Apuntes De Física_teoria_tema 1_vectores.

FÍSICA GENERAL. (ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS)

BLOQUE I: “MECÁNICA CLÁSICA”

TEMA 1: ANÁLISIS Y CÁLCULO VECTORIAL. 1.1 . DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE VECTOR. NOMENCLATURA VECTORIAL. 1.2 . REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES. COORDENADAS DE UN VECTOR. 1.2.1.

SISTEMAS DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN VECTOR.

1.2.2.

CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS.

1.2.3.

VECTORES EN EL PLANO. MÓDULO (EN EL PLANO)

1.2.4.

MÓDULO DE UN VECTOR EN TRES DIMENSIONES.

1.3 . OPERACIONES GRÁFICAS CON VECTORES. 1.3.1.

SUMA GRÁFICA DE VECTORES.

1.3.2.

RESTA GRÁFICA DE VECTORES.

1.4 . EL VECTOR UNITARIO. 1.5 . DEFINICIÓN DE COMBINACION LINEAL DE VECTORES. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. 1.5.1.

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.

1.5.2.

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

1.5.3.

VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES.

1.5.4.

LA BASE CANÓNICA, {i , j ,  k} .

1.6 . OPERACIONES CON VECTORES. 1.6.1.

SUMA Y RESTA ANALÍTICAS DE VECTORES.

1.6.2.

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES.

1.6.3.

PRODUCTO VECTORIAL. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

1.6.4.

MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO.

TEMA 1: ANÁLISIS Y CÁLCULO VECTORIAL. 1.1. DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE VECTOR. NOMENCLATURA VECTORIAL. Definición.Se define, geométricamente, un vector como un segmento orientado. Esto es, un segmento que está dotado de un sentido, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura 1.1. N CCIÓ DIRE

P or Ve c t

 OP

EXTREMO

O ORIGEN O PUNTO DE APLICACIÓN

Figura 1.1 Vemos así como el segmento

OP

está dotado de un sentido gracias a la punta de

flecha que señala a “P” y por tanto, hablamos del vector

 OP . Al punto desde el que

parte el vector, en la figura 1.1 punto “O”, se le conoce como “origen” o “punto de aplicación”, mientras que el punto donde llega, en la figura 1.1 punto “P”, se le denomina “extremo”. Se llama “dirección” del vector a cualquier línea recta a este, lo contenga o no lo contenga, como se indica en la figura precedente. El “módulo” de un vector es, por definición, la longitud existente entre su origen y extremo, y por tanto, nunca un módulo puede ser negativo. 1.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES. COORDENADAS DE UN VECTOR. 1.2.1. SISTEMAS DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN VECTOR. En cuanto a lo que entenderemos por referencia podemos decir que será cualquier punto del espacio. La importancia de una referencia es vital, debido a que dependiendo de la referencia escogida las magnitudes físicas varían su valor. De igual modo, debemos de escoger una referencia respecto ala cual puedan quedar los vectores bien definidos y representados. En principio la elección de la referencia es arbitraria aunque según ganemos experiencia y destreza iremos seleccionando la referencia más adecuada para poder realizar medidas de las magnitudes físicas de manera sencilla y eficaz. Una vez elegida la referencia, el espacio queda representado mediante un sistema de tres

ejes cartesianos (esto es, que intersectan entre si según tres ángulos de 90º) que se cortan en un mismo punto, los cuales normalmente quedan denotados por “X”, “Y” y “Z”, y el punto de intersección por “O”, según se refleja en la figura 1.2 Z

O AN PL

PLA NO YZ

XZ

90

º

90º

O 90º

Y PLA NO XY

X

Figura 1.2 Se aprecia también en la figura anterior que los ejes cartesianos determinan tres planos, perpendiculares entre si, y que son los planos XY, YZ y XZ. Entonces cualquier vector puede representarse referido a este sistema de referencia sin más que trasladar su origen con el punto de intersección de los ejes “O” ( a un tal punto lo denominaremos a partir de ahora como “origen del sistema de referencia”) A las distancias que hay entre el extremo de un vector cuyo origen se sitúa en el de referencia, se les conoce como coordenadas del vector respecto a dicho sistema de referencia. Entonces fijándonos en la siguiente figura 1.3 vemos que las coordenadas del vector

u 

u =  x , y , z  , y siempre 

son los valores “x”, “y” y “z”, y se escribe

mantendremos ese orden para expresar las coordenadas de un vector.

