Apostila Mef

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS ˆ FACULDADE DE ENGENHARIA MECANICA ˆ DEPARTAMENTO DE PROJETO MECANICO

˜ AO METODO ´ INTRODUC ¸ AO DE ELEMENTOS FINITOS ` ´ APLICADO A ANALISE ESTRUTURAL - EXEMPLOS COM O PROGRAMA ANSYS

Prof. Dr. Marco L´ ucio Bittencourt

CAMPINAS/SP 2007

´ PREFACIO O objetivo deste texto ´e apresentar conceitos do M´etodo de Elementos Finitos (MEF) aplicado a ` an´ alise linear de estruturas. N˜ ao se adota uma abordagem variacional do MEF e sua aplica¸ca ˜o a problemas de valores de contorno. Os aspectos te´ oricos se limitam a um conjunto de conceitos m´ınimos para a aplica¸ca ˜o do m´etodo. Uma breve introdu¸ca ˜o ao software ANSYS e exemplos s˜ ao apresentados para motivar o leitor no uso de um programa de elementos finitos. Esse material foi preparado e revisado desde 1991 e usado em cursos de gradua¸ca ˜o e extens˜ ao na UNICAMP e em outras universidades. Ao longo desse tempo, a minha vis˜ ao do MEF mudou no sentido de adotar uma abordagem variacional. Esse texto apresenta aspectos nessa dire¸ca ˜o ao formular o problema de elasticidade linear usando o Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais. No entanto, o texto apresenta v´ arios aspectos positivos como a introdu¸ca ˜o das fun¸co ˜es de interpola¸ca ˜o atrav´es de produto tensorial. A constru¸ca ˜o das fun¸co ˜es para triˆ angulos e tetraedros aqui apresentada ´e totalmente original. O texto tamb´em procura separar a formula¸ca ˜o dos problemas da sua aproxima¸ca ˜o pelo MEF. O uso de exemplos do ANSYS permite ao leitor associar os conceitos apresentados com o uso de um pacote comercial. O Cap´ıtulo 1 apresenta uma breve introdu¸ca ˜o ao MEF procurando dar uma no¸ca ˜o intuitiva sobre aspectos do m´etodo. No Cap´ıtulo 2, considera-se o conceito de coeficientes de influˆencia para a constru¸ca ˜o das matrizes de rigidez de barras e vigas. Apresenta ainda o processo de superposi¸ca ˜o dessas matrizes para construir a matriz de rigidez global e a solu¸ca ˜o do sistema de equa¸co ˜es resultante atrav´es de um m´etodo num´erico. Os coeficientes de influˆencia s˜ ao baseados em no¸co ˜es de equil´ıbrio e permitem introduzir aspectos importantes do MEF de forma simples. No Cap´ıtulo 3, apresenta-se uma revis˜ ao de conceitos b´ asicos de elasticidade. Consideram-se os estados de deforma¸ca ˜o e tens˜ ao para um corpo s´ olido, a lei de Hooke generalizada e as equa¸co ˜es diferenciais de equil´ıbrio. No Cap´ıtulo 4, introduzem-se os conceitos de energia de deforma¸ca ˜o, trabalho de for¸cas e o PTV. Usando as equa¸co ˜es b´ asicas de elasticidade linear e aproxima¸ca ˜o pelo MEF, deduz-se a equa¸ca ˜o discreta de movimento obtendo-se as express˜ oes gerais das matrizes de massa e rigidez e dos vetores de carregamento. O Cap´ıtulo 5 apresenta o conceito de elementos finitos isoparam´etricos, sistemas de coordenadas, fun¸co ˜es de interpola¸ca ˜o e jacobiano. Consideram-se ainda as fun¸co ˜es de interpola¸ca ˜o para elementos finitos unidimensionais. Nos Cap´ıtulos 6 a 7, considerase a constru¸ca ˜o de fun¸co ˜es de interpola¸ca ˜o para elementos bidimensionais (quadrados e triˆ angulos) e tridimensionais (cubos e tetraedros). No Cap´ıtulo 8, discute-se a integra¸ca ˜o num´erica para o c´ alculos dos coeficientes das matrizes e vetores de carregamento dos elementos. No Cap´ıtulo 9, discute-se a aproxima¸ca ˜o de problemas de estado plano de tens˜ ao e deforma¸ca ˜o e s´ olidos axissim´etricos. ´ Os Apˆendices apresentam uma revis˜ ao de Algebra Linear, uma introdu¸ca ˜o ao programa ANSYS e exemplos.

Um conjunto pequeno de referˆencias foi empregado na prepara¸ca ˜o desse texto. O objetivo n˜ ao foi apresentar uma revis˜ ao geral sobre o MEF e suas aplica¸co ˜es, mas procurar introduzir de forma simples e objetiva v´ arios conceitos fundamentais do m´etodo.

Marco L. Bittencourt (DPM/FEM/UNICAMP, e-mail: [email protected])

Sum´ ario 1 Introdu¸ ca ˜o 1.1 Conceitos B´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

2 Elementos de Barra e Viga 2.1 Barra submetida a` For¸ca Axial de Tra¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Viga em Flex˜ ao Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Coeficientes de Influˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Elemento de Barra Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Deforma¸c˜ ao Espec´ıfica e Tens˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Matriz de Rigidez no Sistema Global . . . . . . . . . . . . . 2.5 Determina¸c˜ ao da Equa¸c˜ ao Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Decomposi¸c˜ ao de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Aplica¸c˜ ao do M´etodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 C´ alculo das Deforma¸c˜ oes e Tens˜ oes nos Elementos de Barra 2.6 Elemento de Viga Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 6 8 10 12 12 14 18 20 22 22 24

3 Equa¸ co ˜es B´ asicas de Elasticidade 3.1 Estado Geral de Solicita¸c˜ ao . . . . 3.2 Estado Geral de Deforma¸c˜ ao . . . 3.3 Deforma¸c˜ oes T´ermicas . . . . . . . 3.4 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . 3.5 Estado de Tens˜ ao num Ponto . . . 3.6 Equa¸c˜ oes Diferenciais de Equil´ıbrio 3.7 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . .

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27 27 30 34 35 37 42 44

4 Equa¸ c˜ ao de Movimento 4.1 Trabalho e Energia de Deforma¸c˜ ao . . 4.2 Identidade de Green . . . . . . . . . . 4.3 Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais . . . 4.4 Discretiza¸c˜ ao de um Sistema Cont´ınuo

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45 45 48 49 52

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i

4.5 4.6 4.7 4.8

Equa¸c˜ ao de Movimento . Elemento de Barra Plana Elemento de Viga Plana . Exerc´ıcios Propostos . . .

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5 Elementos Finitos Isoparam´ etricos 5.1 Sistemas de Referˆencia Global e Local . . . . . 5.2 Fun¸c˜ oes de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Elementos Unidimensionais . . . . . . . . . . . 5.3.1 Elemento Linear . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Elemento Quadr´ atico . . . . . . . . . . . 5.3.3 Elemento C´ ubico . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Elemento Qu´ artico . . . . . . . . . . . . 5.4 Elemento Bidimensional Linear . . . . . . . . . 5.5 Elementos Isoparam´etricos . . . . . . . . . . . . 5.6 Jacobiano e C´ alculo das Derivadas Globais . . 5.7 Dedu¸c˜ ao da Matriz de Rigidez de Barra Plana 5.8 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . .

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53 56 59 60

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61 61 63 65 65 65 66 67 68 69 72 74 75

6 Fun¸ co ˜es de Forma para os Elementos Quadrangulares 6.1 Elementos Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Elemento Quadr´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Elemento C´ ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Elemento Qu´ artico . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Elementos Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Elemento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Elemento Quadr´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Elemento C´ ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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77 77 79 81 83 84 84 86 87

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91 91 92 94 95 97 98 100 103 104 105 105 107

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7 Fun¸ co ˜es de Forma para Elementos Triangulares ´ 7.1 Coordenadas de Area . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 C´ alculo do Jacobiano e das Derivadas Globais . . 7.3 Elementos Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Elemento Linear . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Elemento Quadr´ atico . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Elemento C´ ubico . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Elemento Qu´ artico . . . . . . . . . . . . . 7.4 Coordenadas de Volume . . . . . . . . . . . . . . 7.5 C´ alculo do Jacobiano e das Derivadas Globais . . 7.6 Elementos Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Tetraedro Linear . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Tetraedro Quadr´ atico . . . . . . . . . . . ii

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7.7

7.6.3 Tetraedro C´ ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8 Integra¸ c˜ ao Num´ erica 8.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Integra¸c˜ ao de Newton-Cotes . . . . . 8.3 Quadratura de Gauss-Legendre . . . 8.4 Exemplo de Aplica¸c˜ ao . . . . . . . . 8.5 Integra¸c˜ ao Num´erica Bidimensional . 8.6 Integra¸c˜ ao Num´erica Tridimensional 8.7 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . .

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113 . 113 . 113 . 115 . 116 . 118 . 121 . 123

9 Estudo de Casos 9.1 Estado Plano de Tens˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Estado Plano de Deforma¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Estruturas Axissim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Considera¸c˜ oes sobre Elementos Finitos Isoparam´etricos 9.4.1 Integra¸c˜ ao Num´erica . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 C´ alculo de Tens˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Considera¸c˜ oes sobre o Modelamento . . . . . .

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143 . 143 . 144 . 145 . 145 . 145 . 146 . 146 . 147 . 147 . 148 . 148 . 148 . 148 . 149 . 149 . 149 . 150

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A Vetores e Matrizes A.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Matriz Nula . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . A.2.3 Matriz Diagonal . . . . . . . . . . . . A.2.4 Matriz Unit´ aria ou Identidade . . . . A.2.5 Matrizes Diagonais Superior e Inferior A.2.6 Matriz Banda . . . . . . . . . . . . . . A.2.7 Matrizes Sim´etrica e Anti-sim´etrica . . A.2.8 Particionamento de uma Matriz . . . . A.2.9 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . A.3 Opera¸c˜ oes Matriciais . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Adi¸c˜ ao e Subtra¸c˜ ao . . . . . . . . . . . A.3.3 Multiplica¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . A.4 Sistema de Equa¸c˜ oes Lineares . . . . . . . . . A.5 Problema de Autovalor . . . . . . . . . . . . . iii

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125 125 130 131 137 137 138 139

B Introdu¸ c˜ ao ao Programa ANSYS B.1 Comandos do ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.1 N´ os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.2 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.3 Tipo de Elemento . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.4 Constantes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.5 Carregamentos e Condi¸c˜ oes de Contorno . . . . B.1.6 Casos de Carregamentos . . . . . . . . . . . . . B.1.7 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.8 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . B.1.9 Reordenamento dos Elementos . . . . . . . . . B.1.10 Tipo de An´ alise . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.11 Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.12 Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ B.1.13 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.14 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.15 Gera¸c˜ ao de Malha . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Aplica¸c˜ ao de Condi¸c˜ oes de Contorno ao Modelo S´ olido B.2.1 Sele¸c˜ ao de Entidades . . . . . . . . . . . . . . . B.2.2 Comandos / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.3 Graus de Liberdade Masters . . . . . . . . . . . B.2.4 Comandos de Visualiza¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . B.2.5 P´ os-processador . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.6 Outros Comandos . . . . . . . . . . . . . . . .

