Apuntes De Matematicas (algebra Lineal).docx

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECCIÓN DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO

ALGEBRA LINEAL PROPEDEUTICO DE HIDRAULICA

ALUMNA: JANETH AGUILAR MERCADO

DR. FRANCISCO ANTELMO DIAZ GUERRA

DICIEMBRE 2018.

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

PROGRAMA DE ESTUDIO SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ................................................................................................................ 3 SISTEMAS HOMOGÉNEOS DE ECUACIONES ................................................................................................. 9 MATRICES Y ALGEBRA DE MATRICES .............................................................................................................. 11 MÉTODO DE SARRUS ................................................................................................................................................ 13 MATRIZ INVERSA (POR EL METODO DE GAUSS) ........................................................................................ 14 MÉTODO DE COFACTORES O MENORES .................................................................................................... 19 OBTENCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ VÍA LA ADJUNTA ....................................................... 25 MÉTODO DE CRAMER (SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES) ................................................................... 26 ESPACIOS VECTORIALES ........................................................................................................................................ 32 SUB-ESPACIOS VECTORIALES .............................................................................................................................. 34 PRODUCTO ESCALAR

𝐴 • 𝐵 .............................................................................................................................. 39

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

𝐴𝑥 𝐵 ............................................................................. 39

TRIPLE PRODUCTO ..................................................................................................................................................... 40 (LONITUD O NORMA DE UN VECTOR, ANGULOS VECTORE, COSENOS DIRECTORES, DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, COONJUNTOS GENERADORS DE UN ESPACIO, BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL) .

GRAM-SCHMIDT (PROCESO DE ORTONORMALIZACION) .......................................................................... 43 FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES LINEALES ........................................................................................ 48 (TRASFORMACIONES Y OPERACIONES, TRANSFORMACIONES LINEALES, DOMINIO, RANGO Y KEGEL DE UNA OPERACIÓN)

EIGEN VALORES (MATRIZ CUADRADA DE N X N) ........................................................................................... 53 EIGEN VECTORES(OBTENCION DE ESPACIOS Y BASES PARA LOS ESPACIOS) ..................................... 57

BIBLIOGRAFIA -Introducción al Algebra lineal, Howard, Antone, Ed. Limusa -Introducción al Algebra lineal, Harvey, Gerber, Ed. Iberoamericana -Introducción al Algebra lineal, L.I. Golovina, Ed. URSS

2

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

𝑋𝑖 = 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 A= [aij] = 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 MATRIZ DE COEFICIENTES

𝑎11 𝐶=𝑎 1𝑛

… …

𝑎1𝑛𝑏1 𝑎𝑛𝑛𝑏𝑛

MATRIZ AUMENTADA

𝑏1 𝑏 = 𝑏2 𝑏𝑛 MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES

𝑥1 𝑥 = 𝑥2 𝑥𝑛 EL SISTEMA 1

AX=B

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales como el 1, nuestro objetivo central es saber si tiene o no solución y si la tiene como encontrarla. Tres alternativas se pueden presentar cuando hablamos de soluciones de un sistema como es el 1, como se representa en los diagramas de abajo.

3

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Y

Y

1

Y

1

1y21

1

1

4

2

1

2

1

X

X

b) SOLUCIÓN ÚNICA

X a) INFINIDAD DE SOLUCIONES

c) NO TIENE SOLUCIÓN

Al conjunto de todas las soluciones la llamaremos el conjunto solución y lo denotaremos con la letra “S”. El método fundamental (Gauss-Jordán) para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones, es a partir de uno y empezar a obtener con un sistema equivalente a uno, entenderemos por sistemas equivalentes como dos sistemas que tienen “S” solución (mismo conjunto). Obtendremos conjunto equivalente haciendo uso de tres operaciones Gaussianas: I. II. III.

Intercambiar renglones de un sistema si aX 1,2,3 = 1 Multiplicar todo un renglón por una constante real K diferente de cero. Sumar o un renglón un múltiplo de otro renglón.

Resuelva el siguiente sistema:

Ejemplo 1x + y + 2z = 9 2x + 4y- 3z = 1 3x + 6y- 5z = 0 Solución: -2

1

1

2 1 3 0

9

1

1

2

9

4 -3

0

2 -7

17

6 -5

0 3 -11 27

1 1 :7/2

2

2

-3

9

0 1 -7/2 17/2 0 0

1

3

-2

1

1

2

9

0

1

0

2

0

0

1

3

:1/ 2

-1

1

1

2

9

0

2 -7

17

1 1

-3

0 3 -11 27

2

9

0 1 -7/2 17/2 0 3 -11

1

1

0

3

1

1

0

1

0

1

0

2

0

1

0

2

0

0

1

3

0

0

1

3

-27

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

5

Solución x=1 y=2 z=3 Ejercicios x - y+ z = 1 2x + 2y - 3z = 2 -3x + 4y+ 4z = -1

Solución: -2

1 -1 2 -3

1

1

2 -3

2

1 -1 :1/ 4

4 4 -1

0

1

1

4 -5

0

-3

1 -1 0 0

-3 4 4 -1

1

1

1 -5/4

-3 4 4

1 -1

:33/ 4

1

1

1

1 -1 0

1 -5/4

0

0

1

1

0

0 35/33

0

1

0 10/33

0

1 -5/4

0

0

0 33/4

2

1 -1 0 25/33 0

1

0 0 8/33

0 10/33 1

4x - 4y + 4z = 1 2x + 2y - 3z =-2 + 5y+ 2z =-2

5/4

0 0 8/33

1

1

1 -1 -1

-1

1 -1

1

0

0

0 10/33

8/33

-1

0 0 8/33

1

Solución:

X=35/33 Y=10/33 Z= 8/33

1

1

1 -5/4

0 1

1

1

0 0

1

7

2

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Solución: 4 -4

:1/ 4

4

4

2

2 -3

2

0

5 2 -2

1 -1 1 :33/ 4

1 -1 -2

1

1 -5/4

0 3

0 33/4

0 :5/4

1 -1 7/11

0

0

1

0 6/11

0

0

1 4/11

1

2

2 -3 -2

0

5 2

1 -1

0 1

1

1

-2

1 -1

1 -5/4 -1

0 0 4/11

1

1 -1

1

0

4 -5 -4

0

5 2

1 -1

1

0

1

0 6/11

0

0

1 4/11

:1/ 4

1

1

-5

-2

1 1

1

1

0

1 -5/4 1

0

5 2

-2

1 -1 7/11

0

0

1

0 6/11

0

0

1 4/11

1 -1

1 -1

Solución: x = 1/11 y = -6/11 z = 4/11

- x+ y - z = 1 -2x + y - 3z = 10 3x + y + 2z = 3

Solución: 1 -1

1 -1

1 -1

1 -1

-1 1

-1 1

-2 1

-3 10

-2 1 -3 10

0 -1 -1

8

3 1

-2 3

3

1 -2

3

3

1 -1

1 -1

1 -1

1

-1

1 -1

1 -1

0

1

1

-8

0

1

1 -2/5

0

0

1 -38/5

0

0

1 -38/5

: -1

0 -1 -1

: 1/5

0 0 -5 38

2

8 -1

-3

3

-1

1 -2

4

1

0 -1 -1

8

0

6

4 -1

1 -1

0 33/5

0

1

1 -2/5

0

0

1 -8/5

6

7

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

1 0 31/5

0

0

1

1 -2/5

0

0

1 -8/5

Solución x = 31/5 y = -2/5 z = -38/5

y + 2x = 6 3x - 3y - 3z = -15 x + 3y + 3z = 11

Solución 2 1

0 6

-3

3 -3 -3 -15 1 3

5

-3

3 11

1 3

3 11

3 -3 15

-3 -

2 1

0

-2

3

1

3 11

0 -12 -12 48 2

1

0

1/12

6

3

3 11

0 -12 -12 48 2

1

0

6

6

1

3

3 11

1

3

3 11

1

3

3 11

1

3

3 11

0

1

1

0

1

1

4

0

1

1

0

1

0

0

-5

-6 16

0

0

-1

4

0

0

1 -4

0

0

1 -4

1

3

0 23

1

0

0 -1

0

1

0

8

0

1

0

0

0

1 -4

0

0

1 -4

4 -1

-1

Solución: x = 31/5 y = -2/5 z = -38/5

8

3y + z = -9 3x + y + 0z = -8 3x + 7y + 2z = -26

Solución 1/3

1

0 3

1 -9

0

3

3 1

0 -8

1 1/3 0 -8/3

3 7

2 -26

3

7

1

2

-9

-26

4 -3

8

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

*1/3

0 -8/3

0 -8/3

0

3

1

-9

0

1

1/3 -3

3

7

2

-26

3

7

2

1 1/3 1/3

1 1/3

1 1/3

-3

0 -8/3

*-6

-26

1

0 -1/9 5/3

0

1

1/3 -3

0

1

1/3 -3

0

0

0

0

0

0

0

1 1/3

0 -8/3

0

1

1/3 -3

0

6

2

-18

X-1/9 z= -5/3 1/9t Y+1/3z = -3 y = -3-1/3z

0

x= -5/3 + y=-3-1/3t

z =t

3x + y + z = 15 -x + 3y - z = -5 2x + 4y + 2z = 9

Solución: 3 1

3 15

-1 3

-1 -5

2 4 -3

3

1 -3

1

5

3 1

3 15

2 4

2

1 -3

1 -3

2

-1

-1 3

-1 -5

3 1

3 15

2 4

2

9

1

5

0 10 0

0

0 1 0

0

9

2 4

2

9

2 4

9

1

5

1 0

1

5

0 1

0

0

0 1

0

0

0 0

0

-1

0 0

0

-1

1/10

-2

1 -3

1

2

x+z=5 y=0 x=5–z z=t

9

5 2

x=5-t

1 -3

1

5

0 1

0

0

0 -2

0

-1

8

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

SISTEMAS HOMOGÉNEOS DE ECUACIONES

𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝒏 = 𝟎

Sistema Homogéneo

𝒂𝒏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏 𝒙𝒏 = 𝟎 Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene al menos una solución

2X1 + X2 + 3X3 = 0 X1 + 2X2 =0 X2+ X3 =0 (Trivial).

Solución: 2 1

1 2

0

0

3

0

1

2 0

0

2

1 3 0

0

-3 -3 0

0

1 1 0

0

1 1

0

1 1

-2

1 2

0

0

1 2

0 -2

c0

0

c 3

1 0 -2

0

1 0

-2

0

1 0

-2

0

0

1 1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

-3 -3 0

0

0

6

0

0

0

1

0

1/6 :5/4

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

X1 + 2X2 + 3X3=0 X2 + 4X3=0 5X3 =0

Solución: x=0 y=0 z=0

-1 1

0

2

0

0

1 1

0

-3 -3 0

1 -1 7/11

0

0

1

0 6/11

0

0

1 4/11

9

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Solución: 1 2

-2

3

0

0

1 4 0

0

1 5

1 0 1/5

c

0

-5

1 0

0

0

1 4 0

0

0 5

-4

0

-5

0

0

1 4

0

0

0 1 0

c

5 1/6 5:5/4

1 0

-5

0

1 0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

-1

Solución: x=0 y=0 z=0

c x + 6y – 2z = 0 2x - 4y +z =0

Solución: 1 6

-2

5 1/6 5:5/4

c

-2

1 6

0

2

-4 1 0

0

1 5

-1/16

0

1 0

-1/8

0

1

-5/16

0

0

1

0

c 0 0

-2

0

0

-16 5 0

0

0 5

0

1 6 -6

c

-2

0

0 0

1 -5/16 0

0

0 1 0

Solución: x -1/8z=0 x=1/8z = 1/8 t y -5/16z=0 y = 5/16z = 5/16 t z=t

10

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

MATRICES Matriz- Es un arreglo de números.

