Ariketak

PROBLEMAS

MODELADO MATEMÁTICO PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS REALIMENTADOS ANÁLISIS TEMPORAL ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO ESTABILIDAD ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL

189

MODELADO MATEMÁTICO DE LA PLANTA _____________________________________________________________________________________ 1.- Calcular la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones F ( s )=

F ( s )=

F ( s )=

(

F ( s )=

)

5 ( s +2 ) s2

(

s +1)

( (

(

s +3 )

s +3 )

s +1)

(

s +2 )

2 s +12

F ( s )= F ( s )=

1

s s 2 +2 s +2

s 2 + 2 s +5 s +1 s ( s 2 + s +1) s 2 + 2 s +3 ( s +1)3

Solución:

1 1 1 f ( t )= − e − t cos t − e− t sent 2 2 2

Solución:

f (t ) = −

Solución:

f ( t )=2 e− t −e−2 t

Solución:

f ( t )= 2 e− t cos 2 t +5 e− t sen 2 t

Solución:

f ( t )=1+

Solución:

f ( t )=e− t +t 2e− t

25 10 5 −t 5 −3t + t + e + e 9 3 2 18

t t − 3 −2 3 3 e sen t −e 2 cos t 3 2 2

_____________________________________________________________________________________ 2.- Resolver mediante Laplace las siguientes ecuaciones diferenciales lineales 3 4 − 2t 15 e sen t 15 4

d2 d x (t ) + 3 x ( t ) + 6 x ( t ) = 0 con x ( 0 ) = 0 ; x′ ( 0 ) = 3 dt dt 2

Solución:

x ( t ) =3

d2 d x ( t ) +3 x ( t )+ 2 x ( t )=0 conx ( 0 )= a ; x′ ( 0 ) =b dt dt 2

Solución:

x ( t ) =( 2 a +b ) e − t −( a +b ) e−2 t

d2 d x ( t ) + 2 x ( t )+5 x ( t )=3 con x ( 0 )=0 ; x′ ( 0 )=0 dt dt 2

Solución:

3 x ( t ) = e− t sen 2 t 2

d 2 y ( t ) dy ( t ) dr ( t ) +4 + y ( t )= +r (t ) dt dt dt 2

Solución:

para

r ( t ) = sen t

y condiciones iniciales nulas

y ( t )=0 , 25 ( sen t − cos t )+ 0 ,197 e −0 , 268 t +0 , 053 e−3, 73t

_____________________________________________________________________________________ 3.- Calcular la transformada de Laplace de las funciones representadas

Solución: a a + b − sT b −2 sT F (s)= − e + e s s s

1 1 − sT 1 −2 sT X ( s )= − e + e s s 2T s 2T

F ( s )=

− sT a a a e 1 a e− sT −( + ) + s 2T1 T −T1 T1 s 2 T −T1 s 2

______________________________________________________________________

190

______________________________________________________________________ 4.- Calcule la respuesta de la posición del carro en función del tiempo, x(t), al aplicarle una entrada impulsional δ(t), partiendo inicialmente del reposo. x(t) k

δ(t)

Solución:

m

x ( t )=

1 k sen t m mk

_____________________________________________________________________________________ 5.- Supongamos el sistema de la figura, donde un disco de inercia J gira en un medio viscoso de coeficiente b. Al aplicar un par T(t) al sistema, se obtiene un desplazamiento θ(t) del eje. Calcule la función de transferencia θ(s)/T(s). ω(t)

T(t)

b

Solución:G ( s ) =

J

θ (s) 1 = T ( s ) s ( sJ + b )

_____________________________________________________________________________________ 6.- Uno de los componentes de una máquina herramienta tiene un modelo como el de la figura en el cual, la fuerza aplicada en el desempeño de su trabajo se aplica a m2, la cual desliza a lo largo de una superficie lubricada que permanece fija mediante un resorte. Si la fuerza a que está sometida m2 es de la forma f(t)=Fcosωt, calcule la ecuación del movimiento en el dominio de Laplace de la masa m2.

Solución:

m1s 2 + bs + k s ⋅F 2 m1m2 s 4 + s 3 ( m1b + m2b ) + s 2 km1 + sbk s +ω 2

X 2 (s) =

_____________________________________________________________________________________ 7.- El circuito de la figura está diseñado para dejar pasar las bajas frecuencias e impedir el paso de las altas. Calcule la función de transferencia V0(s)/Vi(s) y la salida para entrada escalón unitario. R

R V0

Vi

Solución:

C

R

V0 ( s ) 13 RC = Vi ( s ) s + 2 3 RC

;

−2 t 1 3 RC ) v0 ( t )= (1−e 2

_____________________________________________________________________________________ 8.- En el sistema eléctrico de la figura, calcule la función de transferencia VC2(s)/V(s) R1

v(t)

i1(t)

R2 C1

i2(t)

C2

vc2(t)

Solución:

Vc ( s ) 1 2 = V ( s ) ( R1C1s +1)( R2C2 s +1)+ R1C2s

_____________________________________________________________________________________

191

_____________________________________________________________________________________ 9.- La figura muestra el esquema de un sistema hidráulico con dos tanques independientes (la función de transferencia global es el producto de ambas por separado). Calcule la función de transferencia Qs(s)/Qe(s). qe h1

