Appunti Di Comunicazioni Elettriche

Indice 1 Introduzione alle comunicazioni 1.1 Rumore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Rumore termico in bipoli resistivi . . . 1.1.2 Rumore termico per sorgenti . . . . . 1.2 Doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 La cifra di rumore . . . . . . . . . . . 1.2.2 Rapporto segnale/rumore . . . . . . . 1.2.3 Cascate di doppi bipoli . . . . . . . . 1.3 Propagazione guidata e in spazio libero . . . 1.3.1 Sistemi via cavo . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Sistemi via etere . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Descrizione sistemistica delle antenne

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3 3 3 4 5 5 6 6 8 8 8 8

2 Trasmissione di segnali analogici 2.1 Il segnale analitico . . . . . . . . . 2.2 L’inviluppo complesso . . . . . . . 2.2.1 Filtri passa banda . . . . . 2.2.2 Il rumore gaussiano bianco

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9 9 10 11 11

3 Modulazioni AM 3.1 La modulazione AM . . . . . . . . . . . 3.2 Densit` a spettrale dei segnali modulati . 3.3 Potenza media dei segnali modulati . . . 3.4 Definizioni di modulazione AM . . . . . 3.5 Demodulazione coerente . . . . . . . . . 3.5.1 modulazione AM-DSB-SC . . . . 3.6 Modulazioni Single SideBand . . . . . . 3.6.1 Modulazione Vestigial SideBand 3.7 Prestazioni AM (in presenza di rumore) 3.7.1 Sistema AM di riferimento . . . 3.7.2 Schema generale per sistemi AM 3.7.3 Sistemi AM a ricezione coerente

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12 12 12 14 14 15 16 16 16 16 17 17 17

4 Sistemi PCM 4.1 Teorema del campionamento 4.2 Quantizzazione . . . . . . . . 4.2.1 SNR di quantizzazione 4.3 Il canale binario BSC . . . . .

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19 19 20 20 21

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INDICE

2 4.3.1 4.3.2

SNR per gli errori del canale . . . . . . . . . . . . . . . . SNR del sistema PCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 23

5 Trasmissioni digitali 25 5.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2 Classificazione trasmissioni digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.3 Occupazione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Capitolo 1

Introduzione alle comunicazioni 1.1

Rumore termico

Descriviamo ora la natura e le fonti del processo di rumore sempre presente negli apparati di telecomunicazione, e di come questo sia tenuto in considerazione nel progetto degli stessi, in quanto il rumore `e il principale elemento degradante di un sistema.

1.1.1

Rumore termico in bipoli resistivi

Ai capi di un resistore R a temperatura T `e presente una tensione a vuoto v(t), realizzazione di un processo gaussiano a media nulla, che `e l’effetto del moto caotico degli elettroni all’interno della resistenza. Questo moto casuale genera una certa tensione di rumore tranne allo zero assoluto, dove il moto cessa. Lo spettro di densit` a di potenza della tensione a vuoto ha espressione:   h|f | h|f | Pv (f ) = 2R + h|f | 2 e kT − 1 in cui k = 1.38 · 10−23 Joule `e la costante di Boltzman e h = 6.62 · 10−34 Joule · s K `e la costante di Planck. Il primo termine deriva dal Principio di indeterminazione di Heisenberg (e vale solo per comunicazioni ottiche). Il secondo termine, invece, si riferisce proprio al rumore dovuto al moto termico. Per le applicazioni tipiche di comunicazioni classiche dove • si ha una temperatura standard compresa tra i 0◦ C e i 50◦ C • si lavora a frequenza inferiori al terahertz si nota che `e possibile applicare delle approssimazioni: h|f | h|f | h|f | << 1 ⇒ e kT − 1 ' kT kT

3

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE COMUNICAZIONI  Pv (f ) = 2R · kT

V2 Hz

4



La statistica del rumore termico `e rappresentabile con ottima approssimazione come un processo di rumore bianco, in quanto valore medio nullo, ergodico1 e stazionario. Il suo valore “rms” (root mean square), ossia la sua deviazione standard, su una banda B `e dato da: sZ s Z B B √ √ 2 df = 4kRT B [V ] Pv (f ) df = 2kRT Vrms = < V > = −B

−B

Accade allora che un bipolo passivo equivale allo stesso bipolo non rumoroso (a temperatura zero assoluto), con in serie un generatore di rumore con densit` a di potenza di tensione pari a Pv (f ) ' 2kT R. Allo stesso modo si pu` o definire quella di corrente Pi (f ) ' 2kT R In realt` a, la densit` a spettrale a noi utile `e quella della potenza e, dato che lavoriamo su circuiti adattati, con un carico pari all’impedenza di ingresso, la potenza efficace e la sua densit`a spettrale si ricavano in questo modo: 2 vL (t) v(t) = R 4R   PL (f ) 2kRT kT W Pd (f ) = = = 4R 4R 2 Hz

vL (t) =

v(t) 2

PL =

Questa definizione `e effettivamente una potenza assoluta, anche dal punto di vista dimensionale, e possiede quindi un significato fisico. Oltre a non dipendere dalla resistenza, possiamo notare che la potenza cos`ı definita in uscita da una filtro con banda B `e di nuovo una potenza disponibile: kT · 2B = kT B 2

1.1.2

Rumore termico per sorgenti

E’ possibile caratterizzare anche le sorgenti dal punto di vista del rumore. Una sorgente con una resistenza interna R generer`a una quantit`a di rumore che pu`o essere anche non termico . Pertanto, dal punti di vista sistemistico si introduce In realt` a, la temperatura equivalente di rumore come: un amico TLC dice il Pd |inB contrario Teq = kB Questo Teq `e la temperatura della resistenza se la sorgente `e costituita da una sola resistenza. In caso diverso, con anche una sorgente di segnale, la temperatura equivalente sar` a anche superiore, in quanto viene introdotto ulteriore rumore. Per una sorgente generica essa pu`o NON essere la temperatura ambiente: spesso `e superiore quando contiene componenti attivi o minore se `e un’antenna. 1 Un

processo stocastico si dice ergodico quando le medie statistiche coincidono con le medie temporali; di conseguenza, un processo ergodico deve anche essere stazionario. In particolare, si parla di ergodicit` a nella media quando la media temporale e la media statistica coincidono; si parla di ergodicit` a nella correlazione quando la autocorrelazione statistica e la autocorrelazione temporale coincidono.

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE COMUNICAZIONI

1.2

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Doppi bipoli

I doppi bipoli lineari, quali gli amplificatori e gli attenuatori, si identificano per il guadagno, per il rumore associato. Il suddetto guadagno `e definito disponibile, ossia il guadagno di potenza nella condizione di adattamento ed `e, in generale, espresso come rapporto tra le densit` a spettrali di potenza di segnale in ingresso e in uscita (senza considerare l’effetto di rumore) Pout (f ) Gd (f ) = Pin (f ) Per classificare il doppio bipolo dal punto di vista del rumore introdotto si procede ad un esperimento ideale confrontando le potenze di rumore all’uscita del doppio bipolo ideale (che non introduce rumore, ma amplifica il rumore introdotto) e il doppio bipolo reale. In questo modo, si pu`o introdurre la cosiddetta cifra di rumore: F (f ) =

reale Pout (f ) = ideale (f ) Pout

kT0 2 Gd + Pint (f ) kT0 2 Gd

(1.1)

Questo valore ` e sempre maggiore uguale a 1 e, pur essendo dipendente dalla frequenza, spesso lo si supporr`a indipendente da essa.