𝑎11 𝐴=𝑎

𝑛1

𝑎12 𝑎𝑛2

𝑎1𝑛 𝑎𝑛𝑛

𝑖 = 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛 𝑗 = 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 Una matriz la entenderemos como un arreglo numérico y lo constituirán renglones y figuras como se mencionó anteriormente. De forma que 𝑎𝑛𝑚 sera una matriz con n renglones y m columnas; una matriz será cuadrada si esta tiene el mismo numero de renglones que de columnas. El elemento 𝑎𝑗 sera el elemnto genérico de la matriz deberemos entender en adelante que el elemnto A se encuentra en el renglón “i” y la columna “j”. Dos matrices serán iguales si tiene el mismo tamaño, tiene los mismos elementos constituidos y además los elementos correspondientes son iguales. Existen varias operaciones algebraicas que se pueden definir sobre las matrices entre ella (-),(+),(.). Los elementos 𝑎𝑖𝑗 conforman la diagonal principal de la matriz. Dos matrices se pueden sumar y el resultado será una nueva matriz llamada matriz suma, sumando los elementos correspondientes. Las matrices deben ser del mismo tamaño por ejemplo:

1 1 1 𝐴=2 2 2 3 3 3

1 2 𝐵=3 2 2 3

2 𝐴+𝐵 =5 5

3 1 1

3 4 4 3 6 4

0 −1 −2 𝐴 − 𝐵 = −1 0 1 1 0 2 Producto de un Escalar por una Matriz A

1 1 𝑘𝐴 = 2 ∗ 2 2 3 3

1 2 2=4 3 6

2 2 4 4 6 6

11

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Producto 𝑨𝒏 𝒙 𝒎 𝑩𝒎 𝒙 𝑹 Deben ser conformadas = Pn x r ; es decir deben tener el mismo número de columnas.

𝐴𝑥𝐵 =

𝑃11 𝑃13

𝑃12 𝑃14

𝐴𝑥𝐵 =

46 31

82 21

Ejercicios 3 0 8 𝐴 = 2 −2 6 4 8 24

6 1 𝐵 = 3 −8 −6 −5

𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝐴 𝑥 𝐵

−30 −37 𝐴 𝑥 𝐵 = −30 −12 −96 −180 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 4𝐴 3 4𝐴 = 4 ∗ 2 4

0 8 12 0 −2 6 = 8 −8 8 24 16 32

32 24 96

𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝐴² 3 0 8 3 𝐴² = 2 −2 6 ∗ 2 4 8 24 4

0 8 41 −2 6 = 26 8 24 124

64 52 176

216 148 656

𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 (𝐴 • 𝐵)2 𝑦 (𝐴 • 𝐵)³ No se pueden resolver ya que el número de columnas de la primer matriz deben coincidir con el número de filas de la segunda matriz.

𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 6𝐴 − 𝐴² 3 0 8 41 6𝐴 − 𝐴² = 6 ∗ 2 −2 6 − 26 4 8 24 124

64 52 176

216 148 656

12

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

18 0 6𝐴 − 𝐴² = 12 −12 24 48

48 41 12 − 26 144 124

64 52 176

216 −23 −64 148 = −14 −64 656 −100 −128

−168 −136 −512

𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 8𝐴 6 1 48 8 8𝐴 = 8 ∗ 3 −8 = 24 −64 −6 −5 −48 −40

MÉTODO DE SARRUS Ejemplo: 2 𝑧= 5 2

−1 4 −6 4 2 0 2 −1 4 2 −1 det(𝑧) = 5 −6 4 5 −6 = (0 − 8 + 40) − (−48 + 16 + 0) = 𝟓𝟒 2 2 0 2 2

Encontrar los siguientes determinantes por el Método de Sarrus 𝟎 −𝟏 −𝟐 𝑨 = 𝟏 𝟎 −𝟏 𝟏 𝟎 𝟐 0 det(𝐴) = 1 1

−1 −2 0 0 −1 1 0 2 1

−1 0 = (0 + 1 + 0) − (0 + 0 − 2) = 𝟑 0

𝟏 𝟏 𝟏 𝑩= 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 1 1 det(𝐵) = 2 2 3 3

1 1 1 2 2 2 = (6 + 6 + 6) − (6 + 6 + 6) = 𝟎 3 3 3

𝟐 𝟐 𝟑 𝑪= 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 −𝟐 𝟏 2 2 3 2 det(𝐶) = 1 2 1 1 2 −2 1 2 𝟏 𝟐 𝟑 𝑫 = −𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 −𝟖 𝟗

2 2 = (4 + 4 − 6) − (12 − 4 + 2) = −𝟖 −2

13

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

1 2 3 1 2 det(𝐷) = −4 5 6 −4 5 = (45 + 84 + 96) − (105 − 4 − 72) = 𝟐𝟒𝟎 7 −8 9 7 −8 𝟏 𝟎 𝟑 𝑬 = 𝟒 𝟎 −𝟏 𝟐 𝟖 𝟔 1 det(𝐸) = 4 2

0 3 1 0 −1 4 8 6 2

0 0 = (0 + 0 + 96) − (0 + 8 + 0) = 𝟏𝟎𝟒 8

𝟖 𝟐 −𝟏 𝑭 = −𝟑 𝟒 −𝟔 𝟏 𝟕 𝟐 8 2 det(𝐹) = −3 4 1 7

−1 8 2 −6 −3 4 = (64 − 12 + 21)— (4 − 336 − 12) = 𝟒𝟐𝟓 2 1 7

𝟏 −𝟐 𝟕 𝑮= 𝟑 𝟓 𝟏 𝟒 𝟑 𝟖 1 det(𝐺) = 3 4

−2 7 1 −2 5 1 3 5 = (40 − 8 + 63)— (140 + 3 − 48) = 𝟎 3 8 4 3

𝟏 −𝟐 𝟑 𝑯= 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 −𝟖 𝟗 1 det(𝐹) = 4 7

−2 3 1 −2 5 6 4 5 = (45 − 84 − 96)— (105 − 48 − 72) = −𝟏𝟐𝟎 8 9 7 −8

MATRIZ INVERSA La inversa de una matriz la podemos obtener con ayuda de Gauss Jordan y la matriz identidad. Matriz Identidad 1 0 𝐼= 0 1 0 0

0 0 1

Nota: Es importante saber que para ser posible sacar la inversa de una matriz su determinante debe ser diferente de cero.

14

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Ejercicios:

15

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

16

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

17

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

18

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

MÉTODO DE COFACTORES O MENORES

Ejemplo:

−1 −4 8 −1 −4 M11 = 3 2 1 3 2 = 𝑑𝑒𝑡𝑀11 = (−8 + 0 + 48) − (0 − 2 − 48) = 𝟗𝟎 0 2 4 0 2 3 M12 = 6 4

−4 8 3 −4 2 1 6 2 = 𝑑𝑒𝑡𝑀12 = (24 − 16 + 96) − (64 + 6 − 96) = 𝟏𝟑𝟎 2 4 4 2

3 M13 = 6 4

−1 8 3 −1 3 1 6 3 = 𝑑𝑒𝑡𝑀13 = (36 − 4 + 0) − (96 + 0 − 24) = −𝟒𝟎 0 4 4 0

3 M14 = 6 4

−1 −4 3 3 2 6 0 2 4

8 M21 = 3 0

6 4 8 6 2 1 3 2 = 𝑑𝑒𝑡𝑀21 = (64 + 0 + 24) − (0 + 16 + 72) = 𝟎 2 4 4 2

−1 3 = 𝑑𝑒𝑡𝑀14 = (18 − 8 + 0) − (−48 + 0 − 12) = 𝟕𝟎 0

2 = 6 4

6 4 2 6 2 1 6 2 = 𝑑𝑒𝑡𝑀22 = (16 + 24 + 48) − (32 + 4 + 144) = −𝟗𝟐 2 4 4 2

2 M23 = 6 4

8 4 2 8 3 1 6 3 = 𝑑𝑒𝑡𝑀23 = (24 + 32 + 0) − (48 + 0 + 192) = −𝟏𝟖𝟒 0 4 4 0

2 M24 = 6 4

8 6 2 8 3 2 6 3 = 𝑑𝑒𝑡𝑀24 = (12 + 64 + 0) − (72 + 0 + 96) = −𝟗𝟐 0 2 4 0

M22

8 6 4 8 6 M31 = −1 −4 8 −1 −4 = 𝑑𝑒𝑡𝑀31 = (−128 + 0 − 8) − (0 + 128 − 24) = −𝟐𝟒𝟎 0 2 4 0 2 2 M32 = 3 4

6 4 2 −4 8 3 2 4 4

6 −4 = 𝑑𝑒𝑡𝑀32 = (−32 + 192 + 24) − (−64 + 32 + 72) = −𝟏𝟒𝟒 2

19

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

M33

2 = 3 4

2 M34 = 3 4

8 4 2 −1 8 3 0 4 4

8 −1 = 𝑑𝑒𝑡𝑀33 = (−8 + 256 + 0) − (−16 + 0 + 96) = 𝟏𝟔𝟖 0

8 6 2 8 −1 −4 3 −1 = 𝑑𝑒𝑡𝑀34 = (−4 − 128 + 0) − (−24 + 0 + 48) = −𝟏𝟓𝟔 0 2 4 0

8 6 4 8 6 M41 = −1 −4 8 −1 −4 = 𝑑𝑒𝑡𝑀41 = (−32 + 144 − 8) − (−48 + 128 − 6) = 𝟑𝟎 3 2 1 3 2 2 M42 = 3 6

6 4 2 −4 8 3 2 1 6

6 −4 = 𝑑𝑒𝑡𝑀42 = (−8 + 288 + 24) − (−96 + 32 + 18) = 𝟑𝟓𝟎 2

2 M43 = 3 6

8 4 2 −1 8 3 3 1 6

8 −1 = 𝑑𝑒𝑡𝑀43 = (−2 + 384 + 36) − (−24 + 48 + 24) = 𝟑𝟕𝟎 3

2 M44 = 3 6

8 6 2 −1 4 3 3 2 6

8 −1 = 𝑑𝑒𝑡𝑀44 = (−4 − 192 + 54) − (−36 − 24 + 48) = −𝟏𝟑𝟎 3 𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗

Matriz de Menores Cambiar los signos a la matriz de menores para sacar la matriz de Cofactores.

Matriz de

Cofactores

𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = 𝑎11 𝑐11 + 𝑎12 𝑐12 + 𝑎13 𝑐13 + 𝑎14 𝑐14 𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = (2)(90) + (8)(−130) + (6)(−40) + (4)(−70) = −1380

20

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Ejercicios: 0 −1 −2 𝐴 = 1 0 −1 1 0 2 𝑀11 =

0 0

−1 (0) (0) = − =0 2

𝑀12 =

1 1

−1 (2) (−1) = − =3 2

𝑀13 =

1 1

0 (0) (0) = − =0 0

𝑀21 =

−1 −2 (−2) (0) = − = −2 0 2

𝑀22 =

0 1

−2 (0) (−2) = − =2 2

𝑀23 =

0 1

−1 = (0) − (−1) = 1 0

𝑀31 =

−1 −2 (0) (−1) = − =1 0 −1

𝑀32 =

0 1

−2 = (0) − (−2) = 2 −1

𝑀23 =

0 1

−1 = (0) − (−1) = 1 0

Matriz de Menores 0 3 0 𝐶𝑖𝑗= −2 2 1 1 2 1 Matriz de Cofactores 0 −3 0 𝐶𝑖𝑗= 2 2 −1 1 −2 1 𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = (0)(0) + (−1)(−3) + (0)(−2) = 𝟑

1 𝐵= 2 3

1 1 2 2 3 3

21

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Matriz de Menores 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matriz de Cofactores 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Calculo del determinante: 𝐷𝑒𝑡(𝐵) = 𝟎

2 𝐶= 1 2

2 3 2 1 −2 1

Matriz de Menores 4 −1 6 8 −4 −8 −4 −1 2 Matriz de Cofactores 4 1 −6 −8 −4 8 −4 1 2 Calculo del determinante: det(𝐶) = (2)(4) + (2)(1) + (3)(−6) = −𝟖

1 2 3 𝐷 = −4 5 6 7 −8 9

Matriz de Menores 93 −78 −3 42 −12 −22 −3 18 13

22

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Matriz de Cofactores 93 78 −3 −42 −12 22 −3 −18 13 Calculo del determinante: det(𝐷) = (1)(93) + (2)(78) + (3)(−3) = 𝟐𝟒𝟎

1 2 3 𝐸 = −4 5 6 7 −8 9

Matriz de Menores 8 26 32 −24 0 8 0 −13 0 Matriz de Cofactores 8 −26 32 24 0 −8 0 13 0 Calculo del determinante: det(𝐸) = (1)(8) + (0)(−26) + (3)(32) = 𝟏𝟎𝟒

