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Aritmética

1 Lógica Proposicional I Proposición Compuesta Molecular

LÓGICA PROPOSICIONAL Es una parte de la lógica que tiene como objeto de estudio la proposición y la relación existente entre ellas, así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos.

PROPOSICIÓN LÓGICA Es el significado de una expresión aseverativa que se caracteriza por tener un valor veritativo (es decir el significado tiene la posibilidad de ser verdadero o falso pero no los dos a la vez). Las proposiciones lógicas se representaran mediante letras minúsculas del abecedario (…p,q,r,s,…) a los cuales se denominará variables proposicionales.

Son aquellos que tienen dos o más significados unidos por conjunciones gramaticales o, en todo caso, contienen el adverbio de negación “no”. Ejemplos: Hoy día es martes y estudiaremos aritmética “no es cierto que el perro ladre”

CONECTIVOS LÓGICOS Símbolo

Nombre

Lenguaje Común

~

Negación

No, no es cierto que, no es el caso que, etc.

∧

Conjunción

Y, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, etc.

∨

Disyunción inclusiva

“o”

∆

Disyunción exclusiva

“o”, “o… o…”

→

“Si… entonces…”, “… si…”, “… dado que”, Condicional “…siempre que…”, “… porque…”, “... por lo tanto ...”, etc.

↔

Bicondicional

Ejemplos: p: “Lima es una ciudad europea” q: “El rio Amazonas pasa por la selva” r: “(10-3) x 2<18

CLASES DE PROPOSICIONES Proposición Simple o Atómica Es aquella proposición con un solo significado. Carente de conjunciones gramaticales y del adverbio de negación “no”. Ejemplos: “El acero es resistente” “6 y 7 son número consecutivo”

Proposición

Negación

p

q

~p

~q

V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

Conjunción

Disyunción inclusiva

p∧q

p∨q

V F F F

V V V F

7

“… si y solo si …”

Disyunción Condicional Bicondicional exclusiva p∆q F V V F

p→q V F V V

p↔q V F F V

ARITMÉTICA

1

5.o año

LÓGICA PROPOSICIONAL I

EVALUACIÓN DE FORMULAS POR LA TABLA DE VERDAD

IMPORTANTE Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos, se dice que el esquema molecular es tautológico. Se dirá que el esquema molecular es contradictorio si los valores del operador principal son todos falsos. Si los operadores del valor principal tienen por lo menos una verdad y una falsedad, se dice que es contingente o consistente.

Evaluar una fórmula por la tabla de verdad es obtener los valores del operador principal a partir de los valores de verdad de cada una de las variables proposicionales. El número de valores que se asigna a cada variable es 2n, donde “n” es el número de proposiciones que hay en la fórmula.

Trabajando en clase Integral

PUCP

1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones lógicas? a) 7, 12 y 15 son números enteros b) Si 3x < 13 entonces X es igual a –4 c) Richard y su hija son peruanos d) ¿Quién es el Presidente del Perú? e) Es la ciudad más bella del Perú.

4. Si la proposición compuesta: (~p ∧ q) → (q ∧ s) Es falsa, determina el valor de verdad de la siguiente proposición: (q ↔ s) ∨ p Resolución: (~p ∧ q) → (q ∧ s) ≡ F (F) (V) (V) (F) 14243 14243 V F (q ↔ s) ∨ p V↔F∨F 1442443 F ∨ F≡F

2. Realiza la tabla de valor de verdad del siguiente esquema molecular. ~(p–q) ↔ ∼[(~q) → (~p)] E indica si es tautológico contradictorio o contingente. 3. Simboliza las siguientes proposiciones. a) O José vendrá porque ha recibido la carta o no está interesado en el nuevo trabajo. b) Si no es el caso que Marcos sea comerciante y un próspero industrial, entonces es ingeniero o no es comerciante.

1

ARITMÉTICA

5. Si la proposición: (~p ∨ q) ∨ (r → s) Es falsa determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (~p ∆ q) → r b) (r ↔ q) ∧ (~q ∨ ~p) 6. Si la siguiente proposición lógica compuesta es falsa, determina el valor de verdad de cada proposición. Si Orlando trabaja, entonces puede estudiar o comprarse un televisor nuevo. 7. Si la proposición: ~[p ∧ (q ↔ p)] es falsa.

8

Determina el valor de verdad en cada caso. a) (p → q) ∨ q b) (q ∨ ~p) ↔ q c) ~[p → (q ∧ p)] UNMSM 8. Si a > 0 y b < 0, determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) a4 b < ab4 II) |ab3| = ab3 III) ab2 =- b a (UNMSM 2012 – II) Resolución: a ⇒ 1; 2; 3; …; etc. b ⇒ –1; –2; –3; ..; etc. < ab4 ….(V) I) a4b (negativo) (positivo) II) |ab3| = –ab3 ………(F) El valor absoluto siempre es positivo III) ab2 =- b a ………(V) Porque b < 0 por lo tanto negativo 9. Determine el valor de verdad de las siguientes preposiciones: I) Si x ≤ 4, entonces x = 8 II) Caral es la ciudad más antigua del Perú. III) BID significa Banco Internacional de Desarrollo.

5.o año

LÓGICA PROPOSICIONAL I 10. Si p = V ; q = V y r = F Los valores de las proposiciones siguientes son: a) [(~p → q) D r] ↔ q ......( ) b) (~p ∨ q) → (~r ∧ ~q) ...( ) 11. Sí “a” es par y “b” es impar, determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) a x b = impar II) b + b = par III) a – b = impar UNI 12. Si la proposición (p ∧ ~q) → (r → ~s), es falsa,

El valor de p, q, r, s (en ese orden) es: (UNI 2012 – I) Resolución: (p ∧ ~q) → (r → ~s) ≡ F (V) (F) (V) (V) 1442443 1442443 V F p = V; q = F; r = V; s = V 13. Si la siguiente proposición es verdadera, determina el valor de p, q, r, s (en ese orden) ~[~(p ∧ q) ∨ (r → ~s)] 14. Indica la secuencia correcta después de determinar si la

9

proposición es verdadera o falsa. I) Si “m” y “n” son números no divisibles por tres, entonces la suma o la diferencia de ellos es un múltiple de tres. II) Si “m” y “n” son múltiples de tres con m > n > 0; entonces, el cociente m/n es un múltiple de tres. III) Si “m” y “n” son múltiples de tres con m; n> 0 entonces el MCD (m, n) es un múltiplo de tres. (UNI 2010 – I)

ARITMÉTICA

1

2 Lógica Proposicional II PROPOSICIONES LÓGICA EQUIVALENTE

Son aquellas que poseen tablas de verdad equivalentes (iguales) siendo posible el uso de una de ellas por la otra. Se denotan p≡q Ejemplo: a : ( p " q) b: + q "+ p

c. Ley asociativa

(p 0 q) 0 r / p 0 (q 0 r) ( p / q) / r / p / ( q / r )

d. Ley distributiva

p / (q 0 r ) / (p / q ) 0 (p / r ) p 0 ( q / r ) / ( p 0 q ) / (p 0 r )

e. Ley de la doble negación

+ (+ p) / p

f. Ley de identidad

Se puede decir también que dos proposiciones son lógicamente equivalentes cuando la proposición bicondicional que las vincula es una tautología, es decir si: (p & q) " (p / q) 1 44 2 44 3 Ley log ica

LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.

PRINCIPALES LEYES



2





p " q =+ p 0 q

i. Ley de la bicondicional

P ) q / (p " q) / (q " p) p ) q / (p / q ) 0 ( + p / + q ) p ) q /+ (pTq)

j. Ley de absorción p 0 (p / q) = p p / (p 0 q) = p p 0 ( + p / q) = p 0 q p / ( + p 0 q) = p / q

k. Leyes de Morgan

p0q / q0p p/q / q/p ARITMÉTICA

p 0+ p = V p /+ p = F

h. Ley de la condicional

p0p / p p/p / p

b. Ley conmutativa

g. Leyes de complemento



a. Ley de idempotencia

p 0 V / V; p 0 F = p p / V / p; p / F = F



10

+ (p 0 q) = + p / + q + (p / q) = + p 0 + q

5.o año

LÓGICA PROPOSICIONAL II Simbología:

TRANSPOSICIÓN p " q =+ q "+ p

p→q q→r p→r

Conclusión: Se lee: Si estudias, entonces serás profesional.

Ejemplo: Si Pedro toca guitarra, entonces canta. p : Pedro toca guitarra. q : Pedro canta.

CIRCUITOS LÓGICOS

Simbología: p → q Su equivalente: ~q → ~p Se lee: Si Pedro no canta, entonces no toca guitarra.

Un circuito conmutador puede estar solamente en dos estados estables: cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar una proposición utilizando un circuito lógico:

1. Circuito serie:

TRANSITIVIDAD

Dos interruptores conecta dos en serie representan una conjunción.

Si p " q y q " r

<>p∧q

entonces: p " r

2. Circuito Paralelo:

Ejemplos: ZZ Si estudias, entonces ingresarás. ZZ Si ingresas, entonces serás profesional. p: Estudias. q: Ingresarás. r: Serás profesional.

Dos interruptores conectados en paralelo representan una disyunción.

<>p∨q

Trabajando en clase Integral 1. Simplifica el siguiente esquema. + [+ (+ p 0 q) " p] 0 q 2. ¿A qué formula molecular equivale el siguiente circuito?

Resolución: • Ley del condicional ∼(+ p / q) 0 (q " p) p 0+ q 0+ q 0 p • Ley de idempotencia (p 0 p) 0 (+ q 0 + q) S p ∨ ~q • Ley de Morgan + (+ p / q)

3. Determina el equivalente de: No es el caso que José es ingeniero y no haya estudiado en la universidad. PUCP

5. Simplifica el siguiente esquema: [(+ p / q) " (+ s / s)] / + q 6. Simplifica el esquema. [(p / + q) / (q " p) / r] 0 p 7. Realiza el circuito del siguiente esquema molecular [(p / + q) 0 + p] 0 q

4. Simplifica el siguiente esquema: (+ p / q) " (q " p)

11

ARITMÉTICA

2

5.o año

LÓGICA PROPOSICIONAL II UNMSM

8. Señala el equivalente de: Si Miguel va a la fiesta, entonces realizó su trabajo. Resolución: p = Miguel va a la fiesta. q = Miguel realizó su trabajo (p " q) /+ p 0 q Miguel no va a la fiesta o realizó su trabajo. 9. Señala el equivalente de: No es el caso que Pilar no sea escritora y no sepa los signos de puntuación. 10. De las siguientes proposiciones: a) Si te esfuerzas, entonces serás titular en el equipo de fútbol. b) Si no eres titular en el equipo de fútbol entonces no te esfuerzas. c) No te esfuerzas o serás titular en el equipo de fútbol. ¿Cuáles son equivalentes entre si?

UNI 12. Señala el circuito equivalente a la proposición [(p → q) → p] ∧ [~p → (~p → q)] Resolución: [(p → q) → p] ∧ [~p → (~p → q)] 14243 [(~p ∨ q) → p] ~(~p) ∨ (~p → q)] 144424443 ~(~p ∨ q) ∨ p p ∨ (~p → q) 144424443 14243 (p ∨ ~q) p ∨ ~(~p) ∨ q 144424443 144424443 p p ∨ (p ∨ q) (p ∨ q) p ∧ (p ∨ q) ≡ p 4p4 13. Señala el circuito equivalente a la proposición {∼(p ∩ q) ∧ [(p ∧ q) ∨ r]} ∧ ∼q 14. Indique la fórmula que representa el siguiente circuito lógico: q p r ∼r

11. La negación de “Hoy es viernes por lo tanto mañana es sábado” es:

2

ARITMÉTICA

s

12

t

3 Conjuntos I NOCIÓN DE CONJUNTO

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Es un ente matemático, por el cual se puede tener una idea subjetiva de ello; como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados elementos. Ejemplo: ZZ Los días de la semana. ZZ Los países de América del Sur. ZZ Los jugadores de un equipo de fútbol.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas:

Por extensión (forma tabular) Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los elementos.

Se establece esta relación solo de elementos a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado. “… pertenece a…”; ∈ “… no pertenece a …” ∉ Esto quiere decir que dado un elemento y un conjunto: elemento

! "

conjunto

RELACIÓN DE INCLUSIÓN (⊂) Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los elementos del primero forman parte del segundo conjunto. ⊂: “incluido o contenido” A ⊂ B: “A está contenido en B” “A es subconjunto en B” “B contiene a A”

Ejemplo: A = {a, e, i, o, u} D = {2, 4, 6, 8}

Ejemplos: I. A = {todos los gatos} B = {todos los mamíferos} ∴A⊂B

Por comprensión (forma constructiva)

II. D = {2, 4, 6} E = {1, 2, 3, 5} Se observa que D no está contenido en E, en ese caso se denota: D ⊄ E

Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto, y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada. Esquema:

CARDINAL DE UN CONJUNTO Es el número de elementos que posee el conjunto considerado.

Notación: |A| o n(A): Número de elementos de A A = {a, e, i, o, u} |A| = n(A) = 5 P = {2, 2, 3, 3, 3, 6, 7} → n(P) = 4

SUBCONJUNTO

G = {n/n es una vocal} H = {los números pares menores que 13}

Se denomina “subconjunto de A” a cualquier conjunto que este incluido en el mismo “A”.

J = {n2 – 1/n es entero ∧ 1 ≤ n ≤ 7}

13

ARITMÉTICA

3

5.o año

CONJUNTOS I

Subconjunto propio

Se denomina “subconjunto propio de A” a cualquiera de sus subconjuntos excepto el mismo “A”.

CONJUNTO POTENCIA Se denomina “potencia de A”; P(A) al conjunto de los subconjuntos de “A”. Además; sea “n” el número de elementos del conjunto A. R o SN desubconjuntosdeA = 2 n S o S N desubconjuntos = 2 n - 1 p Si: n (A) = n Sf propiosdeA S SNo deelementosdeP (A) S S n [P (A)] = 2 n T Ejemplo: Si: {a; b; c} entonces: P(A) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}}

CONJUNTOS NUMÉRICOS Donde:

• Números naturales:

N = {0; 1; 2; ...}

• Números enteros:

Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...}

• Números racionales:

Q = (..., 3 ; 4 ; 0; 1 ; 4 ; ... 2 2 7 2 2

• Números irracionales:

I = #..., - 5 ; - 3 ; 3 ; e; ≠; ... -

• Números reales: R; Q ∪ I

Trabajando en clase Integral

Resolución: “A” es un conjunto unitario; por lo tanto, los elementos son iguales a + 5 = 4 & a = 11 A = B & los elementos son iguales 3 b + 72 = 4 b + 72 = 64 b = 15 a × b = 11 × 15 = 165

1. Calcula la suma de elementos del conjunto “A” si: A = $(2y - 3) ! Z/2 # 3y - 2 # 5 .

2. Según el conjunto A = $a; # b; c -; d . ¿Cuántos enunciados son incorrectas? I. # b; c - 1 A II. # b; c - ! A III. $# b; c -. 1 A IV. c ∈ A V. " a , 1 A VI. " a , ! A

3. Dados los conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {2; 3; 4; 8; 3} Calcula el número de subconjuntos de A más los de B.

5. Si los conjuntos A y B son unitarios. Calcula “xy” A = $3 x + 3 ; 2 . B = % y x; 32 /

6. Calcula el cardinal de: C = #(2x + 3) ! N/3 # x 1 5 7. Calcula el cardinal del conjunto B si: B = # x2 + 2/x ! Z - 2 # x 1 3 UNMSM

PUCP 4. Si el subconjunto A es unitario y es igual al conjunto B, calcula: a × b A = # a + 5 ; 4-

8. Calcula: n(A) + n(B) si: A = ) c x + 3 m ! N/ x ! N / 2 # x # 5 3 2 B=)

B = $ b + 72 . 3

3

ARITMÉTICA

14

y+4 /y ! A 3 3

5.o año

CONJUNTOS I PUCP

Resolución:

x

2

3

4

5

x+3 2

5/2

3

7/2

4

12. Dados los conjuntos:

A = # x ! N/25x2 + 10x + 1 = 0 -

C = #1/x ! R/4x2 - 4x + 1 # 0 -

A = {3; 4}

Calcula: n(A) + n(C) Resolución:

n(A) =2 y 3 4 n(B) = 2 y+4 2+2=4 7/3 8/3 3

A = # x ! R/25x2 + 10x + 1 1 0 25x2 + 10x + 1 = (5x + 1)2 < 0 x∈N ⇒ A=∅

9. Calcula: n(R) . n(P) si:

C = #1/x ! R/4x2 - 4x + 1 = 0 4x2 – 4x + 1 = (5x – 1)2 = 0 x = 1/2 C = {2}

2 R = * e x + 2 o ! N/ x ! N / x # 3 4 2

P = *d

y+3 n /y ! R 4 2

10. El número de subconjuntos de un conjunto de n + 2 elementos excede al doble del número de subconjuntos de un conjunto de n – 2 elementos en 224. Calcula el valor de “n”. 11. Si los conjuntos son iguales, calcula 2a + 3b si a y b ∈ Z+ A = $a3 + 8; b2 + 13 .

n(A) + n(C) = 0 + 1 = 1 13. Dados los siguientes conjuntos: n(B) + n(C) calcula. B = # x ! N/9x2 + 6x + 1 = 0 C = #1/x ! Z/16x2 + 8x + 1 = 0 14. Calcula: n(A) A = ( x = r /r; s ! Z; / < r # 3 y 0 1 s # 3 2 s

B = #7; 16 -

15

ARITMÉTICA

3

4 Conjuntos II OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Unión o reunión

4. Diferencia simétrica

Sean los conjuntos A y B Se denota A D B Se define: A D B = {x/x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∉ (A ∩ B)} Ejemplo: Sean: A = {1; 2; 3; 4} y B = {3; 4; 5; 6; 7} Luego: A D B = {1; 2; 5; 6; 7}

Sean los conjuntos A y B Se denota A ∪ B Se define: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejemplo: Sean A = {1; 2; 3; 4} y B = {3; 4; 6; 7} Luego: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} A

2. Intersección

A

5. Complemento

B

A∩ B B A

Sean los conjuntos A y B Se denota: A – B (en ese orden) Se define: A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B} Ejemplo: Sean A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y B = {5; 6; 7; 8; 9} Luego: A – B = {1; 2; 3; 4}

A

Sea el conjunto A Se denota: A; Ac; A’; CA Se define: Ac = {x/x ∈ ∪ ∧ x ∉ A} Ejemplo: Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y A = {1; 3 ; 5; 7} Luego: Ac = {2; 4; 6; 8; 9} ∪  A

6. Diagrama de Venn S1 = a + b + c S2 = e + d + f S3 = x S1 + S2 + S3 + g = U

B

A A – B B

4

ARITMÉTICA

B

A  B = (AADB) B - (A  B)

A∪ B B A

Sean los conjuntos A y B Se denota A ∩ B Se define: A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejemplo: Sean A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} y B = {5; 6; 7; 8; 9} Luego: A ∩ B = {5; 6; 7}

3. Diferencia

A

B

16

C Ac A

5.o año

CONJUNTOS II

7. Diagrama de Carroll

Recuerda

Se utiliza para conjuntos disjuntos. Peruanos

Para conjuntos disjuntos utilizar diagrama de Carroll y para conjuntos desiguales diagrama de Venn

Extranjeros

Hombres a b c d Mujeres a = hombres peruanos d = mujeres extranjeros

Trabajando en clase Integral 1. Si n(A ∪ B) = 40; n(A ∩ B) = 10; n(A – B) = 10, determina: n(A) + n(B) 2. De un grupo de amigos, la cuarta parte habla inglés y de estos la cuarta parte también habla francés. De los que no hablan inglés, la tercera parte no habla francés y los demás sí. La parte de los amigos que habla francés es: 3. El club de “Rímac Lima” consta de 120 personas. De ellos; 62 juegan fútbol, 24 básquet y 18 vóley. Además 8 juegan los 3 deportes y 38 no practican ninguno de los deportes mencionados, ¿cuántas personas practican exactamente un deporte? PUCP 4. Una persona come queso o tocino en su desayuno cada mañana durante el mes de enero. Si come tocino 25 mañanas y queso 18 mañanas, ¿cuántas mañanas comió queso y tocinos? (PUCP 2013 – II) Resolución: U = 31 tocinos queso (25) (18) 18-x x 25-x

6. De un grupo de 100 atletas: 54 lanzan jabalinas, 45 lanzan bala, si 28 practican los dos deportes. ¿Cuántos no practican bala ni jabalina? (PUCP 2007 – I) 7. En un control de calidad sobre cierto producto se encontró tres defectos importantes A; B y C. Se analizan 90 productos y se encuentra que: YY 33 artículos tienen el defecto A. YY 44 artículos tienen el defecto B. YY 37 artículos tienen el defecto C. YY 53 artículos tienen exactamente un defecto. YY 7 artículos tienen exactamente tres defectos. ¿Cuántos artículos no tienen ningún defecto? (PUCP 2000 – I) UNMSM 8. Una empresa de transporte urbano dispone de cierto número de vehículos de los cuales 5 están en reparación. Además: YY 42 circulan en la mañana. YY 38 circulan en las tardes. YY 30 circulan en las noches. YY 20 circulan en las mañanas y en las tardes. YY 14 circulan en las tardes y en las noches. YY 16 circulan en las mañanas y noches. ¿Cuántos son en total los vehículos; si además se sabe que son 5 los que trabajan todo el día? Resolución:

18 – x + x + 25 – x = 31 43 – x = 31 x = 12 5. En el mes de agosto Orlando va a nadar 22 días y va a correr 16 días ¿cuántos días realizó ambos deportes si descansó 2 domingos?

