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Aproximación funcional

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Spain) http://www-lacan.upc.es

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Objetivos

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  Entender cuándo y por qué es necesario aproximar funciones.   Entender diferentes criterios de aproximación funcional (interpolación y mínimos cuadrados) y saber decidir cuando es conveniente utilizar uno u otro.   Saber calcular el polinomio interpolador que pasa por unos ciertos datos. Entender las características de este tipo de aproximación y conocer los problemas que puede presentar.   Entender las características de la interpolación seccional.   Saber plantear y resolver problemas de mínimos cuadrados lineales.   Conocer algunas técnicas de aproximación funcional disponibles en Excel   Aprender a utilizar el SOLVER para resolver problemas de mínimos cuadrados

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Motivación

  Los métodos de aproximación funcional tienen como objetivo calcular una aproximación p(x) de una función f(x) dada.

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  Muchas aplicaciones en ingeniería requieren el cálculo de aproximaciones. El método de aproximación utilizado depende de: •  conocimiento de la función f(x) •  expresión analítica •  valores de la función en un número finito de puntos •  valores de las derivadas en un número finito de puntos •  datos que se deseen obtener •  cálculo de integrales o derivadas •  valor de la función en un punto no dado •  valor de las derivadas en un punto no dado ·3

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INTERPOLACIÓN: se conocen los valores de la función en un número finito de puntos (xi,f(xi)) y se necesita determinar el valor de la función en otros puntos.   Captura de movimiento:

describir el movimiento de los objetos como función del tiempo a partir de un conjunto de mediciones de las posiciones del objeto.

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Aplicaciones

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Aplicaciones

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REGRESIÓN: determinación de parámetros materiales a partir de experimentos físicos

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Conceptos básicos

  Para definir un método de aproximación hacen falta dos ingredientes básicos: •  Tipo de aproximación: definir el espacio de funciones donde se elige el aproximante, qué tipo de funciones p(x) se consideran •  Criterio de aproximación: definir las propiedades de aproximación, qué quiere decir que p(x) sea una buena aproximación de f(x).

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  OBJETIVO: aproximar una función f(x) por otra función p(x) en un intervalo [a,b]

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Tipo de aproximación

  El aproximante p(x) se expresa como combinación lineal de los términos de una base   Hallar p(x) se reduce a hallar los coeficientes de la combinación lineal ⇒ resolver un sistema de ecuaciones lineales

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  Generalmente se consideran espacios de funciones de dimensión finita.

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 Aproximación polinómica: es la más usada por ser fácil de calcular derivadas e integrales también polinómicas y fáciles de calcular

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 Aproximación trigonométrica: funciones periódicas tratamiento de señales y edp’s

 Aproximación exponencial: tratamiento de señales resolución de EDP’s

 Funciones racionales: aproximación de funciones con asíntotas  Aproximación por funciones definidas a trozos: Generalmente se consideran funciones polinómicas (de grado bajo) a trozos. ·8

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  Interpolación pura: •  datos: •  se exige que:

También se pueden imponer condiciones sobre derivadas. El polinomio de Taylor es un caso particular.

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Criterios de aproximación I

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Criterios de aproximación II

  Mínimos cuadrados: se minimiza el cuadrado de la distancia entre f(x) y p(x) en norma L2

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versión discreta

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versión continua

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Teorema de Weierstrass

Cualquier función continua se puede aproximar mediante un polinomio hasta la precisión deseada.

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  El teorema de Weierstrass establece la “bondad” de los polinomios como funciones de aproximación.

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Interpolación polinómica

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Introducción

  Datos: valor de la función f en unos puntos

  Criterio de aproximación: interpolación   Tipo de aproximante: polinómico

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OBJETIVO: aproximar una función f(x) por otra función p(x) en un intervalo [a,b]

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Ejemplo

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Calcular el polinomio que pasa por los puntos (0,0), (1,2) y (2,0)

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  ¿Qué grado tiene?   ¿Cómo se calcula?

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Teorema fundamental del álgebra I

Demostración La demostración es constructiva. Consideramos

Entonces

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  Garantiza la existencia y unicidad del polinomio interpolador

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Teorema fundamental del álgebra II

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Las n+1 ecuaciones dan lugar al sistema lineal

La matriz del sistema es una matriz de Vandermonde. Su determinante es:

que es distinto de cero si todas las xi son distintas. Por lo tanto, el sistema es compatible determinado y admite una única solución. · 17

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Paradoja de Runge

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