 u

O

Coo r

X

de n a

da “ y”

Figura 1.3

Coordenada “z”

Z

“ da na de r o Co

x”

Y

El expresar los vectores en forma de coordenadas respecto cierto sistema de referencia, nos permitirá operar con ellos de forma analítica, lo cual haremos más adelante. Con todo esto lo que hemos hecho ha sido representar un vector en el espacio tridimensional. A continuación trabajaremos en el plano, es decir dejamos por ahora las tres dimensiones para trabajar en dos dimensiones únicamente. 1.2.2. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS. Debemos de realizar ahora un breve repaso de conceptos de geometría básica para pode avanzar eficazmente en nuestro estudio. En concreto centrémonos en los triángulos rectángulos, los cuales son aquellos que tienen un ángulo recto ( es decir, de 90º), tal y como el de la siguiente figura 1.4

“h i

p

sa

β

”)

a (“cateto”)

c(

nu o te

γ = 90º

α b (“cateto”)

Figura 1.4 Para cualquier triángulo rectángulo, como el de la figura 1.4 se verifica la siguiente igualdad, c=  a b 2

2

.

La igualdad anterior es conocida como “Teorema De Pitagoras” y es de gran aplicación en el estudio de la física. Probablemente a partir de ahora su uso será diario por parte del alumno. Otras relaciones importantes aplicables a un triángulo rectángulo son las llamados razones trigonométricas, las cuales relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con sus lados. Estas son las conocidas “seno”, “coseno” y “tangente”, y refiriéndonos al triángulo de la figura 1.4 quedan definidas de la siguiente forma: Ángulo α

Ángulo β

sin =

a c

sin =

b c

cos =

b c

cos =

a c

a b tan = b a El alumno puede apreciar que se verifican las igualdades: sin =cos  , tan =

tan =tan−1  , las cuales nos pueden ser de utilidad en adelante.

cos =sin 

y

Para resolver un triángulo solo son necesarios tres datos conocidos y los restantes pueden ser resueltos aplicando las relaciones vistas anteriormente. 1.2.3. VECTORES EN EL PLANO. MÓDULO DE UN VECTOR EN EL PLANO. Cuando un vector se encuentra apoyado sobre uno de los planos cartesianos que vimos en el apartado 1.2.1. anterior, podemos olvidarnos de la tercera componente. Supongamos entonces que tenemos un vector

r

situado en el plano XY de manera,

que tal y como se muestra en la siguiente figura 1.5 sus componentes serán

 x , y .

Y

∥ ∥r

lo du mó

r

y



O

x

x

Figura 1.5 Si nos fijamos en la figura anterior 1.5 y usamos las razones trigonométricas vistas en el apartado 1.2.2 anterior podemos expresar las coordenadas del vector

r

mediante las

siguientes expresiones: y ⇒ y =∥r ∥· sin  . ∥r ∥

•

sin =

•

cos =

x ⇒ x =∥r ∥·cos  . ∥r ∥

Y si además aplicamos el Teorema De Pitagoras al triangulo que se aprecia en la figura podemos expresar que el módulo del vector

r está dado por :

∥r ∥= x 2  y 2 , que es la forma de obtener el módulo de un vector situado en el plano. 1.2.4. MÓDULO DE UN VECTOR EN LAS TRES DIMENSIONES. Vamos ahora a determinar la expresión que usaremos para calcular el módulo de un vector que se encuentre situado en el espacio tridimensional. Para ello sea el vector

u 

que aparece en la siguiente figura 1.6 , y cuyas coordenadas respecto al sistema de referencia dado son Fijémonos en

u= x , y , z  . 

el triángulo rectángulo

de vértices OPA. Si aplicamos el Teorema de

Pitágoras obtenemos que: OP=∥ u∥=  z 2OA2 .

