Aritmética 2do Año.docx

Aritmética

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Números N (adición y sustracción) Marco teórico

La aritmética es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: adición, sustracción, multiplicación y división. Los orígenes de la aritmética se pueden rastrear hasta los comienzos de la matemática, misma, y de la ciencia en general. Los registros más antiguos datan de la Edad de Piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas, presumiblemente con fines de conteo, de representación numérica y calendarios.

n  n 1

2. Sumas notables I. 1 + 2 + 3 + ...+ n =

n

2 II. 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1) III. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

SUSTRACCIÓN Es una operación que consiste en averiguar en cuánto excede una cantidad a otra. Sus términos son: minuendo, sustraendo y diferencia. M  Minuendo

S Sustraendo



D Diferencia

1. Propiedades (sustracción) I. M + S + D= 2M II. Si abc – cba = xyz, se cumple: y =9 x+z=9 a – c = x +1

ADICIÓN Es una operación matemática que consiste en agrupar cantidades homogéneas, llamadas sumandos, obteniendo como resultado otra cantidad llamada suma. suma

sumandos

CA(abc) = (9 – a)(9 – b)(10 –c)

1. Adición en otras bases III II

CA(N) = 10m – N (m: número de cifras de N) Método práctico:

2 4c m + 36 cm 38 c m = 9 8cm +

Ejemplo:

2. Complemento aritmético (CA)

I

2 4

3 7

6(8) + 3(8)

1

5

2(8)

¡No olvidar!

1 1 0 3(8) I. 6 + 3 + 2 = 11 = 13(8) Colocamos 3 y llevamos 1 al siguiente orden. II. 1 +3+7 +5 = 16 = 20(8) Colocamos 0 y llevo llevamos 2 III. 2 + 2 + 4 +1 = 9 = 11(8) Colocamos 11

Debes tener presente que la operación matemática se llama adición y no suma como generalmente confunden algunos. El complemento aritmético de un número puede tener igual o menor número de cifras que el número inicial, pero no necesariamente la misma cantidad de cifras.

llevo

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ARITMÉTICA

1

NÚMEROS N (ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)

2.o año

Trabajando en Clase 11. Un niño se entretiene colocando sus fichas de Bob esponja de manera que se forma un triángulo equilátero. En la primera fila coloca una ficha, en la segunda dos, en la tercera tres y así sucesivamente hasta completar 12 filas ¿Cuántas fichas se han utilizado?

Integral 1. La suma de los tres términos de una sustrac-

ción es 7200. Calcula la mitad del minuendo. 2. Calcula: 1 + 2 + 3 + .. + 32

UNI

3. Si (a + b + c)2 = 361 Calcula: a5bc + b2ca + c4ab

12. El complemento aritmético de un número de tres cifras que termina en 2 es otro también de tres cifras que empieza en 47. ¿Cuál es la suma de cifras del primer número? Resolución: CA(ab2) = 47c 10 – 2 = c c = 8 9 – b = 7 b = 2 9 – a = 4 a =5 El primero número sería: 522 Por tanto 5 + 2 + 2 = 9

Católica 4. Calcula “x” en: Resolución (x1)(x2)(x3).(x29)292 29 veces

Rpta.: 29x + (1 + 2 + 3 + …+29) = 292 29x + 29.30 292 2

13. El complemento aritmético de un número de tres cifras que termina en 6 es otro también de tres cifras que empieza en 35. ¿Cuál es la suma de cifras del primer número?

x + 15 = 29 x = 14 5. Calcula “x” en: (x + 1)+(x + 2)+(x + 3)+…+(x + 43)= 432

14. A un número de tres cifras se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, y se obtiene otro número de tres cifras que empieza en 2. Si la suma del número y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 1655, determina el complemento aritmético del número.

6. Se tiene un número de tres cifras significativas que suman 23. ¿Cuál es la suma de las cifras de su complemento aritmético? 7. Calcular el valor de “x”, si se cumple que: xyx = xx + yy + 443 UNMSM 8. Si: abc – cba = (m + 3)n(2m). Calcula n – m Resolución: I. n = 9 II. m+3+2m = 9 m = 2 III. Por lo tanto n – m = 9 – 2 = 7 9. Si abc – cba = (3x)y(1+ x) . Calcula y – x 10. Calcular R = 342(5) + 411(5) + 232(5)

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ARITMÉTICA

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Números N (multiplicación y división) Marco teórico

La técnica de multiplicar que utilizamos en la actualidad fue inventada en la India. Llegó a Europa a mediados del siglo XIII. En esta época los escolares multiplicaban mediante series de sumas (métodos egipcio). Esta técnica de multiplicar mediante sumas las mejoró Neper mediante sus regletas. No fue hasta después de la revolución francesa (1789) cuando se impuso definitivamente el método de la India. Por ejemplo, para multiplicar 592 x 321, se colocan las reglillas de la forma que indica la imagen. Posteriormente se procede a realizar las sumas de casillas. El resultado es 190032

DIVISIÓN Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados dos números naturales (A y B) se obtiene un tercer número naturales (A y B) se obtiene un tercer número llamado cociente c donde A se conoce como dividendo y B como divisor. A CB A C B Y Observación: El valor de “C” no siempre resulta un número natural

División entera D d r

q

Donde:

D : dividendo

d : divisor q : cociente r : residuo

MULTIPLICACIÓN Consiste en sumar una misma cantidad llamada multiplicando, tantas veces como lo indique otra llamada multiplicador. El resultado se llama producto.

EXACTA (R = 0) D = d. q

F actores

a a  a ... a  a n  p n veces

INEXACTA (R  0) D = d.q + r

1. Propiedades de la división inexacta:

multiplicando producto multiplicador

I. II. III. IV.

Algoritmo de la multiplicación Z

Algoritmo de la división:

0 r < d rmin = 1 rmax = d - 1 rmax + rmin = d

2. Clases de división inexacta

Observación:

POR DEFECTO

A × B × C × D =P

Factores Producto Suma de productos parciales: (x + y + z)

POR EXCESO

D d

D

rd q

re q 1

rd residuo por defecto

d

re residuo por exceso

rd  re  d

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ARITMÉTICA

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NÚMEROS N (MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN)

2.o año

Trabajando en Clase abc(4 + 3 + 2) = 4248 abc(9) = 4248 abc = 472

Integral 1. Indica la mayor cifra hallada: ×

Por lo tanto: a +b +c = 4 + 7 + 2 = 13. 7 9. La suma de productos parciales de abc × 187 es 12544. Calcula a + b + c

5 63 2. Un número se multiplica por 37 y al sumar los productos parciales resulta 7890. ¿Cuál es la suma de cifras del número?

10. En una división inexacta, el divisor es 43 y el cociente es 26 veces el residuo. Si dicho residuo es mínimo, calcula el dividendo.

3. Si cada asterisco representa una cifra. Calcula la suma de cifras del dividendo. *

7

*

* *

2

*

*

*

11. El producto de 3 números consecutivos es 990. Calcula la suma de los dos mayores números. UNI

4

12. La suma de los cuatro términos de una división es 425. Si se multiplica por 5 al dividendo y al divisor y se vuelve a efectuar la operación, la suma de los términos sería 2073. Calcula el cociente respectivo. Resolución: D + d + q + r = 425......................… (1) D = dq +r 5D = (5d)q + 5r (dato) 5D + 5d + q + 5r = 2073......................… (2) Multiplicamos (1) por 5 5D + 5d + 5q + 5r = 2125......................… (3) Restamos (3) y (2) 4q = 52 q = 13

3 Católica 4. Hallar un número que al ser divido entre 37 da un cociente de 12 y un residuo máximo. N = dividendo 37 = divisor 12 = cociente 36 = residuo máximo (37 – 1) N = 37 x 12+ 36 N = 480

13. La suma de los cuatro términos de una división es 98. Si se multiplica por 6 al dividendo y al divisor y se vuelve a efectuar la operación, la suma de los términos sería 528. Calcula el cociente respectivo.

5. Halla un número que al ser dividido entre 23 da un cociente de 16 y un residuo mínimo.

14. ¿Cuántos números existen que al dividirlos entre 16, se obtiene que el residuo es el triple del cociente respectivo?

6. 550392 es el producto de 2 factores siendo el multiplicador 852. Si la cifra de las decenas del multiplicando fuera 6. ¿Cuál sería el nuevo producto? 7. Si: abc × 999 =…456, calcula a +b + c UNMSM 8. La suma de productos parciales de abc × 342 es 4248. Calcula a + b + c Resolución: abc×3 + abc×4 + abc×2

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ARITMÉTICA

1 0

3 Operaciones combinadas en N Marco teórico Hemos venido a este mundo no solo para ganarnos la vida, sino para capacitar al mundo para que viva con una visión más amplia y con un delicado espíritu de esperanza y sentido. Hay un ideal más elevado que el solo estar en la vida del éxito, y es inclinarse y ayudar a levantar al desprotegido. Tómate un tiempo para estudiar las cualidades positivas de los niños e imita su capacidad de mantenerse llenos de energía, imaginación y completamente concentrados en el momento sin importar lo que pase alrededor.

Y Y por último las adiciones y sustracciones

Completa los espacios en blanco y resuelve las siguientes operaciones: a)

1  5 8  18 :  8 1   × – : =   –

b) En los momentos de crisis, solo la imaginación es más importante que el conocimiento

=

(36 : 4) + 5 × 8  + =

c) 8 × (5 + 7) – 54 : (9 + 9) = × – : =   –

1. CUATRO OPERACIONES Las cuatro operaciones fundamentales, es el instrumento matemático mas antiguo utilizado por el hombre que nos permite resolver problemas de carácter comercial y de la vida diaria. Estas operaciones fundamentales son la adición, sustracción, multiplicación y división.

2. ORDEN DE JERARQUÍA Cuando encontramos un conjunto de operaciones combinadas, debemos tener en cuenta lo siguiente para resolución de dicho problema: Y Primero se resuelve lo que está dentro de los signos de colección que son los paréntesis, corchetes y llaves (), [], {}. Y En segundo lugar las multiplicaciones y las divisiones

11

=

Ojo: 1. Si tienes varias operaciones de la misma jerarquía, es recomendable resolver de izquierda a derecha. 2. No te olvides que siempre el cociente por exceso es superior en una unidad al cociente normal (por defecto) 3. Si no se especifica qué tipo de división es, se deduce que es una división por defecto.

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2.o año

OPERACIONES COMBINADAS EN N

Trabajando en Clase Integral 1. Ronald tiene 10 canicas más que Manuel. Si juntos tienen 48 canicas, ¿cuántas canicas tiene Manuel? 2. En una granja hay 20 animales entre conejos y gallinas contándose 48 patas. ¿Cuántos de los animales son conejos? 3. De un recipiente de agua se extrae 20 litros, quedando en él 10 litros más de lo que se extrajo. ¿Cuál era el contenido inicial del recipiente?

10. Si Héctor vende cada lapicero a 2 soles, ganaría S/.16 en total. Si compró los lapiceros con S/.20, ¿cuántos lapiceros tiene para vender? 11. Dos móviles parten simultáneamente de dos ciudades distantes 920 km. Uno parte de A hacia B y el otro de B hacia A, el primero a 100 Km/H y el otro a 60 KM/H. Cuando el más veloz haya llegado a una ciudad C, ubicada entre A y B han pasado 5 horas. ¿Cuánto le faltará al más veloz para llegar a B cuando el otro ha llegado a C?

Católica 4. Valeria decide ahorrar 80 soles mensuales y Mateo 60 soles mensuales. ¿Después de cuántos meses Valeria tendrá ahorrado 100 soles más que Mateo? Resolución: Valeria 80 soles mensuales Mateo 60 soles mensuales Entonces Valeria ahorra 20 soles más por mes Por lo tanto para completar los 100 soles deberán pasar 5 meses 5. Nathaly decide ahorrar 90 soles mensual y Nancy 80 soles mensual. ¿Cuántos meses tienen que pasar para que Nathaly tenga 100 soles más ahorrado que Nancy? 6. ¿Cuánto le cuesta a Cecilia lo que al vender en S/.124 le deja una pérdida de S/.46? 7. Óscar le da a Raúl 142 soles y Raúl, 75 soles a Jaime, resultando así cada uno con 123 soles. ¿Cuánto tenía Raúl inicialmente?

UNI 12. Carlos paga una deuda de 138 soles con 42 monedas, unas de 5 soles y las otras de 2 soles. ¿Cuántas monedas de 5 soles emplea? Resolución: Sea: a(monedas de 5 soles) y b (monedas de 2 soles) Entonces: 5a + 2b = 138…(1) Además se tiene que a + b = 42….(2) Por lo tanto: a = 18 y b = 24 Entonces se utilizaron 18 monedas de 5 soles 13. Pedro paga una deuda de S/.540 con 15 billetes, unos de 20 soles y otros de 50 soles. ¿Cuántos billetes de 50 soles utilizó? 14. Un contratista ofrece a un obrero S/.20 por cada día de trabajo y S/.6 por cada día que por falta de obra no trabaje. Si después de 18 días el obrero recibe en total S/.248, ¿cuántos días no trabajó?

UNMSM 8 El producto de tres números impares consecutivos es 2145. Calcula la suma del mayor con el menor. Resolución: Los impares consecutivos serían: 11; 13; 15 11 × 13 × 15 = 2145 Por lo tanto 11 + 15 = 26 9. El producto de tres números pares consecutivos es 960. Calcula la suma del mayor con el menor.

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4 Números Z I Marco teórico NÚMEROS ENTEROS (Z)

Adición de números enteros

Hay cantidades que pueden tomarse en dos sentidos o condiciones opuestas, así, las temperaturas “grados sobre cero” y “grados bajo cero”, en una línea dirigirse a la derecha y luego a la izquierda, etc, son cantidades de sentidos opuestos que tienen origen común. Asimismo, el “haber” es condición opuesta al “debe”. Estos sentidos o condiciones opuestas de las cantidades se expresan por medio de los signos + y –; obteniéndose así los números enteros positivos y enteros negativos.

Y Con el mismo signo: Se suma los valores ab-

solutos y se mantiene el mismo signo. (+12)+(+24) = +36 (–36) + (–40) = –76 Y Con signo diferente: Se restan los valores absolutos y se mantiene el signo del mayor. (+34) + (–12) = +22 (+15) + (–40) = –25

Sustracción de números enteros. Lo recomendable es convertir la sustracción en una adición con el número opuesto: (+12) – (+32) = (+12) + (–32) (–76) – (–34) = (–76) + (+34) Z Observación importante 1. Todo número natural puede expresarse como un número entero positivo 2. El símbolo 0 no lleva ningún signo y es el origen de los enteros positivos y enteros negativos.

Z = {…; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3...}

Números opuestos: Ejemplos: 1. El opuesto de 24 es –24 2. El opuesto de –46 es 46

Trabajando en Clase Integral

Resolución:

1. Resuelve: (–12) + (+23)–(–5)+(–45) 2. Resuelve: [–12+(45 – (56+11)+50)]–32 3. Si un helicóptero asciende 400 m y luego desciende 127 m para finalmente ascender 45m. ¿A qué altura se encuentra del punto de partida? Católica 4. Coco quiere comprar un televisor LED a 1200 soles, un DVD a 325 soles y un equipo de sonido a 560 soles. Si solo tiene 2000 soles ahorrado, ¿le falta o le sobra dinero y cuánto?

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Televisor: 1200 DVD: 325 Equipo: 560 En total gastaría 2085 soles Como solo tiene 2000 soles entonces: Le falta 85 soles 5. Pedro quiere comprar un pantalón a S/.98, una camisa a S/.119 y unas zapatillas a S/.254. si solo tiene en su cuenta bancaria S/. 500, ¿le sobra o le falta dinero y cuánto? 6. Resuelve 10–[8–(2–7)+13–49] ARITMÉTICA

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2.o año

NÚMEROS Z I

7. Roberto extrae de un cilindro 34 litros de agua, más tarde vuelve a extraer 75 litros y finalmente agrega 45 litros. Si inicialmente había 120 litros, ¿cuántos litros de agua quedarán?

UNI 12. Dos personas tienen deudas, la primera, de S/.600 y la otra, de S/.460. Si las dos entran en un negocio en el que obtienen una ganancia, con lo cual pagan sus deudas, quedándoles a cada uno S/.250, ¿cuánto ganaron en el negocio entre los dos?

UNMSM Resolución: Ganancias totales = A + B 1° A – S/. 600 = S/. 250, entonces A = S/. 850 2° B – S/. 460 = S/. 250, entonces B = S/. 710

8. Una persona nació en el año 18 a.C. y se casó en el año 23 d.C. ¿A qué edad se casó dicha persona? Resolución: Edad aC

18

0

23

dC

Por lo tanto la edad sería 18 + 23 = 41 años 9. Si una persona nació en el año 23 a.C. y falleció en el año 45 d.C. ¿A qué edad falleció? 10. Si a un número le restamos el doble del opuesto de 423 se obtiene 742. ¿Cuál es dicho número? 11. Desde el punto de referencia se observa la fosa de las Marianas -11 034m, la de Tonga-10 882m y la de Puerto Rico –9 218m ¿Qué distancia hay entre la fosa de las Marianas y las de Puerto Rico.