8 2 −1 𝐹 = −3 4 −6 1 7 2

Matriz de Menores 50 0 −25 11 17 54 −8 −51 38 Matriz de Cofactores 50 0 −11 17 −8 51

−25 −54 38

23

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Calculo del determinante: det(𝐹) = (8)(50) + (2)(0) + (−1)(−25) = 𝟒𝟐𝟓

1 𝐺= 3 4

−2 7 5 1 3 8

Matriz de Menores 37 20 −11 −37 −20 11 −37 −20 11 Matriz de Cofactores 37 −20 −11 37 −20 −11 −37 20 11 Calculo del determinante: det(𝐺) = (1)(37) + (−2)(−20) + (7)(−11) = 𝟎

1 −2 3 𝐻= 4 5 6 7 −8 9

Matriz de Menores 93 −6 −67 6 −12 6 −27 −6 13 Matriz de Cofactores 93 6 −67 −6 −12 −6 −27 6 13 Calculo del determinante: det(𝐻) = (1)(93) + (−2)(6) + (3)(−67) = −𝟏𝟐𝟎

24

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

OBTENCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ VÍA LA ADJUNTA Se tiene una matriz “n” de 3x3 se hacen sub-matrices para sacar el determinante. Matriz Transpuesta ADJUNTA DE LA

Los renglones se vuelven columnas y se llama MATRIZ

Ejemplo: a)

det(𝐴) = −1380 Matriz de Cofactores

𝐴𝑑𝑗 (𝐴) = 𝐶𝑖𝑗 𝑇 𝐴−1 =

𝐴𝑑𝑗 (𝐴) det(𝐴)

25

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Ejercicios: 0 𝐴= 1 1

−1 −2 0 −1 0 2

Matriz de Cofactores 0 −3 0 𝐶𝑖𝑗 = 2 2 −1 1 −2 1 det(𝐴) = (0)(0) + (−1)(−3) + (−2)(0) = 3

0 2 1 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = −3 2 −2 0 1 1

Comprobación:

MÉTODO DE CRAMER

𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝒏 = 𝒃𝟏 𝒂𝒏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝒏𝟑 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏 𝒙𝒏 = 𝒃𝒏 𝑋1 =

∆1 ∆

𝑋2 =

∆2 ∆

𝑋3 =

∆3 ∆ ∆ 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 (𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)

Ejemplo

26

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

2𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 8 3𝑋1 − 2𝑋2 − 𝑋3 = 1

4𝑋1 − 7𝑋2 + 3𝑋3 = 10 2 ∆= [ 3 4

1 1 −2 −1] = 2(−13) − 13 − 13 = −52 −7 3

8 ∆1 = [ 1 10 2 ∆2 = [3 4

;

∆= −52

1 1 −2 −1] = 8 (−6 − 7) − 1(3 + 10) + 1(−7 + 20) = −104 − 13 + 13 = −104 −7 3 8 1 1 −1 ] = 2 (3 + 10) − 8(9 + 4) + 1(30 − 4) = 26 − 104 + 26 = −52 10 3

2 1 8 ∆3 = [3 −2 1 ] = 2 (−20 + 7) − 1(30 − 4) + 8(−21 + 8) = −26 − 26 − 104 = −156 4 −7 10 Sustituyendo: 𝑿𝟏 =

−𝟏𝟎𝟒 =𝟐 −𝟓𝟐

𝑿𝟐 =

−𝟓𝟐 =𝟏 −𝟓𝟐

𝑿𝟑 =

−𝟏𝟓𝟔 =𝟑 −𝟓𝟐

Ejercicios 𝒙−𝒚+𝒛=𝟏 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟐 −𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏 1 ∆= [ 2 −3 ∆= 33 𝑋1 =

∆1 ∆

𝑋2 =

∆2 ∆

−1 1 2 −3] = 1(8 + 12) + 1(8 − 9) + 1(8 + 6) = 20 − 1 + 14 = 33 4 4

27

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

𝑋3 =

∆3 ∆

1 −1 1 ∆1 = 2 2 −3 = 1 (8 + 12) + 1(8 + 3) + 1(8 − 2) = 20 + 11 + 6 = 37 1 4 4 1 1 1 ∆2 = 2 2 −3 = 1 (8 + 3) − 1(8 − 9) + 1(2 + 6) = 11 + 1 + 8 = 20 −3 1 4 1 −1 1 ∆3 = 2 2 2 = 1 (2 − 8) + 1(2 + 6) + 1(8 + 6) = −6 + 8 + 14 = 16 −3 4 1

Sustituyendo: 𝟑𝟕 = 𝟏. 𝟏𝟐 𝟑𝟑 𝟐𝟎 𝒀= = 𝟎. 𝟔𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟔 𝒁= = 𝟎. 𝟒𝟖 𝟑𝟑 𝑿=

𝟒𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒁 = −𝟐 𝟓𝒚 + 𝟐𝒛 = −𝟐

4 ∆= [ 2 0 ∆= 132 𝑋1 =

∆1 ∆

𝑋2 =

∆2 ∆

𝑋3 =

∆3 ∆

−4 4 2 −3] = 4(4 + 15) + 4(4 − 0) + 4(10 + 0) = 76 + 16 + 40 = 132 5 2

28

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

4 −4 4 ∆1 = [−2 2 −3] = 4 (4 + 15) + 4(−4 − 6) + 4(−10 + 4) = 76 − 40 − 24 = 12 −2 5 2 4 ∆2 = [2 0

4 4 −2 −3 ] = 4 (−4 − 6) − 4(4 − 0) + 4(−4 − 0) = −40 − 16 − 16 = −72 −2 2

4 ∆3 = [2 0

−4 4 2 −2] = 4 (−4 + 10) + 4(−4 + 0) + 4(10 + 0) = 24 − 16 + 40 = 48 5 −2

Sustituyendo: 𝒙=

𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟗 𝟏𝟑𝟐

𝒚=

−𝟕𝟐 = −𝟎. 𝟓𝟒 𝟏𝟑𝟐

𝒛=

𝟒𝟖 = 𝟎. 𝟑𝟔 𝟏𝟑𝟐

𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔 𝟑𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟑𝒁 = −𝟏𝟓 𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟏 0 ∆= [3 1

1 2 −3 −3] = 0 − 1(9 + 3) + 2(9 + 3) = −12 + 24 = 12 3 3

∆= 12 𝑥=

∆1 ∆

𝑦=

∆2 ∆

𝑧=

∆3 ∆

6 1 2 ∆1 = [−15 −3 −3] = 6 (−9 + 9) − 1(−45 + 33) + 2(−45 + 33) = 0 + 12 − 24 = −12 11 3 3 0 ∆2 = [3 1

6 2 −15 −3 ] = 0 − 6(9 + 3) + 2(33 + 15) = −72 + 96 = 24 11 3

29

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

0 ∆3 = [3 1

1 6 −3 −15] = 0 − 1(33 + 15) + 6(9 + 3) = −48 + 72 = 24 3 11

Sustituyendo: 𝒙=

−𝟏𝟐 = −𝟏 𝟏𝟐

𝒚=

𝟐𝟒 =𝟐 𝟏𝟐

𝒛=

𝟐𝟒 =𝟐 𝟏𝟐

−𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟏 −𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒁 = 𝟏𝟎 𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟑 −1 ∆= [ −2 3

1 1 1

−1 −3] = −1(2 + 3) − 1(−4 + 9) − 1(−2 − 3) = −5 − 5 + 5 = −5 2

∆= −5 𝑥=

∆1 ∆

𝑦=

∆2 ∆

𝑧=

∆3 ∆

1 ∆1 = [10 3

1 −1 1 −3] = 1 (2 + 3) − 1(20 + 9) − 1(10 − 3) = 5 − 29 − 7 = −31 1 2

−1 1 ∆2 = [−2 10 3 3 −1 1 ∆3 = [−2 1 3 1

−1 −3 ] = −1 (20 + 9) − 1(−4 + 9) − 1(−6 − 30) = −29 − 5 + 36 = 2 2 1 10] = −1 (3 − 10) − 1(−6 − 30) + 1(−2 − 3) = 7 + 36 − 5 = 38 3

30

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Sustituyendo: −𝟑𝟏 = 𝟔. 𝟐 −𝟓 𝟐 𝒚= = −𝟎. 𝟒 −𝟓 𝟑𝟖 𝒛= = −𝟕. 𝟔 −𝟓 𝒙=

𝟑𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 − 𝑿𝟑 = −𝟏𝟓 𝟓𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 + 𝟑𝑿𝟑 = 𝟎 𝟑𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝟑𝑿𝟑 = 𝟏𝟏 3 ∆= [ 5 3

2 3 1

−1 3 ] = 3(9 − 3) − 2(15 − 9) − 1(5 − 9) = 18 − 12 + 4 = 10 3

∆= 10 ∆1 ∆ ∆2 𝑋2 = ∆ ∆3 𝑋3 = ∆ 𝑋1 =

−15 2 −1 ∆1 = [ 0 3 3 ] = −15 (9 − 3) − 2(0 − 33) − 1(0 − 33) = −90 + 66 + 33 = 9 11 1 3 3 ∆2 = [5 3

−15 −1 0 3 ] = 3 (0 − 33) + 15(15 − 9) − 1(55 − 0) = −99 + 90 − 55 = −64 11 3

3 ∆3 = [5 3

2 −15 3 0 ] = 3 (33 − 0) − 2(55 − 0) − 15(5 − 9) = 99 − 110 + 60 = 49 1 11

Sustituyendo: 𝑿𝟏 =

𝟗 = 𝟎. 𝟗 𝟏𝟎

𝑿𝟐 =

−𝟔𝟒 = −𝟔. 𝟒 𝟏𝟎

𝑿𝟑 =

𝟒𝟗 = 𝟒. 𝟗 𝟏𝟎

31

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial es un sobre el cual están definidas dos operaciones suma y producto por un escalar. a) X Y Z b) V, A, B

vectores espacios vectoriales

Deben cumplir con las 10 características: 1) Si X & Y son elementos de V, entonces: Si X&Y ∈ V

X+Y = Y+X

PROPIEDAD CONMUTATIVA

2) Si X+Y+Z son elementos arbitrarios entonces X+Y+Z = (X+Y)+Z = X + (Y+Z) PROPIEDAD ASOCIATIVA 3) Existe un único elemento llamado cero en V, y denotado por cero, tal que X es arbitrario igual a X X+0 = 0+X = X 4) Para todo X arbitrario en V existe un inverso simétrico bajo la suma, denotado (-X) tal que sumando X con su simétrico da cero X + (-X) = 0 5) Si X&Y son elementos de V siempre existe definida su suma denotada por (X+Y) 6) Si K es un real arbitrario y X también es un elemento de V arbitrario pero en B, entonces siempre está definido el producto denotado por Kx y además es elemento de V 7) Si K1 & k2 son elementos arbitrarios de los reales y X es un elemento de V (k1+k2) X = k1 (k2 X) = k2 (k1 X) 8) Si K1 & k2 son elementos de los reales y X es un vector arbitrario en V entonces k1&k2 resultan ser redes arbitrarias 9) Si X&Y son elementos de V, y, K es un elemento de los reales, entonces 10) Existe un único elemento en R tal que si XGV Todo conjunto V sobre el cual existen definida en las operaciones binarias la suma y el producto por un escalar de tal forma que las 10 condiciones anteriores se satisfagan, diremos que es un espacio vectorial, a los elementos que conforman V es común llamarles vectores. z

P(x,y,z)

k i x

i= (1,0,0)

β

j

j=(0,1,0) y

k=(0,0,1)

32

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 0,0) + (0, 𝑦, 0) + (0,0, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1,0,0) + 𝑦(0,1,0) + 𝑧(0,0,1) 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥î + 𝑦ĵ + 𝑧𝑘 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋î + 𝑌ĵ + 𝑍𝑘 z

α

γ

β y

x

||Ā || = √𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 𝛼, 𝛽, 𝛾 = 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑋

𝑐𝑜𝑠𝛼 = (

) √𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 𝑌 𝑐𝑜𝑠𝛽 = ( ) √𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 𝑍 𝑐𝑜𝑠𝛾 = ( ) √𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 𝐶𝑂𝑆 2 𝛼 + 𝐶𝑂𝑆 2 𝛽 + 𝐶𝑂𝑆 2 𝛾 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = (

𝑋2 (√𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 )2

𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 = (

𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = (

𝑌2

)

2)

(√𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 ) 𝑍2

(√𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 )2

)

𝐶𝑂𝑆 2 𝛼 + 𝐶𝑂𝑆 2 𝛽 + 𝐶𝑂𝑆 2 𝛾 =

𝑋2 𝑌2 𝑍2 + + 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2

𝐶𝑂𝑆 2 𝛼 + 𝐶𝑂𝑆 2 𝛽 + 𝐶𝑂𝑆 2 𝛾 = 1

33

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

SUB-ESPACIOS VECTORIALES Suponga usted que V es un espacio vectorial y W es un subconjunto en V como s muestra en la figura: V En virtud de que V es un espacio vectorial es válido preguntar, si W también lo será, cuando esto pase diremos que W es un subespacio vectorial de V.

