Aproximacion De Cantidades.pdf

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Matemática Serie 1 para estudiantes de Secundaria De la prensa a la Matemática Fascículo 6: APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

c Ministerio de Educación Van de Velde 160, San Borja Primera edición, 2007 Tiraje: 28 000 ejemplares Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318, Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nro. 2007-00284

Coordinación y supervisión general MED Antonieta Cubas Mejía Supervisión pedagógica MED Daniel Giovanni Proleón Patricio Verificación de estilo MED Miguel Humberto Fuentes Huerta

Z_Creditos Ser1 Est. 01-10.indd 6

Autoría Ediciones El Nocedal S.A.C. Coordinador Rubén Hildebrando Gálvez Paredes Elaboración pedagógica Felipe Eduardo Doroteo Petit Itala Esperanza Navarro Montenegro Edgar Justo Chacón Nieto Daniel José Arroyo Guzmán Colaboración especial Nestor Sánchez León Revisión pedagógica Hno. Marino La Torre Mariño Revisión académica Armando Zenteno Ruiz Diseño y diagramación Virginia Rosalía Artadi León

Ilustraciones Patricia Nishimata Oishi Brenda Román González Fotografía Enrique Bachmann Corrector de estilo Marlon Aquino Ramírez

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El presente fascículo desarrolla situaciones matemáticas que permiten que los estudiantes adquieran capacidad para calcular, eficientemente y con exactitud, con fracciones decimales y enteros. Los estudiantes deben aprender cómo decidir cuándo es más apropiado dar una respuesta exacta que una estimación, a elegir el método de cálculo más útil y evaluar si los resultados de los cálculos son razonables; esto se puede lograr a partir de ejemplos sencillos. Se debe recordar que la mayoría de los cálculos aproximados surgen al resolver problemas en contextos. Los estudiantes deberían considerar las características del problema, decidir si requiere una respuesta exacta o basta con una aproximación o estimación, y seleccionar el método adecuado de cálculo; deberían analizar regularmente sus respuestas para determinar si son razonables o no. En el fascículo presentamos situaciones matemáticas relacionadas con la vida diaria para que los estudiantes analicen las diversas maneras de aproximar cantidades a través de la observación, diferenciación, identificación y comparación. También se dan las pautas necesarias para representar información relativa a la aproximación de cantidades, presentadas en forma gráfica o numérica, mediante el análisis de cómo se ha obtenido y para qué se utilizan. En el fascículo presentamos, en el capítulo 1, aproximación de cantidades, a partir de situaciones problemáticas de la vida diaria, complementando la actividad 1 con una gran variedad de ejercicios y problemas que permitan aproximar y tomar decisiones. En el capítulo 2, métodos para aproximar cantidades, desarrollamos el método de aproximación por redondeo y truncamiento y aproximaciones diversas, y una gran variedad de ejercicios y problemas. En el capítulo 3, aproximación de raíces irracionales de una ecuación polinomial, presentamos una lectura que desarrolla la importancia de los métodos aproximados de solución, el método de interpolación lineal y el método de bisección. Y en el capítulo 4, aproximaciones utilizando la calculadora, desarrollamos procedimientos para aproximar cantidades utilizando la calculadora. Todo lo planteado está siempre en función del desarrollo de las capacidades matemáticas. Complementamos el fascículo con estrategias para la recuperación de saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, curiosidades matemáticas, bibliografía comentada y enlaces web.

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ÍNDICE Presentación ......................................................................................................................... Índice.................................................................................................................................... Organizador visual de contenidos ........................................................................................ Motivación ........................................................................................................................... Logros de Aprendizaje .........................................................................................................

1 2 3 4 4

Recuperación de saberes previos .........................................................................................

4

1. APROXIMACIÓN DE CANTIDADES ...................................................................................... 1.1 Concepto de Aproximación ....................................................................................

5 5

Actividad 1..................................................................................................................... 10 2. MÉTODOS PARA APROXIMAR CANTIDADES ......................................................................... 13 2.1 Aproximación por redondeo y truncamiento .......................................................... 13 2.2 Aproximaciones diversas........................................................................................ 14 Actividad 2..................................................................................................................... 18 3. APROXIMACIÓN DE RAÍCES IRRACIONALES DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL .................................... 19 3.1 Método de interpolación lineal ............................................................................... 20 3.2 Método de bisección............................................................................................... 24 Actividad 3..................................................................................................................... 26 4. APROXIMACIONES UTILIZANDO LA CALCULADORA ............................................................ 27 4.1 Redondeo de cantidades exactas e inexactas.......................................................... 27 4.2 Notación científica.................................................................................................. 28 Actividad 4..................................................................................................................... 28 5. EVALUACIÓN .................................................................................................................. 29 6. METACOGNICIÓN ............................................................................................................. 30 Bibliografía comentada ........................................................................................................ 31 Enlaces web.......................................................................................................................... 32

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mostrando su

Proceso

Babilónico corto

De Newton

Acotaciones

Exceso

mostrando

Bisección

mediante la

Ecuación polinomial

de una

Raíces irracionales

Defecto

puede ser por

Aproximación

Interpolación lineal

Truncamiento

definiendo

3ro. 4to. y 5to. de secundaria

Ejemplos

mediante

Redondeo

de

Métodos de aproximación

por medio de

para estudiantes de

Punto fijo

Babilónico

como el

haciendo uso de la

Cantidades

Notación científica

para representar en

Calculadora

comprende

APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

Ejemplos

Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

APROXIMACIÓN de

CANTIDADES

Motivación Raúl Delgado Rubí nos ilustra la importancia de la aproximación de la siguiente manera: el hombre moderno no puede prescindir del trabajo con las aproximaciones. La habilidad del hombre en pronosticar grosso modo un resultado, en estimar o calcular un valor cercano al ideal o exacto, en saber elegir un modelo inexacto, pero adecuado para sus propósitos, es característica del quehacer matemático y debe incorporarse al quehacer del estudiante. Esta habilidad es importante en el trabajo con los errores, tanto en el sentido de cuantificar como de cualificar la aproximación, es decir, la magnitud del error cometido. Pues, aproximar es sustituir un objeto matemático por otro, el cual se considera un modelo suyo. Es un mecanismo de pronóstico, de cálculo y de control.

Los antiguos egipcios calculaban la altura de la pirámide a partir de la sombra que proyectaba. TC Soles x US$ 3,495

Procesa la información recibida y aplica el concepto de aproximación a través de la resolución de problemas contextualizados, valorando la honestidad. Analiza los diversos métodos de aproximar cantidades a través de la observación, diferenciación y comparación para luego aplicar el método más idóneo a cada situación, asumiendo desafíos. Aplica los métodos de aproximación de raíces irracionales de una ecuación polinomial mediante procesos interactivos, mostrando perseverancia en el trabajo. Aplica el concepto de aproximación mediante el uso de la calculadora. 4

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0,0025

3,490 0,0020

3,485 3,480 3,475

0,0015

3,470

0,0010

3,465

0,0005

3,460 0,0000

3,455 1 2 5 abr

6 7 12 13 14 15 16 19 20 21 22 23 26 27 28 29 30 3 may

El lunes el nuevo sol retrocedió frente al dólar, depreciándose en 0,072%, debido al difícil clima político por el que atraviesa el gobierno, y en una jornada con bajo volumen de negociación. Hoy el ente emisor inyectó S/. 440 millones mediante repos, tras haber iniciado el sistema con un saldo negativo de S/. 100 millones.

En la antigua Grecia, los pitagóricos encontraron ciertos números que no podían expresarse como un número natural ni como una fracción, a los que llamaron “números inconmensurables”. Por ejemplo, al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, determinaron que dicho valor es , que no proviene de la división de dos números enteros, cuyo valor aproximado es 1,4142135623730950488016887242097 y siguen infinitos decimales no periódicos. Para nuestro trabajo en aula aproximamos a 1,4142.

LOGROS DE APRENDIZAJE

Diferencial V-C

Venta - Compra Promedio

d

1

1

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS Lee atentamente y responde en tu cuaderno: Señale con un aspa ( ) el conjunto numérico al cual pertenece cada uno de los números presentados en la siguiente tabla: -18 14 0,35 2,555... 0,123457...

NO

E

IB R C S

IR

¿Qué entiendes por número decimal? Expresa los siguientes números racionales 7 , 8 , 7 como un número decimal e indica 2 3 6 el nombre de cada tipo de número decimal obtenido. ¿La raíz cuadrada de un número natural n será siempre un número irracional?, ¿qué números irracionales conoces? ¿Qué entiendes por notación científica? Formula un ejemplo.

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

1. APROXIMACIÓN de CANTIDADES 1.1 Concepto de Aproximación Carlos ha leído en el periódico el artículo adjunto. Esto lo motiva a cambiar los 387 dólares que tiene en cierta casa de cambio. ¿Cuánto recibirá por la venta de los dólares? Debido a que el precio del dólar en el mercado paralelo es de S/. 3,265, Carlos debe recibir 387 3,265 = 1 263,555 nuevos soles, por tal razón, aproximadamente recibirá S/. 1 263,50. ¿Es posible que Carlos reciba los S/. 1 263,555 que le corresponden por los 387 dólares que posee? ¿A qué se debe esto? La situación descrita es muy cotidiana, los cambistas de dólares generalmente usan monedas de valor mayor o igual a S/. 0,05, por tal razón, no le será posible al cambista de los dólares poder dar con exactitud el monto correspondiente, para ello buscará un monto cercano a este y que además facilite la transacción, este monto es S/. 1 263,50. Aproximar un número “a” por otro número “b” es sustituir el valor de a por el valor de b de modo que este reemplazo facilite las operaciones o la comprensión de algún problema matemático, sin que se pierda la esencia del problema. Si aproximamos el número a por el número b, lo denotaremos por: a b y se lee el valor de a es aproximadamente b. Llamaremos aproximación por defecto, si el valor aproximado es menor que el valor dado y llamaremos aproximación por exceso, si el valor aproximado es mayor que el valor dado. En la situación expuesta al inicio se ha realizado una aproximación por defecto, pues: 1 263,50 < 1 263,555 Si la aproximación hubiese sido por exceso, el monto que tendría que recibir Carlos por los 387 dólares sería S/. 1 263,60 1 263,555 < 1 263,60 ¿Por qué razón, el cambista ha realizado una aproximación por defecto y no por exceso?

