtenemos el conjunto C = {–12; 6; 9; 15} En resumen. hemos obtenido los elementos de C multiplicando los elementos de A por (–31 y dividiéndolos a continuación por (21. (Fig. 21. FIGURA 2 B

2 2  observa que (21(31 = (–21(–31 3 3 a En general, dos fracciones de nümeros enteros y b c son equivalentes si ad = bc. d 8 4  porque 8(61 = 4(121 = 48 • 12 6 5 10 porque (–51(–41 = 10(21 = 20 •  2 4

EL NÚMERO RACIONAL Considera el conjunto de las fracciones de nümeros enteros, al que llamamos F. En el conjunto F consideramos la relación R definida

–24 12 18 30

por

a b

A

c R

d

cuando

a b



c d

 a d  bc

C 8 –4

SISTEMA HELICOIDAL

– –1

1

Compendio de Ciencias VIIIE × –3– 2

2

( )

-12 – 6 9 15

Aritmétic a R e s u n a

relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades reflexivas, simétrica y transitiva. Al ser R una relación de equivalencia, determina sobre el conjunto F una clasificación. Una clase de equivalencia es, pues, el conjunto de las fracciones equivalentes a una dada; cada una de estas clases se llama nümero racional.

PASCUAL SACO OLIVEROS

AsI la clase equivalencia.  4 2 2 4 6  , , , , .... ..., ,  6 3 3 6 9 

1) E l c o n j un t o Q e s un c o nj u n t o de conjuntos, donde cada número racional es un conjunto. 2) La gráfica de cualquier número racional a  b  son punto que pertenecen a una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es

es un nümero racional sin embargo, por comodidad, se suele tomar como representante del nümero racional una fracción irreductible.  2   4 2 2 4 6     ..., 6 , 3 , 3 , 6 , 9 ,...  3  

b . a

Número Racional

3) El conjunto Z coincide con el conjunto n de clase  1  con n  Z, luego Z  Q.  

 1   2 1 1 2    ...,6 , 3 ,3 ,6 ,...   3   Notación. a a  Z  b  Z; b  0 Q    b  

1. Si a pertenece a los racionales    y b pertenece a los irracionales ( ). Demostrar que. a+b ó a–b pertenece a los ( ). Resolución: Supongamos.

Como a   entonces  a   Luego. a  b   a   b  

DE UN COJUNTO

Un conjunto A es denso respecto a la relación de orden (<1 si para dos elementos a y b de A (a < b1 existe un elemento c de A tal que a < c < b.

2.

Si, a   y b  , demostrar entonces a  b ó

Resolución: ab 

¡Absurdo! b 

DENSIDAD

a b

1. Cuántas fracciones comprendidas entre 19/43 y 23/ 29 son tales que sus términos son nümeros consecutivos

9.

A puede hacer una obra en 9 dIas, B en 10 dIas y C en 11 dIas ¿en cuántos dIas harán la obra los tres juntos? Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 2.

Cuántas fracciones equivalentes a 513/684 existen de modo que la suma de sus téminos sea mültiplo de 91 y este comprendido entre 100 y 500. Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

3.

Halla S. S  1  5  11  ....  5 99 2 6 12 600 Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

4.

El rebote de una pelota alcanza dos tercios de la altura desde donde se le deja caer. Determinar el espacio total recorrido antes de pararse si se le deja ceer inicialmente desde 17m de altura. Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

5.

Cuántas fracciones equivalentes a 68/119 existen tal que sean de la forma ab ba Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

6.

Halle una fracción equivalente a 7/12 sabiendo que si al término menor le sumamos 70 para que el valor de la fracción no se altere entonces el otro término debe triplicarse.