R1

Solución: A1

R2

h2

Q2 ( s ) Q2 ( s ) Q1 ( s ) 1 1 = ⋅ = ⋅ Qe ( s ) Q1 ( s ) Qe ( s ) 1+ sA2 R2 1+ sA1R1

qs A2

_____________________________________________________________________________________ 10.- El comportamiento de un sistema viene definido por el siguiente sistema de ecuaciones en transformada de Laplace: donde H1(s), H2(s), H3(s), G1(s), G2(s), G3(s) y G4(s) son funciones de transferencia. Obtener el diagrama de bloques del sistema y simplificarlo hasta obtener la función de transferencia M(s)=C(s)/R(s)

E ( s ) = R( s ) − C ( s) H 3 ( s) U1 ( s ) = E ( s)G1 ( s )

U 3 ( s ) = [U1 ( s ) − U 2 ( s )]G2 ( s) U 2 ( s) = U 4 ( s) H 2 ( s)

U 4 ( s) = [U 3 ( s ) − U 5 ( s )]G3 ( s)

H2(s)

C ( s ) = U 4 ( s )G4 ( s ) U 5 ( s ) = C ( s ) H1 ( s)

R(s) + -

G1(s)

U2(s) -

E(s)

U1(s)

+

U4(s)

+

G2(s)

G3(s)

U3(s) + U5(s)

G4(s)

C(s)

H1(s)

H3(s)

Solución:

G1G2G3G4 C (s) = R ( s ) 1− G3G4 H1 + G2G3 H 2 + G1G2G3G4 H 3

_____________________________________________________________________________________ 11.- Obtener la función de transferencia Y(s)/R(s) simplificando el diagrama de bloques de la figura. R(s)

+

G1

G2 +

Y(s)

+ +

Solución: Pasando el sumador detrás de G2(s): R(s)

+

G2

G1

+

+ +

Y(s)

Realizando la estructura serie G1G2 y después la paralelo G2 y con 1 llegamos a Y (s) =1+G2 +G1G2 R(s)

G2

_____________________________________________________________________________________

192

_____________________________________________________________________________________ 12.- Obtener la función de transferencia Y(s)/R(s) simplificando el diagrama de bloques de la figura. H1 + +

R(s)

G

+

Y(s)

H2

Solución: H1

1/G R(s)

+

+

G

Y(s)

+

H2

Realizando el bloque de realimentación negativa y el serie: H/G R(s)

+ Y(s)

+

G/(1+GH) Y ( s ) G + H1 = R ( s ) 1+GH 2

Realizando el paralelo y el serie queda

_____________________________________________________________________________________ 13.- Utilizando la técnica de simplificación de diagramas de bloques, encontrar la función de transferencia Y(s)/X(s) F(s)

D(s)

-

X(s) A(s)

+

B(s)

C(s) +

+ +

+

Y(s) -

+

E(s)

Solución: Realizamos la realimentación positiva y el paralelo de E(s) con 1:

193

F -

X(s) A

B

Y(s)

+

C/(1-CD)

+

+ 1-E

Pasamos el sumador hacia atrás:

F -

X(s) A

+

B + 1-E

C/(1-CD)

Y(s)

+ (1-CD)/C

Intercambiamos la posición de los sumadores y realizamos la realimentación resultante, además realizamos la estructura serie: X(s) A

+

B

C/(1-CD+CF)

Y(s)

+ (1-E)(1-CD)/C

ABCla + A (1− CD )(1− E ) Realizamos la conexión paralelo y finalmente 1− CD + FC conexión serie de los tres bloques:

_____________________________________________________________________________________ 14.- El diagrama de bloques de la figura representa un conjunto accionador-motor de corriente continua controlado por inducido, con realimentación de velocidad y de intensidad. a.- Obtener, mediante las técnicas de reducción del álgebra de bloques la función de transferencia M1(s) entre la velocidad angular ω y la tensión de referencia VR (suponiendo que no hay par resistente Tc). b.- Obtener también la función de transferencia M2(s) entre la velocidad angular ω y el par resistente Tc (suponiendo que no hay entrada VR).

K1K 2 K m Ω( s ) = ( s ) ( R + K K ) Js R 1 2 + K m K e + KT K m K1K 2

Solución: a.- M1( s )=V

; b.-

194

M 2 ( s )=

− ( R + K1K 2 ) Ω( s ) = Tc ( s ) ( R + K1K 2 ) Js + K m ( K e + KT K1K 2 )

_____________________________________________________________________________________ 15.- Calcular la función de transferencia Y(s)/R(s) en el diagrama de bloques de la figura. Y(s)

+

G1

R(s)

G2

-

G3 +

+

195

Solución:

G1G2 Y (s) = R(s) 1+ G1 ( G2 + G3 )

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS REALIMENTADOS _____________________________________________________________________________________ 1.- Para que un panel solar fotovoltaico pueda obtener la máxima potencia debe seguir con precisión al sol en su movimiento aparente. El sistema de control utilizado para realizar dicho seguimiento es el de la figura. Si el valor nominal de τ es de 3 segundos, calcule la sensibilidad del sistema respecto a cambios pequeños en τ. R(s)

+ G(s)

-

Y(s)

G(s) =

100 ( sτ + 1)

_____________________________________________________________________________________ 2.- En la figura se muestra un sistema de audio digital diseñado para minimizar el efecto de las perturbaciones. Si G(s)=K2 a.- Calcule la sensibilidad del sistema debida a los Vin(s) + cambios en K2. b.- Calcule el efecto de la perturbación sobre V0. c.- ¿Qué valor seleccionaría para K1 con objeto de minimizar el efecto de la perturbación?.