1.2.1

La cifra di rumore

La cifra di rumore, o “noise figure”, `e definita in particolari condizioni: 1. sistema adattato in impedenza 2. resistenza in ingresso fissato a T0 = 290K (se `e diversa, bisogna rifare i conti e non si pu` o usare tale semplificazione) In queste condizioni, si pu` o esplicitare k reale Pout (f ) = Gd (f ) [T0 + Teq (f )] 2 reale Pout (f ) =

kT0 Gd (f ) | 2 {z }

+

kTeq Gd (f ) | 2 {z }

rumore resistore rumore intrinseco dove Teq `e l’aumento fittizio e ideale di temperatura che deve dare al resistore di ingresso per avere la corretta quantit`a di rumore in uscita, considerando il doppio bipolo ideale. Relazione tra Teq e F Si dimostra che, supponendo per semplicit`a tutte le quantit` a in gioco indipendenti dalla frequenza, quindi omettendo la variabile f: k Pout = Gd (T0 + Teq ) 2 k Pout = Gd T0 · F 2

(1.2) (1.3)

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE COMUNICAZIONI

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Possiamo riscrivere l’equazione 1.2 Pout = Gd

kT0 Teq (1 + ) 2 T0

(1.4)

ed eguagliarla all’equazione 1.3 per ottenere F =1+

1.2.2

Teq T0

⇐⇒

Teq = T0 (F − 1)

(1.5)

Rapporto segnale/rumore

Per un sistema si pu` o introdurre un indice di prestazione: il Signal to Noise Ratio o SNR. Supponiamo che ci sia un segnale utile, di potenza disponibile Ps , posto all’ingresso di un sistema e valutiamo i rapporti segnale-rumore in ingresso e in uscita al doppio bipolo. All’ingresso l’unica fonte di rumore `e la resistenza di adattamento: SN Rin |subandaB =

Ps kT B

mentre all’uscita avremo sia il rumore che il segnale amplificato di un fattore Gd : G Ps ·  d SN Rout |subandaB = G kT B · F (f ) ·  d Da queste due equazioni possiamo ricavare una seconda definizione per la cifra di rumore che ne evidenzia il suo significato fisico: F =

SN Rin SN Rout

La cifra di rumore risulta essere il rapporto tra il rapporto segnale-rumore in ingresso e quello in uscita dal doppio bipolo.

1.2.3

Cascate di doppi bipoli

Spesso capita di dover considerare delle cascate di doppi bipoli. Viene allora spontaneo chiedersi quanto vale la densit`a spettrale di potenza di rumore all’uscita di una generica cascata di questo tipo. Considerando che, per semplicit`a, tutto sia indipendente dalla frequenza, avendo come unica fonte di rumore la resistenza d’adattamento, avremo che: (1)

Pout (f ) =

(2)

Pout (f )

(1)

= Pout · Gd2 + = =

k (1) Gd1 (T0 + Teq ) 2 k (2) T · Gd2 = 2 eq

k (1) (2) [Gd1 Gd2 · T0 + Gd1 Gd2 · Teq + Gd2 · Teq = 2 " !# (2) k Teq (1) Gd1 Gd2 T0 + Teq + 2 Gd1

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE COMUNICAZIONI

7

Si ottengono i seguenti valori equivalenti: (2)

Gdeq ←− Gd1 · Gd2

(1) TeqT OT ←− Teq +

Teq Gd1

e quindi accade che i guadagni si moltiplicano e le temperature equivalenti si sommano ciascuna divisa per i guadagni disponibili dei blocchi precedenti. Gdeq =

M Y

Gdi

Teq =

M X

i=1

i=1

(i)

Teq Qi−1 j=1 Gfj

Notiamo che la temperatura equivalente di rumore dello stadio i-esimo `e divisa per i guadagni degli stadi predente. In presenza di guadagni positivi (in dB), i contributi pi` u critici per il rumore appartengono quindi ai primi stadi. Inoltre, in maniera analoga, otteniamo una formula per la cifra di rumore equivalente: F2 − 1 F3 − 1 FT OT = F1 + + + ... Gd1 Gd2 · Gd1 per cui la cifra di rumore equivalente `e la somma delle cifre, ciascuna ridotta di 1 e divisa per i prodotti dei guadagni disponibili dei blocchi precedenti. Esempio di cifra di rumore di un attenuatore passivo Consideriamo un attenuatore passivo costituito da un cavo coassiale ed una resistenza di adattamento. Il guadagno disponibile `e dato dal reciproco dell’attenuazione Gd = L1 . Supponiamo che il sistema sia adattato e si trovi all’equilibrio termodinamico; in queste condizioni, per motivi a noi ora sconosciuti, l’impedenza vista all’uscita `e comunque solo R e quindi dal punto di vista fisico abbiamo che Pout (f ) =

kT0 2

(1.6)

Se trattiamo il cavo come un doppio bipolo, ricaviamo la Teq come Pout (f ) =

kT0 1 Fattenuazione 2 L

(1.7)

Uguagliando le equazioni 1.6 e 1.7 si ha 1 Fatt = 1 L

⇒

Fatt = L

Accade quindi che il rumore in ingresso viene attenuato di una quantit`a pari al rumore generato dall’attenuatore stesso: F = L. Osservazioni Dal punto di vista del rumore ci serve una F bassa e quindi, in generale, conviene mettere prima un preamplificatore, a bassa immissione di rumore, prima di un attenuatore con F = L molto grande e che quindi porta ad una cifra di rumore equivalente molto elevata: FT OT = F1 +

F2 − 1 Gd1

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE COMUNICAZIONI

1.3

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Propagazione guidata e in spazio libero

La propagazione di un segnale pu`o essere suddivisa in • via cavo (propagazione guidata con attenuazione del tipo e−γz • via etere (propagazione libera con attenuazione del tipo

1.3.1

K z2

Sistemi via cavo

L’attenuazione di un tratto di cavo di lunghezza z, ad una determinata frequenza, `e regolata da Pout = Pin e−γz dove γ `e un coefficiente che dipende dalla frequenza di lavoro e dalle caratteristiche del cavo. Se esprimiamo la relazione in scale logaritmiche: Pout |dB

=

Pin + 10 log1 0e−γz = Pin + 10

=

Pin − 10

ln eγz = ln 10

γz 10 γ z= = Pin − ln 10 ln | {z10} α

Spesso i costruttori forniscono direttamente il valore α, che tipicamente viene dB dB dB espresso in una delle seguenti unit`a di misure dB m , 100m , km o f eet . Pout |dB = Pin |dB − α z L’attenuazione in decibel aumenta linearmente per un sistema di propagazione guidato via cavo.