17

U = 9 + 15 + 5 + 9 + 11 + 11 + 5 + 5 U = 70 ARITMÉTICA

4

5.o año

CONJUNTOS II

9. En una encuesta realizada a cierta cantidad de personas sobre la página web de su preferencia; de las cuales 3 personas no conocen ninguna página se sabe: YY 17 les gusta Youtube. YY 18 les gusta Twitter. YY 19 les gusta Facebook. YY 5 les gusta Youtube y Twitter. YY 10 les gusta Twitter y Facebook. YY 7 les gusta Facebook y Youtube. ¿Cuántas personas en total fueron encuestadas, si además se sabe que a 3 personas que les gustan las tres páginas web?

álgebra representan el 60% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron aritmética y álgebra, calcula el número de alumnos del colegio. Resolución:

42 = 60% (8%N + 42) N = 350

10. Sean los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} A = {1; 2; 3; 4}; B = {2; 4; 6} y C = {2; 3; 4} hallar el cardinal de R, si: R = #(A , B) - C’- + #(B + A) ’ , B -

13. En un colegio el 58% aprobo Química, el 30% aprobó Física y los que aprobaron Química y Física representan el 40% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 12 aprobaron en Química y Física, calcula el número de alumnos del colegio.

11. En una reunión de doctores, de 54 participantes 35 dominan inglés y física, 21 inglés y química y 16 física y química. Si todos dominan por lo menos 2 cursos. ¿Cuántos dominan los tres cursos?

14. En una encuesta realizada se observó: YY 55 mujeres tienen casacas. YY 90 personas no tienen guantes ni casacas. YY 40 hombres tienen guantes. YY 35 personas con guantes tienen casaca. YY 75 mujeres no tienen guantes. YY 25 hombres con guantes no tienen casaca. ¿Cuántos hombres que no tienen casaca no tienen guantes?

UNI 12. En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y

4

ARITMÉTICA

18

5 Numeración I: sistema decimal ZZ Letras iguales representan cifras iguales.

Numeración

Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

Número:

Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

Numeral:

Es la representación simbólica o figurativa del número.

DEFINICIÓN Es el sistema que utilizamos para representar a los números y se caracteriza por agrupar las unidades de un orden cualquiera de 10 en 10. Así tenemos que: ZZ 10 unidades forman 1 decena, ZZ 10 decenas forman una centena, ZZ 10 centenas forman 1 millar, etc. Veamos el siguiente número:

NOTACIÓN Si queremos representar un número cualquiera de 4 cifras, escribiremos: abcd Para denotar un número de la forma señalada, tendremos en cuenta lo siguiente: ZZ Cada letra representa una cifra. ZZ Una expresión entre paréntesis representa una sola cifra. ZZ La cifra de mayor orden (1º cifra) debe ser significativa (diferente de cero).

19

ZZ Letras diferentes no necesariamente representa

cifras diferentes.

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA En muchos problemas es útil expresar un número en función de sus cifras, y esto se logra mediante el método de descomposición polinómica. Veamos: 3421 = 3000 + 400 + 20 + 1 = 3 × 1000 + 4 × 100 + 2 × 10 + 1 En general abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e

CONTEO DE NÚMEROS CONDICIOAlgunas veces nos piden que hallemos números que cumplan con ciertas condiciones. En este tipo de problemas se aplica, generalmente, el “principio de multiplicación” del análisis combinatorio. Veamos el siguiente ejemplo: ¿Cuántos números impares de dos cifras empiezan en cifra par? Nos piden encontrar los números de la forma que cumplan con las siguientes condiciones: ZZ “a” debe ser PAR a = 2, 4, 6, 8 (4 valores) ZZ “b” debe ser IMPAR b = 1, 3, 5, 7, 9 (5 valores) Si por ejemplo a = 2 podemos formar los siguientes números: ab ; y si a = 4; ab .. .. _ _ 21b 41b 23bb 43bb 25` 5#s 45` 5#s b 27b 47bb 29ba 49ba Y como “a” puede tomar 4 valores, podemos formar en total: 4 x 5 = 20 números que cumplen con las condiciones dadas. ARITMÉTICA

5

NUMERACIÓN I: SISTEMA DECIMAL

5.o año

CANTIDAD DE CIFRAS ¿Cuántas cifras se emplean al escribir todos los números enteros desde el 1 hasta el 324?

separaremos los números en grupos que tengan igual cantidad de cifras. 12 3, ..., 9 10 11, ..., 99 100 101, ..., 324 S 1 44 2 44 3 1 4 44 2 4 44 3 9 nœmeros . 9 # 1 = 9 cifras

Del 1 al 324 hay, evidentemente, 324 números, pero no todos tienen la misma cantidad de cifras. Por esto

99 - 9 = 90#s . 90 # 2 = 180 cifras

324 - 99 = 225 . 225 # 3 = 675

& Tota de cifras = 9 + 180 + 675 = 864

Trabajando en clase Integral 1. Si a un número entero se le agregan 3 ceros a la derecha, dicho número queda aumentado en 522477 unidades, ¿cuál es el número? 2. ¿Cuántos números de 3 cifras no tienen ninguna cifra 2? 3. ¿Cuántos números existen mayores que 100 de la siguiente forma a(2a)b que terminen en cifra par? PUCP 4. Si con dos cifras consecutivas formo la edad actual de Danna. ¿Dentro de cuántos años ella tendrá una edad formada por las dos cifras iniciales en orden inverso? Resolución: a(a + 1) + x = (a+1)a 10a + a + 1 + x = 10a + 10 + a 1 + x = 10

x=9

5. Si con dos cifras consecutivos formo la edad actual de Norma ¿dentro de cuantos años

5

ARITMÉTICA

ella tendrá una edad formada por dos cifras que son las consecutivas de la cifras iniciales respectivamente? 6. Un número abc se divide entre el número bc, obteniéndose de cociente 19 y 12 de residuo. El menor valor de la expresión 2a + b + c es: 7. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes existen que sean iguales a 13 veces la suma de sus tres cifras? UNMSM 8. Si mnpmn es producto de números primos consecutivos y “p” es igual a cero, ¿cuál es el mínimo valor de mn? Resolución: mnpmn = mnomn Descomposición polinómica 1000mn + mn 1001mn 1001 = 7 × 11 × 13 × mn 7 × 11 × 13 × mn mn = 17 ⇒ Primos consecutivos 17



9. Si aabb es el producto de 4 números primos consecutivos

20

calcula la suma de estos números 10. ¿Cuántos números de 3 cifras utilizan por lo menos una cifra 7 en su escritura? 11. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar un libro de 189 hojas? UNI 2

12. Si ab – ba2 = 3168 calcula el menor valor de a + b Resolución: ab2 – ba2 = (ab – ba) (ab + ba) (10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a) (9a-9b)(11a+11b) (a – b) (a + b) = 32 123 123 2 16 4 8 (a + b) menor = 8 13. Si mn2 – nm2 = 1188 calcula el valor de: m + n 14. Si se cumple que: ! ! ! 0, ab + 0, ba = 1, Calcula el valor de a + b

6 Numeración II CAMBIOS DE BASE EN LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Caso 1: de base diferente de 10 a base 10.

Caso 3: de base diferente de 10 a otra base diferente de 10. Ejemplo: pasa 4328 a base 9

Paso 1: Pasa 4328 a base 10 4328 = 4 × 82 + 3 × 8 + 2 = 256 + 24 + 2 = 282

ZZ Método de descomposición polinómica

Ejemplo: Pasa 6428 a base 10. 6428 = 6 × 82 + 4 × 8 + 2 = 6 × 64 + 32 + 2 = 418

Paso 2: Pasa 282 a base 9 282 9 12 31 9 3 4 3

ZZ Método de Ruffini

Ejemplo: Pasa 6428 a base 10.

∴ 4328 = 3439

PROPIEDADES 1. Numeral de cifras máximas (n–1) (n–1) (n–1)... (n–1)n = nk – 1 14444444244444443 k cifras 2. Bases sucesivas:

Caso 2: de base 10 a base diferente de 10. ZZ Método: divisiones sucesivas

Ejemplo: Pasa 698 a base 8.

1a1b1c1dn = n + a + b + c + d



3. Intervalo en el cual se encuentran los numerales con cierto número de cifras. El intervalo para N(b) de K cifras es: bk-1 ≤ N(b) < bk

Trabajando en clase Integral

PUCP

1. Calcula: 2a + b2; si Si: aab(7) = 213(5)

4. Si se cumple que:

2. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor número de tres cifras en base 6, luego de pasarlo al sistema decimal? 3. ¿En qué sistema de numeración existen 120 números de tres cifras impares y diferentes entre sí?

21

3abc = 2ba5 Calcula a + b + c si son cifras significativas. Resolución: +

3abc = 2ba5 Nota: a mayor numeral le corresponde menor base. ARITMÉTICA

6

5.o año

NUMERACIÓN II

31c15

9. Si xy(7) = yx(n) entonces el mayor valor de “n” es:

.

4 3ab4 = 2ba5 3 # 42 + a # 4 + b = 2 # 52 + b # 5 + a 48 + 4a + b = 50 + 5b + a 3a - 4b = 2 .

.

2

1 2+1+4 = 7

10. Si los numerales están correctamente escritos calcula: m + n + p p42(n); m43(p); n62(7); 300(m) 11. Un número de cuatro cifras en base 7 se representa en base 10 por 48a calcula el máximo valor de la suma de cifras de dicho número. UNI

5. Si se cumple: 4xy(m) = 3yx(6) Calcula: x + y + m 6. Si mn30 x = xxx (5) calcula: (m × n) + x 7. Calcula el valor de “a” si: a006 = 21a

12. Indica el valor de x/y. Si 35y + yx = 450 Resolución: 35y + yx = 450 300 + 50 + y + 10y + x = 450 350 + 11y + x = 450 11y + x = 100 9

UNMSM 8. Si ab(4) = ba(n) entonces el mayor valor de “n” es: Resolución: ab(4) = ba(n) 4a + b = nb + a 3a = nb – b 3a = b (n - 1) .

.

3

1

.

9

n-1 = 9 n = 10

6

ARITMÉTICA

.

.

1 x =1 y 9

13. 432 + cba6 = 2a5c(6) + 1b4(6) Calcula el máximo valor de a + b + c 14. Sean: A = 1a1(4); B = 1101(a) ; C = 1a24a(5) Calcula la suma de las cifras de C en base 10. Sabiendo que C = AB

22

7 Numeración III ORDEN Y LUGAR

REPRESENTACIÓN LITERAL • • • • •

Número de 2 cifras = Número de 4 cifras = abcd Número de 3 cifras iguales = aaa Número capicúa de tres cifras = aba Número capicúa de 4 cifras = abba

ORDEN

378921 LUGAR

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELATIVO

ZZ 3246 = 3000 + 200 + 40 + 6 ZZ abcd = 1000a + 100b + 10c + d ZZ aaa = 111a ZZ a0b = 100a + b ZZ abab = 101ab ZZ 273(8) = 2 x 82 + 7 x 8 + 3 = 187 ZZ abcn = a × n2 + b × n + c ZZ

abab(n) = ab n xn2 + ab n

CAMBIO DE BASE

1er caso De base n a base 10 Convertir 2674(8) al sistema de numeración decimal 2674(8) = 2 × 83 + 6 × 82 + 7 × 8 + 4

2do caso De base 10 a base m Convertir 936 al sistema de numeración quinario

= 2 × 512 + 6 + 64 + 56 + 4

3er caso De base n a base m Convertir 732(8) al sistema de numeración senario 7328 = 7 × 82 + 3 × 8 + 2 = 448 + 24 + 2 = 474

= 1024 + 384 + 56 + 4

= 1468 2674(8) = 1468

23

ARITMÉTICA

7

5.o año

NUMERACIÓN III

Trabajando en clase Integral

tercer orden se le restan 4 unidades y a su cifra de tercer lugar se le suman 5 unidades? Resolución: Número original: abcd

1. Si: abcd = 37ab + 62cd Calcula: a + b + c + d 2. ¿Cuántos numerales de 3 cifras todos impares existen en el sistema heptal?

(a + b) (b - 4) (c + 5) d Descomposición polinómica 1000a + 3000 + 100b - 400 + 10c + 50 + d 1000a + 100b + 10c + d + 2650 abcd + 2650 Rpta.: el número aumenta en 2650

3. Si los números están bien escritos: 110(a); aa1(b); c2(5); 21b(c) Calcula a × b × c PUCP 4. Cuántos numerales de la forma siguiente existen? Siendo a, b y c naturales? (2a + 1) (b - 2) (a2) 9 Resolución:

9. ¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a su cifra de primer orden se les agregan 4 unidades, a la segunda cifra se le agregan 5 unidades y a la cifra de primer lugar se le quitan 2 unidades? 10. Si se cumple que (a + 1) 32(n) = aba(5)

(2a + 1) ( b - 2) (a2) 9 . 0 1 2

. 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Calcula: a x b x n 11. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar las páginas de un libro que tiene 128 hojas? UNI

3 # 9 = 27

5. ¿Cuántos numerales de la forma (m - 3) (n2) (p + 3) (2m) (12) existen? Siendo m, n y p naturales

12. En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras? Resolución: 100(n) # 1234 1 1009(n) n2 # 1234 1 n3 n # 1234 ; 3 1234 1 n n # 35, ... ; 10, ... 1 n 10, ... 1 n # 35; ... n = 11; 12; 13; ...; 35 35 - 10 = 25 sistemas

6. Calcula: a + b, si:

7. Calcula a + b, si se cumple: aabac5 = 223c7 UNMSM

13. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 65 se escribe con 2 cifras? 14. Dado el numeral capicúa (2b + 1) (5b - 6a) c (7a - 11) (4a - 1) (9)

8. ¿Qué sucede con un número de 4 cifras si a la primera cifra se le agregan 3 unidades, a la cifra de

7

ARITMÉTICA

Calcula el máximo valor de: a + b + c

24

8 Repaso 1. Si p = V y q = F determina la verdad o falsedad de cada proposición. I. ∼(p→q)∧p II. (∼p∧∼q)→∼q a) VVV c) FFV e) VVF b) FVF d) FFF 2. Simplifica {[p∧(p→q)v∼p]} a) ∼p→q c) p→q e) ∼(p→q) b) ∼p∨∼q d) ∼p∧q 3. Indica la negación de la siguiente proposición: "No es el caso que si estudias entonces desapruebas el examen de aritmética" a) Si estudias no das la prueba. b) Apruebas el examen de aritmética, si no estudias. c) Estudias y apruebas el examen de aritmética. d) Estudias o no rindes el examen de aritmética. e) No estudias ni rindes el examen de aritmética. 4. Dado el conjunto P={∅{a;b}a} ¿cuántas proposiciones son verdaderas? I. ∅⊂p II. ∅∈p III. a; ∅∈p IV. {a; {a;b}}⊂p a) 1 c) 2 e) 4 b) 0 d) 3 5. Si el conjunto B es unitario, determina a+x B = {a+2x; 3x–a+2;11} a) 12 c) 16 e) 10 b) 14 d) 11

continentes ¿cuántas personas fueron encuestadas? a) 2500 b) 2000 c) 3500 d) 4000 e) 3000 7. A la fiesta de promoción de quinto año del salón "Pamela" asistieron 65 personas, en determinado momento se observó que 8 hombres y 7 mujeres no bailaban. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta de promoción? a) 28 c) 32 e) 18 b) 22 d) 30 8. ¿Cuántos números de 5 cifras existen en el sistema de numeración duodecimal que no utilicen la cifra 2 y 5 en su escritura? a) 83324 c) 87427 e) 90734 b) 83243 d) 90000 9. ¿Cuántos números de 2 cifras son igulaes a 4 veces la suma de sus cifras? a) 3 c) 4 e) 1 b) 2 d) 0 10. Si los numerales estan correctamente escrito, determina m + n + p + q 34m; 2m4(m); 10n(p) ;4p0(q) ;q3(9) a) 26 c) 27 e) 22 b) 19 d) 24 11. Si xy(8) + yx9 = 1yx7 Determina x + y a) 8 c) 11 b) 9 d) 5 12.

6. De un grupo de personas se sabe que: – El 46% conoce Europa. – El 42% conoce Asia. – El 58% conoce Oceanía. – El 8% conoce los tres lugares. – El 5% no conoce ninguno de estos continentes, si 390 personas conocen por lo menos dos

25



e) 14

1n

 1n  1n n    1n9

= 2135

Determina "n". a) 4 c) 5 b) 8 d) 7

e) 6

ARITMÉTICA

8

Presentación El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes. El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él. Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas. Juan Carlos Dianderas Gerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

ÍNDICE ARITMÉTICA ●● Adición y sustracción.........................................................................................................7 ●● Multiplicación y división...................................................................................................9 ●● Progresión aritmética.........................................................................................................11 ●● Progresión geométrica.......................................................................................................13 ●● Divisibilidad I......................................................................................................................15 ●● Divisibilidad II....................................................................................................................17 ●● Números primos.................................................................................................................19 ●● Repaso..................................................................................................................................21 ÁLGEBRA ●● Números complejos II........................................................................................................25 ●● Ecuaciones cuadráticas......................................................................................................28 ●● Teoría de ecuaciones..........................................................................................................31 ●● Desigualdades e intervalos................................................................................................34 ●● Inecuaciones........................................................................................................................37 ●● Relaciones y funciones.......................................................................................................40 ●● Valor absoluto.....................................................................................................................43 ●● Repaso..................................................................................................................................46 GEOMETRÍA ●● Ángulos asociados a la circunferencia.............................................................................49 ●● Segmentos Proporcionales I..............................................................................................52 ●● Segmentos proporcionales II y Semejanza de Triángulos.............................................55 ●● Relaciones métricas en el Triángulo Rectángulo...........................................................59 ●● Relaciones métricas en Triángulos Oblicuángulos........................................................62 ●● Relaciones métricas en la Circunferencia .......................................................................65 ●● Polígonos regulares.............................................................................................................68 ●● Repaso..................................................................................................................................71 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ●● Cuatro operaciones y métodos operativos......................................................................75 ●● Planteo de ecuaciones........................................................................................................77 ●● Problemas sobre edades.....................................................................................................79 ●● Problemas con móviles......................................................................................................81 ●● Problemas con fracciones..................................................................................................83 ●● Problemas con porcentajes................................................................................................85 ●● Lógica de clases...................................................................................................................87 ●● Repaso..................................................................................................................................90 TRIGONOMETRÍA ●● Ángulos en posición normal.............................................................................................95 ●● Ángulos cuadrantales y tabla de signos de las razones trigonométricas.....................98 ●● Reducción al primer cuadrante........................................................................................101 ●● Circunferencia Trigonométrica........................................................................................103 ●● Variación de senos y cosenos............................................................................................106 ●● Identidades Trigonométricas Fundamentales.................................................................108 ●● Identidades Trigonométricas Auxiliares..........................................................................110 ●● Repaso..................................................................................................................................112 FÍSICA ●● Estática I...............................................................................................................................117 ●● Estática II.............................................................................................................................125 ●● Dinámica..............................................................................................................................129 ●● Gravitación universal.........................................................................................................134 ●● Trabajo mecánico y potencia mecánica...........................................................................138 ●● Energía mecánica................................................................................................................143 ●● Cantidad de movimiento...................................................................................................147 ●● Repaso..................................................................................................................................151 QUÍMICA ●● Enlaces químicos - enlace iónico......................................................................................157 ●● Enlace covalente..................................................................................................................162 ●● Teoría del enlace covalente y fuerzas intermoleculares.................................................167 ●● Nomenclatura inorgánica I................................................................................................172 ●● Nomenclatura inorgánica II..............................................................................................178 ●● Unidades químicas de masa (u.q.m.)...............................................................................183 ●● Estado gaseoso....................................................................................................................187 ●● Repaso..................................................................................................................................192 BIOLOGÍA ●● Metabolismo celular...........................................................................................................197 ●● Respiración celular.............................................................................................................203 ●● Ciclo celular.........................................................................................................................210 ●● Meiosis y gametogénesis (variabilidad genética)............................................................214 ●● Genética I.............................................................................................................................218 ●● Herencia no mendeliana....................................................................................................223 ●● Evolución.............................................................................................................................228 ●● Repaso..................................................................................................................................233

5.° año

Aritmética

1 Adición y sustracción ADICIÓN

Cifra de las centenas:

4+3+1=8= 6 +2 1 grupo «base 6» Se coloca 2 y se lleva 1 Suma de cifras = 1 + 2 + 5 + 1 = 9

Es la operación aritmética que consiste en reunir dos cantidades homogéneas en una sola. A+B=S • A y B son sumandos • S es suma o total

SUSTRACCIÓN Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades: minuendo y sustraendo, obtener una tercera llamada diferencia, que determina la cantidad de unidades en que el minuendo excede al sustraendo.

