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Parte I

Análisis de Láminas

Capítulo 1

Análisis de Láminas 1.1

Introducción

Las láminas son superficies estructurales con curvatura que soportan fuerzas y cargas externas aplicadas, en general axisimétricas y de tipo presión. Gracias a su geometría, los esfuerzos internos se distribuyen sobre todo su reducido espesor, lo que genera esfuerzos de membrana. El estudio de láminas incluye la superposición de dos tipos de soluciones: la mencionada de membrana y la de flexión, que aparece en cambios de curvatura, de espesor etc.

1.2

Geometría de láminas de revolución

En este capítulo se estudiarán superficies de revolución, que son generadas por el giro de una línea “meridiano” alrededor de un eje vertical de revolución; este meridiano define con el eje de axisimetría un plano llamado primera sección principal, ver Fig. 1.1. Con el corte a la lámina de un plano perpendicular al eje de revolución se define la curva llamada “paralelo”. A su vez, el plano perpendicular al meridiano que contiene el vector normal a la lámina y que produce una intersección con máxima curvatura se llama segunda sección principal, ver figura de la derecha. Geométricamente se definen varios radios, todos función de alguna coordenada OO 3 : r radio del paralelo. OO 1 : r1 radio de curvatura de la primera sección principal (el meridiano). OO 2 : r2 radio de curvatura de la segunda sección principal. 3

Capítulo 1. Láminas

El punto O2 siempre está en el eje vertical, el O1 en la línea de acción de la normal y es el centro de curvatura de la segunda sección principal. M eridiano

n

M eridiano

P aralelo 2a SP

O

n O3 O

O2 O1 O2 O1

Figura 1.1: Superficie de revolución definida por rotación de meridiano con respecto a eje vertical de axisimetría. 1a sección principal (SP) definida por meridiano, 2a SP por intersección con máxima curvatura a lámina del plano que contiene n.

Los infinitos planos Π con un lado curvado que contienen a la normal y a la lámina misma se llaman secciones normales, ver Fig. 1.2. De todos estos planos que pasan por el punto O, existe uno con el lado curvado de curvatura κ1 máxima y otro, no necesariamente perpendicular, con κ2 mínima. Se define el producto de estas curvaturas “principales” κ = κ1 κ2 como curvatura gausiana. Dependiendo de si κ es positiva, negativa o cero en el punto, la superficie es llamada respectivamente sinclástica, anticlástica o con curvatura gausiana nula en el punto.

n

Π

O

Figura 1.2: Curvatura gausiana: intersección entre lámina y cualquier plano Π perpendicular que contiene a n. Existen ∞ planos pero solo uno produce máxima curvatura y otro mínima en intersección.

4

1.2 Geometría de láminas de revolución

En general, en superficies de revolución las curvaturas principales son: −r′

κ1 = 

1 + (r′ )2

2

3

;

1

κ2 = 

r 1 + (r′ )2

1

(1.1)

3

donde (·)′ es la derivada con respecto a z. Ejemplos de figuras geométricas sencillas que se estudian en este capítulo son:

5

Capítulo 1. Láminas

Cilindro. Superficie desarrollable 1 1 = =0 r1 ∞ 1 1 = κ2 = r2 a κ = κ1 κ2 = 0

κ1 =

O

O2 O1

Cono. Superficie desarrollable 1 1 = =0 r1 ∞ 1 κ2 = = r csc α r2 κ = κ1 κ2 = 0

κ1 =

O

O2

O1

Elipsoide. Superficie sinclástica κ = κ1 κ2 > 0

O O2 O1

Hiperboloide. Superficie antisinclástica

O1

κ = κ1 κ2 < 0

O O2

6

1.2 Geometría de láminas de revolución

O O1

Toroide. Cambio de signo κ

O2

Como para la geometría, se estudiarán solo cargas externas axisimétricas, con lo que no habrá variación con respecto al ángulo circunferencial, como se asumió en la sección anterior para placas circulares. El análisis de láminas se realizará aplicando las hipótesis de Kirchoff para pequeños espesores, no obstante se deberá tener precaución con los flectores y las grandes deformaciones. En láminas con geometría y cargas axisimétricas se considera un total de cinco incógnitas: Nx ;

Ny ;

Mx ;

My ;

Qx

(1.2)

De manera idealizada las solicitaciones de membrana se darán únicamente en el plano de la lámina, con lo que los momentos y cortantes serán nulos en la solución de membrana aunque en la de flexión todos (incluyendo diferentes solicitaciones de membrana) estarán presentes. La solución total de la lámina vendrá dada por la superposición de la solución de membrana wp en la que trabaja todo el espesor de la superficie y que se asocia a la solución particular, y por otra parte la solución de flexión wh donde únicamente trabajan las fibras externas y que se identifica como la solución homogénea. El motivo por el que las láminas son superficies ideales para aguantar cargas externas distribuidas (presiones) es precisamente que son capaces de desarrollar solicitaciones de membrana. Mientras que para las primeras solicitaciones todo el espesor de la estructura está trabajando (a tracción o a compresión), para las de flexión solo las fibras más exteriores lo hacen y las del centro no ayudan. En dos dimensiones la solución constructiva histórica ha sido la del arco en vez de viga, que aunque requiere un mayor coste es mucho más estable y duradero.

7

Capítulo 1. Láminas

1.3

Cilindro axisimétrico

Esta sección estudia el comportamiento de láminas cilíndricos, tales como recipientes a presión, lanzaderas, misiles, fuselajes etc. Se estudiará inicialmente la solución de membrana y posteriormente la de flexión. La superficie cilíndrica es la generada por el giro de una recta generatriz paralela al eje de revolución.

1.3.1

Solución de membrana

Para las ecuaciones de membrana se considerará un elemento curvado como el de la Fig. 1.3. Las solicitaciones Nx y Nθ , la primera a lo largo de la generatriz y la segunda circunferencial, denotan las fuerzas de membrana a priori desconocidas, con unidades de fuerza dividida por unidad de longitud [N/m]. Las presiones en direcciones x y r son px y pr , con unidades de fuerza dividida por unidad de área [N/m2 ].

a

θ dθ

Nx

M eridiano

dθ Nθ dx

pr

Nθ

px

dA = adθdx adθ x

Nx +

dNx dx dx

Figura 1.3: Superficie cilíndrica: geometría del cilindro y elemento diferencial; equilibrio de membrana.

Las ecuaciones que gobiernan la solución de membrana del cilindro se obtienen del equilibrio de las fuerzas P en las dos direcciones. Para la dirección vertical según el eje de axisimetría, Fx = 0: 8

h i i dh (Nx adθ) dx + px (adθ) dx = 0 dx

⇒

dNx = −px dx

(1.3)

1.3 Cilindro axisimétrico

Para la dirección radial según la normal, −2(Nθ dx)

P

Fr = 0:

h i dθ + pr (adθ)dx = 0 2

⇒

Nθ = pr a

(1.4)

donde se ha considerado que para ángulos diferenciales sin(dθ/2) ≈ dθ/2. Nótese que el efecto de la curvatura sobre la solicitación circunferencial es una resultante radial Nθ dxdθ negativa hacia el eje de simetría; las proyecciones verticales se anulan. Resumiendo: Nx = −

Z

Nθ = pr a

px dx + C1 ;

(1.5)

Nθ dx dθ 2

π dθ − 2 2 dθ a

Nθ dx Figura 1.4: Proyección de fuerzas en el un arco diferencial de longitud adθ.

Los signos de Nx y Nθ son positivos para tracción y negativos para compresión, y como en toda solicitación su signo debe estudiarse a pares. De momento solo una C.C. se puede usar: o en x = 0 o en x = L. Si el meridiano tuviera curvatura (como ocurre en, por ejemplo, esferas o elipsoides), aparecería un término del tipo Nx /r1 , pero en este caso r1 → ∞ y por tanto Nx /r1 → 0. De acuerdo con las coordenadas elegidas x y θ, los desplazamientos de una lámina cilíndrica son el longitudinal u y el normal w a lo largo del radio r del paralelo, para esta geometría constante r = a. Se asumirá que el material es isótropo y elástico lineal, con lo que obedecerá la ley de Hooke. Para calcular estos desplazamientos a partir de las solicitaciones de membrana internas ya calculadas, se usarán las

9

Capítulo 1. Láminas

relaciones constitutivas y las cinemáticas en pequeña deformación, obteniéndose de ambas para ǫx : du σx − νσθ = E dx

⇒

du Nx − νNθ = dx Et

(1.6)

Integrando: u=

1 Et

Z

(Nx − νNθ ) dx + C2

(1.7)

de donde una segunda C.C. se puede satisfacer. La obtención de la deformación circunferencial se realiza de forma similar utilizando ambos tipos de ecuaciones: ǫθ =

w 2π(a + ∆a) − 2πa = 2πa a

⇒

w = a ǫθ =

 a  Nθ − νNx Et

(1.8)

w

r=a

Figura 1.5: Deformación circunferencial de cilindro.

Cilindro suspendido bajo preso propio Se calculan las solicitaciones y desplazamientos del cilindro de la Fig. 1.6. Para la primera, la única presión actuante en el cilindro es su propio peso. Si γ es la densidad específica del material entonces px = γt y pr = 0, con lo que: Nx = −

Z

γt dx + C1 = −γt x + C1 ;

Nθ = 0

(1.9)

Aplicando la C.C. de borde libre Nx (L) = 0 se obtiene: Nx = γt (L − x) 10

(1.10)

1.3 Cilindro axisimétrico

Conocidas las fuerzas de membrana se pueden calcular los desplazamientos sabiendo que se ha de cumplir la C.C. en x = 0 de desplazamiento nulo u(0) = 0. γ E

  x2 γx  x Lx − + C2 = L− 2 E 2

u

=

w

γa = −ν (L − x) E

(1.11)

x L

dx a

t

N x Figura 1.6: Cilindro empotrado en su sección superior bajo peso propio.

La solución de w es obviamente incorrecta: dada la C.C. de empotramiento en x = 0, el resultado debería ser w(0) = 0 en vez de w(0) = −νγaL/E, pero la formulación no dispone de más constantes. Falta aplicar la solución homogénea de flexión que superpuesta a la particular dará la final correcta. Se completa ahora el problema de membrana estudiando el efecto de una corona de fuerzas positivas N por unidad de radián aplicadas en x = L. De la Ec. (1.5), Nx = C1 ya que no hay presiones en este efecto. La constante se calcula de la C.C. Nx (L) = N y además se vuelve a usar u(0) = 0, con lo que la solución a superponer a la anterior es: Nx = N ;

Nθ = 0 ;

u=

Nx ; Et

w = −ν

Na Et

(1.12)

11

Capítulo 1. Láminas

Depósito cilíndrico bajo carga hidrostática Se estudia un depósito de agua de líquido con densidad específica γ, peso propio despreciable, altura H, radio a y espesor t, ver Fig. 1.7. Las presiones producidas por la presión hidrostática son px = 0 y pr = γx, por tanto: Nx = 0 ;

(1.13)

Nθ = γa x

El movimiento correspondiente a la solución de membrana está representado por la recta A de la Fig. 1.7. w=

γa2 x Et

⇒

w(H) =

γa2 H Et

dw γa2 (H) = dx Et

⇒

(1.14)

De nuevo la expresión de w es incorrecta pues el depósito no se puede deformar radialmente si por hipótesis inicial la base rígida. Hace falta añadir una solución de flexión que ayude a cumplir las C.C.: X1 como una corona de fuerzas radiales y X2 como otra de momentos flectores, ambas por unidad de radián circunferencial. Las dos soluciones de flexión juntas deberán “obligar” a la solución de membrana a que w(H) = 0 y a dw(H)/dx = 0 primero según la deformada B y después ssgún la C de la Fig. 1.7 (en realidad las dos condiciones se cumplen a la vez si X1 y X2 son correctas).

a H A

C

X2 B

X1

x Figura 1.7: Depósito cilíndrico empotrado en su base bajo carga hidrostática. Deformadas A, B, C correspondientes a la solución de membrana y las dos de flexión.