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ARITMÉTICA

Por lo tanto, entre los dos ganaron: S/. 850 + S/. 710 = S/. 1560 13. Dos personas tienen deudas, la primera de S/.800 y la otra, de S/.580. Si las dos entran en un negocio en el que obtienen una ganancia, con lo cual pagan sus deudas, quedándoles a cada uno s/.300, ¿cuánto ganaron en el negocio entre los dos? 14. Un tren partió de un pueblo y viajó 75 km hacia el Oeste, de allí se dirigió hacia el Este, viajando 142 km. Por último se dirigió nuevamente hacia el Oeste, haciendo un viaje de 56 km. ¿Cuántos kilómetros y en qué sentido debe viajar para llegar al pueblo de donde partió?

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5 Números Z II Marco teórico La multiplicación era considerada una operación muy difícil en Europa antes del siglo XVI, pues aún se utilizaban los números romanos y, en este sistema de numeración las operaciones con números grandes son más difíciles que con el sistema decimal posicional. Antes de que se adoptara este sistema en Europa, la multiplicación sólo se enseñaba en las universidades.

Tipos de división:

Multiplicación Leyes de signos

D d EXACTA (r = 0) r D = d. q

(+)×(+)=(+) (–)×(–)=(+) (+)×(–)=(–) (–)×(+)=(–)

q INEXACTA (r  0) D = d.q + r

Pastillita:

Ejemplos: 1. (2)(-4) = -8 2. (-5)(-9) = 45 3. (-8)(9) = -72

“El hombre feliz es el que vive objetivamente, el que es libre en sus afectos y tiene amplios intereses, el que se asegura la felicidad por medio de estos intereses y afectos que, a su vez, le convirtieran a él en objeto de interés y al afecto de otros muchos”.

División Ley de signos

(+):(+)=(+) (–):(–)=(+) (+):(–)=(–) (–):(+)=(–)

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ARITMÉTICA

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2.o año

NÚMEROS Z II

Trabajando en Clase Integral 1.

[(20) : 2] × [6 × 3]9

2.

{2– 5 × 3 (3 – 4) : (9 – 10)}

3.

(4 + 8) : (–6) – 5 × 5

9. Si el producto de dos números positivos es 576 y su cociente es 4, ¿cuál es la suma de estos números? 10. Dos números enteros suman 37, si dividimos el mayor entre el menor, el cociente resulta 2 y el residuo 1. ¿Cuál es el número menor? 11. Calcula A + B si A = 7x(16) y B = 12x(-5)

Católica 4.

(((160 : 2) : 2) :2) : 2 Resolución: (((160 : 2) : 2) :2) : 2 (((80) : 2) : 2) :2 (((40 : 2) : 2) 20: 2 10

5. (810 : 3) :3):3):3 6. 5(216) : 45 – {(-[-2-18-4)-2] ) x5} + 2(12 x4: 16 - 25) 7. 2-{3-4x5 – [12:4-10+(2-5x3)-5x6: 15]}-(12-16)

UNMSM

UNI 12. Si en una división exacta, el divisor es -32 y el cociente -12. Calcula el dividendo. Resolución: D=dxq D = (-32) (-12) D = 384 13. Si en una división exacta, el divisor es -18 y el cociente, 23. Calcula el dividendo. 14. Si la edad de tu abuelo la multiplicas por 8, luego la divides por 10 y el cociente lo multiplicas por 3, añadiendo en seguida 36, obtendrías 180, ¿cuál es la edad de tu abuelito?

8. Si el producto de dos números no positivos es 243 y su cociente es 3, ¿cuál es la suma de estos números? Resolución: Sea a y b números negativos: (a)(b) = 243 ….(1) Luego a = 3 a = 3b...(2) b Reemplazamos 2 en 1. (3b)(b) = 243 b = -9 Por lo tanto a = -27 Nos piden: a + b = -36

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ARITMÉTICA

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6 Operaciones combinadas en Z Marco teórico ADICIÓN

SUSTRACCIÓN OPERACIONES COMBINADAS

CUATRO OPERACIONES MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

ORDEN DE JERARQUÍA Cuando encontramos un conjunto de operaciones combinadas, debemos tener en cuenta lo siguiente: 1. Se resuelve lo que se encuentra dentro de los signos de colección. Ejemplo: ( ), [ ], { }, etc. 2. Las multiplicaciones y divisiones

LEY DE SIGNOS Multiplicación

( + )×( + ) = ( + ) ( – )×( – ) = ( + ) ( + )×( – ) = ( – ) ( – )×( + ) = ( – )

división

(+):(+)=(+) (–):(–)=(+) (+):(–)=(–) (–):(+)=(–)

Ejemplo N°2

Nota:

Si Pablo necesita vender 30 camisas para obtener un total de S/.-492. Si 10 camisas vende a S/.18 cada una, pierde 7 camisas, ¿a cuánto debe vender las camisas restantes para llegar al monto deseado?

Recordar que siempre se empieza a resolver de izquierda a derecha

Solución: Z 10 camisas venden a S/.18 10 x 18 = 180 Z Pierde 7 camisas por lo tanto no recauda nada por esas camisas. Z Lo restante lo vende a S/. x 30 – 17 = 13 180 + 13x = 492 13x = 312 x = 24

Ejemplo N°1 (–30 : 3 × 4) × {(8) + (7 – 3)} –10 × 4 × (–8) + 4 –40

×

–4

160

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ARITMÉTICA

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2.o año

OPERACIONES COMBINADAS EN Z

Trabajando en Clase Integral 1. {(–3) × 4 + (–10)} + {(–48) : 12 + 12} 2. Francesca gana S/.300 por semana y gasta S/.224, Naomi gana S/.450 por semana y gasta S/.123. ¿Cuánto podrán ahorrar las dos juntas en 6 semanas? 3. El producto de 3 números consecutivos es 120, ¿calcula la suma de los números? Católica 4. Ricardo debe vender 215 cuadernos a S/.3 cada uno y 151 cuadernos a S/.5 pero si las vendió todas a S/.6, ¿cuánto gano o perdió Ricardo. Resolución: (215 + 151) x 6 = 2196 Venta real 215 x 3 + 151x 5 = 645 + 755 = 1400 Venta inicial Ganó 2196 – 1400 = 796 5. Patricia debe vender 200 thermos a S/.15 cada uno y 100 thermos a S/.22 cada uno pero si los vendió todas a S/.18, ¿cuánto gano o perdió patricia? 6. A un número se le multiplica por 2, le sumamos 10, al resultado lo dividimos entre 14, luego lo multiplicamos por 13 y finalmente extraemos la raíz cuadrada resultado 13, ¿cuáles es dicho número? San Marcos 7. Si Orlando recorre 15 cuadras en 45 minutos y Danna recorre 12 cuadras en 24 minutos, si los dos parten juntos a la casa de María que está a 60 cuadras, ¿cuántos minutos demoro uno más que el otro? 8. Al comprar un pantalón, una camisa y un par de zapatos se ha pagado por todo. S/. 400. Si el pantalón cuesta el triple de lo que cuesta la camisa y los zapatos cuentan S/. 50 más que el pantalón, calcular el precio de los zapatos. Resolución: Camisa: S/.x Pantalón: S/.3x Zapatos: S/. (3x + 50) X + 3x + 3x + 50 = 400 7x = 350 X = 50  Zapatos = (3x50 + 50) = S/.200

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ARITMÉTICA

9. María al comprar un vestido, una blusa y un par de botas a pagado S/.186 por todo si se sabe la falda cuesta S/.20 más que la blusa y las botas S/.70 más que la blusa, calcula el costo de la blusa. 10. Javier desea renovar su habitación para lo cual vende su cama, televisor y cómoda por un total de S/.3875 y compra una cama de S/.1023, un televisor plasma de S/. 1936 y una cómoda de S/.1300. ¿Cuánto dinero tuvo que aumentar Javier para adquirir estos nuevos productos? 11. Jorge realiza un pedido para abastecer su restaurante, si el primer día le traen 50 kg de arroz, el segundo día la mitad de lo que le trajeron el día anterior y el tercer día. 20 kg más de lo que le trajeron los dos días anteriores juntos. ¿a cuántos kg asciende el pedido que realizó Jorge? UNI 12. En una granja donde hay vacas y gallinas, se contaron 80 cabezas y 220 patas, ¿cuántas vacas hay en la granja? Resolución: Gallinas: x 2 patas Vacas= (80-x) 4 patas 2x + 4(80 -x) = 220 2x +320 – 4x = 220 320 – 2x = 220 320 – 220 = 2x 100 = 2x X = 50 Vacas: 80 – 50 = 30 En la granja hay 30 vacas. 13. Si en un evento se contaron 32 personas entre hombres y mujeres si se recaudó en total S/.299. ¿cuántos hombres hay en el evento si las mujeres pagan S/.7 por pasaje y los hombres S/12.? 14. En dos salones de clases hay 24 y 32 alumnos, ¿cuántos alumnos del segundo salón deben pasar al primero para que los alumnos que quedan en el primer salón sean el triple de los que quedaron en el segundo salón?

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7 Numeración I Marco teórico Numeración

a b cd

Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

Cifra de primer orden Cifra de segundo orden Cifra de tercer orden Cifra de cuarto orden

Número Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza y nos da la idea de cantidad.

Numeral Es la representación simbólica o figurativa del número mediante determinados símbolos o guarismos. Ejemplo: 4; IV; IIII

Lugar de una cifra

Es la posición que ocupa una cifra contando de izquierda a derecha. a b cd Cifra de cuarto lugar Cifra de tercer lugar Cifra de segundo lugar Cifra de primero lugar

Sistema decimal Es aquel sistema que emplea como base el número 10.

Representación literal de los números Para representar un número, se toma en cuenta la cantidad de cifras, empleando por cada una de ellas una letra del alfabeto, de preferencia minúscula. Para que se diferencie de una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal encima de las letras. Ejemplo: abcc representa un número de 4 cifras, donde a 0.

Importante Son cifras significativas aquellas que son diferentes de cero. Número capicúa Es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales o aquel número que se lee igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Ejemplo: abcba; 3443; 2m1m2

Orden de una cifra Toda cifra tiene asociado un orden, el cual se cuenta de derecha a izquierda.

19

Valor absoluto y valor relativo de una cifra Valor absoluto (V. A.) Es la cantidad de unidades que toma por su apariencia. Ejemplo: 4256 V. A.(2) = 2 V. A.(4) = 4

V. A.(5) = 5 V. A.(9) = 9

Valor relativo (V. R.) Es el valor que tiene por el orden que ocupa en un numeral. Ejemplo: 2549 V.R.(2) = 2000 V. R.(4) = 40

V. R.(5) = 500 V. R.(9) = 9

Descomposición polinómica Es la expresión de un número como la suma de sus valores relativos. Ejemplo: abcde = a × 104 + b × 103 + c × 102 + d × 101 + e

Advertencia pre El sistema decimal es un tema recurrente en los exámenes de admisión de San Marcos y Católica. ARITMÉTICA

7

NUMERACIÓN I

2.o año

Trabajando en Clase Integral

200 abc 300  2

1. Si ab + ba = 176 Hallar a + b 2. Realizar la descomposición polifónica de los siguientes numerales (2m)(m)(5m) a0(a + 1) 1a3b 3. ¿Cuántos de los siguientes números son capicúas? - 3333 - abab - (m + 3)bb(m + 3) - ana - abcdcba Católica 4. Calcular a + b + c si (2a + 3)(b – 1)(c – 1)5(2b – 8) 3a – 1) es capicúa Resolución: 2a + 3 = 3a – 1 3 + 1 = 3a – 3a a=4 b – 1 = 2b – 8 8 –1 = 2b – b 7=b C – 1 =5 C=6 a + b + c = 4 + 7 + 6 = 17

2abmayor posible 2 + a + b = 11 a + b =9 9 0 9. Si un número comprendido entre 400 y 500 tiene y la suma de sus cifras 9. Calcula la diferencia entre sus cifras de decenas y unidades; si el número es el mayor posible. 10. Si a0 ba b0 ab  a + b + 240 Calcular a + b, si 0 = cero 11. Calcula la suma de las cifras del menor número de 4 cifras del sistema decimal. UNI 12. Halla un número de cuatro cifras que empiece en 2 tal que si ese 2 se coloca al final del número, se obtiene otro número que excede al original en 1755. Dar la suma de sus cifras. Resolución Numero original = 2abc, luego abc2 = 2abc + 1755 10abc 2 2000 abc 1755 10abc abc 2000 1755 2 9abc 3753 abc 3753 abc = 417

5. Calcula m x n si el siguiente numeral es capicúa: (m–1)7(n – 2)4 6. Descomponer polinómicamente y efectúa (a – 2)(a – 1)2 + (a + 1)(a – 2)3 7. Calcular la suma de cifras del menor número de 4 cifras diferentes del sistema decimal San Marcos

9 Número original = 2417 Suma de cifras = 2 + 4 + 1 + 7 = 14 13. Hallar un número de 4 cifras que empiece en 3 tal que si este 3 se coloca al final, el número que se obtiene excede al original en 1719. Dar como respuesta la suma de cifras. 14. Si el numeral: b  b 5  b a   a b c  c   a 2  8     3  4  es capicúa hallar a + b + c

8. Si un número esta comprendido entre 200 y 300 y la suma de sus cifras es 11 calcula la diferencia entre sus cifras de decenas y unidades; si el número es el mayor posible. Resolución:

7

ARITMÉTICA

20

8 Repaso 1. En la panadería de Joselito se puso a la venta 480 panes, en la primera hora se vendió ¼; luego vendió 70; y por último vendió la mitad del resto. ¿Cuántos panes le quedan a Joselito? a) 150 b) 100 c) 145 d) 290 e) 245 2. En un campeonato de tiro, un aspirante gana 2 puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto si después de realizar 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de tiros acertados fue: a) 80 b) 100 c) 190 d) 78 e) 76 3. La suma de tres números consecutivos es 441 ¿cuál es el valor del menor de dichos números. a) 146 b) 147 c) 142 d) 145 e) N.A

a) 20(20 + a + b - 1) c) 400 + 20a + 2b -2 e) N.A

b) 200 + 20b + 2a - 2 d) 400 + 2 (a + b)

8. Calcular a + b +c: si el siguiente número es capicúa: abc725 a) 14 b) 15 c) 13 d) 12 e) N.A 9. Calcular a-b; si ab ba 54 a) 4 b) 5 d) 0 e) N.A

c) 1

10. ¿Cuántas cifras tiene el numeral cuya cifra de cuarto orden coincide con la cifra de quinto lugar? a) 7 b) 9 c) 8 d) 6 e) 10 11. Indica la suma de cifras del siguiente número

4. A un número se le suma 7, lo multiplicamos por 6, al resultado le restamos 8 y por último lo dividimos entre 4 y resulta 22. Hallar el número inicial. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 5. A una función de circo asistieron 35 personas, cada varón pago 18 soles. Además se recaudó S/.558 ¿cuántas mujeres asistieron a la función; sabiendo que ellas pagara la mitad de los varones? a) 16 b) 6 c) 10 d) 8 e) 9 6. La suma de tres números consecutivos es 123. Hallar el mayor de dichos números. a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 7. Descomponer polinomicamente 2  a 2(b 1) 2  a 2(b 1)

y

efectuar

21

a a (2a 3) 5 5  a) 9 b) 8 c) 10 d) 3 e) No se puede determinar 12. ¿Cuántos numerales de 2 cifras son iguales a 7 veces la suma de sus cifras? a) 900 b) 8 c) 6 d) 3 e) 4

Claves 01.

c

07.

c

02.

e

08.

a

03.

a

09.

b

04.

b

10.

c

05.

d

11.

a

06.

c

12.

e

ARITMÉTICA

8

Presentación El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes. El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él. Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas.