Dólar cerró en S/. 3,267 El precio del dólar mostró un alza al finalizar la sesión cambiaria de ayer, caracterizada porque el Banco Central de Reserva (BCR) no intervino en el mercado. Al cierre de la jornada, el precio del dólar interbancario se sintió en S/. 3,267, nivel superior al del viernes de S/. 3,258. La cotización en el mercado paralelo se ubicó en S/. 3,265 en promedio. Las demandas de operaciones de dólares a futuro (forwards) presionaron el dólar al alza. La República, 23 de febrero de 2006.

Aproximemos las siguientes cantidades al milésimo por exceso y por defecto, respectivamente. a. 3,57841 b. 8,070594

3, 578 valor aproximado por defecto

8, 070 valor aproximado por defecto

< 3, 57841 < valor real

3, 579 valor aproximado por exceso

< 8, 070594 < valor real

8, 071 valor aproximado por exceso

5

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

−0, 594 < −0, 59341 < −0, 593

c. -0,59341

valor aproximado por defecto

valor aproximado por defecto

18 cm x 3,5 20 cm x 3,5 = 70 cm ( significa “es aproximado a”)

valor real

valo or aproximado por exceso

25 348, 377 < 25 348, 37792 < 25 348, 378 valor aproximado por defecto

Observo que la altura de mi escritorio equivale aproximadamente a tres palmos y medio. Y sé que mi palmo mide 18 cm.

vallor aproximado por exceso

−1, 346 < − 1, 3458 < −1, 345

d. -1,3458 e. 25 348, 37792

valor real

valor real

valor aproximado por exceso

Ejemplos de aproximaciones 1. La figura representa un salón cuyas medidas 3 vienen dadas en metros. Un albañil tiene como tarea colocar losetas 3 cuadradas de 30 cm de lado en dicho salón. ¿Cuántas losetas necesitará el albañil? Resolución: Determinamos la superficie del salón: Observando el gráfico tenemos: Área del salón = A + B A: 3 3 = 9 m2 ; B: 5 5 = 25 m2 Luego, área del salón = 34 m2 Determinamos la superficie de cada loseta. 3 Área de cada loseta: 30 30 = 900 cm2 2

2

2

8

5 2

B

3 Trasformamos los 34 m en cm : 2 2 34 m = 340 000 cm 8 Determinemos el número de losetas que requiere el albañil: 340 000 : 900 = 377,7 Luego, para responder a la pregunta es necesario aproximar el número de losetas por exceso, por lo tanto, el albañil necesitará 378 losetas. A

2. Kathia ha tomado doble cantidad de jugo de papaya que Lucho, y Javier el doble que Kathia. Entre los tres han tomado un litro y medio. ¿Cuántos litros de jugo de papaya ha tomado cada uno? Resolución: Determinamos la cantidad de litros que consumió cada uno: Personas

Cantidad de litros

Kathia

2x

Lucho

x

Javier

4x

Al reemplazar x 0,21 en la tabla obtendremos la cantidad aproximada de litros que tomó cada uno de los tres amigos.

De la tabla obtenemos: 2x + x + 4x = 1,5 x = 0,21428... x 0,21

Kathia

Cantidad aproximada de litros 0,42

Lucho

0,21

Javier

0,84

Personas

6

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3. El administrador del Club Chama desea saber la capacidad (en litros) de la piscina del club. Para ello hace la siguiente reflexión “la longitud de mi paso equivale aproximadamente a 1 metro, y las http://www.fincacuatrovientos.com/imagenes/piscina.jpg dimensiones aproximadas de la piscina podrían ser: Largo: 20 metros, Ancho: 12 metros y Profundidad aproximada: 1,5 metros”. Para responder se realiza mentalmente el siguiente cálculo: 20 10 1,5 = 300.

Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

GEROLAMO CARDANO (Pavia, 1501- Roma, 1576) Nació en Pavia, Italia. Fue médico y astrólogo. Junto con Tartaglia y Ferrari descubrieron la solución de la ecuación cúbica.

Por tanto, necesitará 300 m3 de agua, que equivalen a 300 000 litros de agua. El resultado representa un valor aproximado al volumen real debido a que tomó como unidad de medida un paso dado por el administrador, el cual según su propia estimación es de aproximadamente 1 metro. 4. La Luna está aproximadamente a unos 378 196 kilómetros de la Tierra. ¿A cuántas millas se encuentra la Luna de la Tierra? Resolución: 1. Sabemos que 1km aproximadamente equivale a 0,6214 millas, Ê 0, 6214 millasˆ ˜ 234 979, 9244 millas 1 km Ë ¯

2. 378 196 km ¥Á

3. Para responder la pregunta emplearemos el criterio de aproximación: “La Luna se encuentra a 234 980 millas aproximadamente” (la aproximación realizada es por exceso). 5. Un padre deja a sus tres hijos como herencia una parcela de 635 m2. ¿Qué área, en metros cuadrados, de la parcela le corresponde a cada hijo? Resolución: Para determinar qué parte del terreno le corresponde a cada hijo como parte de la herencia realizamos la siguiente fórmula: área del terreno área correspondiente número de hijos Reemplazando los datos, área correspondiente área correspondiente

635 m 2 3 211,666... m 2

El resultado obtenido nos exige realizar una aproximación (en este caso es conveniente tomarla por defecto, ¿por qué?). Así, a cada hijo le corresponderá aproximadamente 211,6 m2 de terreno.

NICCOLO FONTANA TARTAGLIA (Italia, 1500 - 1577) Este matemático descubrió un método para resolver las ecuaciones de tercer grado, motivo por el cual se hizo muy famoso en Italia. Estando en Venecia (1535), Antonio Di Fiore, discípulo de Scipone del Ferro (1465 -1527), que también había descubierto una fórmula para resolver ciertas ecuaciones cúbicas, le propone un duelo matemático. Al terminar el tiempo pactado para el duelo, Tartaglia había resuelto todas las ecuaciones propuestas por Di Fiore, pero Di Fiore no resolvió ninguna de las ecuaciones propuestas por Tartaglia. http://es.geocities.com/fisicas/ cientificos/matematicos/tartaglia.htm

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

APROXIMAR UNA CANTIDAD es dar un

VALOR CERCANO AL REAL es obtenido por

TRUNCAMIENTO

tiene diversas

REDONDEO APLICACIONES puede ser

siempre es

POR DEFECTO

POR EXCESO

por ejemplo el cálculo de

RAÍCES CUADRADAS

existen diversos métodos entre los cuales

APROXIMACIÓN POR ACOTACIONES

RAÍCES DE POLINOMIOS existen diversos métodos entre los cuales

MÉTODO BABILÓNICO MÉTODO DE NEWTON

ÁREAS VOLÚMENES PRESUPUESTOS

INTERPOLACIÓN LINEAL MÉTODO DE BISECCIÓN

LA APROXIMACIÓN DE Uno de los procesos de aproximación más famosos a lo largo de la historia de la matemática es la aproximación de . Arquímedes (287–212 a.C.) calculó una aproximación de inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares de 96 lados en una circunferencia y calculando sus perímetros. El valor obtenido para por este método es: 213 22 < p < . A continuación, calcularemos un valor aproximado para 71 7

utilizando este método. 1º Longitud del lado de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio R.

Figura 1

P1 R

0 R

l

R

P2

Sea P1P2 el lado de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio R, luego: En la figura 1, P1 O P2 : l 2 = R2 + R2 - 2(R)(R) cos … Teorema de cosenos. l 2 = 2R 2 (1- cosq ) l = R 2 (1- cosq ) Donde q =

360° n

2º Longitud del lado de un polígono regular de n lados circunscrito en una circunferencia de radio R. En la figura 2, P1P2 es el lado de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio R, y Q1Q2 el lado de un polígono regular de n lados circunscrito en una circunferencia de radio R, luego: 8

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

Figura 2

Q1

P1 R

N

M

R

0

R

P2

L Q2

3º Sabemos que la longitud de la circunferencia de radio R es 2 R, entonces: De la Figura 3, concluimos: perímetro del perímetro de la perímetro del < < polígono P circunferencia polígono Q

Figura 3

Q1

Así: n l < 2π R < 2 L

P1

⎡ 2 R (1 − cos θ ) ⎤ n ⎡ R 2 (1 − cos θ ) ⎤ < 2π R < n ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ sen θ ⎣ ⎦ n (1 − cos θ ) n ...(*) 2 (1 − cos θ ) < π < sen θ 2 360° Donde θ = n

l R

0 Polígonos regular P de n lados inscrito en la circunferencia

L P2 Q2 Polígono regular Q de n lados circunscrito en la circunferencia

4º Aproximación de . - Consideremos P y Q dos polígonos regulares de 8 lados. 360∞ Æ q = 45∞ reemplazando en (*) 8 8 8 (1- cos 45∞ ) 2 (1- cos 45∫ ) < p< sen 45∞ 2 3, 061467459 < p< 3, 313708499 n = 8, q =

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

-

Consideremos P y Q dos polígonos regulares de 16 lados. 360∞ Æ q = 22, 5∞ reemplazando en (*) 16 16 16 (1- cos 22, 5∞ ) 2 (1- cos 22, 5∞ ) < p< sen 22, 5∞ 2 3,121445152 < p< 3,182597878 n =16, q =

-

Consideremos un polígono regular de 96 lados. 360∞ Æ q = 3, 75∞ reemplazando en (*) 96 96 96 (1- cos 3, 75∞ ) 2 (1- cos 3, 75∞ ) < p< sen 3, 75∞ 2 3,141031951 < p< 3,1427146 n = 96, q =

-

A medida que los polígonos regulares P y Q tengan mayor cantidad de lados, mayor será la aproximación que obtengamos para ; si consideramos n = 720, entonces determinamos: 3,141582688 < π < 3,141612597