12

1.3 Cilindro axisimétrico

1.3.2

Solución de flexión

Este apartado describe la teoría general de la flexión de láminas cilíndricas. Para la obtención de las ecuaciones que definen esta solución, se partirá de las de equilibrio cinemáticas y constitutivas particularizadas para esta situación. Cabe recordar que en esta solución, px y pr son nulas ya que la presente es la homogénea de la ecuación diferencial. Sus valores serán significativos en zonas de discontinuidades, incluyendo cambios de curvatura y espesor, y en secciones de aplicación de cargas externas. Las tensiones que las solicitaciones de esta solución producen son habitualmente mayores que las de la de membrana. Ecuaciones de equilibrio Se considera el diagrama de sólido libre de un elemento de lámina cilíndrica tal como se muestra en la Fig. 1.8, similar a la Fig. 1.3 aunque incluyendo ahora todas las solicitaciones posibles. Planteando el equilibrio de fuerzas en el elemento se obtendrán las ecuaciones de equilibrio que gobiernan las láminas cilíndricas. Las ecuaciones del equilibrio de fuerzas y momentos a lo largo de x y r se desarrollan a continuación. Considerando que todas las solicitaciones P son por unidad de radián o longitud, el equilibrio de fuerzas en dirección axial Fx = 0 proporciona:  d  Nx adθ dx = 0 dx

⇒

dNx =0 dx

⇒

Nx = C

(1.15)

que indica que la solicitación vertical es constante en x; si no hay axil externo aplicado en el cilindro, Nx = 0. Esta solicitación es la contrapartida homogénea Ec. 1.3 e indica que los axiles están desacoplado de todas las demás solicitaciones, por lo que en la formulación que sigue se omitirá. P Por otra parte el equilibrio de fuerzas en dirección radial es Fr = 0 (comprobar la proyección radial de la Fig. 1.4 para Nθ ): dQx dx adθ − Nθ dxdθ = 0 dx

⇒

dQx Nθ =− dx a

(1.16)

La variación de cortante produce una solicitación de membrana circunferencial.

13

Capítulo 1. Láminas

Nx Qx

dθ

θ

dx

Mx a

Nθ

Nθ

Mθ Mθ Mx +

dMx dx dx Nx +

Qx +

dQx dx dx

dNx dx dx

Figura 1.8: Elemento diferencial de cilindro bajo cargas de flexión.

Por último se establece el Pequilibrio de momentos con respecto al borde inferior del elemento diferencial, M |x+dx = 0. 

 dMx dx adθ − Qx adθ dx = 0 dx

⇒

dMx = Qx dx

(1.17)

que como para vigas o placas indica que el cortante es igual a la variación de momentos. Para obtener expresiones adimensionales, estas ecuaciones se pueden reescribir en función de x/a: d(·) 1 d(·) 1  x  = (·)′ = dx a d a a

(1.18)

Se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas que se reducen a una única ecuación diferencial con dos incógnitas: Q′x + Nθ

=0

Mx′

= a Qx

  

→

Mx′′ + a Nθ = 0

Se deben entonces buscar relaciones de Mx y Nθ con la variable básica w. 14

(1.19)

1.3 Cilindro axisimétrico

Ecuaciones cinemáticas y constitutivas Las relaciones cinemáticas para cilindros se desarrollan a partir de la deformación de porciones de su meridiano y paralelo. a

w

χ

a w dθ

dx

a χ+

dχ dx dx

w+

dw dx dx

w x

Figura 1.9: Deformada de membrana para elemento diferencial del meridiano en el plano r-x (izquierda) y en el r-θ (derecha, igual que solución membrana Fig. 1.5).

En la Fig. 1.9, se representan las deformaciones de un elemento diferencial dx del meridiano; se aprecia que este diferencial se alarga desde la configuración inicial a la deformada (línea a trazos). De la Ec. (1.8) ǫθ = w/a y el giro del mencionado elemento es χ = dw/dx. En el contexto de la solución de flexión, las curvaturas se definen como κx o variación del ángulo vertical y κθ o variación del ángulo polar, calculadas como: χ+ κx κθ

= =

dχ dx w′′ χ dχ d2 w x = 2 − = = 2 dx dx dx dx a

(1.20)

dθ dθ −w w − = 2 ≈− 2 ≈0 (a + w)dθ a dθ a + wa a

La última aproximación está justificada por ser a2 >> w, ver Fig. 1.9. Este resultado es además lógico porque el radio de curvatura de la figura derecha prácticamente no cambia.

15

Capítulo 1. Láminas

Asumiendo comportamiento de material elástico e isótropo, las ecuaciones constitutivas son las habituales. Si se considera que los efectos de Nx están desacoplados, o que en todo caso se pueden superponer a posteriori:   1   N − νN ǫ =  x θ x  Et      ǫ = 1 N − νN θ x θ Et

→ =−

νNθ Et

Nθ → = Et

(1.21) ⇒

w Nθ = ǫθ Et = Et a

Con parte de los resultados de flexión se puede abordar la solución de la distribución de Nx . Por ejemplo, para la el problema de cilindro suspendido y la corona de fuerzas en su extremo inferior se puede calcular de la Ec. (1.15) Nx = N y de la expresión anterior de ǫθ se recupera la Ec. (1.12):

N θ = a pr = 0

⇒

ǫθ =

  

w a νN − Et

⇒

w = −ν

aN Et

(1.22)

Se busca ahora combinar todas para conseguir una ecuación diferencial con una sola incógnita: el desplazamiento radial w. Para ello, y como en la teoría de placas, es necesario desarrollar relaciones momento-curvatura. En primer lugar se estudia una porción del meridiano teniendo en cuenta la flexión (“local”, en el espesor) de una viga definida por el meridiano, como en la Fig. 1.10 con la ayuda de una nueva coordenada z en el espesor t desde la línea neutra es esta viga. La magnitud ∆l mide el incremento de longitud de un elemento doblemente diferencial: en la longitud de meridiano y en el espesor. Asumiendo que el incremento de ángulo de flexión χ es muy pequeño, se puede calcular ∆l mediante relaciones trigonométricas del triángulo agrandado de la Fig. 1.10, y de la Ec. (1.20): ∆l = z

dχ dx = z κx dx dx

(1.23)

Las deformaciones y tensiones secundarias producidas por esta flexión son: ∆l = z κx dx i E E h ǫ ¯ (z) + ν ǫ ¯ (z) = zκx σ ¯x (z) = x θ 1 − ν2 1 − ν2 ǫ¯x (z) =

16

(1.24)

1.3 Cilindro axisimétrico

donde se ha asumido que ǫ¯θ (z) es nulo ya que se puede demostrar que es igual a z κθ . dz

z

x dχ dx dx

z x + dx dχ dx dx

∆l t

Figura 1.10: Deformada por flexión de sección longitudinal de cilindro: viga en fundación elástica.

Integrando esta tensión a lo largo del espesor se puede obtener el momento de flexión x: t/2

E κx Mx = σ ¯x z dz = 1 − ν2 −t/2 Z

Z

t/2

z 2 dz = D κx

(1.25)

−t/2

De igual modo se obtiene la tensión solo de flexión para la dirección circunferencial. R t/2 Integrando Mθ = −t/2 σ ¯θ z dz y considerando otra vez ¯ǫθ ≈ 0, el segundo momento de flexión es: σ ¯θ (z) =

E (¯ ǫθ + ν¯ ǫx ) 1 − ν2

⇒

Mθ = νD κx

(1.26)

17

Capítulo 1. Láminas

Ecuación diferencial Con las ecuaciones de equilibrio y usando las ecuaciones cinemáticas se obtiene la ecuación diferencial que gobierna las láminas circulares. (w′′ )′′ +

Eta2 w=0 D

w′′′′ + 4λ4 w = 0

⇒

(1.27)

4λ4 = 12(1 − ν 2 )

 a 2 t

Ya que a/t ≫ 1 en láminas aeronáuticas, λ ≫ 1. Esta ecuación es de cuarto orden, homogénea como corresponde a la solución de flexión y con coeficientes constantes. La forma es muy similar a la parte homogénea de la ecuación diferencial de una viga rectangular en fundación elástica, al fin y al cabo el modelo que se ha seguido para el desarrollo de las ecuaciones cinemáticas de flexión. Es interesante notar que en esta ecuación no aparece el módulo de Young E, aunque sí el coeficiente de Poison ν. La función de prueba para obtener la solución será del tipo w = A emx/a con A y m constantes. Sustituyendo en la Ec. (1.27):  a 4 m4 mx 4 (1.28) + 4λ A e a = 0 4 a √ de donde m4 = −4λ4 y entonces m = 2λ (−1)1/4 . Se puede reducir esta expresión teniendo en cuenta que: 

(−1)1/4 =

√ 1 i i = ±√ ± √ 2 2

⇒

m = ±λ ± iλ

(1.29)

La solución de la ecuación es por tanto: w

= C1 e = e−

λx a

m1 x a

+ C2 e

m2 x a

+ C3 e

m3 x a

+ C4 e

m4 x a

    λx λx λx λx λx C1 cos + e a C3 cos + C2 sin + C4 sin a a a a

(1.30)

Todas las distribuciones serán función únicamente de la coordenada x; oscilan debido a las funciones trigonométricas y decaen más o menos deprisa dependiendo del exponente λ/a. Se deben obtener las variables w, w′ ≡ dw/dx, Mx y Qx en los bordes del cilindro de x = 0, L. Dependiendo de la posición de x en la que se calcule la solución, serán más importantes los términos del primer paréntesis que los del otro. Así para zonas 18

1.3 Cilindro axisimétrico

cercanas a x = 0 dominarán los términos con C1 y C2 , y por contra para x = L serán importantes los términos C3 y C4 . Otra forma de entender la supresión de dos constantes es considerar que si las fuerzas de borde están solo situadas en x = 0, las constantes C3 y C4 deberán ser λx cero para evitar que el segundo término función de e a tiendan a ∞ conforme x se hace grande: la distribución de la deformación de una viga en fundación elástica es suave y con valor no nulo solo cerca de la aplicación de la carga. Se transforman las constantes a otras nuevas A y ψ que se hallan verificando las C.C., para dos problemas tipo. Reordenando las ecuaciones de esta subsección, las variables buscadas son: λx a



λx +ψ a

w

= e−

w′

√ λx = − 2λ e− a A sin

Mx

Qx

=D

=

w′′ a2

Mx′ a

=

A sin





λx π +ψ− a 4

−2Dλ2 − λx e a A cos a2



λx +ψ a



 (1.31)

√   2 2Dλ3 − λx π λx a e = +ψ+ A sin a3 a 4

Mθ

= ν Mx

Nθ

= Et

w a

Problema Tipo I Fuerzas cortantes autoequilibrantes por unidad de radián se aplican en x = 0; las C.C. de este borde geométricamente libre aunque con solicitación externa aplicada son Qx (0) = H0 y Mx (0) = 0. El signo es coherente con los positivos de la Fig. 1.8 en un borde de x menor.