Ahora nos fijamos en el triángulo rectángulo que aparece apoyado en el plano XY, y de vértices OAB. Z

u 

O

P

x

z

B

Y

y

X

A

Figura 1.6 Ahora para este triángulo OAB, al aplicar el Teorema De Pitágoras encontramos que el segmento

OA , está dado por OA2=OB2  AB2 = x 2 y 2 ,

de manera que al sustituir en

OP=∥u∥= z 2 OA2 , obtenemos finalmente la expresión

buscada para el módulo de un vector en el espacio tridimensional. Es decir, OP=∥ u∥=  z 2OA2 = z 2  x 2 y 2 . En definitiva, el módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de sus coordenadas al cuadrado:

∥u∥= x 2  y 2 z 2 . 1.3. OPERACIONES GRÁFICAS CON VECTORES. En el presente apartado vamos a comenzar a realizar operaciones con vectores, aunque lo haremos según métodos gráficos. Las operaciones que aquí se van a estudiar son la suma y resta de vectores, mediante dos procedimientos gráficos. En cuanto a la operación resta debemos mencionar que en realidad es una suma, en donde el vector a restar es el opuesto de otro vector. Se define el “vector opuesto” a otro vector

v , y se denota

que tiene la misma misma dirección y el mismo módulo que opuesto. La suma de un vector más su opuesto es

−v , como aquel vector v

pero tiene sentido

v  −v  que puede escribirse más

v y su resultado será el vector nulo abreviadamente como v −

 0 .

1.3.1 SUMA DE VECTORES. Sean dos vectores cualesquiera resultado otro vector

u 

y

v , cuya suma se denota por

u v 

y da como

w  . Gráficamente podemos seguir dos métodos para realizar la

suma: Primer método: Dados lo vectores a sumar

u 

y

v , escogemos

trasladamos de manera que hacemos coincidir su origen con el extremo de realizado este paso el vector buscado,

v

y lo

u . Una vez 

w  =u v , es aquel que tiene por origen el de

Trasla ci ón Pa ra le la

Trasla ci ón Pa ra le la

u y por extremo el de v trasladado, tal y como está se ve en la siguiente figura 1.7. 

Figura 1.7 Segundo método: Éste método consiste en hacer coincidir los orígenes de los vectores a sumar y completar el paralelogramo correspondiente. Una vez completado el paralelogramo el vector

w  =u v

es el que tiene por origen el común de

u 

y

ió n sl a c T ra a a le l Pa r

n l a ció T ra s la le ra a P

por extremo el vértice opuesto del paralelogramo, como se muestra en la figura 1.8.

Figura 1.8

v , y

1.3.2. RESTA DE VECTORES.

u 

Sean los vectores diferencia de opuesto a

u 

y

v , o sea

y

v , y supongamos que queremos hallar el vector

v , es decir,

w 

w  =u −v . Entonces, primero hallamos el vector

− v , y después se realiza la suma

u  −v  

siguiendo uno de

los procedimientos visto en el apartado 1.3.1., tal y como muestra la figura 1.9.

Figura 1.9 1.4. VECTORES UNITARIOS. Un tipo de vectores que usaremos constantemente en física son aquellos cuyo módulo es la unidad de longitud elegida. Este tipo de vector recibe el nombre de “vector unitario”. En particular hay tres vectores unitarios muy importantes que son aquellos que se encuentran apoyados sobre los ejes de referencia. Tal y como muestra la figura 1.10 al vector unitario que se encuentra apoyado sobre el eje “X” se le denota por está sobre el eje “Y” se le denota por

i , al que

j y finalmente al que está sobre “Z” por Z

O

Y X

Figura 1.10

k .