Juan Carlos Dianderas Gerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

ÍNDICE ARITMÉTICA ..................................................... 5 ● Numeración II (cambio de base) ......................... 7 ● Divisibilidad I ..................................................... 9 ● Divisibilidad II.................................................. 12 ● Números primos I ............................................. 14 ● Números primos II ............................................ 16 ● MCM – MCD I ................................................. 18 ● MCM – MCD II ................................................ 21 ● Repaso .............................................................. 23 ÁLGEBRA .......................................................... 25 ● Productos notables I.......................................... 27 ● Productos notables II ........................................ 29 ● División algebraica I: Método de Ruffini .......... 31 ● División algebraica II: Método de Horner ........ 34 ● Factorización I .................................................. 36 ● Factorización II ................................................. 38 ● Ecuaciones de segundo grado I ......................... 40 ● Repaso .............................................................. 43 GEOMETRÍA .................................................... 45 ● Líneas notables asociadas al triángulo .............. 47 ● Congruencia de triángulos ................................ 50 ● Aplicaciones de la congruencia ........................ 53 ● Polígonos: clasificación y propiedades ............. 56 ● Cuadriláteros y trapecios .................................. 59 ● La circunferencia: propiedades ......................... 63 ● Circunferencia: ángulos asociados.................... 66 ● Repaso .............................................................. 70 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ............ 73 ● Juego de ingenio ............................................... 75 ● Inducción matemática ....................................... 78 ● Deducción matemática ..................................... 81 ● Conteo de figuras I............................................ 83 ● Conteo de figuras II .......................................... 86 ● Analogías y distribuciones ................................ 89 ● Problemas sobre intervalos de tiempo, longitudes y saludos .......................................... 91 ● Repaso .............................................................. 95

2.° año

FÍSICA............................................................................ 97 ● Movimiento rectilíneo uniforme I..................... 99 ● Movimiento rectilíneo uniforme II ................. 102 ● Movimiento rectilíneo uniformemente variado I ............................................................106 ● Movimiento rectilíneo uniformemente variado II ..........................................................109 ● Movimiento vertical de caída libre I ................ 113 ● Movimiento vertical de caída libre II............... 117 ● Fuerzas, leyes de Newton................................. 120 ● Repaso ................................................................ 124 QUÍMICA ..................................................................... 127 ● Tabla periódica: antecedentes y estructura ...... 129 ● Clasificación de los elementos químicos ......... 132 ● Ubicación de los elementos del grupo A en la tabla periódica actual ....................................135 ● Enlaces químicos – factores............................. 138 ● Enlaces iónicos ................................................ 141 ● Enlace covalente ................................................ 145 ● Nomenclatura inorgánica - estado de oxidación......149 ● Repaso ................................................................ 153 BIOLOGÍA ................................................................... 155 ● Tejido epitelial y tejido conectivo propiamente dicho ...........................................157 ● Tejidos cartilaginoso y adiposo ....................... 162 ● Tejido óseo ...................................................... 166 ● Tejido sanguíneo ............................................. 170 ● Tejido muscular ............................................... 175 ● Tejido nervioso................................................ 179 ● Histología vegetal .............................................. 183 ● Repaso ................................................................ 188

Aritmética

1 Numeración II (cambio de base) Principales sistemas de numeración Sistema de Numeración Binario o dual Ternario Cuaternario Quinario Senario o sexanario Heptario Octario u octal Nonario Decimal o décuplo Undecimal Duodecimal

Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Resolución: 324(6) = 3 × 6² + 2 × 6¹ + 4 = 108 + 12+ 4 = 124

Cifras 0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; …; 6 0; …; 7 0; …; 8 0; …; 9 0; …; 9; (10) 0; …; 9; 10; (11)

Es decir: 324(6) = 124

Caso N.° 2 De base 10 a base «n» El único método es el de divisiones sucesivas. Ejemplo: convertir 1234 a base 5 Resolución: 1234 5 23 34

6 2

12

78

13

83

Descomposición polinómica Ejemplo: convertir 324(6) a base 10

2.°

año

5

4

9

5

4

1

1 7 1

 1234 = 14414 5) (

5

2

7

84

12

86

Es decir: 152(7) = 86 2.° paso: convierte el número 86 a base 11, a través de divisiones sucesivas. 86 11 86 = 79(11) 77 7 9 Propiedad fundamental Dado: abc(n) = pqr(m) abc > pqr  n <m abc < pqr  n >m

Es decir: 215(6) = 83 Z

49

De base «n» a base «m» Ejemplo: Convertir 152 (7) al sistema de numeración undecimal Resolución: 1.er paso: convierte 152(7) a base 10

De base «n» a base 10 existen dos métodos: método de Ruffini y método de descomposición polinómica. Z Método de Ruffini Ejemplo: convertir 215 (6) a base 10 Resolución: 5

1

Caso N.° 3

Cambios de base en Z Caso N.° 1

1

5

4

Con frecuencia se estila utilizar las siguientes letras para denotar algunas cifras: Alfa = 10 Beta =11 Gamma = 12 Delta =13 Épsilon = 14

2

246

7

ARITMÉTICA

1

NUMERACIÓN II (CAMBIO DE BASE)

Trabajando en clase Integral

6. Calcula: a + b. Si: 276(8) = abba(4)

1. Convierte, mediante descomposicion polinómica, los siguientes numerales a base 10: Y 523(7) Y 2353(6) Y 382(9)

7. Calcula: p + q + r. Si: pqr (7) = 277(9) UNMSM

2. Convierte los siguientes numerales de la base 10 a la base pedida. Y 5738 a base 8 Y 952 a base 9 Y 327 a base 3

8. Calcula «b»: si b50 = b0005 Resolución: Descomposición polinómica: b50 = b0005 100b + 50 = 125b 50 = 25b Simplificamos: 2=b

3. Convierte el numeral 817(9) a base 5.

9. Calcula «b» si 2 b32 = b0006 10 .Calcula «a + b + c», si se sabe que los siguientes números están bien escritos: a58 ; 75b ; (9) (a) 3c6(b); 154(c)

PUCP 4. Calcula D + A + M + E. Si: DAME(7) = 5124(6). Resolución:

11. ¿En qué sistema de numeración se cumple que 2225 – 2010 = 215?

Descomposición polinómica 5124(6) a base 10. 5124(6) = 5 6³ + 1 6² + 2 61 + 4 = 1080 + 36 + 12 +4 = 1132 Ahora debemos pasar a base 7 por divisiones sucesivas: 1132 7 161

7

12

21

23

7

5

0

2

3

43



UNI 12. Si se sabe que a00a(5) = bc4; 0 es cero, a≠0. Determina a + b + c Resolución: Descompósicion polinómica: a00a (5) = bc4 a 5³ + a = bc4 125a + a = bc4 126a = bc4 126(a) = bc4  4  a = 4 Reemplazamos: 126(4) = bc4 504 = bc4 ⇒b=5 ⇒c=0 a + b +c = 4 + 5 + 0 = 9

1132 = 3205 (7) DAME(7) = 3205(7) D=3 A= 2 M =0 E =5 Rpta.: 3 +2 +0 + 5 = 10

13. Si se sabe que p000(7) = q0rg , 0 es cero, p ≠ 0, determina «p + q + r» 14. Calcula a b, si: ab 6+ ba + aa =6 46 5

5. Calcula: abc + cba + bab: si 2278(9) = ababc(5).

1

ARITMÉTICA

8

2.° año

2 Divisibilidad I 1. Divisibilidad de números

2. Si A no es múltiplo de B (o no es divisible, que es lo mismo), entonces por el teorema fundamental de la división entera:

Un número entero es divisible entre otro positivo (módulo), cuando al dividir el primero entre el segundo, el cociente es entero y el residuo, cero.

●

A B 0 K Donde: A: número entero B: número entero positivo (módulo) K: número entero

División entera por defecto: A B r K



A=BK+r



° A = B + rd

 ●

2. Multiplicidad de números

División entera por exceso: A B re K+1

Un número entero es múltiplo de otro positivo (módulo), cuando es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por un entero cualquiera.

 



A=BK

1.

1. A es múltiplo de B → A = B° Además:

2. ° B = B  K, Kz

° ° ° n–n= n Ejemplo: 35 – 14 = 21    ° ° ° 7 7 7

24 = 8 3

24 es divisible por 8 <> 24 es múltiplo de 8. ° ● 0 = 11 porque 0 = 11 (0) 20 = °1 porque 20 = 1 (20) 7 = °7 porque 7 = 7 (1) –36 = 9 porque –36 = 9  (–4) °

año

n° + n° + n° = n° Ejemplo: 12 + 8 + 20 = 40     ° ° ° ° 4 4 4 4

3. Notación y representación general

2.°

° A = B – re

4. Principios de la divisibilidad

Donde: A: número entero B: número entero positivo (módulo) K: número entero

Ejemplos: 24 8 ● 0 3

A = B K – r e

3.

° ° K. n = n , KZ Ejemplo: 5 16 = 80 °  K  8  °

9

8

ARITMÉTICA

2

DIVISIBILIDAD I

5. Propiedad 1 ° Si: N = a N = b° ° N= c

7. Principio de Arquímedes ° Si: A × B = C

° N = mcm(a, b, c)

° N = mcm(a, b, c) +r

Importante ° n+ a

n° + b





AZ y BZ

Además, si A y C no tienen divisores comunes, aparte de la unidad, es decir, son primos entre si (PESI), entonces: ° B=C Ejemplos: ° ° Y 7C = 11 7 y 11 son PESI C = 11 =11K; KZ ° 15 y 35 son °5 , dividimos Y 15A = 35 miembro a miembro + 5 5 Y 3A = °7 A = 7° = 7K; KZ

6. Propiedad 2

° Si: N = a + r ° N= b +r N = °c + r

→

n° + c = n° + a  b  c

PESI

Trabajando en clase Integral 1. ¿Cuántos múltiplos de 4 existen entre 10 y 30?

7. Calcula (A + B + C) entre 7 si: A = ° 7+ 2 B = °7 – 3 ° C= 7 + 4

2. Todo numeral de la forma aaa, siempre es divisible por:

UNMSM

° 3. Si 2M = 5 , calcula la suma de los 2 menores valores

8. Se sabe que un número es °4 y 7° simultáneamente. Si dicho número tiene 3 cifras, calcula su máximo valor. Resolución: 4° ° ° N N = mcm(4 y 7) = 28 7°

PUCP ° 4. ¿Cuántos números de 6de 3 cifras existen? Resolución: abc = 6° = 6k 100 abc < 1000

N = 28k

100 6K < 1000 6 6 6

N = 3 cifras N = abc = 28k 100 28k < 1000 100 1000 28K 28 < 28 28

16, 6 k < 166,… K = {17; 18; 19; ……..:166} 166 – 16 = 150 ° 5. ¿Cuántos números de 8 de 3 cifras existen?

3,5 k < 35 K = { 4; 5; 6; ……;35} Nmáx : 28(35)= 980

6. En un salón de clases se sabe que la tercera parte de los alumnos usa gorra, la quinta parte usa lentes y la sexta parte usa reloj. Además, el número de alumnos de dicho salón está comprendido entre 80 y 110. Calcula el número de alumnos.

2

ARITMÉTICA

° y ° simultánea9. Se sabe que un número es 9 6 mente. Si dicho número tiene 3 cifras, calcula su mínimo valor.

10

2.° año

DIVISIBILIDAD I 10. Del 1 al 360

En general: °6 = 6k

° Y ¿Cuántos son 9 ? ° Y ¿Cuántos son 4 ?

6k = 9° 2k = 3 °

K = 3° = 3n

°

Y ¿Cuántos no son 4 ni 9 ?

1 3n 100

11. Un número al ser dividido entre 7, deja como residuo 2; y al ser dividido entre 11, deja como residuo 6. Calcula el residuo de dividir dicho número entre 77.

0, ……. ≤ N ≤ 33,3 N = {1; 2; 3; 4; …….; 33} 33 valores ° 13. Indica cuántos 12hay en la siguiente sucesión: 8; 16; 24; 32; ..................; 1600

UNI ° 12. Señala cuántos hay en la siguiente sucesión: 9 6; 12 ; 18; 24 ; ………….; 600 Resolución: (61) ; (62) ; (63); …………….(6100)

2.° año

14. En una división, el divisor es 13 + 2 ; el cociente es ° 13 + 5 y el residuo es 13 – 3. ¿De qué forma será el dividendo?

11

ARITMÉTICA

2

3 Divisibilidad II 1. Criterios de divisibilidad Divisibilidad por 2 ° ° abcde = 2 e = 2

Divisibilidad por 5 ° ° abcde = 5 e = 5 Es decir: e = 0 e = 5

Es decir: e {0; 2; 4; 6; 8} Divisibilidad por 4 ° ° abcde = 4 de = 4 ° o 2d + e = 4

Divisibilidad por 25 ° ° abcde = 25 de = 25 de {00; 25; 50; 75}

Divisibilidad por 8 ° ° abcde = 8 cde = 8

Divisibilidad por 7 1 –2 –3 –1 2 3 1

° o 4c + 2d + e = 8

° ° a b c d e f g = 7 a – 2b – 3c – d + 2e + 3f + g = 7

Divisibilidad por 3 ° ° abcde = 3 a + b + c + d + e = 3

Divisibilidad por 11 ° ° abcde = 11 a – b + c – d + e = 11 + – + – +

Divisibilidad por 9

Divisibilidad por 33 o 99 ° ° abcde = 33 o 99 ° ° a + bc + de = 33 o 99

° ° abcde = 9 a + b + c + d + e = 9

2. Divisibilidad compuesta Si a y b son PESI ° ° ° Si a.b N = b y N = a ° ° ° Ejemplo: N = 15 N = 5 y N = 3 Otros ejemplos: ° N= 5 ° Si N = 10 ° N= 2 ° Si N = 12

3

ARITMÉTICA

° N= 4 ° N= 3

12

° Si N = 72

° N= 9 ° N= 8

° Si N = 30

° N= 5 ° N= 3 ° N= 2

2.°

año

DIVISIBILIDAD II

Trabajando en clase Integral

9. Calcula «m»: 3129m3 = °9

1. Calcula la suma de los valores que puede tomar ° «a» si abc = 2 .

10. Calcula a + b ° a245b7a = 45

2. Calcula el máximo valor de n + p; n3p = °9 .

11. Calcula «b»; 86427b4 = °9

3. Calcula «x»; x56x =5° .

UNI

PUCP

12. Calcula el máximo a + b; 5a9467b8 = ° 72 Resolución: ° 8 ° 72 9° ° ° Y 8 7b8 = 8 28 + 2b + 8 = ° 8

4. Calcula «a»; 4a5286 =11° . Resolución: ° 4 a 5286 = 11 –+–+–+–+

° –4 + a – 5 + 2 – 8 + 6 = 11 ° a + 8 – 17 =11 ° a – 9 = 11 

a =9

2b + 36 = 8°

° 5. Calcula «x»; 34x876 = 11

° 2b + 4 = 8 b = 2.6

6. Calcula la suma de los valores que puede tomar «x»; 572468a = °8 Y

7. Calcula la suma de los valores que puede tomar

° 5+a+9+4+b+7+b+8= 9

° «x»; 865x5 =25

39 + a + b = °9

UNMSM

36 + 3 + a + b = °9

8. Calcula «b»; 367b02 = °7 Resolución: 2 3 1 2 3 1 367 b 02 = °7 –

{ {

a + b + 3 = °9 4 4 0 0 9 9

+

° – b – 18 – 7 + 2b + 2 = 7 ° 2b – 31 + 2 = 7 ° 2b – 29 = 7 ° 2b – 21 – 8 = 7 ° 2b – 8 = 7  4 b = 4

2.° año

° ° 95a9468b8 =9

(a + b)máx = 15 ° 13. Calcula x2; si «y» es máximo: 30x5y2 = 36 14. Sabiendo que: ° 26xy8 = 33 ¿Cuántos números cumplen con dichas condiciones?

13

ARITMÉTICA

3

4 Números primos I 1. Conjunto numérico de aplicación: Z+

4. Números primos entre sí (PESI), coprimos o primos relativos

Clasificación de los números enteros positivos: Z + ={1; 2; 3; 4; 5; 6; ....} Luego: Y Unidad Z Simples Y Primos Z+ Z Compuestos

Dado un conjunto de dos o más números, se dice que son primos entre sí (PESI) cuando tienen como único divisor común a la unidad. Los números PESI toman el nombre de coprimos. Ejemplo 1: Sus divisores 8 1; 2; 4; 8 3 1; 3; 5; 15

2. Número primo absoluto Son aquellos números que poseen solamente dos divisores diferentes que son la unidad y el mismo número. Ejemplos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ... Sus divisores 2 1; 2 3 1; 3 5 1; 5

Como la unidad es el único divisor común, se afirma que 8 y 15 son PESI. Ejemplo 2: Número 15 25

Nota: A los números primos absolutos se les llama también «números primos».

1; 3; 5; 15 1; 5; 25

15 y 25, los divisores comunes: 1 y 5.

5. Teorema fundamental de la aritmética

3. Número compuesto

Todo número entero positivo mayor que la unidad, se puede expresar como la multiplicación de sus divisores primos diferentes, elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos. Ejemplo 1: Descompón canónicamente el número 1400. Resolución: 1400 2 700 2 350 2 175 5 35 5 7 7 1

Son aquellos números que poseen más de dos divisores. Ejemplos: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; .... 4 6 8

Divisores

Sus divisores 1; 2; 4 1; 2; 3; 6 1; 2; 4; 8

Advertencia pre Si un número tiene dos cifras o más: Z No son primos si terminan en cifra par, en 5 o en cero. Z No son primos aquellos cuya suma de cifras es múltiplo de tres.

1400 = 23 52 7 Descomposición canónica (D.C.)