Principales sumatorias

1. Suma de los «N» primeros números enteros positivos 1+2+3+4+…+N=

N (N + 1) 2

M–S=D • M: minuendo • S: sustraendo • D: diferencia

2. Suma de los «N» primeros números pares positivos 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2N = N(N + 1)

Propiedades

3. Suma de los «N» primeros números impares positivos

1. La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo, es decir:

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2N – 1) = N2

M + S + D = 2M

Adición en otras bases

2. Dado: ab – ba = pq, donde a > b Se cumple que i) p + q = 9 ii) a – b = p + 1

Calcula la suma de cifras de «M» M = 454(6) + 353(6) Resolución:

+1 +1 +1

3. Dado: abc – cba = mnp, donde a > c Se cumple que i) n = 9 ii) m + p = 9 iii) a – c = m + 1

4 5 4(6)+ 3 5 3(6) 1 2 5 1(6)

Complemento aritmético (CA)

Cifra de las unidades

4+3=7= 6 +1 1 grupo «base 6» Se coloca 1 y se lleva 1

El complemento aritmético de un número positivo es lo que le falta a dicho número para ser igual a una unidad de orden inmediato superior. Ejemplos • CA (42) = 100 – 42 = 58 • CA (228) = 1000 – 228 = 772 • CA(4325) = 10 000 – 4325 = 5675

Cifra de las decenas:

5 + 5 + 1 = 11 = 6 + 5 1 grupo «base 6» Se coloca 5 y se lleva 1 5.°

año

7

ARITMÉTICA

1

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Cifra de las unidades

En general:

Como no se puede restar, se presta de la cifra de las decenas un grupo de 8 (8 + 4) – 6 = 6

CA(N) = 10k – N K → número de cifra de «N»

Cifra de las decenas

Sustracción en otras bases

Como no se puede restar, se presta de la cifra de las centenas un grupo de 8 (2 + 8) – 7 = 3

Calcula: N = 734(8) – 276(8) Resolución:

+1 +1



7 3 4(8)– 2 7 6(8) 4 3 6(8)

Cifra de las centenas

6–2=4

Trabajando en clase Integral 1. Calcula a + b + c + d, si: a1a + a2a + a3a + … + a9a = bcd4 2. Calcula la suma de 4357; 1647 y 4167 3. Calcula E si abc – cba = xy4 E = 7xy + y6x + xy3 PUCP 4. La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 432. ¿Cuál es el mayor? PUCP 2013-II Resolución Sean los números x y (x+2) (x + 2)2 – x2 = 432 x2 + 4x + 4 – x2 = 432 4x + 4 = 432 ⇒ x = 107 Número mayor: 109 5. La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 1060, ¿cuál es el menor de los números? 6. Calcula la suma de las cifras de la decenas de 10 números consecutivos. La suma de estos números es 505. 7. Dos amiga: Danna y Naomi, parten simultáneamente desde

1

ARITMÉTICA

sus casas al encuentro una de la otra. Dannna recorre en el primer minuto 50 m y en cada minuto siguiente 2 m más que en el anterior. Por otro lado, Naomi recorre en el primer minuto 40 m y en cada minuto siguiente 4 m más que en el anterior. ¿Después de cuantos minutos se encuentran si la distancia que están separadas sus casas es de 510 m? UNMSM 8. La suma de tres números impares positivos y consecutivos excede al mayor de ellos en 28 unidades. Determina el producto de los tres números pares que se encuentran entre ellos UNMSM 2012-II Resolución: Sean los números a; (a + 2) y (a + 4) a + (a + 2) + (a + 4) = (a + 4) + 28 3a + 6 = a + 32 ⇒ a = 13 Nos piden: (13 × 15 × 17) – (14 × 16) = 3091 9. La suma de tres números impares consecutivos es igual a 99. Calcula la suma de los dos números mayores. UNMSM 2013-II

8

10. Sabiendo que abc2 – 2cba = 4275, además b + c = 10, calcula el minuendo 11. Calcula a + b + c si se cumple que: CA (abc) = 4(c(b–4)a) + 4 UNI 12. Lorena tiene 20 años menos que Andrea. Si las edades de ambas, suman menos de 86 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener Lorena? UNI 2013-II Resolución Edad de Lorena = x Edad de Andrea = x + 20 x + (x + 20) < 86 x < 33 xmax = 32 Edad de Lorena = 32 13. Bryan tiene 25 años de menos que José y este último tiene 10 años menos que Richard. Si las edades de las tres personas suman menos de 90 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener José? 14. La suma de los complementos aritméticos de los números: 1a1, 2a2, 3a3, …, 9a9 es 3915. Determina el valor de «a» 5.°

año

2 Multiplicación y división MULTIPLICACIÓN Definición

Clases de división entera 1. División exacta

La división entera es exacta cuando el cociente es entero. Ejemplo: 45 5 -- 9 ∈ Z

Es una operación directa que consiste en reunir dos o más cantidades en una sola.

Términos Multiplicador

Producto

2. División inexacta

La división entera es inexacta cuando el cociente no es entero. Ejemplo: 37 5 -- 7,4 ∉ Z

P=a.b=a+a+…+a 144424443 «b» veces Multiplicando

Clases de división inexacta a) Por defecto

DIVISIÓN Definición

Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en encontrar una cantidad llamada cociente, de manera que al multiplicarse por el divisor, reproduce el dividendo.



Términos

d q

D=d.q+r

q: cociente por defecto r: residuo por defecto

b) Por exceso Cociente

Dividendo

D r



D = d . q

D r’

d q+1

D = d . (q + 1) – r’

q + 1: cociente por exceso r’: residuo por exceso

Propiedades de los residuos

1. El residuo es menor que el divisor

Divisor

r
Advertencia pre

r + r’ = d

El tema de división es la base del tema divisilidad, que es uno de los más evaluados en los exámenes de admisión.

5.°

año

3. El residuo máximo es una unidad menor que el divisor rmáx. = d – 1

9

ARITMÉTICA

2

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Trabajando en clase Integral 1. Determina los factores de una multiplicación cuya diferencia es 36. Además, si se disminuye en 3 unidades a los términos de la multiplicación, el producto disminuye en 231. 2. Calcula un número de 3 cifras que dividido entre el número formado por sus dos últimas cifras da como resultado 24 de cociente y 2 de residuo. 3. Si abc × 237 = dd973 calcula «a + b + c + d» PUCP 4. En un gallinero había cierto número de aves. Si cuadruplico este número y vendo 60, quedan menos de 104. Pero si duplico el número inicial de aves y vendo 10, quedan más de 68; ¿cuántas aves había al principio? PUCP 2010-II Resolución: Número de aves = A 4A – 60 < 104 4A < 104 A < 41 2A – 10 > 68 2A > 78 A > 39 39 < A < 41

\ A = 40

5. En una cochera hay cierta cantidad de autos. Si triplico esta cantidad y compro 20 autos más, tendría menos de 83 autos. Pero si quintuplico el número inicial de autos y vendo 20, quedarían más de 75 autos.

2

ARITMÉTICA

¿Cuántos autos había al principio? 6. ¿Cuántos número existen que al ser divididos entre 36 dancomo residuo un número que es el triple del cociente? 7. ¿Cuál es el menor número entero que, al multiplicarlo por 1260, da un cuadrado perfecto? UNMSM 8. Tengo dos bolsas, una roja y otra verde, en las cuales hay 18 monedas de S/. 5 y 24 monedas de S/. 2, respectivamente. Traslado la misma cantidad de monedas de una bolsa a la otra, de manera que al final en las dos bolsas tengo la misma suma de dinero. ¿Cuántas monedas trasladé de la bolsa roja a la verde? UNMSM 2013-II Resolución: Al final del cambio debe haber la misma cantidad de dinero en cada bolsa. Bolsa roja = 18 × 5 = 90 soles Bolsa verde = 24 × 2 = 48 soles Total = 90 + 48 = 138 Nº de monedas trasladas = x (18 – x)5 + 2x = 138 2 90 – 5x + 2x = 69 3x = 21 X=7 9. Dariana tiene en su billetera de color rosado 20 billetes de S/. 10 y Miyake, en su billetera de color rojo 17 billetes de S/. 20. Si realizan un intercambio de la misma cantidad de billetes, de manera que tengan al

10

final la misma suma de dinero. ¿Cuántos billetes intercambiaron las dos amigas? 10. ¿Qué sucede con el cociente de la división si el dividendo es multiplicado por 2? Además, el divisor es 501 y el residuo 10. 11. Si al producto de dos números enteros positivos consecutivos se le resta la suma de los mismos y se obtiene 71, ¿cuál es el número mayor? UNI 12. Al multiplicar un número de cuatro cifras por 999, se obtiene un número que termina en 5352. Calcula la suma de las cifras del número. UNI 2013-II Resolución: abcd × 999 = …5352 abcd × (1000 – 1) = …5352 abcd000– abcd …5352 d=8 c=4 b=6 a=2 a+b+c+d ⇒ 2 + 6 + 4 + 8 = 20 13. Si se multiplica un número de cuatro cifras por 999, se obtiene un número que termina en 6023. Calcula la suma de cifras del número. 14. Al dividir nnn entre 41, se obtuvo como residuo 5. Determina el residuo de dividir (2n)(2n)(2n)0 entre 41.

5.°

año

3 Progresión aritmética CONCEPTO

TÉRMINO ENÉSIMO (tn)

Se dice que un grupo de números están en progresión aritmética (PA) cuando cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Ejemplo: 8; 2; –4; –10; …

tn = t1 + (n–1)r Donde: t1 = primer término n = cantidad de términos r = razón

Forma general: a; a + r; a + 2r; a + 3r; …

NÚMERO DE TÉRMINOS (n)

Representación: PA de «n» términos t1; t2; t3; t4; …; tn

n=

t n - t1 +1 r

SUMA DE LOS «N» TÉRMINOS (Sn)

Razón

Sn = d

r = t(n) – t(n–1)

t1 + t n nn 2

También

• Si r > 0, la progresión es creciente • Si r < 0, la progresión es decreciente

Sn = d

2t1 + (n - 1) nn 2

Trabajando en clase Integral

PUCP

1. Calcula la razón de una P. A. de 51 términos si el último excede al primero en 350.

4. Si en una progresión aritmética, el término enésimo es de la forma tn = 2 + (n –1)r y, además, la suma de los términos de lugares 7; 8 y 9 es 48, ¿cuál es el término de lugar 20? PUCP 2013-II Resolución: Término enésimo de una PA es: tn = t1 + (n – 1)r = 2 + (n–1)r el primer término es t1 = 2 Entonces: t7 = 2 + (7 – 1)r = 2 + 6r t8 = 2 + (8 – 1)r = 2 + 7r

2. Calcula el número de términos de la siguiente progresión aritmética: 3, ... ... ..., 23, ... ... ..., 59 14243 14243 n términos n términos 3. Calcula la razón de un PA de 14 términos si el primer término es 1 y la suma de todos es 287. 5.°

año

11

t9 = 2 + (9 – 1)r = 2 + 8r Dato: t7 + t8 + t9 = 48 6 + 6r + 7r + 8r = 48 21r = 42 r=2 Nos piden: t20 = 2 + (20 – 1)2 = 40 5. El término enésimo de una PA es de la forma tn = 4 + (n – 1)r y la suma de los términos de lugar 4; 6 y 8 es 254. ¿Cuál es el cuadragésimo término?

ARITMÉTICA

3

PROGRESIÓN ARITMÉTICA 6. Una persona decide pagar una deuda en 12 días, tal que formen una progresión aritmética. Si el primer día paga S/. 3. ¿Cuál debe ser el incremento diario que debe abonar para cubrir la deuda de S/. 168? 7. Los números 4; 3x – 3; 4x están en progresión aritmética. ¿Cuál es el cuarto término de esta progresión? UNMSM 8. Si el segundo y el noveno término de una progresión aritmética son 7 y 28, respectivamente, determina el vigésimo término de dicha progresión. UNMSM 2011-II Resolución: t2 = 7; t9 = 28 y t20 = ? Fórmula general: tn = t1 + (n –1)r t2 = 7 = t1 + (2 – 1)r t1 = 7 – r ............................. (1) t9 = 28 = t1 + (9 – 1)r t1 = 28 – 8r ........................ (2) Igualo 1 y 2 7 – r = 28 – 8r R = 3 y t1 = 4 Nos piden hallar: t20 = 4 + (20 – 1)3 = 61 9. Si el tercer y décimo término de una progresión aritmética

3

ARITMÉTICA

son 6 y 34, respectivamente. Calcula el decimonoveno término de dicha progresión. 10. En una progresión aritmética t40 = 120 y t20 = 40. ¿Cuál es el primer término de la progresión? 11. Un carpintero, cobra S/. 5 por colocar el primer clavo adicional cobra S/. 2 más que por el clavo anterior. ¿Cuánto recibió por colocar 50 clavos? UNI 12. Una persona decide caminar 72 km en 40 días, formando una PA. A los 30 días se desanima, dejando una tercera parte del camino por recorrer. ¿Cuántos km recorrió el primer día? Resolución> Día 1 = a + r Día 2 = a + 2r Día 30 = a + 30r Día 40 = a + 40r día 1 + día 2 + … + día 30 = 1 ×72 3 (a + r) + (a + 2r) + … + (a + 30r) = 48 30a + 465r = 48 10a + 155r = 16 ................... (1)

12

día 1 + día2 + … + día 40 = 72 (a + r) + (a + 2r) + … + (a + 40r) = 72 40a + 420r = 72 10a + 105r = 18 ................. (2) Del 1 y 2 se obtiene: r = 0,04 a = 0,98 Nos piden: día 1 a+r ⇒ 0,98 + 0,04 = 1,02 km 13. Leydi decide ir caminando de Lima a Huaral en 25 días, formando una PA. A los 18 días se percata de que se le acabaron los víveres; por tal razón decide darse por vencida, dejando la treceava parte por recorrer. ¿Cuántos km recorrió el primer día si la distancia que separa estas ciudades es de 78 km aproximadamente? 14. En una PA, la relación del tercer y cuarto término es 3. Determina el número de términos que hay que tomar de esta progresión para que su suma sea nula.

5.°

año

4 Progresión geométrica CONCEPTO

• Si: q > 1 → la progresión es creciente • Si; 0 < q < 1 → la progresión es decreciente • Si: q < 0 → la progresión es oscilante

Se dice que un grupo de números están en progresión geométrica (PG), cuando cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (k). Ejemplos: 1; 2; 4; 8; … Forma general:

Término enésimo (tn) tn = t1 × Kn–1

a; aK; aK2; aK3; …

Suma de los “n” términos de una PG (Sn)

Representación: PG de “n” términos t1; t2; t3; …; tn Razón: tn K= t(n - 1)

n Sn = t1 d k - 1 n k-1

Término central (tc) tc = t1 # t n

Trabajando en clase Integral 1. Determina el númeo de términos de una PG de extremos 3 y 24, de razón 5 2 2. Determina la razón de una progresión geométrica de 16 términos si el último es 27 veces el primero. 3. Determina el primer término de una PG si la diferencia entre el tercer y sexto término es 26 y el cociente 27. PUCP 4. Resuelve: 3x + 3x–1 + 3x–2 + 3x–3 + 3x–4 = 363 PUCP 2013 – II 5.°

año

Resolución: Se trata de una progresión geométrica de razón 1/3 Factorizando 3x 3 b1 + 1 + 1 + 1 + 1 l = 363 3 9 27 81 x

J 1 5 N b3l -1O K O = 363 3 x x1x K KK 1 - 1 OO L 3 P x 5 3 = 81 × 3 = 3 Igualando exponentes: x = 5 5. Resuelve la siguiente progresión geométrica: 4x + 4x–1 + 4x–2 + 4x–3 + 4x–4 + 4x–5 = 5460 6. Sea la PG: 3; 6; 12; 24; …

13



¿Cuántos términos deben tomarse para que sumen 3069?

7. Determina el duodécimo término de la progresión geométrica si el primer término es 1 y su razón es 2. 1024 UNMSM 8. Al sumar un mismo número a 20; 50 y 100, respectivamente, los tres números resultantes forman una progresión geométrica creciente. Determina la razón. UNMSM 2012-II Resolución: Los número son: (20 + a); (50 + a) y (100 + a)

ARITMÉTICA

4

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (20 + a) × r = 50 + a 20 + a = 30 ..................... (1) r-1 (20 + a) × 2r = 100 + a 20 + a = 80 ................... (2) 2r - 1 Igualando 1 y 2, obtenemos 30 = 80 r - 1 2r - 1 30(2r – 1) = 80(r – 1) 20r = 50 r= 5 2 9. Si a los números 7; 19 y 43 se les suma un mismo número, los tres números resultantes forman una progresión geométrica creciente. Determina la razón. 10. El primer término de una progresión geométrica es 2 y el último, 64. Si consta de seis términos, encuentra la razón y el cuarto término.

4

ARITMÉTICA

11. La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica es 63 y el producto 1728. Encuentra el mayor de estos números. UNI 12. Sea: Sn(x) = x + x2 + … + xn, x ∈ R, n ∈ N Determina el valor de Sn b 3 l - Sn b 1 l . 2 2

UNI 2013-I Resolución: Es una progresión geométrica de razón “x” n Sn(x) = x d x - 1 n x-1

Ahora calculamos: J 3 n N b2l -1O K O Sn b 3 l = b 3 lK 2 2 KK 3 - 1 OO L 2 P n 3 = 3 db l - 1 n 2

14

J 1 n N b2l -1O K O S n b 1 l = b 1 lK 2 2 KK 1 - 1 OO L 2 P n = 3 - db 1 l - 1 n 2 Sn b 3 l - Sn b 1 l 2 2 n n = 3b 3 l + b 1 l - 4 2 2

13. Sea: Sn(a) = a + a3 + … + an, a ∈ R, n ∈ N. Determina el valor de: Sn(9) – Sn(5) 14. Las edades de Nely, Ana y Pilar están en progresión geométrica y suman 117. Si el término central es 27, encuentra la razón.

5.°

año

5 Divisibilidad I I. CONCEPTO



Se dice que un número es divisble por otro cuando el cociente de su división resulta siempre un número entero. Sean «a», «b» y «c» números enteros. Si: a b 0 c

Por defecto 43 9 7 4

43 = 9 × 4 + 7 º 43 = 9 + 7 sobran 7





o a = c b ∈ Z+ b Entonces podemos afirmar lo siguiente:

Por exceso 43 9 2 5

43 = 9 × 5 – 2 º 43 = 9 – 2 faltan 2



«a» es múltiplo de «b» «b» es divisor de «a»

• Propiedad:

Notación: º n → se lee múltiplo de n

Si:

Ejemplo: º 11 → se lee múltiplo de 11



↓

↓

↓

↓

IV. OPERACIONES CON MÚLTIPLOS 14;

21; ...

↓

↓

..., 7(–2); 7(–1); 7(0); 7(1); 7(2); 7(3); ... En general, todo múltiplo de siete es de la forma: º 7 = 7k

con k ∈ Z

En general: º n = nk

5.°

año

º º º º n+n+n=n

2.

º º º n–n=n

3.

º º k. n = n

cuando k ∈ Z

4.

J º Nk º L nP = n

cuando k ∈ Z



Casos prácticos: º º Caso 1: si 5 a = 9 → a = 9 º º Caso 2: 9x = 45 → x = 5

Ejemplos:

º Expresa 43 en función de 9

1.

V. TEOREMA DE ARQUÍMEDES

III. NÚMEROS NO DIVISIBLES

residuos iguales

º ⇒ N = MCM(A, B, C) + 6

II. Representación general de los múltiplos de un número º Observemos los múltiplos de 7 : º 7 : ..., –14; –7; 0; 7;

º N=A+ 6 º N=B+ 6 º N=C+ 6

15

ARITMÉTICA

5

DIVISIBILIDAD I

Trabajando en clase INTEGRAL 1. De los primeros 600 números enteros positivos, ¿cuántos son múltiplos de 7? 2. ¿Cuántos números de 4 cifras º son 7 + 2? 3. Al dividir «M» entre 7, el residuo fue 5; además, «N», al dividirse entre 7, dejó un residuo igual a 4. ¿Qué residuo se obtendrá al dividir «M × N» entre 7? PUCP 4. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 17 y terminan en cifra 3? PUCP 2012-II Resolución Sea el número: º abc3 = 17 = 17k Entonces: 1000 ≤ 17k < 10 000 1000 ≤ 17k < 10000 17 17 58; …. ≤ K < 588, … Valores posibles de k: 59, 60, 61, …, 588 Como debe terminar en cifra 3 los valores que tomen «k» debe de terminar en 9 Valores de k: 59; 69; 79; …; 579 Valores = 579 - 59 + 1 = 53 10 permitidos ∴ 53 números 5. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 15 y terminan en cifra 0?

5

ARITMÉTICA

º º 6. Si 5A = 10 y 3B = 15 (A y B son enteros), entonces el producto A x B es necesariamente:

11. El numeral que resulta de: aaa – bbb siempre es divisible por:

7. Simplifica: º º º E = ( 7 + 1) + ( 7 + 2) + ( 7 + 3) º + … + ( 7 + 70)

12. En una reunión se cuenta entre 400 y 450 personas, de las cuales 3/7 son varones; los 2/5 usan lentes y los 2/3 son profesionales. ¿Cuántas mujeres había en le reunión? Resolución 400 < personas < 450 3 × total = son varones 7 2 × total = usan lentes 5 2 × total = son profesionales 5 múltiplo de 7 Total múltiplo de 5 múltiplo de 3

UNMSM 8. Si 76m9n es un múltiplo de 107, determina el máximo valor de (m + n) UNMSM 2013-II Resolución: º 76m9n = 107 Realizamos la descomposición polinómica del numeral º 76090 + 100 m + n = 107 64748 64748 º º 107 +13 107 – 7 º 13 + n – 7m = 107 ↓ ↓ 1 2 8 3 m+n=1+2=3 m + n = 8 + 3 = 11 valor(máx) = 11 9. Si 52a6b es un múltiplo de 115, calcula el máximo valor de a + b 10. Del 1 al 358, determina: I. ¿Cuántos son múltiplos de 7? II. ¿Cuántos no son múltiplos de 11? Da como respuesta la suma de ambos términos

16

UNI

º Total = MCM(7; 5; 3) º Total = 105 ⇒ Total = 420 Cantidad de mujeres = 4 × 420 7 Rpta.: hay 240 mujeres 13. En un barco con 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes se conoce que: 2/5 fuman, 3/7 son casados y 2/3 son ingenieros. Determina cuántas personas murieron en dicho accidente. 14. Sabiendo que: A = abc38 × aa1028 × bb328, calcula el residuo de dividir «A» entre 8.