Actividad 1 Procesa la información recibida y aplica el concepto de aproximación a través de la resolución de problemas contextualizados, valorando la honestidad. Copia en tu cuaderno los siguientes ejercicios, y después de resolverlos compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. Si encuentran que sus respuestas son diferentes, discutan para llegar a un consenso. 1. Cierto día la cotización del dólar es la siguiente: Dólar paralelo Dólar bancario

Compra S/. 3,26 3,23

Venta S/. 3,31 3,34

De acuerdo con el cuadro, responde las siguientes preguntas. Se supondrá en todos los casos que las transacciones se realizaron ese mismo día: a. ¿Cuántos dólares necesito retirar de una cuenta bancaria, y cambiarlos en el mismo banco, para tener S/. 1 000? b. La semana pasada compré $ 399 a S/. 3,40 el precio del dólar; si el día de hoy he adquirido un televisor con los $ 399, ¿me ha convenido haber cambiado los dólares la semana pasada? Si hoy hubiese comprado los $ 399, ¿cuánto dinero hubiese ahorrado? c. Un cambista de dólares ha comprado $ 557 a

Luis y luego ha vendido los $ 557 a Carla. - Si el cambista solo dispone de monedas de cincuenta céntimos y de mayor denominación, ¿cuánto dinero ha ganado en la transacción? - Si el cambista solo dispone de monedas de veinte céntimos y de mayor denominación, ¿cuánto dinero ha ganado en la transacción? - Si el cambista solo dispone de monedas de diez céntimos y de mayor denominación, ¿cuánto dinero ha ganado en la transacción? d. Mario ha retirado del banco $ 455 y los cambió a soles en el mismo banco; mientras que José ha cambiado $ 455 en cierta casa de cambio. ¿Cuál de las dos personas ha recibido más dinero por los $ 455? ¿Por qué razón? e. El día de hoy he comprado un libro que cuesta $ 57 y lo he pagado con un billete de S/. 200. Si en la librería solo disponen de monedas de diez céntimos y de mayor denominación, ¿cuánto recibiré de vuelto? f. ¿Cuántos dólares necesito cambiar en una casa de cambio para tener S/. 2 000? Compara con agrado cada una de tus respuestas obtenidas con las de tus compañeros y compañeras, recuerda que todos tenemos algo valioso que compartir.

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

2. A continuación, te proporcionamos un valor aproximado de ciertos números irracionales. Calcula una aproximación por exceso y otra por defecto de dichos números con tres cifras decimales: d. a. b. e. c.

6. En un auditorio circular de 41 m de diámetro se desea instalar asientos de manera que no pueda haber menos de 2 m2 por persona, tal y como lo establecen las normas de defensa civil.

3. Para calcular el radio de un balón, lo introducimos totalmente en un balde lleno de agua, lo sacamos y luego medimos cuánto de agua hay que añadir para volver a llenar el balde. Si ha medido aproximadamente 7 litros: ¿cuál será el valor aproximado del radio de la pelota?

Para conocer la cantidad de asientos que debemos comprar debemos aproximar (recordar que no tiene un valor exacto), así, aproximando a centésimas, obtenemos:

4. Las autoridades de un distrito encargan a un contratista la remodelación de una plaza circular de 50 m de radio. Después de acordarse un precio de $ 20 por m 2, el contratista presenta el siguiente presupuesto: Valor de la contrata = 20 área de la plaza = 20 3,15 50 2 = $ 157 500

Para saber la capacidad de asientos posibles para el auditorio, utilizamos la siguiente fórmula:

- Por defecto:

3,14

número de asientos Por tanto, caben 659 butacas. - Por exceso: 3,15 número de asientos Por tanto, caben 661 butacas. a. ¿Sería legal aproximar por exceso? b. ¿Te parece buena la aproximación a centésimas por defecto? c. ¿Sería justo tomar como aproximación de el valor de 3,14159? ¿Por qué? 7. Humberto vive en Tacna y desea ir de viaje con su familia a la ciudad de Arequipa. Estima midiendo sobre el mapa con una regla la distancia que separa ambas ciudades.

http://www.andeantravelweb.com/peru/galler y/photos_ cusco_plaza_de_armas_peru/cusco_plaza_18.jpg

El alcalde, que dio por bueno el valor de , lo aprobó. - Realiza el cálculo anterior aproximando por 3,141592 y dinos si te parece honrado el contratista. - Si el contratista hubiese aproximado por 3,1416: ¿Qué hubieses opinado de él? 5. Tres amigos han pintado una casa por lo cual han recibido S/. 1 000. Si los tres han trabajado por igual, ¿podrán repartirse equitativamente el dinero cobrado por el trabajo?

http://www.adra.org.pe/por tafolios/economia/imagenes_jpg/ ag_tacna.jpg

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8. Medimos la longitud de un circuito automovilístico con ayuda de un contador kilométrico, puesto a cero. En la primera vuelta el contador indica: 0 0 5 2 Es decir, 5,2 km lo cual nos indica que el recorrido (L) no es inferior a 5,2 km, pero inferior a 5,3 km, es decir: 5,2 L < 5,3. A fin de obtener una mejor precisión recorremos más vueltas. A continuación, presentamos un cuadro con las lecturas respectivas hechas por el contador kilométrico por cada vuelta. Nº de vueltas 1 2 3 Contador 5,2 10,5 15,8

4

5

6

21 26,2 31,6

Nº de vueltas 7 8 9 10 11 Contador 36,9 42,1 47,4 52,7 57,9

Si deseamos obtener la longitud de la pista, podemos realizar el siguiente procedimiento: Nº de vueltas 1 2 3 4

Medida de contador 5,2 10,5 15,8 21

Márgenes de variación Diferencia (m) de L (en km)

L < 5,3 5,2 2L < 10,6 5,25 3L < 15,9 5,2 4L < 21,1 5,25

L < 5,3 L < 5,3 L < 5,3 L < 5,275

100 50

b. ¿Se podría precisar la longitud del circuito sin cometer un error mayor de 1m? ¿Cuál sería este valor? Y, en caso sea posible, ¿cuántas vueltas se requerirán para calcularlo? c. ¿Cuál crees que sea la razón por la cual a mayor cantidad de vueltas, mayor es la precisión de la longitud de la pista del circuito automovilístico? 9. Se desea remodelar una plaza triangular de 600 m2 de lados iguales, para ello se necesita cercarlo con soga para evitar que las personas, por curiosidad, interrumpan a los jardineros contratados para realizar dicha remodelación. Si en los vértices de la plaza se ha plantado estacas para por allí pasar la cuerda que evitará que invadan la plaza. Además, si solo se va a pasar la cuerda una sola vez, sin repetir ningún tramo, ¿cuántos metros de cuerda se necesitará comprar como mínimo para cercar la plaza? 10. Las dimensiones de un contenedor con forma de hexaedro son: 10,32 m, 3,16 m y 2,05 m. Se introduce en él cubos de 1 cm de arista. ¿Cuántos se puede meter si los cubos se apilan apoyándose en las caras?

33, 25

En la cuarta vuelta, el verdadero valor para L se sitúa entre 5 250 m y 5 275m. Si adoptamos como medida del circuito el valor intermedio de 5 262,5 m, no nos equivocaremos en más de 12,5 m.

5 250 m

5 262,5 m

10,32 m

3,16 m

en grupo...

12,5 m

12,5 m

2,05 m

5 275 m

investiga con tus compañeros

25 m

Por tanto, diremos que 5 262,5 m es el valor aproximado de la longitud de la pista del circuito automovilístico. De acuerdo con lo expuesto responde las siguientes preguntas: a. ¿Cuántas vueltas hay que dar para obtener la longitud de la pista con una precisión de 10 metros? 12

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

2. MÉTODOS para APROXIMAR CANTIDADES 2.1 Aproximación por redondeo y truncamiento Operación exitosa

Recuerda

Ejecutivo logró mejorar el perfil de más de 10% de la deuda externa Se colocó el 63% del total de bonos ofrecidos por el Estado Hubo gran demanda Peruano. El nivel de participación hace que esta transacción se considere sumamente exitosa. Como exitosa calificó el ministro de Economía, Luis Fue una de las más relevantes de los últimos años en la región . Bonos Oferta Intercambio Recompra Total % Carranza, la reciente operación de intercambio y recompra Bonos Global 2012 1.423 950 71 1.021 71,7 de bonos soberanos que concluyó ayer. Bonos PDI 844 520 5 525 62,2 Bonos FLIRB 1.104 648 9 657 59,5 Así, de una oferta total de US$3.634 millones, tanto en Bonos Par 65 7 4 11 16,9 bonos Global 2012 como en bonos Brady, el Gobierno Bonos Descuento 198 65 17 82 41,1 Total 3.634 2.190 106 2.296 63,2 logró colocar hasta US$2.296 millones (US$2.190 millones EL COMERCIO Fuente: Ministerio de Economía y Finanzas en intercambio y US$106 millones en recompra), lo que representa el 63% del total ofrecido. El titular de economía explicó que esta operación busca reducir la vulnerabilidad de las finanzas locales, toda vez que no es conveniente tener porcentaje de deuda muy alto en tasa variable y en moneda extranjera, porque ello genera riesgos en el futuro. Uno de estos riesgos es que, frente a un cambio en el contexto internacional (como un posible aumento de las tasas de interés de la Reserva Federal de EE. UU.), los pagos de deuda pueden subir de manera inesperada. Por ello, agregó, con esta operación se logra reducir los pagos de deuda, pasando una parte al 2013 y otra al 2033. En el caso de bono Brady , explicó que estos instrumentos poseen una tasa de pago baja, pero un perfil de amortización constante. Ahora se han postergado hasta el 2037. Así, la vida media de la deuda pública peruana pasó de 8,4 años a 9,6 años. “Hemos logrado reperfilar más del 10% del total de la deuda externa, esto constituye un hito en operaciones de este tipo en Latinoamérica”, dijo, el ministro. El Total de la deuda peruana asciende a US$ 21.972 millones. Añadió que este proceso permitió bajar de manera significativa el servicio de deuda, lo que implica que se tendrá más recursos del presupuesto para destinarlos al gasto social. En suma, los efectos positivos de esta operación se reflejarán en un ahorro total para el Estado de US$106 millones. LO QUE SE VIENE Carranza aclaró que esta operación no será la última que realice el Gobierno para mejorar el perfil de la deuda en este año. Dijo que se realizarán procesos pequeños, sobre todo para cambiar la estructura de la deuda, de moneda extranjera a soles. El ministro adelantó que se viene el reperfilamiento de la deuda con el Club de París. En este caso, precisó, lo que se pretende es darle mayor participación a los inversionistas locales. Aunque no quiso entrar en detalles, Carranza indicó que el monto de la operación será significativo. De otro lado, comentó que como parte del segundo paquete de medidas tributarias se dictará normas orientadas a la recuperación anticipadas del IGV. Para marzo se prepara la revisión del código tributario.