19

Capítulo 1. Láminas

H0

x

Figura 1.11: Problema Tipo I: corona de cortantes positivos aplicados a cilindro largo en x = 0.

Aplicando las dos C.C. a las expresiones tercera y cuarta de la Ec. (1.31) se obtiene: ψ=

π ; 2

A=

H0 a 3 2Dλ3

(1.32)

por tanto: w

H0 a3 − λx λx = e a cos ; 3 2Dλ a

Mx

λx H0 a − λx e a sin ; = λ a

Mθ

=ν

H0 a − λx λx e a sin ; λ a

w

′

√   λx π − 2H0 a2 − λx a sin e = + 2Dλ2 a 4 √

2H0 e

− λx a

Qx

=

Nθ

= 2H0 λ e−

λx a

cos



cos

λx a

λx π + a 4



(1.33)

Nótese que las C.C. están satisfechas, debido a la función sin de Mx y al cos(π/4) de Qx . Por último se obtienen los desplazamientos y giros en x = 0, que serán útiles para establecer las compatibilidades de las soluciones de flexión. w(0) =

H0 a 3 ; 2Dλ3

dw H0 a 2 (0) = − dx 2Dλ2

(1.34)

Problema Tipo II En este segundo problema tipo, una circunferencia de momentos autoequilibrantes y positivos se aplican en x = 0. Las C.C. serán Qx (0) = 0 y Mx (0) = M0 . 20

1.3 Cilindro axisimétrico

De las mismas expresiones que en el problema tipo anterior y las C.C., se obtiene ψ=−

M 0 a2 A= √ 2Dλ2

π ; 4

(1.35)

por tanto: w

Mx

Mθ

  λx π −M0 a2 − λx a √ sin e = ; w′ − a 4 2Dλ2   √ λx π λx ; Qx − = 2M0 e− a cos a 4 √ λx = 2M0 λe− a cos



λx π − a 4



;

Nθ

M0 a − λx = e a sin Dλ =



λx π − a 2



λx −2M0 λ − λx e a sin a a

√   −2 2M0 λ2 − λx λx π a sin = e − a a 4 (1.36)

M0

x

Figura 1.12: Problema Tipo II: corona de momentos positivos aplicados a cilindro largo en x = 0

El desplazamiento y el giro para este problema tipo en x = 0 son: w(0) =

M 0 a2 ; 2Dλ2

dw −M0 a (0) = dx Dλ

(1.37)

Para una distancia llamada longitud característica xc = aπ/λ se calcula un flector: Mx = −M0 e−π = −0,043 M0

(1.38)

es decir, el flector es solo un 4 % del máximo en la longitud característica. Cuanto más grande λ, más rápido decaen los resultados: en aeronáutica habitualmente 21

Capítulo 1. Láminas

a/t > 1000 por lo que λ ≈ 40 y xc /a = 0,077, lo que implica distribución no nula en una longitud muy corta. Los mismos conceptos aplican al problema tipo I y en general a cualquier solución de flexión. Depósito cilíndrico empotrado bajo carga hidrostática Se retoma ahora el primer ejemplo de la sección anterior. Se aplica compatibilidad para resolver el problema y se definen los desplazamientos y giros en la discontinuidad: δ10 :

Desplazamiento debido a solución de membrana

δ20 :

Giro debido a solución de membrana

δ11 :

Desplazamiento debido a solución de flexión con H0 = X1 = 1

δ21 :

Giro debido a solución de flexión H0 = X1 = 1.

δ12 = δ21 : Desplazamiento debido a solución de flexión M0 = X2 = 1 δ22 :

Giro debido a solución de flexión M0 = X2 = 1

con los signos de X1 y X2 son asumidos y para este caso son los dibujados en la Fig. 1.13 inferior. Los signos de δi0 serán positivos si concuerdan con los de los anteriores o negativos en caso contrario, independientemente de los de la solución de membrana perse. A su vez, δ12 y δ21 son iguales debidos al teorema de la reciprocidad, serán positivos si el desplazamiento producido por X1 tiene el mismo sentido que el producido por X2 , o alternativamente si el giro de X1 tiene el mismo signo que el de X2 . Finalmente los signos de δ11 y δ22 siempre son positivos ya que una vez definidos los sentidos de X1 y X2 , su desplazamiento y su giro, respectivamente, siempre son concordantes.

22

1.3 Cilindro axisimétrico

x

H a

δ20

II

I

0

δ11 δ21

δ10

δ22

δ12

Figura 1.13: Depósito con base empotrada (arriba) y soluciones de membrana, flexión I y flexión II.

Se debe satisfacer que el desplazamiento y el giro en en la sección empotrada de origen deben ser nulos: w(0) = 0, w′ (0) = 0. Estas dos condiciones definen dos ecuaciones de compatibilidad y el sistema:    δ11 X1 + δ12 X2 + δ10 = 0  

δ21 X1 + δ22 X2 + δ20 = 0



δ11 δ21

δ12 δ22



X1 X2



=−

  δ10 δ20

(1.39)

Debido a que se ha cambiado con respecto al problema resuelto en la solución de membrana el origen del eje x, las Ec. (1.14) se convierten en: w=

γa2 (H − x) ; Et

dw −γa2 = dx Et

(1.40)

El desplazamiento en x = 0 es claramente contrario al asumido de X1 , y el giro es a favor de X2 , por lo que los signos de δ10 y δ20 son negativo y positivo respectivamente: δ10 δ20

−γa2 H Et

= −|w(0)|

=

dw = + (0) dx

γa2 = Et

(1.41) 23

Capítulo 1. Láminas

Por otra parte los desplazamientos y giros de flexión vendrán dados por los dos problemas tipo, teniendo en cuenta que para que el sistema Ec. (1.39) tenga el sentido de “suma de desplazamientos igual a cero”, X1 y X2 deben ser iguales a la unidad. Ya que X1 tiende a cerrar el cilindro y X2 a abrirlo, δ12 es negativo. a3 ; 2Dλ3

δ11

=

δ21

a2 =− ; 2Dλ2

a2 2Dλ2

δ12

=−

δ22

a = Dλ

(1.42)

Sustituyendo en el sistema de ecuaciones obtenemos:  3 a a2 γa2 H   X − X − 1 2   2Dλ3 2Dλ2 Et  2   a γa2 − a X + X + 1 2 2Dλ2 Dλ Et

con solución: X1 =

2Dλ3 γ  a 2H − ; Eta λ

X2 =

=0 (1.43) =0

2Dλ2 γ  a H− Et λ

(1.44)

Para las distribuciones finales se deben superponer tres soluciones (membrana, flexión X1 y flexión X2 ) con los signos de cada una de ellas, no los modificados en la compatibilidad. Por ejemplo, se ha obtenido de la resolución del sistema un X1 positivo, lo que implica que la hipótesis de la Fig. 1.13 inferior central era correcta. Entonces, en las expresiones del Problema Tipo I Ec. (1.33) se debe introducir H0 = −X1 . En general, se deberán calcular las variables w, w′ , Nθ , Mx , Mθ y Qx ,. La solución membrana solo influye en las tres primeras. Las tensiones se calculan con las equivalencias dadas en el capítulo de placas, considerando Nx y Nθ como axiles. En general, y como en vigas o placas la contribución de Qx será despreciable. Como ejemplo de aplicación, considerar un depósito de altura 2,5, diámetro 7,2 y espesor 0,2 m. Si el material es hormigón armado con ν = 0, 1 se calcula λ4 = 5,6 y xc = 2 m, el primero un valor bajo y el segundo bastante alto, la mitad de la altura del depósito ya que la pared es muy gruesa. Como la expresión para X2 de

24

1.3 Cilindro axisimétrico

la Ec. (1.45) da un valor positivo, su signo coincide con el de la Fig. 1.13 que a su vez coincide con el de la Fig. 1.12, con lo que el momento en el empotramiento es: 2 M0

= +X2 =

= 8057

Et3   λ2 γ  a  2 · 0, 22 · 5, 62 3, 6 12(1 − ν 2 ) H− = 4, 5 − Et λ 12 · 0, 99 5, 6

N·m m

(1.45)

Este momento en general será máximo y decaerá a lo largo de xc de acuerdo con la Ec. (1.36) correspondiente. Depósito cilíndrico articulado bajo carga hidrostática A menudo es muy difícil empotrar el depósito en su base, por ejemplo porque la calidad mecánica del suelo es baja. Se puede entonces intentar articular esta base de forma que en la sección inferior no pueda haber momentos X2 = 0, y en esta situción no hay que compatibilizar giros. Manteniendo los signos de la Fig. 1.13, solo queda una ecuación de compatibilización δ11 X1 + δ10 = 0, con resultado: X1 =

γHλ3 t2 2γλ3 HD = Eta 6a (1 − ν 2 )

(1.46)

Ya que a/t es un número pequeño, esta solicitación es aproximadamente la mitad que la del caso anterior, disminución que es consecuencia de soportes menos rígidos. Por C.C., el momento M0 ≡ Mx (0) es nulo, pero en la pared del cilindro inmediata al apoyo aparecerán valores de Mx debido a X1 . Considerando que el X1 obtenido es positivo y de acuerdo con la Fig. 1.13, de la Ec. (1.33) correspondiente: λx (−X1 ) a − λx Mx (x) = e a sin ; λ a

dMx λx = −X1 e− a dx



 λx λx − sin =0 + cos a a (1.47)

La única forma que se cumpla la igualdad a cero ∀ x, es que el término en corchetes se anule: λx/a = π/4, con lo que el máximo momento es: γHλ2 t2 − π N·m X1 a − π e 4 =− e 4 = 4285 Mx |mx = − √ 6 (1 − ν 2 ) m 2 λ

(1.48)

25

Capítulo 1. Láminas

aproximadamente la mitad que el del depósito empotrado. Depósito cilíndrico con placa circular bajo carga hidrostática En la práctica los apoyos casi nunca pueden ser perfectamente empotrados o articulados. Se debe entonces intentar simular lo más fidedignamente posible la realidad, lo que se puede conseguir con una placa circular de radio a y cierto espesor, no necesariamente como el del cilindro. La siguiente figura describe el problema a resolver. I + II

0

X2 X1 p X1 X2 p Figura 1.14: Depósito con placa circular con base circular no rígida (arriba). Solución de membrana y flexión de placa con sus signos (abajo).