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C Exemplos Analisados pelo ANSYS C.1 Estrutura Reticulada . . . . . . . . . . . . . C.2 Deforma¸c˜ ao em Vigas . . . . . . . . . . . . C.3 P´ ortico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.4 Estudo de um Eixo . . . . . . . . . . . . . . C.5 Viga - Problema de Estado Plano de Tens˜ ao C.6 Problema com Simetria . . . . . . . . . . . C.7 M´ ultiplos Carregamentos . . . . . . . . . . ´ C.8 Gera¸c˜ ao Autom´ atica de Malhas em Areas . C.9 Gera¸c˜ ao Autom´ atica de Malha em Volumes C.10 Simetria em Volumes . . . . . . . . . . . . . C.11 Estrutura modelada por Elementos de Placa

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163 163 165 167 169 173 175 177 178 181 184 186

iv

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Lista de Figuras 1.1 1.2

Corpo considerado como meio cont´ınuo e sua discretiza¸c˜ ao em elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superposi¸c˜ ao das matrizes dos elementos na matriz global. . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

Barra submetida a uma for¸ca de tra¸c˜ ao P . . . . . . . . . . . . . . . Deforma¸c˜ ao em viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrutura el´ astica sob a¸c˜ ao de for¸cas F1 , . . . , Fn . . . . . . . . . . . Mola el´ astica de rigidez k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ . Elemento de barra plana segundo o sistema de referˆencia local X. Elemento da barra em rela¸c˜ ao ao sistema global XY . . . . . . . . . Treli¸ca analisada estaticamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numera¸c˜ ao dos n´ os, graus de liberdade e elementos. . . . . . . . . ¯ Y¯ . Elemento de viga plana segundo o sistema de referˆencia local X Treli¸ca do exerc´ıcio 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Treli¸ca do exerc´ıcio 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viga do exerc´ıcio 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 7 8 10 11 12 15 15 23 25 25 26

Corpo submetido a` a¸c˜ ao de um sistema de for¸cas externas. . . . . . . . . . Distribui¸c˜ ao de tens˜ ao na se¸c˜ ao transversal do corpo. . . . . . . . . . . . . Componentes de um estado geral de tens˜ ao num ponto O do corpo s´ olido. Elemento infinitesimal de um corpo el´ astico. . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano xy do elemento infinitesimal utilizado para a determina¸c˜ ao das deforma¸c˜ oes espec´ıficas xx , yy e distor¸c˜ ao γxy . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Elemento infinitesimal submetido a um gradiente de temperatura T. . . . 3.7 Corpo s´ olido submetido a um sistema de for¸cas externas. . . . . . . . . . . 3.8 Partes inferiores do corpo s´ olido obtidas pelos cortes atrav´es dos planos mm e nn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Componentes de tens˜ ao no ponto O do corpo s´ olido. . . . . . . . . . . . . 3.10 Tetraedro elementar no ponto O e suas componentes m´edias de tens˜ ao. . . 3.11 Paralelep´ıpedo elementar com suas componentes m´edias de tens˜ ao. . . . .

. . . .

28 28 30 31

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

4.1 4.2

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

2 3

. 32 . 34 . 38 . . . .

39 40 40 43

Diagrama for¸ca × deslocamento para a deforma¸c˜ ao de um corpo. . . . . . . 46 Diagrama de tens˜ ao × deforma¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 v

4.3 4.4

Proje¸c˜ ao da a´rea elementar dS sobre o plano yz. . . . . . . . . . . . . . . . 48 Meio cont´ınuo discretizado por elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1 5.2 5.3

Mapeamento entre os sistemas de referˆencia X e ξ. . . . . . . . . . . . . . Transforma¸c˜ ao entre os sistemas de referˆencia global e local. . . . . . . . . Transforma¸c˜ ao entre os sistemas de referˆencia global e local utilizando fun¸c˜ oes de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento unidimensional linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento unidimensional quadr´ atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento unidimensional c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento unidimensional qu´ artico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento quadrangular linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento lagrangeanos quadrangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento finitos subparam´etricos, isoparam´etricos e superparam´etricos . . Exemplo de transforma¸c˜ ao entre os sistemas de referˆencia local e global utilizando as fun¸c˜ oes de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condi¸c˜ ao para que os elementos quadrangulares linear e quadr´ atico n˜ ao apresentem distor¸c˜ ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcio 5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

. 61 . 62 . . . . . . . .

. 71 . 73 . 75

6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13

Elementos planos da fam´ılia Serendipity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸c˜ ao de forma t´ıpica para os n´ os do elementos linear. . . . . . . . . . . . Elemento quadr´ atico da fam´ılia Serendipity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸c˜ ao de forma t´ıpica para os n´ os 5 a 8 do elemento quadr´ atico. . . . . . . Elemento quadrangular c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸c˜ ao de forma t´ıpica para os n´ os (5, 6, 9, 10) e (7, 8, 11, 12) do elemento c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento quadrangular qu´ artico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸c˜ ao de forma t´ıpica para os n´ os 1 a 4 e (5, 7, 11 e 13) do elemento qu´ artico. Fun¸c˜ ao de forma para os n´ os (8, 10, 14, 16) e 17 do elemento qu´ artico. . . . Elementos espaciais linear, quadr´ atico e c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento espacial linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento espacial quadr´ atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento espacial de terceiro grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Coordenadas de a´rea para triˆ angulos. . . Elementos triangulares planos. . . . . . Elemento triangular plano linear. . . . . Fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ao para o triˆ angulo Elemento triangular plano quadr´ atico. . Fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ao para o triˆ angulo Elemento triangular plano c´ ubico. . . . vi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . linear lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . quadr´ atico lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

63 65 66 68 68 69 69 70

. . . . . . .

78 78 79 81 81 83 84 85 85 86 86 88 89 92 94 95 96 98 99 100

7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15

Fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao para o triˆ angulo c´ ubico Elemento triangular plano qu´ artico. . . . . . . Coordenadas de volume: componente L1 . . . . Tetraedros linear, quadr´ atico e c´ ubico. . . . . . Tetraedro linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . Tetraedro quadr´ atico. . . . . . . . . . . . . . . Tetraedro c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcio 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

8.1 8.2 8.3 8.4

Pontos Pontos Pontos Pontos

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

Chapa sob estado plano de tens˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muro de arrimo sob press˜ ao lateral e um rolamento sob compress˜ ao. . . . S´ olido axissim´etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Componentes de deforma¸c˜ ao em coordenadas cil´ındricas. . . . . . . . . . . Elemento infinitesimal no plano rθ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano rz para um elemento infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento de volume infinitesimal para um s´ olido de revolu¸c˜ ao. . . . . . . Problema de estado plano de tens˜ ao calculado com esquemas de integra¸c˜ ao consistente e reduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

101 103 104 105 106 108 109 110

igualmente espa¸cados para a t´ecnica de integra¸c˜ ao de Newton-Cotes. 114 de integra¸c˜ ao para os elementos unidimensionais. . . . . . . . . . . . 115 de integra¸c˜ ao para os elementos quadrangulares planos. . . . . . . . 119 de integra¸c˜ ao para os elementos triangulares planos. . . . . . . . . . 121 . . . . . . .

125 130 131 132 132 134 137

. 139

A.1 Sistema cartesiano de referˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 B.1 M´ odulos do programa ANSYS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 C.1 C.2 C.3 C.4 C.5 C.6 C.7 C.8 C.9 C.10 C.11

Treli¸ca analisada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viga em estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P´ ortico analisado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eixo analisado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema equivalente ao eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viga analisada com elementos de estado plano de tens˜ ao. . . . Chapa com furo submetida a um press˜ ao interna uniforme. . . Gera¸c˜ao autom´ atica de malha em problema plano. . . . . . . . Viga analisada como problema espacial utilizando cubos de oito Disco gerado utilizando a simetria do problema. . . . . . . . . . Estrututa modelada por elementos de placa. . . . . . . . . . . .

vii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n´ os. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

164 165 167 170 171 173 175 179 182 184 187

viii

Lista de Tabelas 2.1 2.2 2.3 2.4

Coordenadas nodais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Incidˆencia, comprimento, a´rea e co-senos diretores dos elementos de barra. Graus de liberdade correspondentes a`s linhas e colunas nas quais devem ser superpostas as matrizes dos elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deforma¸c˜ ao espec´ıfica e tens˜ ao nos elementos da treli¸ca analisada. . . . .

5.1

Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b e c para o elemento quadrangular linear. . . . . 68

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Rela¸c˜ao Rela¸c˜ ao Rela¸c˜ao Rela¸c˜ ao Rela¸c˜ao Rela¸c˜ao

entre entre entre entre entre entre

os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices

a, a, a, a, a, a,

b e c para o elemento quadr´ atico. . . . . . . . . . b e c para o elemento c´ ubico. . . . . . . . . . . . b e c para o elemento qu´ artico. . . . . . . . . . . b, c e d para o elemento espacial linear. . . . . . b, c e d para o elemento espacial quadr´ atico. . . b, c e d para o elemento espacial de terceiro grau.

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Rela¸c˜ao Rela¸c˜ ao Rela¸c˜ ao Rela¸c˜ ao Rela¸c˜ao Rela¸c˜ ao Rela¸c˜ ao

entre entre entre entre entre entre entre

os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices

a, a, a, a, a, a, a,

b, b, b, b, b, b, b,

8.1 8.2

Coeficientes de pondera¸c˜ ao para as f´ ormulas de quadratura de Newton-Cotes.114 Pontos de integra¸c˜ ao e coeficientes de pondera¸c˜ ao para a quadratura de Gauss-Legendre supondo um intervalo (−1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Ordem de integra¸c˜ ao para os elementos unidimensionais. . . . . . . . . . . . 118 Pontos de integra¸c˜ ao e coeficientes de pondera¸c˜ ao para elementos quadrangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Ordem de integra¸c˜ ao para os elementos quadrangulares planos. . . . . . . . 121 Pontos de integra¸c˜ ao e coeficientes de pondera¸c˜ ao para elementos triangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Pontos de integra¸c˜ ao para os tetraedros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

c e d para o elemento linear. . . . . c e d para o elemento quadr´ atico. . c e d para o elemento c´ ubico. . . . . c e d para o elemento qu´ artico. . . . c, d e e para o tetraedro linear. . . c, d e e para o tetraedro quadr´ atico. c, d e e para o tetraedro c´ ubico. . .

ix

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. 16 . 16 . 17 . 22

. . . . . . .