D(s)

+ K

+

1

-

G(s)

V0(s)

_____________________________________________________________________________________ 3.- En la figura se muestra un sistema automático de recogida de fruta mediante un brazo robótico y una cámara. La cámara se usa para cerrar el lazo de realimentación sobre un microordenador encargado de controlar el brazo. Calcule en función del valor de K, el error en régimen permanente de la posición de la garra Y para una entrada escalón de amplitud A.

+

R(s)

K

-

G p (s) =

Gp(s)

Y(s)

1 ( s + 3)

2

_____________________________________________________________________________________ 4.- Un controlador de disco duro requiere el uso de un motor para posicionar de manera precisa la cabeza de lectura/escritura sobre la superficie. El motor y la cabeza de lectura/escritura pueden representarse mediante la siguiente función de transferencia: 10 G(s) = 1) s. dondes (τsτ= +0.001 R(s)

+ -

196

Kc

G(s)

Y(s)

a.- ¿Cuál es el error en régimen permanente ess para una entrada escalón?.

197

b.- Calcule la Kc requerida para conseguir un ess de 0.1 mm cuando la entrada es una rampa de pendiente 10 cm/s. Solución: a.-

ess

escalón

=0

; b.-

K c = 10

_____________________________________________________________________________________ 5.- Los sumergibles de plástico son naves tecnológicamente muy avanzadas que pueden revolucionar la industria submarina. El sistema de control de profundidad de uno de estos sumergibles es el que aparece en la figura. a.-Determine la función de transferencia en lazo cerrado T(s) = Y(s)/R(s). b.-Determine las T T sensibilidades S K y S K 1 c.- Determine el error en régimen permanente debido a una perturbación D(s) = 1/s. d.- Calcule la respuesta y(t) para R(s) = 1/s y D(s) = 1/s cuando K = K2 = 1 y 1 < K1 < 10, seleccionando el valor de K1 que hace que el sistema responda más rápido.

Solución: a.d.-

T ( s )=

(

KK1 s + K1K 2 + KK1

K −1 −2 K1t y ( t )= 1 1−e 2 K1

),

; b.-

s ST K1 = s + K K + KK 1 2 1

,

ST K=

s + K1K 2 s + K1K 2 + KK1

; c.-

1 ess = D( s) K ( K +K ) 1 2

;

K1 =10

_____________________________________________________________________________________ 6.- Uno de los procesos que se lleva a cabo en la industria siderúrgica es el transporte de las planchas Plancha de acero de acero a través de las instalaciones de la fábrica. El sistema habitual utiliza rodillos movidos por motores de CC debido a las facilidades que éstos ofrecen para controlar con precisión la velocidad angular de giro ω mediante la aplicación de un voltaje de referencia Va. K1 ω (s) = Si la función de transferencia del motor viene dada por: G ( s ) = Va ( s ) sτ1 + 1 Km Ra J donde K1 = y τ1 = . DATOS: Ka =100, Kt = 1; K1 = 1; τ1 = 10 Ra f + K b K m Ra f + K b K m a.- Calcule la salida ω(t) en lazo abierto cuando a la entrada se aplica un escalón de amplitud A. ω ( s )=

K1 A AK1 AK1 ⋅ = − sτ1+1 s s s+ 1 τ1

 −τt  ; ω ( t )= AK1 1−e 1   

b.- Si se desea aumentar la velocidad de respuesta del sistema es preciso disminuir τ1, lo cual se puede conseguir sustituyendo el motor por otro con distintos parámetros. No obstante, τ1 es fuertemente dependiente de J (la inercia de la carga conectada al motor), la cual es muy elevada, por tanto cambiar de motor no es una solución satisfactoria. La introducción de realimentación

198

negativa mediante la conexión de un tacómetro entre la salida y la entrada y la inclusión de un sencillo controlador proporcional permite solucionar el problema de forma más efectiva. De acuerdo con este esquema de control realimentado, calcule la salida ω(t) y razone cual es la forma de conseguir una respuesta más rápida del sistema.

Ka T (s) =

K1 sτ 1 + 1

1+ K a K t

K1 sτ 1 + 1

 − 1+ K a K1Kt t  1− e τ 1  ω (t ) = 1+ K a K1K t   AK a K1

La función de transferencia en lazo cerrado T(s) sigue 1+ K a K1K t siendo de primer orden, = τ1 s +1 pero sus parámetros 1+ K a K1K t (ganancia estática y constante de tiempo) han cambiado. La rapidez de respuesta viene determinada por la constante de tiempo, que ahora se ha reducido en un factor de ≈100, por tanto el sistema responde 100 veces más K a K1

rápido que en lazo abierto. Obsérvese también el efecto sobre la estabilidad: El polo en lazo abierto está situado en s = -0.1 mientras que en lazo cerrado se desplaza hacia la izquierda a s = -10, haciendo que el sistema gane en estabilidad. c.- Calcule la sensibilidad del sistema a los cambios de la constante del motor K1 en lazo abierto. K