W

Si W es un subespacio vectorial de V entonces dos operaciones binarias están definidas en él; la suma y el producto por un escalar, las cuales deben satisfacer las 10 propiedades que debe cumplir un espacio vectorial. Un breve análisis de las 10 características que debe tener un espacio vectorial nos lleva a afirmar que el “0” de V debe ser también el “0” de W. Una manera más ágil de saber si el conjunto W es un subespacio de V es: 1.- W es cerrado bajo la suma, es decir, la suma de dos elementos en W también es un elemento de W. 2.- W es cerrado bajo el producto por un escalar, es decir, si X es un elemento arbitrario de W y K es un real entonces XK de nuevo es un elemento d W. Si W lo consideramos como el primer cuadrante con su frontera entonces W no será un subespacio vectorial de R2 en virtud de que:

Sea W igual a la unión del primero y el tercer cuadrante como se muestra en la figura, ¿W es un subespacio vectorial de V?

34

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

35

La respuesta al problema anterior es negativa en virtud de que se tengan dos vectores A y B como se muestra en la figura (en la frontera), la suma de ellos no pertenece al conjunto, por ende W no es un subespacio vectorial de B2.

L1 no es un subespacio vectorial en virtud de que no tiene “0” L2 si es un subespacio vectorial en virtud de que si tiene el cero aditivo y además L2 es cerrado bajo la misma suma y bajo el producto por un escalar.

⋋𝟏 𝒙𝟏 +⋋𝟐 𝒙𝟐 … +⋋𝒏 𝒙𝒏 = 𝟎 ⋋𝟏 =⋋𝟐 =⋋𝟒 =⋋𝒏 = 𝟎

Relación denominada como una combinación lineal de los vectores 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜.

Diremos que el conjunto de vectores W es linealmente dependiente si dada como una combinación lineal como 1, en ella la única solución es la trivial. S en relación 1 además de la solución trivial hay otra soluciones entonces diremos que el conjunto de vectores W es linealmente dependiente: Otra manera es la siguiente: Si en una ecuación como 1, uno de los vectores se puede expresar en términos de los restantes, entonces el conjunto de vectores W será linealmente dependiente. En caso contrario diremos que el conjunto W es linealmente independiente (ninguno de los vectores que conforman W puede ser expresado como combinación lineal de los restantes. Si W tiene la característica de que cualquier vector arbitrario de V para ser expresado como una combinación lineal de los vectores 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 elementos de W entonces diremos que W es un conjunto generador de V. Si además de que W es un conjunto generador de V, W está formado por vectores linealmente independientes entonces diremos que 𝑊 = 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 en una base de V. Al número de elementos que conforman W siendo W una base de V lo llamaremos la dimensión N del espacio vectorial. Notas: Las bases en V no necesariamente son únicas, pero si deben de tener el mismo número de elementos n.

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Si n es la dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita V cualquier conjunto que tenga más de n elementos, en automático será linealmente dependiente, en otras palabras para que un subconjunto de V pueda ser linealmente dependiente, el número de elementos de este subconjunto deberá ser menor o igual a n. Si en una base V tenemos que los elementos de la base son de magnitud o norma 1 y ortogonales; es decir cualquier vector es perpendicular a cada uno de los vectores restantes de la base. Existe un único subespacio llamado subespacio trivial n V y este consta de un solo elemento cero, el cero por conveniente la dimensión del espacio trivial de W(n) es cero Si lo anterior sucede la base de la que hablamos la llamaremos una base orto normal. 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Características de i, j, k -Unitarias -Ortogonales -Conforman una base ortonormal 𝒏(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌

Como i, j, k son untarías y ortonormales conforman una base ortonormal y a su vez conforman una base de R³ 1.- Determine si el ángulo formado por U y V es agudo, obtuso o si los vectores son ortogonales 𝑎)𝑢̅ = (7,3,5) 𝑣̅ = (−8,4,2) 𝑏)𝑢̅ = (6,1,3) 𝑣̅ = (4,0, −6) 𝑐)𝑢̅ = (1,1,1) 𝑣̅ = (−1,0,0) 𝑑)𝑢̅ = (4,1,6) 𝑣̅ = (−3,0,2) ==> 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑒)𝑢̅ = (1, −3,7) 𝑣̅ = (8, −2, −2) 𝑓)𝑢̅ = (−3,1,2) 𝑣̅ = (4,2, −5)

𝑎)‖𝑢̅‖ = √72 + 32 + 52 = 9.11 ‖𝑣̅ ‖ = √(−8)2 + 42 + 22 = 9.17 (7 ∗ −8) + (3 ∗ 4) + (5 ∗ 2) 𝑢̅. 𝑣̅ 34 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 − = 114.01° ‖𝑢̅‖‖𝑣̅ ‖ (9.11 ∗ 9.17) 83.54 Angulo Obtuso 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

36

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

𝑏)‖𝑢̅‖ = √62 + 12 + 32 = 6.78 ‖𝑣̅ ‖ = √42 + (−6)2 = 7.21 (6 ∗ 4) + (1 ∗ 0) + (3 ∗ −6) 𝑢̅. 𝑣̅ 6 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 82.95° ‖𝑢̅‖‖𝑣̅ ‖ (6.78 ∗ 7.21) 48.88 Angulo Agudo 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

𝑏)‖𝑢̅‖ = √62 + 12 + 32 = 6.78 ‖𝑣̅ ‖ = √42 + (−6)2 = 7.21 (6 ∗ 4) + (1 ∗ 0) + (3 ∗ −6) 𝑢̅. 𝑣̅ 6 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 82.95° ‖𝑢̅‖‖𝑣̅ ‖ (6.78 ∗ 7.21) 48.88 Angulo Agudo 𝑐)‖𝑢̅‖ = √12 + 12 + 12 = 1.7321 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

‖𝑣̅ ‖ = √(−1)2 = 1 (1 ∗ −1) + (1 ∗ 0) + (1 ∗ 0) 𝑢̅. 𝑣̅ −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 125.26° ‖𝑢̅‖‖𝑣̅ ‖ (1.7321 ∗ 1) 1.7321 Angulo Obtuso 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

𝑑)‖𝑢̅‖ = √42 + 12 + 62 = √53 ‖𝑣̅ ‖ = √(−3)2 + 02 + 22 = √13 (4 ∗ −3) + (1 ∗ 0) + (6 ∗ 2) 𝑢̅. 𝑣̅ 0 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 90° ‖𝑢̅‖‖𝑣̅ ‖ (√53 ∗ √13) √689 Angulo Ortogonal 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

𝑢̅ 4 1 6 = + + ‖𝑢̅‖ √53 √53 √53 𝑣̅ −3 0 6 = + + ‖𝑣̅ ‖ √13 √13 √13 𝑒)‖𝑢̅‖ = √12 + (−3)2 + 72 = √59 ‖𝑣̅ ‖ = √82 + (−2)2 + (−2)2 = 6√2 𝑢̅. 𝑣̅ (1 ∗ 8) + (−3 ∗ −2) + (7 ∗ −2) 0 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 90° ‖𝑢̅‖‖𝑣̅ ‖ 6√118 (√59 ∗ 6√2) Angulo Ortogonal 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

𝑓)‖𝑢̅‖ = √(−3)2 + 12 + 22 = √14 ‖𝑣̅ ‖ = √42 + (2)2 + (−5)2 = 3√5

37

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

𝑢̅. 𝑣̅ (−3 ∗ 4) + (1 ∗ 2) + (2 ∗ −5) −2√70 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 142.83° ‖𝑢̅‖‖𝑣̅ ‖ 21 (√14 ∗ 3√5) Angulo Ortogonal 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

2.- Determine 2 Vectores de norma 1, que sean ortogonales a 3,-2 𝑎)𝑎̅ = (3, −2) 𝑏)𝑏̅ = (−2 − 3) 𝑐)𝑐̅ = (2,3) Comprobación 𝑎̅. 𝑐̅ = (2,3). (3, −2) = 6 − 6 = 0 𝑏̅. 𝑐̅ = (−2, −3). (3, −2) = −6 + 6 = 0 ‖𝑎̅‖ = √(−2)2 + 32 = √13 ‖𝑏̅‖ = √(−2)2 + (−3)2 = √13 ‖𝑐̅‖ = √22 + 32 = √13 𝑏̅ 2 3 =− − ̅ ‖𝑏‖ √13 √13 𝑐̅ 2 3 = + ‖𝑐̅‖ √13 √13 𝑏̅ 2 2 3 2 √ ‖ ‖ = (− ) + (− ) =1 ‖𝑏̅‖ √13 √13

‖

𝑐̅ 2 2 3 2 ) +( ) =1 ‖ = √( ‖𝑐̅‖ √13 √13

Angulos 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

(2 ∗ −3) + (3 ∗ −2) 𝑎̅. 𝑏̅ 0 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 90° 13 ‖𝑎̅‖‖𝑏̅‖ (√13 ∗ √13) 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

(2 ∗ 3) + (3 ∗ 2) 𝑎̅. 𝑐̅ 0 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 90° ‖𝑎̅‖‖𝑐̅‖ 13 (√13 ∗ √13)

38

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

PRODUCTO ESCALAR

̅•𝑩 ̅ 𝑨

z ø y x

Ā • B = (Xoî yoĵ ZoK) . (X1î y1ĵ Z1K) = XoX1 + yo y1 + Zo Z1 cosΘ =

ĀḂ ||Ā || ||Ḃ||

Ā •𝐵 Θ = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) ||Ā ||||𝐵|| Si ||Ā || es igual a 1, se le llama vector unitario. Si Ā L B= 0 entonces Ā •Ḃ = 0 Si además de ser unitarios son perpendiculares, los vectores son ortonormales. Decimos que ||Ā || = ||B || diremos que Ā & Ḃ son ortogonales.