1.3.2

Sistemi via etere

Nei sistemi di propagazione via etere sono fondamentali le antenne di trasmissione e di ricezione, nonch´e il materiale di propagazione. La potenza ricevuta dipende da: • la potenza trasmessa P • la distanza tra le antenne R • la caratteristica delle antenne • la frequenza di trasmissione

1.3.3

Descrizione sistemistica delle antenne

Tutte le antenne sono descritte avendo come riferimento concettuale l’antenna isotropica: essa `e un’antenna che emette idealmente in tutte le direzione nello stesso modo e ha come potenza per unit`a di superficie, ad una distanza R la seguente equazione: PT X 4πR2 Un’antenna reale emetter` a in maniera diversa a seconda della direzione, ma fissata questa, si pu` o definire il guadagno di antenna (CONTINUA)

Capitolo 2

Trasmissione di segnali analogici I segnali analogici possono essere classificati in base al loro spettro nel seguente modo: • in banda base quando le componenti spettrali sono concentrati attorno alla frequenza f = 0 e sono nulle al di fuori di un certo range. Appartengono a questa categoria i segnali audio in uscita da un microfono e i segnali logici. • in banda traslata quando le componenti spettrali sono concentrate attorno ad una frequenza centrale fc 6= 0, detta frequenza della portante. Appartengono a questa categoria tutti i segnali radiotelevisivi. I segnali in banda traslata rappresentano gran parte delle trasmissioni elettriche, soprattutto via etere. Essi sono generati da sistemi che si basano sulla modulazione in ampiezza (AM), di fase (PM) o di frequenza (FM). Questi segnali sono cos`ı importanti che `e stata introdotta una propria rappresentazione matematica, detta segnale analitico.

2.1

Il segnale analitico

Il segnale analitico permette di rappresentare matematicamente un segnale traslato. Sia questo v(t), si definisce segnale analitico v(t) ˙ un segnale ad esso associato e definito graficamente come segue: dove H(f ) = 2 · u(f ) e di conseguenza V˙ (f ) = H(f ) · V (f ) n o v(f ˙ ) = F −1 V˙ (f ) = F −1 {H(f ) · V (f )} = h(t) ∗ v(t) 1 ∗ v(t) πt In pratica, il segnale analitico `e il segnale che spettralmente contiene solo le frequenze positive del segnale di partenza. Per tale motivo, esso `e asimmetrico in f e, quindi, rappresenta un segnale complesso nel dominio nel tempo. v(f ˙ ) = h(t) ∗ v(t) = δ(t) ∗ v(t) + j

9

CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SEGNALI ANALOGICI

10

In questi termini il segnale reale di partenza coincide con la parte reale del segnale analitico complesso. v(t) = Re {v(t)} ˙ In alternativa `e possibile recuperare il segnale di partenza tramite la costruzione grafica dello spettro.

2.2

L’inviluppo complesso

Il segnale analitico fa ancora parte di quei segnali in banda traslata. Si `e, quindi, cercata una seconda rappresentazione che permettesse di ottenere un segnale corrispondente in banda base, anche se complesso. A tale scopo, dato un generico segnale v(t), in banda traslata e concentrato attorno alla frequenza fc , si definisce il suo inviluppo complesso il seguente segnale: g(t) = v(t) ˙ · e−j2πfc t Dall’inviluppo complesso si pu`o ritornare al segnale di partenza:  v(t) = Re g(t)e+j2πfc t = x(t) cos(2πfc t) − y(t) sin(2πfc t) dove si nota che l’inviluppo g(t) = x(t) + jy(t) `e composto da una componente in fase ed una in quadratura di fase rispetto alla portante e+j2πfc t . Da questa definizione si ricavano le seguenti propriet`a:    1 V (t) = F Re g(t) ej2πfc t = [G(f − fc ) + G ∗ (−f − fc )] 2

(2.1)

1 [Pg (f − fc ) + Pg (−f − fc )] (2.2) 4 Si noti che non `e un semplice sdoppiamento perch´e lo spettro a frequenze negative subisce un cambiamento di segno ed `e quindi ribaltato. DISEGNO Pv (f ) =

Dimostrazione della formula 2.1  v(t) = Re g(t) ej2πfc t

Re {z} =

1 1 z + z∗ 2 2

1 1 g(t) ej2πfc t + g ∗ (t) e−j2πfc t 2 2 1  1  V (t) = F g(t) ej2πfc t + F g ∗ (t) e−j2πfc t 2 2 poich´e F {g(t)} = G(f ) e F {g ∗ (t)} = G ∗ (−f )   F g(t) ej2πfc t = G(f − fc ) F g ∗ (t) e−j2πfc t = G ∗ (−f − fc ) v(t) =

V (f ) =

1 [G(f − fc ) + G ∗ (−f − fc )] 2

CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SEGNALI ANALOGICI

11

Calcolo della potenza media Per esercizio, calcoliamo la potenza media del segnale in funzione della potenza media dell’inviluppo complesso. Z +∞ Z +∞ 1 1 2 Pv =< v (t) >= Pv (f ) df = [Pg (f − fc )] + [Pg (−f − fc )] df 4 −∞ −∞ 4 ma la potenza rimane identica a quella in banda base dell’inviluppo complesso Z +∞ Z +∞ Pg (f − fc ) df = Pg Pg (−f − fc ) df = Pg −∞

−∞

pertanto si avr` a, come aspettato, che Pv =

1 Pg (Pg + Pg ) = 4 2

Il segnale v(t) ha una potenza pari a met`a del corrispondente inviluppo complesso g(t).  A2 Es: v(t) = A cos(2πfc t) = Re A ej2πfc t ⇒ Pv = 2

2.2.1

Filtri passa banda

Quando lavoriamo con un segnale in banda traslata, la funzione di trasferimento di un filtro passa banda `e anch’esso in banda traslata. Si pu`o quindi ricavare il rispettivo inviluppo complesso k(t):  h(t) = Re k(t) ej2πfc t in termini di trasformate di Fourier Gout (f ) =

2.2.2

1 Gin (f ) · K(f ) 2

Il rumore gaussiano bianco

Anche per il rumore, gaussiano bianco, `e utile avere una rappresentazione in banda traslata, soprattutto in presenza di filtri passabanda. Come operato in precedenza, scriviamo il rumore tramite l’inviluppo complesso:   n(t) = Re n ˜ (t) ej2πfc t ed essendo tale inviluppo n ˜ (t) = n1 (t) + j n2 (t) dove n1 e n2 sono entrambi segnali reali in banda base. Essi sono processi casuali statisticamente indipendenti e, si pu` o dimostrare, hanno la stessa funzione di autocorrelazione e, quindi, lo stesso spettro di potenza. Rn1 (τ ) = Rn2 (τ )) = N0 δ0 Pn1 (t) = Pn2 (t) = N0

Capitolo 3

Modulazioni AM La modulazione in ampiezza `e la modulazione pi` u semplice e, proprio per questo, `e stata la prima ad esser sta impiegata nelle trasmissioni radio, in modo particolare da Guglielmo Marconi (1895). Quando parliamo di modulazione intendiamo una manipolazione di un segnale m(t) in banda base in modo da: 1. spostare lo spettro attorno ad una certa frequenza f0 , detta portante 2. poter ricostruire il segnale di informazione m(t) al momento della ricezione