10. Un depósito está lleno tres cuartas de la que no está lleno, se vacIa dos quintos de lo que no está lleno ¿qué fracción del depósito quedará con lIquido? Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 11. Dos caños llenan un pozo con agua en 5 horas y 8 horas, mientras que una salida de agua en el fondo permite desalojar el contenido (si estuviera lleno1 en 2 horas. Si estando inicialmente vacIo se abren los conductos de entrada y salida en forma simultanea ¿qué tiempo necesitarán para llenar los 29/40 de su capacidad? Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 12. Guillermo gastó su dinero de la siguiente manera. la quinta parte en ropa; la tercera parte en alimentos; la octava parte en alquiler y la cuarta parte ha decidido ahorrarla en un banco. Si aün le queda en efectivo S/.88, determinar cuanto gastó Guillermo en alimentos y ropa. Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 13. Calcular R. R

7 7 7 7    ....  2 2 6 12 n n

Dar como respuesta la suma de los términos de R. Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 7.

Un tirador ha efectuado 2m tiros a un blanco y acertó m  1 tiros. ¿qué fracción de sus tiros no acertó? 3 Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

14. Simplificar. 1 1 8. Un niño que tenIa una caja de lápices gasta los

2 1 2 4 2/7 de ella más 4 7 lápices y entonces no le quedan más que los 2/3 de los que tenIa al principio. ¿cuántos lápices tenIa el niño?

A1

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

1 1 2

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

15. Efectuar. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1

          Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

19. Un ciclista observa que 1/5 de lo recorrido equivale a los 3/5 de lo que le falta recorrer ¿cuántas horas habrá empleado hasta el momento si todo el viaje lo hará en 12h? Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 20. Después de haber perdido sucesivamente los 3/8 de su terreno, 1/9 del resto y los 5/12 del nuevo resto, una persona hereda 60 800 soles y de este modo la pèrdida se halla reducida en la mitad de la fortuna inicial. ¿cuánto era aquella fortuna?

16. De las fracciones que tienen como numerador a 360 ¿cuántas fracciones son impropias?

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 17. Si los radios de una sucesión de cIrculos son 1; 1/ 2; 1/4; 1/8; .... centImetros, la suma de las áreas de tales cIrculos será.

1. Dadas las siguientes fracciones.

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 18. Un fotográfo y su empleado tardan 2 horas en revelar y sacar copias de cierto nümero de fotografIas. A continuación tienen que hacer el mismo de B1 fotografIas, fotográfo A1 sólonümero I sólo II pero C1el sólo III ha de dejar el trabajo al cabo de 1 hora, D1 I y II E1 todas tardando el empleado 3 horas más en concluIr la tarea. ¿cuánto tiempo emplearIa el empleado para hacer sólo el trabajo? Rpta…… ...........................… …… …… …… …. A1 7 B1 9 C1 11 D1 15 E1 19

3. Con 2 nümeros primos se forma una fracción que sumada con su inversa da 34/15 ¿cuál es el menor nümero primo? C1 5

I II. aa 2 2 A1 2 D1 71 a00 a

B1 3 E1 11 ab ¿cuál(es1 es irreductible?

2.

Una vendedora lleva naranjas al mercado y vende la mitad de las que tenIa más media naranja; obsequia la mitad del nuevo resto más media naranja y le sobran todavIa 2 naranjas. ¿cuántas naranjas llevó al mercado, sabiendo que no partió ninguna naranja?

4. Halla una fracción que no cambia su valor al sumar 5 unidades a su numerador y 9 unidades a su denominador. A1 15/29 D1 16/27 5.

Hallar la suma de los términos de una fracción tal que excede a su cuadrado en 14/31.

B1 15/28 E1 15/18

Compendio de Ciencias VIII-E

Aritmética

CAPÍTULO

24 OBJETIVOS * Obtener los números decimales. * Determinar la generatriz de un número decimal. * Expresar un número decimal en otros sistemas de numeración.

INTRODUCCIÓN 1 ¿Qué significa 9 = 0,99..... ? Supongamos que existen a y b naturales donde miembro b

a = 0,999 ..... entonces 10 a = 9,999 ..... sustrayendo b

a miembro estas igualdades se tiene 9  a = 9 donde a = 1 , esto es a = b. Pero es claro que dividiendo a entre b ba a obtenemos 1 y no 0,999...., por lo tanto no existe tal fracción ordinaria b .