• Cuando de las dos aproximaciones por defecto o por exceso tomamos sistemáticamente la más cercana al valor verdadero, decimos que estamos redondeando. • Se realiza una aproximación por redondeo o truncamiento cuando se reemplaza un decimal infinito por un decimal finito o un decimal finito por otro decimal finito con menor cantidad de cifras decimales.

El Comercio, 24 de febrero de 2007.

En el artículo periodístico presentado puedes observar el uso de cifras decimales para dar a conocer la situación de la deuda externa de nuestro país. Valor aproximado

Valor aproximado por redondeo

por truncamiento

En nuestra vida diaria existen muchas otras situaciones que requieren el uso de los decimales y sus aproximaciones, es por ello que en este fascículo te daremos a conocer algunos métodos de aproximación. La aproximación de una cantidad por redondeo la hacemos por exceso o por defecto. Para ello, utilizaremos la siguiente regla: “Para redondear hasta cierto orden n, se deja la cifra de orden n tal como está, si la cifra que sigue es menor que cinco; y se aumentará una unidad a la cifra, si la cifra que sigue no es menor que cinco”. Ejemplos: 1. Trunquemos los siguientes decimales hasta el milésimo: 12,245 c. 1,3241414 1,324 a. 12,24587 b. 0,241826 0,241 d. 0,58333... 0,583

12,245

12,24587

Valor aproximado por redondeo

Valor aproximado por truncamiento 0,241 Valor aproximado por truncamiento

1,324 Valor aproximado por truncamiento

0,583

12,246

0,241826

0,242

Valor aproximado por redondeo

1,3241414 Valor aproximado por redondeo

0,58333...

13

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

Al efectuar la aproximación (1 + x) 2 1 + 2x se comete un error equivalente a x 2, por esta razón es necesario que x sea una cantidad muy próxima a cero.

¿SABÍAS QUÉ? La Tierra no es de forma exactamente esférica, pero suponiendo que lo fuese su superficie tiene un área aproximada de A= 4 x (3,14) x (6 367,59) 2 = 509 260 302,24 km2. De éstos, aproximadamente, 3 381 945 226,68 km2, (sus 4 partes) están cubiertas de agua. Para realizar estos cálculos se ha tomado como aproximación de el valor 3,14 y como radio de la tierra, el promedio entre su radio polar (6 356,8 km) y su radio ecuatorial (6 378,38 km).

¡Como puedes darte cuenta, en nuestro quehacer diario, por lo general trabajamos con valores aproximados y no con valores exactos! http://www.observatorio.unal.edu. co/miembros/docentes/grek/elem/ tierra.pdf

2. Redondeamos los siguientes decimales hasta el milésimo: a. 12,24587 12,246 aproximación por exceso b. 0,241826 0,242 aproximación por exceso c. 1,3241414 1,324 aproximación por defecto d. 0,58333... 0,583 aproximación por defecto

2.2 Aproximaciones diversas 1. Aproximación de (1 + x) 2 por (1 + 2x) La validez de esta aproximación es la siguiente: Considere: 0<x<1 0<x2<x Luego si x es un número muy próximo a cero, entonces el número x2 estará más próximo a cero que x. Por tal razón x2 será una cantidad muy pequeña, la cual para efectos de cálculo puede ser despreciada sin que origine una variación significativa. Así: (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 1 + 2x Considera: –1 < x < 0 – x > x2 > 0 Por un razonamiento similar al anterior podemos concluir que: (1+ x)2 = 1 + 2x + x2 1 + 2x Finalmente, cuando x es un número muy próximo a cero, entonces: (1 + x) 2 1 + 2x. Ejemplos: a. Calcula un valor aproximado de: (1,0005) 2 y el error cometido. (1,0005)2 = (1 + 0,0005)2 1 + 2 0,0005 1,0010 En esta aproximación el error cometido es: (0,0005)2 = (5 10 – 4) 2 = 25 10 – 8 b. Calcula un valor aproximado de (0,997) 2 y el error cometido. 1 + 2 (-0,003) (0,997)2 = (1 – 0,003)2 0,994 En esta aproximación el error cometido es: (– 0,003)2 = (– 3 10 – 3) 2 = 9 10 – 6 la cual es una cantidad muy próxima a cero y por eso se descarta. 2. Aproximación por acotaciones Una manera de aproximar números irracionales de la forma ,n , mediante un número decimal finito es por medio de las acotaciones; para ello debemos tener en cuenta que: si 0 < a < b, entonces a 2 < b 2. Este procedimiento nos proporcionará dos aproximaciones, una por exceso y otra por defecto. Ejemplo: Determine una aproximación de : Resolución: Determinemos entre qué valores naturales está comprendido . Como el cuadrado de es aproximadamente 5, entonces: 4 < 5 < 9, luego 2 < < 3.

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Determinemos una aproximación de con una cifra decimal, para ello procedemos a calcular los cuadrados de todos los números entre 2 y 3 con una cifra decimal, hasta encontrar un valor menor y mayor que 5, así: (2,1) 2 = 4,41 (2,2) 2 = 4,84 (2,3) 2 = 5,29 Estos cálculos nos indican que

está entre 2,2 y 2,3. Así podemos afirmar que: 2,2 < < 2,3 En este caso tenemos que 2,2 es una aproximación por defecto de y que 2,3 es una aproximación de por exceso. El error cometido al aproximar a por 2,2 ó 2,3 es menor a una décima. Si se desea una mejor aproximación, debemos volver a repetir el procedimiento, es decir, hallar las potencias de los números con dos decimales entre 2,2 y 2,3. En este caso el error cometido será inferior a una centésima.

Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

Para revisar la prueba de este procedimiento puedes ingresar a la siguiente dirección electrónica: http://descartes.cnice.mecd. es/taller_de_matematicas/ matematica_iterativa/raices.html Sugerencia: debes hacer clic en “Algoritmo”.

3. Aproximación aplicando el método babilónico + ,n , Otra manera de aproximar un número irracional de la forma mediante un número decimal finito es utilizando el método babilónico. En este caso se construirá un rectángulo de área igual a n, luego se debe ir transformando en un cuadrado utilizando el promedio de la medida de los lados y la división del área entre el promedio. Ejemplo: Determina una aproximación de 3

ANÉCDOTA DE EVARISTE GALOIS

3+7 =5 2

21

21: 5 = 4,2

7

5 + 4,2 = 4 ,6 2 21: 4,6 = 4,57 4,6 +4,57 = 4 ,585 2 21: 4,585 = 4,58

Por tanto 4,58 es una aproximación de

.

4. Aproximación aplicando el método babilónico corto Se conoce como el método babilónico corto al proceso de calcular la raíz cuadrada de cierto número n por medio del siguiente algoritmo:

Donde “a” es una aproximación de La validez de este procedimiento se basa en lo siguiente: Considere a, entonces –a 0 ( n – 2a Por lo tanto:

– a) 2 + a2 n + a2

0 0 2a

(Francia, 1811 - 1832) Después de realizar estudios en un liceo, ingresa a la “Ecole Normale” en Francia. Fue acusado de “peligroso republicano”, por lo que es encarcelado, no siendo esta la única vez que estuvo en prisión. Estando preso se enamoró de una coqueta y agraciada joven que iba a visitar a otro preso; la relación fue corta y dramática, falleció a los 21 años (1832) a pocos días de salir de prisión en un ridículo duelo. La noche anterior al duelo, escribió algunas cartas y unas 60 páginas de Matemática las cuales envió a su amigo O. Chevallier para la publicación en caso de un fin trágico. En ellas presentaba su teoría de grupos abstractos, fundando así el Álgebra abstracta moderna. http://thales.cica.es/rd/Recursos/ rd97/Biografias/05-2-b-galois.html

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

Ejemplo: Calcule un valor aproximado de Dado que 25 < 26, entonces 5 es una aproximación de

, luego:

Por tanto 5,1 es una aproximación de . 5. Método de Newton Para calcular una aproximación de la raíz cuadrada de un número n se basa en el cálculo iterativo de la siguiente expresión: http://www.historia-del-ar te. net/Links-ARTE/Concurso/2001/ Kneller-Newton2.jpg

Isaac Newton (Inglaterra, 1642 - 1727) Fue un científico, físico y matemático inglés, autor del libro Principia Matemática, en el cual describe la ley de gravitación universal y establece las bases de la Mecánica clásica. Es uno de los inventores del cálculo diferencial e integral. Entre sus aportes destacan sus estudios referentes a la luz y la óptica. Desarrolló el teorema del binomio que hoy lleva su nombre.

En que x i es el valor de la raíz cuadrada de n que en cada iteración se calcula con mayor precisión, o sea, mientras más veces se realice la iteración, más cercano será el valor de x i al valor exacto de la raíz cuadrada de n. Normalmente se parte usando el valor n para la primera 2 iteración, es decir, se parte con x0 = n . 2 Luego se calculará:

Calcula un valor aproximado de x0 =

\

El éxito de una buena aproximación es utilizar valores próximos al número irracional de la forma

, n

.

y así sucesivamente.