3.1

La modulazione AM

Avendo introdotto il formalismo del segnale analitico, definiamo la modulazione AM in termini di inviluppo complesso nel seguente modo: g(t) = Ac [1 + m(t)] dove m(t) `e il segnale modulante che contiene l’informazione. Il segnale modulato sar` a il corrispondente segnale reale dato da  s(t) = Re g(t) ej2πfc t = Ac (1 + m(t)) cos(2πfc t) m(t) `e un segnale fisico e quindi saranno tali sia l’inviluppo g(t) = Ac [1 + m(t)] sia il segnale modulato s(t) = Ac [(1 + m(t)] cos(2πfc t). Inoltre, possiamo utilizzare le seguenti ipotesi: • m(t) `e un segnale reale, in quanto fisico • m(t) ∈ [−1, +1] −→ s(t) ∈ [2Ac , −2Ac ] (caso tipico per la modulazione AM) • m(t), in genere, varia pi` u lentamente nel tempo della portante cos(2πfc t)

3.2

Densit` a spettrale dei segnali modulati

Calcoleremo ora la densit` a spettrale di potenza del segnale modulato s(t) in funzione di quello modulante m(t). 12

CAPITOLO 3. MODULAZIONI AM

13

Dalle osservazioni fatte sui segnali analitici sappiamo che lo spettro risultante `e dato da 1 Ps (f ) = [Pg (f − fc ) + Pg (−f − fc )] (3.1) 4 da questa formula `e possibile ricavare lo spettro del segnale modulato attraverso il calcolo dello spettro dell’inviluppo. Per utilizzarla `e molto conveniente passare dall’autocorrelazione dei due segnali. g(t) = Ac [1 + m(t)] ∗

Rg (τ ) = E[g(t) g (t + τ )] = A2c E[(1 + m(t)) (1 + m(t + τ ))] Per semplificare i calcoli `e necessario fare delle osservazioni sul segnale modulante m(t). Quest’ultimo, infatti, trasporta l’informazione e, quindi, non pu`o essere un segnale determinato. Esso `e necessariamente un processo stocastico reale di cui si pu` o ipotizzare che sia: a media nulla (sempre verificato nella realt`a) stazionario ossia che la media sia indipendente dal tempo e l’autocorrelazione dipenda esclusivamente dalla distanza tra due istanti τ1 τ2 ergodico ossia che i valori aspettati (o medie di insieme) siano uguali alle medie temporali Posto E[m(t) m(t + τ )] = Rm (τ ), otteniamo: Rg (τ )

= =

A2c E[1 + m(t + τ ) + m2 (t) + m(t)(1 + m(t + τ ))] =   E[m(t)]  + E[m(t) m(t + τ )] A2c + A2c  E[m(t  + τ ) + 

e sfruttando l’ipotesi < m(t) >= 0: Rg = A2c [1 + Rm (τ )] Tramite la trasformata della funzione di autocorrelazione si ottiene la densit`a spettrale del segnale di inviluppo g(t), che sar`a in funzione dello spettro del segnale modulante m(t).  Pg (f ) = F[Rg (τ )] = F A2c [1 + Rm (τ )] = A2c [δ(f ) + Pm (f )] (3.2) DISEGNO Per avere la densit` a spettrale della modulata in funzione di quella modulante bisogna sostituire l’equazione precedente alla formula 3.1 scritta all’inizio: Ps (f )

= =

Ps (f )

=

1 [Pg (f − fc ) + Pg (−f − fc )] = 4 1 [Pg (f − fc ) + Pg (−f − fc )] = perch`e funzioni pari 4 A2c [δ(f − f c) + Pm (f − fc ) + δ(f + fc ) + Pm (f + fc )] 4

DISEGNO Notiamo quindi che, rispetto al segnale modulante, con la modulazione in ampiezza:

CAPITOLO 3. MODULAZIONI AM

14

• l’occupazione spettrale `e doppia, in quanto si passa da una banda B in banda base a 2B in banda traslata; • il contenuto spettrale di m(t) `e stato spostato attorno alla frequenza fc ; • si `e aggiunta (nell’inviluppo) una riga spettrale che, pur non portando informazione, rientra nella potenza del segnale stesso-

3.3

Potenza media dei segnali modulati

Avendo calcolato la densit` a spettrale del segnale modulato, possiamo utilizzare quanto fatto per il segnale analitico nel capitolo precedente. In modo particolare sappiamo che Pg dove g(t) = Ac [1 + m(t)] Ps = 2  2  < m(t) >] Pg = A2c < |1 + m(t)| >= A2c [1 + < m2 (t) > +2 | {z } Pm

Ipotizzando il segnale modulante a media nulla si ha quindi: Pg = A2c (1 + Pm )

3.4

Ps =

A2 Pg = c (1 + Pm ) 2 2

(3.3)

Definizioni di modulazione AM

Data Ac l’ampiezza della portante non modulata, si definisce percentuale di modulazione totale Amax − Amin max[m(t)] − min[m(t)] · 100 · 100 = 2 Ac 2 Si definisce percentuale di modulazione positiva Amax − Ac · 100 = max[m(t)] · 100 Ac Si definisce percentuale di modulazione negativa Ac − Amin · 100 = −min[m(t)] · 100 Ac quindi, se il segnale modulante ha max[m(t)] = 1 e min[m(t)] = −1, si dice che il segnale AM `e modulato al 100%. Nella modulazione AM standard si vuole che 1 + m(t) ≥ 0 −→ m(t) ≥ −1 perch´e per demodulare `e sufficiente usare un rivelatore di inviluppo (un diodo ed un condensatore). Se m(t) ≤ 1 per qualche t allora `e presente una sovramodulazione. La percentuale di modulazione (negativa in questo caso) sar` a superiore al 100%. Nel caso vi sia sovramodulazione non `e possibile ricondursi al segnale modulante e assisteremo al fenomeno di distorsione DISEGNO Esista un altro tipo di definizione, l’efficienza di modulazione, che si riferisce all’energia, piuttosto che alle ampiezze, come nel caso delle percentuali.

CAPITOLO 3. MODULAZIONI AM

15

Supponendo < m(t) >= 0, abbiamo visto che Ps =< s( t) >=

1 1 1 Pg = A2c + A2c Pm 2 2 |{z} |2 {z }

dove la prima indica la potenza relativa alla riga della portante, mentre la seconda `e la potenza utile che porta l’informazione. La potenza della riga portante `e in un certo senso una potenza sprecata, pertanto si definisce l’efficienza di modulazione: < m2 (t) > potenza utile = E= potenza totale 1+ < m2 (t) > Tenendo conto che, per non avere sovramodulazioni, m(t) ∈ [−1, 1], il segnale modulante con potenza massima e media nulla `e l’onda quadra con < m2 (t) >= 1 · 100 = 50%. Essendo questo il caso limite, l’efficienza di 1 per cui E% = 1+1 modulazione che si pu` o ottenere se NON si vuole la sovramodulazione `e pari al 50%. Questo significa che almeno il 50% della potenza viene sprecata solo per trasmettere il segnale della portante. Esempio sinusoide sia m(t) una sinusoide m(t) = 1 · cos(2πfm t), la potenza 0.5 sar` a < m2 (t) >= 12 e l’efficienza E% = 1+0.5 · 100 = 33.3%