5.°

año

6 Divisibilidad II I. CRITERIOS



• Criterios de divisibilidad entre potencias de 5

Los criterios de divisibilidad son aquellas reglas prácticas que aplicamos a las cifras de un numeral para determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.

º º abcde = 5 ⇔ e = 8 º º abcde = 25 ⇔ de = 25 º º abcde = 125 ⇔ cde =125

• Criterios de divisibilidad entre 3 o 9 º abcd = 3 ⇔ a + b + c + d = º abcd = 9 ⇔ a + b + c + d =

º 3 º 9

• Criterios de divisibilidad entre 7

• Criterio de divisibilidad entre 11

ab cd ef º 231231 = –2a – 3b – c + 2d + 3e + f = 7 123123 – +

º º abcde = 11 ⇔ a – b + c – d + e = 11 +-+-+

• Criterio de divisibilidad entre potencias de 2

Advertencia pre

º º abcde = 2 ⇔ e = 2 º º abcde = 4 ⇔ de = 4 º º abcde = 8 ⇔ cde = 8

No olvides que los múltiplos también pueden ser negativos

Trabajando en clase Integral 1. Si a176 es divisible entre 6, calcula la suma de todos los valores que puede tomar «a». 2. Si se cumple que: º º a23b = 11 ∧ b23a = 9 , calcula b–a

5.°

año

3. Si 134a es múltiplo de 9, ¿calcula el valor de «a». PUCP º 4. Si mcdu = 17 y mc = 3(du – 1), halla el máximo valor de mcdu PUCP 2012 – II

17

Resolución: mc = 3du – 3 …………… (1) º 100mc + du = 17 ………..(2) Reemplazo 1 en 2: º 100(3du – 3) + du = 17 º 300du – 300 + du = 17 º 301du – 300 = 17 º º º (17 – 5)du – (17 – 6) = 17 º 6 – 5du = 17

ARITMÉTICA

6

DIVISIBILIDAD II du = 25 y 08 Máximo valor: 7225 º 5. Si abcd = 23 y ab = 3(cd – 12), determina el máximo valor de abcd. 6. ¿Cuántas veces, como mínimo, habrá que colocar la cifra 5 a la izquierda del número 4362 para que el resultado sea múltiplo de 9? º º 7. Si 43a2a = 3 y bab = 17, calcula el máximo valor de a x b. UNMSM 8. Determina la suma de todos los números de tres cifras de la forma ba(2a) con b > a > 0, de manera que sean múltiplos de 4 y 11. UNMSM 2010-II Resolución: º 4 ba(2a) = º 11

6

ARITMÉTICA

Los valores posibles de «a» son: 1; 2; 3 y 4 º ba(2a) = 11 +- + º b – a + 2a = 11 º b + a = 11 ↓ ↓ 10 1  9 2 ü 8 3 ü 7 4 ü La suma es: 924 + 836 + 748 = 2508

UNI

9. Determina la suma de todos los números de tres cifras de la forma ba(3a) con b > 0, de manera que sean múltiplos de 2 y 3.

12. Determina la cantidad de núº meros abc = 12 , de manera que: a + b + c = 12 UNI 2012-I Resolución: º 3 abc = º 4 Como a + b + c = 12, entonces º abc = 3 Por lo que abc = 4 → bc = 4 Existen 24 números de la forma bc múltiplos de 4 Luego: 2 < b + c < 12 bc ≠ 20; 48; 68; 76; 84; 88 y 96 Entonces son 7 valores menos ∴ son 24 – 7 = 17 números

º º 10. Si 30a79 = 11 y bb26b = 7 , calcula el residuo de dividir 2(a × b) entre 77.

13. Determina la cantidad de núº meros mnp = 15 , tal que: m+n+p=9

11. ¿Cuántos números de 4 cifras son divisibles por 8 y 12 pero no por 3?

14. Cuántos valores puede tomar «a» para que E sea divisible entre «a»

18



E = 1a + 2a + 3a + … + 9a

5.°

año

7 Números primos I. NÚMERO PRIMO



N = Aa . Bb . Cg

Es aquel número entero positivo que tiene solo dos divisores: la unidad y el mismo número.

Donde: A, B, C son números primos absolutos diferentes; a, b, g son números enteros positivos.

II. NÚMERO COMPUESTO



Son aquellos números enteros positivos que tienen más de dos divisores: Ejemplos: 4 …. sus divisores son 1; 2; 4 12 ………….. sus divisores son 1; 2; 3; 4; 6; 12

• Principales fórmulas 1. Cantidad de divisores (CD)

Dado el número: N = Aa . Bb . Cg CD(N) = (a + 1)(b + 1)(g + 1)

III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)



Dado un conjunto de dos o más números, diremos que son primos entre sí, cuando el único divisor común de todos ellos sea la unidad.

Ejemplo: Sea el número 180 = 22 . 32. 5 CD(180) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 divisores

Ejemplo: Sean los números: 8; 12 y 15 8 → 1; 2; 4; 8 → 1; 2; 3; 4; 6; 12 12 → 1; 3; 5; 15 15



Observamos que su único divisor común es la unidad, entonces, 8; 12 y 15 son números primos sí (PESI).

Ejemplo: Sea el número 120 = 23 . 3 . 5

4 2 2 SD(120) = 2 - 1 . 3 - 1 . 5 - 1 2-1 3-1 5-1

Consiste en descomponer a un número mayor que la unidad, como el producto de sus factores primos deferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Ejemplo: 520 260 130 65 13 1

SD(120) = 360

Observaciones: a) Para todo número entero positivo, se cumple: Total divisores de un número = Total divisores primos + Total divisores compuestos + 1 b) El número uno (la unidad) no es primo ni compuesto por tener un solo divisor (él mismo). c) La serie natural de los números primos es ilimitada. d) La descomposición canónica de un número es única. e) Los divisores primos de un número son las bases de la descomposición canónica.

2 2 2 5 13 ⇒ 520 = 23 . 5 . 13



En general, todo número compuesto «N», puede ser expresado de la forma:

5.°

año

Dado el número N = Aa . Bb . Cg

a+1 - 1 . Bb + 1 - 1 . Cg + 1 - 1 SD(N) = A A-1 B-1 C-1

IV. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA



2. Suma de divisores SD

19

ARITMÉTICA

7

NÚMEROS PRIMOS

Trabajando en clase Integral 1. ¿Calcula el producto del quinto número primo con el octavo número simple? 2. Si los números 4a; 16 y 18 son PESI, determina suma de los valores que asume «a». 3. Calcula la CD que tienen los números 1980 y 540. Da como respuesta la suma de estos resultados: PUCP 4. Si N = 4a × 3b tiene aa divisores, ¿cuántos divisores tienen abba? PUCP 2012 – II Resolución: N = 4a × 3b = 228 × 3b CD = (2a + 1) (b + 1) = aa (2a + 1)(b + 1) = 11a ↓ ↓ ↓ 5 4 5 abba = 5445 = 32 × 5 × 112 CD = (2 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 18 5. Si A = 2a × 3b tiene a _ 2a i ,

¿cuántos divisores tiene aabb?

6. Dado el número 360, determina su cantidad de divisores simples, primos, compuestos y propios. Da como respuesta la suma de estos valores.

7

ARITMÉTICA

7. Calcula el valor de «n» si el número (28 × 30n) tiene 350 divisores.



UNMSM 8. Sean a = 2n . 3 y b = 2 . 3n donde «n» es un entero positivo. Si a × b tiene 16 divisores positivos, calcula a – b UNMSM 212-II Resolución: a × b = 2n × 3 × 2 × 3n a × b = 2(n+1) × 3(n+1) CD = (n + 2)(n +2) (n + 2)(n + 2) = 16 N=2 a = 22 × 3 = 12 b = 2 × 32 = 18 a – b = 12 – 18 = – 6

2 a # 53 # m u # 3 r 23 # 5 = 2(a-3) × 52 × mu × 3r CD = (a–2)(3)(u+1)(r+1) = 54 (a – 2)(u + 1)(r + 1) = 18 14243 14243 14243 3 3 2 a = 5; u = 2 y r = 1 N = 25 × 53 × 72 × 31 = 588 000 Suma de cifras de:

9. Sean M = 2ª . 5 y N = 2 . 5ª donde «a» es un entero positivo. Si «M × N» tiene 25 divisores positivos, halla M – N . 10. Calcula la media aritmética de los divisores del número 1260. 11. ¿Cuántos divisores múltiplos de 15 tiene el número 1200? UNI 12. Considera el mayor de los números N cuya descomposición en sus factores primos de una cifra es 2a . 53 . mu . 3r, sabiendo

20

que cuando se divide por 40 se obtiene otro número de 54 divisores; y además, a + u + r < 9 Calcula la suma de sus cifras UNI 2013-II Resolución: N = 2a × 53 × mu × 3r m = 7 divisores de una cifra 40 = 23 × 5

N = 5 + 8 + 8 = 21 13. Considera el mayor de los números N cuya descomposición en sus factores primos de una cifra es 2ª . 53 . mu . 3r, sabiendo que cuando se divide por 60 se obtiene otro número de 90 divisores y además a + u + r < 13.

Calcula la suma de sus cifra.

14. El número N = 3b . 5a (con a ≥ 1) tiene tres divisores más que M = 2a . 53. Determina «a + b».

5.°

año

8 Repaso Trabajando en clase 1. Determina el menor número entero, de manera que sumado con el triple de su complemento aritmético resulte 22 508. a) 3746 b) 3647 c) 11 524 d) 11 254 e) 3745 2. El cociente y el resto de una división inexacta son 17 y 9, respectivamente. Pero si al dividendo se le aumenta 49 unidades, el cociente sería 21 y el resto, 6. Indica la suma del dividendo y divisor inicial. a) 238 b) 240 c) 243 d) 244 e) 241 3. Determina la cantidad de términos de una progresión aritmética cuyo primer término es 12; el último, 60; y la razón, la cuarta parte del primer término. a) 15 b) 10 c) 17 d) 23 e) 26 4. Determina el valor de E en una progresión geométrica si se cumple que r + r2 = 7. 5.°

año

E= a) 7 b) 1/7 c) 11 d) 1/11 e) 7/11

t4 + t3 t2

5. Los números comprendidos entre 400 y 1500, divisibles al mismo tiempo por 18 y 75 tienen una suma igual a: a) 1350 b) 2350 c) 1800 d) 1600 e) 2700 6. ¿Cuántos números de la forma aabb son múltiplo de 55? a) 7 b) 8 c) 11 d) 9 e) 18 7. Calcula el valor de “m” si: 524 000…00 m cifras tiene 160 divisores. a) 5 b) 8 c) 9

21

d) 7 e) 6 8. Determina la suma de cifras del número de 2 cifras que excede en 27 a 10 veces la cifra de las unidades de dicho número. a) 18 b) 11 c) 13 d) 16 e) 9 9. Al multiplicar un número de cinco5 cifras por 101, se obtiene un nuevo número cuyas últimas cifras son 8513. Se sabe que el número inicial también tiene todas sus cifras distintas. Indica la cantidad de números que cumplen la condición descrita. a) 3 b) 5 c) 1 d) 6 e) 4 10. Si tn+2 = tn+1 – tn; además t1 = 2 y t23 = 156, determina: t4 + t35. a) 337 b) 263 c) 189 d) 300 e) 226 ARITMÉTICA

8

REPASO 11. En los laboratorios «Génesis» descubrieron que cierta enfermedad que ataca al organismo es producida por unas bacterias que se reproducen partiéndose en dos cada 24 horas. Si inicialmente se han introducido en un cuerpo 100

8

ARITMÉTICA

bacterias, ¿cuántas bacterias tendrá el quinto día dicho cuerpo? a) 1500 b) 3000 c) 2000 d) 1550 e) 1600

22

12. Calcular el residuo que resulta de dividir «M» entre 13. M = 52179 × 23583 × 36564 a) 5 b) 3 c) 2 d) 7 e) 6

5.°

año

Presentación El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes. El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él. Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas. Juan Carlos Dianderas Gerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

ÍNDICE

5.° Año

ARITMÉTICA ................................................ 5 ●● MCM y MCD I...................................................... 7 ●● MCM y MCD II.................................................... 9 ●● Números racionales (Q)....................................... 11 ●● Razones y proporciones....................................... 14 ●● Reparto proporcional........................................... 17 ●● Magnitudes proporcionales................................. 19 ●● Regla de tres........................................................... 22 ●● Repaso.................................................................... 25

TRIGONOMETRÍA........................................... 103 ●● Ángulos compuestos I.......................................... 105 ●● Ángulos compuestos II......................................... 107 ●● Ángulo doble......................................................... 110 ●● Ángulo mitad......................................................... 112 ●● Ángulo triple.........................................................114 ●● Transformaciones trigonométricas I..................116 ●● Transformaciones trigonométricas II.................118 ●● Repaso....................................................................120

ÁLGEBRA.......................................................... 27 ●● Funciones II........................................................... 29 ●● Funciones III......................................................... 31 ●● Funciones IV......................................................... 34 ●● Funciones V........................................................... 37 ●● Logaritmos I.......................................................... 40 ●● Logaritmos II......................................................... 43 ●● Función exponencial y logarítmica.................... 45 ●● Repaso.................................................................... 48

FÍSICA................................................................ 123 ●● Movimiento armónico simple (MAS)................125 ●● Ondas mecánicas..................................................130 ●● Hidrostática...........................................................135 ●● Hidrodinámica......................................................140 ●● Calorimetría..........................................................144 ●● Termodinámica.....................................................150 ●● Electrostática.........................................................157 ●● Repaso....................................................................164

GEOMETRÍA..................................................... 51 ●● Área de regiones triangulares............................. 53 ●● Área de regiones cuadrangulares........................ 57 ●● Área de regiones circulares.................................. 61 ●● Área de polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia................................................ 65 ●● Relación de áreas.................................................. 68 ●● Geometría del espacio.......................................... 72 ●● Poliedros regulares................................................ 76 ●● Repaso.................................................................... 81

QUÍMICA........................................................... 167 ●● Reacciones químicas.............................................169 ●● Estequiometría I....................................................174 ●● Estequiometría II..................................................178 ●● Teoría de las soluciones........................................181 ●● Unidades de concentración química..................185 ●● Cinética y equilibrio químico..............................188 ●● Ácidos - bases........................................................193 ●● Repaso....................................................................196

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO................ 83 ●● Máximos y mínimos............................................. 85 ●● Certezas y principios de conteo.......................... 87 ●● Análisis combinatorio I........................................ 89 ●● Análisis combinatorio II...................................... 91 ●● Probabilidades....................................................... 93 ●● Gráficos estadísticos I........................................... 95 ●● Gráficos estadísticos II......................................... 98 ●● Repaso.................................................................... 101

BIOLOGÍA......................................................... 199 ●● Taxonomía............................................................. 201 ●● Reino Protista (protoctista).................................206 ●● Reino Plantae I......................................................213 ●● Reino Plantae II.....................................................222 ●● Reino Animalia.....................................................227 ●● Digestión animal...................................................236 ●● Respiración en animales......................................242 ●● Repaso....................................................................248

Aritmética

1 MCM y MCD I Máximo común divisor (MCD)

Propiedades

El MCD de dos o más números es el mayor divisor común de dichos números. Todos los divisores comunes son también divisores de su MCD. Ejemplo: De los divisores de 12 y 18, tenemos: 12 → 1

2

3

18 → 1

2

3

4

6

6

9

1. Si se tienen 2 números, de los cuales uno contiene al otro, su MCD será el menor y su MCM, el mayor. Ejemplo: Dados los números 24 y 72. MCD (24; 72) = 24 (el menor) MCM (24; 72) = 72 (el mayor)

12

2. Si se tienen 2 números que son primos entre sí (PESI), su MCD es la unidad y su MCM, el producto. Ejemplo: Dados los números 14 y 15, que son PESI. MCD (14; 15) = 1 MCD (14; 15) = 14 ⋅ 15 = 210

18

El mayor divisor común: MCD (12; 18) = 6 Divisores de 6: 1; 2; 3; 6

Mínimo común múltiplo (MCM)

El MCM de dos o más números es el menor múltiplo común de dichos números. Todos los múltiplos comunes son también múltiplos de sus MCM. Ejemplo: De los múltiplos de 12 y 18, tenemos: ° 12 → 12 24

36

° 18→ 18 36

54 72

48 60 90

72

3. Solo para dos números se cumple: «El producto de los 2 números es igual al producto de su MCD por su MCM». Ejemplo: Dados los números 40 y 24. MCD (40; 24) = 8 MCD (40; 24) = 120 MCD ⋅ MCM = 8 × 120 = 960 A ⋅ B = 40 × 24 = 960.

84 96 108 …

108 …

El menor múltiplo común: MCM (12; 18) = 36 Múltiplos de 36: 36; 72; 108 …

4. Si dos o más números se dividen entre su MCD, se obtienen cocientes exactos que son PESI. Si MCD (A, B) = m Luego, A = q1 y B = q2 m m

Métodos para calcular el MCD y el MCM 1. Por descomposición simultánea Ejemplo:



120 –150 – 180

Además: A = mq1

B = mq2

Recuerda



2. Por descomposición individual

Dos números consecutivos siempre son PESI, por lo tanto, su MCD es igual a uno y su MCM es el producto de los mismos.

Ejemplo: A = 1440 B = 2040

5.°

Donde q1 y q2 son PESI.

año

7

ARITMÉTICA

1

MCM Y MCD I

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el MCM y MCD de 72; 320 y 400. Da como respuesta la suma de estos valores. 2. Calcula el MCM y MCD por descomposición individual de 64 y 144. Da como respuesta la suma de sus mayores exponentes.

PUCP 4. Si el máximo común divisor de 5n y 7n es 88, entonces el mínimo común múltiplo de n–7 y n+12 es: PUCP 2013-II Resolución: 5n – 7n n 5n – 7 MCD (5n; 7n) = n = 88 ← Dato YY n–7 = 88–7 = 9 YY n+12 = 88+12 = 10 → MCM (9; 10) = 9 × 10 = 90



a = 2 × 17 = 34 b = 3 × 17 = 51 ∴ a + b = 34 + 51 = 85

10. Si el MCD de 12M y 18M es 72, calcula el producto del MCM y MCD de 3M y 5M. 11. Si el producto de dos números es 864 y su MCM es 72, ¿cuánto es la suma de estos números? UNI 12. El mínimo común múltiplo de dos números distintos es al máximo común divisor de ellos como 35 es a 1. Si el número mayor es 3017, determina la suma de cifras del número menor. UNI 2011-II Resolución: Dados los números «ak» y «bk» a⋅b⋅k = 35

5. Si el máximo común divisor de 3n y 7n es 54; entonces, el mínimo común múltiplo de n+10 y n–5 es: 6. Si el MCM(3x; 5y) = 180 y el MCD(21x; 35y) = 140, calcula (x – y) si x + y = 32.



7. El producto de dos números es 1764 y su MCD, 7. ¿Cuántos pares de números cumplen con dicha condición? UNMSM 8. El valor de una fracción no cambia si le añadimos simultáneamente 16 al numerador y 24 al denominador. Si el MCD de los términos de la fracción es 17, halla la suma de los términos de la fracción. UNMSM 2013-I Resolución: Fracción: a/b a a + 16 = b b + 24 a(b + 24) = b(a + 16) ab + 24a = ba + 16b a 2k = b 3k ARITMÉTICA

2k – 3k k MCD = k = 17 2–3

9. El valor de una fracción no cambia si le añadimos simultáneamente 26 al numerador y 18 al denominador. Si el MCD de los términos de la fracción inicial es 10, halla la suma de los términos de la fracción.

3. Si el MCM de 120 y 360 es «a», entonces el MCD de 80; 124 y «a» es:

1



k

1

a × b = 35 ↓ ↓ 7 5 Número mayor = 7k Número menor = 5k 7k = 3017 K = 431 Número menor = 5(431) = 2155 Suma de cifras ∴ 2 + 1 + 5 + 5 = 13

13. El mínimo común múltiplo de dos números distintos es al máximo común divisor de ellos como 33 es a 1. Si el número mayor es 1683, determina la suma de cifras del número menor. 14. La suma de los cuadrados de dos números enteros es 232. Si uno de ellos es igual a 7 veces su MCD, determina la diferencia de los números.