Ejemplo:

38 = 19 2

http://thales.cica.es/rd/Recursos/ rd99/ed99-0257-01/newton.html

Recuerda

,

38 .

x1 =

1 38 19 + = 10,5 2 19

x2 =

1 38 10,5 + » 7, 059 2 10,5

x3 =

1 38 7, 059 + » 6, 221 2 7, 059

x4 =

1 38 6, 221+ » 6,164 2 6, 221

38 » 6,164

6. Aproximación por punto fijo A través de un ejemplo expondremos un procedimiento que nos permitirá calcular un valor aproximado de la raíz cuadrada inexacta de un número natural. Ejemplo: Calculemos un valor aproximado de la raíz cuadrada de 86 843. 1. Ordenemos los dígitos en grupos de dos cifras, de derecha a izquierda: 8 68 43. Observe que en este caso el primer periodo solo tiene una cifra. 2. Ahora busquemos un número cuyo cuadrado no exceda al primer periodo. Como el primer periodo es 8, entonces el número cuyo cuadrado no excede a 8 es 2. A este número 2 le llamaremos “raíz” y representa al primer dígito de la raíz cuadrada de 86 843.

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3. Restamos al primer periodo el cuadrado de la raíz. 2 8 68 43 −4 4 Æ diferencia

Método de aproximación por punto fijo:

4. Bajemos el siguiente periodo y lo encadenamos a la diferencia obtenida, así se forma el número 468, al cual llamaremos residuo.

¬

2 8 68 43 −4 residuo 4 68 ¬

5. Utilizaremos la expresión: [ (20 raíz) + número] número De modo que el resultado no exceda al residuo. El número es 9: [ (20 2) + 9] 9 = 441 < 468 6. Efectuamos la sustracción: 29 8 68 −4 4 68 − 4 41 27

Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

43

• Ordena los dígitos en grupos de dos cifras a partir del punto decimal (de derecha a izquierda para números enteros). Estos grupos se denominan periodos y se nombran enumerándolos de izquierda a derecha. El primer periodo puede tener una o dos cifras. • Encuentra el número más grande que elevado al cuadrado no exceda al primer periodo. Este número es el primer digito de la raíz cuadrada que está calculando. De aquí en adelante la denominaremos simplemente “la raíz”. • Resta del primer periodo el cuadrado de la raíz.

7. Repetimos los pasos 4º hasta 6º con el último periodo:

• Baja el siguiente periodo y encadénalo con la diferencia obtenida. Al número así formado le llamaremos residuo. • Encuentra el número más grande de tal forma que la expresión: [(20xRaíz)+número]x número

4 es el tercer dígito de la raíz

8. Si deseamos aproximar aún más la raíz, podemos agregar periodos con ceros. Así:

no exceda al residuo. Este número es el siguiente dígito de la raíz. • Resta del residuo el valor de la expresión. • Repite los pasos 4º a 6º sucesivamente hasta terminar con el último periodo.

4 es el tercer dígito de la raíz 6 es el primer decimal de la raíz 9 es el segundo decimal de la raíz

• Si al final tienes un residuo diferente de cero, la raíz no es exacta. Puedes entonces agregar ceros a la derecha del punto decimal y continuar el procedimiento para obtener una mayor aproximación al valor de la raíz. http://www.cidse.itcr.ac.cr/ revistamate/HERRAmInternet/ ecuaexecl/node6.html

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Actividad 2

Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

Analiza los diversos métodos de aproximar cantidades a través de la observación, diferenciación y comparación para luego aplicar el método más idóneo a cada situación, asumiendo desafíos. 1. Redondea hasta el decimal indicado. Décimo

Centésimo

NO

ES

C

B RI

Milésimo

IR

2. Utilizando cualquiera de los métodos descritos en el fascículo para calcular una aproximación del número irracional pedido, aproxima por truncamiento los siguientes números irracionales hasta el centésimo. a. b. c. d. e. 3. Relaciona cada raíz con su valor aproximado por truncamiento al centésimo. Utiliza el sexto método descrito. ¿Es el más conveniente? a.

(

)

62,35

b.

(

)

691,55

c.

(

)

50,62

d.

(

)

112,01

e.

(

)

124,39

4. Un constructor desea transportar un lote de aproximadamente 90 m 3 de madera repartidos en listones de 5, 65 m de largo; 0, 2m de alto y 0,2m de ancho. Si para transportar dicho lote le ofrecen dos contenedores de base cuadrada con las siguientes características: Contenedor Nº 01 Nº 02

Volumen (en m 3) 95 105

Altura del contenedor (en m) 3 3

a. ¿Cuál será el contenedor que contratará el constructor para transportar la madera? b. ¿Por qué razón eligió dicho contenedor? c. Si le ofrecieran un contenedor de la misma forma que los anteriores, pero con las siguientes características: base cuadrada de 5,85 m y altura 2,7 m, ¿el constructor podría contratar este contenedor? ¿Por qué razón?

5. Al medir el lado de una placa cuadrada de aluminio un alumno dice que esta mide 50 cm, cometiendo un error de 1mm al realizar la medición. Se le pide calcular el área de dicha placa de aluminio. Responde las siguientes preguntas: a. ¿Cuánto medirá aproximadamente el área de la placa cuadrada de aluminio? b. ¿Cuál será el error cometido? c. ¿Podrías explicar los posibles motivos por los cuales dicho alumno cometió el error al medir el lado de la placa de aluminio? 6. El dueño de una discoteca ha recibido la autorización de la municipalidad para la construcción de una plataforma circular de 300 m 2 para ser utilizada como pista de baile. a. Si consideramos 3,14, ¿cuánto medirá el diámetro la pista de baile? b. Si consideramos 3,15, ¿cuánto medirá el diámetro la pista de baile? c. ¿Cuál de las dos aproximaciones de le conviene al dueño de la discoteca? ¿Por qué? d. ¿Te parecería honrado el dueño de la discoteca si decide elegir el valor de 3,14 como una aproximación de ? ¿Por qué razón? e. ¿Te parecería más honesto que la aproximación de sea de 3,1415? ¿Por qué razón? 7. Un automóvil que se desplaza a velocidad constante debe recorrer 850 m. Si se demorara la mitad (en horas) del valor de su velocidad, ¿cuál es la velocidad de dicho automóvil?

en grupo... investiga con tus compañeros Tener presente: Elijan un coordinador que anote los resultados y/o conclusiones. Todas las opiniones son valiosas y deben ser escuchadas con respeto. Elaboren un informe con las conclusiones obtenidas. Se sabe que 1,414213, 1,732051, si multiplicamos los valores aproximados de y obtenemos que 2,449518, además 2,449490. a. ¿Podemos decir que ?, ¿por qué? b. ¿A qué se debe que el resultado calculado para sea diferente del valor de ? c. ¿Será cierto que ? ¿En qué casos se cumple la igualdad? Den ejemplos.

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

3. APROXIMACIÓN de RAÍCES IRRACIONALES de una ECUACIÓN POLINOMIAL En el artículo de M. Sc. José Manuel Ruiz Socarras, que te presentamos líneas abajo, se comenta la importancia de los métodos que conducen a la solución aproximada de los problemas, que necesitan para su solución ecuaciones de grado mayor que cuatro. Por ejemplo, en la aerodinámica aplicada en el estudio de las condiciones de estabilidad de un avión, como se señala en la siguiente lectura.

Importancia de los métodos aproximados de solución: M. Sc. José Manuel Ruiz Socarras Universidad de Camagüey Cuba Tengo la impresión, en mis 20 años de trabajo como profesor, que generalmente los estudiantes menosprecian los métodos que conducen a la solución aproximada del problema. Y digo que tengo la impresión, pues no conozco de estudios realizados al respecto. Sin embargo, no debemos culpar a los estudiantes por esa valoración ya que si calculamos el tiempo que se dedica a enseñarles métodos exactos de solución a lo largo de toda la enseñanza incluyendo la educación superior, obtendremos que el tiempo dedicado a la enseñanza de métodos aproximados es mínimo en comparación con el dedicado a métodos exactos, mientras que en la práctica ocurre por ejemplo que hay autores que señalan que solo se pueden resolver por métodos exactos no más del 5 % de las ecuaciones diferenciales que se pueden presentar. Si a la contradicción anterior le sumamos que no siempre los profesores le demuestran a los estudiantes la importancia de los métodos aproximados, entonces el estudiante obviamente llega a pensar que lo más importante son los métodos exactos. Sucede pues, que se dedica mucho tiempo a estudiar gran cantidad de métodos llamados exactos que realmente resuelven un grupo pequeño de problemas, en lugar de dedicar más tiempo a estudiar métodos aproximados que aunque sean relativamente pocos en cantidad, pueden, sin embargo, aplicarse a un gran número de problemas. Un ejemplo de problema que no puede ser resuelto por un método exacto es la búsqueda de las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro, lo cual fue demostrado por Galois (1811-1832) y, sin embargo, las ecuaciones de grado superior al cuatro aparecen con frecuencia en problemas técnicos y científicos, por ejemplo, en la aerodinámica aplicada, en el estudio de las condiciones de estabilidad de un avión, interviene una ecuación de octavo grado. Para terminar de leer este artículo ingresa a la siguiente dirección electrónica: http://www.nuestraldea.com/9_capacitacion/aproximacion_solucion.html y

Consideremos el polinomio: p(x) = x 5 – 3x 4 – 5x 3 + 15x 2 + 4x – 12, el cual al ser factorizado queda expresado del modo siguiente: p(x) = (x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2)(x – 3), al evaluar p(x) para los valores –1; 1; –2; 2 y 3 el polinomio se anula, además, si graficamos y = p(x) observamos que en dichos valores la gráfica interseca al eje X. Así:

11,367 7,5781 3,7891 -2 -3,75

-2,5

-1

1

-1,25

2 1,25

3 2,5

3,75

x 5

-3,7891 -7,5781 -11,367 -15,156

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En este caso vemos que los valores que anulan al polinomio son números exactos, pero no todos los polinomios se anulan para valores exactos, como es el caso de p(x) = x 4 - 3x 2 + x – 2, el cual al ser factorizado lo expresamos como p(x) = (x + 2)(x 3 – 2x 2 - 1) notamos que para x = -2 el polinomio se anula, sin embargo, no es posible determinar otro valor exacto que anule el polinomio, pero al graficar y = p(x) observamos que su gráfica interseca al eje X en dos puntos diferentes.

http://www.daviddarling.info/ images/Descar tes.jpg

y

RENÉ DESCARTES (Francia, 1596 - Suecia, 1650) Fue filósofo y matemático; se educó en un colegio jesuita donde gozó de un trato especial debido a la fragilidad de su salud. Estudió Derecho en la Universidad de Poitiers y, más adelante, sirvió a los Países Bajos en el ejército. Al renunciar a la vida militar, Descartes viajó por Alemania, Países Bajos e Italia. Al regresar a Francia se relacionó con los científicos de la época. En 1628 decidió instalarse en los Países Bajos, lugar que consideró más favorable para cumplir los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado, y residió allí hasta 1649. Los cinco primeros años los dedicó principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepción del hombre y del cuerpo humano, que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de la condena de Galileo, renunció a la publicación de su obra, que tendría lugar póstumamente. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/ Biografias/14-1-b-Descartes.html

6 4 2 + -8

-6

Y

2

-2

-4

4

6

x 8

-2 -4 -6

Uno de ellos es -2. ¿Cómo determinamos el otro valor? Para ello creemos conveniente utilizar un método de aproximación para calcular dicha raíz. Los métodos que proponemos a continuación son de mucha utilidad para aproximar la raíz irracional de ecuaciones polinomiales de una variable con coeficientes enteros de grado mayor o igual que tres.