4

ARITMÉTICA

14

2.°

año

NÚMEROS PRIMOS I

Trabajando en clase Integral

Resolución: a + b + c = 31 La forma más rápida es empezar a tabular valores. a + b + c = 31    7 11 13 Nos piden: 7 11 13 = 1001

1. Calcula la suma de los primeros 5 números primos enteros. 2. Calcula la suma del cuarto número simple y el tercer número compuesto. 3. Escribe V o F según corresponda. I. 1 es un número primo. II. 6 es el primer número compuesto. III. 343 es número primo.

9. Si la suma de tres números primos consecutivos diferentes es 49, calcula el producto de estos números.

( ) ( ) ( )

10. Descompón canónicamente el número 2730 y calcula la suma de sus exponentes.

PUCP 4. Realiza la descomposición canónica de 32 000 000 Resolución: 26  5 6 32 000 000 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1

11. Calcula a + b + c + d; si la descomposición canónica de 240 es ab c d UNI 12. ¿Cuál de los siguientes números no es primo? 12(5); 21(5); 32(5); 43(5); 42(5) Resolución: Se cambia de base 5 al sistema decimal.

DC (32 000 000) = 211 56 Recuerda que cifra «0» proviene de un 2 5

12(5) = 1 5 + 2 = 7 21(5) = 2 5 + 1 = 11 32(5) = 3 5 + 2 = 17 43(5) = 4 5 + 3 = 23

5. Realiza la descomposición canónica de: 273 000 000

42(5) = 4 5 + 2 = 22 Nos piden cual número no es primo:

6. Indica cuál de los siguientes grupos forman números PESI: a) 15; 27; 51 b) 56; 27; 23 c) 96; 324; 52

22 = 42(5) 13. ¿Cuál de los siguientes números no es primo? 13(6); 15(6); 111(6); 25(6)

7. ¿Cuántos números primos hay entre 25 y 50? UNMSM

14. Calcula M + N: M = mayor divisor primo del número 12. N = menor divisor compuesto del número 16.

8. Si la suma de tres números primos es 31, calcula el producto de estos números.

2.° año

15

ARITMÉTICA

4

5 Números primos II Número total de divisores de un número

Donde:

Para determinar el total de divisores de un número, se aumenta en 1 a los exponentes de sus factores primos y se calcula el producto de los exponentes así modificado.

a, b, c son los factores primos x, y, z son los exponentes de cada factor primo. El número de divisores del número N está dado por la siguiente fórmula:

Ejemplo 1

Número de divisores: (x + 1)(y +1)(z + 1)

Determina el número de divisores de 40.

Z

Resolución Con respecto a los divisores, debemos tener presente lo siguiente: Z Divisores simples: Son todos aquellos divisores que a la vez son números primos, a excepción de la unidad. Z Divisores compuestos: Son aquellos números que no son primos ni la unidad. Z Divisores propios: Son todos los divisores de un número, excepto el mismo número.

Descomponemos el 40 en sus factores primos: 40 = 23 51 40 20 10 5 1

2 2 2 5

CD = (3 + 1)(1 + 1) CD= 4 2 CD = 8

Para un mejor analísis, coloquemos los divisores de 36.

Ejemplo 2

36

Determina el número de divisores de 180.

Z

1

2

3

4

6

9

12 18 36

Resolución: La unidad

Descomponemos 180 en sus factores primos. 180 = 22 32 51 180 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

De donde se desprende lo siguiente:

CD = (2+1)(2+1)(1 + 1) CD= 3 3 2 CD = 18

CD(N) = CD primos + CD compuestos + 1 Obviamente, el 1 de la expresión es el divisor especial. Además, debemos tener en consideración: CD(N) = CD primos + CD compuestos + 1

Si un número N se factoriza en sus factores primos, quedaría representado de la siguiente manera:

CDpropios = CD(N) –1 CDprimos = CDsimples – 1

N = ax  by  cx

ARITMÉTICA

Divisores compuestos

Divisores simples

Generalizando

5

Divisores primos

16

2.°

año

NÚMEROS PRIMOS II

Trabajando en clase 540 = 22 33 5

Integral 1. ¿Cuántos divisores simples tiene 350?

CD(220) = (2+1)(1+1)(1+1)

2. Calcula A + B A = divisores primos de 4900 B = divisores compuestos de 12100

Nos piden:

3 2 2 = 12 24 – 12 = 12 9. ¿Cuántos divisores más tiene el número 360 que 143?

3. Determina el número de divisores de 2250 10. Calcula los divisores primos, compuestos y simples del número 720 y da como respuesta la suma de ellos.

PUCP 4. Si 45n 21 tiene 144 divisores, calcula el valor de «n». Resolución: Primero se realiza la descomposición canónica del número: 45n 21 = 3(2n+1)5n 7 CDtotales = (2n+2)(n+1)(1+1) = 144 (n + 1)2 4 = 144 (n + 1)2 = 36 n + 1= 6 n =5

11. ¿Cuántos divisores múltiplos de 3 tiene 882?

UNI 12. Si A tiene 19 divisores compuestos, calcula «k» A = 4k+1 + 4k Resolución: 4k(4+1) 22k 5 CDcompuestos = CDtotales – CDsimples 19 = (2k + 1)(1 + 1) –3 19 = (2k+1)(2) – 3 22 = (2k + 1)2

5. Si 35n 9 tiene 147 divisores, calcula el valor de «n». 6. Calcula la suma de los divisores primos de 660. 7. ¿Cuántos divisores compuestos tiene A B? A = 35 7 B = 23 72

13. Si A tiene 28 divisores compuestos, calcula «n». A = 3n+2 + 3n

UNMSM 8. ¿Cuántos divisores más tiene el número 540 que 220? Resolución:

14. Si M tiene 25 divisores más que N, calcula «x» M = 36x N = 24x

Primero realizamos la D. C. de cada número:

2.° año

17

ARITMÉTICA

5

6 MCM – MCD I Máximo común divisor (MCD)

factores primos comunes, luego se multiplican dichos factores primos. Ejemplo: Calcula el MCD de 60; 80 y 140.

Es el mayor número entero positivo que divide exactamente a un conjunto de números enteros positivos. Observa con atención: Num. 24

Divisores 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8; 12 ; 24

48

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8; 12 ; 24; 48

36

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9; 12 ; 18; 36

3

4

7

2 2 5

Factores primos comunes

Y Para obtener el MCM de un conjunto de nú-

meros enteros positivos, extraemos los factores primos comunes y no comunes hasta obtener la unidad en cada caso. Ejemplo: Calcula el MCM de 60; 80 y 140

1 y 12 2 y6 3 y4 Son los divisores comunes de 24; 48 y 36 Los divisores de 12 son

60 30 15 15 15 5 1 1

Mínimo común múltiplo (MCM) Es el menor número entero positivo que es múltiplo común de un conjunto de número también enteros positivos. Múltiplos positivos 15; 30; 45; 60 ; 75; ...; 120 ; ... ; 180

80 40 20 10 5 5 1 1

140 70 35 35 35 7 7 1

2 2 2 2 5 5 7 1 MCM = 24 ; 3; 5; 7 = 1680

10

10; 20; 30; 40; 50; 60 ; 70; ...; 120 ; ... ; 180

20

20; 40; 60 ; 80; ...; 120 ; ... ; 180

2. Mediante la descomposición canónica Luego de realizar la descomposición canónica de cada número: Y El MCD se obtiene al multiplicar los factores primos comunes elevados en sus menores exponentes.

Los múltiplos comunes son: 60, 120; 180; ... El MCM es 60.

Método de cálculo 1. Mediante descomposición simultánea

Y El MCM se obtiene multiplicando los factores

primos comunes y no comunes elevados en su mayores exponentes.

Y Para calcular el MCD de un conjunto de nú-

meros enteros positivos, se extraen todos los

6

140 70 35

MCD = 2 5 = 20

El MCD es 12.

15

80 40 20

PESI

Los divisores comunes de: 24; 42 y 36 1; 2; 3; 4; 6 y 12.

Num.

60 30 15

ARITMÉTICA

18

2.°

año

MCD – MCM I Ejemplos: Calcula el MCD y MCM de 100; 180 y 120. Realizamos la descomposición canónica de dichos números 100

2

180

2

120

2

50 25 5 1

2 5 5

90 45 15 5 1

2 3 3 5

60 30 15 5 1

2 2 3 5

100 = 22 52 180 = 22 32 5 120 = 23 3 5

MCD = 22 5 = 20

MCM = 22 52 32 = 1800

Producto de los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes.

Producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes.

Trabajando en clase Integral

7. Si MCD(17A; 23A) = 16 Calcula: A + 36

1. Calcula: A + B. Si A = MCD(50; 40) y B = MCM(70; 30)

5

2. Calcula el MCD(A; B; C) y da como respuesta la suma de sus cifras. A = 4 6 15 B = 8 18 21 C = 2 12 33

UNMSM 8. Si MCM(69P; 18Q; 24R) = 90 Determina: MCM(9P; 3Q; 4R) Resolución: MCM(36P); 18Q; 24R = 90 6 6 6 6

3. Calcula el MCD y el MCM de A y B. A = 24 32 56 y B = 2 33 7 11

MCM(6P; 3Q; 4R) = 15 PUCP 9. Si MCD(90A; 225B) =360

4. ¿Cuál es el mayor número que divide exactamente a 50 y 165? Resolución: 50: 25 2 165: 3 5 11 Piden MCD = 5 MCD(50; 165) = 5

Calcula: MCD(2A; 5B) 10. Si en los números: A = 210 36 54 7 112 B = 28 3853 74 113

5. ¿Cuál es el mayor número que divide a 60 y 180?

Se cumple que:

6. Si el MCM(3A; 2A) = 36, calcula: 6A

Calcula: C + E + S + A + R

MCD(A; B) = 2C 3E 5S 7A 11R

2

2.° año

19

ARITMÉTICA

6

MCD – MCM I 11. Si el MCM(2k; 8k; 12k) = 72 Calcula el valor de «k»

13. Determina el valor de «n» si el MCM de A y B tiene 352 divisores: A = 72n 750

UNI

B = 4 90n

12. Calcula «n» si A y B poseen 20 divisores comunes. A = 12n 10 B= 10n 12 Resolución: A = 12n 10 = 22n+ 1 3n 5 B= 10n 12 = 2n+2 3 54 MCD = 20 2n+23 5 20 = (n+3)(2)(2) 5 = n +3 2 =n

6

ARITMÉTICA

14. Determina el valor de (a + b + c)2 Si: 2a 5b 11c = 5500

20

2.° año

7 MCM – MCD II PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS Z Dados 2 números A y B, se cumple que:

Z Si la división resulta inexacta, seguimos divi-

diendo; esta vez, el número menor por el residuo obtenido y así sucesivamente, hasta encontrar la división exacta. Ejemplo: Y Calcula el MCD de 1170 y 480 Resolución: Cocientes

MCD(A; B)MCM(A;B) = AB Dados 2 números consecutivos A y A + 1, se cumple que:

Z

MCD(A; A +1) = 1 MCM(A; A+1) = A(A+1) Z Dados 2 números A y B, de modo que A es múlti-

plo de B, se cumple que: MCD(A;B) = B MCM(A; B) = A

1170

2 480 210

2 210 60

ALGORITMO DE EUCLIDES

3 60 30

2  30 0

MCD

Residuos

Llamado también «Método de las divisiones sucesivas», se utiliza únicamente para calcular el MCD de 2 números. Z Se divide el mayor de los úmeros por el menor. Si la división resulta exacta, diremos que el menor número es el MCD.

Podemos observar que: 1170 = 480 2 + 210 480 = 210 2 + 60 210 = 60 3 + 30 60 = 30 2

Trabajando en clase Integral

Resolución:

1. Si el MCD de dos números es 11 y su MCM es 55, calcula el producto de dichos números

375

2. EL MCM de dos números es 240 y su MCD es 2, Si uno de los números es 16, ¿cuál es el otro?

3 110 45

2 45 25

2 20 5

4 5 0

Mayor: 375

3. Calcula el MCM de 300 y 108 usando el algoritmo de Euclides e indica la suma de los cocientes obtenidos.

5. El MCD de dos números es 8 y los cocientes de las divisones sucesivas para dicho MCD son 2; 2; 1; 1; y 7. Determina la diferencia de dichos números.

PUCP

6. Si el MCM de dos números PESI es 165, ¿cuál es el producto de dichos números?

4. Los cocientes obtenidos al efectuar el algoritmo de Euclides de dos números son: 3: 2: 2 y 4, calcula el mayor de los números si su MCD es 5.

7. Determina la suma de dos números PESI si su diferencia es 1 y su MCM, 56.

2.°

año

21

ARITMÉTICA

7

MCD – MCM II 11. Si M>2, calcula MCD[(m– 2)1a; (m–2)1(a+1)]

UNMSM 8. Calcula 2A; si MCM(A; A+1) = 56. Resolución: Dato:

UNI 12. Calcula A B 12 MCD(2A; 3B) = MCM(2A; 3B) = 60k

MCM(A; A+1)=56

k

Del dato: se observa que A y A+1 son números consecutivos, por lo tanto: MCD (A; A+1) =1 Se sabe que: MCD(A; A+1) MCM(A;A+1) = A.(A+1) Reemplazando valores: 1 56 =A(A + 1) 7 8 = A(A + 1) A =7 Nos piden: x = 2A x = 2(7) x = 14

Resolución: 12 MCD(2A; 3B) =

k MCM(2A; 3B) = 60k Se sabe que: MCD(2A; 3B) MCM(2A; 3B) = (2A)(3B) 12 (60k) =2A 3B

k A B = 120

9. Calcula 3x si MCM (x; x+1) = 72

25 13. Calcula A B, si: MCD(5A; 2B) = k MCM(5A; 2B) = 16k

10. La suma de dos números es 760 y los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides fueron: 4; 2 y 3. Calcula dicho MCD.

14. Calcula «a + b»; si al calcular el MCD de 2bb7 y aaa por el algoritmo de Euclides se obtuvieron los siguientes cocientes: 3; 2; 1 y 2.

7

ARITMÉTICA

22

2.° año

8 Repaso 1. Calcula «a + b + c» si 315(8) = abc(6) a) 14 c) 13 e) 11 b) 13 d) 10

7. Determina lacantidad de divisores compuestos de 240. a) 15 c) 18 e) 20 b) 16 d) 17

2. Calcula premar + par; si: pamer(5) = 4231(6) a) 102380 c) 101390 e) 101380 b) 101440 d) 56743

8. Calcula «n» si E tiene 32 divisores: E = 2 15n a) 8 c) 2 e) 1 b) 3 d) 1 9. Si el MCM(2k; 8k; 12k) = 72. Calcula el valor de «k». a) 3 c) 6 e) 1 b) 4 d) 5

3. Determina la cantidad de números múltiplos de 13 que existen entre 73 y 493. a) 37 c) 31 e) 30 b) 32 d) 33

10. El MCM de dos números es 175 y su MCD es 6. Si uno de ellos es 25, ¿cuál es el otro? a) 37 c) 41 e) 42 b) 40 d) 39

4. Determina el residuo de A + B – C entre 13: ° ° ° A = 13 + 9 B = 13 – 5 C = 13 – 11 a) 5 c) 8 e) 9 b) 6 d) 7

11. Si MCD(n; n –1) = a3 – 26, calcula 2a. a) 6 c) 4 e) 5 b) 8 d) 7 12. El MCM de dos números es 630, si su producto es 3780, ¿cuál es su MCD? a) 5 c) 6 e) 3 b) 7 d) 4

5. Calcula el residuo por exceso de dividir B entre 5. ° ° ° ° B =( 5 – 4)( 5 – 2)( 5 + 3)( 5 – 1) a) 8 c) 4 e) 2 b) 3 d) 1 6. Señala las proposiciones verdaderas: I. 32 tiene 6 divisores. ( II. 35 tiene 3 divisores ( III. El número 36 tiene 9 divisores ( a) FVV c) VFV e) FFF b) FVV d) VVV

Claves

) ) )

01.

d

05.

c

09.

a

02.

b

06.

d

10.

e

03.

b

07.

b

11.

a

04.

b

08.

b

12.

c

Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

2.°

FARFÁN, Óscar. Aritmética. Lima: San Marcos, 2003. LÁZARO, Moisés. Lógica y teoría de conjuntos. Lima: Moshera, 2006. POVIS, Adolfo. Razonamiento matemático. Lima: Moshera, 2007. Aritmética, análisis del número y sus aplicaciones. Lima: Lumbreras, 2006. Aritmética, la enciclopedia. Lima: Rubiños, 2009. Compendio académico de matemática, Aritmética. Lima: Lumbreras, 2003. Exámenes de admisión desarrollados UNI. Lima: Horizonte Latinoamericano, 2011. Exámenes de admisión desarrollados UNMSM. Lima: San Marcos, 2011.

año

23

ARITMÉTICA

8

Presentación El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes. El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él. Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas.

