Apuntes Instrumentacion Para El Control De Procesos

Apuntes del curso.

Raúl Leal Ascencio

INSTRUMENTACIÓN PARA EL CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES Sensor: Un sensor es un dispositivo que recibe una señal o estímulo y responde con una señal

eléctrica. Esto es independiente de si el sensor requiere excitación o no para generar la señal eléctrica. Ejemplos: Sensor piezoeléctrico, termopar, galga extensiométrica. Transductor: Paquete manufacturado que produce un voltaje de salida correspondiente a una

variable o estímulo de entrada. Ejemplos: Celdas de carga, acelerómetros, etc.

Figura 1 La transformación de una variable física en eléctrica.

Escala completa de salida: Esto es la diferencia algebraica entre las señales eléctricas de salida

medidas con el máximo estímulo de entrada y el mínimo estímulo de entrada. Esto debe incluir toda desviación de la función de transferencia lineal. En la figura SFS es la escala completa de salida. Exactitud (o inexactitud, ‘accuracy’): En las especificaciones de un sensor, esto realmente quiere decir falta de exactitud. Está es la razón de la máxima desviación de un valor representado por el sensor con respecto al valor ideal. Normalmente este valor se da en %. EJEMPLO:

Un sensor de desplazamiento lineal idealmente debería generar 1mV por 1mm de desplazamiento. Sin embargo, en un experimento, un desplazamiento de 10mm produjo una salida de 10.5 mV. Considerando sólo este valor de mV se esperaría que el desplazamiento hubiera sido de 10.5 mm que es 0.5 mm más que la realidad. Esta desviación indica una exactitud (o falte de) de 5%. A el valor de la desviación se le llama error. Precisión: La precisión de un instrumento indica su capacidad para reproducir cierta lectura con

una exactitud dada. EJEMPLO:

Se está midiendo un voltaje conocido de 100V. Se toman 5 lecturas con cierto voltímetro y los valores encontrados son 104, 103, 105, 103, 105. Dadas estas lecturas, cuál es la exactitud y cuál es la precisión del instrumento. R. Ya que la desviación máxima del instrumento es 5V de la entrada real de 100V, se tiene una exactitud de 5%. La precisión del instrumento la da la desviación máxima de la media de las lecturas, en este caso, ±1%.

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En relación a la figura 2.1A [Fraden], explicar la función de transferencia ideal vs función de transferencia real ¿Por qué son distintas?: a) Variaciones en los materiales. b) Imprecisiones humanas en la fabricación. c) Errores de diseño. d) Tolerancias en la fabricación. e) Condiciones ambientales, etc. Explicar límites de la precisión. ( ± ∆) Explicar ± δ, donde δ < = ∆. Considere un estímulo x. Deducir el error - δ en la gráfica. Los límites de precisión incluyen los efectos de histéresis, banda muerta, calibración y errores de repetibilidad. Y son distintos para unidad. Calibración en masa vs. Calibración unidad por unidad. Figura 2.1B[Fraden]. Figura 2.1 [Fraden].

La representación de la inexactitud puede darse de diversas maneras: 1) Directamente en términos de valor medido ∆. 2) En % del input span (full scale). 3) En términos de la señal de salida. EJERCICIO:

Un sensor de precisión piezoresistivo tiene capacidad para una entrada de 100 Kpa a escala completa y una salida de 10 Ω a escala completa. Su inexactitud se específica como ± 0.5 %. Ponga este valor en sus otras dos formas Error de calibración: Está es una inexactitud permitida por el fabricante que debe darse como

especificación del dispositivo. Existen tres posibles procedimientos de calibración:

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1) Un patrón primario. 2) Comparándolo con otro medidor de exactitud conocida (mejor). 3) con una fuente de entrada conocida. Para verificar la exactitud y precisión de un instrumento se usa una escalera de rastreabilidad. Esta es una serie de pasos mediante las cuales se calibra un instrumento con los estándares primarios. Ver figura 2.15 [Bentley]. EJEMPLO:

(Figura 2-2) Esto resulta, en errores en la pendiente y el punto de intersección. Para el punto de intersección: Figura 2-2 [Fraden]

δa = a1 - a =

∆ ( S 2 − S1)

y para la pendiente.