3.1 Método de interpolación lineal Considere una función polinomial p(x) tal que para números reales positivos muy próximos “a” y “b”, con a < b, se cumple que p(a) > 0 y p(b) < 0, entonces la función polinomial tiene una raíz real entre a y b. Esto se representa gráficamente en la figura adjunta:

Y D(a, p(a))

p(a)

y = p(x)

Recordar que: Si x 0 es raíz del polinomio p(x), entonces p(x) se anula para x = x 0 , es decir p(x 0 ) = 0. Geométricamente, x 0 estará ubicado en el punto de intersección de la curva y = p(x) y el eje “X”.

8

A(a,0) a

M C (c,0) b X B(b,0) x0 c

p(b) E(a,p(b))

F(b,p(b))

y = p(x)

x0 X raíz de p(x) p(x 0 ) = 0

Este método está fundado en la hipótesis de que un arco pequeño de una curva continua puede sustituirse por un segmento rectilíneo sin introducir un error apreciable. Naturalmente esto es solo una aproximación, pero tiene la ventaja de que es posible mejorarla disminuyendo la longitud del arco considerado. Por tal razón, cuanto más próximo está a de b, mayor será el grado de precisión que se obtenga para la raíz x 0.

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

Los puntos A y B son respectivamente los pies de perpendiculares trazadas de D y F al eje X, sea E el punto de intersección de las rectas perpendiculares trazadas por los puntos D y F al eje X e Y respectivamente. Al arco DF correspondiente a la gráfica de y = p(x) (la cual interseca al eje X en el punto M de abscisa x 0) lo sustituimos por el segmento que une los puntos D y F y que interseca al eje X en el punto C de abscisa c la cual estará muy próxima a la raíz x 0 de la ecuación p(x) = 0 situado entre a y b. Este valor c x 0 puede calcularse fácilmente utilizando la semejanza de triángulos, así: Del gráfico:

¿SABÍAS QUÉ?

DAC

La solución de la ecuación cúbica de la forma:

DEF … (1)

Pero:

DA = p( a ) - 0 DE = p( a ) - p(b ) AC = c - a EF = b - a

...

x 3 + px + q = 0

( 2)

Reemplazando (2) en (1), obtenemos: Luego el valor de “c” queda expresado del modo siguiente: Debemos tener presente que el valor de “c” representa a la primera aproximación de la raíz x 0 de la ecuación p(x) = 0. Si se desea una mayor precisión para el valor de x 0 debemos repetir el procedimiento descrito, para lo cual tomaremos como punto de partida el valor calculado para “c” y a partir de él calcularemos una segunda aproximación de x 0 la cual será más precisa. Este procedimiento lo podemos repetir tantas veces nos parezca conveniente hasta que logremos obtener la aproximación con la precisión deseada.

se conoce como la fórmula de Cardano, ya que fue publicada por primera vez por Gerolamo Cardano en la obra Ars Magna, en 1545; pero su verdadero descubridor fue Niccolo Tartaglia a quien Cardano juró no divulgar su descubrimiento. ¡Averigua más sobre esta información en la web!

Y Para deducir la ecuación que nos proporcione una aproximación de la raíz x0que esté comprendida entre “a” y “b” hemos considerado que p(a) > 0 y p(b) < 0, pero podría darse el caso que p(a) < 0 y p(b) > 0, en este caso para calcular “c” debemos utilizar:

p(b)

a b por tal razón podemos generalizar la manera de calcular el valor de “c” del modo siguiente:

X

p(a)

21

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

Ejemplo: Demostrar que la ecuación:

Gráfica de:

x 3 – 2x 2 – 1 = 0. Tiene una raíz entre 2 y 3, y calcularla con una cifra decimal.

f(x)= x3-2x2 -1 y 8 6 4 2 + -8

-6

-4

2

-2

4

x 8

6

-2 -4

1. Considera el polinomio: p(x) = x 3 – 2x 2 – 1, al evaluar p(x) para 2 y 3, obtenemos: p(2) = –1 y p(3) = 8, debido a que p(2)<0 y p(3)>0 es continua, entonces el polinomio p(x) = x 3 – 2x 2 – 1 tiene una raíz entre 2 y 3, por tanto la ecuación x 3 – 2x 2 – 1 = 0 también tendrá una raíz entre 2 y 3. 2. Ahora calculemos una primera aproximación de la raíz x 0 que se encuentra entre 2 y 3.

-6 -8

FUNCIÓN CONTINUA Observemos las siguientes gráficas de funciones reales: Aproximando al décimo: Y

Por tanto, una primera aproximación será: 2,1. f (b) f (a) a

b

X

(I)

Para asegurar la precisión de la aproximación pedida (una cifra decimal) debemos realizar una segunda aproximación de la raíz x 0 , para este caso buscaremos que la diferencia entre a y b sea de 0, 1; así, evaluaremos del modo siguiente: p(2,1) = –0,559

Y

p(2,2) = –0,032 p(2,3) = +0,587

f (b) f (a) a

b

X

( II ) Y

Nota que p (2,2) < 0 y p (2,3) > 0, por tanto la ecuación: x3 – 2 x2 – 1 = 0 tiene una raíz entre 2,2 y 2,3, ahora calculemos la segunda aproximación de x 0 . ( 2, 3 - 2, 2) . p ( 2, 2) x 0 » c = 2, 2 + p ( 2, 2) - p ( 2, 3)

f (b)

= 2, 2 +

f (a) a

b

X

( 0, 1 ) . (-0, 032) (--0, 032) - (0, 587)

= 2, 2051696

( III )

Al mirar con un poco de cuidado la gráfica (I) podemos observar que el trazo es "continuo", mientras que en las gráficas (II) y (III) se observa que no es un solo trazo. Intuitivamente se puede decir que una función es continua en un intervalo cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”.

x 0 » 2, 205

Debido a que hemos considerado a – b = 0, 1, esta segunda aproximación es muy buena para aproximar la raíz x 0 con una cifra decimal. Luego, el valor de la raíz x 0 de la ecuación x 3 – 2x 2 – 1 = 0 con aproximación al décimo es 2,2.

22

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

Ejemplo: Demostrar que la ecuación: x 5 – 3x 3 + 1 = 0. Tiene una raíz entre –2 y – 1, y determínala con una cifra decimal. 1. Considera el polinomio: p(x) = x 5 – 3x 3 + 1, al evaluar p(x) para –2 y –1, obtenemos:p(–2) = –7 y p(–1) = 3, entonces el polinomio p(x) = x5 – 3x3 + 1 tiene una raíz entre –2 y –1, por tanto la ecuación x 5 –3x 3 + 1 = 0 también tendrá una raíz entre –2 y –1.

Un mate... Le preguntan a un matemático: · ¿Tú qué harías si vieras una casa ardiendo y justo enfrente hay una manguera sin conectar a una boca de riegos? · La conectaría, obviamente. · ¿Y si la casa no estuviese ardiendo, pero la manguera estuviese conectada? · Quemaría la casa, desconectaría la manguera y luego usaría el método anterior.

2. Ahora calculemos una primera aproximación de la raíz x 0 que se encuentra entre –2 y –1. (-1- (-2)) . p(-2) -7 (1 ) . (-7) x 0 » c = -2 + = -2 + = -2 + = -1, 3 p (-2) - p (-1)

(-7) - (3)

-10

x 0 » -1, 3

Luego, una primera aproximación será: –1,3. 3. Calculemos una segunda aproximación para la raíz x 0 de la ecuación x 5 – 3x 3 + 1 = 0. p(–1,3) = 3,87807, p(–1,4) = 3,85376, p(–1,5) = 3,53125, p(–1,6) = 2,80224, p(–1,7) = 1,54043, p(–1,8) = – 0,39968 Observe que p(–1,7) > 0 y p(–1,8) < 0, entonces, existe una raíz entre –1,8 y –1,7; luego: x 0 » c = -1, 8 +

(-1, 7 - (-1, 8)) . p (-1, 8) p (-1, 8) - p (-1, 7)

= -1, 8 +

( 0, 1 ) . (-0, 39968) (-0, 39968) - (1, 5443)

» -1, 8 + 0, 02055 = -1, 77945 x 0 » -1,779 Luego, el valor de la raíz x 0 de la ecuación x 5 – 3x 3 + 1 = 0 con aproximación al décimo es –1,8. Gráfica de: Recomendaciones: Para determinar la raíz de la ecuación p(x) = 0 debemos evaluar p para x = a y x = b donde a y b son enteros consecutivos tal que p(a)p(b) < 0. En la primera aproximación que realizamos no siempre se obtendrá una aproximación muy precisa de la raíz x 0 de la ecuación p(x) = 0, pero es importante para calcular las siguientes aproximaciones. En la segunda aproximación que realicemos la variación entre “a” y “b” debe ser de 0,1; esta segunda aproximación será con un error menor que 0,1, por tal razón se sugiere aproximar el resultado por truncamiento. Si se quiere una mejor aproximación (al centésimo, al milésimo, otros), debemos recurrir a la ayuda de una calculadora para que las operaciones aritméticas no sean engorrosas.

f(x) = x5-3x 3 + 1 y 8 6 4 2 + -8

-6

-4

2

-2

4

x 8

6

-2 -4 -6 -8

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

3.2

Método de bisección

Consideremos el polinomio p(x) = x 3 + x – 1, este polinomio por ser de grado impar debe tener al menos una raíz real. Note que en caso de tener una raíz racional estas serían 1 ó -1, pero es evidente que ninguna de ellas es raíz de p(x); esto nos indica que la raíz real del polinomio p(x) es un número irracional, por tanto no encontraremos un valor exacto de dicha raíz, pero podemos calcular un valor aproximado de dicha raíz. Al evaluar p(x) para x = 0 y x = 1 obtenemos que: p(0) = –1 y p(1) = 1, por tanto, podemos deducir que existe una raíz real entre 0 y 1.