8

5.°

año

2 MCM y MCD II Divisores

Múltiplos

Están contenidos

Ejemplo:

Ejemplo:

a

                  

                  

100

a

Contienen

10 10

a

a

10 ° a = 10

a = div 100 Propiedad

Propiedad:

N = a°   ° N = b  N = c° 

N = div a   N = div b  N = div MCD(a, b, c) N = div c 

°

N = MCM (a, b, c)

Trabajando en clase Integral

PUCP

1. Ricardo es visitado por sus sobrinas de la siguiente forma: Ivonne lo visita cada 10 días; María, cada 15 días; y Pamela, cada 18 días. Si hoy Ricardo recibió la visita de las tres, ¿dentro de cuántos días volverán a coincidir las tres en visitarlo?

4. Queremos construir una alfombra de 1400 cm de largo y 770 cm de ancho con paños cuadrados. ¿Cuánto medirá el lado de cada paño y cuántos paños habrá que utilizar en total? PUCP 2013-II Resolución: La medida del lado del paño es menor que los datos, por lo tanto se debe hallar el MCD.

2. Naomi tiene tres trozos de cinta cuyas longitudes son: 78 cm, 90 cm y 96 cm. Si quiere cortarlos en pequeños pedazos, ¿cuál es la mayor longitud posible de estos pedazos? 3. Si cuento a los amigos que tengo en el Facebook de 5 en 5, de 6 en 6 o de 8 en 8, formo un número exacto de grupos. Si tengo menos de 150 amigos, ¿cuántos amigos como máximo tengo? 5.°

año

9



1400 – 770 10 140 – 77 7 MCD = 70 20 – 11



Lado del paño: 70 cm.

ARITMÉTICA

2

MCM Y MCD II

Número de paños 1400 × 770 = 20 × 11 = 220 70 70



∴ se necesitarán 220 paños.

ma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad entera que podrían dar a cada pobre y cuántos son los pobres socorridos, de manera que no les sobre dinero? 11. El número de páginas de un libro está comprendido entre 600 y 800. Calcula este número, sabiendo que si se cuentan de 5 en 5, sobran 2; de 7 en 7, quedan 4; y de 11 en 11, sobran 8.

5. Queremos construir una alfombra de 1200 cm de largo y 800 cm de ancho con paños cuadrados. ¿Cuánto medirá el lado de cada paño y cuántos paños tendré que utilizar en total?

UNI

6. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de 72; 108; 144 y 180 galones respectivamente, ¿cuál es la máxima capacidad entera del recipiente que se puede usar para llenarlos exactamente?

12. La municipalidad de Lince busca mejorar la ornamentación de sus dos avenidas principales, de 2520 m y 2000 m, colocando murales equidistantes entre sí, de tal forma que haya un mural al inicio y otro al final de cada avenida. Se sabe que para la colocación de cada mural se necesitan al menos tres trabajadores, quienes percibirán S/.50 cada uno. Calcula la cantidad mínima de trabajadores que debe contratar la municipalidad para este trabajo. UNI 2012-I Resolución: La distancia entre cada mural es un divisor común de las distancias de las dos avenidas. 2520 – 2000 10 252 – 200 4 MCD = 40 83 – 50

7. Tres líneas de transporte de la empresa «Santa Cruz» pasan cada 6; 8 y 10 minutos por cierto paradero. Si un día pasaron las tres al mismo tiempo por dicho paradero, ¿dentro de cuántos minutos volverán a pasar juntas por el mismo paradero? UNMSM 8. Se desea formar un cubo compacto con ladrillos cuyas dimensiones son 20 cm; 15 cm y 10 cm. ¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar el cubo más pequeño posible? UNMSM 2013-II Resolución: La dimensión de la arista del cubo a formar es mayor que los datos, por lo tanto se debe hallar el MCM. 5 2 2 3





20 – 15 – 10 4– 3 – 2 2– 3 – 1 1 – 3 – 1 1– 1 –



La arista del cubo a formar es 60 cm. Número de ladrillos 60 × 60 × 60 = 3 × 4 × 6 = 72 20 15 10



∴ se necesitarán 72 ladrillos.

Número de trabajadores es: 113 × 3 = 339

14. Cuatro barcos de una empresa naviera salen al mismo tiempo del callao y se sabe que el primero de ellos tarda 25 días en regresar y permanecer anclado tres días; el segundo, 45 y 15 días; el tercero, 32 y 3 días; y el cuarto, 60 y 10 días respectivamente, ¿cada cuánto tiempo zarpan los cuatro barcos a la vez?

10. Un padre da a uno de sus hijos 60 soles, a otro, 75 y a otro, 90, con la finalidad de repartirlos entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misARITMÉTICA

2520 + 1 2000 + 1 + = 113 40 40

13. La municipalidad de San Juan de Lurigancho busca mejorar la ornamentación de sus dos avenidas principales, de 1850 m y 1550 m, colocando murales equidistantes entre sí de tal forma que haya un mural al inicio y otro al final de cada avenida. Se sabe que para la colocación de cada mural se necesitan al menos cuatro trabajadores. Quienes percibirán S/.60 cada uno. Calcula la cantidad mínima de trabajadores que debe contratar la municipalidad para este trabajo.

MCM = 5 × 2 × 2 × 3 = 60

9. Se desea formar un cubo compacto con ladrillos cuyas dimensiones son 16 cm; 12 cm y 24 cm. ¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar el cubo más pequeño posible?

2

El número total de murales

10

5.°

año

3 Números racionales (Q) Fracción

ZZ Irreductible



Son aquellos números fraccionarios cuyos términos son positivos. Ejemplos: 12 9 8 121 ; ; ; 13 4 3 41

Ejemplos: 8 15 13 ; ; 7 49 24

9 → numerador f: 4 → denominador a ≠ b° ; a ∈ Z+; b ∈ Z+

ZZ Reductible



Clasificación

Detallaremos las más importantes. ZZ Propia Cuando es menor que la unidad. a f: < 1 ; a < b b



Importante MCD a c e = MCD(a,b,c) b ; d ; f MCM(b,d,f) MCM a c e = MCD(a,c,e) b ; d ; f MCM(b,d,f)

Cuando es mayor que la unidad. a f: > 1 ; a > b b

Ejemplos: 4 9 220 ; ; 3 5 17

Número decimal

Son aquellos números que resultan de dividir los términos de una fracción. Ejemplos: 1 47 = 11, 75 = 0,333... 3 4

Importante Toda fracción impropia se puede expresar como fracción mixta. Ejemplo: 9 2 9 ⇒ 1 4 2

5.°

ZZ Decimal exacto

Ejemplo: 24 6 YY 0,24 = = 100 25 125 5 YY 1,25 = = 100 4

9 1 =4 2 2

año

a ; a y b no son PESI; MCD(a, b) ≠ 1 b

Ejemplos: 16 4 6 ; ; 20 8 18

ZZ Impropia

∴

Cuando sus términos tienen más de un divisor común. f:

Ejemplos: 7 5 3 ; ; 12 31 4

Cuando sus términos son PESI. a f: ; a y b son PESI; MCD(a, b) = 1 b

11

ARITMÉTICA

3

NÚMEROS RACIONALES (Q) ZZ Decimal inexacto YY Decimal periódico puro

YY Decimal periódico mixto Ejemplos:

Ejemplos: 135 5 = 0,135 = 999 37 124–1 123 41 = = 1, 24 = 99 99 33

416–41 375 5 = = 900 900 12 2134–21 2113 2,1 34 = = 990 990

0,4166... = 0,41 6 =

Trabajando en clase Integral

5. Un caño A puede llenar un caño en 8 h, un caño B lo puede hacer en 4 h y otro caño C, en 6 h. Si se abren los caños A y C durante 2 h, luego se cierra A y se abre B hasta llenar el depósito, ¿cuánto tiempo se emplea en total para llenar el depósito?

1. ¿Cuál es la fracción que dividida por su inversa, da por cociente 841 ? 1369 2. ¿Cuál es la fracción irreductible de denominador 180 que está comprendido entre 1 y 1 ? 9 10 3. ¿Cuántas fracciones propias de la forma ab son 75 irreductibles?

6. ¿Cuántos números enteros mayores que 25 cumplen con la condición de que dos más la quinta parte del número sea mayor que la cuarta parte de dicho número? PUCP 2010-II

PUCP

7. Si a una cierta fracción le sumamos 1, tanto al numerador como al denominador, se obtiene la fracción 4/7; restando 1, tanto al denominador como al numerador, se forma la fracción 5/9. ¿Cuál es la fracción? PUCP 2013-II

4. Un caño A puede llenar un depósito en 4 h; un caño B lo puede hacer en 6 h y otro caño C, en 8 h. Si se abren los caños A y B durante 1 h, luego se cierra el caño A y se abre el caño C hasta llenar el depósito, ¿cuánto tiempo se emplea en total para llenar el depósito? PUCP 2013-II Resolución: c/hora llena Caño A: 4 h → 1/4 Caño B: 6 h → 1/6 Caño C: 8h → 1/8 Caños A y B en 1 hora: 1 1 5 + = 4 6 12

UNMSM 8. ¿Cuántas fracciones propias, comprendidas entre 18/23 y 77/83, son tales que sus términos son pares consecutivos? Resolución: Sea la fracción de la forma: f = n n+2 18 77 n < < 23 n+2 83

Caños B y C en «x» horas: 1 1 7 + = 6 8 24 ⇒ 5 ⋅ 1 + 5 ⋅ x = 1 ← «tanque lleno» 12 12



10 + 7x = 24 x=2 ∴ total = 1 + 2 = 3 h.

3

ARITMÉTICA

12

Por la izquierda: 18n + 36 < 23n 7,2 < n Por la derecha: 83n < 77n + 154 6n < 154 n < 25,6 5.°

año

NÚMEROS RACIONALES (Q) Luego: 7,2 < n < 25,6 n(par) = 2° → 8; 10; 12; …; 24 9 valores ∴ hay 9 fracciones

Resolución:

          

2x

9. ¿Cuántas fracciones propias irreductibles, comprendidas entre 3/5 y 4/5, son tales que la diferencia de sus términos es 8? 10. Sean «a, b» enteros positivos que satisfacen: b a + = 0,969696... 11 3 halla «a + b». UNMSM 2012-II 11. Tres reglas de un metro de longitud cada una, están uniformemente graduadas cada 8/15; 20/33 y 22/9 mm respectivamente. Si se les hace coincidir por primera vez en la marca cero, ¿a qué distancia de la marca cero coincidirán sus marcas por séptima vez? UNMSM 2011-I

2x



1/4



1 2 = 1/2–1/4 → x = 40 5

P

2x 1/2

1 1 + 3x = + 3 1 4 4 40 13 P= 40



P=



∴ 13 + 40 = 53.

14. Ana, Bertha y Claudia pueden hacer una obra en 10; 8 y 5 horas respectivamente. Si ellas realizaron 7/8 de la obra anterior del siguiente modo: primero Ana trabajó sola durante 1 1/2 horas, luego se le unió Bertha por 2 1/2 horas y, finalmente, Ana fue reemplazada por Claudia hasta cumplir el trabajo. ¿En cuántas horas realizaron dicho trabajo?

12. El intervalo [1/4; 1/2] es dividido en 5 intervalos iguales más pequeños, y la fracción irreductible P se encuentra en el punto medio del segundo de estos. Halla la suma del numerador y denominador de P. UNI 2010-II

año

2x

13. El intervalo [1/6; 1/3] es dividido en 6 intervalos iguales más pequeños, y la fracción irreductible «f» se encuentra en el punto medio del segundo de estos. Halla la diferencia de sus términos de dicha fracción.

UNI

5.°

2x

13

ARITMÉTICA

3

4 Razones y proporciones RAZONES

Donde: a: antecedente b: consecuente

«Comparación de 2 cantidades».

Aritmética

Propiedades:

a – b = RA

a c e g = = = =k b d f h

Geometría

a+c+e+g =k b+d+f+h

a = RG b

a⋅c⋅e⋅g = k4 b⋅d⋅f⋅h

PROPORCIONES

«Igualdad de 2 o más razones» ARITMÉTICA

suma de medios

d: cuarta diferencial

producto de extremos

producto de medios

d: cuarta proporcional a b = b c = b2

a–b=b–c

= medio

c: tercera diferencial b: media diferencial

b   

semisuma de extremos

a⋅c a⋅c =

    

    

a + c = 2b a+c = b 2

  

Continua

  

    

suma de extremos

  

a c = b d a⋅d = b⋅c

a–b=c–d a+d = b+c

    

Discreta

GEOMÉTRICA

raíz del producto de extremos

= medio

c: tercera proporcional d: media proporcional

Donde: a y d: Extremos b y c: Medios

4

ARITMÉTICA

14

5.°

año

RAZONES Y PROPORCIONES

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Dos números están en la relación de 4 a 7. Si su diferencia es 75, halla la suma.

8. La razón geométrica entre «a» y «b» es 2/5, y la razón geométrica entre «b» y «c» es 3/4. Halla la razón geométrica entre «a» y «c». Resolución: i) a = 2 × 3 = 6 b 5 3 15

2. La razón geométrica de 2 cantidades cuyo producto es 96, vale 2/3. Calcula la razón aritmética de dichos números.

b

3. La edad de un padre y la de su hijo suman 36 años y su razón es de 7 a 2. ¿Cuál será la nueva razón dentro de 8 años?

c

PUCP 4. La razón de la suma con la diferencia de dos números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si su producto es 64? Resolución: Números = a y b i. a + b = 5 k a–b 3k a + b = 5k + a – b = 3k 2a = 8k a = 4k ∧ b = k



15 20

Homogeneizar:

a= 6 = 3 c 20 10

11. En una universidad, la relación de hombres a mujeres es de 5 a 7, mientras que la relación de hombres en ciencias y hombres en letras es de 8 a 3. ¿Cuál es la relación entre los hombres en ciencias y el total de alumnos? UNI

∴ mayor: a = 4(4) a = 16

12. Si a cada uno de los tres términos diferentes de una proporción geométrica continua se le suma una misma cantidad, se obtiene: 15; 21 y 30. Halla la tercera proporcional de dicha proporción. Resolución:

6. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro, se obtendrían cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?

Sea la P.G.C.:

a =b b c

a + x = 15 i) b + x = 21 c + x = 30

a = 15 – x b = 21 – x c = 30 – x

15 – x 21 – x a c ; recuerda: = = 21 – x 30 – x b d a+b c+d = → a–b c–d

7. Cuando compro cuadernos me regalan un cuaderno por cada docena, y cuando los vendo, regalo 4 cuadernos por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 1000?

año

5

=

10. Lo que cobra y gasta una persona semanalmente, suman S/.600, y están en la relación de 3 a 2. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto semanal, para que la relación sea de 5 a 3?

5. La razón de la diferencia con la suma de 2 números enteros y positivos es 3/7, y su producto es 490. Calcula el menor.

5.°

4

5

9. La suma de 3 números es 1880; el primero es al segundo como 4 es a 5; el segundo es al tercero como 3 es a 4. ¿Cuál es el tercero?

ii. a y b = 64 (4k) (k) = 64 k2 = 16 k=4



ii)

=3×

ii)

15

ARITMÉTICA

4

RAZONES Y PROPORCIONES 13. Si a cada uno de los números 15; 27; 51 y 81 se les añade una misma cantidad, formarían una proporción geométrica. Halla la razón de esta proporción.

(15–x) + (21–x) (21–x) + (30–x) = (15–x) – (21 – x) (21–x) – (30 – x) 36 – 2x 51 – 2x = –6 –9 36 – 2x 51 – 2x = +3 +2 3(36 – 2x) = 2(51 – 2x) 108 – 6x = 102 – 4x 6 = 2x 3=x iii) La tercera proporcional = c = 30 – x c = 30 – 3 c = 27

4

ARITMÉTICA

14. En una serie de 4 razones geométricas continuas e iguales, el primer consecuente es al último consecuente como 1 es a 64. Calcula la suma de todos los antecedentes si la diferencia del primer y último antecedente es 504.

16

5.°

año

5 Reparto proporcional Definición

2. Reparto compuesto

Consiste en repartir una cantidad en partes que mantengan relación de proporcionalidad con un grupo de números.

Clases de reparto

Directo



Inverso

ZZ Reparto simple ZZ Reparto compuesto

Ejemplo: Repartir 5200 en tres partes DP a las cantidades 4; 3 y 5 e IP a los números 2; 3 y 7. Resolución: PARTES DP IP  4 1 (42) = 21 → 4×21 = 84 = 14k A   2  5200  B 3 1 (42) = 14 → 3×14 = 42 = 7k  3    5 1 (42) = 6 → 5×6 = 30 = 5k C   7

1. Reparto simple

R. S. Directo

Ejemplo: Reparte 495 DP a 2; 3 y 4, luego indica la mayor parte. Resolución: PARTES DP 495



       

A

2k

B

3k ⇒

C

4k

MCM(2; 3; 7) = 42 ⇒ ahora: 14k + 7k + 5k = 5200 26k = 5200 k = 200 ∴ las partes son: A = 14(200) = 2800 B = 7(200) = 1400 C = 5(200) = 1000

2k + 3k + 4k = 495 9k = 495 k = 55

∴ la parte mayor: 4(55) = 220

R.S. Inverso

NOTA: En los ejercicios que no se indique el tipo de proporcionalidad, asumiremos que esta es directa; salvo que nos brinden información suficiente como para concluir lo contrario.

Ejemplo: Reparte 3000 en cantidades IP a 7; 2 y 4, e indica la parte intermedia. Resolución: PARTES IP  A  1/7 → 1 (28) = 4k  7   3000  B 1/2 → 1 (28) = 14k  2    C 1/4 → 1 (28) = 7k   4 ⇒ 4k + 14k + 7k = 3000 25k = 3000 k = 120 ∴ la parte intermedia: 7(120) = 840

5.°

año

Es la combinación de dos o más repartos a la vez.

Advertencia pre En los exámenes de admisión de la UNMSM, se utiliza con frecuencia el reparto directo simple. En cambio, en la UNI, se utiliza el compuesto con números fraccionarios. Ten mucho cuidado en la resolución.

17

ARITMÉTICA

5

REPARTO PROPORCIONAL

Trabajando en clase Integral

9. Reparte 56 000 en forma IP a Halla la parte intermedia.

1. Reparte 1500 DP a 4; 6 y 10, luego determina la cantidad mayor.

10. Si repartimos N DP a los números 32 y 50 , al mayor le toca 100. Calcula N.

2. Reparte 260 en partes IP a 2; 4 y 3 e indica la parte intermedia. 3. Al repartir una cantidad en forma DP a 12; 20 y 15 e IP a 4; 6 y 15, se observa que la diferencia entre la mayor y menor de las partes es 5600. Determina la parte intermedia.

11. Reparte S/.3936 entre 3 personas, de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 7 es 6 y que la parte de la segunda sea a la tercera como 4 es a 5. La parte intermedia es:

PUCP

UNI

4. Reparte 70 proporcionalmente a 2; 3 y 5. Halla la mayor de las partes. Resolución: PARTES DP 70

       

12. Se reparte una cantidad N directamente proporcional a 3; 5 y 2 e inversamente proporcional a 2; 3 y 5. Si la diferencia entre la cantidad mayor y la intermedia es 10, determina la cantidad menor. Resolución:

2k

A

3k ⇒ 2k + 3k + 5k = 70 10k = 70 5k k=7

B C

∴ la mayor parte es: 5(7) = 35 N

5. Reparte 460 proporcionalmente a 5; 7 y 11. Halla la mayor de las partes. 6. Reparte 7930 IP a 3; 4 y 7, luego determina la menor parte. 7. Reparte 4500 proporcionalmente a 36; 60 y 84. Halla la menor de las partes.



8. Reparte 72 000 proporcionalmente a 50 , 72 y 98 . Halla la parte intermedia. Resolución: PARTES DP 72000

A: B: C:



50 = 25 2 → 5k 72 = 36 2 → 6k 98 = 49 2 → 7k

∴ la parte menor es: 12(2) = 24.

14. Se reparte N entre tres personas DP a «a»; «a2» y «a3». Si lo que le toca al primero es a lo que le toca al segundo más el tercero como 1 es a 56, halla «a».

K = 4000 ∴ La parte intermedia es: 6(4000) = 24 000

ARITMÉTICA

MCM(2; 3; 5) = 30

13. Al repartir «N» proporcionalmente a 4; 6 y 15 e IP a 5; 2 y 10, la mayor parte es 3000. Calcula N.

K = 72000 18

5

           

DP IP 1 (30) = 15 → 15×3 = 45k 3 2 1 (30) = 10 → 10×5 = 50k 5 3 1 (30) = 6 → 6×2 = 12k 2 5

⇒ 50k – 45k = 10 5k = 10 k=2

UNMSM

       

8 , 18 y 200.

18

5.°

año

6 Magnitudes proporcionales Magnitud

Gráficamente

Es todo aquello susceptible a ser medido, aumentando

N.º de lápices

o disminuyendo sus valores.

Cantidad

7

Es la medida de un caso particular de la magnitud.

5

Ejemplo:

2 1 MAGNITUD

CANTIDAD

Temperatura

37 ºC

Peso

4 kg

N.º de alumnos

50

3

YY Se dice que 2 magnitudes son IP cuando el

producto de sus valores correspondientes es constante. YY Se observa que al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta respectivamente. Ejemplo:

×2 S/.6 2

×2 S/.15 5

S/.21 7

N.º obreros N.º de días

×2

Se observa lo siguiente:



3 6 15 21 = = = =3 1 2 5 7

5.°

año

La gráfica de 2 magnitudes DP resulta ser puntos sobre una línea recta.

II. Magnitudes inversamente proporcionales (IP)

cociente de sus valores correspondientes es constante. YY Se observa que al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye respectivamente.