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

̅𝒙 𝑩 ̅ 𝑨

||Ā x Ḃ|| = ||A|| ||B|| Sen Θ

(Regla de la mano derecha)

||Ā x Ḃ|| =

î ĵ Xo Yo 𝑋1 𝑌1

𝑘 Zo = î (Yo Z1 – Y1 Zo ) – ĵ(Xo Z1 – X1 Zo) + K(Xo Y1 – X1 Yo) 𝑍1

39

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

TRIPLE PRODUCTO

Ā •(B•C) = (Ā X Ḃ)•C =

X0 𝑋1 𝑋2

Y0 𝑌1 𝑌2

𝑍0 𝑍1 𝑍2

Volumen del paralelepípedo rectángulo Cos Ā Ḃ C, como aristas

Ejercicios: 1. Sea: 𝐴̅ = 6𝑖̂ − 6𝑗̂ + 4𝑘̂ 𝐵̅ = 3𝑖̂ − 2𝑗̂ − 4𝑘̂ 𝐶̅ = 2𝑖̂ − 4𝑗̂ − 2𝑘̂ Encuentre a) 𝐴̅ 𝑥 𝐵̅ 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝐴̅ 𝑥 𝐵̅ = |6 −6 4 | = 𝑖̂[(−6 ∗ 4) − (−2 ∗ 4)] − 𝑗̂[(6 ∗ −4) − (3 ∗ 2)] + 3 −2 −4 𝑘̂ [(6 ∗ −2) − (3 ∗ −6)] = 𝑖̂(24 + 8) − 𝑗̂(−24 − 12) + 𝑘̂ (−12 + 18) = 32𝑖̂ + 36𝑗̂ + 6𝑘̂ b) 𝐴̅ . 𝐵̅ 𝐴̅ . 𝐵̅ = (6 ∗ 3) + (−6 ∗ −2) + (4 ∗ −4) = 18 + 12 − 16 = 14 c) ‖𝐴̅‖ ‖𝐴̅‖ = √(6)2 + (−6)2 + (4)2 = √36 + 36 + 16 = √88

40

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

6 −6 4 d) 𝐴̅ . (𝐵̅𝑥𝐶̅ ) = |3 −2 −4| = 6[(−2 ∗ −2) − (−4 ∗ −4)] − (−6)[(3 ∗ −2) − 2 −4 −2 (2 ∗ −4)] + 4[(3 ∗ −4) − (2 ∗ −2)] = 6(4 − 16) + 6(−6 + 8) + 4(−12 + 4) = 6(−12) + 6(2) + 4(−8) = −92 2. Sean: 𝐴̅ = 2𝑖̂ + 4𝑗̂ − 3𝑘̂ 𝐵̅ = 𝑖̂ + 𝑗̂ + 2𝑘̂ 𝐶̅ = 0𝑖̂ + 4𝑗̂ − 4𝑘̂ Encuentre. a) (𝐴̅ 𝑥 𝐵̅). (𝐵̅ 𝑥 𝐶̅ ) 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ ̅ ̅ 𝐴 𝑥 𝐵 = |2 4 −3| 1 1 2 = 𝑖̂[(4 ∗ 2) − (1 ∗ −3)] − 𝑗̂[(2 ∗ 2) − (1 ∗ −3)] + 𝑘̂ [(2 ∗ 1) − (1 ∗ 4)] = 𝑖̂(8 + 3) − 𝑗̂(4 + 3) + 𝑘̂ (2 − 4) = 11𝑖̂ − 7𝑗̂ − 2𝑘̂ 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝐵̅ 𝑥 𝐶̅ = |1 1 2 | = 𝑖̂(−4 − 8) − 𝑗̂(−4) + 𝑘̂ (4) = −12𝑖̂ + 4𝑗̂ + 4𝑘̂ 0 4 −4 (𝐴̅ 𝑥 𝐵̅). (𝐵̅ 𝑥 𝐶̅ ) = (11 𝑥 -12) + (-7 𝑥 4) + (-24) = -132-28-8 = -168

̅‖ ̅ ‖; ‖𝑩 ̅ ‖; ‖𝑪 b) ‖𝑨 ‖𝐴̅‖ = √(2)2 + (4)2 + (−3)2 = √29 = 5.38 ‖𝐵̅‖ = √(1)2 + (1)2 + (2)2 = √6 = 2.45 ‖𝐶̅ ‖ = √(0)2 + (4)2 + (−4)2 = √32 = 5.66 ̅ 𝑨

c)‖𝑨̅‖ =

̂ 2𝑖̂+4𝑗̂ −3𝑘 √29

= 0.37𝑖̂ + 0.74𝑗̂ − 0.56𝑘̂

̅&𝑩 ̅ .Primero, d) Encuentra un vector unitario perpendicular a 𝑨 ̅𝒙𝑩 ̅ encontrar el producto cruz de 𝑨 𝑖̂ 𝐴̅ 𝑥 𝐵̅ = |2 1

𝑗̂ 𝑘̂ 4 −3| = 𝑖̂[(4𝑥2) − (1𝑥 − 3)] − 𝑗̂[(2𝑥2) − (1𝑥 − 3)] + 𝑘̂ [(2𝑥1) − (1𝑥4)] 1 2 ̂ = 𝑖̂(8 + 3) − 𝑗̂(4 + 3) + 𝑘̂ (2 − 4) = 𝟏𝟏𝒊̂ − 𝟕𝒋̂ − 𝟐𝒌

Encontrar la magnitud de dicho producto ‖𝐴̅ 𝑥 𝐵̅‖ = √(11)2 + (−7)2 + (−2)2 = √174 Dividir producto cruz entre la magnitud 𝐴̅ 𝑥 𝐵̅ 11𝑖̂ 7𝑗̂ 2𝑘̂ = − − ‖𝐴̅ 𝑥 𝐵̅‖ √174 √174 √174

41

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Obtener la norma de dicho vector para saber si es unitario 2 ̅𝒙𝑩 ̅ 𝑨 11𝑖̂ 2 7𝑗̂ 2 2𝑘̂ ‖ ‖ = √( ) + (− ) + (− ) =1 ̅𝒙𝑩 ̅‖ ‖𝑨 √174 √174 √174

̅ ̅, 𝑩 ̅, 𝑪 e) Encuentre el V.P.R cuyas aristas son 𝑨 Haciendo por triple producto escalar 2 𝐴̅. (𝐵̅ 𝑥 𝐶̅ ) = |1 0

4 −3 1 2 1 2 1 1 |− 4| | + (−3) | | 1 2 | = 2| 4 −4 0 −4 0 4 4 −4 = 2(−4 − 8) − 4(−4) − 3(4) = −24 + 16 − 12 = −20 𝑉 = |−20| = 20 𝑈𝑉

̅ )]𝒙𝑪 ̅ ̅ . (𝑩 ̅ 𝒙𝑪 f) [𝑨 𝐴̅. (𝐵̅ 𝑥 𝐶̅ ) = −20 [𝐴̅. (𝐵̅ 𝑥 𝐶̅ )]𝑥𝐶̅ = −20(0,4, −4) = 0, −80, 80 = 0𝑖̅ − 80𝑗̅ + 80𝑘̅

̅) ̅𝒙𝑩 ̅ )𝒙(𝑩 ̅ 𝒙𝑪 g) (𝑨 𝑖̂ 𝐴̅ 𝑥 𝐵̅ = |2 1

𝑖̂ 𝐵̅ 𝑥 𝐶̅ = |1 0

𝑗̂ 𝑘̂ 4 −3| 1 2 = 𝑖̂[(4 ∗ 2) − (1 ∗ −3)] − 𝑗̂[(2 ∗ 2) − (1 ∗ −3)] + 𝑘̂ [(2 ∗ 1) − (1 ∗ 4)] = 𝑖̂(8 + 3) − 𝑗̂(4 + 3) + 𝑘̂ (2 − 4) = 11𝑖̂ − 7𝑗̂ − 2𝑘̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 1 2 | = 𝑖̂(−4 − 8) − 𝑗̂(−4) + 𝑘̂ (4) = −12𝑖̂ + 4𝑗̂ + 4𝑘̂ 4 −4

𝑖̅ 𝑗̅ 𝑘̅ (𝐴̅ 𝑥 𝐵̅)𝑥(𝐵̅ 𝑥 𝐶̅ ) = | 11 −7 −2| = 𝑖̂(−28 + 8) − 𝑗̂(44 − 24) + 𝑘̂ (44 − 84) −12 4 4 = −20𝑖̂ − 20𝑗̂ − 40𝑘̂ ̅𝒙𝑩 ̅ 𝑨

h)[‖𝑨̅ 𝒙 𝑩̅‖] 𝒙𝑪 𝑖̂ 𝐴̅ 𝑥 𝐵̅ = |2 1

𝑗̂ 𝑘̂ 4 −3| 1 2 = 𝑖̂[(4 ∗ 2) − (1 ∗ −3)] − 𝑗̂[(2 ∗ 2) − (1 ∗ −3)] + 𝑘̂ [(2 ∗ 1) − (1 ∗ 4)] = 𝑖̂(8 + 3) − 𝑗̂(4 + 3) + 𝑘̂ (2 − 4) = 11𝑖̂ − 7𝑗̂ − 2𝑘̂

‖𝐴̅ 𝑥 𝐵̅‖ = √(11)2 + (−7)2 + (−2)2 = √174

42

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

𝐴̅ 𝑥 𝐵̅ 11𝑖̂ 7𝑗̂ 2𝑘̂ = − − = 0.8339𝑖̂ − 0.5306𝑗̂ − 0.1516𝑘̂ ‖𝐴̅ 𝑥 𝐵̅‖ √174 √174 √174 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝐴̅ 𝑥 𝐵̅ [ ] 𝑥𝐶 = |0.8339 −0.5306 −0.1516| ‖𝐴̅ 𝑥 𝐵̅‖ 0 4 −4 = 𝑖̂(2.1224 + 0.6064) − 𝑗̂(−3.3356) + 𝑘̂ (3.3356) ̅ .𝑩 ̅ 𝑨

i) Obtenga 𝜽 = 𝑪𝒐𝒔−𝟏 ‖𝑨̅‖‖𝑩̅‖ 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

(2 ∗ 1) + (4 ∗ 1) + (−3 ∗ 2) 0 𝜋 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = (5.39) ∗ (2.45) 5.39 ∗ 2.45 2 ̅ ̅ .𝑪 𝑩

j) Obtenga 𝜽 = 𝑪𝒐𝒔−𝟏 ‖𝑩̅‖‖𝑪̅‖ 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

(1 ∗ 0) + (1 ∗ 4) + (2 ∗ −4) −4 = 𝐶𝑜𝑠 −1 = 106.78° (2.45 ∗ 5.66) 13.86

GRAM-SCHMIDT Suponga que un espacio vectorial V tiene una base a la que llamaremos (VIEJA) siempre es posible encontrar una base (NUEVA), de tal forma que esta base nueva sea orto normal, es decir que los vectores en la base son ortogonales para a par y además son de magnitud 1. Mediante el proceso de Gram- Schmidt: VIEJA

̅̅̅1 = (𝑋1, 𝑌1 , … , 𝑍1 ) 𝑈 ̅̅̅ 𝑈2 = (𝑋2, 𝑌2 , … , 𝑍2 ) ̅̅̅ 𝑈3 = (𝑋3, 𝑌3 , … , 𝑍3 ) ̅̅̅̅ 𝑼 𝒏 = (𝑿𝒏, 𝒀𝒏 , … , 𝒁𝒏 ) NUEVA

V1 =

u̅1 ‖u̅1 ‖

43

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

V2 =

̅1 〉V ̅1 u̅2 − 〈u̅2 , V ̅1 〉V ̅1 ‖ ‖u̅2 − 〈u̅2 , V

̅𝟏 〉𝐕 ̅𝟏 ̅ 𝐧 − ∑𝐧−𝟏 ̅𝐧, 𝐕 𝐮 𝐢=𝟏 〈𝐮 𝐕𝐧 = ̅ ̅ ̅ 𝐧 − ∑𝐧−𝟏 ‖𝐮 𝐢=𝟏 〈𝐧, 𝐕𝟏 〉𝐕𝟏 ‖ Ejemplo: Suponga que una base vieja está dada por, aplicando el proceso de GramSchmidt encuentra una base orto normal en V. Base Vieja u̅1 = (1,1,1) u̅2 = (0,1,1) u̅3 = (0,0,1)

Base nueva V1 =

u̅1 ‖u̅1 ‖

‖u̅1 ‖ = √12 + 12 + 12 = √3 V1 =

(1,1,1) u̅1 = ‖u̅1 ‖ √3

∴ V1 = (

V2 =

1

,

1

,

1

√3 √3 √3

)

̅1 〉V ̅1 u̅2 − 〈u̅2 , V ̅1 〉V ̅1 ‖ ‖u̅2 − 〈u̅2 , V

̅1 〉 = (0,1,1) ∙ ( 〈u̅2 , V ̅1 〉V ̅1 = 〈u̅2 , V

1

,

1

,

1

√3 √3 √3

) = (0+

1

+

1

√3 √3

)=

2

1 1 1 2 2 2 ( , , )= ( , , ) 3 3 3 √3 √3 √3 √3

2 2 2 2 1 1 ̅1 〉V ̅1 = (0,1,1) − ( , , ) = (− , , ) u̅2 − 〈u̅2 , V 3 3 3 3 3 3

2 √3

44

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

2

2 1 2 1 2 √6 ̅ ̅ √ ‖u̅2 − 〈u̅2 , V1 〉V1 ‖ = (− ) + ( ) + ( ) = 3 3 3 3 2 1 1

(− , , ) ̅1 〉V ̅1 u̅2 − 〈u̅2 , V 3 2 1 1 3 3 3 V2 = = = (− , , ) ̅ ̅ 6 √ ‖u̅2 − 〈u̅2 , V1 〉V1 ‖ 3 3 3 √6 3

∴ V2 = (−

V3 =

2

,

1

1

,

√6 √6 √6

)

̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 u̅3 − 〈u̅3 , V ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 ‖ ‖u̅3 − 〈u̅3 , V

̅2 〉 = (0,0,1) ∙ (− 〈u̅3 , V ̅2 〉V ̅2 = 〈u̅3 , V

1 √6

(−

2

,

1

1

1

,

√6 √6 √6 ,

1

,

1

√6 √6 √6

̅1 〉 = (0,0,1) ∙ ( 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 = 〈u̅3 , V

2

,

1

,

) = (0 + 0 +

) = (−

1

√3 √3 √3

1 √6

)=

1 √6

2 1 1 , , ) 6 6 6

) = (0+0+

1 √3

)=

1 √3

1

1 1 1 1 1 1 ( , , )=( , , ) 3 3 3 √3 √3 √3 √3

̅2 〉V ̅2 = (0,0,1) − (− u̅3 − 〈u̅3 , V

2 1 1 2 1 5 , , )=( ,- , ) 6 6 6 6 6 6

2 1 5 1 1 1 1 1 ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 = ( , - , ) − ( , , ) = (0 , - , ) u̅3 − 〈u̅3 , V 6 6 6 3 3 3 2 2 1 2 1 2 √2 ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 ‖ = √(0)2 + (− ) + ( ) = ‖u̅3 − 〈u̅3 , V 2 2 2 1

1

1

1

(0 , - , ) 2 (0 , - , ) ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 u̅3 − 〈u̅3 , V 1 1 2 2 2 2 V3 = = = = (0 , , ) ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 ‖ √2 ‖u̅3 − 〈u̅3 , V √2 √2 √2 2

∴ V3 = (𝟎 , Ejercicio Base vieja

√2 √2 , ) 𝟐 𝟐

45

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

u̅1 = (0, 2, 1, 0) u̅2 = (1, −1, 0, 0) u̅3 = (1, 3, 0, −1) u̅4 = (1, 0, 0, 1) Base nueva V1 =

u̅1 ‖u̅1 ‖

‖u̅1 ‖ = √02 + 22 + 12 + 02 = √5 V1 =

(0, 2, 1, 0) u̅1 = ‖u̅1 ‖ √5

∴ V1 = (0,

V2 =

2

1

,

√5 √5

,0)

̅1 〉V ̅1 u̅2 − 〈u̅2 , V ̅1 〉V ̅1 ‖ ‖u̅2 − 〈u̅2 , V

̅1 〉 = (1, −1, 0, 0) ∙ (0, 〈u̅2 , V ̅1 〉V ̅1 = − 〈u̅2 , V

2 √5

(0,

2

,

2

,

1

√5 √5

1

√5 √5

,0) = (0 −

,0) = (0, −

̅1 〉V ̅1 = (1, −1, 0, 0) − (0, − u̅2 − 〈u̅2 , V

2 √5

+0+0) = −

4 2 1 2 , − ,0) = (1, − , ,0) 5 5 5 5 2

(1, − , ,0) ̅1 〉V ̅1 u̅2 − 〈u̅2 , V 5 1 2 5 5 V2 = = = (1, − , ,0) ̅1 〉V ̅1 ‖ √30 ‖u̅2 − 〈u̅2 , V 5 5 √30 5

∴ V2 = (

V3 =

5 √30

,−

1

,

2

√30 √30

, 0)

̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 u̅3 − 〈u̅3 , V ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 ‖ ‖u̅3 − 〈u̅3 , V

√5

4 2 , − ,0) 5 5

1 2 2 √30 ̅1 〉V ̅1 ‖ = √(1)2 + (− ) + ( ) + (0)2 = ‖u̅2 − 〈u̅2 , V 5 5 5 1 2

2

46

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

2

̅1 〉 = (1,3,0, −1) ∙ (0, 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 = 〈u̅3 , V

6 √5

(0,

2

√5 √5

̅2 〉 = (1, 3, 0, −1) ∙ ( 〈u̅3 , V ̅2 〉V ̅2 = 〈u̅3 , V

1

√5 √5

1

,

,

,0) = (0, +

,0) = (0,

5 √30

,−

6 √5

+0+0) =

6 √5

12 6 , , 0) 5 5

5 3 2 , 0) = ( − + 0 − 0) = √30 √30 √30 √30 √30 1

,

2

2

5 1 2 10 2 4 ( ,− , , 0) = ( , − , , 0) 30 30 30 √30 √30 √30 √30

10 2 4 2 46 2 ̅2 〉V ̅2 = (1, 3, 0, −1) − ( , − , , 0) = ( , − , − , −1) u̅3 − 〈u̅3 , V 30 30 30 3 15 15 2 46 2 12 6 2 2 4 ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 = ( , − , − , −1) − (0, u̅3 − 〈u̅3 , V , , 0) = ( , , − , −1) 3 15 15 5 5 3 3 3 2

2 2 2 2 4 √33 √ ̅ ̅ ̅ ̅ ‖u̅3 − 〈u̅3 , V2 〉V2 − 〈u̅3 , V1 〉V1 ‖ = ( ) + ( ) + (− ) + (-1)2 = 3 3 3 3 2 2

4

2 2

4

( , , − , −1) 3 (3 , 3 , − 3 , −1) ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 u̅3 − 〈u̅3 , V V3 = = 3 3 3 = ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅3 , V ̅1 〉V ̅1 ‖ √33 ‖u̅3 − 〈u̅3 , V √33 =(

∴ V3 = (

V4 =

2

2

4

3

3

, ,− ,− ) √33 √33 √33 √33

2√33 2√33 -4√33 -3√33 , , , ) 33 33 33 33

̅1 〉V ̅1 − 〈u̅4 , V ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅4 , V ̅3 〉V ̅3 u̅4 − 〈u̅4 , V ̅1 〉V ̅1 − 〈u̅4 , V ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅4 , V ̅3 〉V ̅3 ‖ ‖u̅4 − 〈u̅4 , V

̅1 〉 = (1,0,0,1) ∙ (0, 〈u̅4 , V ̅1 〉V ̅1 = 0 (0, 〈u̅4 , V

2

,

2

,

1

√5 √5

1

√5 √5

,0) = 0

,0) = (0,0,0, 0)

5 1 2 5 5 ̅2 〉 = (1, 0,0,1) ∙ ( 〈u̅4 , V ,− , , 0) = ( − 0 + 0 + 0) = √30 √30 √30 √30 √30 ̅2 〉V ̅2 = 〈u̅4 , V

5

5 1 2 25 5 10 ( ,− , , 0) = ( , − , , 0) 30 30 30 √30 √30 √30 √30

47

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

̅3 〉 = (1, 0,0,1) ∙ ( 〈u̅4 , V ̅3 〉V ̅3 = − 〈u̅4 , V

1

(

2

2

,

√33 √33

2

,

2

√33 √33 √33

,−

,−

4 √33 4

√33

,−

,−

3 √33 3

√33

)=(

2 √33

) = (−

+0+0−

3 √33

)=−

1 √33

2 2 4 3 ,− , , ) 33 33 33 33

̅1 〉V ̅1 = (1,0,0,1) − (0,0,0,0) = (1,0,0,1) u̅4 − 〈u̅4 , V 25 5 10 1 1 1 ̅1 〉V ̅1 − 〈u̅4 , V ̅2 〉V ̅2 = (1,0,0,1) − ( , − , , 0) = ( , , − , 1) u̅4 − 〈u̅4 , V 30 30 30 6 6 3 1 1 1 2 2 4 3 ̅1 〉V ̅1 − 〈u̅4 , V ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅4 , V ̅3 〉V ̅3 = ( , , − , 1) − (− u̅4 − 〈u̅4 , V ,− , , ) 6 6 3 33 33 33 33 5 5 5 10 = ( , ,− , ) 22 22 11 11

2

5 2 5 2 5 10 2 5 √ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ‖u̅4 − 〈u̅4 , V1 〉V1 − 〈u̅4 , V2 〉V2 − 〈u̅4 , V3 〉V3 ‖ = ( ) + ( ) + (− ) + ( ) = 22 22 11 11 √22 5

5

5

10

5

5

5

10

( , ,− , ) ̅1 〉V ̅1 − 〈u̅4 , V ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅4 , V ̅3 〉V ̅3 √22 (22 , 22 , − 11 , 11) u̅4 − 〈u̅4 , V V4 = = 22 22 5 11 11 = ̅1 〉V ̅1 − 〈u̅4 , V ̅2 〉V ̅2 − 〈u̅4 , V ̅3 〉V ̅3 ‖ ‖u̅4 − 〈u̅4 , V 5 √22

=(

√22 √22 √22 2√22 , ,− , ) 22 22 11 11 ∴ V4 = (

√𝟐𝟐 √𝟐𝟐 √𝟐𝟐 𝟐√𝟐𝟐 , ,− , ) 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏

FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES LINEALES Suponga que traemos a nuestra mente el concepto de función con el que estuvimos familiarizados en los viejos cursos de cálculo integral y diferencial, y que hacemos que en lugar de conjuntos A y B, los:

A

X

V

f(x)

B

Y=f(x) W

48

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Conjuntos involucrados sean espacios vectoriales. Cuando esto pase, la relación matemática de espacio V a W, lo llamaremos una transformación, que una relación matemáticamente entre vectores de uno a otro (función), cuando esto sucede se dice que la transformación mapea V en W. 𝑇(𝑉):

⇒ .

𝑊

𝑇(𝑉): 𝑊 Entienda ahora que en vez de números reales ahora tendremos relación entre vectores de dos espacios vectoriales. En las transformaciones también habrá un dominio de la transformación denotada como: ̅) 𝑫𝒐𝒎 𝑻(𝒙 ̅) 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝑻(𝒙

Dominio. Rango.

̅) = {𝒙 𝑬𝑽/ 𝑻(𝒙) = 𝒚 ̅} 𝑫𝒐𝒎 𝑻 (𝒙 ̅) = {𝒚 ̅ 𝑬𝑾/ 𝑻(𝒙) = 𝒚 ̅} 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝑻 (𝒙 Cuando esto pasa decimos que “T” mapea “V” en “W”. Ejemplo: ̅) ⇒ (𝒙, 𝒙 + 𝒚, 𝒙 − 𝒚) 𝑻 (𝒙 .

𝑇 (1,2) ⇒ (1, 3, −1) .

𝑇 (6,4) ⇒ (6, 10, 2) .

Un tipo de transformación muy interesante serán las transformaciones lineales. Diremos que T(V) en W en una transformación lineal, si se cumple lo siguiente: i)

̅+𝒗 ̅) = 𝑻(𝒖 ̅ ) + 𝑻(𝒗) 𝑻 (𝒖

̅ ̅ 𝑬𝑽 𝒖

ii)

̅ ) = 𝝀𝑻(𝒖 ̅) 𝑻 (𝝀𝒖

̅ ̅ 𝑬𝑽 𝒘

Suponga que sea: 𝑢̅ = (𝑥, 𝑦)

𝑣̅ = 𝑥1 𝑦1

𝑇 (𝑥, 𝑦) ⇒ (𝑥, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦) … … … … … … 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙. .

𝑇 (𝑢̅, 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ ) 𝑇 (𝜆𝑢̅) = 𝜆𝑇(𝑢̅)

49

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

Demostración: 𝑢̅ + 𝑣̅ = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , ) 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , ) = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑥1 + 𝑦2 − 𝑦1 − 𝑦2 , 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2 ) = (𝑥1 , 𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥1 − 𝑦1 ) + (𝑥2 , 𝑥2 + 𝑦2 , 𝑥2 − 𝑦2 ) = 𝑇 (𝑢̅, 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ )……..1 𝑇 (𝑢̅) = 𝜆(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) 𝑇 (𝜆𝑢̅) = 𝑇(𝜆𝑥1 , 𝜆𝑦1 = (𝜆𝑥1 , 𝜆𝑥1 + 𝜆𝑦1 , 𝜆𝑥1 − 𝜆𝑦1 ) 𝜆(𝑥1 , 𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥1 − 𝑦1 ) = 𝜆𝑇 (𝑢̅) … … … … … … … … … … 2 𝑇 (𝜆𝑢̅) = 𝜆𝑇(𝑢̅) En virtud de que 1 y 2 se satisfacen, entonces T es una TRANSFORMACIÓN LINEAL. Demuestre que las siguientes transformaciones son lineales: 1) 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝟐𝒙, 𝒚) 𝑢̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑢̅ + 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) + (𝑥1 + 𝑦1 ) = (𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) λ𝑢̅ = λ(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) Demostración: T (𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) = (2𝑥 + 2𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) = (2𝑥, 𝑦) + (2𝑥1 + 𝑦1 ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ )……1 se satisface. 𝑇(𝜆𝑢̅) = 𝜆𝑇(𝑢̅) (𝜆𝑢̅) = 𝜆(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) 𝑇(𝜆𝑢̅) = (2𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆(2𝑥, 𝑦) = 𝜆𝑇(𝑢̅)……………………………2 se satisface. Las condiciones 1 y 2 se satisfacen, por lo que 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝟐𝒙, 𝒚) es una TRANSFORMACIÓN LINEAL

2) 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝒙𝟐 , 𝒚) 𝑢̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦)

50

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

𝑢̅ + 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) + (𝑥1 + 𝑦1 ) = (𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) λ𝑢̅ = λ(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) Demostración: T (𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) = (𝑥 2 + 𝑥12 , 𝑦 + 𝑦1 ) = (𝑥 2 , 𝑦) + (𝑥12 + 𝑦1 ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ )……1 se satisface. 𝑇(𝜆𝑢̅) = 𝜆𝑇(𝑢̅) (𝜆𝑢̅) = 𝜆(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) 𝑇(𝜆𝑢̅) = (𝜆𝑥 2 , 𝜆𝑦) = 𝜆(𝑥 2 , 𝑦) = 𝜆𝑇(𝑢̅)……………………………2 se satisface. Las condiciones 1 y 2 se satisfacen, por lo que 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝒙𝟐 , 𝒚) es una TRANSFORMACIÓN LINEAL.

3) 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝒚, 𝒙) 𝑢̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑢̅ + 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) + (𝑥1 + 𝑦1 ) = (𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) λ𝑢̅ = λ(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) Demostración: T (𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) = (𝑦 + 𝑦1 , 𝑥 + 𝑥1 ) = (𝑦, 𝑥) + (𝑦1 + 𝑥1 ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ )……1 se satisface. 𝑇(𝜆𝑢̅) = 𝜆𝑇(𝑢̅) (𝜆𝑢̅) = 𝜆(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) 𝑇(𝜆𝑢̅) = (𝜆𝑦, 𝜆𝑥) = 𝜆(𝑦, 𝑥) = 𝜆𝑇(𝑢̅)……………………………2 se satisface. Las condiciones 1 y 2 se satisfacen, por lo que 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝒚, 𝒙) es una TRANSFORMACIÓN LINEAL. 4) 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝒚) 𝑢̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑢̅ + 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) + (𝑥1 + 𝑦1 ) = (𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) λ𝑢̅ = λ(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) Demostración:

51

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

T (𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) = (0, 𝑦 + 𝑦1 ) = (0, 𝑦) + (0, 𝑦1 ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ )……1 se satisface. 𝑇(𝜆𝑢̅) = 𝜆𝑇(𝑢̅) (𝜆𝑢̅) = 𝜆(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) 𝑇(𝜆𝑢̅) = (𝜆0, 𝜆𝑦) = 𝜆(0, 𝑦) = 𝜆𝑇(𝑢̅)……………………………2 se satisface. Las condiciones 1 y 2 se satisfacen, por lo que 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝒚) es una TRANSFORMACIÓN LINEAL.

5) 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝒙, 𝒚 + 𝟏) 𝑢̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑢̅ + 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) + (𝑥1 + 𝑦1 ) = (𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) λ𝑢̅ = λ(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) Demostración: T (𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) = (𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 + 1) = (𝑥, 𝑦) + (𝑥1 , 𝑦1+1 ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ )……1 no se satisface. 𝑇(𝜆𝑢̅) = 𝜆𝑇(𝑢̅) (𝜆𝑢̅) = 𝜆(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) 𝑇(𝜆𝑢̅) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦 + 𝜆1) = 𝜆(𝑥, 𝑦 + 1) = 𝜆𝑇(𝑢̅)……………………………2 se satisface. Las condiciones 1 y 2 se satisfacen, por lo que 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝒙, 𝒚 + 𝟏) no es una TRANSFORMACIÓN LINEAL.

6) 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝟐𝒙 + 𝒚, 𝒙 − 𝟏) 𝑢̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) 𝑢̅ + 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) + (𝑥1 + 𝑦1 ) = (𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) λ𝑢̅ = λ(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦) Demostración: T (𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑥 + 𝑥1 , 𝑦 + 𝑦1 ) = (2𝑥 + 2𝑥1 + 𝑦 + 𝑦1 , 𝑥 + 𝑥1 − 𝑦 − 𝑦1 ) = (2𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦) + (2𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥1 − 𝑦1 ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ )……1 se 𝑇(𝜆𝑢̅) = 𝜆𝑇(𝑢̅) (𝜆𝑢̅) = 𝜆(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦)

satisface.

52

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

𝑇(𝜆𝑢̅) = (2𝜆𝑥 + 𝑦, 𝜆𝑥 − 𝜆𝑦) = 𝜆(2𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦) = 𝜆𝑇(𝑢̅)………………2 se satisface. Las condiciones 1 y 2 se satisfacen, por lo que 𝑭(𝒙, 𝒚) = (𝟐𝒙 + 𝒚, 𝒙 − 𝒚) es una TRANSFORMACIÓN LINEAL.

EIGEN VALORES (MATRIZ CUADRADA) Para una matriz cuadrada 𝐴𝑛𝑥𝑛 Det (λI-A) =0

𝟐 𝑨𝟑𝒙𝟑= [𝟑 𝟎

𝟏 𝟎 𝟐 𝟎] 𝟎 𝟒

1 0 0 2 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆 [0 1 0] − [3 0 0 1 0 𝜆−2 𝜆𝐼 − 𝐴 = [ −3 0

−1 𝜆−2 0

1 0 2 1 0 𝜆 0 0 𝜆 − 2 −1 0 2 0] = ⌈0 𝜆 0⌉ − [3 2 0] = [ −3 𝜆 − 2 0 ] 0 4 0 0 4 0 0 𝜆 0 0 𝜆−4

0 0 ] 𝜆−4

𝜆 − 2 −1 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = [ −3 𝜆 − 2 0 0

0 0 ]=0 𝜆−4

(𝜆 − 4)[(𝜆 − 2)2 − 3] = 0 (𝜆 − 4)[𝜆2 − 4𝜆 + 4 − 3] = (𝜆 − 4)(𝜆2 − 4𝜆 + 1) = 0

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 4 ± √12 4 √4√3 = = + = 2 ± √3 2𝑎 2 2 2

𝜆1 = 4 𝜆1 = 2 + √3

EIGENVALORES, VALORES PROPIOS O VALORES CARACTERÍSTICOS

𝜆3 = 2 − √3 Encuentre los Eigen Valores de los siguientes sistemas mostrados a continuación:

53

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

4 0 𝐴= [−2 1 −2 0

3 0 −5 1 𝐵= [ 5 −1 0 ] 1 1 −2

1 0] 1

−1 0 1 𝐷= [−1 3 0] −4 13 −1

a)

5 0 𝐸= [ 1 1 −7 1

𝟒 𝟎 𝑨= [−𝟐 𝟏 −𝟐 𝟎

−2 0 1 𝐶= [−6 −2 0 ] 19 5 −4

1 0] 0

5 𝐹= [0 1

6 2 −1 −8] 0 −2

𝟏 𝟎] 𝟏

1 0 0 4 0 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆 [0 1 0] − [−2 1 0 0 1 −2 0 𝜆−4 0 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = [ 2 𝜆−1 2 0

1 𝜆 = ⌈ 0] 0 1 0

4 0 1 0 0 𝜆−4 0 −1 − = 𝜆 0⌉ [−2 1 0] [ 2 𝜆−1 0 ] −2 0 1 0 𝜆 2 0 𝜆−1

−1 𝜆−4 0 ]=[ 2 𝜆−1 2

0 −1 𝜆 − 4 𝜆−1 0 2 0 𝜆−1 2

0 𝜆 − 1] 0

=[(𝜆 − 4)(𝜆 − 1)(𝜆 − 1) − 0 − 0] − [−2(𝜆 − 1) + 0 + 0] (𝜆 − 4)(𝜆 − 1) − (−2𝜆 + 2) 2 (𝜆 − 𝜆 − 4𝜆 + 4)(𝜆 − 1) (𝜆2 − 5𝜆 + 4)(𝜆 − 1) = 𝜆3 − 5𝜆2 + 4𝜆 − 𝜆2 + 5𝜆 − 4 + 2𝜆 − 2 = 𝜆3 − 6𝜆2 + 11𝜆 − 6 Las raíces son: 𝜆1 = 1 𝜆2 = 3 𝜆3 = 2

𝟑 b).-

𝑩=[

𝟏 𝟓

𝟏

1 𝜆𝐼 − 𝐵 = 𝜆 [0 0

𝟎 −𝟓 −𝟏 𝟎 ] 𝟏 −𝟐

3 0 −5 0 0 𝜆 0 1 1 0] − [ 5 −1 0 ] = ⌈0 𝜆 0 1 0 0 1 1 −2

𝜆−3 1 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐵) = [ − 5 −1

0

5

𝜆−3 1 𝜆+1 0 ]=[ − 5 −1 𝜆 + 2 −1

𝜆−3 0 3 0 −5 0 1 1 − 𝜆 + 1 − −1 0 = ⌉ [ ] [ 0 5 5 𝜆 −1 −1 1 1 −2 0

5

𝜆−3 1 𝜆+1 0 − 5 −1 𝜆 + 2 −1

0 𝜆 + 1] −1

5 0 ] 𝜆+2

54

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

55

=[(𝜆 − 3)(𝜆 + 1)(𝜆 + 2) − 0 + 1] − [−5(𝜆 + 1) + 0 + 0] (𝜆 − 3)(𝜆 + 1) = (𝜆2 + 𝜆 − 3𝜆 − 3) = (𝜆2 − 2𝜆 − 3) (𝜆2 − 2𝜆 − 3)(𝜆 + 1) = 𝜆3 − 2𝜆2 − 3𝜆 + 2𝜆2 − 4𝜆 − 6 = (𝜆3 − 7𝜆 − 6 + 1) − (−5𝜆 − 5) = 𝜆3 − 7𝜆 − 6 + 1 + 5𝜆 + 5 = 𝜆3 − 2𝜆 Las raíces son: 𝜆1 = √2 𝜆2 = −√2 𝜆3 = 0

c).-

−𝟐 𝟎 𝑪 = [−𝟔 −𝟐 𝟏𝟗 𝟓

1 𝜆𝐼 − 𝐶 = 𝜆 [0 0

𝟏 𝟎] −𝟒

0 0 −2 0 1 𝜆 0 1 0] − [−6 −2 0 ] = ⌈0 𝜆 0 1 19 5 −4 0 0

𝜆+2 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐶) = [ 6 −19

0 −1 𝜆+2 = ] [ 𝜆+2 0 6 −5 𝜆 + 4 −19

−2 0 1 𝜆+2 0 0 0⌉ − [−6 −2 0 ] = [ 6 𝜆+2 19 5 −4 −19 −5 𝜆

−1 0 ] 𝜆+4

0 −1 𝜆 + 2 0 𝜆+2 0 6 𝜆 + 2] −5 𝜆 + 4 −19 −5

=[(𝜆 + 2)(𝜆 + 2)(𝜆 + 4) − 0 + 30] − [−19(𝜆 + 2) + 0 + 0] (𝜆 + 2)(𝜆 + 2) = (𝜆2 + 2𝜆 + 2𝜆 + 4) = (𝜆2 + 4𝜆 + 4) (𝜆2 + 4𝜆 + 4)(𝜆 + 4) = 𝜆3 + 4𝜆2 + 4𝜆 + 4𝜆2 + 16𝜆 + 16 = (𝜆3 + 8𝜆2 + 20𝜆 + 16 + 30) − (19𝜆 + 38) = 𝜆3 + 8𝜆2 + 20𝜆 + 46 − 19𝜆 − 38 = 𝜆3 +8𝜆2 + 𝜆 + 8 Las raíces son: 𝜆1 = −8 𝜆2 = 𝑖 𝜆3 = −𝑖

d).-

−𝟏 𝑫 = [−𝟏 −𝟒

1 0 𝜆𝐼 − 𝐷 = 𝜆 [0 1 0 0

𝟎 𝟏 𝟑 𝟎] 𝟏𝟑 −𝟏 0 −1 0 1 −1 0 𝜆 0 0 0] − [−1 3 0 ] = ⌈0 𝜆 0⌉ − [−1 3 1 −4 13 −1 −4 13 0 0 𝜆