Sea la ecuación polinomial an xn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2 + … + a0 = 0, podemos determinar las posibles raíces racionales utilizando el siguiente criterio: Posibles raíces racionales =

Así, si la ecuación es

Para visualizar el método, utilizamos la siguiente tabla que nos muestra cómo a partir de la bisección del intervalo [0; 1] aproximamos el valor de la raíz x 0 de p(x) = 0 utilizando la variación de los signos obtenidos al evaluar los extremos de cada intervalo.

Intervalo

Punto medio m

Signo de p(x)

0,5

-

0,75

+

0,625

-

0,6875

+

x 3+ x – 1, observamos que a n= 1 y a 0= -1, note que , como el único divisor es 1 tenemos que

-

+

0

1

-

+

0,5

1

-

0,5

+ 0,75

- + 0,625 0,75

+ 0,625 0,6875

p = q = 1, reemplazando en la fórmula propuesta: Posibles raíces racionales ={-1;1}

Si se desea una mejor aproximación, este proceso se debe repetir reiteradamente. Sea p(x) un polinomio, si p(x) tiene signos opuesto en el intervalo [a, b] (es decir, p(a) p(b) < 0), entonces existe una raíz dentro de dicho intervalo el cual si se biseca encontrando el punto medio m se divide del modo siguiente: [a, b] = [a, m [m, b]; luego uno estos intervalos obtenidos debe contener a la raíz del polinomio p(x), esto dependerá del valor obtenido para p(m). Así si p(a)p(m) < 0, entonces la raíz se encontrará en el intervalo [a, m , caso contrario la raíz se encontrará en el intervalo [m, b]. Este proceso de bisección debe repetirse tantas veces como precisión se requiera. Debemos tener en cuenta que cada intervalo será igual a la mitad del intervalo anterior y siempre contendrá a la raíz en uno de los intervalos formados. Si en el proceso resulta que p(m) = 0, entonces lo que ocurre es que hemos hallado el valor exacto de la raíz del polinomio p(x).

24

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

Ejemplo: Calcule una raíz irracional con aproximación al centésimo de la siguiente ecuación: x5 – x2 - x – 3 = 0

Gráfica de: f(x) = x5–x 2 –x–3 y 8

Resolución: Consideremos el polinomio p(x) = x 5 – x 2 – x – 3; note que: p(1) = – 4 y p(2) = 23, luego p(1)p(2) < 0, entonces existe una raíz de p(x) entre 1 y 2.

6 4 2 + -6

-8

-4

2

-2

4

x 8

6

-2 -4 -6 -8

Intervalo

Punto medio m

Signo de p(x)

1,5

+

1,25

-

1,375

-

1,4375

-

1,46875

+

1,453125

-

1,4609375

+

1,45703125

-

1,458984375

+

-

+

1

2

1

+ 1,5

-

+

1,25

1,5

- +

1,375 1,5

-+

1,4375 1,5

-+

1,4375 1,46875

-+

1,453125 1,46875 1,453125 1,4609375

1, 45703125 < x0 < 1, 4609375

Por tanto, 1,457 es una aproximación de x 0; si redondeamos al centésimo al valor de la raíz del polinomio p(x) = x 5 – x 2 – x – 3 obtendremos que aproximadamente 1,46 es el valor de la raíz de p(x). De este modo podremos afirmar que un valor aproximado de la raíz de la ecuación: x5 – x2 – x – 3 = 0 es 1,46.

25

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

Observaciones: Para calcular el primer intervalo debemos evaluar el polinomio p(x) para dos números enteros consecutivos, esto nos facilitará el cálculo del valor aproximado de la raíz de la ecuación p(x) = 0.

Revisa la siguiente dirección electrónica: http://www. portalplanetasedna.com.ar/ disputas_matematicas.htm Allí encontrarás mayor información acerca de Cardano, Tartaglia y Del Ferro, además comentarios interesantes de la ecuación cúbica.

Para facilitar las operaciones aritméticas podemos utilizar una calculadora, pues solo nos interesa el signo del valor numérico de p(x) en cada caso. Repetir el procedimiento hasta encontrar una aproximación conveniente. El método de bisección a diferencia del método de interpolación lineal te puede proporcionar (en caso la tuviese) el valor exacto de la raíz racional de p(x), este valor lo encontraremos si es que en algún momento encontramos que p(x 0) = 0, así x 0 será el valor exacto de la raíz racional del polinomio.

Actividad 3 Aplica los métodos de aproximación de raíces irracionales de una ecuación polinomial mediante procesos interactivos, mostrando perseverancia en el trabajo. 1. Aproxima la raíz irracional utilizando el método de la interpolación lineal. a. La ecuación: 2x 3 – x 2 – 2 = 0, tiene una raíz entre 1 y 2. Calcula con aproximación al centésimo. b. La ecuación: x 5 – x – 2 = 0, tiene una raíz entre 1 y 2. Calcula con aproximación al centésimo. c. La ecuación: x 4 – 2x 2 – 1 = 0, tiene una raíz entre –2 y –1. Calcula con aproximación al centésimo. d. La ecuación: x 3 – 2x 2 + 5x + 1 = 0, tiene una raíz entre –1 y 0. Calcula con aproximación al milésimo. 2. Aproxima la raíz irracional utilizando el método de bisección. a. La ecuación: 2x 3 – x + 4 = 0, tiene una raíz entre –2 y –1. Calcula con aproximación al milésimo. b. La ecuación: x4 – 6x2 + 8 = 0, tiene una raíz entre 1 y 2 y otra raíz entre –2 y –1. Calcule dichas raíces con aproximación al centésimo.

c. La ecuación: 4x 3 – 6x 2 + 8x – 1 = 0, tiene una raíz entre 0 y 1. Calcula con aproximación al milésimo. d. La ecuación: x 5 + 5x – 100 = 0, tiene una raíz entre 2 y 3. Calcula con aproximación al centésimo. 3. Calcula la raíz racional de la siguiente ecuación: 4x 3 – 7x 2 + 7x – 3 = 0 . Haciendo uso del método de bisección, ¿podrías calcular el mismo valor hallado utilizando los otros dos métodos de aproximación? ¿Por qué? 4. Determina entre qué números enteros se encuentran las raíces de la ecuación: 2x 3 – 5x + 1 = 0 y aproxima la menor de sus raíces utilizando el método de aproximación que más creas conveniente. 5. Este problema fue propuesto a Cardano por el matemático italiano D. Colla. Intenta resolverlo con algunos de los métodos de resolución de ecuaciones aprendidos en el presente fascículo. Dividir el número 10 en tres partes tales que constituyan una progresión geométrica y el producto de sus dos primeras partes sea igual a 6.

26

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

4. APROXIMACIONES utilizando la CALCULADORA 4.1 Redondeo de cantidades exactas e inexactas a. La calculadora por defecto aproxima cantidades (la última cifra decimal es redondeada). EJEMPLO

OPERACIÓN

VISOR

125 ÷ 3 = 41,666…

125 [÷] 3 [=]

41.66666667

134 ÷11 = 12,1818…

134 [÷] 11 [=]

12.18181818

[√] 2 [=]

1.414213562

b. Puedes redondear cantidades hasta con nueve cifras decimales, para ello utilizaremos la tecla , la cual representaremos por [MODE] en todas las operaciones. EJEMPLO

OPERACIÓN

VISOR

257 ÷ 16 = 16,0625

257 [÷] 16 [=]

16.0625

Redondeo con dos cifras decimales Redondeo con tres cifras decimales

[MODE][MODE][MODE][=][2]

16.06

[MODE][MODE][MODE][=][3]

16.063

EJEMPLO

OPERACIÓN

VISOR

[√] 21 [=]

4.582575695

Redondeo con dos cifras decimales Redondeo con cuatro cifras decimales

[MODE][MODE][MODE][=][2]

4.58

[MODE][MODE][MODE][=][4]

4.5826

EJEMPLO

OPERACIÓN

VISOR

2[a b/c]3[×]5[a b/c]4[=][a b/c]

0.833333333

[MODE][MODE][MODE][=][3]

0.833

[MODE][MODE][MODE][=][0]

1

= 4,58257...

Redondeo con tres cifras decimales Redondeo sin cifras decimales

Para emplear adecuadamente la calculadora científica DS-737CQ, el Ministerio de Educación del Perú ha distribuido la Guía de uso y conservación. Se trata de un manual que detalla minuciosamente las funciones que realiza la calculadora científica DS-737CQ. Además, la guía contiene también una serie de recomendaciones importantes que el usuario debe seguir para conservar adecuadamente la calculadora. Así, el manual nos proporciona pautas de seguridad, precauciones de uso y modos de operación que ayudan para efectuar aproximación de cantidades.

Ten cuidado: Sabemos que el valor de es 3,141592… este valor lo puedes encontrar del modo siguiente: [SHIFT][EXP][=]. ¿En el visor apareció dicho resultado? ¿Por qué razón aparece otro resultado en el visor? 27

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

En el ejemplo se está suponiendo que el último redondeo que hiciste es sin cifras decimales.