Para este caso la superposición de las tres soluciones: membrana, X1 y X2 deben conseguir que el desplazamiento y el giro entre cilindro y placa sean continuos, con valores incógnitas pero no nulos. De esta forma, δij y δi0 son definidos ahora como desplazamientos relativos (diferencias) entre cilindro y placa: p c δij = δij + δij ;

p c δi0 = δi0 + δi0

(1.49)

Cada coeficiente es positivo en las direcciones asumidas de los X1 y X2 correspondientes a su geometría. De esta forma, las dos ecuaciones del sistema de compatibilidad expresan que el sumatorio de las diferencias de movimientos de las tres soluciones es nulo. Nótese que si X1 y X2 han sido elegidos en un cierto sentido en el cilindro, en la placa deben necesariamente ser los contrarios, lo que influencia los signos de 26

1.3 Cilindro axisimétrico

membrana δi0 de las dos geometría. Las expresiones y signos del cilindro siguen siendo la del caso anterior, y considerando la igualdad 4Dλ4 = Eta2 : a3  2Dλ3  c δij =  −a2 2Dλ 

 −a2  2aλ 2Dλ  1   = a  Et −2λ2 Dλ

−2λ2 4λ3

 

(1.50)

En cuanto a la placa, sus desplazamientos de membrana serán nulos al no tener ninguna presión que los produzca: la proveniente de la presión de la columna de agua (hacia abajo) se compensa con la reacción del suelo (hacia arriba) y en todo caso no producen ningún desplazamiento radial ni giro en su borde externo. La placa se considera infinitamente rígida en su plano ya que se expande muy poco p bajo X1 también en el plano y δ11 = 0. Además, por simetría su borde externo no p se desplaza cuando se le aplica una circunferencia de momentos X2 por lo que δ21 p = δ12 = 0. Obviamente sí que girará por efecto de los momentos: este giro se puede calcular fácilmente con teoría de placas circulares si se sabe que la solución particular es nula ya que las posibles presiones ya se han tenido en cuenta en la solución de membrana. La placa contiene al centro, por lo que la solución homogénea es wh = A + Cr2 . Las constantes se calculan de las C.C. Qx (a) = 0 y Mr (a) = X2 , con resultado final: w(r) =

X2 (r2 − a2 ) 2Dp (1 + ν)

(1.51)

p El coeficiente de flexión no nulo es entonces δ22 = X2 /w′ (a) cuando X2 = 1, con p valor δ22 = a/[Dp (1 + ν)] donde Dp es la rigidez a flexión de la placa. Este valor es directamente positivo, con lo que se obtiene la siguiente solución:

a3  2Dλ3    −a2 2Dλ 

−a2 2Dλ a a + Dλ Dp (1 + ν)



     X1  γa2  H   ⇒ =  Et     X2 −1

X2 =

X2emp D λ 1+2 Dp 1 + ν

(1.52) donde si Dp → ∞, X2 = X2emp como en la segunda Ec. (1.45) y si Dp → 0, X2 = 0 como en el caso articulado.

27

Capítulo 1. Láminas

Soluciones de membrana y flexión para aro Ya que es un elemento que se usa a menudo en refuerzo de láminas, se desarrollan en este apartado las tres soluciones para un aro, que realmente es un cilindro de poca altura y espesor bastante más grande que el de una láminas aunque todavía moderado con respecto al radio. Para la solución de membrana, la Fig. 1.15 muestra el mencionado aro con sección rectangular b × t y radio medio a sometido únicamente a presión radial, que puede ser interna o externa sin afectar a la solución.

t pr

a b

Figura 1.15: Solución de membrana del aro.

Aunque se podría resolver fácilmente, no se considera el efecto de px ya que no provoca incompatibilidades en las soluciones de flexión, entonces Nx = 0. Por otra parte sí que aparece una solicitación circunferencial Nθ (por unidad de altura b = 1) y el correspondiente desplazamiento radial: Nθ = pr a = b t σθ = Et ǫθ = Et

w a

⇒

w=

Nθ a p r a2 = Et Et

(1.53)

La solución de flexión Tipo I se puede deducir directamente de esta solución de membrana, si se considera que X1 está aplicado en el centro de gravedad de la sección rectangular y que es equivalente a X1 = pr b. El desplazamiento radial que aparece se calcula directamente de la ecuación anterior: X1 2 a X 1 a2 w= b = Et EA

(1.54)

donde EA es la rigidez a axil de una viga curva. El aro no gira por la presión equivalente pr o su equivalente X1 , entonces δ12 = δ21 = 0.

28

1.3 Cilindro axisimétrico

La solución de flexión Tipo II se puede calcular con el giro producido por una circunferencia de momentos X2 aplicados sobre las secciones rayadas del aro según la Fig. 1.16. El giro correspondiente es: α=

X 2 a2 EI

(1.55)

donde EI es la rigidez a flexión de una viga curva. α

Figura 1.16: Giro en el aro

La solución de flexión del aro completa es entonces:  a a =  EA δij 0

 0 a  EI

(1.56)

29

Capítulo 1. Láminas

1.4

Cono axisimétrico

En esta sección se realizará el análisis de la solución de membrana de un cono, completo o truncado, bajo carga axisimétrica. Se partirá del equilibrio de fuerzas para poder obtener las ecuaciones que gobiernan esta la solución de membrana. Las de flexión se definirán como similares a las de una esfera, a desarrollar en la siguiente sección.

1.4.1

Solución de membrana

Las coordenadas son otra vez la circunferencial θ (correspondiente a la única curvatura) y la lineal s con origen el el vértice (real o geométrico para cono truncado) del cono y a lo largo del meridiano. Entonces, los esfuerzos son Nθ y Ns y se consideran posibles presiones pr (en realidad pr2 ) y ps en las mismas direcciones; en realidad pr está dispuesta en dirección r2 pero se abrevia su notación, ver Fig. 1.17 izquierda La inclinación del cono está definida por el ángulo constante α. El meridiano de esta lámina es una línea recta por lo que el centro de curvatura de la primera sección principal está en el infinito, r1 = ∞. Por otra parte, de la Fig. 1.17 izquierda se deducen las relaciones geométricas: r2

= s cot α ;

r = s cos α = r2 sin α

s+

s

(1.57)

Ns

ds

dθ

Nθ

r

pr w ∆

ps

r r2

u

pr

s O2

O2

ds Nθ

ps r + dr

α Ns +

dNs ds ds

Figura 1.17: Superficie cónica: geometría del cono y elemento diferencial; equilibrio de membrana (pr ≡ pr2 ).

30

1.4 Cono axisimétrico

La Fig. 1.17 derecha representa un elemento diferencial de la superficie del cono, con área dA ≈ ds(rdθ). La componente del meridiano en la cara curva inferior se desarrolla en: 

Ns +

dNs ds ds




dNs dNs rdsdθ + dsdrdθ r + dr dθ = Ns rdθ + Ns drdθ + ds ds (1.58)

El primer término del lado derecho se anulará con el de la cara curva superior, el último es despreciable al incluir un diferencial al cubo y los dos restantes se pueden agrupar en un solo término (ver la Ec. (1.59)). Nθ ds r Nθ dsdθ

r Nθ dsdθ

α dθ α

(Nθ dsdθ) sin α

(Nθ dsdθ) cos α O2

r + dr Nθ ds Figura 1.18: Proyección de fuerzas en un arco diferencial de longitud adθ y sobre el meridiano.

En la Fig. 1.18 izquierda se observa la proyección radial en r de Nθ exactamente igual a la del cilindro de la Fig. 1.4. Pero con las nuevas coordenadas esta proyección debe a su vez descomponerse en una solicitación en r2 y otra en s, como en la figura de la derecha P Con estas descomposiciones, el equilibrio de fuerzas en la dirección lineal, Fs = 0, se establece como: d (Ns rdθ)ds − Nθ dsdθ cos α + ps rdθds = 0 ds

⇒

(1.59)

′

(Ns r) − Nθ cos α = −ps r

31

Capítulo 1. Láminas

en donde se ha simplificado de todos los términos el producto de diferenciales dsdθ. P Por otra parte el equilibrio en la dirección radial es Fr2 = 0: −Nθ sin α dsdθ + pr dsdθ r = 0

⇒

Nθ =

pr r = pr r2 = pr s cot α sin α (1.60)

Sustituyendo el resultado de este último equilibrio en la Ec. (1.59) se obtiene (s Ns )′ = s pr cot α − s ps y de ambas:  Nθ      r2     Ns

= pr (1.61) 1 = s

Z

(pr cot α − ps ) s ds + C



Otra vez se puede observar que las solicitaciones circunferenciales se crean por el producto de la presión radial multiplicada por el radio de curvatura. Los desplazamientos de membrana se calculan a partir de las solicitaciones y a partir de los primeros las deformaciones. Aunque se han elegido como coordenada la lineal del meridiano, conviene para el sistema de compatibilidad expresar el desplazamiento en dirección horizontal r, y el giro como la variación del desplazamiento en dirección r2 : ∆ = w sin α + u cos α ;

χ=

dw ds

(1.62)

Los signos positivos de la solución de membrana son para ∆ “hacia afuera” en dirección positiva de r y para χ “abriéndose” en la dirección positiva de s (o la correspondiente x) según la Fig. 1.19

x

x

Figura 1.19: Criterio positivo de signos para solución de membrana de cono: izquierda desplazamiento, derecha giro.

32

1.4 Cono axisimétrico

Para conos las ecuaciones cinemáticas y constitutivas se pueden expresar como:  ∆   ǫ =   θ r

=

   ǫs = du ds

1 (Nθ − νNs ) Et

(1.63)

1 = (Ns − νNθ ) Et

con lo que ∆ puede calcularse directamente de Ns y Nθ . Para el cálculo del giro χ son necesarias varias transformaciones: ǫθ χ

w u w sin α u cos α + = tan α + r r s s   1 ǫθ du = ǫθ + s − tan α ds ds

⇒

=

=

1 Et tan α



(1 + ν) (Nθ − Ns ) + s

w tan α = s ǫθ − u


d Nθ − νNs ds

⇒

(1.64)

Radome bajo peso propio En este ejercicio se estudia un “radome” de forma cónica sometido a una presión vertical de valor p, según la Fig. 1.20. La base se considera apoyada en un aro y aunque no es muy realista en estructuras aeronáuticas, este aro es deslizante. Si esta presión es el peso propio de la estructura, p = ρ g, donde ρ es la densidad del material. s L

p sin α

p

α t

p

p cos α

α a

x

Figura 1.20: Radome sometido a presión exterior

33

Capítulo 1. Láminas

Se empieza por la solución de membrana del cono. Para ser coherentes con la formulación definida en la Fig. 1.17, la presión vertical se debe descomponer en dirección s y en dirección radial: (

pr = − p cos α ps = p sin α

(1.65)

Las solicitaciones se podrán calcular directamente a partir de las Ecs. (1.61): Ns Nθ

=−

p s

Z

s

0


C cot α cos α + sin α s ds + s

= −p r2 cos α

=−

ps C + 2 sin α s

(1.66)

= −p (s cot α) cos α

La constante de integración se calculará teniendo en cuenta que en el extremo superior, s = 0 y como consecuencia Ns tenderá a ∞. Dado que este valor no puede ser cierto, necesariamente C = 0. Se verifica entonces: Nθ − νNs =

ps (ν − 2 cos2 α) ; 2 sin α

Nθ − Ns =

ps (1 − 2 cos2 α) 2 sin α

(1.67)

y entonces el desplazamiento y el giro de la solución de membrana serán de las Ecs. (1.62) y (1.64):  −p s r  2 cos2 α − ν 2Et sin α h i −p s = 4 cos2 α − 1 − 2ν (1 − cos2 α) 2Et tan α sin α

∆ = χ

(1.68)

En general α < 45◦ y ν ≤ 0,3 con lo que las variables anteriores son negativas, lo cual es lógico ya que Nθ es negativo y tiende a reducir las circunferencias. Se estudia ahora el efecto de Ns sobre el aro (Nθ será en general discontinuo). En la Fig. 1.21 izquierda se dibuja una fuerza F de compresión sobre el cono, que será igual a la solicitación meridional en la base del cono. Por el principio de acción y reacción sobre el aro actuará otra fuerza de igual módulo y sentido contrario, que a su vez se puede proyectar en la dirección vertical y en r. Ns ≡ F = −

pL 2 sin α

donde L = a/ sin α es la longitud del meridiano del cono. 34

(1.69)

1.4 Cono axisimétrico

Para un radome de aeronave, la circunferencial de solicitaciones vertical se transmite a otras partes, con lo que F sin α puede estar soportada (a compresión) por el fuselaje mientras que F cos α estará soportada por el aro mismo. Pero obviamente mientras que el cono tiende a comprimirse el aro tiende a expanderse, por lo que existe una incompatibilidad de desplazamientos que se resolverá con la adición de soluciones de flexión.