∂G

G

1 SK = ⋅ = Sin necesidad de hacer cálculos se puede decir que es 1. Vamos a comprobarlo: ∂K G sτ 1

1

1 1+1

⋅

(

)

K1 sτ 1 + 1 =1 K1

d.- Calcule la sensibilidad del sistema a los cambios de la constante del motor K1 en lazo cerrado y particularice el resultado para un caso de baja frecuencia s = j obteniendo el módulo de la sensibilidad. ∂T K1 ST K1 = ∂K ⋅ T = 1

1 τ1 s + 0.1 = 1+ K a Kt K1 s +10 s+

s+

alternativamente se podía haber utilizado la expresión:

1 τ1 s+ K a K t K1 τ1 T N D SK = SK − SK = 1 − = 1+ K K K sτ 1 + 1+ K a K t K1 1 1 1 a t 1 s+ τ1

T

j + 0.1

SK = particularizando para s = j se obtiene j + 10 1

→ S TK ≈ 0 .1 1 s= j

e.- Calcule el error en régimen permanente en lazo abierto. t −    τ ess = lim [ r ( t )− y ( t )] = lim  A− AK1 (1−e 1 )   = A (1− K1 )=0 t →∞ t →∞    

o utilizando el teorema del valor final (podemos hacerlo puesto que la raíz de sE(s) está en el semiplano izquierdo):

[

]

[

]

A e ss = lim sE ( s ) = lim s R ( s ) −Y ( s ) = lim sR ( s ) 1−G ( s ) = lim s s →0 s →0 s →0 s →0 s

1− K1  =  sτ1+1 

A (1 − K 1 ) = 0

f.- Calcule el error en régimen permanente en lazo cerrado. 1+ K a Kt K1   − t  AK K  a 1 (1−e τ1 )  = A(1+ Ka Kt K1− K a K1 ) ≅ A ess = lim [ r ( t ) − y ( t ) ] = lim  A− 1+ K a Kt K1 100 t →∞ t →∞    1+ Ka Kt K1   

199

Obsérvese que aparentemente empeora la situación ya que ahora se produce un error en régimen permanente que en lazo abierto no existía, no obstante, obsérvese también que dicho error en controlable puesto que como diseñadores podemos elegir el valor de Ka (y quizás también el de Kt). Además, el ess en lazo abierto depende de K1 que es un parámetro de la planta, y por tanto las posibles variaciones (envejecimiento, tolerancias...) en torno a ese valor provocarán la aparición de un error incapaz de corregirse, mientras que en lazo cerrado, por la propia esencia del control, el error tenderá a reducirse por efecto de la realimentación. g.- Calcule el cociente entre las salidas debidas a una perturbación en lazo abierto y cerrado si la perturbación se introduce a la entrada del bloque correspondiente al motor.

R(s) +

D(s)

+

Y(s)

Motor

+

R(s) +

D(s)

+

Y(s)

Motor

Ka

-

YLA ( s ) =G ( s )⋅D ( s ) D(s)

G(s) YLC ( s ) = ⋅D ( s ) D ( s ) 1+ K K G ( s ) t a

Kt

YLA ( s ) YLC ( s )

D(s)

=1+ Kt K aG ( s )

D( s)

h.- Calcule el cociente entre las salidas debidas a una perturbación en lazo abierto y cerrado si la perturbación se introduce a la entrada del bloque correspondiente al motor si la perturbación se introduce a la salida del bloque correspondiente al motor.

+ R(s)

+

Motor

D(s) Y(s)

YLA ( s ) =D ( s ) D(s)

+

R(s) + -

Ka

Motor

+

YLC ( s )

D( s)

Y(s) 1 YLC ( s ) = ⋅D ( s ) D ( s ) 1+ K K G ( s ) t a

Kt

YLA ( s )

D(s)

= 1 + Kt K aG(s)

D(s)

200

_____________________________________________________________________________________ 7.- En la figura se ilustra una cámara térmica. Su función es posibilitar la realización de pruebas consistentes en someter piezas a diversas condiciones de temperatura. La cámara se calienta mediante la inyección de vapor procedente de un generador. Una electroválvula regula la entrada de vapor y la temperatura alcanzada se mide por medio de un sensor cuyo elemento captador es un termistor (semiconductor cuya resistencia varía con la temperatura. La puerta de la cámara puede abrirse, en cuyo caso la temperatura interior se verá afectada.