3.5

Demodulazione coerente

Abbiamo visto come con un semplice ricevitore, come un rivelatore di inviluppo, gran parte dell’energia `e utilizzata solo per trasmettere il segnale portante. Si `e cercato, quindi, un metodo di trasmissione alternativo, in grado di ridurre o perfino annullare la potenza relativa alla portante, anche accettando la sovramodulazione. A questo scopo si suppone di poteri ricostruire al ricevitore un segnale con modulo e fase uguale alla portante, ad esempio tramite un Phase Lock Loop (PLL). DISEGNO Tramite quest’ultimo dispositivo viene generato un segnale SP LL = k cos(2πfc t) che ha la stessa frequenza e la stessa fase (omodina) del segnale in ricezione SRX = Ac [1 + m(t)] cos(2πfc t): kAc [1+m(t)][1+cos(4πfc t)] 2 Un filtro passabasso eliminer` a la parte di segnale a frequenza doppia 2fc , ottenendo in uscita: kAc xF (t) = [1 + m(t)] 2 Si `e cos`ı ottenuto un segnale identico, a meno delle costanti, al segnale modulante. Inoltre, la ricostruzione non necessita di nessuna restrizione o richiesta del segnale stesso. E’ anche ammessa la sovramodulazione: < m2 (t) > pu`o anche essere molto pi` u grande di 1 e l’efficienza massima tende al 100%:

x(t) = SRX (t)·SP LL = k Ac [1+m(t)] cos2 (2πfc t) =

E% =

< m2 (t) > = 100% 1+ < m2 (t) >

Possiamo raggiungere il 100% d’efficienza.

se

< m2 (t) > 1

CAPITOLO 3. MODULAZIONI AM

3.5.1

16

modulazione AM-DSB-SC

Dal momento che non vi sono richieste sul segnale m(t), si pu`o pensare di sopprimere la riga della portante (SC suppressed carrier) ed avere al limite: s(t) = Ac [1
+ m(t)] cos(2πfc t) kAc m(t) 2 Avendo soppresso la portante, la densit`a spettrale `e ora xF (t) =

P(f ) =

1 2 A [Pm (f − fc ) + Pm (f + fc )] 4 c

Non si hanno pi` u le righe nello spettro di potenza, pur rimanendo la sinusoide. Il ricevitore coerente permette quindi di demodulare correttamente un segnale anche con forte sovramodulazione o, al limite, di tipo SC. Abbiamo, inoltre, un migliore utilizzo della potenza, che pu`o raggiungere anche il 100% per l’AM-DSB-SC. In compenso, il ricevitore sar`a molto complesso. Si noti che l’occupazione in banda traslata `e ancora il doppio di quella in banda base (DSB Double SideBand).

3.6

Modulazioni Single SideBand

La banda via etere `e sempre di pi` u occupata. La sua allocazione `e quindi molto costosa e si cercano metodi per limitare sempre di pi` u la banda utilizzata. A tal fine si sfrutta il fatto che un segnale reale ha lo spettro simmetrico rispetto l’asse delle ordinate. Nel caso, quindi, di un segnale in banda traslata avremo quattro copie dell’informazione. E’ questo il caso del Double SideBand o DSB. Potremmo ottimizzare la banda ponendo un filtro iniziale che dimezzi il consumo di banda. In questo caso ci troviamo in una modulazione SSB o Single SideBand. Quando lavoriamo con quest’ultima modulazione abbiamo la possibilit`a di scegliere se occupare la parte a frequenze maggiori (USP o Upper SideBand) o quella a frequenze minori (LSP o Lower SideBand).

3.6.1

Modulazione Vestigial SideBand

Le modulazioni SBB risparmiano la banda occupata, ma non avendo la corrispondente riga per la portante necessitano di un demodulatore coerente per essere ricevuti. Per una maggiore compatibilit`a con i ricevitori a rivelatore di inviluppo, si pu` o filtrare met` a banda, come nelle normali SBB, ma lasciando una parte della portante. Questo tipo di modulazione `e detta vestigial sideband ed `e quella usata per le trasmissioni del segnale televisivo.

3.7

Prestazioni AM (in presenza di rumore)

Dal punto di vista delle prestazioni dei vari sistemi AM in presenza di rumore, essi sono confrontati in funzione della potenza ricevuta e della densit`a spettrale del rumore al ricevitore. Tutto ci`o serve a calcolare il rapporto segnale/rumore.

CAPITOLO 3. MODULAZIONI AM

3.7.1

17

Sistema AM di riferimento

Per non considerare tutte le possibili combinazioni si `e scelto di riferirsi ad un sistema equivalente di modulazione in banda base. Si suppone, quindi, di avere come riferimento una trasmissione in banda base con potenza di segnale Ps , banda occupata B, densit` a di rumore all’ingresso del ricevitore pari a N0 /2 ed un filtraggio di tipo passabasso ideale di banda B. r(t) = s(t) + n(t) Nota la potenza del segnale, sappiamo che la potenza relativa al rumore `e data da: Z +∞ Z +B N0 2 |H(f )| df = N0 B Pn = Pnout (f ) df = 2 −∞ −B Da qui si ottiene che il rapporto segnale-rumore, che prenderemo come riferimento, `e dato da   S Ps = N BB N0 B

3.7.2

Schema generale per sistemi AM

DISEGNO I parametri che entreranno in gioco sono: • Ps la potenza del segnale modulato • B la banda del segnale modulante • BT = 2B la banda del segnale modulato (traslato) • SNRin all’ingresso del ricevitore, calcolato sulla banda BT = 2B • SNRout all’uscita del ricevitore, calcolato sulla banda B, perch´e il segnale `e tornato nella sua banda base

3.7.3

Sistemi AM a ricezione coerente

Il ricevitore coerente presenta un filtro IF, in grado di selezionare il canale e con banda intesa pari a quella del segnale modulato BT , ed un filtro passabasso ideale della stessa banda del segnale modulante. sRX (t) = Ac [1 + m(t)] cos(2πfc t)

n(t) = xn (t) cos(2πfc t) − yn (t) sin(2πfc t)

r(t) = sRX (t) + n(t) Il rumore n(t) ha densit` a spettrale N0 /2; le sue componenti xn (t) e yn (t) hanno densit` a N0 . Il rapporto segnale-rumore in ingresso, calcolato sulla banda BT , `e dato da:   S PRX PRX = = N in N0 B T 2N0 B

CAPITOLO 3. MODULAZIONI AM

18

Il segnale che prima del mixer `e dato da r(t) = {Ac [1 + m(t)] cos(2πfc t)} + {xn (t) cos(2πfc t) − yn (t) sin(2πfc t)} dopo il mixer sar` a rm (t)

=

r(t)k cos(2πfc t) = k k   = {Ac [1 + m(t)] + xn (t)} [1 +  cos(4πf sin(4πf   c t)] − yn c t) 2 2 I termini a frequenza doppia 2fc sono stati anticipatamente sbarrati perch`e verranno filtrati dal passabasso ideali che segue il mixer. Questa semplificazione pu` o sembrare affrettata, ma ci evita di calcolare termini il cui contributo verr`a comunque annullato dal filtro. Supponendo che il filtro elimini tutte le componenti a frequenza doppia, che faccia passare il segnale utile senza distorcerlo e che limiti il rumore, avremo che il segnale all’uscita del ricevitore `e dato da = rm (t) ∗ h(t) =

yout (t)

k {Ac [1 + m(t)] + xn (t)} = 2

k {Ac [1 + m(t)] + xn (t) ∗ h(t)} 2 Di questa formula riconosciamo le componenti =

utile

k Ac m(t) 2

=⇒

k2 2 A < m2 (t) > 4 c

k k k xn (t) ∗ h(t) =⇒ < [xn (t) ∗ h(t)]2 > = 2N0 B 2 2 4 Il rapporto SNR all’uscita del ricevitore `e quindi: 2   k A2 < m2 (t) > potenza segnale demodulato S = = 4 ck N out potenza rumore
4
2N0 B di rumore

