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Semana 2 Modelos matemáticos para la producción

Unidad 2 Probabilidad

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2. Probabilidad Desde que el hombre ha existido sobre la faz de la tierra, éste siempre ha buscado la forma de poder adelantarse o encontrar la forma de predecir el futuro. Es a partir de esta búsqueda y necesidad que las matemáticas, a través de la probabilidad y estadística buscan solucionar esta problemática. La real academia de la lengua española define probabilidad como: “En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles”. (RAE, 2018). Puesto de una forma simple, la probabilidad se trata de qué tan posible es que algo suceda. En cualquier evento en el que tenemos incertidumbre del posible resultado, podemos hablar de la probabilidad de que éste ocurra. Al análisis de los eventos mediante la probabilidad se le conoce como estadística. Una de las formas más simples de entender la probabilidad es lanzando una moneda al aire o como se dice más comúnmente echando un volado. ¿Qué probabilidad hay de que sea “águila” o “sol”? La probabilidad es igual al número de posibilidades de obtener el resultado deseado, sobre el número total de resultados posibles. Con esto en consideración, se puede decir que la probabilidad nos va a permitir medir el grado de certeza existente de que se dé determinada situación o resultado. En todo análisis para determinar la posibilidad de un resultado existe un universo que es la totalidad de los elementos posibles y una población que es la porción del universo que se extrae para hacer algún experimento.

Figura 1: Probabilidad e incertidumbre (Elaboración propia)

Se debe de considerar que los posibles resultados de un experimento pueden ser más de 2

1. Al conjunto de eventos o posibles resultados se le conoce como espacio muestral (S). Si tenemos por ejemplo el caso de un experimento en el que se lanza una moneda para observar los posibles resultados. Realizando una gráfica de Venn del espacio muestral y de los posibles resultados o conjuntos tenemos lo siguiente:

Figura 2: Diagrama de Venn ejemplo de un espacio muestral

En la figura 2 el universo o espacio muestral van a ser la totalidad de resultados del lanzamiento de la moneda, dentro de ese espacio muestral existen los conjuntos de monedas que cayeron águila y el de las monedas que cayeron sol, que además en este ejemplo los resultados son independientes y mutuamente excluyentes, es decir si el resultado de un lanzamiento no afecta al del siguiente y si el resultado del mismo es águila, el resultado ya no va a poder ser sol.

2.1 Análisis combinatorio El análisis combinatorio es un estudio estadístico que permite determinar las diferentes maneras en que un grupo de elementos se pueden combinar o agrupar. Poniéndolo de forma simple el análisis combinatorio va a ser una forma simplificada de calcular las posibles combinaciones entre elementos que de otra forma se tendría que calcular de forma manual. El análisis combinatorio usa a las herramientas o métodos conocidos como combinaciones y/o permutaciones para poder encontrar dichas combinaciones. 3

El análisis tiene 2 principios que utiliza para hacer estos cálculos, estos principios se conocen como los principios fundamentales de conteo los cuales son el principio de adición y el principio de multiplicación.

2.1.1 Principio fundamental de conteo Existen 2 principios fundamentales de conteo, el de suma o adición y el de multiplicación. El principio de suma o adición es usado para determinar las posibilidades, cuando éstas son excluyentes, es decir cuando solo se puede utilizar una opción. Un ejemplo de esto es la decisión de qué ruta tomar al momento de ir de un punto a otro. Se puede tomar la ruta A o se puede tomar la ruta B, pero no se pueden tomar las 2. En este ejemplo si tenemos 1 camino por agua, uno por irse y 2 por tierra, tenemos (sumándolo) 4 posibilidades de caminos. El principio de multiplicación es usado cuando los eventos u opciones no son excluyentes, es decir que seleccionar un evento no elimina la posibilidad de usar el otro. Un ejemplo de esto son las combinaciones que pueden existir para vestirse si se tienen 2 pantalones, 4 camisas y 3 pares diferentes de zapatos. Aquí hacer una selección de zapatos, no elimina ninguna opción de pantalones o de camisas. Por lo que tenemos 2 x 4 x 3 = 24 combinaciones posibles.