Para controlar la temperatura de la cámara de forma automática se utiliza el siguiente esquema, donde la temperatura se expresa en °C, la referencia en voltios, la función de transferencia del sensor en Voltios/°C y el tiempo en minutos.

a.- Si r(t) es una entrada escalón de magnitud 5 y la puerta de la cámara permanece cerrada, calcule la expresión temporal de la temperatura interior de la cámara y(t) y dibújela. Indique cual es la temperatura en régimen permanente. 2 2 3.45 s + 0.5 = T ( s) = = = 0 . 08 R( s) 1 + s + 0.58 1.72 s + 1 s + 0.5 Y ( s)

201

Se trata de un sistema de primer orden con ganancia 3.45 y constante de tiempo 1.72 minutos. Por tanto la salida ante una entrada escalón de amplitud 5 voltios tendrá como valor final:  y ss = 5 V ⋅ 3.45

C

V

 = 17, 24 C

y será exponencial creciente. El régimen permanente se alcanzará en 3τ (95% del valor final)

(

y (t ) = 17.24 1 − e

−0.58t

)

b.- Repita el apartado a considerando que la cámara tiene una temperatura inicial de 25 °C. Para introducir la condición inicial generamos la ecuación diferencial que da el comportamiento en el tiempo a partir de la función de transferencia que ya conocemos: Y ( s)

=

3.45

→ 1.72 s ⋅ Y ( s ) + Y ( s ) = 3.45 ⋅ R ( s ) → 1.72

R ( s ) 1.72 s + 1 Ahora introducimos la condición inicial:

dy (t ) dt

sY ( s ) − y (0) + 0.58Y ( s ) = 2 R ( s ) → sY ( s ) − 25 + 0.58Y ( s ) = 2 ⋅

y (t ) = 17.24 + 7.76e

−0.58t

202

5 s

+ y (t ) = 3.45r (t ) →

→ Y (s) =

25 s + 10

dy (t )

s ( s + 0.58) )

dt

+ 0.58 y (t ) = 2 r (t )

c.- Dos minutos después de la aplicación del voltaje de referencia a la electroválvula la puerta se abre y permanece abierta. Repita los cálculos y dibuje la nueva respuesta teniendo en cuenta el efecto provocado por esta perturbación suponiendo que pueda modelarse de forma aproximada como un escalón de amplitud -1. Puesto que la perturbación se produce directamente sobre la salida, es decir sobre la temperatura interna de la cámara su efecto será aditivo sobre ella. y (t ) = 17.24 + 7.76e

−0.58t

− 1(t − 2)

d.- La puerta permanece abierta durante 12 minutos y a continuación se cierra. Añada este efecto y repita el apartado anterior. y (t ) = 17.24 + 7.76e

−0.58t

− 1(t − 2) + 1(t − 12)

_____________________________________________________________________________________

203

ANÁLISIS TEMPORAL DE SISTEMAS DINÁMICOS _____________________________________________________________________________________ 1.- El sistema de primer orden de la figura a tiene como respuesta a la entrada escalón unitario la gráfica de la figura b. y(t) K τs + 1

R(s)

Y(s) 3

fig a

fig b

2,433 1,633

a.- Obtener a partir de dicha respuesta, los parámetros del sistema.

t

b.- Se realimenta el sistema tal y como se 0,5 indica en1 la figura c. Calcular analíticamente los parámetros que definen la respuesta escalón unitario del sistema en bucle cerrado y dibujar la forma de la respuesta.

+ R(s) -

fig c

K τs + 1

Solución: a.- K = 3, τ = 0.6 1,2, τ = 0.24

Y(s)

b.- K =

0,5

_____________________________________________________________________________________ 2.- Se dispone de un horno eléctrico destinado a efectuar tratamientos térmicos de piezas. Su control se efectúa mediante una tensión Vr. Para conocer su comportamiento se le somete a un ensayo que consiste en aplicarle una tensión constante Vr = 1 V y registrar su temperatura interior Ti. a.- Teniendo en cuenta la respuesta temporal indicada en la figura, identificar la función de transferencia Ti(s)/Vr(s) b.- Se desea someter a la pieza a un determinado tratamiento térmico consistente en elevar su temperatura 100 °C de manera progresiva. Para ello se aplica una tensión en forma de rampa unitaria. ¿Cuánto tiempo tardará la temperatura interior del horno Ti en alcanzar 100 °C ?. c.- Para mejorar el comportamiento del horno se introduce un sistema de control como el indicado en la figura, donde la ganancia K es ajustable entre 0 y 10. ¿En que sentido mejorará el comportamiento del conjunto?. Especificar si interesa usar un valor de K grande o pequeño.

204

Solución: a.-

Ti ( s ) 1 = Vi ( s ) 3, 33 s +1

; b.-

t =103, 33 s

; c.- Disminuye la constante de tiempo, por tanto el

sistema responde más rápido. Si K ↑→ess ↓ _____________________________________________________________________________________

205

_____________________________________________________________________________________ 3.- Las figuras representan las respuestas ante entrada escalón unitario de cinco sistemas. Obtener las respectivas funciones de transferencia.

Solución:

G(s) =

3 s +1 2 (1, 5 s +1)

G(s) =

K sτ +1

G(s) =

2 s2 +2 s+4

G(s) = 1 − e G(s) =

−2 s

1 s2 +4

_____________________________________________________________________________________ 4.- Dado el sistema representado por el diagrama de bloques de la figura, se pide dibujar la respuesta ante entrada escalón unitario para K = 0,02, K = 0,125, y K = 2,5, comparando tp, ts y Mp.