δb = ( - )

m1=

∆ ( S 2 − S1)

A2 − A1 S 2 − S1

m2 =

( A2 − A1) − A1 S 2 − S1

Histéresis: Un error de histéresis es la desviación de la señal de salida del sensor en un punto específico de la señal de entrada. Cuando se le aproxima al punto desde direcciones opuestas. Ver figura 2-3 [Fraden].

EJEMPLO:

Un termómetro de 49° C en un objeto de 50° C cuando el objeto pasa de más frío a más caliente y 51° C cuando pasa de caliente a más frío. En este caso la histerésis es ± 1° C. De la función de transferencia ideal.

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No linealidad: Se aplica sólo en los casos donde la función de transferencia se puede aproximar

por una línea recta. [ S = a + bs ] función de transferencia lineal. No linealidad es la máxima desviación (L) de una función de transferencia real a la aproximación lineal. En la ecuación anterior a ' b ' se le conoce como la sensibilidad. Esta es la razón de cambio entre la salida del sensor (S) y el estímulo (s). ¿Cómo se mide la no linealidad?: Frecuentemente, esto se hace en términos de la no

linealidad máxima. Si se expresa como un porcentaje de la deflexión a escala completa, se tiene: N$ No linealidad máxima como porcentaje = x 100 Smax − Smin

La magnitud de la no linealidad depende de la línea recta ideal que se escoja en el proceso de calibración. Otras funciones de transferencia: Existen modelos más complejos que el lineal para

representar sensores, como los: • • • •

Logarítmicos Exponenciales Cuadráticos En general polinomios.

EJEMPLO:

Un termopar de cobre - constantano se representa con un polinomio que relaciona E(T) en µV con T en °C. E(T) = 38.74 T + 3.319 X 10 - 2 T 2 + 2.071 X 10 - 4 T 3 - 2.195 X 10 - 6 T 4 +

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términos de orden superior hasta T 8. Para un alcance de 0 a 400°C, ya que E = 0 µV a T=0 y E = 20869 µV a T= 400°C. ¿Cuál es la ecuación de la línea recta ideal ?

Ri =

20869 = 52 . 17 400

Es la pendiente

∴ E ideal = 52.17 T. Y la función de corrección no lineal es: N(T) = E(T) - E ideal = ??? N(T) = - 13.43 T + 3.319 X 10 - 2 T 2 + 2.071 X 10 - 4 T 3 - 2.195 X 10 - 6 T 4 En algunos casos es conveniente utilizar expresiones que no sean polinomios. Por ejemplo, la resistencia de un termistor está dada por: R(T) = 0.04 Exp

3300 T + 273

EJERCICIO:

Dadas la definición de sensibilidad y la expresión de la función de transferencia para el termopar, deducir una expresión de sensibilidad para el termopar. Obtener también el valor de la sensibilidad a 200°C. Ri E' =

dE = 38.74 + 6.638 X 10 - 2 T + 6.213 X 10 - 4 T 2 - 8.780 X 10 - 6 T 3 dT E' (200) ≅

50 µV °C

Resolución: Algunos elementos se caracterizan por una salida que crece en una serie de escalones

o saltos discretos en respuesta a un aumento continuo en la entrada. La resolución se define como el mayor cambio en la entrada Y que puede ocurrir sin cambio correspondiente en la salida O.

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Zona muerta: Es el área de valores instrumento

de la variable que no hace variar la indicación del

. RANGE Vs SPAN

Campo de medida (range): Espectro o conjunto de valores de la variable de medida que están

comprendidas dentro de los limites superior e inferior de la capacidad de medida o de transmisión del instrumento. Viene expresado estableciendo los dos valores extremos. EJ. El campo de medida de un termómetro es de 100 - 300 ° C. Alcance (span): Es la diferencia algebraica entre los valores superior e inferior del campo de medida del instrumento. Ej. Del ejemplo anterior el alcance es de 200 ° C. Saturación: Es el área en la cual l instrumento ha sobrepasado su capacidad máxima de

operación por lo que se presenta un comportamiento distinto a la operación normal y por lo tanto, no confiable. Repetibilidad: Es la capacidad de reproducción de las lecturas del instrumento al medir

repetidamente valores idénticos de la variable, bajo las mismas condiciones. Valor esperado de una medición: Es el valor diseñado o el valor más probable basado en los

cálculos hechos, que se esperan obtener. Error: La desviación de una lectura del valor esperado a el valor medido de la variable.