F F

α

t

F sin α F cos α

b

Figura 1.21: Base de radome con aro deslizante en dirección radial.

La circunferencia de solicitaciones F cos α = pa/2 sin α se dibuja en la figura derecha, y tendrá una solución igual a la de la Fig. 1.15. El sistema de compatibilización a resolver es el de la Ec. (1.39). Ahora δ10 y δ20 son el desplazamiento y el giro de la solución de membrana particularizada en la base y constan de la suma (con su signo correspondiente) de los correspondientes al cono y al aro, aunque en este ejercicio esta última es nula ya que el aro no sufre presión. Igualmente, δ11 y δ21 son el desplazamiento y giro producidos por X1 = 1, y por último δ12 y δ22 son el desplazamiento y el giro de la solución X2 = 1, siendo también todos suma de dos partes. Las soluciones de flexión deben seguir los signos asumidos en la Fig. 1.22.

X2 X1 X1 X2 Figura 1.22: Compatibilización de radome con aro.

35

Capítulo 1. Láminas

Singularidades en cono A continuación se estudia con más detalle singularidades en s = 0. Para resolverla se considerará que no hay fuerzas de membrana aplicadas, con lo que pr y ps son nulas. La solución de membrana se superpone a posteriori. De la Ec. (1.61): Ns =

C s

(1.70)

α Ns

Ns x

Figura 1.23: Caso particular de singularidad: corte genérico en s

En la Fig. 1.23 se ha cortado el cono a una altura cualquiera que define una base de radio variable r. La solicitación Ns que el resto del cono ejerce sobre la parte cortada se descompone en componentes horizontales y verticales. La segunda tiene una expresión: 2πr



 C sin α = πC sin 2α s

(1.71)

Existen múltiples casos donde esta distribución vertical está equilibrando alguna fuerza vertical externa, como carga puntual V en el vértice (por ejemplo una columna de radio pequeño), o carga repartida q vertical (!no es una presión!) aplicada en una cierta circunferencia aq , según la Fig. 1.24. Para el primer caso: V = πC sin 2α

⇒

C=

V π sin 2α

(1.72)

y para carga circular se busca la resultante: Vq ≡ 2πaq q = π C sin 2α

36

⇒

C=

2 aq q sin 2α

(1.73)

1.4 Cono axisimétrico

q

aq

α

x Figura 1.24: Carga circular vertical de radio aq .

Cono bajo peso propio y sujeción en vértice Se repite el ejercicio anterior pero ahora con sujeción de columna en el vértice en vez de aro en la base, según la Fig. 1.25.

Figura 1.25: Radome bajo peso propio y sujeto en el centro por columna.

Las solicitaciones de membrana ya han sido calculadas en la Ec. (1.66). Nθ no varía pero para Ns hay que recalcular la constante ya que las C.C. son diferentes. En este caso Ns = 0 en s = L ya que es un borde libre: C=

pL2 2 sin α

(1.74)

El término de la integral de la primera Ec. (1.66) no tiene en cuenta ninguna C.C. sino solo las presiones, por lo que sustituyendo la constante obtenida, la solicitación completa es: Ns =

p L 2 − s2 2 sin α s

(1.75) 37

Capítulo 1. Láminas

Cuando s tiende a cero, es decir al vértice del cono, Ns tiende a infinito. Este es un resultado correcto ya que existe una fuerza puntual en dicho punto. Método de secciones Con un corte similar al de la Fig. 1.23, se puede directamente en algunos casos calcular las solicitaciones de membrana, aunque hay que disponer de las expresiones de área y/o volumen de la lámina que se está estudiando. Para un cono, el área es πrs y si es de pared delgada el peso total de la parte separada es W = pπrs. Igualando la fuerza P correspondiente a la proyección vertical de Ns en la sección de corte al peso total, Fx = 0: (Ns sin α) 2πr + p π r s = 0

⇒

Ns = −

ps 2 sin α

(1.76)

que es exactamente igual a la obtenida en la final de la Ec. (1.66). El método es más rápido ya que no requiere el desarrollo de integrales (ya están resueltas en el cálculo del peso) ni constante de integración. Solución de Flexión La solución de flexión de cono es demasiado complicada para los objetivos de estos apuntes, ciertamente más que la del cilindro y esfera.

a α≡φ ac a

ae

α≡φ

Figura 1.26: Equivalencia de solución de flexión entre cilindro y casquete esférico (izquierda) y cono y este casquete (derecha).

Pero se puede desarrollar una aproximación: como se demostrará en la Sección 1.5.2, los coeficientes de los dos problemas tipo para un cilindro y para una esfera son iguales, siempre que φ1 = 90◦ , es decir, que las tangentes en la sección de unión 38

1.4 Cono axisimétrico

sean iguales. Se pueden entonces calcular los coeficientes de un cono cualquiera (para borde superior o inferior) como los de un casquete esférico inscrito, ver Fig. 1.26. Para que la tangente sea igual, la geometría del casquete equivalente debe verificar: ae =

ac ; sin α

φ1 = α

(1.77)

donde ae es el radio de la esfera y ac el de la base del cono. Como aproximación válida cerca de la unión, se usarán las distribuciones de las solicitaciones de flexión correspondientes a una esfera, ver Ec. (1.123). Esta aproximación será en general buena si los espesores de las láminas son pequeños, es decir, si λ es grande ya que entonces las distribuciones serán no nulas solo muy cerca de la unión.

39

Capítulo 1. Láminas

1.5

Elipsoides axisimétricos

En esta sección, se estudiará la solución de membrana y flexión de láminas de revolución con curvatura doble, es decir aquellas en las que la curvatura gausiana es diferente de cero. Un aspecto importante del cálculo estas láminas es que tienen curvatura en dos direcciones diferentes, por lo que son especialmente efectivas desarrollando solicitaciones de membrana.

1.5.1

Solución de membrana

La geometría de la lámina viene dada por la rotación de un meridiano curvo, en general pero no exclusivamente un arco de círculo o una porción de elipse. Las coordenadas elegidas son esféricas: ángulo de posición en el meridiano φ y en el paralelo θ y de nuevo se usan el radio de paralelo r y el de meridiano r1 . El primer ángulo tiene su origen en el eje vertical y en la cima de la lámina, y como en el caso del cono pr en realidad debería ser pr2 o pr1 . Por otra parte pφ es de dirección variable y perpendicular a la tangente del meridiano para una posición φ dada.

Nφ pr

dθ Nθ

r

θ rdθ

φ

r

dθ

Nθ r + dr pφ

r2 r1

dNφ Nφ + dφ ds

(r + dr)dθ

r1 dφ

dφ Figura 1.27: Superficie elipsoidal: geometría y elemento diferencial; solicitaciones de membrana.

La solución de membrana de elipsoides de revolución se realizará calculando el equilibrio de un elemento diferencial de la lámina según la Fig. 1.27 derecha y siguiendo los mismos pasos que para cilindros y conos. La diferencia fundamental es que en esta geometría hay dos curvaturas, por lo que las proyecciones serán a lo largo de dos curvas diferentes. 40

1.5 Elipsoides axisimétricos

Como se verá en la Fig. 1.29, los límites del elipsoide están definidos por φ0 (abertura superior) y por φ1 (corte inferior). Si la lámina no está abierta por arriba como en la figura Fig. 1.27, φ0 = 0. De la Fig. 1.29 se deduce r = r2 sin φ. Esfuerzos En la Fig. 1.28 se han dibujado todas las proyecciones de los esfuerzos de membrana. Anulando todos los productos P de diferenciales que dan potencias cúbicas, el equilibrio en la dirección del radial Fr1 = 0 dará: −Nθ r1 dφdθ sin φ + pr (r1 dφ) (rdθ) − Nφ r dθdφ = 0

(1.78)

Con la simplificación de los diferenciales al cuadrado se obtiene directamente la segunda expresión de las Ecs. (1.81). Nφ r1 dθ r Nθ r1 dφdθ dθ

Nφ r1 dθ

Nθ r1 dφdθ

Nφ rdθ

Nφ r1 dφdθ cos φ r1

r1 Nφ rdφdθ

dφ

dφ

Nθ r1 dφdθ sin φ   dNφ dφ (r + dr)dθ Nφ + ds

Figura 1.28: Proyección de fuerzas en dos arcos diferenciales, sobre paralelo (superior) y meridiano (inferior).

41

Capítulo 1. Láminas

Considerando la expansiónP de la Ec. (1.58) aunque cambiando Ns por Nφ , el equilibrio en esta dirección Fφ = 0 es: d (Nφ r) dθdφ − Nθ r1 dφdθ cos φ + pφ (r1 dφ) (rdθ) = 0 dφ

(1.79)

Otra vez se puede simplificar el producto dφdθ; substituyendo en esta ecuación la expresión de Nθ despejada de la anterior, y multiplicando por sen φ ambos lados:
d Nφ r2 sin2 φ = (pr cos φ − pφ sin φ) r1 r2 sin φ dφ

(1.80)

Integrando, las fuerzas de membrana actuantes en la lámina son:    Nφ   

=

   N N   φ+ θ r1 r2

1 r2 sin2 φ

Z

(pr cos φ − pφ sin φ) r1 r2 sin φ dφ + C1



= pr (1.81)

La constante C1 debe calcularse de C.C. en uno de los bordes φ0 o φ1 , o evitando singularidades donde sea necesario. Para aplicar el valor de la constante directamente, o forma de resolver el valor del esfuerzo Nφ es realizar la integral de la Ec. (1.80) entre los límites del elipsoide: Z h iφ Nφ r2 sin2 φ = φ0

φ

φ0


pr cos φ − pφ sin φ r1 r2 sin φ dφ

(1.82)

Ecuaciones cinemática y constitutiva Se desarrollan a continuación las expresiones de los desplazamientos de membrana. Será necesario plantear las ecuaciones cinemáticas y constitutivas a fin de obtener una relación entre las solicitaciones que soporta la lámina (calculados anteriormente) y los correspondientes desplazamientos. Como se hizo para conos, en la Fig. 1.29 se representa la suma vectorial de los desplazamientos w y v, el primero en la dirección del radio r1 del meridiano y en el segundo en la tangencial perpendicular, con su composición ∆ en la dirección horizontal r del paralelo. El desplazamiento u en dirección circunferencial es nulo

42

1.5 Elipsoides axisimétricos

por axisimetría y de la figura r2 = r sin φ. La deformación circunferencial es similar a la desarrollada en la Ec. (1.62): ǫθ =

v cot φ + w 2π(w sin φ + v cos φ) = 2πr r2

(1.83)

Los soportes deslizantes articulados en la base de la lámina permiten que la solución de membrana sea válida en la mayor parte del elipsoide, al no aparecer incompatibilidad de desplazamientos. φ = φ0

w r

w sin φ + v cos φ v

r2

φ

φ = φ1 O2

r1

O1

Figura 1.29: Desplazamientos de membrana en elipsoide truncado en bordes superior e inferior.