79 82 83 87 88 89 95 98 101 102 106 108 110

x 9.1

Ordem de integra¸c˜ ao consistente e reduzida para o c´ alculo da matriz de rigidez dos elementos quadrangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Cap´ıtulo 1

Introdu¸ c˜ ao O M´etodo de Elementos Finitos (MEF) foi desenvolvido na d´ecada de 40 para aplica¸c˜ oes de Engenharia Civil. Com o trabalho de matem´ aticos, desenvolveu-se uma s´ olida base te´ orica para o m´etodo. Desta forma, pode-se considerar o MEF, basicamente, como um m´etodo num´erico para a resolu¸c˜ ao de Problemas de Valor de Contorno envolvendo equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias e parciais e respectivas condi¸c˜ oes de contorno. Como grande parte dos fenˆ omenos f´ısicos de Engenharia Mecˆ anica podem ser descritos por equa¸c˜ oes diferenciais, tem-se aplicado o MEF principalmente para problemas de Mecˆ anica dos Fluidos, Transferˆencia de Calor e Mecˆ anica dos S´ olidos. Ao longo deste texto, pretende-se apresentar conceitos b´ asicos do MEF considerando a an´ alise linear de estruturas mecˆ anicas. A partir do final da d´ecada de 60 e in´ıcio da d´ecada de 70, v´ arios programas computacionais implementaram a t´ecnica de elementos finitos. No entanto, a baixa performance e o alto custo dos computadores n˜ ao permitiu o estudo de problemas mais complexos e a dissemina¸c˜ ao do m´etodo para um maior n´ umero de ind´ ustrias e centros de pesquisa. No entanto, com os progressos da ind´ ustria eletrˆ onica, tem-se diminu´ıdo, de forma sens´ıvel, os custos dos computadores, aumentando-se, numa propor¸c˜ ao exponencial, a performance das m´ aquinas. Desta forma, tem-se verificado um aumento expressivo na aplica¸c˜ ao do MEF aos mais variados tipos de problemas. O ambiente ideal para a utiliza¸c˜ ao do MEF s˜ ao as esta¸c˜ oes de trabalho, devido a elevada capacidade de processamento num´erico e recursos gr´ aficos. Pode-se simular o comportamento de um componente mecˆ anico no computador, originando o conceito de prot´ otipo eletrˆ onico. Desta forma, pode-se otimizar o projeto deste componente permitindo a redu¸c˜ ao de custos.

1.1

Conceitos B´ asicos

Para introduzir alguns conceitos b´ asicos, considere o corpo gen´erico ilustrado na Figura 1.1a). Suponha que este corpo seja um meio cont´ınuo. Devido a aplica¸c˜ ao do sistema 1

˜ CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ AO

2 F1

F1

Fn

Fn

F2

F2

F3

F5 F4 (a)

F3

F5 F4 (b)

Figura 1.1: Corpo considerado como meio cont´ınuo e sua discretiza¸c˜ ao em elementos finitos.

de for¸cas externas F1 , . . . , Fn , o corpo vai apresentar uma deforma¸c˜ ao caracterizada pelos deslocamentos de seus pontos. Em geral, para determinar estes deslocamentos deve-se resolver uma equa¸c˜ ao diferencial. Em alguns casos, devido a geometria do corpo, n˜ ao-linearidades do material e condi¸c˜ oes de contorno, a resolu¸c˜ ao anal´ıtica do problema n˜ ao ´e poss´ıvel. Assim, pode-se utilizar t´ecnicas num´ericas para a obten¸c˜ ao de uma solu¸c˜ ao aproximada. A id´eia b´ asica do MEF ´e dividir o corpo em v´ arios subdom´ınios ou elementos finitos e determinar a solu¸c˜ ao aproximada considerando-se apenas alguns pontos ou n´ os. O conjunto n´ os e elementos finitos constitui a rede ou malha de elementos finitos. Obt´em-se, ent˜ao, um sistema discreto como ilustrado na Figura 1.1b). Para uma an´ alise est´ atica, cada elemento finito representa parte da rigidez do corpo. Atrav´es de uma formula¸c˜ ao adequada, ´e poss´ıvel determinar uma matriz de rigidez do elemento [Ke ]. Esta matriz ´e fun¸c˜ ao das propriedades geom´etricas e do material do corpo, assim como das coordenadas nodais do elemento especificadas segundo um sistema de referˆencia adotado. Supondo uma malha com m elementos finitos e n n´ os, determina-se a rigidez do corpo (i) pela superposi¸ca ˜o ou soma das matrizes de rigidez de cada elemento finito [Ke ] (i = 1, . . . , m) na matriz de rigidez global [K]. Esta superposi¸c˜ ao ´e efetuada nas linhas e colunas de [K] correspondentes a numera¸c˜ ao dos n´ os de cada elemento finito. Este processo est´ a ilustrado na Figura 1.2. De maneira an´ aloga, obt´em-se um vetor de carregamento externo {f }.

´ 1.1. CONCEITOS BASICOS 1

3

2 1

[ K(1) e ]

2

3

4

5

6

...

n

1

(1)

2

[K e ]

3

4

3

3

4

4

[ K]

=

5

(2)

[K e ]

6 . . .

(2) [K e ]

n

6

5

Figura 1.2: Superposi¸c˜ ao das matrizes dos elementos na matriz global. Ao final, chega-se a um sistema de equa¸c˜ oes na seguinte forma, [K]{u} = {f } sendo {u} o vetor de inc´ ognitas contendo os deslocamentos dos n´ os da malha considerada. Aplicando-se m´etodos num´ericos apropriados, determinam-se os deslocamentos nodais e a partir da´ı, as deforma¸c˜ oes e as tens˜ oes. Verifica-se, ent˜ ao, que o MEF implica em duas aproxima¸c˜ oes, ou seja, 1. a geometria do corpo ´e representada pelas arestas dos elementos finitos situados no contorno. Para geometrias mais complexas, torna-se necess´ ario utilizar uma malha mais refinada ao longo do contorno ou elementos com maior n´ umero de n´ os. 2. as grandezas de interesse, como por exemplo os deslocamentos, s˜ ao obtidos apenas para os n´ os. Para os demais pontos do corpo, aplicam-se fun¸co ˜es de interpola¸ca ˜o a partir dos valores determinados para os n´ os. Assim, o MEF ´e tal que a solu¸c˜ ao aproximada tende a` solu¸c˜ ao anal´ıtica do problema quando se aumenta o n´ umero de n´ os e/ou elementos finitos. Nos pr´ oximos cap´ıtulos ser˜ ao abordados v´ arios conceitos do MEF. Inicialmente, estudam-se estruturas reticuladas e vigas, ilustrando a obten¸c˜ ao da matriz de rigidez para uma treli¸ca. Apresentam-se as matrizes de rigidez para os elementos finitos de barra e viga planos. A partir da´ı, discutem-se as equa¸c˜ oes b´ asicas de elasticidade linear, os Princ´ıpios dos Trabalhos Virtuais e de D’Alambert. Desta forma, torna-se poss´ıvel obter a equa¸c˜ ao de movimento de um sistema mecˆ anico, caracterizando, de forma geral, as matrizes de massa e rigidez, assim como os vetores de carregamentos, dos elementos finitos.

4

˜ CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ AO

Aborda-se, ent˜ ao, os elementos finitos isoparam´etricos, fun¸c˜ oes de forma para elementos quadrangulares e triangulares e m´etodos para integra¸c˜ ao num´erica. Discutem-se algumas aplica¸c˜ oes, tais como, estado plano de tens˜ ao, estado plano de deforma¸c˜ ao e s´olidos axissim´etricos. Nos apˆendices s˜ ao feitas revis˜ oes de conceitos de derivadas e a´lgebra linear, assim como uma breve apresenta¸c˜ ao de algumas caracter´ısticas do programa ANSYS. Ao final apresentam-se t´ opicos especiais, tais como gera¸c˜ ao autom´ atica de malhas, problemas com simetria, integra¸c˜ ao MEF com programas de CAD (Computer Aided Design), problemas simples de an´ alise dinˆ amica atrav´es do ANSYS.

Cap´ıtulo 2

Elementos de Barra e Viga Nesse cap´ıtulo, apresenta-se um resumo sobre os problemas de barra em tra¸c˜ ao e viga em flex˜ ao pura. Emprega-se o conceito de coeficientes de influˆencia de deflex˜ ao para introduzir as matrizes de rigidez e flexibilidade dos elementos de mola, barra e viga. A transforma¸c˜ ao de um elemento de barra do sistema de referˆencia local para o global ´e apresentada. Resolve-se um exemplo de uma treli¸ca para ilustrar o processo de superposi¸c˜ ao dos elementos para a obten¸c˜ ao da matriz de rigidez e do vetor de carregamento globais. O sistema de equa¸c˜ oes resultante ´e resolvido pelo m´etodo de Cholesky. Posteriormente, calculam-se as deforma¸c˜ oes e tens˜ oes normais em cada elemento e discute-se o dimensionamento das barras.

2.1

Barra submetida ` a For¸ ca Axial de Tra¸ c˜ ao

Considere a barra da Figura 2.1 submetida a` a¸c˜ ao de uma for¸ca de tra¸c˜ ao P . A barra vai apresentar um alongamento δ dado por δ=

Pl AE

(2.1)

sendo • P : for¸ca externa aplicada; • l: comprimento da barra; • A: a´rea da se¸c˜ ao transversal da barra; • E: m´ odulo de elasticidade longitudinal do material da barra. A equa¸c˜ ao (2.1) pode ser escrita na forma da lei de Hooke σ = E

(2.2) 5

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

6

l

δ

P A,E

Figura 2.1: Barra submetida a uma for¸ca de tra¸c˜ ao P . Neste caso, tem-se que tens˜ ao normal presente na barra σ ´e dada por σ=

P A

(2.3)

enquanto a deforma¸c˜ ao espec´ıfica longitudinal  ´e definida por =

δ l

(2.4)

Para efeitos de dimensionamento, imp˜ oe-se a condi¸c˜ ao que a tens˜ ao atuante na barra seja igual a tens˜ ao admiss´ıvel do material. Logo, σ=

P P =σ ¯ → A= A σ ¯

(2.5)

Tomando-se uma treli¸ca qualquer, as for¸cas nas barras podem ser determinadas atrav´es dos m´etodos dos n´ os ou das se¸c˜ oes. Para treli¸cas com um grande n´ umero de barras, esta tarefa ´e a´rdua e origina imprecis˜ oes. Este problema pode ser resolvido de forma num´erica atrav´es, por exemplo, do programa ANSYS como apresentado na Se¸c˜ ao C.1 do Apˆendice C. Como resultados, obt´em-se para cada elemento as for¸cas atuantes nos dois n´os do elemento e a tens˜ ao.

2.2

Viga em Flex˜ ao Pura

Considere a viga ilustrada na Figura 2.2 submetida ao carregamento indicado. Devido a a¸c˜ ao deste carregamento, a viga vai se deformar, sendo a curva em que se transforma o eixo inicialmente reto da viga denominada linha el´ astica. Assim, a cada ponto x vai

˜ PURA 2.2. VIGA EM FLEXAO

7 P

x

P

y

Z

X

Y

Figura 2.2: Deforma¸c˜ ao em viga. corresponder uma deflex˜ ao y denominada flecha. A deforma¸c˜ ao da viga ´e determinada a partir da equa¸c˜ ao da linha el´ astica. A deforma¸c˜ ao causada pelo momento fletor ´e dada pela equa¸c˜ ao diferencial da linha el´ astica Mz d2 y =− 2 dx EJz

(2.6)

sendo oes da viga; • Mz : momento fletor presente nas se¸c˜ • E: m´ odulo de elasticidade longitudinal do material da viga; • Jz : momento de in´ercia da se¸c˜ ao transversal da viga com rela¸c˜ ao ao eixo z do sistema de referˆencia. Para se determinar a linha el´ astica, deve-se integrar duas vezes a equa¸c˜ ao (2.6). A primeira integral fornece a equa¸c˜ ao das rota¸c˜ oes da se¸c˜ ao transversal da viga com rela¸c˜ ao ao eixo z, ou seja, dy 0 = f (x) dx A segunda integral fornece a equa¸c˜ ao da linha el´ astica, isto ´e, y = f (x) Observa-se que a express˜ ao do momento fletor pode ser obtida utilizando-se a nota¸c˜ ao de Macaulay. Para exemplificar, considere a viga ilustrada na Figura C.2 do Apˆendice C. Neste caso, as equa¸c˜ oes das rota¸c˜ oes e da linha el´ astica s˜ ao dadas, respectivamente, por dy 5x2 10x x3 = − − dx 2EJz EJz 6EJz

(2.7)

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

8 y=

5x3 5x2 x4 − − 6EJz EJz 24EJz

(2.8)

ao transversal da viga s˜ ao dados, respectivaO momento de in´ercia Jz e a a´rea da se¸c˜ mente, por Jz =

bh3 (15)(25)3 = = 19.531, 25 cm4 = 1, 953 × 10−4 m4 12 12

A = bh = (15)(25) = 375 cm2 = 3, 75 × 10−2 m2 Tomando-se o m´ odulo de elasticidade do a¸co (E = 21 × 106 t/m2 ), tem-se que a flecha m´ axima ocorre em x = 2 m e y = −0, 3414 cm. Este mesmo problema pode ser resolvido utilizando-se o programa ANSYS como apresentado na Se¸c˜ ao C.2 do Apˆendice C.