Lo que ocurre es que la calculadora está trabajando con la última aproximación que hiciste. Para que la calculadora restablezca su configuración original, debes seguir el siguiente procedimiento: [MODE][MODE][MODE] [ ][ ][=][1]. EJEMPLO

OPERACIÓN

VISOR

 = 3,141592...

[SHIFT][EXP][=]

3

Restableciendo la configuración inicial

[MODE][MODE][MODE][w][w][=][1]

3.141592654

4.2 Notación científica a. Con la tecla [ENG] representas la cantidad dada con potencias de periodo 10 3, de manera descendente: EJEMPLO

OPERACIÓN

VISOR

6 585 × 254 = 1 672 590

6585[×]254[=]

1672590

Como potencia de 10 6

[ENG]

1.67259 06

Como potencia de 10 3

[ENG]

1672.59 03

Como potencia de 10 0

[ENG]

1672590 00

b. Con las teclas [SHIFT] y [ENG] representas la cantidad 3 dada con potencias de periodo 10 de manera ascendente.

Actividad 4

EJEMPLO

OPERACIÓN

VISOR

256 × 159 = 40 704

256[×]159[=]

40704

Como potencia de 10 6

[SHIFT][ENG]

0.040704 06

Como potencia de 10 9

[SHIFT][ENG]

0.000040704 09

Como potencia de 10 12

[SHIFT][ENG]

0.00000004 12

Aplica el concepto de aproximación mediante el uso de la calculadora. 1. Con ayuda de la calculadora efectúa las siguientes operaciones con números decimales y aproxímalas al centésimo. a. 2,2547 1,425 b. 18 – 1,54 (1,287 – 2,5) 2 c. d.

en grupo... investiga con tus compañeros ■ El procedimiento para determinar la medida del ángulo que nos proporciona el número k es el siguiente: [SHIFT][TAN][k][=] ¿La tangente de qué ángulo nos da ? Determínalo con aproximación al décimo, centésimo y la unidad. ¿Qué concluyes?

■ Considera la siguiente expresión:

,

con ayuda de la calculadora calculamos f(1) del modo siguiente: EXPRESIÓN

OPERACIÓN

VISOR

1[+]1[÷][(]1 [+]1[)][=]

1.5

Ahora calculamos f(f(1)) que equivale a calcular f(1,5) EXPRESIÓN

OPERACIÓN

VISOR

1[+]1[÷][(]1 [+]1.5[)][=]

1.4

Aplicando el mismo procedimiento, determina f(f(f(f(1)))), luego a dicho valor multiplícalo por sí mismo. Aproxima este resultado al centésimo, al décimo y a la unidad. ¿Qué puedes concluir? Nota: Para multiplicar un valor por sí mismo debes utilizar la tecla

28

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5. EVALUACIÓN Responde con sinceridad las siguientes preguntas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8.

¿Qué entiendes por aproximar una cantidad? ¿Con qué finalidad se utilizan las aproximaciones? ¿Se puede realizar más de una aproximación para una misma cantidad? ¿En qué se diferencia una aproximación por exceso de una aproximación por defecto? Da dos ejemplos de cada una de ellas. ¿En qué se diferencia aproximar una cantidad por redondeo y por truncamiento? Da dos ejemplos de cada una de ellas. Elabora cinco ejemplos en los cuales se ilustre la importancia de la aproximación de cantidades. Elabora un ejemplo en el cual se resuelva una ecuación cúbica por los tres métodos de aproximación para determinar las raíces de una ecuación polinomial y luego determina cuál de los tres métodos te parece más práctico. Intenta poner en práctica lo aprendido en el presente fascículo resolviendo las siguientes situaciones: a. Se tiene un portarretrato de forma circular, tal como lo muestra la figura (A). PORTARRETRATO Calcule una aproximación de las dimensiones que debe tener Área disponible para la foto (A) la fotografía que debe ponerse en dicho portarretrato. b. Se sabe que el diámetro máximo de la tierra es de 12 756,76 kilómetros –medido por el Ecuador–. Si tomamos como referencia que una persona con los brazos extendidos cubre aproximadamente una longitud de 1,75 metros, ¿podrías decir cuántas personas serán necesarias para que, con los brazos extendidos, abracen la tierra por el Ecuador? ¿Qué tipo de aproximación utilizarás en este caso, por exceso o por defecto?, ¿por qué? c. Con una lámina de cartón de un grosor de 1 milímetro (B) se desea armar una cajita sin tapa para guardar fósforos, como la figura (B), con las siguientes especificaciones: altura 1,5 cm, ancho 3,6 cm. largo 5,7 cm. - ¿Cuál será el volumen en cm3 disponible para guardar los fósforos? - Si cada palito de fósforo tiene las siguientes dimensiones: altura 3 mm, grosor 2 mm y longitud 5,3 cm, ¿cuántos (C) palitos de fósforo cabrán dentro de la cajita construida sin 2 que se rebalse la misma? 1 d. El gráfico de la figura (C) representa el plano de la habitación 4 de Néstor cuyas medidas vienen dadas en metros: 2 Néstor desea enlosetar su habitación con losetas cuadradas de 25 cm de lado. Si cada loseta le cuesta 2,50 nuevos soles, ¿cuánto gastará Néstor en las losetas? 13,45... (D) e. Calcula las aproximaciones por exceso y por defecto del perímetro y del área de la región rectangular de la figura 7,81... (D). f. Considera la expresión p(x) = 1/x, con ayuda de tu calculadora, evalúa p(x) para x = 10; x = 102; x = 106; x = 108. Si x toma un valor muy grande, ¿a qué valor se aproxima p(x)? 29

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

6. METACOGNICIÓN Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Responde en una hoja aparte: 1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas? 2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué? 3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo? 4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades? 5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor dificultad? 6. ¿Cómo lograste superar estas dificultades? 7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor dificultad? 8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas dificultades? 9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo? 10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este fascículo? Muy bueno

Bueno

Regular

Deficiente

NO ESCRIBIR ¿Por qué? 11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica. 12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus compañeros? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

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Fascículo 6 / APROXIMACIÓN DE CANTIDADES

BIBLIOGRAFÍA

comentada

1. A. Adrian Albert. Álgebra Superior. México. Editorial Hispanoamericana, 1961. Versión en español. En este texto se estudia los polinomios y se presenta métodos de aproximación para calcular sus raíces. 2. Elon Lages Lima. Mi profesor de matemática y otras historias. Lima. Instituto de Matemática y Ciencias Afines IMCA, 1998. Texto que recopila una serie de cuestionamientos acerca de ciertos tópicos de Matemática que los profesores del Brasil se hacen y que son absueltos de manera clara y concisa por Elon Lages Lima. 3. K. Ribnikiv. Historia de las Matemáticas. Moscú. Editorial Mir, 1974. Versión en español, aquí encontraremos cómo los matemáticos llegaron a conclusiones que hoy utilizamos, además del proceso histórico en que fueron halladas. 4. Learning Resources. Calculadora Científica. Guía de uso y conservación. Vernon Hills. Neumann Puppi, 2007. Guia que detalla paso a paso las funciones que realiza la calculadora DS-737CQ. 5. Lehmann,Charles H. Álgebra. México. Editorial Limusa, 1987. Este texto está dedicado al estudio del Álgebra. En él se desarrollan temas de nivel elemental y avanzado; en el capítulo 11 se trata el tema de aproximaciones. 6. National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sevilla. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 2003. Es un documento en el cual encontramos las orientaciones básicas para el desarrollo de las capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular Nacional. 7. Perero Mariano. Historia e historias de Matemática. México. Grupo Editorial Iberoamérica, 1994. Las historias que contiene este texto son muy ilustrativas y de fácil lectura. Propone un punto de vista más dinámico de la historia de la Matemática, pues nos narra la historia de esta partiendo de ciertas situaciones anecdóticas de personajes que contribuyeron al desarrollo de la Matemática. Además, hace una recopilación de “mitos” matemáticos.

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Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

ENLACES

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1. http://www.monografias.com/trabajos27/analisis-matematico/analisis-matematico.shtml En esta dirección electrónica encontraremos notas de ciertos temas de análisis, así como los métodos de interpolación lineal y Horner para aproximar las raíces de una ecuación polinomial. 2. www2.dis.ulpgc.es/~maleman/ an/PDF/Apuntes%20AN%202005-06.pdf Aquí encontraremos apuntes de análisis numérico, y también una descripción rápida de los diversos métodos de para aproximar las raíces una ecuación polinomial. 3. http://www.us.es/edan/asignaturas/BIOM/Tema4_Bio.pdf Página dedicada a la enseñanza de la Matemática, en ella encontraremos la descripción del método de Newton para el cálculo de raíces de un polinomio; nos presenta como alternativa el uso del Excel para facilitar los procesos aritméticos. 4. http://tiopetrus.blogia.com/2005/090101-raices-cuadrada-y-cubica-a-mano-y-2.php#form Esta página web está dedicada al estudio de la Matemática, además de la divulgación de ciertos comentarios acerca de cuestiones propuestas en la misma; es como un foro de discusión. 5. http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/matematica_iterativa/raices.html Página web dedicada a la Matemática. En esta dirección podremos aproximar la raíz cuadrada y cúbica de una manera interactiva. 6. http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/aproximacion.htm Página web en la cual podremos encontrar, de manera clara y resumida, diversos artículos referidos a temas de interés. 7. http://rt000z8y.eresmas.net/matemat.htm Problemas de ingenio, juegos y actividades relacionadas con las Matemáticas recreativas (con solución). Contiene una sección dedicada al número de oro: Pitágoras, sección áurea, sucesión de Fibonacci, rectángulo áureo, número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza. 8. http://www.emagister.com Interesante dirección electrónica en la cual podemos acceder a diversos trabajos referentes al tema del cual estemos buscando información. 9. http://platea.cnice.mecd.es/~aperez4 Página de Matemática. En ella se encuentra referencias acerca de el número de oro ( ), el número y e.

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