S/.3 1

Costo

21

Valor de B

YY Se dice que 2 magnitudes son DP cuando el

Costo (S/.) N.º lápices

15

A DP B → Valor de A = K

Relaciones entre Magnitudes I. Magnitudes directamente proporcionales (DP)

Ejemplo:

6

5 60

10 30

15 20

50 6

÷2

19

Se observa lo siguiente: 5 × 60 = 10 × 30 = 15 × 20 = 50 × 6 = 30 ARITMÉTICA

6

MAGNITUDES PROPORCIONALES Gráficamente

Propiedades:

N.º de días

I. A DP B

→

B DP A



A IP B

→

B IP A

II. A IP B

→

A DP 1 B

→

A DP BCD

IV. A DP B

→

An DP Bn



→ An IP Bn

60 30 20 6

III. A DP B 5 10 15

50

N.º de obreros

La gráfica de 2 magnitudes IP resultan puntos sobre una hipérbola equilátera.



A DP C



A DP D



∴ A =k BCD

En general: A IP B → (Valor de A)(valor de B) = k

A IP B

Trabajando en clase Integral

Resolución:

1. Se sabe que A es DP a B2 e IP a C. Si A = 2 cuando B = 3 y C = 9, calcula A cuando B = 6 y C = 16. 2. Se tiene un sistema de engranaje de 4 ruedas (A, B, C y D), donde el número de dientes son entre sí como 5; 7; 8 y 10. Calcula cuántas vueltas da D, cuando A da 560 vueltas. 3. Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales y si A aumenta en sus 4/9, ¿cuánto disminuye B?

4. Dos personas invierten cierta cantidad de dinero en un negocio por cierto tiempo. La primera invirtió S/.30 000 durante 15 meses y la segunda, S/.20 000 durante 12 meses. Si la ganancia total fue de S/.34 500, ¿cuánto ganó la segunda? PUCP 2009-II

ARITMÉTICA

G2 G1 = 30 000 × 15 20 000 × 12



⇒



k = 1500



G2 = 8k = 12 000.

34 500 G1 G = 2 =k⇒ =k 23 15 8

5. Dos personas invierten cierta cantidad de dinero en un negocio por cierto tiempo. La primera invirtió S/.40 000 durante 12 meses y la segunda, S/.50 000 durante 9 meses. Si la ganancia total fue de S/.31 000, ¿cuánto ganó la primera?

PUCP

6



6. El precio de un libro varía DP al número de páginas e IP al número de ejemplares. Además, cuando el número de ejemplares es 5000, el precio es de S/.9 y el número de páginas es 360. Halla el precio cuando los libros tienen 360 hojas y se imprimen 3000 ejemplares.

20

5.°

año

MAGNITUDES PROPORCIONALES 7. Si A y B son magnitudes proporcionales, calcula el valor de «a + b». A

es la presión a la que está sometido un gas, si al aumentar dicha presión en 4 atmósferas, el volumen disminuye en un 20%?

a

11. Antonio recibe un sueldo que es DP al cubo de su edad. Si actualmente tiene 20 años, ¿cuántos años tendrá cuando su sueldo sea 27 veces el sueldo actual?

3 2 2 4



b

B

UNI 12. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/.55 000, si uno de 6 quilates cuesta S/.19 800 y el precio es proporcional al cuadrado de su peso? (un quilate = 0,25 gramos) Resolución:

UNMSM 8. Se contrata un empleado por el tiempo de un año, acordando pagarle S/.700 más un televisor. Si al cumplir los 7 meses se le despide pagándole S/.250 más un televisor, ¿cuál es el precio del televisor? Resolución: Tiempo =k Pago

12 7 = 700+T 250+T



⇒ 3000 + 12T = 4900 + 7T ∴ T = S/.380



donde T: televisor



6 quilates pesan = 6 × 0,25 = 1,5 gr.



55000 19800 = → w2 = 6,25 gr2 w2 (1,5)2 w = 2,5 gr

14. El precio de un diamante es DP al cuadrado de su peso. Si el diamante se divide en 3 , que son DP a 2; 5 y 8, y la diferencia en precios de la mayor y menor de las partes es S/.1280, determina el precio del diamante entero.

10. Se conoce por medio de la ley de Boyle que la presión es inversamente proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿Cuál

año

donde: P = precio, w = peso

13. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/.15 300, si uno de 10 quilartes cuesta S/.42 500 y el precio es proporcional al cuadrado de su peso? (un quilate = 0,25 gramos)

9. Se contrata un empleado por el tiempo de un año, acordando pagarle S/.900 más un PS3. Si al cumplir los 9 meses se le despide pagándole S/.600 más el PS3, ¿cuál es el precio del PS3?

5.°

P w2

21

ARITMÉTICA

6

7 Regla de tres Regla de tres simple (RTS) RTS simple directa

Regla de tres compuesta (RTC)

Es aquella operación matemática que se utiliza cuando en el problema participan más de dos magnitudes.

Resulta de comparar dos magnitudes que son directamente proporcionales.

Métodos 1. Método de comparación por parejas

DP Magnitud 1

Ejemplo: Se sabe que 16 hombres construyen 8 casas en 8 años, trabajando 3 horas diarias. ¿Cuántos hombres harán el doble de casas en la mitad del tiempo anterior, trabajando 6 horas diarias en un terreno que ofrece una doble dureza con respecto al anterior?

Magnitud 2

a

b

c

x Hombres 16 x

Al ser DP, se cumple: Magnitud 1 = constante Magnitud 2 De forma práctica, cuando sea regla de tres simple, directamente se multiplica en aspa, igualando los resultados de la siguiente forma:

a⋅x=b⋅c

Regla de tres simple inversa



Resulta de comparar dos magnitudes que son inversamente proporcionales. IP Magnitud 1

h/diarias 3 6

Dureza 1 2

DP

IP

IP

DP

Resolución: Comparamos todas las magnitudes con aquella magnitud que contiene la incógnita de la siguiente manera: Si la relación es directa, la columna de datos se mantiene, y si la relación es inversa, la columna de datos se invierte; veamos: 16 = 8 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 1 → x = 64

Ejemplo: Se sabe que 20 obreros hacen una obra en 10 días con un rendimiento del 10%. ¿Cuántos obreros harán 5 obras en 20 días con un rendimiento del 20% y una dificultad que es el doble con respecto a la anterior? Resolución: 1 1 1 1 2 20 ⋅ 10 ⋅ 10% = x ⋅ 20 ⋅ 20% x=50 obreros ⇒ 1⋅1 5⋅2 1 k: constante de obreros×tiempo×rendimiento =k proporcionalidad obra×dificultad

Magnitud 2

a

b

c

x

a ⋅ xb = c ⋅ x

ARITMÉTICA

Años 8 4

x 16 8 3 2 2. Método de proporcionalidad constante

Al ser IP, se cumple: Mag. 1 × Mag. 2 = constante De forma práctica, cuando sea regla de tres simple inversa, se multiplica en forma paralela, igualando los resultados de la siguiente forma:

7

Casas 8 16

22

5.°

año

REGLA DE TRES

Trabajando en clase Integral

7. Ocho obreros pueden hacer una obra en 31 días. Si luego de 6 días de iniciada la obra se retiran 3 obreros, ¿en cuántos días más terminarán la obra?

1. Si una secretaria digita 20 problemas en 8 minutos, ¿cuántos problemas digitará en 22 minutos? 2. Si una cuadrilla puede hacer una obra en 120 días, ¿cuántos días tardará otra cuadrilla en hacer la misma obra si su rendimiento es el triple de la anterior?

UNMSM 8. Un burro atado a una cuerda de 6 m de longitud puede comer en 9 días lo que está a su alcance. Si la cuerda fuera 2 m menos, ¿cuántos días tardará en comer lo que está a su alcance? Resolución: DP

3. Si 12 máquinas pueden producir 35 000 latas de leche en 21 horas, ¿cuántas latas podrá producir en 18 horas un grupo de 24 máquinas similares a las anteriores?

Área G2 42

PUCP 4. Si 20 obreros, durante 6 días, trabajando 8 horas diarias, hacen una zanja de 20 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de profundidad, ¿cuántos días necesitarán 12 obreros trabajando 6 horas diarias para cavar una zanja de 15 m de largo, 2 m de ancho y 1 m de profundidad, en un terreno de triple de dificultad que el anterior. PUPC 2012-II Resolución: (obreros)(día)(horas) = cte (volumen)(dificultad) 12(x)6 20×6×8 = 15×2×1×3 20×3×2×1



x=4

10. Ochenta obreros cavan una zanja de 40 m de largo, 2 m de ancho y 3 m de profundidad. ¿Cuántos obreros pueden cavar una zanja de 30 m de largo y 6 m de ancho y 2 m de profundidad?

x = 10

11. Un grupo de agricultores siembra un terreno cuadrado en 5 días. ¿Cuántos días demorarán en sembrar otro terreno cuadrado de cuádruple perímetro del anterior? UNI 12. Al concluir la construcción de una pared de 6 m de lado, sobraron 48 ladrillos. Si el lado hubiese medido 4 m, sobrarían 668 ladrillos. Si el lado fuese de 5 m, ¿cuántos ladrillos sobrarían? Resolución: x = número de ladrillos Área # ladrillos

6. En el área de capuchones, perteneciente a la producción de panetones de una empresa conocida, hay 5 máquinas que tiene, un rendimiento del 60% para producir 3600 panetones cada 4 días de 8 horas diarias de trabajo. Si se desea producir 7200 panetones en 6 días, trabajando 10 horas diarias, ¿cuántas máquinas de 80% de rendimiento se requieren? PUCP 2011-I

año

G2 = 42 9 x

9. Una vaca atada a una cuerda de 8 m de longitud puede comer en 16 días todo lo que está a su alcance. Si la cuerda fuera 2 m más, ¿cuántos días tardará en comer lo que está a su alcance?

5. Si 20 obreros, durante 6 días, trabajando 8 horas diarias, hacen una zanja de 20 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de profundidad, ¿cuántos días más necesitarán 12 obreros trabajando 6 horas diarias para cavar una zanja de 15 m de largo, 2 m de ancho y 1 m de profundidad en un terreno de triple de dificultad que el anterior?

5.°

Días 9 x

36 16

23

x – 48 x – 668 DP

ARITMÉTICA

7

REGLA DE TRES 36 16 = x – 48 x – 668 Resolviendo: x = 1164 Área # ladrillos

13. Al término de la construcción de una pared de 7 m de lado, sobraron 79 ladrillos. Si el lado hubiese sido de 5 m, habría sobrado 2479 ladrillos y si el lado hubiese medido 6 m, ¿cuántos ladrillos sobrarían?

36 1164 – 48 = 1116 25 n 36 25 = 1116 n n = 775 Nos piden: P = 1164 – 775 P = 349.

14. Una obra debía terminarse en 36 días, empleando 40 obreros y trabajando 6 horas diarias. Después de 18 días de trabajo se pidió que la obra quedase terminada 9 días antes de aquel plazo, y así se hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron, teniendo presente que se aumentó también en 4 horas el trabajo diario?

7

ARITMÉTICA

24

5.°

año

8 Repaso 1. La parte entera y decimal de un número son como 4 es a 6 y su MCD de ambas partes es 18. Calcula la suma de cifras del número decimal original. a) 20 c) 15 e) 23 b) 13 d) 18

7. Se tiene la siguiente tabla de valores para 2 magnitudes A y B. Halla «n». A 36 144 n 64 B 6 12 4 8 a) 16 b) 14

2. El MCD de 2 números es 11 y la suma de los mismos es 242. ¿Cuántos números hay que cumplen dicha condición? a) 3 c) 4 e) 1 b) 2 d) 5

1 + ... + 1 1×4 4×7 7×10 28×31 12 15 10 a) c) e) 29 37 31 13 16 b) d) 41 33

9. Sesenta obreros cavan una zanja de 20 m de largo, 4 m de ancho y 1 m de profundidad. ¿Cuántos obreros pueden cavar una zanja de 25 m de largo y 8 m de ancho y 1 m de profundidad? a) 110 c) 130 e) 150 b) 120 d) 140

4. José, Mateo y Pedro pueden hacer una obra en 6; 8 y 10 días respectivamente. Si ellos realizan una obra del siguiente modo: Primero, José trabajó solo durante 1 1/2 horas, luego se le unió Mateo por 2 1/2 horas y finalmente José fue reemplazado por Pedro hasta cumplir el trabajo, ¿en cuántas horas realizaron dicho trabajo? a) 5 1/3 h c) 6 1/2 h e) 7 1/3 h b) 4 1/8 h d) 4 2/5 h

10. Para pintar las caras de un cubo de 60 cm de arista, se emplearon 12 tarros de pintura. ¿Cuántos tarros de pintura se necesitarán para pintar las caras de un cubo de 90 cm de arista? a) 20 c) 25 e) 30 b) 28 d) 27

5. Reparte 56 000 IP a 8 , 18, 200 . Da como respuesta la parte intermedia. a) 20 000 c) 30 000 e) 10 000 b) 15 000 d) 6000

11. Si cuento las estampillas que tengo de 4 en 4, de 7 en 7 o de 9 en 9, formo un número exacto de grupos. Si tengo menos de 300 estampillas, ¿cuántas estampillas como máximo tendré? a) 270 c) 296 e) 265 b) 252 d) 284

6. Al repartir N proporcionalmente a 4; 6 y 26 e IP a 5; 2 y 10, la mayor parte es 3000. Calcula N. a) 5800 c) 6400 e) 5900 b) 5000 d) 5500

año

e) 20

8. Federico es un empleado cuyo sueldo es directamente proporcional al cuadrado de su edad. Si actualmente tiene 17 años, ¿cuántos años deberán pasar para que su sueldo sea 9 veces el sueldo actual? a) 34 c) 51 e) 33 b) 36 d) 37

3. Halla el valor de: M= 1 + 1 +

5.°

c) 12 d) 15

25

ARITMÉTICA

8

REPASO 12. Calcula E + V + A. 81 = E = V = A = k E V A 16



Claves

a) 114 b) 110 c) 104 d) 98 e) 90

1.

D

5.

A

9.

E

2.

D

6.

C

10.

D

3.

E

7.

A

11.

B

4.

B

8.

A

12.

A

Bibliografía 1. RUBIÑOS MORENO, Luis alberto, Aritmética. Lima: Ediciones S.A., 2010. 2. Instituto de ciencias y humanidades. Aritmética (teoria y problemas). Lima: Lumbreras, 2008. 3. Exámenes de admisión desarrollados, UNI - UNMSM. Lima: San Marcos, 2012.

8

ARITMÉTICA

26

5.°

año

Presentación El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes. El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él. Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas. Juan Carlos Dianderas Gerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

ÍNDICE ARITMÉTICA.................................................... 5 ●● Promedio................................................................ 7 ●● Mezcla..................................................................... 10 ●● Porcentajes............................................................. 13 ●● Interés..................................................................... 16 ●● Descuento.............................................................. 18 ●● Estadística.............................................................. 21 ●● Estadística II.......................................................... 25 ●● Repaso.................................................................... 29 ÁLGEBRA.......................................................... 31 ●● Función inversa..................................................... 33 ●● Programación lineal I........................................... 36 ●● Programación lineal II......................................... 39 ●● Matrices I............................................................... 43 ●● Matrices II.............................................................. 47 ●● Determinantes....................................................... 51 ●● Matriz inversa........................................................ 54 ●● Repaso.................................................................... 57 GEOMETRÍA..................................................... 59 ●● Prisma y tronco de prisma................................... 61 ●● Pirámide, cono y tronco de cono........................ 72 ●● Tronco de pirámide y esfera................................ 75 ●● Figuras de revolución y teorema de Pappus...... 79 ●● Geometría analítica.............................................. 83 ●● Circunferencia y parábola.................................... 87 ●● La elipse.................................................................. 91 ●● Repaso.................................................................... 96 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO................ 99 ●● Psicotécnico........................................................... 101 ●● Operaciones matemáticas arbitrarias.................105 ●● Área de regiones sombreadas..............................108 ●● Orden de información..........................................113 ●● Cronometría..........................................................117 ●● Ángulo formado por las manecillas de un reloj 119 ●● Suficiencia de datos...............................................122 ●● Repaso....................................................................125 TRIGONOMETRÍA........................................... 127 ●● Resolución de triángulos oblicuángulos I (Senos y proyecciones)......................................... 129

5.° Año ●● Resolución de triángulos oblicuángulos II (Cosenos y Tangentes)......................................... 132 ●● Ecuación trigonométrica.....................................135 ●● Solución general de una ecuación trigonométrica....................................................... 137 ●● Funciones inversas I.............................................139 ●● Funciones inversas II............................................141 ●● Funciones trigonométricas (seno y coseno)...................................................... 143 ●● Repaso....................................................................146 FÍSICA................................................................ 149 ●● Electrodinámica....................................................151 ●● Circuitos eléctricos...............................................155 ●● Magnetismo...........................................................160 ●● Fuerza magnética..................................................165 ●● Inducción electromágnética................................169 ●● Ondas electromágnéticas.....................................175 ●● Física moderna......................................................182 ●● Repaso....................................................................188 QUÍMICA........................................................... 191 ●● Electroquímica......................................................193 ●● Química orgánica (Propiedades del átomo de carbono)............................................................ 196 ●● Hidrocarburos.......................................................202 ●● Hidrocarburos cíclicos y compuestos aromáticos........................................ 209 ●● Compuestos oxigenados I (Alcoholes-Aldehidos-Cetonas)......................... 216 ●● Compuestos oxigenados II (Ácidos carboxílicos - Éteres - Ésteres).............. 222 ●● Compuestos nitrogenados...................................227 ●● Repaso....................................................................231 BIOLOGÍA......................................................... 235 ●● Sistema circulatorio comparado.........................237 ●● Sistema excretor comparado...............................243 ●● Sistema reproductor.............................................250 ●● Sistema endocrino................................................259 ●● Sistema nervioso...................................................267 ●● Sistema sensorial...................................................275 ●● Ecología..................................................................283 ●● Repaso....................................................................289

Aritmética

1 Promedio Promedio ponderado

Si se tienen dos o más cantidades, no todas iguales entonces el promedio de un valor de tendencia central siempre se encuentra entre la mayor y la menor de las cantidades.



Notas Peso n1 P1 n2 P2 n3 P3

Menor cantidad < promedio < mayor cantidad Se tiene a1; a2; a3; ...; an; «n» cantidades.

nn

Promedio aritmético = Media aritmética = Promedio

PG =

n

Pn

B. Para dos cantidades (a y b) solamente: 2ab a+b mh = ma = mg = a × b a +b 2

a1 + a2 + a3 + ... + an n

N.º de cantidades

P1 + P2 + P3 + ... + Pn

A. ma > mg > mh

C. Para tres cantidades (a, b y c) solamente: 3abc a+b+c mh = ma = mg = abc ab+ac+bc 3

Promedio geométrico = Media geométrica PG =

n1P1 + n2P2 +... + nnPn

Propiedades

Suma de cantidades PA = N.º de cantidades

PA =

Pp =

D. Para dos cantidades (a y b) solamente:

Producto de cantidades

ma×mh=mg2 E. Para dos cantidades (a y b) solamente:

a1 × a2 × a3 ... × an

4(a–b)2 = ma2 × mg2

Promedio armónico = Media armónica PH =

N.º de cantidades Suma de las inversas de las cantidades

Advertencia pre PH =

5.°

año

n

Recuerda el tema de promedio es evaluado en los exámenes de admisión de las diferentes universidades.

1 1 1 + + ... + a a1 a2 n

7

ARITMÉTICA

1

PROMEDIO

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Si A = M.A.(3,33,333); B = Media geométrica de 2; 4 y 8; C = M.H. (45,30,15); calcula A + B + C.

8. El promedio geométrico de 4 números enteros y diferentes es 3 3 . Calcula el promedio aritmético de dichos números. Resolución: Piden: x = a+b+c+d 4 4 a⋅b⋅c⋅d = 3 3 Elevando la potencia 4

2. Si la media aritmética de dos números es 8 y la media armónica de los mismos es 2, calcula el producto de dichos números. 3. Calcula el valor de «x», si el promedio geométrico de los números 5x; 52x y 53x es 625. PUCP 4. El promedio geométrico de los números 2; 4; 8; 16; ...; 2n es 32. Calcula «n». Resolución:

4



( a⋅b⋅c⋅d )4 = (3 3 )4 a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = 34 . 32 a⋅b⋅c⋅d = 36 Acomodando los factores a⋅b⋅c⋅d = 3⋅32⋅33 a⋅b⋅c⋅d = 1 × 3 × 32 × 33

n

2×4×8×16×...×2n = 32



Reconociendo valores a = 1; b = 3; c = 9; d = 27

n

21×23×23×24×...×2n = 32

n



21+2+3+4+...+n = 32

Finalmente x = 1+3+9+7 4 x = 20 4

n



2

n(n+1) 2

n+1 2



= 32



= 25



2



Igualando exponentes



n+1 =5 2



n + 1 = 10 n=9

x=5

9. El promedio geométrico de 4 números enteros y diferentes es 5 5 . Calcula el promedio aritmético de dichos números. 10. Si la media aritmética de 53 números es 300 y la media aritmética de otros 47 números es 100, calcula la media aritmética de los 100.

5. El promedio geométrico de los números 3; 9; 27; 81; ...; 3n es 729. Calcula «n».

11. La media aritmética de 40 números es 74. Si se quitan 4 de ellos, que tienen media aritmética 20, ¿en cuánto aumenta la media aritmética de los restantes?