Le prestazioni non dipendono da k, ma dall’ampiezza della portante Ac 1 e dalla potenza con cui si trasmette la modulante. Questa formula non `e molto comoda da usare perch`e contiene Ac . Sarebbe pi` u conveniente esplicitare la prestazione in funzione della potenza utile PRX , pi` u facilmente misurabile. Ricaviamo dalla 3.3: PRX =

A2c [1+ < m2 (t) >] 2

=⇒

A2c =

2PRX 1+ < m2 (t) >

e sostituendo abbiamo:   S A2 < m2 (t) > PRX < m2 (t) > = c = N out 2N0 B N0 B 1+ < m2 (t) > | {z } Confrontiamo come promesso con il sistema di riferimento e otteniamo che       S S < m2 (t) > S = ' N out N BB 1+ < m2 (t) > N BB | {z } 1 in

realt` a l’ampiezza tender` a ad essere attenuata dal canale di trasmissione

Capitolo 4

Sistemi PCM La Pulse-Code Modulation, o PCM, (in italiano: modulazione codificata di impulsi) `e un metodo di rappresentazione digitale di un segnale analogico. Esso `e il sistema pi` u usato per trasmettere un segnale analogico in modo digitale. E’ dunque una particolare forma di conversione A/D. Esso si basa sul campionamento dell’ampiezza del segnale a intervalli regolari, quindi nel dominio del tempo. I valori letti vengono digitalizzati (quantizzazione), generalmente in forma binaria, e trasmessi in un canale tramite una codifica seriale dei bit.

4.1

Teorema del campionamento

Alla base delle conversioni A/D abbiamo il teorema del campionamento. Si consideri un segnale w(t) limitato in banda, tale per cui: per |f | > B

W (f ) = 0

dove B `e detta banda assoluta del segnale w(t). Nel campionamento otteniamo un segnale campionato pari a: w∆ (t) =

+∞ X

Tc w(iTc )∆(t − iTC )

i=−∞

nel dominio del tempo questo segnale dipende solo dai campioni di w(t) quindi esso contiene la stessa informazione di un vettore w[i] = w(iTc ). In frequenza invece accade quanto segue: ( +∞ ) X W∆ (f ) = F {w∆ (t)} = F w(iTc ) · Tc ∆(t − iTC ) i=−∞

W∆ (f ) =

+∞ X

  i W (f ) ∗ ∆ f − TC i=−∞

Lo spettro del segnale di partenza viene periodicizzato dal campionamento. Per evitare che due ripetizioni si sovrappongano generando il fenomeno di aliasing `e necessario che: fc − B ≥ B =⇒ fc ≥ 2B 19

CAPITOLO 4. SISTEMI PCM

20

Inoltre, si pu` o notare che un metodo semplice per ricostruire lo spettro del segnale di partenza consiste in un filtro passa basso. Operando in questo modo, il campionamento non conduce ad una perdita di informazione.

4.2

Quantizzazione

L’operazione di quantizzazione `e principalmente un passaggio dalla funzione continua w(t) ad una sequenza discreta di numeri reali. Per ciascun istante di campionamento si deve convertire la tensione corrispondente Vin , che assume valori continui, in un numero finito, discreto, di tensioni Vout detti livelli. La conversione pi` u semplice `e quella uniforme a 8 livelli: il range della tensione in ingresso viene suddivisa equamente in 8 intervalli. DISEGNO Osserviamo che, per definizione, introduce una perdita di informazione per quei valori intermedi. Si parla appunti di errore di quantizzazione eq , che `e necessario calcolare e tenere sotto controllo. Con un sistema di quantizzazione uniforme, l’errore massimo che si pu`o commettere, per i valori agli estremi degli intervalli, `e di max[eq ] = ∆ 2 , dove ∆ `e l’intervallo coperto da ciascun livello.

4.2.1

SNR di quantizzazione

Per valutare un sistema PCM `e utile calcolare l’SNR dovuto alla sola quantizzazione. A tal scopo introduciamo delle ipotesi: • utilizziamo una quantizzazione uniforme a M livelli di ∆ =

2V M

;

• il segnale ha una densit` a di probabilit`a uniforme in un certo range [−V, V ] (che coincide con quello di quantizzazione). Sotto tali condizioni, si osserva che anche l’errore di quantizzazione eq = Vout − Vin `e distribuito uniformemente e va da −∆/2 a +∆/2. Pertanto tale errore `e a valore medio nullo e il suo valore quadratico medio (e varianza in questo caso) `e pari a E[e2q ]

+∞

Z

2

=

Z

+∆ 2

x feq (x) dx =

x2

−∆ 2

−∞

1 dx = ∆

 + ∆2  2 1 x3 ∆ 1 2V V2 = = = = ∆ 3 −∆ 12 12 M 3M 2 2

Per quanto riguarda la potenza del segnale risulta 2 E[Vin ]=

Z

+V

−V

x2

1 1 dx = 2V 2V



x3 3

+V = −V

e l’SNR relativo alla sola quantizzazione sar`a   S V 3 /3 = 2 = M2 N Q M · V 3 /3

V2 3

(4.1)

CAPITOLO 4. SISTEMI PCM

21

In genere, la quantizzazione `e una digitalizzazione in forma binaria, quindi il numero di livelli `e M = 2nbit . Pertanto l’SNR diventa:  
2 S = 2nbit N Q 

S N



= 10 log1 0(22n ) = 2n ∗ 10 log1 0(2) ∼ = 6n Q dB

Accade quindi che, anche in situazioni pi` u complesse, aumentare di 1 bit il numero di livelli fa aumentare di 6 dB le prestazioni in termini di SN RQ .

4.3

Il canale binario BSC

Un sistema di trasmissione digitale `e essenzialmente caratterizzabile come un sistema che trasmette dei bit con una certa probabilit` a di errore. Dal punto di vista sistemistico, spesso si modella come un canale binario simmetrico o BSC. Con questo termine si intende un sistema che ha una certa probabilit` a di trasmissione: p0 = P(0RX |1T X )

per simemtria

P(1RX |0T X )

. Per semplicit` a, consideriamo che i bit generati dal trasmettitore siano equiproba di errore abili P(1T X ) = P(0T X ) = 21 . In questo caso, la probabilit` complessiva diviene P (e) = P(e|1T X )P(1T X + P(e|0T X )P(1T X = P(e|1T X ) = p0 = Pe = BER dove BER sta per Bit Error Rate.

