Ar2

TUGAS-2

: CONTOH-CONTOH TEOREMA

MATA KULIAH

: ANALISIS REAL

BAB III

: BARISAN BILANGAN REAL

OLEH

: RAHMAT FAUZI

(106017000503)

NENENG HADIYANI

(106017000500)

Teorema 3.3.4 Jika barisan

konvergen ke L, maka setiap barisan bagian dari

juga konvergen ke

L. Contoh : konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang

konvergen ke 0. konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang

konvergen ke 0.

konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang

konvergen ke 0.

konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang

konvergen ke 0.

konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari konvergen ke 0.

Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan real

konvergen , maka

terbatas.

Contoh :

1.Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

yang

2.Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

3.Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

4.Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

5.Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Teorema 3.4.7 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

atas , maka

barisan tak turun dan terbatas di

konvergen.

Contoh :

1.

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka

Teorema 3.4.8

konvergen. konvergen.

konvergen.

konvergen.

konvergen.

Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

atas , maka

divergen ke

barisan tak turun dan tak terbatas di

.

Contoh : 1.

adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka

adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka

adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka

divergen ke

.

divergen ke

.

divergen ke

.

divergen ke

divergen ke

Teorema 3.4.9 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

bawah , maka

barisan tak naik dan terbatas di

konvergen.

Contoh : adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

konvergen.

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

konvergen.

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

konvergen.

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

Teorema 3.4.10

konvergen.

konvergen.

.

.

Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

bawah , maka

divergen ke

barisan tak naik dan tak terbatas di

.

Contoh :

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen ke

.

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen ke

.

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen ke

.

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen ke

.

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen ke

.

Teorema 3.4.11 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Maka

mempunyai barisan bagian yang

monoton. Contoh : adalah barisan monoton tak turun, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real. adalah barisan monoton tak naik, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.

adalah barisan monoton tak turun, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.

adalah barisan monoton tak naik, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.

adalah barisan monoton tak turun, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.