2.3

Coeficientes de Influˆ encia

Considere a estrutura el´ astica da Figura 2.3a) submetida a` a¸c˜ ao das for¸cas F1 , F2 , . . . , Fn aplicadas nos pontos 1, 2, . . . , n. Sejam δ1 , δ2 , . . . , δn os deslocamentos correspondentes. F1 1

...

F2 2 δ1

...

Fi i

δ2

Fn

1

n δi

a)

F1 = 1

δ i = ci1

δn

b)

Figura 2.3: Estrutura el´ astica sob a¸c˜ ao de for¸cas F1 , . . . , Fn . O deslocamento δi apresentado do ponto i ´e afetado por todas as for¸cas aplicadas. Para uma estrutura el´ astica, a influˆencia de cada for¸ca no deslocamento do ponto i pode ser expressa pela seguinte equa¸c˜ ao δi = ci1 F1 + ci2 F2 + . . . + cin Fn

(2.9)

Por defini¸c˜ ao, ci1 ´e a deflex˜ ao do ponto i devido a a¸c˜ ao de um carregamento unit´ ario F1 = 1 aplicado em 1, como mostrado na Figura 2.3b). Se no entanto, a for¸ca em 1 for F1 , ent˜ao a contribui¸c˜ ao para a deflex˜ ao δi ser´ a ci1 F1 . Analogamente, ci2 , . . . , cin especificam como um carregamento unit´ ario em qualquer um dos pontos influencia o deslocamento em i. Estas constantes s˜ ao denominadas coeficientes de influˆencia de deflex˜ ao.

9

2.4. ELEMENTO DE BARRA PLANA

Tomando-se δi para todos os n´ os, ou seja, variando-se i (i = 1, . . . , n) na equa¸c˜ ao (2.9), determinam-se n equa¸c˜ oes, as quais podem ser expressas na seguinte forma matricial   δ1     δ2

     



c11 c21 .. .

  ..  =     .       δ   cn1 n

c12 c22 .. .

. . . c1n . . . c2n . . . . ..

cn2 . . . cnn

ou em forma compacta,

           

F1 F2 .. . Fn

     

(2.10)

    

{δ} = [C]{F }

(2.11)

A matriz [C] ´e denominada matriz de coeficientes de influˆencia de deflex˜ ao ou matriz de flexibilidade. A partir de (2.11), pode-se expressar as for¸cas em termos das deflex˜ oes, ou seja, {F } = [C]−1 {δ} → {F } = [K]{δ}

(2.12)

A matriz de rigidez [K] ´e a inversa da matriz dos coeficientes de influˆencia [C]. Logo, tem-se que,   F1     F2

     



k11 k21 .. .

  ..  =     .       F   kn1 n

k12 k22 .. .

. . . k1n . . . k2n .. ... .

kn2 . . . knn

           

δ1 δ2 .. . δn

     

(2.13)

    

Considere o conjunto de deslocamentos δ1 = 1, δ2 = . . . = δn = 0. Substituindo em (2.13), verifica-se que F1 = k11

F2 = k21

...

Fn = kn1

ou seja, obt´em-se a primeira coluna da matriz [K]. Estes elementos constituem-se no conjunto de for¸cas nodais necess´ arias para manter o estado de deslocamento considerado. Da mesma forma, a segunda coluna de [K] representa as for¸cas necess´ arias para manter um deslocamento unit´ ario em 2, isto ´e δ2 = 1, enquanto δ1 = δ3 = . . . = δn = 0. Verifica-se que as matrizes [C] e [K] s˜ ao sim´etricas. Logo, cij = cji

e

kij = kji

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

10

k

F1 , u 1

F2 , u 2 X

1

2

Figura 2.4: Mola el´ astica de rigidez k.

2.4

Elemento de Barra Plana

A mola el´ astica de constante k, ilustrada na Figura 2.4, est´ a submetida a` a¸c˜ ao das for¸cas F1 e F2 . Os respectivos deslocamentos nodais s˜ ao u1 e u2 . A matriz de rigidez para a mola relaciona as for¸cas com os deslocamentos nodais. Como s˜ ao dois deslocamentos nodais, a matriz ´e de ordem 2. Assim, a partir da equa¸c˜ ao (2.13), tem-se que (

F1 F2

)

=

"

#(

k11 k12 k21 k22

u1 u2

)

(2.14)

Para obter os elementos kij , considere os seguintes estados de deslocamentos: 1. u2 = 0: Neste caso, a for¸ca F2 torna-se uma rea¸c˜ ao ao carregamento externo F1 . Para uma mola de rigidez k, a rela¸c˜ ao entre a for¸ca F e o deslocamento u ´e dada por F = ku. Logo, para o estado de deslocamento considerado, tem-se que k=

F1 u1

→

F1 = ku1

Pelo equil´ıbrio de for¸cas na dire¸c˜ ao X, tem-se que X

FX = 0 : F1 + F2 = 0 → F1 = −F2

Portanto, F1 = −F2 = ku1

(2.15)

2. u1 = 0: Este caso ´e semelhante ao anterior, sendo F2 a for¸ca aplicada e F1 a rea¸c˜ ao de apoio. Obt´em-se ent˜ ao F2 = −F1 = ku2

(2.16)

11

2.4. ELEMENTO DE BARRA PLANA

Superpondo os dois estados de deslocamentos anteriores, determinam-se as seguintes express˜ oes (

F1 = ku1 − ku2 F2 = −ku1 + ku2

ou em forma matricial, (

F1 F2

)

=

"

k −k −k k

#(

u1 u2

)

→

(

F1 F2

)

=k

"

1 −1 −1 1

#(

u1 u2

)

(2.17)

O elemento de barra plana, ilustrado na Figura 2.5 segundo um sistema de referˆencia local, possui 2 n´ os. Sup˜ oe-se que a a´rea da se¸c˜ ao transversal A e o m´ odulo de elasticidade longitudinal E s˜ ao constantes. A rela¸c˜ ao entre for¸ca e deslocamento para uma barra ´e dada por (2.1). P1 , u 1

E,A

1

2

P2 , u 2 X

l

¯ Figura 2.5: Elemento de barra plana segundo o sistema de referˆencia local X. Supondo que o n´ o 2 esteja fixo e a for¸ca P¯1 seja aplicada, vem que, u ¯1 =

P¯1 l AE

Assim, a constante el´ astica k da mola ´e an´ aloga, neste caso, ao termo a partir de (2.17) tem-se que, (

P¯1 P¯2

)

EA = l

"

1 −1 −1 1

#(

u ¯1 u ¯2

)

¯ e ]{¯ → {P¯e } = [K u}

EA l .

Portanto,

(2.18)

sendo, ¯ e ] = EA [K l

"

1 −1 −1 1

#

(2.19)

¯ a matriz de rigidez do elemento de barra plana segundo o sistema de referˆencia local X.

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

12

2.4.1

Deforma¸c˜ ao Espec´ıfica e Tens˜ ao

A deforma¸c˜ ao espec´ıfica pode ser calculada a partir dos deslocamentos nodais do elemento de barra. Assim, utilizando-se (2.6) vem que ¯ =

δ 1 ¯1 ) = (¯ u2 − u l l

ou em forma matricial, i 1h ¯ = −1 1 l

(

)

u ¯1 u ¯2

(2.20)

Por sua vez, a tens˜ ao no elemento de barra ´e dada por (2.2) e substituindo (2.20), chega-se a seguinte express˜ ao i Eh σ ¯= −1 1 l

2.4.2

(

u ¯1 u ¯2

)

(2.21)

Matriz de Rigidez no Sistema Global

No caso geral, o sistema de referˆencia global adotado faz com que o elemento de barra esteja inclinado como ilustrado na Figura 2.6. Portanto, deve-se efetuar uma transforma¸c˜ao de coordenadas entre os sistemas local e global. Observa-se que no sistema global, cada n´ o tem dois graus de liberdade indicados por ui e vi (i = 1, 2). Y

y

v2

X

u2

2 2

u2

l

v1 u1 y

θ

1 1

u1 x1

X x2

Figura 2.6: Elemento da barra em rela¸c˜ ao ao sistema global XY .

13

2.4. ELEMENTO DE BARRA PLANA

O comprimento l da barra pode ser obtido a partir das coordenadas dos n´ os 1 e 2, ou seja, (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), respectivamente. Logo, l=

q

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

A partir da Figura 2.6, tem-se as seguintes rela¸c˜ oes trigonom´etricas x2 − x1 l

cos θ =

sin θ =

y2 − y1 l

(2.22)

Al´em disso, verifica-se que u ¯1 = u1 cos θ + v1 sin θ u ¯2 = u2 cos θ + v2 sin θ ou em forma matricial, (

u ¯1 u ¯2

)

=

"

cos θ sin θ 0 0 0 0 cos θ sin θ

  u1    #   v   1

 u2       

→ {¯ u} = [T ]{u}

(2.23)

v2

Substituindo a rela¸c˜ ao (2.23) em (2.18), e multiplicando-se por [T ]T para manter a simetria da matriz de rigidez, obt´em-se ¯ e ][T ]{u} = [T ]T {P¯e } → [Ke ]{u} = {Pe } [T ]T [K Portanto, a matriz de rigidez [Ke ] do elemento de barra no sistema global, ´e expressa por  

¯ e ][T ] =  [Ke ] = [T ] [K  T



cos θ 0 sin θ 0 0 cos θ 0 sin θ



 EA    l

"

1 −1 −1 1

#"

cos θ sin θ 0 0 0 0 cos θ sin θ

#

ou seja,

[Ke ] =



EA    l 

c2 cs −c2 −cs cs s2 −cs −s2    −c2 −cs c2 cs  cs s2 −cs −s2 

sendo c = cos θ e s = sin θ dados em (2.22).