4.3.1

SNR per gli errori del canale

Come fatto per l’errore di quantizzazione, valutiamo il rapporto SNR per uno stream di dati trasmesso in un canale BSC con una certa probabilit`a di errore Pe . All’uscita del quantizzatore avremo una n-upla di bit, i cui valori saranno supposti, per semplicit` a, pari a +1 e −1. La codifica pi` u semplice, che seguir`a la quantizzazione, `e data da  j n X 1 Q(x) = V aj 2 j=1 Con questa espressione, ad esempio, associamo an = [1, ...., 1] il valore di tenV sione Q(x) = V ( 21 + 41 + . . . + 21n ) = V − 2Vn = V − M =V −∆ 2 , ossia il livello pi` u grande. Il vettore a di bit attraverser`a il canale BSC generando al termine un secondo vettore b. Il segnale sar` a ricostruito come segue:  j n X 1 y=V bj 2 j=1

0 e 1 ci complicano i calcoli delle varianze

CAPITOLO 4. SISTEMI PCM

22

Per valutare il “rumore”, ossia la perdita di informazione dovuta agli errori sui bit, valutiamo il suo valore quadratico medio: eb = y − Q(x)

E[e2b ] = E[(y − Q(x))2 ]

=⇒



E[e2b ]

=

=

    j 2 n X 1    E V 2  (bj + aj ) = 2 j=1   n n X X V 2 E  (bj + aj )2−j · (bk + ak )2−k  = j=1

=

V2

k=1

n X n X

2−j−k (E [(bj − aj )(bk − ak )]) =

j=1 k=1

= V2

n X n X

2−j−k (E[bj bk ] − E[aj bk ] − E[bj ak ] + E[aj ak ])

j=1 k=1

Dato che tra due bit di una sequenza si suppone non esserci correlazione e dipendenza statistica, si ha che per j 6= k: E[bj bk ] = E[bj ]E[bk ] = 0 E[aj ak ] = 0 E[aj bk ] = E[aj ]E[bk ] = 0 dato che le medie E[aj ] = E[ak ] = E[bj ] = E[bk ] = 0. Invece, per j = k si ha che E[aj ak ] = E[bj bk ] = 1 e rimane due sole sommatorie, con E[a2j ] = E[b2j ] = 1, che va da 1 a n. Quel che dobbiamo ancora considerare sono i termini misti E[aj bj ], di cui vi sono 4 combinazioni: aj

bj

P(aj bj ) 1 2 (1

− Pe )

aj bj

1

1

1

-1

1 2 Pe

-1

-1

1

1 2 Pe

-1

-1

-1

1 2 (1

− Pe )

1

1

1 1 1 1 E[aj bj ] = (+1) (1−Pe )+(−1) Pe +(−1) Pe +(+1) (1−Pe ) = 1−Pe −Pe = 1−2Pe 2 2 2 2

CAPITOLO 4. SISTEMI PCM

23

Allora possiamo concludere che: E[e2b ]

= V2

n X

  2−2j E[b2j ] − 2E[aj bj ] + E[a2] =

j=1

=

V2

n X

2−2j (1 − 2(1 − 2Pe ) + 1) =

j=1

=

V 2 Pe

n  j X 1 j=1

|

4 {z

4=

4 2 M2 − 1 V Pe 3 M2

}

dove nell’ultimo passaggio si `e sfruttata la somma infinita della serie geometrica e si `e sostituito 4n = M 2 . In sostanza, il valore quadratico medio dell’errore dipende da Pe in modo lineare. Ricordandoci della 4.1, l’SNR dovuto al canale `e   V 2 /3 1 S = 2 −1 = 2 M M 2 N e 4/3 V Pe M 2 4Pe M−1 2

4.3.2

SNR del sistema PCM

Valutiamo ora entrambi gli errori precedentemente osservati:  V2 4 M2 − 1 V2  + V 2 Pe = 4Pe (M 2 − 1) + 1 2 2 2 3M 3 M 3M il rapporto SNR, confrontato con 4.1, `e dunque:   M2 S = N e 1 + 4(M 2 − 1)Pe E[e2out ] = E[e2q ] + E[e2b ] =

GRAFICO Dal grafico notiamo che per valori bassi di Pe le prestazioni sono pressoch´e costanti; mentre da un certo valore di soglia di Pe le prestazioni peggiorano drasticamente. Per questo motivo, `e utile definire una probabilit` a d’errore critica, per la quale il rapporto SNR totale `e met`a (−3 dB) rispetto alla SN RQ = M 2 :  soglia   1 S S = =⇒ 1 + 4(M 2 − 1)Pe∗ = 2 N OU T 2 N Q si ottiene che tale valore `e

1 4(M 2 − 1) Detto ci` o, il sistema PCM `e detto Pe∗ =

“sopra soglia” se Pe < Pe∗ (condizione regolare di funzionamento) “sotto soglia” se Pe < Pe∗ (condizione di fuori servizio) Osservazioni Nelle trasmissioni digitali si dimostrer`a che la P (e) stessa dipender` a da SN RBB . Tuttavia, nel caso del PCM abbiamo visto che lavorando sopra soglia si ottengono prestazioni indipendenti da P (e) e dipendenti solo dal numero di bit utilizzati per la quantizzazione.

CAPITOLO 4. SISTEMI PCM

24

Capitolo 5

Trasmissioni digitali Le trasmissioni numeriche, o digitali, si basano sulla divisione dell’asse dei tempi in intervalli di durata Ts . Su ciascun intervallo si trasmette una particolare forma d’onda, detta simbolo, di durata Ts , presa da un insieme di M forme d’onda, detto costellazione. Ad ogni forma d’onda viene associata una sequenza di nbit bit che la identifica. In genere, la costellazione contiene M = 2nbit simboli.

5.1

Definizioni

Si elencano alcune definizioni relative alla velocit`a di trasmissione.

Baud rate Il Baud, indicato con la sigla D, `e il numero di simboli che viene trasmesso in un secondo (unit` a di tempo).   1 # simboli simbolo = B= unit`a tempo Ts sec dove Tb `e definito come tempo di bit e spesso non ha un significato strettamente fisico. ´ Il termine Baud prende il nome da Emile Baudot, inventore del codice Baudot utilizzato in telegrafia. Il Baud rate o velocit`a Baud indica il massimo numero di variazioni che un segnale pu`o subire in un secondo.

Bit rate Nelle telecomunicazioni digitali, il bit-rate, indicato con R o Br , `e il numero di bit trasmessi in un’unit` a di tempo, in genere il secondo. Viene quindi misurato in Kbit/sec o Kbps.   1 bit nbit = Br = Ts Tb sec Si noti che: R = Br = nbit ∗ D pertanto, per trasmissioni binarie, il bitrate coincide con il baud rate. 25

CAPITOLO 5. TRASMISSIONI DIGITALI

26

Esempio di trasmissioni multilivello Sia nbit = 2, M = 2nbit = 22 = 4, la costellazione conterr`a 4 forme d’onda. DISEGNO R = 2 · D, in quanto per ogni simbolo vengono trasmessi due bits. Si parla di trasmissione multilivello perch´e si ha la stessa forma d’onda con ampiezze diverse.