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EXISTEN TRES TIPOS DE ERRORES:

• Errores grandes (gross errors): Son en general de origen humano, como la mala lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicación inapropiada, así como equivocaciones en los cálculos. • Errores sistemáticos: Se deben a fallas de los instrumentos, como partes defectuosas o gastadas, y efectos ambientales sobre el equipo del usuario. • Errores aleatorio: Generalmente son la acumulación de un gran número de errores muy pequeños cuyo origen es difícil de identificar. Estos errores normalmente son de preocupación para mediciones con un alto grado de exactitud. Los errores aleatorios se pueden analizar estadísticamente. VER LÁMINA Los errores sistemáticos (y tal vez también los aleatorios) pueden ser clasificados en estáticos y dinámicos. Errores estáticos: Si el proceso está en condiciones de régimen permanente, el error es estático.

Este error normalmente se origina por las limitaciones de los dispositivos de medición o las leyes físicas que gobiernan su comportamiento. Errores dinámicos: Siempre que las condiciones sean de cambio continuo existirá un error

dinámico que se presentará en retrasos en la medición. Esto está influido por el tipo de acoplamiento, los materiales, el proceso a medir, etc. Impedancia de salida: Este parámetro toma relevancia cuando se quiere hacer una buena

interfase con un circuito electrónico. La impedancia del sensor (Zout) se conecta en paralelo o en serie según se maneje corriente o voltaje.

Condiciones de almacenamiento: Tiempo máximo y mínimo, humedad relativa máxima y

mínima, presencia de gases, etc. Estabilidad de largo plazo: Se refiere a el envejecimiento de los materiales que repercute en un

cambio irreversible en las propiedades eléctricas, mecánicas, químicas o térmicas del sensor. Algunos sensores se pueden someter a envejecimiento acelerado para mejorar sus características.

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Efectos térmicos: Se pueden especificar por bandas de los límites de operación. EJEMPLO:

Accuracy

± 1 % de 0 a 50 ° C ± 2 % de - 20 a 0 ° C y de 50 a 100 ° C. ± 3 % fuera de esos rangos Limites de operación: de - 40 a 150 ° C.

Error de autocalentamiento: Es especificado cuando una señal de excitación es absorbida por

un sensor y su temperatura es afectada de tal manera que afecta su exactitud. TAREA 1: Investigar y estudiar todas las especificaciones de algún sensor. ANÁLISIS ESTADÍSTICO Estadística

descriptiva: Se usa para clasificar datos, histogramas de desempeño correspondientes a distribución de frecuencias, representación de datos mediante gráficas, cálculo de medias, medianas o modas; cálculo de varianzas, desviación estándar, etc. Estadística inferencial: Se describió como la ciencia de tomar decisiones ante la incertidumbre;

esto es tomar la mayor decisión basados en información incompleta o deformada. Generalizar. Media =

r I 1 + I 2+... Ii +... In 1 n = I = ∑ Ii n i =1 n r

n

∑ ( Ii − I ) Varianza =

2

i =1

= V2

n −1

Lo cual resulta en una figura en unidades de I². Para evitar esto se toma raíz cuadrada para obtener la llamada desviación estándar de una muestra. Desviación di di = Ii + I

r

n

∑ ( Ii − I ) V=

V =

2

i =1

n −1

r 1 n ( Ii 2 − In 2 ) ∑ n − 1 i =1

Para n grande ( > 20 ) σ ≈ V

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σ=

r 1 n ( Ii − I ) 2 ∑ n i =1

Desviación estándar

EJEMPLO DE MEDICIONES:

Temperatura en grados centígrados: 60.1 60.6 59.8 58.7 60.5 59.9

60.0

61.1

60.2

60.2

r n = 10 , T = ? , x = ? r T = 60.11 ° C x = 0.63 ° C Desviaciones de la media: El número de desviaciones positivas y negativas es similar; la suma de todas las desviaciones es muy cerca de cero. En el ejemplo ¿ Cuantas desviaciones mayores a ± 1° C hay ? ¿ Cuantas desviaciones entre cero y ± 0.2 ° C hay ? A la frecuencia de ocurrencia se le llama distribución. TAREA 2: ¿ A que se le llama el criterio de Chauvenet ( para rechazo de datos ) ?. Análisis de incertidumbre: Falta de certeza en la veracidad de una lectura.