Juan Carlos Dianderas Gerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

ÍNDICE

2.° Año

ARITMÉTICA .......................................................................................................................... 5 ● Números racionales I ............................................................................................ 7 ● Números racionales II ......................................................................................... 10 ● Razones ..................................................................................................................... 12 ● Proporciones ............................................................................................................. 14 ● Potenciación ............................................................................................................. 16 ● Radicación ................................................................................................................. 18 ● Operaciones combinadas de potenciación y radicación...................................... 21 ● Repaso ....................................................................................................................... 23 ÁLGEBRA ................................................................................................................................ 25 ● Ecuación de segundo grado II............................................................................. 27 ● Intervalos ............................................................................................................ 30 ● Construcción de intervalos ................................................................................. 32 ● Inecuación de primer grado I.............................................................................. 34 ● Inecuación de primer grado II ............................................................................ 36 ● Inecuación cuadrática ......................................................................................... 38 ● Valor absoluto ..................................................................................................... 40 ● Repaso ....................................................................................................................... 42 GEOMETRÍA .......................................................................................................................... 45 ● Proporcionalidad ................................................................................................. 47 ● Semejanza de triángulos...................................................................................... 50 ● Relaciones métricas en el triángulo rectángulo ................................................... 53 ● Polígonos regulares ............................................................................................. 56 ● Áreas de regiones triangulares ............................................................................ 60 ● Áreas de regiones cuadrangulares ....................................................................... 64 ● Áreas de regiones circulares ................................................................................ 68 ● Repaso ....................................................................................................................... 72 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO .............................................................................. 75 ● Ordenamientos lineales....................................................................................... 77 ● Ordenamiento circular ........................................................................................ 79 ● Test de decisiones ................................................................................................ 81 ● Operaciones matemáticas ................................................................................... 83 ● Planteo de ecuaciones ......................................................................................... 85 ● Planteo de ecuaciones II ...................................................................................... 87 ● Problemas sobre edades ...................................................................................... 89 ● Repaso ....................................................................................................................... 91 FÍSICA ...................................................................................................................................... 93 ● Estática ...................................................................................................................... 95 ● Estática II ............................................................................................................ 98 ● Dinámica ............................................................................................................ 101 ● Dinámica II ........................................................................................................ 103 ● Trabajo mecánico ............................................................................................... 105 ● Potencia mecánica.............................................................................................. 107 ● Energía: el Sol; fuente de energía........................................................................ 109 ● Repaso ......................................................................................................................111 QUÍMICA ...............................................................................................................................113 ● Óxidos básicos ................................................................................................... 115 ● Óxidos ácidos o anhídridos................................................................................ 118 ● Hidróxidos ...............................................................................................................122 ● Hidruros metálicos y moleculares ...................................................................... 125 ● Unidades química de masa I .............................................................................. 128 ● Unidades química de masa II ............................................................................. 131 ● Masa equivalente ................................................................................................ 134 ● Repaso ......................................................................................................................138 BIOLOGÍA .............................................................................................................................141 ● Hormonas vegetales ........................................................................................... 143 ● Organografía vegetal .......................................................................................... 147 ● Organografía vegetal II ...................................................................................... 151 ● Plantas medicinales ............................................................................................ 156 ● Sistema digestivo .....................................................................................................162 ● Sistema respiratorio ................................................................................................168 ● Sistema circulatorio............................................................................................ 174 ● Repaso ......................................................................................................................179

Aritmética

1 Números racionales I I. Concepto

1. Clases de fracción

Es un conjunto de números que pueden representarse como el cociente de 2 números enteros, donde el divisor debe ser distinto de cero. Es decir:

Sea la fracción

N D

a. Por comparación de sus términos Propia

a b = Q , a Z b Z b 0

N D

II. Fracción

Impropia N

Llamaremos fracción a toda expresión de las formas:

D > 1, es decir N > D 9 11 15 40 2 ; 3 ; 4 ; 3

N D

numerador ; donde: N Z denominador D Z D 0 y además N no es divisible por D.

b. Por divisores comunes entre sus términos Reductible Si N y D no son PESI

5 Ejemplo: se lee: «cinco octavos» 8

3 ; 16 ; 15 ; 8 9 20 25 24

Es decir, que la unidad ha sido dividida en 8 partes iguales y de ellas hemos tomado 5 partes.

Irreductible Si N y D son PESI 13 9 15 17 ; ; ; 11 2 4 3

Representación gráfica:

c. Por el denominador de un grupo de fracciones

Total < > unidad 8 Ejemplo: se lee: «ocho quintos» 5

Homogéneas Igual denominador 5 8 9 15 ; ; ; 13 13 13 13

Es decir, la unidad ha sido dividida en 5 partes iguales, pero como necesitamos 8 partes de ese tipo, debemos considerar otra unidad.

unidad

2.°

año

< 1, es decir N < D 2 5 13 20 ; ; ; 7 9 15 49

Heterogéneas Diferente denominador 3 2 13 7 ; ; ; 8 9 5 12

unidad

7

ARITMÉTICA

1

NÚMEROS RACIONALES I

2. Homogeneización de fracciones 2

Homogeneiza:

;

3

4. Comparación de fracciones

4 1 ; 9 6

2 ×6 3 ×6

4 ×2 9 ×2 12 Finalmente, tenemos: 18

(14) 2 ● 5 (39) 13 ● 2

1 ×3 6 ×3 8 3 18 18

●

4 < 7 5

(28) 14 3

13 14 2 > 3

2

5. Fracciones equivalentes

3. Número mixto 25

(20) 4 7

2 ×2 4 × 4 16 × 3 48 = = = 3 × 2 6 × 4 24 × 3 72

4

7 =37

25 7 4 3 + ●

3 47 =

25 7

×

Trabajando en clase 7. ¿Cuál es el número cuyo 5/7 es 75?

Integral 1. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? a) 3/5 c) 5/8 e) 6/11 b) 2/7 d) 4/7

UNMSM 8. Si una botella de gaseosa de litro y cuarto de capacidad está con líquido hasta sus 4/5, ¿cuántos litros de gaseosa tenemos?

2. Resuelve: 5 8

7 +

8

13 4 + 8 – 8

Resolución:

3. Resuelve: 12 4 3 + + 3 15 5

4 5 4 5

Católica

1 41 5 4

4. ¿Qué fracción representa 26 de 39? Resolución: lo que haré de parte 26 2 f= = = 39 3 lo que haré de total «de...»

Rpta.: 1 litro 9. Si una botella de vino de dos litros y cuarto de capacidad está llena hasta sus 4/9, ¿cuántos litros de vino tenemos?

5. ¿Qué fracción representa 17 de 51? 6. Al simplificar una fracción, se obtiene

2

10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿cuánto me deben?

. Si se 9

11. Un alumno pesa 16 kg más los 3/7 de su peso total, ¿cuánto pesa dicho alumno?

sabe que la suma de los términos de la fracción es 55, calcula la diferencia de los mismos.

1

ARITMÉTICA

8

2.° año

NÚMEROS RACIONALES I 13. Si gasto los 3/7 de los 4/3 de mi dinero, ¿qué parte de lo que gasté es lo que me queda?

UNI 12. Si del dinero que tenía gasté la mitad, luego gasté la tercera parte de lo que me quedaba y por último gasté los S/. 12 que me quedaba, ¿cuánto tenía al inicio?

14. Un caño llena una piscina en 4 horas y otro caño llena la misma piscina en 6 horas. Si ambos caños se abren a la vez, calcula en cuánto tiempo se llena la piscina.

Resolución: Tenía «x» 1 1 Gasté: ; me queda: 2 2 Gasté:

1 1 ; me queda: 2 • 1 x = 12 3 2 3 2 x = 36 Rpta.: 36

2.°

año

9

ARITMÉTICA

1

2 Números racionales II Operaciones con fracciones

3. División a c a d ad b  d = b c= b × c

1. Adición y sustracción a c ad  bc b  d = bd

Ejemplos: 24 20 = 24 × 3 = 72 Y 7 3 7 20 140 = 18 35 Ganancia y pérdida con fracciones

Ejemplos: 2 4 2 × 5 + 4 × 3 22 Y = + = 3 ×5 15 3 5 6 1 6 × 2 – 1 × 7 5 Y = – = 7 ×2 14 7 2 Para operar con fracciones, primero se determina el MCM de los denominadores y luego se homogenizan las fracciones. 2 4 1 + + 6 se halla MCM(3;5;6) = 30 3 5 2 4 1 20 24 5 20 + 24 + 5 49 = + + = = + + 6 30 30 30 30 30 3 5

Pierdo

Queda

Gana

Tengo

1 3 4 7

2 3 3 7

1 2 4 9

3 2 13 9

9 13

4 13

5 13

18 13

4. Reducción a la unidad 2. Multiplicación

Consiste en realizar cálculos basados en costos y tiempos unitarios. Ejemplos: Y Andrés termina su tarea en 4 horas, entonces 1 en 1 hora hace de tarea. 4 unidad de tiempo

a c ac b  d = bd Ejemplos: 4 2 4 ×2 8 Y × = = 3 5 3 × 5 15 2 5 6 2 × 5 × 6 60 5 Y = = = × × 7 3 × 4 × 7 84 7 3 4 Si es posible, se simplifica la fracción resultante.

2

ARITMÉTICA

Y Un caño llena un tanque 1 en 3 horas, entonces

en

1 hora llena

unidad de tiempo

10

3

de tanque.

2.°

año

NÚMEROS RACIONALES II

Trabajando en clase Integral

9. Resuelve:

2 35 – 1

1. Resta: 2 – 1 de 1 + 1 3 9 2 5

10. Dos velas del mismo tamaño se encienden y apagan a distinta hora. Si una de ellas se consume en sus 5 y la otra, en sus 3 , ¿qué fracción de una 7 5 vela inicial quedan por consumir?

2. En un colegio, el total de alumnos es 800. Si los tres quintos de los alumnos se retiraron, ¿cuántos alumnos quedaron? 3. Si Pedro tiene S/. 300, y gasta los 2 de los 4 de 3 5 su dinero, ¿cuánto dinero le queda?

11. Liz y Carolina compran iguales cantidades de carne para su consumo diario. Liz emplea en el almuerzo las 4 partes de su carne, y Carolina 5 emplea también en el almuerzo los 6 de la 7 cantidad de carne que compra. ¿Qué parte del total de carne comprada les quedará a las dos juntas para la cena?

Católica 4. De 1 + 2 , suma 1 . 4 5 10 Resolución: 1+ 2 + 1 4 5 10 5 + 8 + 2 15 3 = = 20 20 4

UNI 12. Un caño llenó una piscina en 6 horas, otro caño lo llena en 4 horas y otro, en 5 horas. Si los tres caños trabajan a la vez, ¿en cuántotiempo llenarán lapiscina?

4 5. De 5 + 2 . resta 6 5 15

Resolución: En 1 hora: Primer caño: 61

6. Fernando dedica 1 del día a jugar en la 8 1 1 computadora, del día lo dedica a comer y 16 4 del día lo dedica a dormir. Si el resto del día lo dedica a cumplir con los trabajos del colegio, ¿qué fracción del día dedica a esta última labor?

Segundo caño: 1 4 Tercer caño: 1 5 Luego, en una hora los tres caños juntos: 1 + 1 + 1 = 10 + 15 + 12 = 37 6 4 5 60 60

7. Juan recibe como pago semanal S/. 120 1 . Si una 5 4 semana recibió como reintegro S/. 79 . ¿Qué 5

37 Rpta.: Si en una hora llenan juntos , entonces, 60 60 horas. en llenar se demorarán 37 13. Un caño llena en 4 horas toda una piscina, un segundo caño lo llena en 6 horas y otro caño, en 8 horas. Si los tres caños se abren a la vez, ¿en cuánto tiempo se llena la piscina?

parte de S/. 700 recibió esa semana?

8. Resuelve: 4

UNMSM 5 –2 1 +3 2 6

5

15

14. Si un caño puede llenar un depósito en 10 minutos y otro, en 20 minutos, ¿en cuánto tiempo pueden llenar el depósito los dos caños juntos todo el depósito?

Resolución: 23 29 11 47 145 – 66 + 94 173 =5 – + = = 30 30 6 5 15 30

2.°

año

3 +4 7 4 10

1 1

ARITMÉTICA

2

3 Razones Razón En matemática se denomina razón a la comparación de dos cantidades. En aritmética existen dos formas básicas de comparar; una mediante una sustracción (razón aritmética) y la otra, a través de una división (razón geométrica).

Ejemplos prácticos 1. ¿Cuál es el consecuente de una razón geométrica cuyo valor es 3 y el antecedente es 42?

1. Razón aritmética Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción, poniendo de manifiesto en cuánto excede una cantidad a la otra. consecuente a–b=r

razón aritmética

antecedente

Resolución: 42 x =3 42 = x 3  x = 14

2. Razón geométrica Es la comparación de dos cantidades mediante la división, poniendo de manifiesto en cuántas veces está contenida una cantidad de la otra. antecedente a b =K

razón geométrica

2. Divide 60 en dos cantidades cuya razón aritmética sea 4. Resolución: a + b = 60 ........... (1) a–b=4 ........... (2) Y (1) + (2):

2a = 64 a = 32

consecuente Ejemplo: Suponiendo que Ronald gana S/. 3000 al mes y Rubén, S/. 2000. Representando gráficamente: S/. 3000

Y Reemplazando «a» en (1):

32 + b = 60 b = 28  a = 32 b = 28

Ronald  Rubén  S/. 2000 Y Notamos que Ronald gana S/. 1000 más que Rubén:

3000 – 2000 = 1000 (razón aritmética) Y También se dice que lo que gana Ronald es a 3 y lo que gana

Rubén, como 2: 3000 3 (razón geométrica) = 2000 2

3

ARITMÉTICA

12

2.°

año

RAZONES

Trabajando en clase Integral 1. ¿Cuál es el antecedente de una razón aritmética

Y Nos piden:

b + a 2K + 5K 7K 7 = = = b – a 5K – 2K 3K 3

cuyo valor es 93 y su consecuente es 42? 2. ¿Cuál es el consecuente de una razón geométrica cuyo valor es 4/5 y el antecedente es 68?

9. Dos números son entre sí como 3 es a 7. Calcula la razón entre la suma y la diferencia de los números.

3. La razón aritmética de las edades de Juan y Pedro es 17. Si Pedro tiene 26 años, ¿cuántos años tendrá Juan dentro de 5 años?

10. Ivette tiene, entre muñecas y osos de peluche, 30 objetos. Si le regalan 4 muñecas, el número de muñecas y el de osos de peluche estará en la relación de 8 a 9 respectivamente. ¿Cuántas muñecas tiene Ivette?

Católica 4. La razón aritmética de dos números es 12 y su razón geométrica, es 1,2. Calcula la suma de dichos números.

11. Las edades de dos hermanos están en la relación de 4 a 7, y dentro de 10 años estarán de 2 a 3. ¿Qué edad tiene el mayor?

Resolución: Y a – b = 12 .......... (1) a a = 6K 6 Y = 1,2 = 5 b = 5K b

UNI 12. Hace 3 años, las edades de Luis y Carlos estaban en la relación de 5 a 6; hoy sus edades están en la relación de 6 a 7. ¿Cuál es la edad de Luis?

Reemplazando «a» y «b» en (1): 6K – 5K = 12 K = 12 a + b = 6K + 5K = 11K = 11(12) = 132

Resolución: L–3 5 = Y C–3 ....... (1) 6 L = 6K L 6 Y = 7 C = 7K C

Rpta.: 132 5. La razón aritmética de dos números es 15 y su razón geométrica es 2,5. Calcula la suma de dichos números.

Reemplazando en (1): 6K – 3 5 = 7K – 3 6 K =3

6. Dos números están en la relación de 3 a 4. Si suman 28, ¿cuál es el mayor? 7. Carlos tiene 4 años más que María y las edades de ellos está en la relación de 9 a 7. ¿Qué edad tiene María?

6(3) = 18 años 13. Hace 10 años, las edades de Humberto y Oswaldo estaban en la relación de 5 a 11; hoy sus edades están en la relación de 5 a 8. ¿Cuál es la edad de Humberto?

UNMSM 8. Dos números son entre sí como 2 es a 5. Calcula la razón entre la suma y la diferencia de los números. Resolución: a 2 Y = b 5 2.°

año

14. Un comerciante ha ganado 40 soles en la venta de un artefacto que le ha costado C soles, siendo el precio de venta V. Calcula C si C = 2 . V 7

a = 2K b = 5K

13

ARITMÉTICA

3

4 Proporciones Se llama proporción a la igualdad de dos razones aritméticas o dos razones geométricas que tienen el mismo valor, y son de dos clases: proporción aritmética y proporción geométrica. Proporción aritmética Continua Discreta a–b=c–d a – b = b –c a+d=b+c a + c = 2b b = a + c 2 De ello: Z Z

De ello:

b: media diferencial Z o aritmética c: tercera diferencial

d: cuarta diferencial

Proporción geométrica Continua Discreta a b k b c

a c k b d ad bc

ac b2 b = ac De ello: Z Z

De ello:

b:media proporcional Z c: tercera proporcional

d:cuarta proporcional

Propiedad importante: Si a  c  e  k b d f entonces: a+c+e k a. b+d+f

4

ARITMÉTICA

14

b.

axcxe  k3 bxdxf

2.°

año

PROPORCIONES

Trabajando en clase 9. La media proporcional de «m» y 27 es «n» y, además, «m» es la tercera proporcional entre 3 y 18. Halla (m – n).