1.5. DEFINICIÓN DE COMBINACION LINEAL DE VECTORES. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. Para el estudio de esta apartado se hace imprescindible el conocimiento de la suma de vectores de manera analítica, ya que hasta ahora esta operación vectorial se ha realizado de forma gráfica. No obstante a partir de la forma gráfica podremos establecer las expresiones para la suma analítica. u 

Sean dos vectores en el plano

v , tal y como muestra la figura 1.11. Para su

y

suma, elegimos un punto de referencia sobre el que situamos el origen de un sistema de ejes cartesianos XY. Llevamos los vectores

u 

v

y

sobre el origen del sistema de

referencia elegido, de manera que sus puntos de aplicación coincidan con este y al completar el cuadrilátero paralelogramo obtenemos el vector suma

w  =u  w  (ver figura

1.11) Y

vy

w y = uy + v y

uy

vy vx

O

X vx

ux w x = ux + v x

Figura 1.11 Las coordenadas de los vectores y las del vector suma

w  =u  w 

u  son

y

v

son, respectivamente,

 w x ,w y 

 u x ,u y 

y

v x , v y 

,

. Si observamos la figura la coordenada

“wx” del vector suma es consecuencia de la adición de los segmentos “u x” y “vx”, ambas respectivas coordenadas en la dirección “ X” de los vectores Es decir que

u y v , respectivamente. 

w x =u x v x . De igual manera ocurre en la dirección vertical “Y”, en donde

w y =u y v y . Con todo esto llegamos a la siguiente conclusión:

w=  u v ⇒ w  = w x , w y = u x , u y  v x ,v y = u x v x ,u y v y  . Así para sumar vectores analíticamente hemos de sumar las coordenadas respectivas.

Este resultado se extiende al espacio tridimensional y si tenemos dos vectores r = r x , r y , r z 

s=  s x , s y , s z 

y

su suma se realizará según la siguiente expresión:

r s = r x , r y , r z  s x , s y , s z = r x s x ,r y  s y , r z s z  . Otra operación a conocer es la “multiplicación de un número por un vector”. Se pueden multiplicar vectores por números, y su resultado es un vector que tiene la misma dirección, su sentido dependerá de que el número por el que se multiplica sea positivo o negativo y su módulo será tantas veces mayor o menor según indique el número por el que multiplicamos el vector. En la figura 1.12 se muestra un vector

u 

multiplicado por

n=5 .

Figura 1.12 5 ·∥ u∥ , y en general, si

Por tanto el resultado es un vector cuyo módulo es

u =  u x , u y , u z 

multiplicamos por un número “n” cualquiera a un vector

obtendríamos

otro vector dado por v =n · u = n · u x , n · u y , n · u z  , u∥ . u , o sea, ∥v∥=n ·∥ y cuyo módulo es “n” veces mayor que el de  1.5.1. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. Se dice que un vector u =  u x , u y , u z  ,

r =  x , y , z 

v =  v x , v y , v z 

y

es combinación lineal de tres vectores

w=   wx , w y , wz

si existen tres números “α”, “β” y “γ”

tales que se cumpla la siguiente relación igualdad: r =· u ·  v · w  . En estos casos deberemos de saber resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, para lo cual se hace necesario saber resolver determinantes, lo cual viene especificado en el apéndice del tema. Hagamos un ejemplo práctico con el fin de asegurar conceptos. Ejemplo.Demostrar que el vector

r =  1, 2,−1  es combinación lineal de los vectores

u =  1, 0,−1  , 

v = −2, 3,1  y w=   3,1, 2  . Solución.Debemos de encontrar tres números “α”, “β” y “γ” tales que

r =·u ·v · w  . Para ello

expresemos la igualdad

r =·u ·v · w  en función de las componentes de los vectores,

obteniendo:

 1, 2,−1  = ·  1,0,−1 · −2,3,1  ·  3,1,2  . A continuación multiplicamos los números por cada vector y después sumamos los vectores obtenidos, es decir, debemos realizar los siguientes pasos: 1.

 1, 2,−1 =·  1,0,−1  · −2,3,1 ·  3,1 ,2 

2.

 1, 2,−1  = ·1, ·0, ·−1  ·−2 ,· 3,·1  ·3, ·1, ·2 

3.

 1, 2,−1  =  , 0,−   −2  ,3  ,   ·  3  ,,2  

4.

 1, 2,−1  = −2 3  ,3  ,−2  .