Por otra parte en la Fig. 1.30 se representa la elongación de un diferencial r1 dφ del meridiano debido a los dos desplazamientos: en la figura izquierda el v por presiones o solicitaciones tipo pφ y en la de la derecha por pr . La deformación en esta dirección es: dv dv dφ + w dφ +w dφ dφ ǫφ = = r1 dφ r1

(1.84)

Las ecuaciones constitutivas para una lámina de doble curvatura son similares a las de las geometrías anteriores: ǫφ =

1 (Nφ − νNθ ) ; Et

ǫθ =

1 (Nθ − νNφ ) Et

(1.85)

43

Capítulo 1. Láminas

w v r1

r1

(r1 + w)dφ

r1 dφ

r1 dφ dφ

dφ

O1

O1

dv v+ dφ dφ

w

Figura 1.30: Elongación de un elemento diferencial del meridiano debido a desplazamiento en su dirección (izquierda) y a aumento de longitud de curva (derecha).

Los desplazamientos se despejan a partir de estas deformaciones que son funciones de las ya calculadas Nφ y Nθ . Multiplicando la Ec. (1.84) por r1 /r2 y restando la Ec. (1.83): dv − v cot φ r1 dφ ǫφ − ǫθ = r2 r2

(1.86)

y ahora multiplicando el resultado por r2 csc φ: r2 sin φ



r1 ǫφ − ǫθ r2



=

dv csc φ − v cot φ csc φ dφ

(1.87)

La expresión de de la ecuación se denota como f1 (φ) y la de la derecha  la izquierda  d v es igual a , de forma que: dφ sin φ Z v = sin φ f1 (φ) dφ + C2 sin φ (1.88)

w

= r2 ǫθ − cos φ

Z

f1 (φ) dφ − C2 cos φ

Para la segunda ecuación se ha despejado la expresión de w en la Ec. (1.83). La constante C2 se debe obtener de de C.C. en el borde que no se haya usado en la Ec. (1.81). En la práctica las integrales anteriores pueden ser difíciles de calcular y además los desplazamientos en la dirección de φ y de r1 no son útiles para resolver el problema de compatibilización. Es entonces más oportuno usar el desplazamiento 44

1.5 Elipsoides axisimétricos

combinado ∆ = w sin φ + v cos φ horizontal de la Fig. 1.29 y un giro χ para satisfacer compatibilidad de giros. El primero es fácil de calcular partiendo de la segunda Ec. (1.85): ∆ = r ǫθ =


r Nθ − νNφ Et

(1.89)

A

w χm

A

A v

dw dφ w+ dφ

r1 dφ r1

B

r1 ≈ r1

dφ O1

v r1

Figura 1.31: Giro de membrana del elipsoide: contribución por giro del meridiano (izquierda) y por cambio de tangente producido por desplazamiento v (derecha).

El segundo, que representa el giro χ, tiene dos partes como en el cálculo de ǫφ anterior. El primero es la tangente de la variación del desplazamiento radial w en un arco diferencial r1 dφ entre los puntos A y B de la Fig. 1.31 izquierda:

tan χ

m

≈χ

m

dw dφ dw 1 dφ = ≈ r1 dφ dφ r1

(1.90)

La segunda contribución proviene de la disminución de tangente entre los dos puntos según la Fig. (1.31) derecha: cuando un punto A se desplaza una magnitud v en la dirección de φ, esta disminución es el ángulo comprendido χt = −v/r1 (la tangente disminuye con φ positiva). El giro total es la superposición de ambos: dw −v dφ χ = χm + χt = r1

(1.91) 45

Capítulo 1. Láminas

Este giro será positivo en el sentido de las agujas del reloj en el meridiano izquierdo, o equivalentemente, si “abre” la lámina en la dirección positiva de φ. De la diferenciación de la segunda Ec. (1.88) se obtiene: dǫθ dr2 dw = ǫθ + r2 − f1 (φ) cos φ + sin φ dφ dφ dφ

Z

(1.92)

f1 (φ)dφ + C2 sin φ

Se puede apreciar que los últimos dos términos son iguales a v de la misma ecuación, lo que simplifica el denominador de la Ec. (1.91); substituyendo en esta la expresión de f1 y de ǫθ de la Ec. (1.85) y de v de la Ec. (1.88): χ=

  dǫθ r2 r2 dr2 ǫθ − − cot φ ǫφ − ǫθ dφ r1 dφ r1 r1

(1.93)

Particularizando las Ecs. (1.89) y Ec. (1.93) para esfera, r1 = r2 = a, y usando las constitutivas Ecs. (1.85) la formulación se simplifica:  Et ∆ = a sin φ (Nθ − νNφ )       Et χ

=

(1.94)

dNφ dNθ −ν + cot φ (1 + ν) (Nθ − Nφ ) dφ dφ

Cúpula esférica bajo peso propio Se desarrolla el problema de una semiesfera bajo peso propio p = ρg, similar al problema resuelto para un cono, ver Ec. (1.65) substituyendo el ángulo α por φ y asignando el radio constante r1 = r2 = a. Para esta cúpula φ0 = 0 y φ1 = π/2. -1/2

-1/2

r

p sin φ

p cos φ p

φ 52◦

a -1

1

Figura 1.32: Cúpula esférica completa φ0 = 0, φ1 = 90◦ bajo peso propio. Distribución de Nφ (izquierda) y Nθ (derecha) multiplicadas por el factor pa.

46

1.5 Elipsoides axisimétricos

Considerando las proyecciones del peso propio de la Fig. 1.20 y la primera Ec. (1.81), la solicitación meridional es: Nφ

=

pa sin2 φ

Z

−(cos2 φ + sin2 φ) sin φ dφ +

C1 a sin2 φ (1.95)

pa2 cos φ + C1 = a sin2 φ

Para encontrar la constante de integración hay que tener en cuenta que en la Ec. (1.95) para φ = 0 calcula una solicitación ∞; para evitarlo la constante de integración debe valer C1 = −pa2 , con lo cual: Nφ = −pa



1 − cos φ sin2 φ



(1.96)

Utilizando la regla de L’Hôpital, se comprueba con un límite el valor de Nφ cuando φ tiende a valor nulo. lim Nφ = lim

φ→0

φ→0

−pa −pa sin φ = 2 sin φ cos φ 2

(1.97)

que no es ∞ pero que es máximo. Con la expresión sin2 φ = (1 − cos φ)(1 + cos φ) se puede simplificar la ecuación Nφ . La expresión de Nθ se despeja de la segunda Ec. (1.81):   Nφ        Nθ

=−

pa 1 + cos φ (1.98)

 = −pa cos φ −

1 1 + cos φ



Si se usa la Ec. (1.82) con límites de integración se obtiene el mismo resultado de forma más directa: Nφ a sin2 φ − Nφ a sin 0 = pa

Z

φ

sin φ dφ

φ0

⇒ (1.99)

iφ pa h pa Nφ = − 2 − cos φ = − 1 + cos2 φ 0 sin φ En cúpulas de piedra o hormigón las zonas de tracción sufren problemas de rotura, pues estos materiales no resisten bien estas solicitaciones; por ello se suele diseñar 47

Capítulo 1. Láminas

la cúpula con un “corte” en la zona de tracción. Para esferas de pared delgada (por ej. de aluminio aeronáutico) interesa justo lo contrario: evitar zonas de compresión y posible pandeo, lo cual no es posible según las distribuciones de la Fig. 1.32. Se considera ahora un caso práctico para una cúpula de espesor constante 0,0833 m, φ1 = 30◦ , radio a = 20 m y peso propio p = 200 kg/m2 con ν ≈ 0, valores que aproximadamente corresponde a material hormigón armado; el radio en la base es rφ1 = 10 m. Aunque esta lámina no es igual que la calculada anteriormente (no es semiesfera completa y tiene un aro en la base), se puede aplicar su solución ya que la C.C. se aplicó en la cúspide y la variable φ era genérica. 0.0833

rφ1 ∆e

φ1 10

20

χe

10

Nφ Nφ sin φ1 Nφ cos φ1 0.33 0.5 Figura 1.33: Cúpula esférica con aro, unidades SI. Deformada de membrana en línea discontinua.

De las Ec. (1.98), las solicitaciones en N/m, ambas de compresión, son: Nφ

=−

2000 · 20 1 + cos φ

⇒

N φ1

= −2, 1 × 104 (1.100)

Nθ

48

= −2000 · 20



1 cos φ − 1 + cos φ



⇒

Nθ1

= −1, 3 × 104

1.5 Elipsoides axisimétricos

y de las Ec. (1.94) el desplazamiento y giro en N/m y N/m2 respectivamente: Et ∆e = −8 × 105 sin φ Et χe = 4 × 104



 cos φ −

sin φ +

1 1 + cos φ



⇒

E∆φ1 = −2, 75 × 105

   sin φ 2 − cot φ cos φ − (1 + cos φ)2 1 + cos φ ⇒

Eχφ1 =

4, 57 × 105 (1.101)

El desplazamiento es negativo (hacia adentro, cerrándose la cúpula) pero el giro es positivo, implicando que este desplazamiento aumenta conforme aumenta φ. Como se puede ver en la Fig. 1.33, la solicitación Nφ1 de compresión puede descomponerse en otras dos: una vertical Nφ1 sin φ1 hacia arriba que en general será soportada por los soportes o por otra lámina contigua y una horizontal Nφ1 cos φ1 en sentido negativo de r que causa deformaciones y tensiones elevadas sobre la lámina. Para aguantar esta última, se suele disponer un aro, que en este caso es de sección rectangular con base b = 0,5 m y altura t = 0,333 m. La solución de flexión es igual a la descrita en la Ec. (1.54) sin más que sustituir X1 por Nφ1 cos φ1 (con el mismo signo en este caso): E∆a =

−2, 1 × 104 · cos 30 · 10 = 1, 1 × 106 0, 5 · 0,333

(1.102)

Esta circunferencia de solicitaciones no produce giro por la axisimetría, Eχa = 0. Obviamente estos dos desplazamientos son diferentes a los de la esfera en la Ec. (1.101) por lo que existe una incompatibilidad entre cúpula y aro. La solución de flexión se encarga de compatibilizar estos desplazamientos, es decir, una corona de solicitaciones fuerza X1 y otra de momentos X2 conseguirá que sean iguales en cúpula y aro. Hace falta entonces desarrollar expresiones para desplazamientos de flexión debidos a estas dos solicitaciones, lo que se hará en la siguiente sección.