(2.24)

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

14

Analogamente, tem se que o vetor de carregamento {Pe }, a deforma¸c˜ ao espec´ıfica {} e a tens˜ ao {σ} no sistema global s˜ ao dados, respectivamente, por: {Pe } =

  cP1   

sP1

 cP2       

sP2

=

σ=

2.5

    

1h −c −s c s l

(2.25)

   u1      v  i

Eh −c −s c s l

1

 u2       

(2.26)

v2

   u1     v   i 1

 u2       

(2.27)

v2

Determina¸ c˜ ao da Equa¸ c˜ ao Global

As express˜ oes (2.24) a (2.27) permitem calcular algumas propriedades do elemento de barra plana. Em geral, uma treli¸ca ´e constitu´ıda de v´ arias barras. Assim, no estudo num´erico de uma treli¸ca, obt´em-se as matrizes e vetores de carregamentos globais pela superposi¸c˜ ao das grandezas calculadas para cada um dos elementos de barra. Para ilustrar o processo de obten¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de equil´ıbrio global, considere a estrutura reticulada mostrada na Figura 2.7. Deseja-se analisar esta treli¸ca estaticamente sob a a¸c˜ ao de uma for¸ca concentrada de 1000 kgf. As barras 1 a 4 possuem a´rea ao √ da se¸c˜ transversal igual a 1 cm2 , enquanto para as barras 5 e 6 tˆem-se uma a´rea de 2 cm2 . O m´ odulo de elasticidade longitudinal do material ´e 21 × 105 kgf /cm2 . Os seguintes passos devem ser adotados para a solu¸c˜ ao do problema proposto: 1. Adota-se um sistema de referˆencia e numeram-se os n´ os, especificando-se as coordenadas nodais indicadas na Tabela 2.1. Deve-se, ent˜ ao, numerar os graus de liberdades dos n´ os. Observa-se, neste caso, que cada n´ o possui duas vari´ aveis u e v correspondentes aos deslocamentos nas dire¸c˜ oes globais X e Y . Este procedimento est´ a ilustrado na Figura 2.8. 2. Os n´ os de um elemento definem a sua incidˆencia nodal. Assim, deve-se numerar os elementos, indicando para cada um deles a sua incidˆencia nodal. A partir da´ı, calculam-se os comprimentos das barras e os co-senos diretores definindo a orienta¸c˜ ao de cada elemento. A Tabela 2.2 resume estas grandezas. 3. Utilizando-se a express˜ ao (2.24) e as informa¸c˜ oes contidas na Tabela 2.2, calculam-se as matrizes de rigidez de cada elemento como apresentado a seguir.

˜ DA EQUAC ˜ GLOBAL 2.5. DETERMINAC ¸ AO ¸ AO

15

1000 Kgf

21 cm

21 cm

Figura 2.7: Treli¸ca analisada estaticamente.

Y

4

2

i

8

= grau de liberdade i

4

4

3

7

5

= elemento i

i

1

3

i

2 6

1

1

= no i

6

3

5

X 2

Figura 2.8: Numera¸c˜ ao dos n´ os, graus de liberdade e elementos.

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

16

Numero do n´ o 1 2 3 4

x [cm] 0 0 21 21

y [cm] 0 21 0 21

Tabela 2.1: Coordenadas nodais. Elemento 1 2 3 4 5 6

Incidˆencia 1-2 1-3 3-4 2-4 2-3 1-4

l [cm] 21 21 21 21 √ 21√2 21 2

´ Area (cm2 ) 1 1 1 √1 √2 2

c 0 1 0 √1 −√ 2/2 2/2

s 1 0 1 √0 √2/2 2/2

Tabela 2.2: Incidˆencia, comprimento, a´rea e co-senos diretores dos elementos de barra. Elementos 1 e 2 :    

[K1 ] = 

0 0 0 1 0 0 0 −1



0 0 0 −1    × 105 0 0  0 1



1 0 −1 0

0 −1 0 0 0 0    × 105 0 1 0  0 0 0



1 0 −1 0

0 −1 0 0 0 0    × 105 0 1 0  0 0 0

  

[K2 ] = 



Elementos 3 e 4 :    

[K3 ] = 

0 0 0 1 0 0 0 −1



0 0 0 −1    × 105 0 0  0 1

  

[K4 ] = 



Elementos 5 e 6 :    

[K5 ] = 



1 −1 −1 1 −1 1 1 −1  1  × 105 −1 1 1 −1  2 1 −1 −1 1

   

[K6 ] = 



1 1 −1 −1 1 1 −1 −1  1  × 105 −1 −1 1 1 2 −1 −1 1 1

4. Para se obter a matriz de rigidez global [Kg ] da treli¸ca basta superpor as matrizes dos elementos de barra nas linhas e colunas correspondentes a numera¸c˜ ao dos graus de liberdade dos n´ os compartilhados pelos elementos. Assim, a Tabela 2.3 indica

˜ DA EQUAC ˜ GLOBAL 2.5. DETERMINAC ¸ AO ¸ AO Elemento 1 2 3 4 5 6

Incidˆencia 1-2 1-3 3-4 2-4 2-3 1-4

17

Graus de Liberdade 1234 1256 5678 3478 3456 1278

Tabela 2.3: Graus de liberdade correspondentes a`s linhas e colunas nas quais devem ser superpostas as matrizes dos elementos. para cada elemento as linhas e colunas nas quais devem ser somadas as matrizes dos elementos. Como o n´ umero total de graus de liberdade ´e 8, tem-se que a matriz de rigidez global ´e de ordem 8. Para exemplificar, considere a superposi¸c˜ ao da matriz do elemento 6. As linhas e colunas da matriz de rigidez do elemento 6 s˜ ao somadas aos coeficientes da matriz global das linhas 1, 2, 7 e 8. 

      1 [Kg ] = × 105   2     

1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 0 −1 −1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0



0 −1 −1 0 −1 −1    0 0 0   0 0 0   0 0 0   0 0 0    0 1 1  0 1 1

Realizando o mesmo procedimento para os demais elementos, obt´em-se a seguinte matriz de rigidez global para a estrutura da Figura 2.7. 

      1 5 [Kg ] = × 10  2     



3 1 0 0 −2 0 −1 −1 1 3 0 −2 0 0 −1 −1    0 0 3 −1 −1 1 −2 0   0 −2 −1 3 1 −1 0 0   −2 0 −1 1 3 −1 0 0   0 0 1 −1 −1 3 0 −2    −1 −1 −2 0 0 0 3 1  −1 −1 0 0 0 −2 1 3

Observa-se que a matriz [Kg ] ´e sim´etrica.

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

18

5. A treli¸ca considerada est´a submetida a uma for¸ca concentrada de −1000 kgf aplicada ao grau de liberdade 8. Assim, tem-se o seguinte vetor global de for¸cas concentradas {Pg } = { 0 0 0 0 0 0 0 −1000 }T 6. A partir da matriz de rigidez e do vetor de carregamento globais, deve-se aplicar as condi¸c˜ oes de contorno para os n´ os 1 e 2. Isto equivale a elimina¸c˜ ao das linhas e colunas da matriz global, assim como das linhas do vetor de carregamento, correspondentes a numera¸c˜ ao dos graus de liberdade dos n´ os 1 e 2, ou seja 1, 2, 3 e 4, pois estes deslocamentos s˜ ao nulos. Assim,

[Kg ] =



 1  × 105   2



3 −1 0 0 −1 3 0 −2    0 0 3 1  0 −2 1 3

{Pg } = { 0 0 0 −1000 }T 7. Deve-se, ent˜ ao, resolver um sistema de equa¸c˜ oes para a obten¸c˜ ao dos deslocamentos dos n´ os 3 e 4. Portanto, [Kg ]{U } = {Pg } ou em forma expandida 

 1  × 105   2



3 −1 0 0  U5     −1 3 0 −2  U6  0 0 3 1  U   7 0 −2 1 3  U8

    

    

0 0 =   0       −1000

        

Para a solu¸c˜ ao deste sistema de equa¸c˜ oes, pode-se aplicar o m´etodo de Cholesky descrito a seguir.

2.5.1

Decomposi¸c˜ ao de Cholesky

Considere o sistema de equa¸c˜ oes lineares [A]{x} = {b} sendo [A] uma matriz sim´etrica e positiva-definida de ordem n. Deseja-se encontrar a solu¸c˜ ao {x} para este sistema, ou seja, {x} = [A]−1 {b}

˜ DA EQUAC ˜ GLOBAL 2.5. DETERMINAC ¸ AO ¸ AO

19

Observa-se, ent˜ ao, que deve-se inverter a matriz [A]. No entanto, este procedimento apresenta, geralmente, algumas dificuldades num´ericas. Assim, aplicam-se outras t´ecnicas de solu¸c˜ ao, tais como o m´etodo de Cholesky. Neste caso, a matriz [A] ´e decomposta como o produto de uma matriz triangular inferior [L] pela sua transposta [L]T triangular superior, ambas de ordem n. Logo, [A]n×n = [L]n×n [L]Tn×n

(2.28)

Assim, [A]{x} = {b} → [L][L]T {x} = {b}

(2.29)

Denotando-se, {y} = [L]T {x}

(2.30)

vem que [L]{y} = {b}

(2.31)

Assim, resolve-se o sistema triangular inferior (2.31) e obt´em-se a solu¸c˜ ao {y} a qual deve ser substitu´ıda em (2.30) para se determinar o vetor de inc´ ognitas {x}, atrav´es da resolu¸c˜ ao de um sistema de equa¸c˜ oes triangular inferior. No entanto, deve-se decompor a matriz [A] na forma (2.28) para se determinar os elementos lij . Logo,        

a11 a21 a31 .. .

a12 a22 a32 .. .

a13 a23 a33 .. .

. . . a1n . . . a2n . . . a3n .. ... .

an1 an2 an3 . . . ann





      =      

l11 l21 l31 .. .

0 l22 l32 .. .

0 0 l33 .. .

... ... ...

0 0 0 .. .

... l1n l2n l3n . . . lnn

       

l11 l12 l13 0 l22 l23 0 0 l33 .. .. .. . . . 0 0 0

. . . l1n . . . l2n . . . l3n . . . . .. . . . lnn

onde lij = lji (i, j = 1, . . . , n). Efetuando-se o produto indicado, determinam-se os elementos lij para cada uma das linhas da matriz [L]. Logo, Linha 1 :  2 a11 = l11     a =l l 12 11 12  a = l 13 11 l13   

a1n = l11 l1n

→ → → →

√ l11 = a11 12 l12 = al11 13 l13 = al11 a1n l1n = l11

       

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

20 Linha 2 :  2 2    a22 = l12 + l22

Linha 3 :

→ l22 = → l23 = → l2n =

a23 = l12 l13 + l22 l23    a =l l +l l 2n 12 1n 22 2n   a33 = l2 + l2 + l2 13 23 33 

q

2 a22 − l12

a23 −l12 l13 l22 a2n −l12 l1n l22

→ l33 =

a3n = l13 l1n + l23 l2n + l33 l3n → l3n =

q

2 − l2 a33 − l23 13

a3n −l13 l1n −l23 l2n l33

=

a3n −

P2

l l r=1 r3 rn

l33

Resumindo as express˜ oes anteriores vem que  i1/2 h   lii = aii − Pi−1 l2 Pi−1r=1 ri a − l l  ij  l = r=1 ri rj ij

2.5.2

lii

(i = 1, . . . , n)

(2.32)

(j = i + 1, . . . , n)

Aplica¸c˜ ao do M´ etodo de Cholesky

Para ilustrar a decomposi¸c˜ ao de Cholesky, considere o sistema de equa¸c˜ oes obtido na Se¸c˜ ao 2.5 reescrito da seguinte maneira    

1, 0 × 105 



3 −1 0 0  U5    U −1 3 0 −2   6  0 0 3 1  U   7 0 −2 1 3  U8

        