_____________________________________________________________________________________ 5.- Dada la función de transferencia 2 jω ω n Solución: a.G(s) = 2 2 s + 2δω n s + ω n a.- Sombrear la zona del plano s en la que ts < 2 segundos y Mp < 10%

2

53,8°

b.- Cuáles son los márgenes entre los que deben estar los parámetros ωn y δ ? b.- ω n >3,39 ; 0 ,59<δ <1 _____________________________________________________________________________________

206

σ

ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO _____________________________________________________________________________________ 2( s + 8) 1.- Dado el sistema de la figura, donde G ( s ) = s ( s + 1) a.- Indique el tipo de sistema. b.- Calcule los coeficientes de error estacionario c.- Para una entrada r(t) = 10 + 0,05t, calcule el error R(s) + Y(s) G(s) en estado estacionario mediante la aplicación del teorema del valor final. d.- Compruebe el resultado obtenido en el apartado c utilizando los coeficientes estáticos de error y el principio de superposición. ∞ , K v = 16, K a Solución: a.- Sistema tipoK1; p =b.ess

escalón

=0 ,ess

rampa

;c.-

=0

ess =0 , 0031

;

d.-

=0 , 0031,ess =0+ 0 , 0031=0 , 0031

_____________________________________________________________________________________ 2.- La figura representa el control de uno de los ejes de un sistema de seguimiento óptico mediante un motor. El comportamiento deseado exige que el error angular en estado estacionario sea menor o igual a 0,01 rad cuando la señal de entrada es una variación angular constante de 0,05 rad/s, es decir, una rampa r(t) = 0,05t. Para asegurar el grado de estabilidad transitoria deseado, el sistema debe presentar al mismo tiempo un coeficiente de amortiguamiento mayor o igual que 0,6. Determine el rango de K0 de modo que se satisfagan las especificaciones.

Solución: 4, 2 ≤ K 0 ≤ 5, 78 _____________________________________________________________________________________ 4( s + 2) 3.- Dada la función de transferencia de la cadena directa G ( s ) = y realimentación s ( s + 1)( s + 4) unitaria, calcule los coeficientes estáticos de error y el error estacionario a entradas escalón, rampa y parábola. Solución:

K p =∞ ,ess

escalón

=0 , K v = 2 ,eee

rampa

=0 , 5, K a =0 ,ess

parábola

=∞

_____________________________________________________________________________________ 4( s + 1) 4.- Dada la función de transferencia de la cadena directa G ( s ) = 2 y realimentación s ( s + 2) unitaria, calcule los coeficientes estáticos de error y el error estacionario para una entrada: 3 1 1 R( s) = − + 2 3 s s 2s Solución:

K p =∞ ,ess

escalon

=0 , K v =∞ ,ess

rampa

=0 , K a = 2,ess

parábola

207

=0 , 25 ,ess =0 , 25

_____________________________________________________________________________________

208

_____________________________________________________________________________________ 5.- Dado el sistema de la figura, calcule el ess cuando tanto la referencia como la perturbación son escalones unitarios.

R(s)

+

+

K

D(s) A s

+

-

Y(s) −1

1 −1

Solución: ess R ( s ) =0,ess D ( s ) = K ,ess =0− K = K

_____________________________________________________________________________________ 6.- El sistema de guiado de un robot doméstico tiene el diagrama de bloques de la figura R(s)

+ K1+ K2 s

-

a.- Calcule el ess del sistema para una entrada escalón de amplitud A para K2 = 0. b.- Calcule el ess del sistema para una entrada escalón de amplitud A para K2 > 0. c.- Calcule el ess del sistema para una

Y(s)

K sτ+1

entrada en rampa de pendiente A para K2 > 0. d.- Dibuje la respuesta de forma aproximada cuando la señal de entrada es la de la figura: r(t)

r(t), y(t) A

Sol: ess escalon =1+ KK ; b.1

ess

escalón

=0

; c.-

ess

A = rampa KK 2

; d.-

t

_____________________________________________________________________________________ 10 7.- Sea G ( s ) = , calcule el ess para una entrada r (t ) = 4 + 3t + e −t s ( s + 1)( s + 5) Solución: ess =0+1,5+0=1,5 _____________________________________________________________________________________

209

ESTABILIDAD _____________________________________________________________________________________ 1.- Estudie la estabilidad del sistema mediante la generación de la tabla de Routh: G ( s) =

s−2 2 s + 3s + 2 s + 7 s + 1 4

3

Solución: inestable

_____________________________________________________________________________________ 2.- Dado el sistema de la figura, determine el rango dentro del cual se puede ajustar k de manera que el sistema sea estable. R(s)

+

k -

2

s(s+1)(s +5s+6)

Y(s)

Solución:

0
_____________________________________________________________________________________ 3.- Calcule los valores de a y b para que el sistema sea estable.

G(s) =

2 s + bs + 3 4 3 2 s + as + 4 s + 7 s + 2

Solución: 2 , 05
_____________________________________________________________________________________ 4.- Sea un sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia directa k viene dada por G ( s ) = ¿Para que valor de k el sistema es marginalmente 2 s ( s + 1)( s + s + 1) estable y cuál será la frecuencia de oscilación?. 3

Solución: k = 4 ,ωosc =

1 2

_____________________________________________________________________________________

210

ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL _____________________________________________________________________________________ 1 1.- Dada la planta G ( s ) = , diseñar un controlador P para que el sistema en lazo ( s + 1)( s + 2) cerrado con realimentación unitaria mostrado en la figura cumpla las siguientes especificaciones ante una entrada escalón unitario: Mp ≤ = 5% ts (5%) ≤ 2 segundos ess ≤ 50%