49

Capítulo 1. Láminas

Cúpula semiesférica bajo carga aerodinámica. La esfera anterior se vuelve a analizar pero ahora bajo carga aerodinámica simplificada a uniforme q (también llamada en construcción “de nieve”) con unidades N/m2 sobre la proyección de la esfera según la Fig. 1.34. Se intenta en primer lugar encontrar una equivalencia entre este tipo de presión y la de peso propio, ya que esta es muy fácil de descomponer en las direcciones r1 y φ. Imaginándose un diferencial de meridiano a dφ con radio r, la porción de q que actúa sobre su “aro” proyectado es (2πr) q (adφ) cos φ. Igualando esta expresión a la de un peso propio equivalente peq : (2πr) q (adφ) cos φ = (2πr) peq (adφ)

q

⇒

-1

(1.103)

peq = q cos φ

-1/2

a 45◦ 1/2 Figura 1.34: Cúpula esférica completa φ0 = 0, φ1 = 90◦ bajo carga aeordinámica (o carga de nieve). Distribución de Nφ (izquierda) y Nθ (derecha) multiplicadas por qa/2.

Descomponiendo ahora este peso equivalente en las coordenadas elegidas: (

= −q cos2 φ = q sin φ cos φ

pr pφ

(1.104)

Los esfuerzos sobre la cúpula se calculan a partir de las Ec. (1.81) y (1.82), considerando que φ0 = 0:
Nφ a sin2 φ − 0 = −q a2

50

Z

0

φ

(cos3 φ + cos φ sin2 φ) sin φ dφ

⇒

(1.105)

1.5 Elipsoides axisimétricos

   Nφ   

=

−q a2 sin2 φ

Z

φ 0

qa sin 2φ dφ = − 2 2 (1.106)

  Nφ a = pr − a

     Nθ

qa =− cos 2φ 2

con distribuciones dibujadas en la Fig. 1.34. De esta figura se deduce que Nθ genera tensión en la lámina para valores de φ > 45◦ por lo que hay que reforzar hormigón en esa área; también, que Nφ es constante. Singularidades Además de a presiones repartidas pr y pφ , un elipsoide puede estar sometido a otras cargas externas que también producen esfuerzos de membrana. Por ejemplo, considerar en el vértice superior de la cúpula de la Fig. 1.35 una fuerza puntual V y ninguna presión. Necesariamente esta fuerza está equilibrada por la componente vertical Nφ sin φ en el corte de la lámina definido por un radio cualquiera r. De la primera Ec. (1.81): Nφ =

C1 r2 sin2 φ

⇒

V = 2πr Nφ sin φ = 2πC1

(1.107)

V

r r2

φ

Nφ sin φ

O2 r1

O1 Figura 1.35: Equilibrio de elipsoide con fuerza singular en vértice superior.

El valor de la constante es entonces simplemente C1 = V /2π. Esta solución se debe superponer a las producidas por pφ y pr , aunque en éstas ya no se calcula la constante y debe tenerse en cuenta que la solución final debe ser singular en φ = 0 debido a la aplicación de una fuerza puntual. 51

Capítulo 1. Láminas

Como en el ejercicio desarrollado para conos, a fuerza V puede provenir de una columna de radio pequeño, de una circunferencia de fuerzas acción o reacción etc. Cúpula semiesférica bajo peso propio y circunferencia fuerzas en abertura superior Se plantea la resolución de una cúpula φ1 = π/2 con un aro en su parte superior, que por ejemplo puede proceder del peso de una “linterna” (para permitir el paso de luz en edificios) o cilindro superpuesto a la cúpula propiamente dicha. P r0

a

φ0

p

Figura 1.36: Cúpula esférica con ventana superior protegida por aro, bajo carga circunferencial P y peso propio p.

Se calcula primero la solución i de peso propio, que se descompone en las coordenadas de estudio como en la Ec. (1.65): pφ = p sin φ, pr = −p cos φ. Aplicando directamente la Ec. (1.82) entre el inicio de la cúpula φ0 y un punto cualquiera del meridiano φ: Z h iφ Nφi a sin2 φ = −pa2 φ0

φ φ0


sin φ dφ = −pa2 cos φ0 − cos φ

⇒ (1.108)

cos φ0 − cos φ Nφi = −pa sin2 φ donde se ha aplicado la C.C. Nφ0 = 0 (para este caso no hay fuerza vertical en borde superior) por lo que no ha hecho falta calcular la constante de integración explícitamente.

52

1.5 Elipsoides axisimétricos

Se calcula a continuación la solicitación Nφii que produce la carga circunferencial P aplicada en el aro superior, que no es más que la fracción Ec. (1.107) derecha con V = −2πr0 P (el signo – es por la diferencia de direcciones entre P y V ): C1 =

−2πr0 P = −r0 P 2π

⇒

Nφii = −

P r0 P sin φ0 =− 2 a sin φ sin2 φ

(1.109)

donde se ha aplicado r0 = a sin φ0 . Superponiendo ambas soluciones: Nφ

Nθ

sin φ0 cos φ0 − cos φ −P sin2 φ sin2 φ   sin φ cos φ0 − cos φ +P = −pa cos φ − 2 sin φ sin2 φ = −pa

(1.110)

El efecto de P se puede estudiar buscando equivalencia a esta fuerza por otras dos: la componente inclinada P/ sin φ0 puede ser resistida fácilmente por membrana, pero la horizontal P cot φ0 no, por lo que se debe disponer un aro que la resista. Esta última produce un desplazamiento en dirección r0 que será tenido en cuenta automáticamente en el sistema solución de flexión. P cot φ0 P sin φ0

P

φ0

Figura 1.37: Efecto de fuerza circunferencial P sobre membrana y sobre aro.

53

Capítulo 1. Láminas

Tapa recipiente elipsoidal a presión

ds

r dr

r2

p

φ

r1 dφ Figura 1.38: Tapa de recipiente a presión de forma elipsoidal.

La solución de membrana de estas estructuras es especialmente sencilla ya que su peso propio suele ser despreciable con respecto a pr ≡ p, con lo que pφ = 0. Además tienen que ser cerrados, y entonces φ0 = 0. Usando el cambio de variable r = r2 sin φ, de la Fig. 1.38 se deduce dr = ds dφ = r1 dφ cos φ con lo que se precalcula el integrando de Nφ :
sin φ cos φ r1 dφ r2 = sin φ dr

r = r dr sin φ

(1.111)

El esfuerzo de membrana meridional puede ser ahora fácilmente desarrollado: Nφ

= =

Nθ

54

p r2 sin2 φ

Z

φ

sin φ cos φ r1 r2 dφ =

0

p r2 sin2 φ

Z

0

r

r dr =

p r2 2 r2 sin2 φ

p r2 2

  r2 = p r2 1 − 2r1

(1.112)

1.5 Elipsoides axisimétricos

Recipiente a presión cilíndrico-esférico Se estudia la solución de membrana de un recipiente a presión formado por un cilindro de longitud grande y de dos semiesferas que actúan de tapas, según dibujo de la Fig. 1.39. La única presión es otra vez pr = p, perpendicular a los meridianos.

p

Figura 1.39: Recipiente cilíndrico-esférico bajo presión. Desplazamiento por membrana línea discontinua.

Las solicitaciones de membrana del cilindro y de la esfera, directamente de las Ecs. (1.81) son: Nφe = Nθe = Nθc

pa 2

=pa;

Nxc

pa = 2

(1.113)

que para la esfera son un caso particular de las más generales Ecs. (1.112). Debido a la perpendicularidad de la presión a las paredes de las láminas, la condición de simetría establece que los giros en depósito y esfera para la sección de unión serán χc = χe = 0. Los desplazamientos radiales (de los paralelos) en esta unión se calculan también directamente de las Ecs. (1.8) y (1.94) a (Nθc − νNxc ) Etc

∆c

=

∆e

a sin 90◦ = (Nθe − νNxe ) Ete

=

pa2 (2 − ν) 2Etc

(1.114)

pa2 = (1 − ν) 2Ete

Obviamente ∆c > ∆e si el material y espesor son iguales: será necesario incorporar la solución de flexión para compatibilizar los desplazamientos de membrana. Será 55

Capítulo 1. Láminas

también conveniente disponer un aro entre las dos láminas para resistir las fuerzas de flexión; a menudo este aro lo forma la soldadura entre las láminas. Una posibilidad de eliminar esta incompatibilidad es que ambas láminas, aunque sean del mismo material, tengan diferentes espesores. De la ecuación anterior, 2−ν tc = ≈ 2, 42 para material acero. te 1−ν En los libros de Resistencia de Materiales los resultados de solicitaciones (¡no los de desplazamiento!) se deducen sin la necesidad de las complicadas ecuaciones de láminas, simplemente invocando equilibrio de fuerzas. Nxc p

p

Nθc Figura 1.40: Recipiente a presión: equilibrio en el cilindro.

En la Fig. 1.40 se muestran dos cortes al recipiente, el de la izquierda en un plano r−θ y el de la derecha en el x−r que contienen al eje de axisimetría. La forma de la tapa no tiene relevancia para el cálculo de esfuerzos ya que lo que se considerará es la resultante de la presión sobre ella. Del equilibrio del primer corte y considerando que p actúa sobre el área de la tapa y Nxc sobre la circunferencia cortada: 2πa Nxc = π a2 p

⇒

Nxc =

pa 2

(1.115)

En el segundo, Nθc actúa sobre dos meridianos del cilindro con longitud L, y p sobre un rectángulo proyección del semicilindro: 2 Nθc L = 2 p a L

⇒

Nθc = p a

exactamente igual que en la segunda de las Ecs. (1.113).

56

(1.116)

1.5 Elipsoides axisimétricos

1.5.2

Solución de flexión

A continuación se desarrolla la solución de flexión para láminas de revolución con doble curvatura, pero exclusivamente para esferas de radio a. Se presentarán dos problemas tipo que habrá que resolver, y será necesario aplicar las ecuaciones de equilibrio, cinemática y constitutivas. Mφ

Nφ dθ

Qφ r

Nθ Mθ

Nθ Mθ

Mφ +

dMφ dφ dφ

Qφ + Nφ +

r + dr

dQφ dφ dφ

dNφ dφ ds

Figura 1.41: Superficie esférica: elemento diferencial y solicitaciones de flexión.

En la Fig. 1.41 se representan sobre un elemento diferencial las solicitaciones correspondientes. Los cortantes Qφ están dirigidos hacia el centro de curvatura O1 del meridiano, ver Fig. 1.42. Como para todas las geometrías anteriores, en la dirección circunferencial las solicitaciones son constantes, pero en la meridional se incrementan con series de Taylor.

φ

Nφ

Qφ

r r2 O2

Figura 1.42: Sentido solicitaciones de lámina en plano r1 − φ.