=

        

0 0 0 −2000

        

Os elementos da matriz triangular inferior [L] s˜ ao determinados como l11 = l12 = l22 = l13 = l14 = l23 = l24 =

√

p

a11 = 3 × 105 = 547, 723 a12 −1, 0 × 105 = = −182, 574 l11 547, 723

q

2 = a22 − l12

q

3 × 105 − (−182.574)2 = 516, 398

a13 =0 l11 a14 =0 l11 a23 − l12 l13 0 − (−182, 574)0 = =0 l22 516, 398 a24 − l12 l14 −2 × 105 − (−182, 574)0 = =0 l22 516, 398

˜ DA EQUAC ˜ GLOBAL 2.5. DETERMINAC ¸ AO ¸ AO l33 =

21

q

2 − l2 = 547, 723 a33 − l23 13

l34 =

a34 − l13 l14 − l23 l24 1 × 105 − 00 − 0(−397, 298)0 = = 182, 574 l33 547, 723

l44 =

q

2 − l2 − l2 = 341, 566 a44 − l14 24 34

Resolve-se, ent˜ ao, o seguinte sistema de equa¸c˜ oes triangular inferior     

547, 723 0 0 0 −182, 574 516, 398 0 0 0 0 547, 723 0 0 −387, 298 182, 574 341, 565

    y5        y      6 =    y7          

y8

0 0 0 −2000

cuja solu¸c˜ ao ´e obtida por substitui¸c˜ ao a frente, ou seja,   547, 723y5 = 0   

e

→ −182, 574y5 + 516, 398y6 = 0 →  574, 723y = 0 → 7    −387, 298y6 + 182, 574y7 + 341, 565y8 = −2000 →

y5 y6 y7 y8

        

=0 =0 =0 = −5, 8554

{y} = { 0 0 0 −5, 855 }T A partir da´ı, considera-se o sistema de equa¸c˜ oes triangular superior, determinando-se {U } da seguinte forma     

547, 723 −182, 574 0 0 0 516, 398 0 −387, 298 0 0 547, 723 182, 574 0 0 0 341, 565

ou seja,   341, 565U8 = −5, 855 →    547, 723U + 182, 574U = 0 → 7 8  516, 398U6 − 387, 298U8 = 0 →   

U8 U7 U6 547, 723U5 − 182, 574U6 = 0 → U5

    U5          U    6 =    U7          

U8

0 0 0 −5, 855

        

= −17, 143 × 10−3 cm = 5, 714 × 10−3 cm = −12, 857 × 10−3 cm = −4, 286 × 10−3 cm

Portanto, os deslocamentos do n´ os da treli¸ca s˜ ao dados por {U } = 1 × 10−3 { 0 0 0 0 −4, 286 −12, 857 5, 714 −17, 143 }T

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

22

2.5.3

C´ alculo das Deforma¸ c˜ oes e Tens˜ oes nos Elementos de Barra

Conhecidos os deslocamentos nodais, utilizam-se as express˜ oes (2.26) e (2.27) para o c´ alculo das deforma¸c˜ oes espec´ıficas e tens˜ oes nos elementos. Os valores obtidos est˜ ao apresentados na Tabela 2.4. Elemento 1 2 3 4 5 6

Deforma¸c˜ ao ( × 10−4 ) 0 −2, 04 −2, 04 −2, 72 2, 72 −2, 72

Tens˜ ao (σ [Kgf /cm2 ]) 0 −428, 57 −428, 57 −571, 43 428, 57 −571, 43

Tabela 2.4: Deforma¸c˜ ao espec´ıfica e tens˜ ao nos elementos da treli¸ca analisada. Tomando-se uma tens˜ ao normal admiss´ıvel de σ ¯ = 500 Kgf /cm2 para o a¸co, verificase que as barras 1, 2, 3 e 5 permanecem na fase el´ astica, enquanto que as barras 4 e 6 necessitam de redimensionamento. As novas a´reas m´ınimas para as barras 4 e 6 s˜ ao determinadas calculando-se inicialmente as for¸cas em cada barra como P = σA e dividindo-se os valores obtidos por σ ¯ . Logo, A4 =

(571, 43)(1) = 1, 14 cm2 , 500, 00

√ (571, 43)( 2) A6 = = 1, 61 cm2 . 500, 00 Como as tens˜ oes nas barras 1, 2, 3 e 5 s˜ ao inferiores a` tens˜ao admiss´ıvel dada, as a´reas das mesmas poderiam ser diminu´ıdas de forma an´ aloga. Em geral, quando se deseja dimensionar uma treli¸ca utilizando o MEF, emprega-se inicialmente uma a´rea unit´ aria para as barras e determinam-se as a´reas m´ınimas das barras utilizando o procedimento dado pela equa¸c˜ ao anterior.

2.6

Elemento de Viga Plana

O elemento de viga, mostrado na Figura 2.9 segundo um sistema local, pode estar submetido a esfor¸cos de flex˜ ao ao contr´ ario do elemento de barra, no qual aplicam-se apenas for¸cas axiais. Neste caso, assume-se que a se¸c˜ ao transversal ´e uniforme, o eixo da viga est´ a ao longo de uma linha reta e a rigidez de flex˜ ao ´e EJz .

23

2.6. ELEMENTO DE VIGA PLANA Y

M1 ,θ1

M2 ,θ2 1

2

X

l F1 , v 1

F2 , v 2

¯ Y¯ . Figura 2.9: Elemento de viga plana segundo o sistema de referˆencia local X As for¸cas transversais F1 , F2 e os momentos de flex˜ ao M1 , M2 est˜ ao aplicados sobre os n´ os 1 e 2, originando os deslocamentos v1 e v2 e rota¸c˜ oes θ1 e θ2 , respectivamente. Desta forma, a matriz de rigidez da viga ser´ a de ordem 4. Logo, tem-se que   F1   

    



 M1  =  F2        M2 

k11 k21 k31 k41

k12 k22 k32 k42

k13 k23 k33 k43

k14 k24 k34 k44

     v1  v1    "   #      θ  [K11 ] [K12 ]  θ1   1 = (2.33)    v2  [K21 ] [K22 ]  v2            

θ2

θ2

onde as submatrizes [Kij ] s˜ ao de ordem 2.

Para determinar estas submatrizes, considere os seguintes estados cinem´ aticos: 1. v2 = θ2 = 0: Assim, tem-se que a viga est´ a engastada em 2. A partir da teoria de viga, determinam-se a flecha v1 e a rota¸c˜ ao θ1 . Logo, v1 =

F1 L3 M1 L2 − 3EJz 2EJz

θ1 = −

F1 L2 M1 L + 2EJz EJz

Pode-se expressar as for¸cas em termos dos deslocamentos, obtendo-se a seguinte equa¸c˜ ao matricial, (

F1 M1

)

EJz = 3 L

"

12 6L 6L 4L2

#(

v1 θ1

)

= [K11 ]

(

v1 θ1

)

(2.34)

onde [K11 ] ´e uma das submatrizes da equa¸c˜ ao (2.33). As rea¸c˜ oes de apoio em 2 s˜ ao determinadas a partir das seguintes condi¸c˜ oes de equil´ıbrio

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

24

(a) FY = 0 : F1 + F2 = 0 P M2 = 0 : −F1 L + M1 + M2 = 0 (b) P

Em forma matricial, (

F2 M2

)

=

"

−1 0 L −1

#(

F1 M1

)

(2.35)

Substituindo (2.34) em (2.35), vem que (

F2 M2

)

EJz = 3 L

"

−12 −6L 6L 2L2

#(

v1 θ1

)

= [K21 ]

(

v1 θ1

)

(2.36)

sendo [K21 ] a submatriz indicada em (2.33). 2. v1 = θ1 = 0: Esta condi¸c˜ ao corresponde ao caso em que a viga est´ a engastada em 1. De forma an´ aloga ao caso anterior, obt´em-se as seguintes express˜ oes (

F2 M2

)

EJz = 3 L

"

12 −6L −6L 4L2

(

F1 M1

)

EJz = 3 L

"

−12 6L −6L 2L2

#(

v2 θ2

)

= [K22 ]

(

v2 θ2

)

(2.37)

e #(

v2 θ2

)

= [K12 ]

(

v2 θ2

)

(2.38)

Superpondo os dois casos de deslocamentos, determina-se a matriz de rigidez de viga no sistema local de referˆencia, ou seja,

[Ke ] =

2.7

EIz L3

    

12 6L −12 6L

6L 4L2 −6L 2L2

−12 −6L 12 −6L

6L 2L2 −6L 4L2

    

(2.39)

Exerc´ıcios Propostos

Exerc´ıcio 2.1 Dimensionar a treli¸ca ilustrada na Figura 2.10 sabendo-se que as barras s˜ ao de a¸co. Exerc´ıcio 2.2 Considere a treli¸ca ilustrada na Figura 2.11. Pede-se determinar as for¸cas em cada uma das barras usando os m´etodos dos n´ os e/ou das se¸co ˜es. Calcular as for¸cas e deslocamentos nodais usando o ANSYS. Adotar m´ odulo de elasticidade longitudinal E = 21 × 105 Kgf /cm2 e a ´rea da se¸ca ˜o transversal A = 1, 2 cm2 .

2.7. EXERC´ICIOS PROPOSTOS

25

100 Kgf

150 Kgf

20 cm

20 cm

Figura 2.10: Treli¸ca do exerc´ıcio 2.1.

0,9m

0,9m

1,8m

1,8m

500N

900N

4000N

2,4m

Figura 2.11: Treli¸ca do exerc´ıcio 2.2.

CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

26 8t

4 t.m

2m

3t

2 t/m

2 t.m

2m

4m

2m

Figura 2.12: Viga do exerc´ıcio 2.3. Exerc´ıcio 2.3 Considere a viga da Figura 2.12 submetida ao carregamento indicado. Pede-se tra¸car os diagramas da for¸ca cortante e momento fletor, assim como determinar a linha el´ astica da viga. Analisar a viga no programa ANSYS e comparar os resultados nas coordenadas nodais empregadas.

Cap´ıtulo 3

Equa¸ c˜ oes B´ asicas de Elasticidade Nesse cap´ıtulo, apresentam-se os estados de tens˜ ao e deforma¸c˜ ao para um meio cont´ınuo tridimensional. Considera-se ainda a lei de Hooke para materiais el´ asticos, lineares e isotr´ opicos. As for¸cas internas s˜ ao caracterizadas pelo conceito de tens˜ ao e o estado de tens˜ ao em cada ponto de um corpo s´ olido ´e dado pelo tensor de tens˜ oes de Cauchy, escrito atrav´es das componentes de tens˜ ao normal e de cisalhamento. O estado de deforma¸c˜ ao em cada ponto do corpo ´e tamb´em caracterizado por um tensor de deforma¸c˜ ao infinitesimal, contendo as componentes de deforma¸c˜ ao normal e angular. Ao final, deduzem-se as equa¸c˜ oes diferenciais de equil´ıbrio em termos de tens˜ ao para um corpo submetido a for¸cas de corpo e de superf´ıcie.