1 𝜆+1 0 0 ]=[ 1 𝜆−3 −1 4 −13

−1 0 ] 𝜆−1

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

𝜆+1 0 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐷) = [ 1 𝜆−3 4 −13

−1 𝜆+1 0 0 ]=[ 1 𝜆−3 𝜆−1 4 −13

−1 𝜆 + 1 0 1 𝜆−1 4

0 𝜆 − 3] −13

=[(𝜆 + 1)(𝜆 − 3)(𝜆 − 1) − 0 + 13] − [−4(𝜆 − 3) + 0 + 0] (𝜆 + 1)(𝜆 − 3) = (𝜆2 − 3𝜆 + 𝜆 − 3) = (𝜆2 − 2𝜆 − 3) (𝜆2 − 2𝜆 − 3)(𝜆 − 1) = 𝜆3 − 2𝜆2 − 3𝜆 − 𝜆2 − 2𝜆 + 3 = (𝜆3 − 3𝜆2 − 𝜆 + 3 + 13) − (−4𝜆 + 12) = 𝜆3 − 3𝜆2 − 𝜆 + 3 + 13 + 4𝜆 − 12 𝜆3 −3𝜆2 + 3𝜆 + 4 Las raíces son: 𝜆1 = −7099 𝜆2 = 1.855 + 1.48𝑖 𝜆3 = 1.855 − 1.48𝑖

𝟓 𝑬=[ 𝟏 −𝟕

e).1 𝜆𝐼 − 𝐸 = 𝜆 [0 0

𝟎 𝟏 𝟏

𝟏 𝟎] 𝟎

0 0 5 0 − ] [ 1 0 1 1 0 1 −7 1

𝜆−5 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐸) = [ −1 7

0 𝜆−1 −1

1 𝜆 0 = ⌈ ] 0 0 𝜆 0 0 0

0 5 0 1 𝜆−5 0 − = ⌉ [ ] [ 0 1 1 0 −1 𝜆 − 1 𝜆 −7 1 0 7 −1

−1 𝜆−5 0 0 ] = [ −1 𝜆 − 1 𝜆 7 −1

−1 𝜆 − 5 0 0 −1 𝜆 − 1] 𝜆 7 −1

=[(𝜆 − 5)(𝜆 − 1)(𝜆) − 0 − 1] − [−7(𝜆 − 1) + 0 + 0] (𝜆 − 5)(𝜆 − 1) = (𝜆2 − 𝜆 − 5𝜆 + 3) = (𝜆2 − 6𝜆 + 5) (𝜆2 − 6𝜆 + 5)(𝜆) = 𝜆3 − 6𝜆2 + 5𝜆 = (𝜆3 − 6𝜆2 + 5𝜆 − 1) − (−7𝜆 + 7) = 𝜆3 − 6𝜆2 − 5𝜆 − 1 + 7𝜆 − 7 = 𝜆3 −6𝜆2 + 2𝜆 − 8 Las raíces son: 𝜆1 = 5.89 𝜆2 = 0.054 + 1.16𝑖 𝜆3 = 0.054 − 1.16𝑖

f).-

𝟓 𝑭 = [𝟎 𝟏

𝟔 𝟐 −𝟏 −𝟖] 𝟎 −𝟐

−1 0] 𝜆

56

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

1 𝜆𝐼 − 𝐹 = 𝜆 [0 0

0 0 5 1 0] − [0 0 1 1

𝜆−5 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐹) = [ 0 −1

6 2 𝜆 −1 −8] = ⌈0 0 −2 0

0 0 5 𝜆 0⌉ − [0 0 𝜆 1

𝜆 − 5 −6 6 2 −1 −8] = [ 0 𝜆+1 −1 0 0 −2

−2 8 ] 𝜆+2

−6 −2 𝜆 − 5 −6 −2 𝜆 − 5 −6 𝜆+1 8 ]=[ 0 𝜆+1 8 0 𝜆 + 1] 0 𝜆+2 −1 0 𝜆 + 2 −1 0

=[(𝜆 − 5)(𝜆 + 1)(𝜆 + 2) + 48 + 0] − [2(𝜆 + 1) + 0 + 0] (𝜆 − 5)(𝜆 + 1) = (𝜆2 + 𝜆 − 5𝜆 − 5) = (𝜆2 − 4𝜆 − 5) (𝜆2 − 4𝜆 − 5)(𝜆 + 2) = 𝜆3 − 4𝜆2 − 5𝜆 + 2𝜆2 − 8𝜆 − 10 = (𝜆3 − 2𝜆2 − 13𝜆 − 10 + 48) − (2𝜆 + 2) = 𝜆3 − 2𝜆2 − 13𝜆 + 38 − 2𝜆 − 2 𝜆3 −2𝜆2 − 15𝜆 + 36 Las raíces son: 𝜆1 = −4 𝜆2 = 3

EIGEN VECTORES 𝒅𝒆𝒕(𝝀𝑰 − 𝑨) = 𝟎 − − − − − − − − − − − − − 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶 𝑪𝑨𝑹𝑨𝑪𝑻𝑬𝑹Í𝑺𝑻𝑰𝑪𝑶 MATRIZ CUADRADA 𝝀𝟏 𝝀𝟐 𝝀𝟑 … 𝝀𝒏 − − − − − − − − − − − − − 𝒏 𝑽𝑨𝑳𝑶𝑹𝑬𝑺 𝑪𝑨𝑹𝑨𝑪𝑻𝑬𝑹Í𝑺𝑻𝑰𝑪𝑶𝑺

[ ]𝑛𝑥𝑛

𝑥1 𝑥 = [ 𝑥2 ] 𝑥𝑛 𝜆1 𝜆2 𝜆3 𝜆𝑛

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 → 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 → 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙

Si A es una matriz de tamaño n 𝑥 n las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) λ es un valor característico de A

57

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

b) El sistema de ecuaciones (λI-A) 𝑥 tiene n conjunto de soluciones triviales. c) Si λ es un valor característico de A entonces el espacio solución del sistema de ec (λI-A) 𝑥 =0 se denomina el espacio característico de A, correspondiente al Eigen vector λ y dos vectores diferentes de cero en el espacio característico los denominaremos los vectores característicos de A correspondiente a Eigen vector λ

Encuentre las bases de dos espacios de Eigen vectores de la siguiente matriz:

3 −2 0 𝐴= [−2 3 0] 0 0 5

1 0 0 3 −2 0 3 −2 0 𝜆 0 0 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆 [0 1 0] − [−2 3 0] = ⌈0 𝜆 0⌉ − [−2 3 0] 0 0 1 0 0 5 0 0 5 0 0 𝜆 𝜆−3 2 0 =[ 2 𝜆−3 0 ] 0 0 𝜆−5

𝜆−3 2 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = [ 2 𝜆−3 0 0

0 𝜆−3 = ] [ 0 2 𝜆−5 0

=(𝜆 − 5)[(𝜆 − 3)(𝜆 − 3) − 4] = 0 (𝜆2 − 6𝜆 + 5)(𝜆 − 5) = 0 = 𝜆3 − 6𝜆2 + 5𝜆 − 5𝜆2 + 30𝜆 − 25 = 𝜆3 − 11𝜆2 + 35𝜆 − 25 Las raíces son: 𝜆1 = 5 𝜆2 = 1 (𝜆𝐼 − 𝐴)𝑋 = 0 → 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴 𝐻𝑂𝑀𝑂𝐺𝐸𝑁𝐸𝑂 Para λ=5 𝜆−3 2 [ 2 𝜆−3 0 0

𝑥1 0 0 𝑥 0 ] [ 2 ]=[0] 𝜆 − 5 𝑥3 0

2 0 𝜆−3 𝜆−3 0 2 0 𝜆−5 0

2 𝜆 − 3] 0

58

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

𝑥1 5−3 2 0 [ 2 5−3 0 ] [𝑥2 ] 0 0 5 − 5 𝑥3 2 2 ~[ 2 2

0 0 2 2 | ]~[ 0 0 0 0

=

2 2 [2 2 0 0

0 𝑥1 0] [𝑥2 ] = 0 𝑥3

0 0 | ] 0 0

2𝑥1 + 2𝑥2 + 0𝑥3 = 0

𝑠𝑖 𝑥3 = 𝑠

𝑥1 + 𝑥2 = 0

𝑠𝑖 𝑥2 = 𝑡

𝑥1 = −𝑥2

𝑠𝑖 𝑥1 = −𝑡

𝑡 𝑥 = [−𝑡] 𝑠

=

2𝑥1 + 2𝑥2 + 0𝑥3 = 0 2𝑥1 + 2𝑥2 + 0𝑥3 = 0 0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 0

−1 𝑡[ 1 ] = 𝑠

−1 0 𝑡 [ 1 ] + 𝑠 [ 0] 0 1

−1 0 𝑏𝑎𝑠𝑒 = {[ 1 ] , [0]} 0 1

Para λ=1 𝜆−3 2 [ 2 𝜆−3 0 0

𝑥1 0 𝑥 0 ] [ 2 ]=0 𝜆 − 5 𝑥3

𝑥1 1−3 2 0 [ 2 1−3 0 ] [𝑥2 ] 0 0 1 − 5 𝑥3 −2 2 0 0 ~ [ 2 −2 0 | 0] 0 0 −4 0

=

−2 2 0 𝑥1 [ 2 −2 0 ] [𝑥2 ] = 0 0 −4 𝑥3 𝑥3 = 0

−2𝑥1 + 2𝑥2 + 0𝑥3 = 0 2𝑥1 − 2𝑥2 + 0𝑥3 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = 0

𝑠𝑖 𝑥2 = 𝑠

−2𝑥1 = −2𝑥2

𝑠𝑖 𝑥1 = 𝑠

−2𝑥1 + 2𝑥2 + 0𝑥3 = 0 2𝑥1 − 2𝑥2 + 0𝑥3 = 0 0𝑥1 + 0𝑥2 + −4𝑥3 = 0

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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL 𝑥1 𝑥 𝑥 = [ 2] 𝑥3

𝑠 [𝑠] = 0

=

1 𝑠 [ 1] 0

1 𝑏𝑎𝑠𝑒 = {[1]} 0 4 0 𝐴= [ 2 1 −2 0

1 0] 0

𝜆3 −6𝜆2 + 11𝜆 − 8

Las raíces son: 𝜆1 = 1 𝜆2 = 2 𝜆3 = 3 1 0 0 4 0 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆 [0 1 0] − [ 2 1 0 0 1 −2 0

1 𝜆 0 ] = ⌈0 0 0

4 0 0 0 𝜆 0⌉ − [ 2 1 −2 0 0 𝜆

1 𝜆−4 0] = [ 2 0 2

0 −1 𝜆−1 0 ] 0 𝜆

Para λ=1 (𝜆𝐼 − 𝐴)𝑋 = 0 𝜆−4 0 [ 2 𝜆−1 2 0

−1 𝑥1 0 0 ] [𝑥2 ]=[0] 𝜆 𝑥3 0

1−4 0 −1 𝑥1 [ 2 1 − 1 0 ] [𝑥2 ] 2 0 1 𝑥3

𝑥1 = 0 𝑥2 = 0 2𝑥1 + 𝑥3 = 0 𝑥3 = −2𝑥1 𝑠 𝑥=[ 𝑡 ] −2𝑠

=

−3 0 [2 0 2 0

−1 𝑥1 0 ] [𝑥2 ] = 1 𝑥3

𝑠𝑖 𝑥1 = 𝑠 𝑠𝑖 𝑥2 = 𝑡 𝑠𝑖 𝑥3 = −2𝑠

=

𝑠 1 𝑡[ ]= −2𝑠

0 1 𝑏𝑎𝑠𝑒 = {[1] , [ 0 ]} 0 −2

0 1 𝑡 [ 1] + 𝑠 [ 0 ] 0 −2

−3𝑥1 + 0𝑥2 − 1𝑥3 = 0 2𝑥1 − 0𝑥2 + 0𝑥3 = 0 2𝑥1 + 0𝑥2 + 1𝑥3 = 0

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