+

R(s)

Kc

-

Gp(s)

Y(s)

Solución: •

Estabilidad: s2 s1 s0

1 3 2+Kc

Kc Kc ( s +1)( s + 2 ) T ( s )= = Kc 2 +3 s + 2+ K s 1+ c ( s +1)( s + 2 )

2+Kc

para que el sistema sea estable se debe cumplir que •

2+ K c rel="nofollow">0→ K c > −2

Error en régimen permanente Es un sistema de tipo 0, luego tendrá un ess ante una entrada escalón dado por

1 ess escalón = 1+ K

p

Kc K 1 2 K p = lim = c →ess escalón = = Kc 2+ K s →0 ( s +1)( s + 2 ) 2 c 1+ 2 2 2+ ≤0 , 5→ K c ≥ 2 2+ Kc

•

. Si el ess tiene que ser menor o igual que el 50%:

Tiempo de establecimiento y sobreimpulso ts

3 = ≤ 2→σ ≥1, 5 ; σ =ω n cosθ =ω nδ ( 95%) σ

tenemos que

−πδ

;

2 M p =e 1−δ ≤0, 05→δ ≥0, 69

;

ω n ≥2 ,17 .

Identificando con T(s)

ω n = 2+ K c → K c ≥ 2 , 72

Teniendo en cuenta todas las restricciones, se deduce que Kc ≥2 , 72 _____________________________________________________________________________________ 0.5 2.- Dada la planta G ( s ) = , determinar Gc(s) para que el sistema en lazo cerrado ( s + 0.05)( s + 0.2) con realimentación unitaria cumpla las siguientes especificaciones: R(s)

ess nulo a entrada escalón ts en el 2% ≤ <60 s el sistema debe ser críticamente amortiguado.

+ Gc

G(s)

Y(s)

-

Solución: •

Error en régimen permanente Para garantizar que el error en régimen permanente es nulo el sistema debe ser al menos de tipo 1, por lo que en principio necesitamos un controlador PI.

211

s +a Gc ( s )= K p s

. Si elegimos a para eliminar el polo más lento:

Gc ( s ) ⋅ G ( s ) = K p ⋅

Queda:

s +a 0,5 s + 0 , 05 ⋅ → a = 0 , 05 → G c ( s ) = K p ⋅ s ( s + 0 , 05 )( s +0 , 2 ) s

0,5 Gc ( s ) ⋅ G ( s ) = K p ⋅ s ( s +0, 2 )

, por tanto, al ser de tipo 1, ess = 0 ante entrada escalón

Veamos si cumple las especificaciones de régimen transitorio: •

Tiempo de establecimiento y amortiguamiento crítico 0 , 5⋅K p 0 , 5⋅K p s ( s +0 , 2 ) T (s) = = 0 , 5⋅K p s 2 +0 , 2 s +0 , 5 K p 1+ s ( s +0 , 2 )

Como el sistema debe ser críticamente amortiguado, δ = 1 → 2δω n = 0,2 → ω n = 0,1 → K p = 0, 02 Veamos si cumple la especificación del tiempo de establecimiento: ts

( 98%)

=

4 4 = = 40 < 60 , σ δω n

por tanto, el controlador PI diseñado es válido G c ( s )

= 0 , 02 ⋅

s + 0 , 05 s

_____________________________________________________________________________________ 0,1 3.- Dada la planta G ( s ) = , determinar Gc(s) para que el sistema en lazo cerrado con s ( s + 0,05) realimentación unitaria cumpla las siguientes especificaciones ante una entrada escalón unitario: ts (2%) ≤ 20 segundos ess nulo a entrada escalón críticamente amortiguado

R(s)

+ Gc

-

G(s)

Y(s)

Solución: •

Error en régimen permanente La planta es de tipo 1, luego el ess ante una entrada escalón será cero independientemente del tipo de controlador que elijamos. Por tanto en principio tantearemos el controlador más sencillo, uno proporcional.

Veamos si cumple las especificaciones de régimen transitorio: •

Tiempo de establecimiento y amortiguamiento crítico 0 ,1⋅K p 0 ,1⋅K p s ( s +0 , 05 ) T ( s )= = 0 ,1⋅K p s 2 +0 , 05 s +0 ,1K p 1+ s ( s +0 , 05 )

ts

4 4 = = ≤ 20→δω n ≥0 , 2 ( 98%) σ δω n

, identificando con T(s):

cumple la especificación.

212

2δω n =0, 05→δω n =0 , 025 ,

por tanto no se

Vamos a intentarlo con otro controlador. Por ejemplo, si utilizamos un PI, cuya característica es que permite eliminar el ess a costa de empeorar el transitorio, y teniendo en cuenta que el e ss ya está garantizado que es nulo, no es una buena opción. No obstante, como ejercicio, vamos a comprobar que no sirve.