Se desea estimar la incertidumbre en el resultado calculado con base en las incertidumbres de las mediciones primarias. El resultado R es una función dada de las variables independientes X1, X2, X3..., Xn, por lo tanto: R = R ( X1, X2, X3..., Xn ) Sea WR la incertidumbre en el resultado y W1, W2, ...,Wn las incertidumbres en las variables independientes 2 2  ∂R   ∂R   ∂R     WR =  W1  +  W2  + Wn    ∂Xn    ∂X 1   ∂X 2 2

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EJEMPLO: (3-1) Holman

La resistencia de cierto tamaño de alambre de cobre está dada como: R = R0 [1 + α ( T − 20) ]

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donde R0 = 6 Ω ± 0.3 % es la resistencia a 20 °C, α = 0.004°C-1 ± 1% es el coeficiente de temperatura de la resistencia, y la temperatura del alambre es T = 30 ± 1 °C. Calcúlese la resistencia del alambre y su incertidumbre. Solución: La resistencia nominal es R= (6)[1+(0.004)(30-20)] = 6.24 Ω La incertidumbre en este valor se calcula por la aplicación de la ecuación 3.2, los diversos términos son: ∂R = 1 + α ( T − 20) = 1 + (0.004)( 30 − 20) = 104 . ∂R0 ∂R = R0 (T − 20) = (6)( 30 − 20) = 60 ∂α ∂R = R0α = (6)(0.004) = 0.024 ∂T WR 0 = (6)( 0.003) = 0.0018Ω Wα = (0.004)(0.01) = 4 x10 −5 ° C −1 WT = 1° C Por lo tanto la incertidumbre en la resistencia es: WR = [(1.04)²(0.018)² + (60)²(4 x 10 -5)² + (0.024)²(1)² ]½ WR = 0.0305 Ω o 0.49% Obsérvese que la propagación de la incertidumbre en el resultado depende de los cuadrados de las incertidumbres de las variables independientes. Wn. El análisis de la incertidumbre puede ayudar al investigador a seleccionar métodos alternos de medición EJEMPLO: (3-2) Holman

Un resistor tiene un valor nominal indicado de 10 Ω ± 1 %. Se aplica un voltaje en el resistor y la disipación de potencia se calcula en dos formas diferentes: (1) P = E² / R y (2) P =EI. La fórmula (1) es sólo una medición de voltaje, en tanto que la fórmula (2) se mide la corriente y el voltaje. Calcúlese la incertidumbre en la determinación de potencia en cada caso cuando los valores medidos de E e I son: E = 100 V ± 1 % I = 10 A ± 1 %

( para ambos casos )

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Solución: el esquema se muestra en la figura. Para el primer caso se tiene: ∂P 2 E = ∂E r ∂P E2 =− ∂R R2 y se aplica la ecuación (3 - 2) que da  2 E  2 2  E 2  2   WE +  − 2 WR  Wp =   R    R 

1/ 2

 4 E 2  2  E 4  2  Wp =  2 WE +  − 4 WR   R    R 

1/ 2

La división entre P = E 2 / R da  4 E 2  2  E 4  2    2 WE +  − 4 WR   R   Wp   R  = 2 p  P     

1/ 2

  WE  2  WR  2   +   Wp =  4   E   R  

1/ 2

 4E 2  E4  R2  2 Wp =  4 WE2 + R 4 WR2  E  E  2  R  R2 Se sustituyen los valores nú mericos para determinar la incertidumbre 1/ 2 Wp 2 = [ 4( 0.01) + (0.01) 2 ] = 2.236% p 1/ 2

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Para el segundo caso se tiene ∂P =I ∂E ∂P =E ∂I Y despues de operaciones algebraicas similares se obtiene 2 2 Wp  WE   WI    +   =  P  E   I   Se insertan los valores numericos de la incertidumbre Wp . = [( 0.01) 2 + (0.01) 2 ]1/ 2 = 1414% P 1/ 2

Por lo tanto, el segundo método para conocer la determinación de la potencia proporciona una incertidumbre menor que el primer método. Probabilidad: La probabilidad es una cantidad matemática ligada a la frecuencia con que un fenómeno ocurre después de un gran número de ensayos.