2.1.2 Permutaciones Las permutaciones se usan para determinar los posibles resultados que se pueden generar al combinar posibles opciones al momento de tomar una decisión. En las permutaciones sí importa el orden de selección de las opciones. Existen 3 tipos de permutaciones, la permutación lineal la cual a su vez puede ser de algunos elementos y de todos los elementos, la permutación circular y la permutación con elementos repetidos. La fórmula de las permutaciones lineales es la siguiente:

Figura 3: Fórmula de permutación lineal (Elaboración Propia) 4

La permutación lineal de algunos elementos es cuando de todas las posibilidades existentes, sólo se pueden usar algunas (n-1). Para ejemplificar esto veamos el siguiente ejemplo: En una celda de ensamble manual de un circuito eléctrico que tiene 15 componentes se pueden ensamblar sólo 5 de ellos. Sólo se puede ensamblar 1 circuito por vez. ¿De cuántas maneras distintas se podría ensamblar en dicha celda? Sustituyendo en la ecuación se tiene el siguiente resultado

Se dice que sí importa el orden ya que siguiendo el ejemplo del circuito eléctrico una vez que se toma un componente, ese componente ya no puede volverse a usar. Otro ejemplo de esto sería la lotería, una vez que se selecciona o sale un número, este ya no puede volver a salir. La permutación lineal de todos los elementos, es cuando no hay restricción en cuanto al uso de los elementos. Continuando con el ejemplo del ensamble del circuito eléctrico, este tipo de permutación sería como en cada celda se pudieran ensamblar todos los 15 componentes. Con este tipo y ejemplo, la fórmula quedaría de la siguiente manera:

La permutación circular. Para esta permutación, la fórmula cambia a:

Figura 4: Fórmula de permutación circular (elaboración propia)

Para esta permutación utilicemos el siguiente ejemplo: El área de ensamble final de una empresa automotriz es encargada de la colocación de las llantas, con los rines y los birlos. El modelo de auto que se fabrica requiere 5 birlos. ¿De cuántas formas diferentes se 5

pueden colocar los 5 birlos? Ingresando los datos en las fórmulas tenemos lo siguiente:

Lo que nos da como resultado 24 posibles formas. La permutación con elementos repetidos, esta se usa cuando dentro del ejercicio de la permutación hay elementos que se pueden repetir. La fórmula para determinar este tipo de permutación es la siguiente:

Figura 5: Fórmula para permutación con elementos repetidos. (Elaboración Propia)

Pongamos el siguiente ejemplo: Supongamos que se está trabajando en encontrar un password que se olvidó para acceder a un sistema de cómputo viejo que no tiene otra forma de acceso. Se sabe que el pasword utiliza las letras ACTOTAR, ¿Cuántas palabras se pueden generar con dichas letras? Tenemos en total 7 letras dentro de las cuales hay 2 pares (la A y la T), lo que nos da el siguiente resultado:

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Figura 6: Permutaciones (Math and Multimedia, 2018)

2.1.3 Combinaciones Al igual que en las permutaciones, las combinaciones también son usadas al momento de tomar una decisión, sin embargo, a diferencia de las permutaciones, en estas no importa el orden de selección de las opciones. La fórmula de las combinaciones es la siguiente:

Figura 7: Fórmula de Combinaciones (Elaboración Propia)

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Para entender mejor esta fórmula revisemos el siguiente ejemplo: En la planta de producción de plásticos se quiere crear un equipo para que lidere el proyecto de la nueva línea de producción. Para el equipo hay un grupo de 14 candidatos de los cuales deben de quedar sólo 6, ¿De cuántas formas se puede hacer? Ingresando los valores en la fórmula tenemos el siguiente resultado:

Figura 8: Permutaciones VS Combinaciones (Mathigon.org, 2018)