3.1

Estado Geral de Solicita¸ c˜ ao

Considere um corpo qualquer submetido a` a¸c˜ ao de um sistema de for¸cas externas, como mostrado na Figura 3.1. Verifica-se que este corpo apresentar´ a uma mudan¸ca de forma a qual ´e caracterizada por uma deforma¸c˜ ao. Se as for¸cas externas n˜ ao excederem um certo limite, que depende do material do corpo, a deforma¸ca˜o desaparece quando as for¸cas deixam de atuar. Admite-se ent˜ ao que os corpos s˜ ao perfeitamente el´ asticos, ou seja, que os mesmos retornam a sua forma inicial quando deixam de se aplicar as for¸cas externas. Sup˜ oe-se, ainda, que o material de um corpo el´ astico ´e homogˆeneo e distribu´ıdo continuamente ao longo de seu volume. Al´em disso, admite-se que o material ´e isotr´ opico, ou seja, que as propriedades el´ asticas s˜ ao as mesmas em todas as dire¸c˜ oes. Submetendo-se o corpo ilustrado na Figura 3.1 ao sistema de for¸cas indicado, verificase que o mesmo se deforma at´e que haja o equil´ıbrio entre as for¸cas externas aplicadas e as for¸cas internas resistentes presentes no interior do corpo. Torna-se interessante determinar a grandeza destas for¸cas internas. Para isso, suponha que o corpo seja dividido em duas partes atrav´es de um corte imagin´ ario ao longo de um plano gen´erico mm, e considere a parte inferior, como ilustrado na Figura 3.2. 27

˜ ´ CAP´ITULO 3. EQUAC ¸ OES BASICAS DE ELASTICIDADE

28

P1

P2

P3 m

m

P4

P6

P5

Figura 3.1: Corpo submetido a` a¸c˜ ao de um sistema de for¸cas externas.

δP δΑ m m

n

O

Z

σn

P4

T

σzz

O

O

τn P6

t

τ zx X

P5

Figura 3.2: Distribui¸c˜ ao de tens˜ ao na se¸c˜ ao transversal do corpo.

T

τ zy

Y

˜ 3.1. ESTADO GERAL DE SOLICITAC ¸ AO

29

Sobre a parte isolada atuam as for¸cas externas P~4 , P~5 , P~6 e uma distribui¸c˜ ao de for¸cas internas, admitida cont´ınua e n˜ ao-uniforme, respons´ avel pelo equil´ıbrio da parte isolada. A grandeza destas for¸cas internas ´e dada pelo conceito de tens˜ ao, ou seja, a for¸ca interna resultante por unidade de a´rea da superf´ıcie considerada. Tomando-se um ponto O pertencente a` se¸c˜ ao transversal de corte, seja δA a a´rea da superf´ıcie elementar contendo o ponto O. Denotando-se por δP~ a resultante das for¸cas internas na vizinhan¸ca de O, a tens˜ ao m´edia atuante na superf´ıcie elementar δA ´e dada por δP~ T˜ = δA Diminuindo-se continuamente a a´rea elementar δA, a tens˜ ao atuando no ponto O ser´ a δP~ T~ = lim δA→0 δA

(3.1)

A tens˜ ao T~ tem a mesma dire¸c˜ ao da resultante δP~ e como mostrado na Figura 3.2 pode ser decomposta em duas componentes • uma componente normal a` superf´ıcie: σn = tens˜ ao normal; • uma componente tangente a` superf´ıcie: τn = tens˜ ao de cisalhamento. Associando-se ao ponto O um sistema cartesiano de referˆencia pode-se decompor a tens˜ ao T~ em trˆes componentes, ou seja, • σzz = tens˜ ao normal atuante no plano z na dire¸c˜ ao do eixo z; • τzx = tens˜ ao de cisalhamento atuante no plano z na dire¸c˜ ao do eixo x; ao de cisalhamento atuante no plano z na dire¸c˜ ao do eixo y. • τzy = tens˜ No caso mais geral de solicita¸c˜ ao, tˆem-se 9 componentes de tens˜ ao presente em cada ponto do corpo, sendo 3 em cada plano coordenado, como ilustrado na Figura 3.3. O teorema de Cauchy estabelece que as componentes de tens˜ ao cisalhante atuantes em planos perpendiculares entre si s˜ ao iguais. Assim, em rela¸c˜ ao a` Figura 3.3, tem-se que τxy = τyx τxz = τzx

(3.2)

τyz = τzy Portanto, necessitam-se apenas de seis componentes para descrever as tens˜ oes atuantes num ponto de um corpo el´ astico solicitado por um sistema de esfor¸cos externos.

˜ ´ CAP´ITULO 3. EQUAC ¸ OES BASICAS DE ELASTICIDADE

30

Z

σzz τ zx

τ zy τyz

τxz τxy

σxx

σyy τyx Y

O

X

Figura 3.3: Componentes de um estado geral de tens˜ ao num ponto O do corpo s´ olido.

3.2

Estado Geral de Deforma¸ c˜ ao

No estudo da deforma¸c˜ ao de um corpo el´ astico, sup˜ oe-se a existˆencia de um n´ umero suficiente de restri¸c˜ oes para impedir seu deslocamento como corpo r´ıgido e consideram-se, em geral, apenas pequenas deforma¸c˜ oes. Estes pequenos deslocamentos das part´ıculas de um corpo deformado ser˜ ao denotados pelas componentes u, v, w nas dire¸c˜ oes dos eixos cartesianos x, y, z, respectivamente. Verifica-se que estes deslocamentos dependem da posi¸c˜ ao da part´ıcula, ou seja, u = u(x, y, z) v = v(x, y, z)

(3.3)

w = w(x, y, z) Al´em disso, observa-se que estas componentes s˜ ao grandezas muito pequenas variando continuamente ao longo do volume do corpo. Considere o corpo el´ astico da Figura 3.1 submetido ao sistema de for¸cas externas indicado. Toma-se, ent˜ ao, um elemento infinitesimal de volume ∆x ∆y ∆z, como ilustrado na Figura 3.4, e sejam u, v, w as componentes de deslocamento do ponto P. Deseja-se determinar as deforma¸c˜ oes espec´ıficas  do ponto P e as distor¸c˜ oes γ dos 3 planos cartesianos. A Figura 3.5 apresenta o plano xy do elemento infinitesimal da Figura 3.4, juntamente com a sua configura¸c˜ ao deformada. A deforma¸c˜ ao espec´ıfica em P na dire¸c˜ ao x ´e dada

˜ 3.2. ESTADO GERAL DE DEFORMAC ¸ AO

31

Z ∆y ∆x ∆z

P S

Q

Y

R

X

Figura 3.4: Elemento infinitesimal de um corpo el´ astico. pela seguinte express˜ ao, ∆x0 − ∆x ∆x→0 ∆x

xx = lim

(3.4)

A partir da Figura 3.5, verifica-se que ∆x0 = ∆x + u + ∆u − u = ∆x + ∆u A varia¸c˜ ao de deslocamento ∆u ´e dada por ∆u =

∂u ∆x ∂x

Substituindo estas rela¸c˜ oes em (3.4) vem que ∂u ∆x ∆x + ∆u − ∆x ∆u ∂u ∂u = lim = lim∆x→0 ∂x = lim = ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∂x ∆x ∆x ∂x

xx = lim

Analogamente, para a deforma¸c˜ ao espec´ıfica no ponto P na dire¸c˜ ao y ∆y 0 − ∆y ∆y→0 ∆y

yy = lim

sendo ∆y 0 = ∆y + ∆v e ∆v = yy

∂v ∂y ∆y.

Assim,

∂v ∆y + ∆v − ∆y ∆v ∂v ∂v ∂y ∆y = lim = lim = lim = lim = ∆y→0 ∆y→0 ∆y→0 ∆v→0 ∆y ∆y ∆y ∂y ∂y

˜ ´ CAP´ITULO 3. EQUAC ¸ OES BASICAS DE ELASTICIDADE

32

du y

Y

R’ γ

2

S’

∆y’

Q’ γ

P’

v+ ∆ v

dv x

1

∆ x’

S

R

P

Q

v ∆y

∆x u u+ ∆ u

X

Figura 3.5: Plano xy do elemento infinitesimal utilizado para a determina¸c˜ ao das deforma¸c˜ oes espec´ıficas xx , yy e distor¸c˜ ao γxy . As mesmas dedu¸c˜ oes anteriores podem ser aplicadas para se obter a deforma¸c˜ ao espec´ıfica zz na dire¸c˜ ao z. De forma geral, determinam-se as componentes de deforma¸c˜ ao espec´ıfica no ponto P como ∂u ∂x ∂v yy = (3.5) ∂y ∂w zz = ∂z Para a determina¸c˜ ao das distor¸c˜ oes apresentadas no plano xy, considere novamente a Figura 3.5. Neste caso, a distor¸c˜ ao ser´ a dada pela soma dos aˆngulos γ1 e γ2 indicando ˆ e PSR ˆ deixaram de ser retos. Assim, respectivamente, o quanto os aˆngulos SPQ xx =

γxy = γ1 + γ2

(3.6)

Os diferenciais de u e v nas dire¸c˜ oes y e x s˜ ao dados, respectivamente, por, du =

∂u ∆y ∂y

dv =

∂v ∆x ∂x

Por sua vez, as tangentes dos aˆngulos γ1 e γ2 s˜ ao determinados a partir das express˜ oes tan γ1 =

∂v ∂x ∆x ∆x0

=

∂v ∂x ∆x ∆x + ∂u ∂x ∆x

=

∂v ∂x

1 + xx

(3.7)

˜ 3.2. ESTADO GERAL DE DEFORMAC ¸ AO

tan γ2 =

∂u ∂y ∆y ∆y 0

=

∂u ∂y ∆y ∆y + ∂v ∂y ∆y

=

∂u ∂y

1 + yy

33

(3.8)

Como as deforma¸c˜ oes s˜ ao pequenas, pode-se aproximar as tangentes de γ1 e γ2 pelos pr´ oprios aˆngulos, ou seja, γ1 ≈ tan γ1

γ2 ≈ tan γ2

(3.9)

Al´em disso, observa-se que as deforma¸c˜ oes espec´ıficas xx e yy s˜ ao muito pequenas quando comparadas com a unidade podendo ser desprezadas. Logo, a partir de (3.8) e (3.9) vem que γ1 =

∂v ∂x

(3.10)

γ2 =

∂u ∂y

(3.11)

Substituindo em (3.6) as rela¸c˜ oes (3.10) e (3.11), obt´em-se a distor¸c˜ ao total γxy γxy =

∂v ∂u + ∂x ∂y

A mesma demonstra¸c˜ ao pode ser aplicada, de maneira an´ aloga, para os planos xz e yz. Portanto, de maneira geral, ∂u ∂v + ∂y ∂x ∂u ∂w + ∂z ∂x ∂v ∂w + ∂z ∂y

γxy = γxz = γyz =

(3.12)

As seis grandezas dadas em (3.5) e (3.12) s˜ ao denominadas componentes de deforma¸c˜ ao. Pode-se escrever estas rela¸c˜ oes em forma matricial como  xx      yy           

zz γxy γxz γyz

ou ainda,

        



 0    0 = ∂    ∂y     ∂    ∂z  

{} = [L]{u} sendo

∂ ∂x

0

0 ∂ ∂y

0 ∂ ∂x

0 ∂ ∂z

0 0   

   u     v  0    w  ∂  ∂x  ∂ ∂z

(3.13)

∂ ∂y

(3.14)

˜ ´ CAP´ITULO 3. EQUAC ¸ OES BASICAS DE ELASTICIDADE

34

• {} = vetor com as componentes de deforma¸c˜ ao do ponto; • [L] = operador diferencial; • {u} = vetor com as componentes de deslocamento do ponto.