57

Capítulo 1. Láminas

Ecuaciones de equilibrio Mediante proyecciones de vectores pero sin demostración, las tres ecuaciones de equilibrio de la lámina que incluyen cinco incógnitas son:  Nφ = −Qφ cot φ        

 d Qφ sin φ =− Nφ + Nθ sin φ dφ        d
  Mφ sin φ − Mθ cos φ = a Qφ sin φ dφ

(1.117)

Ecuaciones cinemáticas Obviando también aquí el desarrollo, las cinco ecuaciones cinemáticas son:   a ǫφ        

a κφ          a κθ

=

dv +w ; dφ

a ǫθ

= v cot φ + w

=

dχ ; dx

aχ

=

dw −v dφ

(1.118)

= χ cot φ

donde los desplazamientos v, w, el giro del meridiano χ, las deformaciones ǫφ , ǫθ y las curvaturas κφ , κθ tienen el mismo significado que en las secciones anteriores e introducen siete incógnitas adicionales. Ecuaciones constitutivas Las ecuaciones constitutivas de la esfera se formulan de forma inversa a las anteriores, con las solicitaciones como variable independiente. Añadiendo también las relaciones momento-curvatura :     Nφ   

Mφ

=

12D (ǫφ + νǫθ ) ; t

= D (ǫφ + νǫθ ) ;

Nθ Mθ

=

12D (ǫθ + νǫφ ) t

(1.119)

= D (ǫθ + νǫφ )

donde la rigidez a flexión de placas D se vuelve a usar y ninguna incógnita adicional se ha introducido. 58

1.5 Elipsoides axisimétricos

El conjunto de estas doce ecuaciones con doce incógnitas es difícil de resolver, por lo que se busca la ecuación diferencial en función, esta vez, del cortante. Operando: 4 QIV φ + 4 λ Qφ = 0

(1.120)

donde el exponente IV implica cuarta derivada con respecto a φ y λ fue definido en la segunda Ec. (1.27). Como la solución de flexión va a ser usada en compatibilización de movimientos en los bordes inferior y/o superior, se definen dos nuevas coordenadas angulares en estos bordes y los cambios de origen: β1 = φ1 −φ, β2 = φ−φ0 , según la Fig. 1.43. β2

φ0 β1 φ φ1

Figura 1.43: Definición coordenadas curvilíneas en elipsoide con abertura inferior y superior.

La solución de la Ec. (1.120) es igual en forma a la del cilindro Ec. (1.30):

Qφ = e−λβ1 C1 cos λβ1 + C2 sin λβ2 + e−λβ2 C3 cos λβ2 + C4 sin λβ2 (1.121) Ya que para láminas delgadas de interés en estructuras aeronáuticas λ ≫ 1, y la solución solo será no nula cerca de β1 (cuando las fuerzas están aplicadas solo en ese borde), la ecuación anterior se reduce con solo dos constantes equivalentes C, ψ a calcular de las C.C. del borde inferior: Qφ = C e−λβ1 sin(λβ1 + ψ)

(1.122)

59

Capítulo 1. Láminas

Esta solución se puede insertar en las ecuaciones anteriores para dar la solución completa: −C e−λβ1 sin(λβ1 + ψ) cot φ

Nφ

=

Nθ

=

Mφ

=

Mθ

=

ν Mφ

Qφ

=

C e−λβ1 sin(λβ1 + ψ)

χ

=

C

∆

=

a sin φ Nθ Et

√

 π 2 e−λβ1 sin λβ1 + ψ − 4  π a e−λβ1 sin λβ1 + ψ + −C √ 4 2λ −C λ

(1.123)

2λ2 −λβ1 cos(λβ1 + ψ) e Et

Como se hizo para cilindros, se desarrolla ahora la solución de dos problemas tipo. Problema Tipo I

a φ1 φ1

Qφ H0

Figura 1.44: Problema Tipo I: esfera sometida a circunferencia de cortantes horizontales H0 en su borde inferior. Signo positivo de Qφ en borde de φ mayor.

60

1.5 Elipsoides axisimétricos

El primer problema tipo es una esfera general (no necesariamente de φ1 = π/2) con circunferencia de fuerzas por unidad de radián H0 aplicadas en β1 = 0. La solución se obtiene imponiendo las siguientes C.C. en la Ec. (1.122): π 4 √ ⇒ C = 2 H0 sin φ1

Mφ = 0

⇒ ψ=−

Qφ = −H0 sin φ1

(1.124)

Como se ha comentado, Qφ está dirigida en dirección r1 , por lo que la igualdad debe ser con la proyección en r1 de H0 . Además, según el criterio de signos de la Fig. 1.41, el cortante positivo en φ mayor es hacia adentro y no hacia afuera como el H0 asumido, de ahí el signo negativo incluido. De las Ecs. (1.123): ∆ χ

a sin φ Nθ Et √  π 2 2 λ2 sin φ1 H0 e−λβ1 cos λβ1 − = Et 4

=

(1.125)

y particularizando en el borde inferior: ∆ β

1 =0

=

2aλ sin2 φ1 H0 ; Et

χ β

1 =0

=

2λ2 sin φ1 H0 Et

(1.126)

Ambos son positivos, por lo que en β1 = 0 la lámina se abre y ∆ se incrementa con φ. Problema Tipo II

a

M0

φ1

Figura 1.45: Problema Tipo II: esfera sometida a circunferencia de momentos positivos M0 en su borde inferior.

61

Capítulo 1. Láminas

El segundo problema tipo es una esfera general con circunferencia de momentos por unidad de radián M0 aplicados en β1 = 0, positivos en φ mayor según la Fig. 1.43. La solución se obtiene imponiendo las siguientes C.C. en la Ec. (1.122): Mφ = M0

⇒ C=

Qφ = 0

2λM0 a

(1.127)

⇒ ψ=0

De la Ec. (1.123): ∆ =

a sin φ Nθ Et

(1.128)

4 λ3 M0 e−λβ1 cos(λβ1 ) = Eta

χ

y particularizando en el borde inferior: ∆ β

1 =0

=

2λ2 M0 sin φ1 ; Et

χ β

1 =0

=

4λ3 M0 Eta

(1.129)

Como en el tipo I, ambos son positivos. Cúpula esférica bajo peso propio Se retoma ahora el primer ejercicio de la sección anterior. Conocidos los esfuerzos y desplazamientos de membrana que se producen en la esfera, es posible establecer y resolver el sistema de compatibilidad entre la esfera y el aro. A falta de definir los signos:  e a e a e a  (δ11 + δ11 ) X1 + (δ12 + δ12 ) X2 + (δ10 + δ10 ) = 0  

e (δ21

+

a δ21 )

X1 +

e (δ22

+

a δ22 )

X2 +

e (δ20

+

a δ20 )

(1.130)

=0

La constante de lámina es con ν = 0 un valor medio: λ4 = 3

 a 2 t

=3



20 0,083

2

⇒

Se empieza con la asignación de signos a X1 y X2 : 62

λ = 20,4

(1.131)

1.5 Elipsoides axisimétricos

X1

X2

Figura 1.46: Solicitaciones de flexión para compatibilización. Signos asumidos y movimientos previstos.

Las soluciones de los problemas tipo I y tipo II de esfera, Ecs. (1.126) y (1.129) con H0 = M0 = 1 proporcionan los coeficientes:

e δij =



aλ sin φ1

2   Et −λ2 sin φ1

−λ2 sin φ1

  

2λ3 a

⇒



 −1663 e  (1.132) Eδij = −1663 2260 2447

Nótese que los términos fuera de la diagonal son negativos: el giro producido por X1 es contrario al producido por X2 , o equivalentemente, el desplazamiento producido por X2 es contrario al de X1 , ver Fig. 1.46. El peso propio de membrana de la cúpula provocaba una deformada según la Fig. 1.33 superior, y sus valores están listados en la Ec. (1.101). Los signos de los desplazamientos de membrana son contrarios al asumido para X1 tanto en lámina como en aro, por lo que, solo para el sistema de compatibilización, los hallados anteriormente se ignoran y directamente se les asigna un menos: E∆e1 = −1,57 · 105 E∆a1 = −1,1 · 106



→

Eδ10 = −1,257 · 106

(1.133)

Por otra parte el giro de membrana de la esfera también es contrario al producido por X2 : Eχe1 = −4,75 · 105 Eχa1 = 0



→

Eδ20 = −4,75 · 105

(1.134)

63

Capítulo 1. Láminas

La solución de membrana del aro fue desarrollada en la Ec. (1.53) y la de flexión en la Ec. (1.56). Para sección rectangular, se calcula A = 0,5 · 0,333 = 0,166 m2 e I = 0,5 · 0,3333 /12 = 1,54 × 10−3 m4 . a Eδij

1  102 =  0,166 0 

0 1 1,54 × 10



  600 0    = 0 7200 −3

(1.135)

La matriz de coeficientes es la suma de las anteriores: Eδij =

e Eδij

+

a Eδij



 3047 −1663 = −1663 9460

(1.136)

y el sistema a resolver es:  6  3047 X1 − 1663 X2 = 1,257 × 10

(1.137)

  −1663 X1 + 9460 X2 = 4,75 × 105

de donde la solución de las fuerzas de compatibilización es X1 = 4584 N/m y X2 = 183,4 N m/m. Los signos son positivos, lo que quiere decir que los sentidos asumidos en la Fig. 1.46 son los correctos. Por otra parte normalmente será preciso calcular (y dibujar) las distribuciones de flecha w, momentos, cortantes, solicitaciones (provenientes de membrana y de flexión) etc. a lo largo de φ, y de otras láminas si estuvieran presentes. Para ello se superpone la solución de membrana como en la sección anterior (mismos signos), la de flexión tipo I con H0 = X1 y la tipo II con M0 = −X2 de acuerdo con los signos asumidos en la Fig. 1.46. Esfera bajo fuerza circunferencial en su ecuador. Se plantea a continuación el ejercicio de una esfera sometida a una circunferencia de fuerzas por unidad de radián en su ecuador. La solución de membrana es nula ya que no se aplica ninguna presión y además no hay ninguna fuerza externa en la dirección del meridiano: δ10 = δ20 = 0. La solución tipo I de flexión es precisamente el negativo de la fuerza aplicada: esta fuerza producirá un desplazamiento hacia el interior pero además un giro. Debido a la simetría este giro debe ser nulo, por lo que es necesaria una solución tipo II que lo compatibilice a cero. También por simetría se puede analizar solo la mitad de la esfera, pero aplicando la mitad de la fuerza, como en la Fig. 1.47. 64

1.5 Elipsoides axisimétricos

B A

P/2 X2

Figura 1.47: Esfera bajo fuerza circunferencial de compresión en ecuador. Deformada A por F/2, B simétrica compatibilizada con X2 .

Solo se necesita establecer la ecuación de compatibilidad de giros, esta vez con el cortante conocido: δ21

F + δ22 X2 = 0 2

(1.138)

siendo δ21 el giro producido por X1 ≡ H0 = 1, negativo ya que es de signo contrario al producido por X2 . De los problemas tipo I se puede calcular la deformación de la esfera con φ1 = 90◦ y β1 = 0: χ

β1 =0

√  π  2λ2 2 2λ2 sin 90◦ = cos λ · 0 − = Et 4 Et

⇒

δ21 = −

2λ2 Et

(1.139)

El coeficiente δ22 es el giro producido por X2 ≡ M0 = 1. Al igual que en el caso anterior, de la solución tipo II se obtiene: δ22 =

4λ3 aEt

⇒

X2 = −

δ21 F F a = δ22 2 4λ

(1.140)

positiva como era de esperar de la geometría y desplazamientos de la Fig. 1.47. Se puede ahora calcular los valores Qφ , Mφ etc. superponiendo la solución tipo I con H0 = −F/2, y la solución tipo II con M0 = F a/4λ.

65

Capítulo 1. Láminas

66

Parte II

Análisis de Estructuras de Pared Delgada