2.2 Concepto de probabilidad La probabilidad, como lo vimos en el punto 2 nos habla de la razón o probabilidad entre los casos en los que se obtiene el resultado que se espera dentro del total de casos existentes o posibles en un proceso aleatorio, en dichos casos el posible resultado es aleatorio. En probabilidad y estadística, este resultado aleatorio va a ser representado a través de una variable conocida como variable aleatoria. La probabilidad por lo tanto va a buscar la razón o probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor o resultado específico. Para encontrar los resultados de una variable normalmente se llevan a cabo experimentos. Un experimento es la ejecución o simulación de la acción de la que se espera obtener un resultado específico. Eva Romero en su libro Estadística para todos sugiere que hay 3 características que todo experimento debe cubrir:

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• Debe dar resultados claros o identificables • Debe poder repetirse un número elevado de ocasiones bajo condiciones idénticas. • Los resultados posibles deben ser conocidos antes de realizar el experimento. (Romero, Eva, 2016) Algunos ejemplos de pruebas o experimentos aleatorios son: • Observar el género o edad de los clientes que entran o consumen un producto. • Obtener una carta de un mazo de cartas y analizar el color, número o figura obtenido. • Analizar en la bolsa de valores si sube o baja el precio después de ciertos eventos importantes como guerras, escaseces, atentados, etc. • Lanzar un dado o una moneda y observar el resultado. Existen 3 tipos de probabilidad, la probabilidad marginal, la probabilidad conjunta y la probabilidad condicional.

2.3 Enfoque clásico y de frecuencia relativa El enfoque clásico de la probabilidad es el que se da al estimar la probabilidad de un suceso específico dentro de un número de sucesos posibles antes de que estos sucedan o sin tener conocimientos o experiencias previas de los mismos. La fórmula para determinar la probabilidad de un suceso es la siguiente:

Figura 9: Fórmula de probabilidad (Elaboración propia)

En donde: P = Probabilidad Pr = Posibilidades de que salga el resultado deseado Rp = resultados Posibles Sustituyendo los valores en la ecuación tenemos que para el caso del volado tenemos 1 posibilidad de que salga “águila” entre 2 posibles resultados:

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Es decir, se tiene una probabilidad de ½ o 0.5 o 50% de que el evento ocurra o de que caiga águila. Por otro lado, si tenemos experiencia o datos de los posibles resultados de un evento y queremos incluir estos en el cálculo de la probabilidad del mismo, entonces estamos hablando de la frecuencia relativa. Según este tipo de estadística, la probabilidad de que algo pase va a ser la división entre el número de veces que se da un resultado deseado (f) sobre el número total de veces que se realiza el experimento (n). Esta frecuencia parte del teorema del Matemático Jacobo Bernoulli quien estableció que “La probabilidad de que ocurra un evento es la frecuencia relativa de dicho evento en un número muy grande de casos” (Bernoulli, Jacobo, 1698), es decir que la frecuencia relativa va a ser el resultado observado después de un gran número de ejecuciones de un evento determinado. De este teorema se formula la siguiente ecuación:

Figura 10: Frecuencia (Elaboración Propia)

2.4 Relación entre sucesos independientes y excluyentes Un suceso independiente es aquel que no tienen relación alguna con otro y que los posibles resultados de uno no afectan el resultado del otro. Un ejemplo de esto es el número obtenido al tirar un dado con respecto al número y color de una carta extraída de una baraja. El dado y las cartas no tienen ninguna relación y el resultado de uno no influye en el resultado del otro. Es decir 2 eventos son independientes cuando el hecho de conocer el resultado de uno no tiene afectación en el resultado del otro. Por otro lado, existen los eventos excluyentes, los cuales al darse un resultado u opción ésta elimina o excluye la posibilidad del otro. Un ejemplo de esto es el tipo de corte de pelo que puede uno solicitar en una estética. Puede uno solicitar que le dejen el pelo largo, o que se lo dejen muy corto o en algún estilo específico. En el momento que se toma la decisión de ir por uno, las otras opciones ya no son posibles. Cuando tenemos 2 eventos sucediendo y estos eventos son independientes, pero queremos saber la probabilidad de que en ambos se dé un resultado específico, estamos 10