NÚMEROS DECIMALES Son aquellos nümeros que resultan de dividir los términos de una fracción. •

1 3 7 = 17,125 8

•

1 1 3 = 10,2727... 11

• 1 1 = 0,91666... 12 Todo nümero decimal presenta dos partes. P a rte e nte ra

713 , 1875

P a rte d ecima l

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES Para esto trabajaremos con la fracción propia e irreductible. F = A B

1. Decimal exacto F genera un decimal exacto si y solamente si B admite como ünicos divisores primos 2 y/o 5. Ejemplo. •

1 3 = 0,52 25

•

7 = 0,875 8

•

1 7 = 0,425 40

2. Decimal inexacto F genera un decimal inexacto periódico puro si B no admite como divisores primos ni a 2 ni a 5. Ejemplo.  2 • 3  0,666... = 0,6 •

 0,6363... = 0,6 3

11 •

SISTEMA HELICOIDAL

7

13  0,4 8 14 8 1... = 0 ,4 8 1 27

1

Compendio de Ciencias VIII-

Aritmétic a

E

2.2 Periódico mixto F. genera un decimal inexacto periódico mixto si

NÚMERO 23 B admite como divisores primos a 2 y/o 5 y otro más. Ej e m pl o.

GEN ERATRIZ 01 5 ,

 1 0 06

 5 36 = 12

=



= 2 7

3 1 2 4

• 8

64 32 0,5 3

Aritmétic a

Compendio de Ciencias VIIIE

21 9

15 0,2121...(4)

=



4



 33

3 15

123 38

5

•  1 0,6 5 81 81. .. = 0,6 8 1

4

• 1 1

19 0 5  44 124 ,  4 1 5 62 2 23 8 3 –12 1 2 3 . . .

0,916

( 5 )

22 0, 23131...(5) 

G E N E R A T R I C E S

=

5

440 5

5



15 CAMBIO S DE BASE • Expresar 0,25 en el Sistema Senario P r o c e d e m i e n t o .

• D e c i m a l e x a c t o Eje mp lo. 0 , 2 5 = 1 0 0 ,3 3 7 5 =

0, 2 5 1 50 3 0

Compendio de Ciencias VIIIE

× 6

0 ,

•

1 0 0 0

55

EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

0, 6

0,236 9 ×

12 4 0, 2 4 12 = 12 ... = 0,6 = 0,2121... (4) = 0,21(4) 0, 2 2 28 4 16 2 1 6 16 .. .= = 99 9 37

1 6

× 4

• Decimal inexacto periódico mixto • Expresar 0,666... en el Sistema Quinario Procedemient o.

0, 2 3 23 – 2 7 33 ... = = 90 30 0, 416 41 6 66. – 4 1 5 .. = = 900 0,1 1 4 5 45 – 1 8 45. .. = =

6

9 9 0

Procedemiento.

• Decimal inexacto periódico puro

99 33

2

• Expresar 0,6 en el Sistema Cuaternario

8

0, 555... = 5

Aritmétic a

12

0,666. 0, .. = 666. 0,abcd .. = 2 ...(51. Como

3

Nümero exaval exacto 0,2121...(41 Nümero tetraval periódico puro 0,23131...(51 Nümero pentaval periódico mixto

1 • 1 × 5 = 5 3 2 • 2 × 5 = 10 3 1 • 1 × 5 = 5 3 2

0,666... = 0,3131... (5)

1.

Demostrar que.

2 no es racional

2.

Resolución: Supongamos es decir

Demostar que

5 no es racional.

Resolución: 2 es racional 2

2  m , m,n primos relativos n2 2

 2  m 2  m n

2

 2n

2

luego m es par 2 2 m= 2k , luego m =4k 2 2 2 2 reemplazando. 2n =4k , de donde n =2k es par luego tenemos que n es par pues ¡absurdo! m, n es par pues m;n primos relativos  2 no es racional

1.

Hallar las 2 ültimas cifras del perIodo que genera la fracción. 3/47

6.