6. Las calificaciones del alumno Pedro en el curso de aritmética son 12; 9 y 15 y los pesos respectivos de dichas notas son 4; 5 y 3. Calcula el promedio.

UNI 12. Para la producción de camisas para exportación se distribuyó la confección entre 3 empresas en cantidades proporcionales a 6, 12 y 4. Si dichas empresas producen 500, 600 y 1000 camisas diarias respectivamente, la producción media por día es:

7. La media armónica de 20 números es 12 y la de otros 30 números es 15, calcula la media armónica de los 50 números.

1

ARITMÉTICA

8

5.°

año

PROMEDIO



Resolución: C1; C2; C3: Sean las cantidades distribuidas. PMD: Sea la producción media diaria. C 1 = C2 = C3 = k 6 12 4



Simplificando C1 = C 2 = C 3 = k 3 6 2



C1 = 3k; C2 = 6k; C3 = 2k El tiempo que demora cada empresa estará dado por: Nro. días = Cantidad a realizar Producción diaria C t1 = 1 ⇒ t1 = 3k 500 500 t2 = C2 ⇒ t2 = 6k 600 600 t3 = C3 ⇒ t1 = 2k 1000 1000

5.°

Reemplazando valores:



3k + 6k + 2k PDM = 3k + 6k + 2k 500 600 1000



Resolviendo:



PDM = 611.1

13. Un aeroplano que vuela alrededor de un circuito que tiene forma cuadrada emplea velocidades constantes en cada lado; si dichas velocidades están en relación con los números 1; 2; 3 y 4, respectivamente, y la velocidad media del aeroplano en su recorrido total es de 192 km/h. Calcula el tercer lado en km/h. 14. Si a cada uno de los lados de «a» cuadrados iguales se les disminuye en dos centímetros la suma de sus áreas disminuye en 20a cm2. Calcula el promedio de los perímetros de los «a» cuadrados.

Finalmente: PDM = Producción total Total de días C1 + C2 + C3 PDM = t1 + t2 + t3

año



9

ARITMÉTICA

1

2 Mezcla II. Segundo caso

Conceptualmente hablando, se denomina mezcla a la unión íntima de varias sustancias; aunque comercialmente se puede afirmar que mezcla es el procedimiento que tiene por finalidad reunir artículos o sustancias de una misma especie, tratando de obtener de varios precios diferentes, uno en común para ellos. Comúnmente se presentan dos casos conocidos en la regla de la mezcla.

Consiste en hallar las cantidades de cada ingrediente, conociendo el precio medio, los precios unitarios y la cantidad total. Ejemplo: Se mezcla un vino de 43 nuevos soles el litro, con otro de 27 nuevos soles el litro, resultando en total 128 litros o 32 nuevos soles el litro. ¿Qué cantidad se tomó de cada uno? Resolución: «a» litros de S/.43 por dato: a + b = 128 «b» litros de S/.27

I. Primer paso

Consiste en determinar el precio medio de la mezcla, conociendo los precios unitarios (calidades) y las proporciones (cantidades) de cada uno de los ingredientes Ejemplo: ¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta de combinar 36 kg de té a 15 nuevos soles el kg con 22 kg de té a 12 nuevos soles el kg y con 42 kg de té a 30 nuevos soles el kg? Resolución: Cantidad Precio Costo parcial (kg) unitario (S/.) (S/.) 36 15 540 22 12 264 42 30 1260 100 kg 2064

Si 100 kg cuestan S/.2064 soles 1 kg costará: 2064 = S/.20,64 100



En general: Cantidades: C1; C2; ...; Cn Precios unitarios: P1; P2; ...; Pn P=







32 =

a × 43 + b × 27 a+b



32a + 32b = 43a + 27b → 5b = 11a



Por lo tanto:



a + b = 128 → a + 11a = 128 → 16a = 128 5 5



a = 40 litros; b = 88 litros

Método del aspa Cantidad Precio unitario a 42 → b

→

27

32

Relación ↓ 32 – 27 = 5 43 – 32 = 11

Se cumple: a = 5 → a+b = 5+11 → 128 = 16 b 11 a 5 a 5

C1 × P1 + C2 × P2 + ... + Cn × Pn C1 + C2 + ... + Cn

ARITMÉTICA

C1 × P1 + C2 × P2 C1 + C2

Reemplazamos:

Costo total Es decir: P = Cantidad total

2

Se sabe que: P =

Finalmente:

10

a = 40 litros; b = 88 litros

5.°

año

MEZCLA

Mezclas alcohólicas

ZZ Una mezcla de alcohol puro, tendrá 100º.

Se tiene diferentes volúmenes de alcohol. (V1; V2; V3; ...), con diferentes grados de pureza (g1 g2; g3; ...), el grado de pureza de la mezcla se determinará de la siguiente manera:

La pureza o concentración de un alcohol se mide en grados que equivalen al porcentaje del alcohol presente en la mezcla, siendo el resto otra sustancia, generalmente agua. Por ejemplo: ZZ Un alcohol de 90º, significa que el 90% es alcohol y el resto otra sustancia diluyente, generalmente agua. ZZ Una mezcla alcohólica de 75º, significa que el 75% es alcohol puro (al igual que el anterior caso) y el resto agua.

gM=

(V1×g1)+ (V2×g2)+ (V2×g2)+...+ (V2×g2) V1 + V2 + V3 + ... + Vn

Nota: El agua tiene grado de alcohol igual a cero.

Trabajando en clase Integral 1. Se mezclan 15 kilos de café de S/.20 el kg con 30 kilos de otro tipo de café de S/.20 el kg. ¿Cuál será el precio medio de la mezcla? 2. Se mezclan 25 litros de alcohol de 20º con 35 litros de 40º y 40 litros 60º. ¿Cuál será el grado medio de la mezcla? 3. ¿Cuántos litros de alcohol al 80% se deben añadir a 30 litros de alcohol al 60% para obtener una mezcla de alcohol al 75%? 4. Se quieren obtener 60 kg de azúcar de S/.1,5 el kilo mezclando cantidades convenientes de S/.1,8 el kilo y de S/.1,3 el kilo, ¿qué cantidades se debe usar de cada uno? Resolución: Kilos Precio A 1,8 B 1,3 60 1,5

5.°



Reemplazando 5A + 13(60) = 900 5A + 780 = 900 5A = 120 A = 24 ⇒ B = 36

6. Un comerciante mezcla dos tipos de frijoles, del primero se tiene 20 kg a S/.7 el kg y del segundo, 30 kg a S/.3 el kg. ¿A qué precio debe venderse el kg de la mezcla para ganar el 20%? 7. Se mezcla 3 ingredientes en cantidades que están en la relación de 1; 4 y 5 y cuyos precios por kilo son S/.15; S/.20 y S/.13 respectivamente. ¿Cuál es el costo de 25 kg de esta mezcla?

A + B = 60 Multiplicando la columna de los precios por 10. Kilos Precio A 18 B 13 60 15

año

18A + 13B = 60(15) 18A + 13B = 900 5A + 13A + 13B = 900 5A + 13(A + B) = 900

5. Se quieren obtener 70 kg de azúcar de S/.2,6 el kilo mezclando cantidades convenientes de S/.2,2 el kilo y de S/.3,2 el kilo, ¿qué cantidades se debe usar de cada uno?

PUCP





UNMSM 8. Si el Sr. Pizarro vierte en un recipiente 20 litros de alcohol de 82º; 30 litros de alcohol puro y 15 litros de agua, ¿cuál será el grado de la mezcla?

11

ARITMÉTICA

2

MEZCLA UNI

Resolución: Litros 20 30 15 65

Simplificando la columna de los litros entre 5 Litros 4 6 3 13



12. Se mezcla 1 litro de alcohol de 8º; 2 litros de alcohol de 12º; 3 litros de alcohol de 16º; 4 litros de alcohol de 20º; 5 litros de alcohol de 24º y así sucesivamente hasta lo máximo posible. Calcula el grado medio resultante. Resolución: Litros Grado 1 8 2 12 3 16 4 20 5 24 . . . . . . 100 x

Grado 45 100 0 x

Grado 45 100 0 x

4(45) + 6(100) + 3(0) = 13x 180 + 600 = 13x 780 = 13x 60 = x



1×8 + 2×12 + 3×16 + 4×20 +...+ 24×100=300x



9. Si Mario vierte en un recipiente 30 litros de alcohol de 50º; 20 litros de alcohol puro y 50 litros de agua, ¿cuál será el grado de la mezcla?

4(1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + ... + 24×25) = 300x 24 × 25 × 26 = 300x 4 3



Resolviendo:

10. Se tienen dos mezclas alcohólicas, una de 80 litros al 30% de alcohol y otra de 20 litros al 40%. Se intercambian «a» litros de tal forma que cada una contiene b% de alcohol. Calcula a + b.

13. Se mezcla 1 litro de alcohol de 10º; 2 litros de alcohol de 15º; 3 litros de alcohol de 20º; 4 litros de alcohol de 25º; 5 litros de alcohol de 30º y así sucesivamente hasta lo máximo posible. Calcula el grado medio resultante.

11. Se mezcla alcohol de 45º; alcohol de 60º y alcohol de 90º en la proporción de 2; 3 y «x». Calcula «x» si se sabe que la mezcla es del mismo grado que uno de los tres ingredientes.

14. Se tiene dos mezclas alcohólicas de 50% y 80%. De la primera se toma los dos quintos y se mezcla con la mitad de la segunda, obteniéndose una mezcla de 60%. ¿Cuál será el grado del alcohol que resulta de mezclar los contenidos restantes?

2

ARITMÉTICA

12

x = 69.333...

5.°

año

3 Porcentajes Tanto por ciento

Aplicaciones del tanto por ciento A. Descuentos sucesivos

Se denomina tanto por ciento al número de partes que se consideran de las 100 partes iguales en que ha sido dividida una cantidad. En general: a por ciento de N = a% de N =



D(único) = (a + b)–

a ⋅N 100



ZZ 20% del 40% del 80% de 5000 =

20 40 80 ⋅ ⋅ ⋅ 5000 = 320 100 100 100



Para dos aumentos de a% y b%. A(único) = (a + b)+

a×b 100

Ejemplo: Aumento único de 20% y 30% 20 ⋅ 30 A(único) = (20 + 30) + 100

Parte ⋅ 100% = b ⋅ 100% a Total

Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento de 60 es 15?

= 50 + 6 = 56%

C. Aplicaciones comerciales

Elementos a. Precio de costo (Pc): Es lo que el comerciante invierte. b. Precio de venta (Pv): Es lo que el cliente paga. c. Precio fijado (Pf): Es el valor inicial que obtiene el comerciante. d. Ganancia (G): Es la diferencia que se obtiene cuando la venta es mayor que el costo. e. Pérdida (P): Es la diferencia que se obtiene cuando la venta es menor que el costo. f. Descuento (D): Es la rebaja que se obtiene al comprar una mercadería.

15 ⋅ 100% = 25% 60

Operaciones con porcentajes

Importante Toda cantidad representa el 100% de la misma. N = 100%N Ejemplo: ZZ 32%N + 48%N = 80%N ZZ A + 25%A = 125%A ZZ x – 30%x = 70%x ZZ 40%B + 2B – 70%B = 170%B

año

= 50 – 6 = 44%

B. Aumentos sucesivos

Parte de un total como tanto por ciento En general ¿Qué tanto por ciento de a es b? ↓ ↓ total parte

5.°

a×b 100

Ejemplo: Descuento único de 20% y 30% 20 ⋅ 30 D(único) = (20 + 30) – 100

Ejemplo: 30 ZZ 30% de 600 = 600 = 180 100

Para dos descuentos de a% y b%.

En general ZZ Si hay ganancia Pv = Pc + G

13

ZZ Si hay pérdida



Pv = Pc – P

ARITMÉTICA

3

PORCENTAJES Sea: GB: Ganancia bruta

YY Nota: Generalmente las ganancias o pérdidas

se representan como un tanto por ciento del precio de costo.

GN: Ganancia neta

Se cumple:

ZZ Si hay descuento: P = P – D v F

Pv = Pc + GB

YY Nota: Generalmente el descuento se represen-



GB = GN + Gastos

ta como un tanto por ciento del precio fijado.

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Si el 40% del 50% de un número es 800. ¿Cuál es el 10% del 20% de dicho número?

8. Una empresa de informática emplea a 800 personas. De ellas, el 42% son varones y el 50% de los varones tiene más de 30 años. ¿Cuántos varones de esta empresa son mayores de 30 años? Resolución:

2. Si el largo de un rectángulo aumenta en 20% y su ancho disminuye en 30%. ¿En qué porcentaje varía su área?

      

varones

3. Un artículo que costó S/.4000 se vendió con una ganancia del 20%. Calcula el precio de venta.

PUCP 4. Si 360 disminuye en su 25%, ¿cuál es la nueva cantidad? Resolución:

6. Si A es el 150% de B ¿qué tanto por ciento de B es A + B?

11. En una granja, el 30% de los animales son pollos; el 45% son patos y el resto gallinas. Si se venden la mitad de los pollos, 4/9 de los patos y 3/5 de las gallinas. ¿Qué porcentaje del nuevo total son patos?

7. ¿Qué porcentaje del precio de venta se gana si el precio de costo es S/.360 y el precio de venta S/.400? ARITMÉTICA

∴ hay 168 varones mayores de 30 años.

10. Un artículo se vende en S/.360 ganándose el 20% del costo. Si por efecto de la inflación el costo ha aumentado en 10%, ¿cuál debe ser el precio del artículo para seguir ganando el mismo porcentaje?

5. Si 800 disminuye en su 30%, ¿cuál es la nueva cantidad?

3

mayores de 30 años

9. Una fábrica de embutidos emplea a 600 personas. De ellos, el 40% son varones y el 30% de estos son solteros. ¿Cuántos varones casados hay en la fábrica?

3 75 3 90 ⋅ 360 = ⋅ 360 = 270 100 4 1 4



50 42 ⋅ = 168 100 100

          

800 ⋅

14

5.°

año

PORCENTAJES 13. Un comerciante compró camisas a S/.120 cada una y las vendió con una ganancia neta de S/.800. La venta le ocasionó un gasto del 20% de la ganancia bruta. Si por todo obtuvo S/.4600, ¿cuántas camisas compró?

UNI

14. Un número disminuido sucesivamente en dos porcentajes iguales a n%, para luego aumentarlo en 30% del valor alcanzado, resultando finalmente un aumento porcentual de 5,3%. Calcula «n».

    

    

  

12. Un comerciante compró corbatas a S/.80 cada una y las vendió con una ganancia neta de S/.510. La venta le ocasionó un gasto del 15% de la ganancia bruta. Si por todo obtuvo S/.3800, ¿cuántas corbatas compró? Resolución: Sean «n» corbatas compradas: Gneta + gastos = Gbruta ⇒ GB = 600 510 + 15%GB = 6B Pc + G = Pv ↓ 80⋅n + 600 = 3800 → n = 40

5.°

año

15

ARITMÉTICA

3

4 Interés Definición

E. Monto (M)

Es un procedimiento aritmético que nos permite obtener la ganancia (interés) generada a partir de cierta suma de dinero bajo ciertas condiciones financieras o comerciales.

Interés simple

Es cuando el interés o ganancia que genera el capital de préstamo no se acumula al capital sino hasta el final de todo el proceso de préstamo.

Elementos A. Capital (C)

Es la suma de dinero o bien material que se va a prestar, depositar o alquilar por un determinado periodo de tiempo.

Se calcula: I = C×r%×T

B. Tiempo (T)

Es el acumulado de capital con el interés generado. M=C+I

ZZ Para T = años

Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer el capital.

I=

C×r×T 100

I=

C×r×T 1200

I=

C×r×T 36 000

C. Tasa de interés (%)

Nos indica qué tanto por ciento del capital se va a generar al cabo de cierto periodo de tiempo ya especificado.

ZZ Para T = meses

Equivalencias 1. Comerciales de tiempo 1 mes comercial < > 30 días 1 año comercial < > 360 días

ZZ Para T = días

2. Tasas, ejemplos: ZZ 5% mensual <> 60% anual ZZ 2% bimestral <> 12% anual ZZ 3% semestral <> 6% anual ZZ 6% trimestral <> 24% anual ZZ 4% cuatrimestral<> 12% anual

Advertencia pre

D. Interés (I)

No olvides que el tiempo y la tasa de interés deben estar expresados en la misma unidad temporal.

Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce o genera el capital al cabo de cierto tiempo y bajo ciertas condiciones previamente establecidas.

4

ARITMÉTICA

16

5.°

año

INTERÉS

Trabajando en clase Integral

9. El Sr. Torres impone los 4/7 de su capital al 4% y el resto al 5% y resulta un interés anual de S/.9300. ¿Qué cantidad fue impuesta al 4%?

1. Calcula el interés producido por S/.5000 impuesto durante 3 años al 20%.

10. ¿A qué tasa de interés la suma de S/.20 000 llegará a un monto de S/.28 000 colocada a interés simple de 1 año y 4 meses?

2. ¿En cuánto se convertirán S/.8000 al 25% anual en 9 meses? 3. ¿Al cabo de cuánto tiempo un capital sujeto al 60% se cuadruplicará?

11. El monto de un capital durante 1 año y 3 meses es S/.2250 y durante 2 años y 9 meses es S/.2790. Calcula la tasa de interés anual.

PUCP 4. ¿Qué interés producirá un capital de S/.5400 prestado al 18% anual durante 3 años y 4 meses? Resolución: C×r×T I= 1200 5400⋅18⋅40 I= 1200

UNI 12. Determina el tiempo al que fue impuesto un capital a una tasa de 60%, sabiendo que el capital, interés y monto más capital forman una proporción geométrica continua, donde la media proporcional es el interés. Resolución:

I = S/.3240

5. ¿Qué interés producirá un capital de S/.8500 prestados al 15% anual durante 4 años 2 meses? 6. Los 2/5 de un capital han sido impuesto al 30% y el resto al 40% si el interés tota anual de S/.3600, calcula el capital.

año

Aplicando propiedad



C + I = I+M+C ⇒ M = 2M I M+C M+C I M + C = 2I ↓ C + I + C = 2I 2C = I

∴ C = C⋅60⋅x → x = 40 meses 1200

13. Determina el tiempo al que fue impuesto un capital a una tasa de 30%, sabiendo que el capital, interés y monto más capital forman una proporción geométrica continua, donde la media proporcional es el interés.

8. Lopez Meneses impone los 3/8 de su capital al 5% y el resto al 8%, resultando en total un interés anual de S/.1100. ¿Qué cantidad fue impuesta al 5%? Resolución: Sea el capital: 8k 3k⋅5⋅1 5k⋅8⋅1 + = 1100 1000 1000 15k 40k + = 1100 → k = 2000 100 100

5.°





UNMSM

Nos piden 3k → 3(2000) = S/.6000

C= I I M+C



7. Se prestó un capital por 1 año y el monto fue S/.5500; si se hubiera prestado por 2 años, el monto sería S/.6000, ¿cuál fue la tasa?





14. Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual si los intereses producidos alcanzan al 48% del capital?

17

ARITMÉTICA

4

5 Descuento Elementos 1. Letra de cambio o pagaré

Dc r%

Es un documento comercial, en el que una persona (deudor) se compromete a pagarle a otra persona (acreedor) un dinero en una determinada fecha (fecha de vencimiento).

t

2. Descuento (D)

Dc = Vn – Vac

Es la rebaja que se le hace a la letra de cambio, cuando es pagado con anticipación a su vencimiento.

Fórmulas:

3. Valor nominal (Vn)

Es la cantidad de dinero que está escrita y especificada en la letra de cambio, el deudor debe pagar esta cantidad en la fecha de vencimiento.



DC = Vn ⋅ r ⋅ t para T: años 100



DC = Vn ⋅ r ⋅ t 1200

para T: meses



DC = Vn ⋅ r ⋅ t 36 000

para T: días

4. Valor actual (Va)

Llamado también valor efectivo, es el valor que toma la letra de cambio al momento de ser cancelada.

2. Descuento racional (DR)

5. Tiempo de descuento (T)



Es el periodo desde el momento en que se cancela la deuda hasta la fecha de vencimiento. D t

Llamado también descuento interno o matemático, se calcula respecto al valor actual (Va). DR r%

letra de cambio

t

r%

Vn

VaR

Va

Va

Vn

Vac

DR = Vn – VaR

Tenemos: D = Vn – Va Fórmulas:

Clases de descuento 1. Descuento comercial (Dc)

Llamado también descuento extremo o abusivo, es el que se calcula respecto al valor nominal (Vn).

5

ARITMÉTICA

18



DR =

VaR ⋅ r ⋅ t para T: años 100



DR =

VaR ⋅ r ⋅ t para T: meses 1200

5.°

año

DESCUENTO

DR =



VaR ⋅ r ⋅ t para T: días 36 000

ZZ DC – DR = ZZ

Propiedades

Relaciona los descuentos para una sola letra de cambio. ZZ Vn > Va Dc ⇒ DR ZZ Vac < VaR ZZ VaR – Vac = Dc – DR

Vn =

ZZ DR =

DR ⋅ r ⋅ T 100

DC ⋅ DR Dc –DR

⇒ Importante

Vn ⋅ r ⋅ T 100+r⋅t

Trabajando en clase 6. Se firmó una letra por S/.6000, si esta letra se cancelara 5 meses antes de su vencimiento al 4% mensual de descuento racional. ¿Cuánto sería su valor actual racional?