Las probabilidades se expresan con valores de 0 a 1 y una probabilidad de 1 es la certeza. Para eventos separados, la probabilidad de que uno ocurra es la suma de las probabilidades individuales. EJEMPLO:

Para un dado, la probabilidad de que salga un lado cualquiera es 1/6. ¿ Cual es la probabilidad de que salga un 1 ó un 3 ó un 6 ? 1 1 1 1 + + = 6 6 6 2 ¿ Cual es la probabilidad de sacar la suma de 7 al tirar dos dados simultáneamente?, ¿ y de 11 ? P(Σ7) = P(1 y 6) ó P(6 y 1) ó P( 4 y 3 ) ó P(3 y 4) ó P(2 y 5) ó P(5 y 2) P(Σ7) =

1 1 1 1 1 1 6 1 + + + + + = = 36 36 36 36 36 36 36 6

P(Σ11) = P(6 y 5) ó P(5 y 6) =

1 1 2 1 + = = 36 36 36 18

Si varios eventos independientes ocurren al mismo tiempo de modo que cada uno tenga una probabilidad Pi, la probabilidad de que todos sucedan es el producto de las probabilidades de los eventos individuales; por lo tanto: P = Π (pi), dando Π indica el producto.

EJEMPLO:

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¿Cual es la probabilidad de que al tirar dos dados en ambos haya un 6 ? 1 1 1 P(6 & 6) = P(6)P(6) = + = 6 6 36 ¿Cual es la probabilidad de obtener una corrida real en las primeras cinco cartas tomadas de la parte superior del montón ? 20 4 3 2 1 1 x x x x = = 0.00000153907 = 154 . x10 −6 52 51 50 49 48 649740 LA DISTRIBUCION NORMAL O GAUSSIANA: Teorema del límite central: Una variable aleatoria que se forma sumando un número grande de

variables aleatorias independientes toma forma de una distribución gaussiana en el límite. Este fenómeno ocurre frecuentemente en ingeniería, de ahí el uso extendido de está distribución. La distribución gaussiana de probabilidad está dada por: P( X ) =

1 ( x − xn) 2 exp − 2σ 2 σ 2π

Donde Xn es la media y σ la desviación estándar de las mediciones. La curva es simétrica ( ver figuras ) con respecto al valor de la media y el área total bajo la curva es igual a uno. Se puede demostrar que: 68% de los valores caen entre ± σ 95 % de los valores caen entre ± 2σ 99.7 % de los valores caen entre ± 3σ Cuando se trabaja con un número finito de valores en un experimento, se esta sujeto a variaciones alrededor del valor teórico de la media. Para esto se establece un intervalo de confianza. Para un intervalo de confianza del 90% se tiene: ∆µ ≈

165 . σ n

El intervalo de confianza es una medida del error incurrido al estar limitadas a n mediciones Criterio de chauvenet para rechazo de datos: Se utiliza para decidir si un dato posiblemente

errores debería ser eliminado. El dato se elimina si la probabilidad de obtenerlo es menor a ½ n. Un dato se rechaza si su desviación de la media dividido entre σ es mayor al valor dado en tablas para la n correspondiente. xi − x σ

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Criterio de Chauvenet para el rechazo de datos atípicos. Tamaño muestra Tamaño muestra | Xm – x | / 5 n n 2 1.15 20 3 1.38 25 4 1.53 30 5 1.64 40 6 1.73 50 7 1.80 60 8 1.86 80 9 1.91 100 10 1.96 150 11 2.00 200 12 2.04 300 13 2.07 400 14 2.10 500 16 2.15 600 18 2.20 1000

| Xm - x | / 5 2.24 2.33 2.39 2.50 2.58 2.64 2.74 2.81 2.94 3.02 3.14 3.23 3.29 3.34 3.48

EJEMPLO:

Sea una muestra de 5 observaciones dadas como: 100.4, 100.2, 100.5, 100.2 y 99.2. ¿Se puede rechazar este último dato ?, la media para estos valores es: 100.1, la desviación estándar es 0.52 ( menor a 20 valores ). El cálculo se hace de la siguiente manera: xi − x 99.2 − 1001 . = = 173 . σ 0.52 Para n = 5, observando en la tabla superior, le corresponde un valor de 1.64; así como el dato de 1.73 es mayor entonces el dato se puede rechazar. ( Es decir se considera no valido). Y con los datos restantes se vuelve a calcular la media y la desviación estándar. El método de los mínimos cuadrados: Se usa para encontrar la mejor función lineal para

representar datos dispersos. Se busca una ecuación de la forma:

Y= ax+b

La solución para n valores de y ∈ [ ℜ] y n valores x ∈ [ ℜ] es: a=

b= Para obtener y$ = ax + b

n ∑ xiyi − ( ∑ xi )( ∑ yi ) n ∑ xi 2 − ( ∑ xi ) 2

( ∑ yi )( ∑ xi 2) − ( ∑ xiyi )( ∑ xi ) n ∑ xi 2 − ( ∑ xi ) 2

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El error estándar estará dado por:  ∑ ( yi − axi − b) ∑ 2  $ ) ] = Error estándar = [ ∑ ( yi − yi  n−2   ( si se requiere ejemplo úsese el ej. 3 -15 pag. 94 del holman) 1/ 2

2 1/ 2

CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SENSORES:

La diferencia entre comportamiento estático y comportamiento dinámico es que este último siempre depende del tiempo. Algunas características con dependencia del tiempo son: Tiempo de calentamiento: El tiempo que tarda el sensor desde su excitación, hasta que puede

funcionar con la exactitud especificada. Ej. Termopar (Excepción!) Respuesta en frecuencia: Especifica qué tan rápido el sensor reacciona a un cambio en el

estímulo de entrada. Una especificación típica es la caída de -3dB. Esto indica a que frecuencia la respuesta cae en ≈ 30%. Se puede especificar la frecuencia máxima, que sería la frecuencia más alta a la que el sensor responde. Velocidad de respuesta: Esta es una especificación muy relacionada con la respuesta a la

frecuencia, se especifica en unidades de estímulo / unidades de tiempo. El tipo de especificación que se provee depende del tipo de sensor, la aplicación y la preferencia del diseñador ( o ambas!). Para sistemas de primer orden: Constante de tiempo: Es una medida de la inercia del sensor τ, en términos eléctricos.

τ = RC EJEMPLO:

( ) Para el sistema S = Sm( 1 − exp − t /τ ) en el que Sm es la respuesta a estado estable, si sustituimos t = τ:

 1  S = Sm1 −  = (0.6321)  exp  Lo que quiere decir que en el tiempo τ habrá alcanzado 63% del estado estable. Se puede demostrar que en 2τ se llega al 86.5% y en 3τ al 95%. Frecuencias de corte alta y baja: Alta: Indica que tan rápido el sensor reacciona al estímulo y frecuencia máxima de operación. Baja: Indica que tan lento puede ser el estímulo para que el sensor lo procese. Tipos de respuesta (Primer orden )

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Desfasamiento (Phase shift): Define el retraso de la señal de salida con respecto a el estímulo.

Muy importante en los sistemas retroalimentados. Frecuencia de resonancia: Indica a que frecuencia la respuesta del sensor es mayor. Sistemas

de primer orden no resuenan y son más comunes. Amortiguamiento: Es la reducción progresiva o supresión de la oscilación de un sensor con una respuesta de orden mayor a uno. SISTEMAS:

• Críticamente amortiguado: Cuando la respuesta es tan rápida como sea posible sin sobretiro. • Bajo amortiguado: Cuando hay sobretiro. • Sobre amortiguado: Cuando la respuesta es más lenta que el críticamente amortiguado. Una función de transferencia de segundo orden debe incluir un factor cuadrático: S 2 + 2 ZWnS + Wn 2 donde Wn es la frecuencia natural, S es la variable compleja y Z es la razón de amortiguamiento. Para un sistema críticamente amortiguado; Z = 1. Z=

 σ  σ  2  Wn  σ + Wn 2 

donde σ es la parte real de la variable compleja. ( ver figura 2-10, pag 31 de fraden )

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PHYSICAL PRINCIPLES OF SENSING Capacitancia: Una combinación de terminales planas que puede almacenar carga eléctrica se

denomina Capacitor. El capacitor se caracteriza porque la magnitud de la carga en cualquier conductor, y porque un voltaje V o diferencia de potencial entre los conductores. C=

Impedancia capacitiva =

q = Capacitancia, V

V 1 =− i jWC

Farad =

Coulomb Volt

( Ver figura 3-2.1, Fraden )

Con este principio se puede medir distancia, área, volumen, nivel, presión, fuerza, rotación, etc. Capacitor de placas paralelas:

En el vacío C=

ξ oA F donde ξ o = 8.85 σ d m

( Ver figura 3-2.1, Fraden) = Permitividad en el vacio

Desplazamiento (ver figura 3-2.2)