0, 5  0, 66...  0, 055...  9 /10 E 3,11...  2, 066... Indicar la diferencia entre el denominador y el numerador del resultado.

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 2.

El perIodo de una fracción de denominador 11 es el de 2 cifras que se diferencian en 5 unidades. Hallar la suma de los términos de dicha fracción si es la mayor posible.

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 7.

4.

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. genera el nümero Si la fracción generatriz. 1 ab decimal 0,0 a ¿cuál es el valor de a+b?  1b Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

5.

Hallar x si. d ef  ab c  4 29

Hallar el valor de b si se cumple. a  b  0 , a  1   a  b  11 9

Hallar. a+b, si. a  b  0, 9696.... 11 3 Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

Si. 2  0, 5  0, defabc  a bcdef y x x

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 3.

Al simplificar la expresión.

Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 8.

Hallar (m+n1 si se cumple. n  m  0, 89 945 25 37 Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

9.

Cuáles son las dos ültimas cifras del perIodo que origina la fracción. f

67  523 123

Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

10. Cuál es la ültima cifra del perIodo de 67 123 567 Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 11. Si. S 1  3  1  3  1  3  .....

16. Siendo a y b enteros positivos se cumple. a  b  1, 03636... 11 5 Calcular. a+b Rpta…… ...........................… …… …… …… …. 17. Simplificar la siguiente expresión. 4 4 8

 0, 5  0, A

666...  0, 555...   0, 9

2

4 4

8 4



Calcular el valor de S y expresarla al sistema octaval.

3 , 1 1 1 . . .

Rpta…… ......... ..................… …… …… …… ….





 2 , 0 6 6 6 . . .



y dar la suma de sus términos.



SISTEMA HELICOIDAL

Rpta…… ............. ..............… …… …… …… ….



12. Se suman los perIodos de las

g e

neratrices.

M y M

1

54

3

1 0, a  0,b  0, ab  8 1, 42 , hallar a×b . Si . Rpta…… ............. ..............… …… …… …… ….

y se obtiene 523 ¿cuál es el valor de M? (M<541

Rpta…… ........ ................... … …… …… …… ….

 . . .  0 ,



N 0,  1  a  1 a 37 2 Calcular N.

13. Al convertir

a la fracción propia de ci ma 37 l se observa que la cifra de los milésimos es igual a 4. Hallar la suma de las cifras que conforman el perIodo.

a

        0

7

, 2 1

Rpta…… ........... ................… …… …… …… …. 20. ¿Cuántas cifras no perIodicas genera la siguiente fracción?

Rpta…… .......... .................… …… …… …… ….

 0 , 3 2  0 , 4 3 

4 

1 a b

Hallar. a+b

Rpta…… ............. ..............… …… …… …… ….

Rpta…… ........ ................... … …… …… …… ….

. . .  0 8 , 7

15. Simplif  icar.



 0



Rpta…… ...........................… …… …… …… ….

, 1  0 , 2  0 ,

2

PASCUAL SACO OLIVEROS

1.

Simplificar.

4. 

5   5 5 3, 3 1,  2,1    8      3,1 0,101 71 9,7  6, 4 

E A1 1 D1 1/3

B1 2 E1 1/4

A1 1/3 D1 0,334

C1 1/2 5.

2.

Calcular x, si. 1x0,x x 2 22 B1 4

A1 3 D1 7

3.

C1 5

A1 11 D1 14

Hallar C, si.

A1 10 D1 100

    0 ,1  0 , 2  0 , 3  ...  0 , 9     0 , 01  0 , 0 2  0 , 0 3  ...  0 , 0 9 B1 0,10 E1 0,1

C1 1,1

B1 0.33 C1 0.3334 E1 34/99

Hallar el menor nümero n tal que al sumarlo al denominador y restarlo al denominador de la fracción generatriz de 0 ,148 se convierte fracción impropia.

E1 8

C

Cuánto le falta a la fracción decimal perIodica 0,8787... para ser igual a la fracción decimal perIodica 1,2121...?

en

B1 12 E1 15

C1 13