Integral 1. En una proporción geométrica, los términos medios son iguales y suman 20. Si uno de los extremos es 5, calcula el otro extremo.

10. Dos números son entre sí como 3 es a 4. Si su producto es 300, calcula su diferencia.

2. Halla la cuarta proporcional de 12; 18 y 28.

11. Si a 2 y a2 + b2 = 52, b 3 calcula (b – a)

3. Halla la media proporcional de 12 y 75. Católica 4. En una proporción geométrica continua, la suma de los términos extremos es 29 y su diferencia, 21. ¿Cuál es la media proporcional?

UNI 12. Fredy y José tienen cantidades de dinero que están en relación de 4 a 7. Si José le diera 90 nuevos soles a Fredy, ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto dinero tiene Fredy?

Resolución: a + c = 29 a – c = 21 27 = 50 a = 25 c =4

a  b b c

a . c = b2 25 . 4 = b2 100 = b2 b = 10

Resolución: F  4 J 7

Rpta.: 10

Entonces F = 4k + 90 J = 7k – 90

5. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 45 y la diferencia de las mismas, 27. Halla la media proporcional.

Por lo tanto F = 4(60) = 120

7k – 90 = 4k + 90 3k = 180 k = 60

6. Si los antecedentes de una proporción geométrica continua son 9 y 6, halla la tercera proporcional.

Rpta.: 120

7. Si A es la media diferencial de 35 y 23, y B, la tercera diferencial de 32 y 22, calcula A – B.

13. César y Andrea poseen cantidades de dinero que están en relación de 6 a 7. Si Andrea diera 10 nuevos soles a César, ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene César?

UNMSM 8. La media proporcional de «a» y 27 es «b» y, además, «a» es la tercera proporcional entre 3 y 27. Calcula (a – b).

14. En una proporción geométrica continua, el producto de todos sus términos es 1296. Calcula la media proporcional.

Resolución: Dato a  b b 27 Reemplazando: 243.27 = b2 81 b

3  27 27 a a 243 243 – 81 = 162 Rpta.: 162

2.°

año

15

ARITMÉTICA

4

5 Potenciación

an = a x a x ... x a x a = P

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, la cual se considera una multiplicación abreviada.

n veces

a: base; n = exponente; p = potencia

I. PROPIEDADES 1. Exponente natural

5. Potencia de potencia n

m

(am) = (an) = an x m

an = a x a x ... x a Observación (am)n  amn

«n» veces

Observación a0  1 a1  a

6. Potencia de un producto y un cociente ●

(a x b)n = an x bn n an a ● b = n b

2. Exponente negativo b n ; a 0 a –n = a b Observación 1 1 a a–1  a a–1

Advertencia pre Z

3. Producto de potencias de bases iguales

Una potencia es negativa si su base es negativa y su exponente es impar:

(–5)3 = –125

am x an x ap = am + n + p

4. Cociente de potencias de bases iguales am an = am – n Observación am  am–n an

5

ARITMÉTICA

Z

Las potencias de dos números opuestos elevados a un mismo exponente par son iguales:

an = (–a)n; n  par

am m+n a–n  a

16

2.°

año

POTENCIACIÓN

Trabajando en clase Integral

Resolución:

1. Reduce:

4 7

E = 158 x 159 x 1516 x 15–34

24

4 7

a

4 7

20

24 – a = 20 4 = a

2. Reduce: 20 –8 A = 7 10x 7 2 7 x7

Rpta.: 4

3. Determina: E = (53)2 x (5–1)–4 x (54)–1 x (55)–1

9. Halla «n». 11 5

Católica 4. Simplifica: 3

20

5  11

–n

11  5

18

10. Reduce:

2

S = 152 x 35 21 x 625

E=

(9n)3 x (94)n x (95)n (9n)5 x (9n)2 x (95)n

Resolución: 11. Reduce:

3 3 2 2 S = 3 3x2 5x 7x2 5x 5x47

x+1

x+2

x+3

2 +2 + 2 E= 2x + 2x+1 + 2x+2

3 5 2 S = 32 x 54 x 7 2 3 x5 x7

UNI

S=3x5 S = 15

12. Resuelve: 4a

Rpta.: 15 5. Reduce: 2

4a

8b

12c

4 +4 +4 N = (42)2a x (42)4b x (42)6c

6. Reduce: E=

12c

Resolución:

2

E = 12 x 20 183 x 25

8

8b

4+4+ 4 N = 2a 16 x 164b x 166c

–9

12c + 412c N = 44a4a + 48b 8b 4 x 4 x4

–10

(–6) . (–6) . (–6) (–6)5 . (–6)6

Rpta.: 1

7. Calcula «n». 13. Reduce:

a3n x7na5n x6na9n = a16 a xa

6a

UNMSM 8. Calcula «a». 4 7

2.°

año

24

7 4

–a

4 7

10b

14c

9 x9 x9 N = (81)3a x (81)5b x (81)7c

14. Se cumple: 3 b a 4 5 c 24 16 15 (3 ) x (5 ) x (7 ) = 3 x 5 x 7

20

Halla: a + b + c

17

ARITMÉTICA

5

6 Radicación Ejemplos: índice La expresión:

n

9x4 = 9 . 4

Y

a = N  raíz

36 = (3)(2)

radicando

6 =6

Se lee: raíz n de a. Ejemplo: 6

9 x 16 = 9 x 16

Y

144 = (3)(4) 12 = 12

14  Se lee «la raíz sexta de catorce»

I. POTENCIA DE FRACCIONARIO n

am/n = a

m

V. RAÍZ DE UN COCIENTE

EXPONENTE

a a = propiedad n b b n

n

; n 2

7

3

3

Y

27/3 = 2 ; 71/2 = 7

3

(–64)  8 = –64  8



3

= (–4) (2) = –2 Ejemplos:

2

–1/2

=1= 2

9 = (12) (4)

1

3=3

2

II. RAÍZ CUADRADA

VI. RAÍZ DE UNA POTENCIA

Ejemplos:

n

16 = 4; ya que (–2)3 = –8

Y

9 = 3; ya que 3 = 9

III. RAÍZ CÚBICA Ejemplos: Y

–8 = –2; ya que 42 = 16

Y

3

27 = 3; ya que (3)3 = 27

6

Y

81 = 811/2

a = m.n a propiedad

Ejemplos: Y

n

Y

a.b = a . b

ARITMÉTICA

34 = 34/2 = 32 = 9

m n

IV.RAÍZ DE UN PRODUCTO n

Y

VII. RAÍZ DE UNA RAÍZ

3

n

am = amn propiedad

Ejemplos:

2

Y

144  16 = 144  16

Y

31/3 . 31/4 = 31/3 + 1/4 = 37/12 = 12 37

18

3

5 4

3x2

10 =

6

10 = 5x4

15 =

10 20

15 =

15

2.°

año

RADICACIÓN

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Calcula A.

8. Calcula A. A= 7

49 + 5

–2–1

A = 16–4

25 Resolución:

2. Calcula A.

A = 16–4 A= 6

36 + 9

81

A = 16–4

3. Reduce:

A = 164

–2–1 –1/2

–1/2

A = 16–1/

32 + 42 + 122 + 52

4

A = 16–1/2 Católica

1 161/2 A=1 4 A=

4. Calcula: 5.

A=

5.

2 .

5

2

2 .

–

3.

3.

3

2

Rpta.: 1 4

Resolución: A= A=

5 5

3. 4 6

–

– 3

3. 4

3

9. Calcula: A = 81–8

6

10. Calcula: «y»

A = 56/2 – 36/2 A = 5 3 – 33

y

A = 98

25 =

5

25

60 factores

a .

4

2 .

7.

7

2

2 .

–

5.

5.

5

8

 a a–2 a ... a

a .

2

a ... 4 a

4

5. Resuelve: 7.

3

11. Resuelve: Rpta.: 98

A=

–3–1

10 factores

6. Simplificar:

UNI 8 +

32

12. Resuelve:

E= 18

A=

5

5

5 5 ... + 9

5

5

9 9 ...

7. Simplifica: Resolución:

32 + 50 72

2.°

año

5

19

5 5 ... +

5

5

9

5

9 9 ...

ARITMÉTICA

6

RADICACIÓN B5 = 9B B4 = 9 B =9 4 B= 9

Calculando por partes: 2

A2 =

5

A2 = 5

5 5 ...

5 5 ... A

Reemplazando:

2

A = 5A

M=A+B=

A =5

M = 5+

5

B=

9

5

9

5

5

B = B =9

9 5

5

9

Rpta.: 5 +

5

4

9

13. Calcula: 7

3

3

7 7 ... + 11 11

3

11 ...

5

9 9 ... 14. Calcula el exponente de la siguiente expresión:

5

9 9 ... 3

a a2

B

6

9

5

5 5

9

9 9 ...

Elevamos a la quinta:

5

4

4

ARITMÉTICA

20

5

a3 a3 a 2

2.°

año

7

Operaciones combinadas de potenciación y radicación Las operaciones combinadas se realizan respetando un orden o una ley de signos de colección y signos de operaciones. Para el caso de las operaciones combinadas con potenciación y radicación, no existe un orden establecido, ya que ambas operaciones poseen la misma jerarquía.

Orden de jerarquía Se resuelve lo que se encuentra dentro de los signos de colección. Ejemplo: ( ) ; [ ] ; { }: etc La potenciación y radicación La división y la multiplicación Adición y sustracción

Z Z Z Z

Si se encuentran operaciones de la misma jerarquía, entonces se resuelve la que aparece primero de izquierda a derecha. Ejemplo: A = [–(–5) (3) – 100 ]2 – (42 – 36 )  5 A = [+15 – 10]2 – (16 – 6)  5 A = [5]2 – 10  5 A = 25 – 2 A = 23

Trabajando en clase Integral 1. Efectúa la siguiente operación: 0 –1 5 A=( 7 ) + 5 + 2 3

Resolución: 2x – 6 + 2x – 6 + ... + 2x – 6 = 1024 1024 sumandos 1024 • 2x – 6 = 1024 2x – 6 = 1 2x – 6 = 20

–1

2. Calcula: 0 B = 35 + 1 3

3. Calcula:

4

–2

1 – 2

–2

5. Calcula «x»: 32x – 7 + 32x – 7 + ... + 32x – 7 = 729

3

16 + [(23)0]5 – ( –8 )

729 sumandos 6. Resuelve: A =

Católica 4. Determina el valor de «x». 2x – 6 + 2x – 6 + ... + 2x – 6 = 1024

año

3

1 6

(510) • (54)2

7. Reduce: –2

–2

52 + m 1 + 2 + 2 13 5m

1024 sumandos

2.°

x – 6 = 0 x =6

21

ARITMÉTICA

7

OPERACIONES COMBINADAS DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN UNMSM

UNI

8. Si x = 3, halla el valor de x

12. Simplifica:

x+1

K=

xx

–1 –1 E = xx–1+• yy–1

– x2x Resolución: –1 –1 x + y E = –1 –1 x •y

Resolución: x+1

xx

x – x2x = (x )

x+1

– (xx)2

xx • x 1

– (3)2

=

(x)

=

(xx)x – (3)2

=

(3) – (3) = 3 2

1 1 x+ y

x

3

E=

1• 1 x y x +y xy E= 1 xy

2

9. Si xx = 2; halla el valor de M=

x+1

xx

– xx

E=x+y

10. Resuelve: C=5

x+4

13. Simplifica:

– 5x+2 5x

x–2 + y–2 A = x–2 • y–2

11. Resuelve: 103 – 102 +

7

ARITMÉTICA

14. Resuelve:

102 – 82

2x

2x

813 = 274

22

2.°

año

8 Repaso 1. Una pecera con sus peces ha costado S/. 48. Si el precio de la pecera es los 5/11 del precio de los peces, hallar el precio de la pecera. a) S/. 20 c) S/. 10 e) S/. 15 b) S/. 8 d) S/. 12

7. Calcula la raíz de 7aa5 si es un cuadrado perfecto. a) 55 c) 75 e) 95 b) 65 d) 85 8. Si la raíz cuadrada de un número es 23, ¿cuál es la suma de cifras del radicando? a) 16 c) 10 e) 13 b) 23 d) 15

2. Un atleta, después de recorrer los 2/7 de una pista, recorre los 3/5 del resto. ¿Cuál es la longitud de la pista si todavía le faltan recorrer 280 m? a) 460 m c) 480 m e) 500 m b) 980 m d) 490 m

3 9. La razón de dos números es

y su diferencia, 7 308. Calcula la suma de cifras de la suma de dichos números. a) 770 c) 154 e) 21 b) 616 d) 14

3. Reduce: 1 + 21 × 1 + 31 × 1 + 41 × 1 + 51 a) 4 5

c) 2 5

b) 3 5

d) 3

e) 1 5

10. La relación de dos números es de 5 a 2. Si la razón aritmética de ellos es 51, calcula el producto de dichos números. a) 1078 c) 77 e) 1309 b) 2890 d) 17

4. Al simplificar el producto: 1 – 31

1 – 41

1 – 51

resulta: a) n 2

c) 2

b) 1

d) 2n

1 – 61 ... 1 – n1

11. Halla la tercera proporcional de 4 y 12. a) 8 c) 36 e) 24 b) 16 d) 48

e) 2 n

12. Halla la media diferencial de 15 y 7. a) 22 c) 16 e) 11 b) 8 d) 24

5. ¿Por cuánto se le debe multiplicar como mínimo a 25 × 37 × 76 para ser un cubo perfecto? a) 18 c) 10 e) 64 b) 9 d) 81

Claves

6. Determina la cantidad de cifras del cuadrado de 90 ........ 0 15 cifras a) 15 b) 20

2.°

año

c) 30 d) 25

e) 10

23

1.

e

5.

a

9.

d

2.

b

6.

c

10.

b

3.

d

7.

d

11.

c

4.

e

8.

a

12.

e

ARITMÉTICA

8

REPASO

Bibliografía 1. RUBIÑOS MORENO, Luis Alberto: Aritmética. Editorial: RUBIÑOS, Lima, 2014 2. INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES: Aritmética (Teorías prácticas). Editorial: LUMBRERAS, 2008 3. EXÁMENES DE ADMISIÓN: Aritmética. Editorial: SAN MARCOS, Lima 2014

8

ARITMÉTICA

24

2.°

año

2.°

año

25

ARITMÉTICA

8

Presentación El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes. El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él. Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas.

Juan Carlos Dianderas Gerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

ÍNDICE

2.° Año

ARITMÉTICA ...................................................... 5 ● Magnitudes proporcionales .................................. 7 ● Estadística I.......................................................... 9 ● Estadística II ...................................................... 11 ● Teoría de conjuntos I .......................................... 13 ● Teoría de conjuntos II ......................................... 15 ● Lógica proposicional I ....................................... 17 ● Lógica proposicional II ...................................... 19 ● Repaso ............................................................... 21

FISICA ..................................................................91 ● Energía Mecánica I ............................................ 93 ● Energía Mecánica II .......................................... 95 ● Energía Mecánica III ......................................... 98 ● Temperatura y medición de la temperatura ...... 100 ● Calor ................................................................ 102 ● La electricidad ................................................. 104 ● Teorías del origen del universo ........................ 106 ● Repaso ............................................................. 108

ÁLGEBRA ........................................................... 23 ● Relaciones.......................................................... 25 ● Funciones I ........................................................ 27 ● Función lineal .................................................... 30 ● Logaritmos I ...................................................... 32 ● Logaritmos II – Propiedades .............................. 34 ● Logaritmos III .................................................... 36 ● Logaritmos IV.................................................... 38 ● Repaso ............................................................... 40

QUÍMICA ......................................................... 111 ● Reacciones químicas ....................................... 113 ● Balanceo de ecuaciones químicas por el método del tanteo ............................................ 116 ● Química orgánica – Propiedades del carbono..118 ● Hidrocarburos – Alcanos ................................. 121 ● Alquenos ......................................................... 124 ● Alquinos .......................................................... 126 ● Contaminación ambiental ................................ 128 ● Repaso ............................................................. 131

GEOMETRÍA...................................................... 43 ● Rectas y planos .................................................. 45 ● Poliedro regular ................................................. 49 ● Prisma y cilindro ................................................ 53 ● Pirámide y cono ................................................. 56 ● Sistema rectangular de coordenadas .................. 59 ● Simetría.............................................................. 62 ● Conversión de unidades cúbicas en el sistema métrico decimal..................................... 65 ● Repaso ............................................................... 68 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ............. 71 ● Problemas sobre fracciones ............................... 73 ● Porcentajes............................................................ 76 ● Análisis combinatorio I...................................... 78 ● Análisis combinatorio II .................................... 80 ● Probabilidades ................................................... 82 ● Gráfico de barras y líneas................................... 84 ● Gráficos circulares ............................................. 86 ● Repaso ............................................................... 88

BIOLOGÍA........................................................ 133 ● Sistema urinario humano ................................. 135 ● Sistema reproductor masculino humano.......... 140 ● Sistema reproductor femenino humano ........... 145 ● Sistema endocrino humano.............................. 150 ● Sistema nervioso humano I.............................. 155 ● Sistema nervioso humano II ............................ 160 ● Salud y enfermedad ......................................... 165 ● Repaso ............................................................. 170

Aritmética

1 Magnitudes proporcionales Dos magnitudes son proporcionaes si al variar una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud varía en la misma proporción.

II. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Si C y D son IP entonces:

I. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)

CxD=K

K: Constante de proporcionalidad

Si A es DP a B, entonces: Gráficamente: A

B

K: Constante de proporcionalidad

=K

D

Gráficamente:

d1

B b4

d2 d3

b3

c1 c2

c3 C

b2 b1

c1 x d1 = c2 x d2 = c3 x d3

A a1 a2 a3 a4

Si C aumenta D disminuye en la misma proporción a1

=

b1

a2

=

b2

a3

=

b3

a4

=K

b4

Ejemplo: La tabla muestra los valores de dos magnitudes IP.

Si A aumenta B también aumenta en la misma proporción. C D Ejemplo: La tabla muestra los valores de dos magnitudes DP. A B

24 36

14 21

38 57

2 30

3 20

4 15

6 10

Se cumple:

82 123

2 x 30 = 3 x 20 = 4 x 15 = 6 x 10 = K donde K = 60 (constante de proporción)

24

14

38

82

Se cumple:

36 = 21 = 57 = 123 = K

donde: K = 2 3

(constante de proporción)

2.°

año

7

ARITMÉTICA

1

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Trabajando en clase Integral

9. Del gráfico, calcula a + b.

1. Si A es DP a B2 cuando A es 16 y B = 2, calcula A cuando B = 8.

y 24

2. Si A es IP a B cuando A = 24 y B = 8, ¿cuál será el valor de A cuando B = 16?

a 4

3. Si A es D.P. a B3, cuando A = 48 y B = 2, calcular A cuando B = 3.

5

10. Dos ruedas de 48 y 32 dientes engranan y están girando, si la primera rueda da 200 vueltas. ¿Cuántas vueltas dará la segunda?

Católica 4. Si A es DP a B cuando A = 6 y B = 4, calcula A cuando B = 9. Resolución: Como A DP B , entonces: A = K 6 = 4

11. Calcula (a + b)2. y

B

A 9

A = 9

20

Rpta.: 9

5 2

5. Si A es DP a B , cuando A = 15 y B = 36, ¿cuánto valdrá B cuando A = 5?

a b

6. Si A es IP a C2 cuando A = 18 y C = 5, calcula A cuando C = 3.

A B

4 m

n m+5

x

12. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante de 4 gramos vale S/. 1280. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/. 3920? Resolución: (Precio) DP (peso)2, entonces:

m+6 2m

UNMSM

Precio = K Peso2

8. Del gráfico, calcula a + c. y 12

1280 = 3920 42 x2

a 2

x = 7 gramos

Rpta.: 7 3

12

Resolución: Según el gráfico x DP y: 3 12 c

2 = a = 12

c

x 13. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20 gramos cuesta $ 4000, ¿cuánto costará otro diamante que pesa 25 gramos?

a = 8 y c = 18

14. Si A es IP a B y DP a C. Si cuando A = 5, B = 10 y C = 4. ¿Cuánto vale A si B = 15 y C = 10?

entonces a + c = 26 Rpta.: 26

ARITMÉTICA

20

UNI

7. Si A es DP a B2, calcula m + n.

1

b x

15

8

2.° año

2 Estadística I El imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media solo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la iglesia en los años 758 y 762 respectivamente.

ESTADÍSTICA

Gráfica lineal

Es la ciencia que se ocupa de recolectar, procesar, presentar, interpretar y analizar los datos, que sirven para la toma de decisiones en una investigación.

A continuación se presenta el número de horas de trabajo de una persona en sus días de labor.

Población

Ejemplo: Horas de trabajo

14 12 10 8

Horas de trabajo

Es un conjunto de elementos que tienen uno o más características en común. Ejemplos: Z Todos los alumnos matriculados en Pamer. Z Todos los peruanos que tienen 18 años o más. Z Todos los animales que están en el zoológico.

Muestra Es una parte o subconjunto de la población, seleccionada de acuerdo a un plan o regla, con el fin de establecer información acerca de la población de la cual proviene. Ejemplos: Z 200 alumnos de Pamer elegidos al azar. Z 150 mil peruanos mayores de edad. Z 40 animales de un zoológico elegidos al azar.

Horas

6 4 2 0 1

2

3

4

7

8

9 10 Días

A continuación se presentan los deportes practicados por los alumnos del segundo año.

voleybol 15%

A continuación se muestra la cantidad de alumnos que tienen las mascotas indicadas. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 perro pajaro hamster gato mascota

año

6

Gráfico circular (sector circular)

Representaciones gráficas Gráfica de barras

2.°

5

fútbol 50%

9

natación 10%

ARITMÉTICA

2

ESTADÍSTICA I

Trabajando en clase Integral

UNMSM

Se encuestó a un grupo de personas sobre su entretenimiento preferido y cada una escogió una sola opción. El resultado fue el siguiente:

El siguiente diagrama es el gráfico de barras de una encuesta sobre chocolates en la ciudad de Lima. Cantidadde habitantes

Radio Televisión Cine Número de personas

45

50

35

Teatro

10 000

20

7 000 5 000

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? 2. ¿Qué tipo de entretenimiento prefiere la mayoría? 3. ¿Cuántas personas prefieren radio o teatro?

3 000 A

B C D E Chocolates 8. ¿Cuál es el chocolate preferido en la ciudad de Lima? Resolución: El preferido es el chocolate C. Rpta.: C

Católica El siguiente gráfico nos muestra la producción de papa del departamento de Huancayo en los últimos cuatro años. Toneladas de papa

9. ¿Cuál es el chocolate menos consumido en la ciudad de Lima? 10. ¿Cuántos habitantes prefieren el chocolate B? 11. ¿Cuántos habitantes prefieren el chocolate A o E?

90 80 50 40

UNI Según el siguiente gráfico circular:

Año 2011

2012

2013

2014

Comida Otros 20% 5% Luz/agua Casa 10% 40% Carro 25%

4. ¿Cuántas toneladas de papa se produjeron en dicho departamento en el periodo 2011 – 2013? Resolución: 2011 50 toneladas 2012 80 toneladas 2013 40 toneladas En el periodo 2011 – 2013: 50 + 80 + 40 = 170 toneladas Rpta.: 170 toneladas

Si la familia Porras tiene un ingreso mensual S/. 2400, contesta las siguientes preguntas:

ARITMÉTICA

de

12. ¿Cuánto gastan en comida? Resolución: Comida 20% de S/. 2400 = S/. 480 Rpta.: S/. 480

5. ¿Cuántas toneladas de papa se produjeron en dicho departamento en el periodo 2012 – 2014? 6. ¿En cuántas toneladas disminuyó la producción de 2012 a 2013? 7. Si en 2015 se desea que la producción aumente en un 20% respecto a 2014, ¿cuántas toneladas se deben producir?

2

Distribución del presupuesto de la familia Porras

13. ¿Cuánto gastan en casa? 14. ¿Cuánto más gastan en carro que en luz/agua?

10

2.°

año

3 Estadística II Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que esta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Ejemplo 2: Si el número de datos es par, la mediana es el promedio aritmético de los datos que ocupan las posiciones centrales.

Son los valores que habitualmente se ubican en la parte central de una distribución.

4; 5;

Media aritmética o media (x)

Moda (Mo) Es el dato que tiene mayor frecuencia (el que más se repite) Ejemplos: 1; 2; 2; 2; 7: 4 Mo = 2 5; 3; 4; 5; 7; 2; 4 Hay dos modas, Mo (1) = 4 y Mo(2) = 5 2; 3; 7; 8; 10 No hay moda (Ningún dato se repite)

Ejemplo: Sean los datos: 12; 13; 13; 16; 17; 17; 17 12 + 13 + 13 + 16 + 17 + 17 + 17 7

; 13; 17

Me = 8 + 12 = 10 2

Es el cociente de la suma de todos los datos entre el número de datos (numéricos).

x=

8; 12

= 15

Mediana (Me) Se considera el valor central de los datos ordenados.

Se debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando. En este caso se observan variables cuantitativas.

Ejemplo 1: Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición central. 4; 12; 17; 23; 43 Me

Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.

2.°

año

1 1

ARITMÉTICA

3

ESTADÍSTICA II

Trabajando en clase Integral

Resolución: La moda es 6 (el dato con mayor frecuencia)

1. Dada las siguientes calificaciones: 12; 14; 13; 17; 10; 11; 12; 15 Calcula la media aritmética.

9. Según los siguientes datos, calcula la moda: 6; 8; 4; 6; 6; 8; 4; 12; 13; 4; 6

2. Según los siguientes datos, calcula su x. 8; 12; 15; 13; 15; 21; 24; 36

10. El médico Rosales durante todos los días de la semana recibió pacientes que en número eran: 10; 8; 7; 5; 6; 3 y 6 por cada día respectivamente. Calcula la mediana, moda y media.

3. Según los siguientes datos, calcula su x. 12; 21; 22; 42; 13; 24; 20

11. Las edades de diez alumnos de segundo año son las siguientes: 14; 15; 16; 14; 15; 15; 16; 14; 14 y 14. Calcula la media, mediana y moda. Da como respuesta la suma de ellos.

Católica 4. Hallar A + B, si: «A» es la media de 3; 4; 5; 6; 8 “B” es la moda de 2; 2; 3; 3; 4; 2 Resolución: A = 3 + 4 + 5 + 6 + 8 = 5,2 5 B = 2(el que más se repite) Por lo tanto A + B = 7,2

UNI 12. Calcula la mediana de los siguientes datos: 14; 16; 25; 36; 18; 12; 11; 16; 14 Resolución: Primero se deben ordenar los datos de menor a mayor. 11; 12; 14; 14; 16; 16; 18; 25; 36

5. Calcula la media de A y B, sabiendo que: A es la media de 20; 22; 15; 12; 11 B es la moda de 10; 12; 14; 12; 11

Me

6. De los siguientes datos: 8; 12; 15; 15; 13; 21; 24 y 36. Calcula su media.

La mediana es 16. 13. Indica la mediana de los siguientes datos: 12: 14; 16; 17; 14; 14; 14; 14; 16; 13; 11; 11

7. En la práctica calificada de Aritmética se obtuvieron las siguientes notas de cinco alumnos: 08; 12; 14; 06 y 20. Calcula la mediana respectiva.

14. Tenemos el siguiente grupo de notas de trece alumnos: 16; 15; 13; 12; 13; 13; 12; 11; 16; 08; 07; 11; 08. ¿Cuántos aprobarán si se aprueba con nota mayor a la mediana?

UNMSM 8. De los siguientes datos: 6; 8; 4; 6; 6; 8; 4; 12; 13; 4 y 6, calcula su moda.

3

ARITMÉTICA

12

2.°

año

4 Teoría de conjuntos I La teoría de conjuntos es una división de las Matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo. La teoría de conjuntos fue creada por Georg Cantor, aunque George Boole dio los primeros pasos en su libro Investigations of the Laws of thought. El concepto de infinito fue tratado por Zenón de Elea y sus célebres paradojas como la de Aquiles y la tortuga.

1. IDEA DE CONJUNTO

4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

El concepto conjunto, es una noción primitiva intuitiva y por consiguiente, no se puede definir. En la vida diaria usamos palabras tales como colección, grupo, conjunto: Y Una colección de libros Y Un conjunto de sillas Y Un grupo de muchachos

Por comprensión (método implícito o descriptivo) Se determina enunciando Sedeterminanombrando una característica común todos sus elementos. a todos sus elementos. A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} A = {2x/x Z; 0 x ≤ 5} Por extensión (forma tabular o enumerativa)

2. NOTACIÓN Es convenio denotar los conjuntos con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas u otros símbolos. Para representar simbólicamente, se escriben sus elementos entre llaves y separados por comas o por un punto y coma. Ejemplos: Y A = {enero, febrero, marzo} Y B = {a, e, i, o, u} Y C = {, £, , }

5. CARDINAL DE UN CONJUNTO En términos prácticos, se llama cardinal de un conjunto A, al número de elementos no repetidos de A y se denota por n(A).

6. CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto vacío Es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota por o { }.

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA () (Elemento conjunto)

Conjunto unitario o Singleton

Si a es un elemento del conjunto A, se denota a  A y se lee: el elemento a pertenece al conjunto A. La negación de a A es a A y se lee: el elemento a no pertenece al conjunto A. Ejemplo: Dado el conjunto R = {1; a; c; ; }, entonces: a R b R R R

2.°

año

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Conjunto universal Es aquel conjunto de todos los elementos que habrá de analizarse en un problema propuesto.

13

ARITMÉTICA

4

TEORÍA DE CONJUNTOS I

Trabajando en clase Integral

Resolución: Al ser B un conjunto unitario, entonces solo posee un elemento. Por lo tanto:

1. Sea A = {7; 9; 13}. ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 7A ( ) 9A ( ) 11  A ( )

{7}  A ( ) A  13 ( ) A ( )

a + 2b = 11 3b – a + 2 = 11

Por lo tanto (a)(b) = (3)(4) = 12

2. Dados los conjuntos A = {2; {2; 3}} y B = {{2}; 3; {4}} determina la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. {2}  B ( ) {2; 3}  A ( )

b=4ya=3

9. Si el conjunto C es unitario, calcula el producto de a y b. C = {2a + b; 3a – b; 15}

2 A ( ) {4} e A ( )

10. Determina por comprensión el siguiente conjunto: A = {5; 8; 11; 14; 17}

3. El conjunto que determina por comprensión al conjunto R = {1; 3; 5; 7; 9} es:

11. Dados los conjuntos unitarios M y N, calcula el valor de a. M = {a + b, 12} y N = {a – b; 6}

Católica 4. Se conoce que: A = {2; 3; 4; 5; 6; 7}; B = {4; 5; 5; 6; 7; 7} y C = {6; 6; 6; 8}. Calcula: n(A) + n(B) n(C) Resolución: n(A) = 6 6+4 n(B) = 4 2 =5 n(C) = 2

UNI 12. Determina la suma de elementos de: M = {3x – 2 N/5 < 2x + 1 < 9} Resolución: 5 < 2x + 1 < 9 2<x<4 4 < 2x < 8 6 < 3x < 12 2<x<4 4 < 3x – 2 < 10

5. Se conoce que R = {r, o, n, a, l, d}; C = {c, y, n, t, h, i, a} y M = {a, r, i, t, m, e, t, i, c, a}. Calcula: n(R) + n(C) + n(M)

Por lo tanto M = {5; 6; 7; 8; 9} Nos piden 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35

6. Indica el n(A) si: A = {x2 + 1 / x Z, –1 ≤ x ≤ 3}

13. Calcula la suma de elementos de: C = {2x + 1 N / 11 < 3x – 1 < 23}

7. Indica el n(B) si: B = {x + 5 / x N, –6 ≤ x ≤ 1}

14. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es Singleton? A = {x/x Z; x < 1} B = {x/x N; x2 – 2x – 3 = 0} C = {x/x Z; 7 < 3x < 11}

UNMSM 8. Si el conjunto R es unitario, calcula (a)(b) B = {a + 2b; 3b – a + 2; 11}

4

ARITMÉTICA

14

2.°

año

5 Teoría de conjuntos II Hay indicios de que George Cantor, considerado como el Padre de la teoría de conjuntos, sufría una psicosis maniaco depresiva. Tuvo una vida triste. Su muerte se produjo cuando estaba hospitalizado por una enfermedad mental, en 1918. Pero sin duda hay que recordarlo por su valor al explorar la naturaleza de lo infinito de un modo absolutamente original, abriendo nuevos e inesperados panoramas. Se consideraba asimismo como aquel que registraba con exactitud, comunicaba y transmitía la teoría recién revelada de los números transfinitos.

1. RELACIÓN DE INCLUSIÓN ()

2. IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS

Un conjunto está incluido, contenido o es subconjunto de otro, si todos los elementos del primero son elementos del segundo. Se denota por que se lee está incluido. En caso contrario por . La inclusión es una relación que se da solo ENTRE CONJUNTOS. Ejemplo: A = {1; 2} y B = {1; 2; 3; 4} entonces A B Y se lee A está incluido en B, A está contenido en B o A es subconjunto de B.