Hemos llegado a la igualdad de dos vectores, que será cierta siempre y cuando sus respectivas componentes sean iguales entre si, es decir:

{

−2 3 =1 3 =2 −2 =−1

Finalmente se ha obtenido un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que debemos de resolver. Para ello se aplicará el llamado “Método De Cramer”, en el cual seguiremos los siguientes pasos: 1. El primer paso será calcular el determinante de la “matriz de los coeficientes”, la cual suele denotarse por “A”:





∣

∣

1 −2 3 1 −2 3 3 1 −−2· 0 1 3· 0 3 A= 0 ⇒ det  A= 3 1 0 3 1 =1· 1 2 −1 2 −1 1 −1 1 2 −1 1 2 =  2·3−1·1  2·  2· 0−1·−1  3·  1·0−−1·3  =529=16

∣ ∣

∣

∣ ∣ ∣

2. El valor de la incógnita “α” se calcula dividiendo el determinante de la matriz que resulta de sustituir la primera columna de la matriz de los coeficientes por la columna de los términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes. Es decir:

∣

∣∣

1 −2 3 2 3 1 3 1 −−2· 2 1 3 · 2 3 −1 1 2 1 2 −1 2 −1 1 51015 30 15 = = = = = det  A 16 16 16 8

∣

∣ ∣ ∣ ∣

3. Se obtiene el valor de “β” de manera análoga a la anterior solo que ahora el determinante del numerador es el de la matriz que resulta de sustituir la segunda columna por la columna de términos independientes. Es decir:

∣

∣∣

1 1 3 0 2 1 2 1 − 0 1 3· 0 2 −1 −1 2 −1 2 −1 2 −1 −1 5−16 10 5 = = = = = det  A 16 16 16 8

∣∣

∣ ∣

∣

4. Por último obtenemos “γ” siguiendo el mismo método que anteriormente, es decir:

∣

∣∣

1 −2 1 0 3 2 3 2 −−2 0 2  0 3 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1 −543 10 11 = = = = = det  A 16 22 16 8 Por tanto el vector

r =  1, 2,−1 

∣

∣

∣∣ ∣

es combinación lineal de

w  = 3,1, 2  ya que existen los números = r =

15 5 , = 8 8

u =  1, 0,−1  , 

y =

11 8

v = −2, 3,1 

y

tales que:

15 5 11 u  v  w   , 8 8 8

como queríamos demostrar. 1.5.2. VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES. Se dice que los vectores

u1 , u2 , ... , ui , ... , un son “lineal mente independientes” si la

igualdad: 1 u1 2 u2... i ui ... n un =0

es cierta cuando 1 = 2=...=i =...= n =0 . 1.5.3. VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES. Se dice que los vectores

u1 , u2 , ... , ui , ... , un

son “linealmente dependientes” si la

igualdad: 1 u1  2 u2 ...i ui ...n un=  0 es cierta para algún

i ≠0 , con i = 1,2, ..., n. El alumno podrá observar que los vectores

son linealmente dependientes cuando no son linealmente independientes. 1.5.4. LA BASE CANÓNICA, {i , j ,  k} . Los vectores unitarios

i ,

j

y

k , son tres vectores linealmente independientes, y

forman lo que se conoce como “Base Canónica cualquier vector de la forma

{i , j ,  k } ”. Se puede provar que

u =  x , y , z  , se puede expresar en forma de combinación 

lineal de los vectores de la base canónica {i , j ,  k } de la siguiente manera: u =  x , y , z  = x · i  y · jz · k .  Esta forma de denotar los vectores es muy común en física y por ello no debemos de olvidarla. En estos casos se dice que “x”, “y” y “z” son las coordenadas del vector

u 

respecto de la base canónica {i , j ,  k} . 1.6. OPERACIONES CON VECTORES. 1.6.1. SUMA Y RESTA ANALÍTICAS DE VECTORES. La suma analítica de vectores ha quedado explicada en la introducción al apartado 1.5.