hablando de probabilidades conjuntas de eventos independientes. El resultado de esta probabilidad se consigue al multiplicar los cálculos (por separado) de las probabilidades independientes P(A) x P(B). También se puede presentar que busquemos la probabilidad de que se dé un resultado u otro. Esto se determina con la siguiente fórmula P (A B) = P(A) + P(B) – P (A B). El ejemplo que observamos en el tema 2 de los volados es otro ejemplo de eventos independientes y excluyentes. Veamos otro ejemplo. Se tienen los registros de las personas que compran los productos de nuestra compañía, en ellos se encuentra el género y la edad. Supongamos que queremos identificar al número de personas (sin importar el género) que adquirieron nuestros productos y que su edad está entre los 25 y los 45 años (Círculo negro). El género es independiente y mutuamente excluyente, sin embargo, la edad no es independiente.

Figura 11: Ejemplo de edad (Elaboración propia)

Veamos el siguiente ejercicio. Queremos determinar las probabilidades al momento de que al sacar cartas, la baraja sea: A. De corazones B. Joto Primero calcularemos la probabilidad de que al sacar una carta ésta sea de corazones. En la baraja tradicional hay 52 cartas de las cuales 13 de dichas cartas son de corazones.

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P(A) = 13/52 = 0.25 o 25% Luego vamos a determinar cuál es la probabilidad de que al sacar una carta esta sea un joto. En la baraja tradicional hay 4 jotos, el de diamantes, el de corazones, el de tréboles y el de picas. P(B) = 4/52 = 0.076 o 7.6% Ahora, si queremos estimar la probabilidad de sacar una carta y que esta sea un joto o que sea de corazones lo vamos a calcular de la siguiente forma: P (A o B) = P(A) + P(B) – P (A y B) = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13 = 0.30 o 30%

2.5 Ley de la adición La ley o principio de suma o adición se entiende también como las alternativas que se tienen ante una decisión, las cuales son excluyentes. Regresando al ejemplo de las rutas por las cuales uno puede ir de punto A al punto B se tienen 4 rutas, las cuales únicamente se suman:

Figura 12: Ejemplo de principio de adición (elaboración propia)

Para poder observar otra explicación detallada de esta ley se recomienda consultar el siguiente video: https://youtu.be/QE2uR6Z-NcU

Visita la plataforma para ver el video relacionado

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2.6 Ley del producto La ley o principio de multiplicación se puede expresar también en que un experimento se puede hacer de “x” formas en la primera ocasión, de “y” formas en la segunda ocasión y de “z” formas en la tercera ocasión. Utilicemos nuevamente el ejemplo de los pantalones, camisas y zapatos que usamos en presente bloque. La persona puede elegir uno de 2 pantalones, una de 4 camisas y un par de 3 de zapatos. Lo que le da un total de 24 opciones posibles, veamos esto en la siguiente gráfica:

Figura 13: Ejemplo de ley o principio de multiplicación (Elaboración propia)

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2.7 Probabilidad condicional La probabilidad marginal es la probabilidad de que un evento determinado ocurra. Tomando el ejemplo de la moneda que revisábamos, la probabilidad de que ésta caiga águila es de 50%. Esta probabilidad se denota de la siguiente manera P(A) = 0.5 La probabilidad conjunta es la probabilidad de que un evento ocurra junto con (y) otro evento. Es decir, cuál va a ser la probabilidad de se dé un evento A y B. Esto se denota de la siguiente forma P (A B). Como ejemplo tenemos la probabilidad de que, al sacar una carta de un mazo de cartas, ésta sea un 10 negro, P (10 y Negro) = 2/52 (existen 2 diez negros de 56 cartas negras totales) La probabilidad condicional es la que va a ocurrir cuando un evento suceda dado que ya sucedió otro evento relacionado. Esta probabilidad se denota P (A|B). Continuando con el ejemplo de la carta la probabilidad, si ya sacamos una carta y esta es negra (es decir ya eliminamos de las 52 a 26 cartas que son rojas) sería P (10 | Negro) = 2 / 26 (Sólo hay 2 cartas diez dentro de las 26 negras posibles)

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