5.2

Classificazione trasmissioni digitali

I sistemi di trasmissione digitale posso differire per le diverse forme d’onda che costituiscono la costellazione e per l’associazione tra forme d’onda e bit (codici di linea). Le classificazioni possibili sono relativi alla forma d’onda sistemi binari con due forme d’onda M = 2 ; sistemi multilivello con pi` u di due forme d’onda M > 2 ; oppure alla posizione dello spettro sistemi in banda base con lo spettro centrato attorno a fc = 0 sistemi in banda traslata con lo spettro centrato attorno a fc 6= 0

5.3

Occupazione spettrale

Per i sistemi di trasmissione digitale `e molto importante stimare l’occupazione spettrale. In questo modo `e, infatti, possibile scegliere in modo opportuno i componenti del sistema e operare una multiplazione a divisione di frequenza (nel quale per mandare un segnale di risposta devo variare la frequenza). Il primo limite che incontriamo `e teorico: la minima banda di trasmissione deve essere maggiore di met` a del baud rate. B≥

D 2

Per continuare il calcolo dell’occupazione spettrale `e necessario introdurre delle ipotesi. Supponiamo, infatti, di poter scrivere il segnale trasmesso come: x(t) =

+∞ X

an f (t − nTs )

n=−∞

dove f (t) `e una certa forma d’onda di durata Ts ; an `e da intendersi una variabile causale, che assume per ogni n-esimo intervallo, un valore preso da un set di M valori discreti (in genere +1 e −1), a seconda dei bit da trasmettere. Dall’ultima osservazione, comprendiamo che ci`o che dobbiamo studiare `e il processo casuale x(t), definito dall’evoluzione temporale dei termini casuali an . Tale processo `e quasi determinato perch´e la dipendenza dal tempo `e decisa da noi ed `e, quindi, nota; `e caratterizzato, inoltre, dalla statistica di an , anch’esse a noi note.

CAPITOLO 5. TRASMISSIONI DIGITALI

27

Media d’insieme " E[x(t)] = E

+∞ X

#

+∞ X

an f (t − nTs ) =

n=−∞

E [an ] f (t − nTs )

n=−∞

E’ lecito supporre che la media E[an ] non dipenda da n (ipotesi verificata in tutti i sistemi di trasmissione digitale). E[x(t)] = E [an ]

+∞ X

f (t − nTs )

n=−∞

Si nota che la media non `e stazionaria. Trattandosi per`o di una serie infinita si pu` o verificare che E[x(t)] = E[x(t + Ts )], pertanto `e ciclostazionaria.

Funzione di autocorrelazione " Rx (t, τ ) = E[x(t)x∗(t+τ )] = E

+∞ X

#

+∞ X

an am f (t − nTs )f (t + τ − mTs ) =

n=−∞ m=−∞

=

+∞ X

+∞ X

E[an am ]f (t − nTs )f (t + τ − mTs )

n=−∞ m=−∞

Anche qui si pu` o vedere che l’autocorrelazione non `e in generale stazionaria, ma circostazionaria.

Densit` a spettrale La densit` a spettrale sarebbe la trasformata della funzione di autocorrelazione se il processo fosse stazionario. Dal momento che esso non lo `e, `e possibile renderlo tale se ne consideriamo la media temporale della funzione di autocorrelazione: Ps (f ) = F {< Rx (t, τ ) >} oppure, come faremo, `e possibile utilizzare la funzione troncata ad un solo intervallo: Z + T2 x(t)e−j2πf t dt XT (f ) = F {xT (t)} = − T2 2

E[|XT (f )| ] T →∞ T Calcoliamo la densit` a spettrale come qui di seguito Ps (f ) = lim

x(t) =

+N X

an f (t − nTs )

T = (2N + 1)Ts

n=−N

XT (f ) = F {xT (t)} =

+N X

an F {f (t − nTs )} =

n=−N

=

+N X n=−N

an F (f )e−j2πnTs f = F (f )

+N X n=−N

an e−j2πnTs f

CAPITOLO 5. TRASMISSIONI DIGITALI

28

Passiamo al calcolo di i h i h 2 2 E |XT (f )| = E |XT (f )XT∗ (f )| = " # +N +N X X = E F (f ) an e−j2πnTs f · F ∗ (f ) am e+j2πmTs f n=−N +N X

2

|F (f )|

=

m=−N +N X

E[an am ]ej(m−n)2πTs f

n=−N m=−N

semplifichiamo l’espressione con un cambio di variabile; sia, quindi, k = m − n ⇐ m = k + n, si ottiene: |F (f )|

2

+N X

+N −n X

E[an an+k ]ejk2πTs f

n=−N k=−N −n

Solitamente E[an · an+k ] dipende solo da k e non dipende da n; dipende cio`e dalla statistica delle variabili casuali e dalla correlazione a distanza k. Pertanto, introduciamo R(k) = E[an ·an+k ], detta autocorrelazione dei dati o discreta.

h i 2 E |XT (f )|

2

= |F (f )|

+N X

+N −n X

R(k)ejk2πTs f =

per linearit`a

n=−N k=−N −n 2

= |F (f )|

+N −n X

+N X

R(k)ejk2πTs f =

k=−N −n n=−N

| {z } non dipende da n =

2

(2N + 1) |F (f )|

+N −n X

R(k)ejk2πTs f

k=−N −n

possiamo ora calcolare la potenza del segnale trasmesso  2 P+N −n jk2πTs f (2N + 1) |F (f )|   k=−N −n R(k)e Px (f ) = lim   T →∞ (2N + 1)Ts   +∞ 2 X |F (f )| = R(k) ejk2πTs f Ts k=−∞

E’ possibile osservare che Px (f ) dipende da: 2

1. |F (f )| , cio`e dalla trasformata del segnale f (t) usato per la trasmissione 2. R(k), cio`e dalla statistica dei dati emessi Inoltre, si noti che in generale R(−k) = R(+k), infatti R(−k) = E[an an−k ] = E[am+k am ] = R(k). Riscriviamo l’espressione: " # +∞ −1 2 X X |F (f )| jk2πTs f jk2πTs f Px (f ) = R(0) + R(k) e + R(k) e Ts k=1

k=−∞

CAPITOLO 5. TRASMISSIONI DIGITALI

29

Casi particolari Supponiamo che le variabili causali an e an+k siano sempre scorrelate per k 6= 0, allora:  E[a2n ] = σa2 + m2a k = 0 R(x) = E[an ]E[an+k ] = m2a k 6= 0

Px (f )

=

=

|F (f )| Ts

2

|F (f )| Ts

2

" σa2

+

m2a

+

+∞ X k=1

" σa2

+∞ X

+

+

# m2a ejk2πTs f

=

k=−∞

#

k=−∞

2

=

−1 X

m2a ejk2πTs f

utilizziamo al formula di Poisson

Px (f )

m2a ejk2πTs f

|F (f )| Ts

P+∞

k=−∞

" σa2

+

+∞ X

ejk2πTs f =

1 Ts

P+∞

n=−∞

# m2a ejk2πTs f

=

k=−∞

# +∞ X m2a n = + δ(f − ) = T Ts n=−∞ s # " +∞ X 2 δ(f − nD) = |F (f )| D σa2 + m2a D 2

|F (f )| Ts

"

σa2

n=−∞ +∞ X 2 Px (f ) = D · |F (f )| σa2 + (m2a · D)2 δ(f − nD) | {z } n=−∞ {z } |

δ(f −

n Ts )