Gc ( s )=

( )

K p s+ s

1 Ti ⋅

0 ,1 s ( s + 0 , 05 )

si elegimos la ubicación del cero para que cancele el polo situado en s +

0,05 de la planta, tendremos:

K p ( s + 0 , 05 ) s

⋅

0,1 0 ,1 = 2 s ( s + 0 , 05 ) s

y entonces

0,1 s2

Kp

T (s) =

Gc ( s) ⋅ G p ( s ) =

0,1⋅ K p 0 ,1 = s 2 + 0 ,1⋅ K 1+ K p p s2

Los polos en lazo cerrado son:

s = ± −0 ,1⋅K p

; si K p >0 las raíces son imaginarias puras y el sistema

es críticamente amortiguado, por lo que no nos sirve; si , K p <0 las raíces son reales pero una de ellas está situada en el semiplano derecho, con lo que el sistema es inestable, por tanto tampoco sirve. En consecuencia, como se preveía, un controlador PI no es adecuado en este caso. Probemos entonces con un PD. Teóricamente un controlador PD puede mejorar bien el transitorio, bien el permanente. Dado que el permanente está conseguido con el polo en el origen de la planta, puede ser una buena opción. Veamos si conseguimos mejorar el régimen transitorio.

(

Gc ( s ) = K p 1+ sTd )

)

si elegimos Td de forma que cancele el polo de la planta como hemos hecho con el PI:

( )

0 ,1⋅Td 0 ,1 1 2 Gc ( s )⋅G p ( s ) = K p (1+ sTd ) =K p +s =K p s ( s + 0, 05 ) Td s ( s + 0, 05 ) s

, siendo

1 =0 , 05→Td = 20 Td

La función de transferencia en lazo cerrado será entonces: T ( s )=

2K p s+2 K p

, que corresponde a un sistema de primer orden, y por tanto no tiene sobreimpulso,

cumpliendo así una de las especificaciones. Veamos que ocurre con el tiempo de establecimiento: ts ( 98%) ≈ 4τ

. Como

τ=

1 2K p

, para que se cumpla,

K p ≥0,1

Con ese valor, el sistema es estable, por tanto este controlador sirve a nuestros propósitos: Gc ( s )=0 ,1( 1+ 20 s )

_____________________________________________________________________________________ 1080 4.- Dada la planta G ( s ) = , determinar Gc(s) para que el sistema en lazo cerrado s ( s + 6)( s + 18) con realimentación unitaria cumpla las siguientes especificaciones: ess ≤ 20% para entrada en rampa ts < 2 segundos para entrada escalón Mp < 30% para entrada escalón

•

R(s)

+ -

Error en régimen permanente

213

Gc

G(s)

Y(s)

Para garantizar que el error en régimen permanente ante una entrada en rampa es menor que uno dado el sistema debe ser de tipo 1, por lo que en principio con un controlador P podría bastar: Gc ( s )= K p ess

1 K = lim sG ( s ) G ( s )=10 K = v c p s →0 rampa K v

;

ess

rampa

≤0 , 2→ K p ≥0 , 5

214

•

Estabilidad s3 s2 s1 s0

1 24 108-45Kp 1080Kp

1080⋅K p 1080⋅K p s ( s +6 )( s +18 ) T ( s )= = 1080⋅K p 3 2 s + 24 s +108 s +1080 K p 1+ s ( s +6 )( s +18 )

108 1080Kp

Para que el sistema sea estable:

108− 45 K p >0→ K p <2 , 4

Veamos si cumple las especificaciones de régimen transitorio: Con una Kp de 0,5 ya aseguramos el cumplimiento de la especificación de ess, así que no conviene elegir una Kp superior porque eso empeoraría el transitorio. Tomamos por tanto Kp = 0,5. •

Tiempo de establecimiento y sobreimpulso T ( s )=

540 s3 + 24 s 2 +108 s +540

Es un sistema de tercer orden, por lo tanto no podemos aplicar las fórmulas desarrolladas para el sobreimpulso y el tiempo de establecimiento. Veamos donde están situados los polos: s

3

+ 24 s

2

+ 108 s + 540 = 0

s = −19 , 94 s = −2 , 02 ± j 4, 79

s

3

+ 24 s

2

+ 108 s + 540 = ( s + 19 , 94 )( s

2

+ 4 , 04 s + 27 , 02

)

El polo real ubicado en s =-19,94 está muy alejado de los otros dos, aproximadamente 10 veces, lo cual es suficiente como para considerar que su efecto es despreciable, por tanto nuestro sistema se puede aproximar por uno de segundo orden y entonces ya podremos aplicar las fórmulas conocidas. Si eliminamos ese polo hay que hacerlo con cuidado de modo que la ganancia estática del sistema quede inalterada, es decir, sustituyendo el polo que se desprecia por su ganancia

T ( s )=

540 540 540 = ≈ s3 + 24 s 2 +108 s +540 ( s +19 , 94 )( s 2 + 4, 04 s + 27 , 02 ) 19 , 94⋅( s 2 + 4, 04 s + 27 , 02 )

por tanto el sistema, realizando esta aproximación queda:

27 , 08 Taprox ( s )= s 2 + 4 , 04 s + 27 , 02

;

ω n = 27 , 02 =5, 2→2δω n =0 , 4→δ =0 , 39 − M p =e

ts

πδ 1−δ 2 = 0 , 26 <30%

3 3 = = =1, 48<2 ( 95%) σ δω n

, cumple la especificación del sobreimpulso

, cumple la especificación del tiempo de establecimiento. Por tanto, el

controlador P diseñado es válido Gc ( s )=0, 5 _____________________________________________________________________________________

215

216