Dos conjuntos A y B son iguales, si A y B tienen los mismos elementos. Ejemplo: Dados los conjuntos A = {a; m; o; r} y B = {r; o; m; a} Por lo tanto A = B.

3. CONJUNTO POTENCIA (P(A)) Dado un conjunto A, llamaremos potencia del conjunto A, al conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto A. Se representa P(A).

OJO:

OJO: Número de subconjuntos de A = 2n(A) Número de subconjuntos propios = 2n(A) – 1

El conjunto vacío o nulo está incluido en todo conjunto.

4. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión o reunión () Intersección () Ejemplo: Ejemplo: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {5; 6; 7}, A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 5; 6; 7}, entonces: entonces: A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} A B = {4; 5}

Diferencia (–) Ejemplo: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 5; 6; 7}, entonces:

A – B = {1; 2; 3} y B – A = {6; 7}

Diferencia simétrica () Intersección () A B = (A B) – (A B) Ejemplo: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y B = {2; 4; 6; 8}, Ejemplo: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 5; 6; 7}, entonces: entonces: A B = {1; 2; 3; 6; 7} B’ = {1; 3; 5; 7; 9}

5. DIAGRAMA DE CONJUNTOS AoB

Bailan B

A Solo A y B Solo A B Ni A ni B 2.°

año

No bailan

HOMBRES MUJERES

U

15

ARITMÉTICA

5

TEORÍA DE CONJUNTOS II

Trabajando en clase Integral

Resolución: F = 60

1. Dados los conjuntos A = {1; {2}; 3; 4}, B = {{1}; 2; 3} y C = {1; 2; {3}; 4}, marca V o F según corresponda: a. {1}  A ( )

b. {1; 2}  B ( )

c. {1}  B ( )

d. {{2}}  A ( )

10

b. {4} B

c. B A ( )

d. {2; 4} A ( )

150 9. En un avión hay 180 personas, de las cuales 80 fuman y 100 beben. ¿Cuántas personas hay que fuman y beben si se sabe que hay 50 personas que solamente beben?

( )

3. Si A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {1; 3; 5}, ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? B A

{2; 3; 4} B

{3; 5} A

{5} A

{1; 3} B

{2; 5} B

x

x = 50

2. Dados los conjuntos A = {1; 2; 3} y B = {{4}; 3; 2; 1} determina la veracidad (V) o falsedad (F) de: a. A B ( )

B = 90

10. De 500 integrantes de un club deportivo, 200 se inscribieron en karate y 340 en boxeo. Si 50 no se inscribieron en ninguna de las dos disciplinas, ¿cuántos se inscribieron en ambas disciplinas? 11. De los deportistas de la plana de aritmética se supo que 9 practican fútbol y natación, 5 no practican estos deportes, 20 practican solamente natación y 13 practican fútbol. ¿Cuántos deportistas hay en dicha plana?

Católica 4. Si los conjuntos A y B son iguales, determina x + y: A = {3x + 2; 5y}, B = {30; 29} (x e y son enteros) Resolución: Como A = B, entonces: Y 3x + 2 = 29, entonces x = 9 Y 5y = 30, entonces y = 6 Por lo tanto: x + y = 9 + 6 = 15

UNI 12. Nancy desayuna panetón o galleta cada mañana del mes de Octubre. Si come panetón 19 mañanas y galletas 27 mañanas, ¿cuál es la suma de los dígitos del número de mañanas que comió galletas y panetón? Resolución: P = 19 G = 27

5. Si los conjuntos P y Q son iguales, además a y b son enteros. Determina a + b: P = {2a + 1; 4b} y Q = {19; 32}

4

6. Un conjunto A tiene 16 subconjuntos. Si n(A) x n(C) = 24, ¿cuántos subconjuntos tiene C?

x

12 31

x = 15 1 + 5 = 6

7. Si para dos conjuntos A y B se cumple: n(A) – n(B) = 2 y además 2n(A) – 2n(B) = 768; calcula n(A) – 1 UNMSM

13. Cynthia desayuna jamón o queso cada mañana del mes de noviembre. Si come jamón 15 mañanas y queso 22 mañanas, ¿cuántas mañanas comió queso y jamón?

8. En un avión hay 150 personas, de las cuales 60 fuman y 90 beben. ¿Cuántas personas hay que fuman y beben si se sabe que hay 10 personas que solamente fuman?

14. En la fiesta de cachimbos de la UNI había 97 personas entre hombres y mujeres. En determinado momento 15 hombres y 6 mujeres no bailaban. ¿Cuántos hombres asistieron a la fiesta?

5

ARITMÉTICA

16

2.°

año

6 Lógica proposicional I La lógica aristotélica es la lógica basada en los trabajos del filósofo griego Aristóteles, quien es ampliamente reconocido como el padre fundador de la lógica. Sus trabajos principales sobre la materia tradicionalmente se agrupan bajo el nombre Órganon «herramienta», y constituyen la primera investigación sistemática acerca de los principios del razonamiento válido o correcto. Para Aristóteles, la lógica era una herramienta necesaria para adentrarse en el mundo de la filosofía y la ciencia. Sus propuestas ejercieron una influencia sin par durante más de dos milenios.

I. DEFINICIÓN

Son oraciones que expresan una sola idea. Ejemplos: Y La Tierra es redonda. Y Juan es abogado. Y Pedro y Juan son hermanos.

Parte de la Matemática que estudia las proposiciones y las relaciones que hay entre ellas, así como las funciones que cumplen.

II. ENUNCIADO

2. Compuestas

Se llama enunciado a toda frase u oración que se utiliza en el lenguaje común. ¡Ayuda! ¿Qué hora es? La capital del Perú es Lima.

• • •

III.

También denominadas moleculares. Constituidas por dos o más proposiciones simples; y también cuando presentan adverbio de negación. ● Ronald es profesor y Humberto ingeniero. ● Si estudias entonces aprobarás. ● Perú no clasificó al mundial.

PROPOSICIÓN LÓGICA

Es un enunciado u oración aseverativa que tiene la característica de ser verdadero o falso.

V. NOTACIÓN Las proposiciones pueden ser analizadas en tablas de verdad, y se representan con letras minúsculas, que pueden ser: p, q, r, s, t, …

IV. CLASES DE PROPOSICIÓN 1. Simples Denominada también atómicas o nomádicas.

Trabajando en clase 2. De los siguientes enunciados, ¿cuáles no son

Integral

proposiciones lógicas? I. 10 – 4 = 14 II. 6 < 3 III. ¡Qué hermoso día! IV. Messi es peruano V. ¿Cuál es tu nombre? VI. Silencio

1. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son proposiciones lógicas? I. ¿Qué hora es? II. 5 + 2 = 8 III. ¡Alto! IV. Lima es la capital de Perú V. Hola 2.°

año

17

ARITMÉTICA

6

LÓGICA PROPOSICIONAL I P. compuesta

3. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son propo-

Y Nancy y Ronald son hermanos P. simple

siciones lógicas? I. ¿Qué día es? II. ¡Ayúdame! III. La capital de Perú es Quito. IV. Juan es doctor. V. 2x = 10

Son 3 proposiciones simples

9. ¿Cuántas proposiciones son simples? Y Y Y Y Y

Católica

4. De las siguientes expresiones, ¿cuáles son propo-

10. ¿Cuántas proposiciones son simples?

siciones lógicas? I. 5 es número par. II. El auto es nuevo. III. X + 3 = 5 IV. El gato es un mamífero. V. ¿Qué hora es? Resolución: Las proposiciones lógicas son: I, II y IV

Y Selena es cantante y Cristiano Ronaldo es

futbolista. Y Lady Gaga y Madonna son cantantes. Y Perú y Chile están en América. Y Nadine y Ollanta son esposos. Y Pedro y Juan son hermanos.

11. ¿Cuántas proposiciones son compuestas?

5. De las siguientes expresiones, ¿cuáles son propo-

Y Y Y Y Y

siciones lógicas? I. X + 2 < 5 II. El perro ladra III. ¿Te sientes bien? IV. Mañana es jueves

12. ¿Cuántas proposiciones son atómicas?

I. Desearía ir a la playa. II. ¡Aprobé aritmética! III. Si 2 = 2, entonces 5 = 6. IV. Pedro es doctor. V. 3x > 19

Juan y Miguel son cuñados. 12 < 12 No es cierto que Alejandro estudie. ¡Me fallaste! Pedro y Ana son esposos. Resolución: Y Juan y Miguel son cuñados Atómica Y 12 < 12 Atómica Y No es cierto que Alejandro estudie Molecular Y ¡Me fallaste! No es proposición Y Pedro y Ana son esposos Atómica Son 3 atómicas. Y Y Y Y Y

7. Determina cuántos no son proposiciones lógicas. I. ¡Arriba Perú! II. ( 9 + 5 = 7) o (2 = 2) III. Tengo hambre IV. Oswaldo es delgado. V. No es cierto que Michel estudia. VI. Colombia es un país Europeo.

13. ¿Cuántas proposiciones son moleculares?

UNMSM

Y Y Y Y Y

8. ¿Cuántas proposiciones son simples? Maradona es peruano. 23 < 24 ¡Buenos días! Si hoy es e lunes entonces mañana es miércoles. Nancy y Ronald son hermanos. Resolución: Y Maradona es peruano P. simple Y 23 < 24 P. simple Y ¡Buenos días! No es proposición. Y Si hoy es lunes entonces mañana es miércoles Y Y Y Y Y

ARITMÉTICA

Gustavo es estadístico. Ronald es karateca y nadador. Si Humberto es ingeniero entonces es profesional. No es cierto que Venezuela es un país europeo. 5 no es un número par. UNI

6. Determina cuántas son proposiciones lógicas.

6

Claudio Pizarro no es peruano. Perú es un país europeo. Federer es futbolista o tenista. Farfán y Vargas son futbolistas. Gastón Acurio es chef.

Quisiera vivir en Madrid. Perú no es un país asiático. La capital de Venezuela es Caracas. Humberto y Oswaldo son ingenieros. Si Patty estudia entonces aprobará el examen.

14. Expresa en lenguaje simbólico las siguientes proposiciones: Y América y África son continentes. Y Manuel es médico o abogado. Y Flor no es profesora. Y Si Cynthia estudia entonces aprobará el examen.

18

2.°

año

7 Lógica proposicional II I. CONECTIVOS LÓGICOS

U

OPERADORES

e) La bicondicional () p V V F F

A partir de dos proposiciones dadas podemos formar una tercera, si las unimos mediante expresiones como y; o; si... entonces... si y solo si..., etc. A estas expresiones de enlace, las llamaremos conectivas u operadores lógicos.

b) La conjunción () p V V F F

q V F V F

pq V F F F

Se lee: ● «p» y «q» ● «p» además «q» ● «p» pero «q»

q V F V F

pq V V V F

Se lee: ● «p» o «q»

d) La condicional () p V V F F

2.°

año

q V F V F

pq V F V V

p V

q V

V

4 1 2 3 1 p  [(p  q)  q] V V

FV V V V FV

F

V V

FV V F V VF

F

V

F F

VF V V V FV

F

F

F F

VF F F V VF

Los números indican el orden en que se han desarrollado los conectivos, siendo el resultado final de la evaluación la columna debajo del numero 4. De acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos: Y Tautología, si la matriz principal resulta verdadera para cualquier caso. Y Contradicción, si la matriz principal resulta falsa para cualquier caso. Y Contingencia, si no es tautología ni contradicción.

c) La disyunción inclusiva () p V V F F

Se lee: «p» si y solo si «q»

●

A la repesentación de proposiciones compuestas mediante conectivos lógicos y signos de colección se le llama fórmula proposicional. Para determinar todas las combinaciones de los valores de verdad de los componentes de una fórmula, se utiliza la tabla de verdad.

Se lee: ● No «p» ● No es cierto que «p». ● No es el caso que «p»

p F V

pq V F F V

II. TABLA DE VERDAD

a) La negación () p V F

q V F V F

Observación:

Se lee: ● Si «p» entonces «q»

El número de posibles combinaciones de los valores de verdad de n proposiciones componentes es 2n.

19

ARITMÉTICA

7

LÓGICA PROPOSICIONAL II

Trabajando en clase 9. Si: p : 3 + 5 6 q : 7 > –8 r : 16 – 15 = 0 determina el valor de (p q) r.

Integral 1. Calcula el valor de verdad de: p q, si p = F y q = V 2. Calcula el valor de verdad de: p q, si p = V y q = F

10. ¿Cuántas combinaciones posibles de los valores de verdad existen para los componentes p, q, r y s?

3. Calcula el valor de verdad del siguiente molecular, si P = V, q = V y r = F (p q) r.

11. Según la matriz principal, la siguiente proposición es: (p q) p

Católica 4. Si (p q) es verdadero, determina el valor de p y q. Resolución: (p q) p q p =F V

F

UNI 12. Según la matriz principal, la siguiente proposición es: (p q) p Resolución: Para determinar el tipo de proposición evaluamos mediante la tabla de verdad.

q =F

5. Si (p q) r es falso, determina el valor de p, q y r.

1 2 p q p  q)  p V V V V V VV

6. Si p = F, q = V, r = F y s = F, calcula el valor de verdad del siguiente esquema molecular: (r s) (p q) 7. Si (p r) r V, determina los valores de p y r. UNMSM

ARITMÉTICA

V F F VV

F V

F V V VF

F

F V V VF

F

Matriz principal

8. Si: p = 2 + 2 4 q : 3 ≥2 r:2–1=0 determina el valor de (p q) r Resolución: p :F (p q) r q :V (F V) F r :F  V F  F

7

V F

Como todos los valores en la matriz principal son verdaderos, la proposición es una TAUTOLOGÍA.

13. Según la matriz principal la siguiente proposición es: (p q) (p p) 14. La siguiente proposición es: (p q) (p q)

20

2.°

año

8 Repaso 6. Según el siguiente grupo de datos: 20; 18; 6; 15; 15; 27; 5; 10; 6; 6, calcula x, Mo, Me. Da como respuesta la suma de ellos.

1. Si las magnitudes de A y B son directamente proporcionales, cuando A vale 2, B es 9, ¿qué valor toma A cuando B vale 36? a) 2

d) 5

a) 12,5

d) 31,3

b) 3

e) 6

b) 12,8

e) 28,4

c) 6

c) 4

7. Señala el número de subconjuntos propios que tiene el conjunto.

2. A es proporcional con la media aritmética y con la media armónica de dos números. Si A = 15, la media geométrica de los números es 9. Calcula A cuando el producto de los números es 54. a) 8 b) 9

R = {x2/x Z; 0 < x < 5}

d) 11 e) 12

a) 4

d) 15

b) 8

e) 7

c) 16

c) 10 8. En una encuesta hecha a 80 personas, 58 leen el semanario A y 38 el semanario B, ¿cuantos leen ambos semanarios si solo 12 no leen nada?

3. De los siguientes datos no agrupados, calcula x: 26; 34; 24; 16; 14; 12; 16; 18 a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22

D

d) 40%

b) 26

e) 10

700 300 600

9. De 72 alumnos de cierta entidad educativa, 36 estudian en la mañana, 35 en la tarde y 25 en la noche. ¿Cuántos estudian en solo dos turnos si solo uno estudia en los 3 turnos?

400

B

a) 32

d) 27

b) 26

e) 35

c) 22

e) 70%

C 10. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son atómicos y cuántos moleculares? Da como respuesta la diferencia de dichos resultados

5. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante de 4 gr vale S/. 1280. ¿Cuál será su peso si su precio es de S/. 3920?

2.°

d) 30

c) 28

4. Dado el siguiente diagrama, señala qué porcentaje corresponde al sector D. A a) 20% b) 30% c) 10%

a) 25

a) 4 g

d) 7 g

I. Ojalá regrese.

b) 14 g c) 3 g

e) 6 g

II. 2x = 32

año

III. Juan es doctor y Pedro jugador.

21

ARITMÉTICA

8

REPASO 12. La siguiente proposición es: (p q) (p q) a) Tautología c) Contingencia e) Equivalente b) Contradicción d) Válida

IV. Ronald y Nancy son hermanos. V. Cynthia no es profesora. a) 1 d) 0 b) 2 e) F.D. c) 3

Claves

11. Calcula el valor de verdad de: (r 5) (p q) si p = F, q = V, r = F y s = F a) V c) V o F e) V y F b) F d) F.D.

1.

C

5.

D

9.

C

2.

C

6.

D

10.

A

3.

C

7.

D

11.

A

4.

A

8.

C

12.

C

Bibliografía 1. RUBIÑOS MORENOS, LUIS ALBERTO, Aritmética: Lima. Perú 2010 2. Exámenes de admisión desarrollados UNI, UNMSM: Lima. Editorial: SAN MARCOS, 2013 3. AUCALLANCHIV FELIX, Aritmética: Lima. Editorial: RACSO, 2010

8

ARITMÉTICA

22

2.°

año