Integral 1. Calcula el descuento que se le debe hacer a una letra de S/.7200 al 4% si faltan 5 meses para su vencimiento.

7. ¿Cuántos días antes de su vencimiento ha sido descontada una letra de S/.4000 que al 4% se ha reducido a S/.3982?

2. Calcula el descuento racional si su valor actual racional es S/.27 000 al 20%, si faltan 8 días para su vencimiento.

UNMSM

3. Calcula el valor nominal de una letra, sabiendo que si se descontara en este momento, los descuentos comercial y racional serían de 500 y 460 soles.

8. La diferencia entre el descuento comercial y racional de una letra de S/.270 es de S/.3. ¿Cuál es el descuento racional? Resolución: Datos  Vn = 270 DC ⋅ DR  DC – DR = 3  Vn = D – D

PUCP



4. Se firmó una letra de S/.7500, si esta letra se cancelara 6 meses antes de su vencimiento al 9% semestral de descuento, ¿cuál sería su valor actual? Resolución:

DC = 7500 ⋅ 9 ⋅ 2 ⋅ 6 = S/.675 1200



D = Vn – Va



270 =

DC ⋅ DR 3

DR = S/.27 9. La diferencia entre el descuento comercial y racional de una letra de S/.100 es S/.5, ¿cuál es el descuento racional?

675 = 7500 – Va ∴Va = S/.6825

año

R

810 = DC ⋅ DR ↓ ↓ 30 27

5. Se firmó una letra de S/.12 000 si esta letra se cancelara 3 meses antes de su vencimiento al 5% cuatrimestral de descuento, ¿cuál sería su valor actual?

5.°

C

10. Calcula el valor nominal de un pagaré por el cual se recibe S/.5174, descontada al 6% por 30 días.

19

ARITMÉTICA

5

DESCUENTO 11. En un pagaré el descuento comercial y el valor actual comercial están en la relación de 1 a 3. ¿Qué porcentaje del valor nominal es el descuento comercial?



UNI

14. El valor actual racional excede al valor actual comercial de una letra en S/.24. Calcula el valor nominal de dicha letra, si el producto de los descuentos es S/.34 560.

DC=k

ARITMÉTICA

x = 24% anual = 4% bim.

13. El valor actual comercial de una letra es 19 veces el descuento comercial. Si faltan 3 meses para su vencimiento, determina la tasa semestral de descuento.

12. El valor actual comercial de una letra es 24 veces el descuento comercial. Si faltan 2 meses para su vencimiento, determina la tasa bimestral de descuento. Resolución: Vac = 24k Vn=25k T = 2 meses

5

Vn ⋅ r ⋅ t 25k ⋅ x ⋅ 2 ⇒ k= ∴ DC = 1200 1200

20

5.°

año

6 Estadística Definición

Distribución de frecuencias A. Frecuencia absoluta (fi)

Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación, análisis e interpretación de datos para tomar decisiones.



Es el número de veces que aparece un valor de la variable estadística, se cumple: f1 + f2 + f3 + ... + fk = n

Clasificación A. Estadística descriptiva

B. Frecuencia absoluta acumulada (Fc)

Se encarga de describir en forma clara y adecuada los datos que se manejan.



Es la acumulación sucesiva de las frecuencias absolutas simples, o sea: Fi = f1 + f2 + f3 + .. + fi

B. Estadística inferencial

C. Frecuencia relativa (hi)

Población y muestra Población







Llamada también deductiva. Tiene por objeto deducir leyes de comportamiento de una población a partir del estudio de una muestra.

Es un conjunto de individuos, objetos u observaciones que poseen al menos una característica común.



Es una parte o subconjunto representativo de la población.



Variable estadística



Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en:

A. Cualitativa

Son variables cuyos valores son cualidades que representa la población. Ejemplo: La variable profesión puede adoptar las modalidades: ingeniero, abogado, médico, etc.

B. Cuantitativa

5.°

Son variables que se obtuvieron como resultado de mediciones o conteos. a) Discreta: la variable toma solo valores enteros. Ejemplo: El número de miembros de una familia. b) Continua: la variable puede tomar cualquier valor comprendido entre otros dos. Ejemplo: Una persona puede pasar entre 70 kg y 7 kg.

año

hi =

fi n

; h1 + h2 + h3 + ... + hx = 1

D. Frecuencia relativa acumulada (Hi)

Muestra



Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el número total de datos.

Es la acumulación sucesiva de las frecuencias relativas o sea: Hi = h1 + h2 + h3 + ... + hk; Hi = Fi n Ejemplo: Del siguiente cuadro:

n.º de hijos 2

n.º de fam (fi) 5

3

Fi

hi

Hi

hi%

5

0,25

0,25

25%

6

11

0,30

0,55

30%

4

3

14

0,15

0,70

15%

5

2

16

0,10

0,80

10%

6

4

20

0,20

1

20%

n=20

21

hi =

fi n

⇒ h1 = 5 = 0,25 20

ARITMÉTICA

6

ESTADÍSTICA

Gráficos o diagramas

Medidas de tendencia central a) Media aritmética

a. Histograma (I vs f o h) f



6 5 4 3

Llamada también media o promedio aritmético. YY Para «n» datos no clasificados. x +x +x +...+xn MA = x = 1 2 n3

b) Mediana (Me)

2 2

3 4 5 6



n.º hijos

b. Diagrama escalonado: Las frecuencias absolutas o relativas pero acumuladas.

Es aquel valor que separa en 2 grupos de igual cantidad de datos. YY Para datos no clasificados, se ordena los datos en forma creciente y luego: si la cantidad de datos es impar, la Me será el dato central o si la cantidad es par la Me será el promedio de los dos datos centrales.

c) Moda (Mo)

c. Gráfico circular: Llamado también de sectores o de pastel. Total = 100% = 360º

Es el valor que se representa con mayor frecuencia en un grupo de datos. YY Para datos no clasificados, se considera el valor más repetitivo, que pueden ser uno o más valores.

Trabajando en clase Integral Enunciado Se tienen las notas de 16 alumnos en una examen de química: 12; 14; 12; 08; 10; 12; 15; 13; 14; 12; 13; 17; 12; 09; 10 y 15

SC 100º

U

1. ¿Cuál es la moda? 2. Calcula la media.



¿Cuántos se manifestaron hinchas de la U? Resolución: Total: = 16 200 = 100% = 360º Pero: U = 360º – (100º + 150º) = 110º 360º 16 200 110º x

3. Si el profesor Sarmiento decide aprobar a los alumnos cuya nota sea mayor o igual a la media, ¿cuántos aprueban? PUCP 4. El siguiente gráfico registra información sobre las preferencias de 16 200 aficionados al fútbol:

6

ARITMÉTICA

AL 150º

22



⇒ x = 110º×16 200 360º



∴ x = 4950

5.°

año

ESTADÍSTICA 9. Según el siguiente cuadro, calcula la Mo, Me y x.

5. El siguiente gráfico registra información sobre las preferencias de 900 aficionados al fútbol.

Barcelona 140º

Edades 14 15 16 17

Real Madrid 120º

Inti Gas

10. Se ha encuestado a 20 jóvenes con respecto a las edades que tienen: 12 14 17 12 14 12 15 12 12 12 14 14 15 15 17 17 12 15 14 12

¿Cuántos se manifestaron hinchas de Inti Gas?

6. Dada la distribución de frecuencia de las edades de cierta cantidad de alumnos, calcula la frecuencia relativa de los alumnos que tienen 22 años. Edades Nº de alumnos 25 4 26 6 27 3 28 7



12 14 15 17 Total

UNMSM 8. Según el siguiente cuadro, calcula la Mo, Me y x.

h

H

20

Completa el cuadro y responde: ¿Qué porcentaje del total de encuestados tiene por lo menos 14 años?

12. Dado el siguiente cuadro incompleto de las tablas de distribución de frecuencia de un grupo de 50 personas: Estado civil f F h H Soltero 15 Casado 28 Viudo 0,80 Divorciado



Mo = 28 años YY La mediada es el dato central de un grupo de datos ordenados: ∴ Me = 26 + 27 = 26,5 2



YY La media es el promedio aritmético

año

F

UNI

Resolución:

5.°

n.º de alumnos (f)

11. Del problema anterior (10), calcula f2 + F3 + h1 + H2

N.º de alumnos 12 8 16 14

YY La moda es el dato con mayor frecuencia



Realizando la tabla de frecuencia tenemos: Edad

7. Del problema anterior, calcula: F2 + f3 + h3 + H2

Edades 20 21 22 23

N.º de alumnos 3 4 7 6

∴ x = 4(25)+6(26)+3(27)+7(28) = 26,65 4+6+3+7



23

¿Qué porcentaje representan los viudos? Resolución: Del dato n = 50, además H4 = 1 ∴ h4 = 1 – 0,80 = 0,20

ARITMÉTICA

6

ESTADÍSTICA



⇒

f4 h4

14. Completa la siguiente tabla de frecuencias: N.º de N.º de familias F h H h% hijos (f) 0 8 1 15 2 12 3 24 4 15 5 26 n=

= n ⇒ f4 = 0,20 × 50 = 10

también F1 = 15 ⇒ f2 = 28 – 15 = 13 entonces f1 + f2 + f3 + f4 = n 15 + 13 + f3 + 10 = 50 f3 = 12 f3 12 ⇒ h3 = = 0,24 = h3% = 24% ∴ h3 = 50 n 13. Dado el siguiente cuadro incompleto de las tablas de distribución de frecuencias de un grupo de 100 personas. Ocupación Ingenieros Abogados Médicos Químicos

6

ARITMÉTICA

f 24

F

h

H



42 0,75

24

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. F2 + h5 + H3 = 23,75 II. Por lo menos el 65% de las familias tiene 3 hijos. III. A lo más el 60% de las familias tiene 4 hijos.

5.°

año

7 Estadística II Tabla de frecuencias de una variable continua (agrupación en intervalos)



Es aquella tabla en la que los datos originales se clasifican en intervalos de clase. La razón de la agrupación por intervalos de clase es el gran número de datos. Ejemplo: En una posta médica de Lima, se observa que en el presente mes se ha atendido un grupo de 1200 personas de las cuales hemos recopilado una muestra de 20 edades, las cuales mostramos a continuación: 10; 12; 09; 02; 15; 17; 18; 20; 22; 25; 25; 26; 27; 27; 32; 27; 42; 38; 33 y 34





Se siguen los mismos procedimientos del tema anterior. Por lo tanto, resumiendo los datos en una tabla: Edades [02 – 10〉 [10 – 18〉 [18 – 26〉 [26 – 34〉 [34 – 42〉

Es la diferencia entre el mayor (xmáx.) y el menor (xmín.) de los datos de la variable. Del ejemplo: el rango es R = 42 –2 = 40

Xi 6 14 22 30 38

fi 2 4 5 6 3

Fi 2 6 11 17 20

n=20 Observación: H = f n

b. Número de intervalos de clase (k)

2+10 =6 2

e. Las frecuencias absolutas y relativas

a. Rango o recorrido (R)

Del ejemplo: x1 =

Es el número de categorías o intervalos en que se va a dividir la información.

⇒ h1 =

hi 0,10 0,20 0,25 0,30 0,15

Hi 0,10 0,30 0,55 0,85 1

1,00 2 = 0,10 20

Medidas de tendencia central

Regla de Sturges

(Para datos agrupados)

k = 1 + 3,322 Logn (n: número de datos) Del ejemplo: k = 1 + 3,322 Log20 = 5,32 si k = 5,32, se recomienda tomar 5 intervalos o un valor cercano que podría ser 4 o 6.

a. Media ( x ) x=

x1⋅f1 + x2⋅f2 + ... + xn⋅fn n

c. Amplitud o ancho de clase (w)

Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada intervalo. Del ejemplo: la amplitud de cada clase será: R 40 w= ⇒w= =8 k 5

b. Mediana (Me) n – Fme–1 2 Me = Lme + ×w fme

o sea: I1 = [02 – 10〉; 10 – 02 = 8

Donde: Lme: Límite inferior de la clase mediana w: Número total de datos Fme–1: Frecuencia absoluta de la clase mediana

d. Marca de clase (x1)

Es el punto medio de cada intervalo: (Límite inferior) + (Límite superior) xi = 2 5.°

año

25

ARITMÉTICA

7

ESTADÍSTICA II

c. Moda (Mo) Mo = Lmo +

Lmo: Límite inferior de la clase modal w: Ancho de la clase modal d1: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y de la clase anterior d2: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y de la clase posterior

d1 ×w d1 + d2

Donde:

Ejemplo: Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Calcula x, Me, Mo.

w=4 Lme

Lmo

Edades [6 – 10〉 [10 – 14〉 [14 – 18〉 [18 – 22〉 [22 – 26〉 [26 – 30〉

Xi 8 12 16 20 24 28

f 6 7 8 4 12 13

Fi 6 13 21 25 37 40

Para ubicar Me fme–1 d1=12–4=8 d2=12–3=9

Para ubicar Mo

a) x =

8⋅6+12⋅7+16⋅8+20⋅4+24⋅12+28⋅3 40

c) Mo = 22 +

= 17,8

8 × 4 = 22 + 1,88 = 23,88 8+9

∴ x = 17,8 Me = 17,5 Mo = 23,88

40 – 13 2 b) Me = 14 + × 4 = 14 + 3,5 = 17,5 8

Trabajando en clase Integral

2. Calcula p + q + r.

Enunciado Se muestra la siguiente tabla de distribución de los trabajadores de acuerdo con los años de servicio en una empresa: Año de servicio [0; 5〉 [5; 10〉 [10; 15〉 [15; 20〉

Números de personas 10 5 20 15

F

h

a b c 50

p q r s

3. ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene 10 o más años de servicio? PUCP 4. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias: Ii Xi fi [5 – 15 〉 10 6 [15 – 25〉 20 4 [25 – 35〉 30 3 [35 – 45〉 40 7

1. Calcula el valor de a + b + c.

7

ARITMÉTICA

Calcula x.

26

5.°

año

ESTADÍSTICA II



Resolución: 6×10+4×20+3×30+7×40 = 25,5 x= 20



∴ x = 25,5

8. La siguiente tabla corresponde a la distribución del número de pacientes atendidos en enero de 1998 por 75 puestos de salud en la sierra. Las anchuras de clase son iguales.

UNMSM

5. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias: Ii Xi fi [15 – 25 〉 20 8 [25 – 35〉 30 3 [35 – 45〉 40 4 [45 – 55〉 50 5

Ii [20; a 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉

Calcula x 6. El gráfico muestra los ingresos y egresos de una compañía durante cuatro años consecutivos: Millones de S/.

ingresos egresos

500 450 400 350 300 250 200 150 100 0





# de puestos fi

Fi

hi 0,04

12 15 21 12 9 Total

n = 75

Completa y calcula: x4 + f2 + F6 + h5

20 + a = 30 → a = 40; f1 = n ⋅ h1 2 f1 = 75(0,04) = 3 1997

1998

1999

2000

Año

También

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? II. La ganancia obtenida en 1999 es la misma que la obtenida en 2000. ( ) II. Los egresos aumentaron porcentualmente de 1999 a 2000 en un 100%. ( ) III. Los ingresos decrecieron porcentualmente de 1998 en un 66,7%. ( )

año

Marca de clase (Xi) 30

Resolución:

F2 = F1 + f2 12 = 3 + f2 → f2 = 9

Luego: x4 = 80 + 100 = 90 2 F3 = 12 + 15 = 27 F4 = 27 + 21 = 48 F5 = 48 + 12 = 60 F6 = 60 + 9 = 69

7. El siguiente cuadro muestra los ingresos semanales de un grupo de trabajadores de la empresa Santiago Export S.A. Salarios fi Fi hi Hi [300 – 350〉 24 [350 – 400〉 0,34 [400 – 450〉 30 [450 – 500〉 0.12 [500 – 550〉 n = 100

5.°

Determina el valor de: f5 + F3 + h2 + H4



h5 = 12 = 0,16 75



∴ 90 + 9 + 69 + 0,16 = 168,16

9. La siguiente tabla corresponde a la distribución de número de pacientes atendidos en marzo de 1999 por 80 puestos de salud en la selva. Las anchuras de clase son iguales. Completa y calcula:

27

ARITMÉTICA

7

ESTADÍSTICA II

Ii

Marca de clase (Xi) 30

# de puestos fi

[10 ; c 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 150〉 Total n = 80

Fi

Resolución:

hi 0,15



18



16 20 12 4

w

X5 + f7 + h4 + F6

Li

10. De la siguiente tabla de distribución calcula F2 + w (w: ancho de la clase común). Clases [10 – 〉 [ – 〉 [ – 〉 [ – 〉 [ – 60〉

X

fi

Fi

hi 0,1



Hi

0,3 25 30

0,8

fi 10

Fi 10

[20; 30〉 10 [30; 40〉

12

22

8

30

[40; 50〉

20

50

Me = 30 + 10

Fi–1

fi

50 – 22 2 = 33,75 8

14. En el siguiente diagrama escalonado: Fi 20 19

UNI

15

12. Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcula la mediana. Ii fi Fi [10; 20 〉 10 [20; 30〉 12 [30; 40〉 8 [40; 50〉 20

ARITMÉTICA

Ii [10; 20 〉

13. Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcula la mediana. Ii fi Fi [20; 30〉 24 [30; 40〉 36 [40; 50〉 15 [50; 60〉 25

11. Construye una tabla de distribución de frecuencia con 5 intervalos de clase de ancho común, teniendo en cuenta: f1 = 15 = f5 h2 = h4 h5 = 0,15 H3 = 0,73 X3 = 63 = x2 + 30 Determina x .

7

n – Fi – 1 Me = Li + w 2 fi Completando el cuadro:

9 12 10 16 22 28 34 40

28

Ii

Calcula: X3 + f2 + F4 + h2.

5.°

año

8 Repaso 1. Si el promedio de 20 números es 325 y de otros 30 números es 675 ¿Cuál es el promedio de todos los números? a) 535 d) 605 b) 259 e) 370 c) 460

a) 1500,5 b) 1625 c) 1457,5 d) 1595 e) 1635,5 7. ¿Cuál es la tasa de interés semestral a la cual se debe imponer un capital para que en 5 años este se triplique? a) 20% b) 40% c) 35% d) 25% e) 10%

2. El promedio aritmético de 2 números es 30 y su promedio geométrico es 15 ¿Cuál será el promedio armónico de los números? a) 10 d) 15,2 b) 7,5 e) 16,8 c) 13,4 3. Juanita mezcla «a» libros de vino de S/. 8.00 con «b» litros de vino de S/.12.00 si en total obtuvo 100 litros de vino de S/. 9.00 ¿Cuánto es la diferencia entre las cantidades de vino que uso de cada calidad? a) 60 d) 35 b) 25 e) 55 c) 50

8. Si la cuarta parte de un capital se coloca al 20% y el resto al 25% durante 4 años se obtiene un interés total de S/3600 ¿a cuánto asciende el capital colocado al 25%? a) S/. 2000 b) S/. 4000 c) S/. 3500 d) S/. 2500 e) S/. 6000

4. Si se tiene 40 litros de una mezcla que contiene 20 litros de alcohol puro y se mezcla con 10 litros de alcohol de 78° se obtiene una mezcla cuyo grado será. a) 40,5 d) 55,6 b) 50 e) 75 c) 60,4

9. ¿Cuál es el valor nominal de un pagare que al ser descontado al 20%, 15 días antes de su vencimiento se le brinda un descuento de S/. 450 al dueño de dicha letra? a) 72 000 b) 45 000 c) 54 000 d) 81 000 e) 36 000

5. ¿Cuánto vale el 20% del 40% de «a». Si el 40% del 35% de 1650 es «a»? a) 30,14 d) 18,6 b) 25,89 e) 23,1 c) 18,5

10. ¿Cuál es la diferencia de descuentos que sufre un pagare de S/. 5000, 15 y 24 días antes de su vencimiento a una tasa común del 30%? a) S/. 30 b) S/. 25 c) S/. 18 d) S/. 36 e) S/. 42

6. En la tienda de Marcelino un equipo se vende en S/. 1325 ganando el 25%. Si por motivos de la inflación el precio de costo del equipo aumenta en 10%. ¿Cuál debe ser el nuevo precio de venta del equipo para que la tiene siga con la misma ganancia? 5.°

año

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ARITMÉTICA

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REPASO 11. Hallar «a + b + c + d» si se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias: Equipos de futbol fj Fj hj Fc Barcelona a 0,45 Arsenal 100 Real Madrid b c Juventus 250 d total 1000 a) 1425 d) 1400,25 b) 1200,40 e) 1300,25 c) 1540

Víveres Vivienda Ropa Recreación



a) S/. 1500 b) S/. 3025 c) S/. 4250 d) S/. 6300 e) S/. 1909

12. ¿Del siguiente pictograma calcula cual es el monto de su sueldo que destina James a vivienda y recreación si su sueldo asciende a S/. 7 636? 5%

Claves

54% 20%

60%

1.

A

5.

E

9.

C

2.

B

6.

C

10.

B

3.

C

7.

A

11.

D

4.

D

8.

E

12.

E



Bibliografía 1. Exámenes de admisión UNI, UNMSM, PUPC, 2013 2. www. Matemática 1.com 3. FARFÁN, Óscar: Aritmética, Lima, San Marcos, 2006

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5.°

año