En cuanto a las resta o diferencia analítica de vectores cabe mencionar que el procedimiento es análogo a la operación suma. Cuando restamos dos vectores, por ejemplo,

u −  v , en realidad lo que hacemos es la siguiente suma

tanto si

v = v x , v y , v z  , entonces el término

−1·v

u −1·v 

. Por

será, aplicando la operación

“producto de un número por un vector”, −1· v =−1·  v x ,v y , v z = −1· v x ,−1· v y ,−1· v z =−v x ,−v y ,−v z  . Por tanto, si

u=u x , u y , uz  

v = v x , v y , v z  , entonces

y

u −  v =u −1·v , y

finalmente u − v =u −1· v = u x , u y , u z  −v x ,−v y ,−v z = u x −v x , u y −v y , u z−v z  . 1.6.2. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES. Sean dos vectores u 

u = u x ,u y , u z  

v = v x ,v y ,v z  , se define el producto escalar de

y

u · v , como la siguiente operación: por v , y se denota  u · v =  u x , u y , u z  ·  v x , v y , v z =u x · v x u y · v y u z · v z . 

No obstante, se puede calcular el producto

u ·v de la siguiente forma: 

u ·v =∥  u∥·∥v∥· cos  , en donde “θ” es el ángulo que determinan los vectores

u 

y

v , como se indica en la

figura siguiente 1.13. Una conclusión que nunca hemos de olvidar es que al multiplicar dos vectores escalarmente el resultado no es un vector, sino un escalar, es decir, un número. Z



Y X

Figura 1.13 1.6.3. PRODUCTO VECTORIAL. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. Se define el producto vectorial de dos vectores denota

u=u x , u y , uz  

y

v = v x , v y , v z  , y se

u ∧  v , como otro vector perpendicular al plano determinado por

u 

y

v , y

cuyo módulo está dado por

∥u ∧v∥=∥u∥·∥v∥·sin  , siendo “θ” el ángulo formado por

ambos vectores. En cuanto al sentido, se determinará aplicando la “regla de la mano derecha”, tal y como se aprecia en la siguiente figura 1.14. El producto vectorial no es conmutativo al contrario que el producto escalar, y tal y como se muestra en la siguiente u ∧ v =−v ∧ u . figura 1.14, se tiene que  Z

Y X

Figura 1.14 Para calcular el vector resultante de multiplicar

u ∧  v

tenemos que expresar los

vectores en forma de combinación lineal de los vectores de la base canónica es decir

u =u x · i u y · ju z · k 

y

{i , j ,  k} ,

v =v x · i v y · jv z · k , para a continuación resolver el

siguiente determinante:

∣ ∣∣

i j  k u u z  u x u z  ux u y  u∧ v = ux u y uz = y ·i− 3 k ·k .  v y vz vx vz vx vy vx vy vz

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Se deja como ejercicio al alumno demostrar que efectivamente se cumple

u ∧  v =−v ∧ u .

1.6.4. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO. Sea

u=u x , u y , uz  

un vector cuyo origen está situado en cierto punto P cuyas

coordenadas respecto a un pnto “O” son P( x, y, z ), tal y como aparece en la siguiente figura 1.15. Pues bien, se denomina momento del vector punto “O”, y se denota

u=u x , u y , uz  

respecto al

M O  r  , al producto vectorial del vector de origen en “O” y

u , es decir, extremo en “P” por el vector  M O  r = r ∧  u = x , y , z  ∧ u x ,u y ,u z  . Por definición producto vectorial, el momento de un vector respecto a cierto punto será un

vector perpendicular al plano determinado por el vector

r

y

u , tal y como puede 

apreciarse en la siguiente figura 1.15. Por último cabe mencionar que el vector

r , cuyo

origen es “O” y extremo “P”, recibe el nombre de “vector de posición” de “P” respecto a “O”, y está dado por: r =  x , y , z  = x· i  y · j z ·  k . En temas posteriores la mayor parte de nuestro tiempo la dedicaremos al análisis y estudio de este vector de posición. Z

P z

O x

Y

y

X

Figura 1.15

NOTA.El presente texto es propiedad intelectual del autor en su completa totalidad, y quedan prohibidas todas aquellas copias que no fueran autorizadas por él mismo. Para cualquier sugerencia o corrección del contenido aquí presente remítanse a [email protected] El autor: Lucas Quiñonero Jesús. En Águilas, a 1 de diciembre de 2009.