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C=

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2πξol b Ln a

En el vacío ó aire si hacemos ξ aire = 1

donde l se refiere a la distancia de traslape. Este sensor tiene una capacitancia directamente proporcional al desplazamiento l Dieléctrico: El aumento en capacitancia debido a la presencia de un dieléctrico es el resultado de

una polarización molecular. En algunos dieléctricos, (como el agua ) las moléculas tienen un momento dipolar permanente, mientras que otras, son polarizadas cuando se les aplica un campo eléctrico. La agitación térmica previene una alineación completa. Para el capacitor de placas paralelas, tenemos: C=

KξoA d

donde K es la constante del dielectrico. Ver figura, tabla 3-1, Fraden. Notar dependencia de la temperatura y la frecuencia.

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Ver figura 3-2.4, Fraden. Para notar la dependencia de la temperatura.

Sensor de nivel: Para el sensor de nivel de la figura 3-2.5

Ch =

2π ξo [ H − h(1 − K )] a Ln b

Tarea 3:

La sensitividad depende del liquido.

MAGNETISMO:

1. Investigar la relación entre campo magnético, campo eléctrico y corriente eléctrica. Dar su respuesta usando diagramas y expresiones matemáticas. 2. Se tiene un cable recto largo por donde pasan 200mA. Use la ley de Brot-Savart para calcular la magnitud del campo magnético a una distancia perpendicular d = 50 cm de dicho cable. [ ans. 80 x 10 -9 Tesla ] 3. ¿ Que cantidades se expresan en términos de 'Weber' ?, Flujo magnético. ¿ Solenoides ? ¿ Inductancias ?

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Resistencia: Consideremos una barra de material homogéneo de longitud l . ( ver figura 3-

5.1,Fraden). Si se conecta una batería en los extremos de la barra, se crea un campo eléctrico E cuya intensidad está dada por:

E=

V V Campo electrico    m l

El campo creado impulsa a os electrones libres y los hace moverse en dirección opuesta al campo. A la razón de flujo de la carga eléctrica se le llama corriente eléctrica. i=

dq dt

A=

Coulomb S

La corriente eléctrica que fluye a través de un material dado un campo eléctrico, es la misma sin importar el tipo de 'perfil' del material ( sección transversal). Analogía con el sistema de tuberías de agua seriadas de distintos anchos.

El movimiento de electrones en un material se debe a la fuerza -eE ( siendo e la carga del electrón). Sin embargo, este movimiento es muy corto ya que el electrón choca con los átomos vecinos que están continuamente vibrando debido a la temperatura del material. La energía cinética que se transmite con el choque libera otro electrón que viaja en la dirección opuesta del campo E y choca nuevamente. Ele tiempo promedio entre colisiones τ depende del tipo de material, estructura e impurezas. Por ejemplo en cobre puro, un electrón se mueve en promedio 0 - 04 µm entre colisiones con τ = 2.5 x 10 -14 S. Este flujo de electrones es constante y conforma la corriente eléctrica. Las colisiones aumentan la agitación atómica y la temperatura aumenta.

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Apuntes del curso.

Raúl Leal Ascencio

Campo eléctrico Flujo de electrones corriente eléctrica convencional. La habilidad de un material de permitir el paso de corriente eléctrica se llama resistividad. Se dice que el material tiene cierta resistencia. R=

V I

Analogía con resistencia al flujo de agua ⇒ ( diferencia de presión en una tubería / flujo de agua ) La resistencia depende del material y la geometría del resistor. Resistividad específica: El material mismo puede se caracterizado por una resistividad

específica ρ. ρ=

E V

donde

V l Va = = = Ωm i li a

j=

i es la densidad de corrente. a

El reciproco σ =

1 = Conductividad ρ

La resistividad también puede ser expresada en términos de τ ( tiempo entre colisiones ), e ( la carga electrónica ), m (la masa del electrón ) y el número de electrones conductores por unidad de volumen. ρ=

m ne 2τ

( ver tabla)

La resistencia de un conductor se encuentra mediante la siguiente fórmula: R= ρ

l a

donde 'a' es la sección transversal y l la longitud del conductor. Sensitividad a la temperatura: La conductividad de un material cambia con la temperatura τ

de manera no lineal. Sin embargo, para un rango pequeño de temperaturas se puede aproximar mediante la siguiente expresión, usando α que es el coeficiente de temperatura de la resistencia (TCR).

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