3.3

Deforma¸ c˜ oes T´ ermicas

Em alguns casos, o corpo em estudo est´ a submetido a` elevadas temperaturas fazendo surgir no seu interior tens˜ oes provenientes de efeitos t´ermicos. Tomando-se um elemento infinitesimal de comprimento ∆l de um corpo el´ astico, sob a a¸c˜ ao de uma varia¸c˜ao de temperatura T, tem-se que este elemento apresentar´ a uma expans˜ ao caracterizada por um novo comprimento ∆l0 tal que ∆l0 = ∆l(1 + αT ) sendo α o coeficiente de expans˜ ao t´ermica. Para materiais homogˆeneos e isotr´ opicos, este coeficiente ´e independente da dire¸c˜ ao e posi¸c˜ ao do elemento, dependendo apenas da temperatura. a dada por Portanto, a deforma¸c˜ ao t´ermica T ser´ T =

∆l0 − ∆l = αT ∆l

(3.15) T

∆l ∆ l’

Figura 3.6: Elemento infinitesimal submetido a um gradiente de temperatura T. Assim, tomando-se um elemento infinitesimal de um corpo isotr´ opico sujeito a uma varia¸c˜ ao de temperatura T , verifica-se uma expans˜ ao uniforme n˜ ao ocorrendo distor¸c˜ oes angulares. O elemento continuar´ a retangular surgindo apenas tens˜ oes normais, sendo nulas as tens˜ oes de cisalhamento. Pode-se generalizar a equa¸c˜ ao (3.15) segundo as dire¸c˜ oes x, y e z, ou seja, Txx = αT

35

3.4. LEI DE HOOKE Tyy = αT

(3.16)

Tzz = αT

3.4

Lei de Hooke

Considere um corpo el´ astico submetido a um sistema de for¸cas e uma distribui¸c˜ ao de temperaturas. As componentes de deforma¸c˜ ao e tens˜ ao presentes nos pontos deste corpo podem ser relacionadas atrav´es da lei de Hooke, ou seja, 1 [σxx − µ(σyy + σzz )] + αT E 1 [σyy − µ(σxx + σzz )] + αT E 1 [σzz − µ(σxx + σyy )] + αT E τxy G τxz G τyz G

xx = yy = zz = γxy = γxz = γyz =

(3.17)

sendo • µ = coeficiente de Poisson; • E = m´ odulo de elasticidade longitudinal do material; • G = m´ odulo de elasticidade transversal do material. Observa-se que os m´ odulos de elasticidade E e G est˜ ao relacionados da seguinte maneira G=

E 2(1 + µ)

(3.18)

As rela¸c˜ oes em (3.18) podem ser escritas na seguinte forma matricial  xx      yy     zz

 γxy     γxz   

γyz

        



  1   =    E         

1 −µ −µ 0 0 0 −µ 1 −µ 0 0 0 −µ −µ 1 0 0 0 0 0 0 2(1 + µ) 0 0 0 0 0 0 2(1 + µ) 0 0 0 0 0 0 2(1 + µ)

                  

σxx σyy σzz τxy τxz τyz

                

+αT

  1          1      1  

(3.19)

 0          0      

0

˜ ´ CAP´ITULO 3. EQUAC ¸ OES BASICAS DE ELASTICIDADE

36

Em alguns casos, torna-se interessante expressar as componentes de tens˜ ao em fun¸c˜ ao das componentes de deforma¸ca˜o. Neste caso, obt´em se a seguinte rela¸c˜ ao matricial  σxx      σyy           

σzz τxy τxz τyz

        



=

       

−

    E  (1 + µ)(1 − 2µ)    

1−µ µ µ µ 1−µ µ µ µ 1−µ 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

1−2µ 2

0 0 0 0 0

1−2µ 2

0 0

1−2µ 2

0

  1          1      EαT  1  0  1 − 2µ          0      

                 

xx yy zz γxy γxz γyz

Pode-se expressar a rela¸c˜ ao anterior na forma resumida {σ} = [D]{} − αT [DT ]

(3.21)

com • {σ} = vetor com as componentes de tens˜ ao; • {} = vetor com as componentes de deforma¸c˜ ao; • [D] = matriz de elasticidade     E  [D] = (1 + µ)(1 − 2µ)    

1−µ µ µ µ 1−µ µ µ µ 1−µ 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• [DT ] = matriz de elasticidade t´ermica

[DT ] =

  1          1      1  

E 0  1 − 2µ          0       0

       

(3.20)

0



        

0 0 0 1−2µ 2

0 0

0 0 0 0 1−2µ 2

0

0 0 0 0 0 1−2µ 2

         

˜ NUM PONTO 3.5. ESTADO DE TENSAO

37

Pr´e-multiplicando (3.21) por [D]−1 e isolando {} obt´em-se, {} = [D]−1 {σ} + αT [D]−1 [DT ]

(3.22)

sendo, 

[D]−1

  1   =  E  

1 −µ −µ 0 0 0 −µ 1 −µ 0 0 0 −µ −µ 1 0 0 0 0 0 0 2(1 + µ) 0 0 0 0 0 0 2(1 + µ) 0 0 0 0 0 0 2(1 + µ)

        

Observa-se que [D]−1 [DT ] = {IT } sendo {IT } = { 1 1 1 0 0 0 }T . Logo, a equa¸c˜ ao (3.22) pode ser simplificada como {} = [D]−1 {σ} + αT {IT }

(3.23)

Esta rela¸c˜ ao ´e a express˜ ao matricial reduzida da equa¸c˜ ao (3.19).

3.5

Estado de Tens˜ ao num Ponto

Dois tipos de for¸cas externas podem atuar sobre um corpo: for¸ cas de superf´ıcie : s˜ ao as for¸cas distribu´ıdas sobre a superf´ıcie do corpo, tais como a press˜ ao de um corpo sobre outro. Ser˜ ao denotadas por Φx , Φy , Φz as componentes das for¸cas de superf´ıcie nas dire¸c˜ oes x, y, z, respectivamente. for¸ cas de massa ou volume : s˜ ao as for¸cas distribu´ıdas ao longo do volume do corpo, tais como as for¸cas gravitacionais e magn´eticas ou de in´ercia caso o corpo esteja em movimento. As componentes de for¸cas de massa ser˜ ao designadas por χx , χy , χz segundo os eixos coordenados x, y, z, respectivamente. Observa-se que o peso espec´ıfico do corpo ´e uma for¸ca de massa. Considere o corpo s´ olido mostrado na Figura 3.7 submetido ao sistema de for¸cas indicado. Pretende-se determinar a tens˜ ao atuante num ponto O do seu interior. Verifica-se que esta tens˜ ao depende n˜ ao apenas do ponto, mas tamb´em do plano passando pelo ponto O. Tomam-se os seguintes planos passando pelo ponto O: ~ dada em rela¸c˜ Plano mm : definido pela sua normal M ao ao sistema de referˆencia pelos co-senos diretores,

˜ ´ CAP´ITULO 3. EQUAC ¸ OES BASICAS DE ELASTICIDADE

38

P1

Y

P

2

P3 X

n

N

M

m

m

Z

O

n P4

P6 P5

Figura 3.7: Corpo s´ olido submetido a um sistema de for¸cas externas. lM = cos M x

mM = cos M y

nM = cos M z

~ dada em rela¸c˜ Plano nn : definido pela sua normal N ao ao sistema de referˆencia pelos co-senos diretores, lN = cos N x

mN = cos N y

nN = cos N z

A Figura 3.8 apresenta a parte inferior do corpo s´ olido da Figura 3.7 quando se faz um corte imagin´ ario pelo planos mm e nn. As tens˜ oes m´edias T˜m e T˜n atuantes no ponto O segundo os dois planos s˜ ao as seguintes δF~m T˜m = δA

(3.24)

δF~n T˜n = δA

(3.25)

sendo • δF~m = resultante das for¸cas internas na vizinhan¸ca do ponto O quando se passa o plano mm. • δF~n = resultante das for¸cas internas na vizinhan¸ca do ponto O quando se passa o plano nn. • δA = a´rea elementar na vizinhan¸ca do ponto O.

˜ NUM PONTO 3.5. ESTADO DE TENSAO

39

δ Fm

δΑ

δΑ

δ Fn

n

m

m

O

O

n

P4

P4

P6 P5

P5

P6

Figura 3.8: Partes inferiores do corpo s´ olido obtidas pelos cortes atrav´es dos planos mm e nn. Para os dois casos, a tens˜ ao atuante no ponto O ´e determinada tomando-se os limites para as rela¸c˜ oes (3.24) e (3.25). Logo, δF~m T~m = lim δ→0 δA

(3.26)

δF~n T~n = lim δ→0 δA

(3.27)

Portanto, no ponto O atuam tantas tens˜ oes quantos s˜ ao os planos que podem ser passados atrav´es de O. Denomina-se de estado de tens˜ ao no ponto ao conjunto de todas as tens˜ oes atuantes em O. No entanto, necessitam-se determinar apenas as tens˜ oes atuantes segundo 3 planos coordenados para caracterizar o estado de tens˜ ao num ponto. No caso mais geral de solicita¸c˜ ao de um corpo el´ astico, tˆem-se seis componentes de tens˜ ao atuantes nos pontos deste corpo. Suponha que sejam conhecidas as componentes de tens˜ ao no ponto O, segundo um sistema de referˆencia cartesiano, como indicado na Figura 3.9. Considera-se, ent˜ ao, no ponto O um tetraedro formado por 3 planos ortogonais e um plano p, como ilustrado na Figura 3.10. A normal P~ ´e dada pelos co-senos diretores l, m e n em rela¸c˜ ao aos eixos coordenados x, y, z, l = cos P x

m = cos P y

n = cos P z

(3.28)

Sendo A a a´rea da face BCD do tetraedro, tem-se que as a´reas das demais faces s˜ ao obtidas pela proje¸c˜ ao sobre os trˆes planos coordenados x, y, z. Portanto, ´ • Area da face OCD: Al;

˜ ´ CAP´ITULO 3. EQUAC ¸ OES BASICAS DE ELASTICIDADE

40

P1

Z

P

2

σ zz

P3

Z

τ zx

τ zy

σyy

τ xz O

τ yx

τ xy

σ xx

Y

τ yz Y

P4

O

X

X P6 P5

Figura 3.9: Componentes de tens˜ ao no ponto O do corpo s´ olido.

Z

C N

∼ σ xx ∼ τ xy

∼ τ yx ∼ σ yy

∼ τ xz

h

∼ τ yz

∼ τ zx

O

∼ τ zy

Y D

∼ σ zz

B

X

Figura 3.10: Tetraedro elementar no ponto O e suas componentes m´edias de tens˜ ao.

˜ NUM PONTO 3.5. ESTADO DE TENSAO

41

´ • Area da face OBC: An; ´ • Area da face OBD: Am. Uma vez que as tens˜ oes variam continuamente ao longo do volume do corpo, tem-se que as tens˜ oes m´edias atuando nas faces do tetraedro tendem as componentes de tens˜ ao no plano O quando a altura h se aproxima de zero. As componentes de tens˜ ao m´edia nas faces do tetraedro, segundo os eixos x,y,z s˜ ao denotadas por, • Face ABC: T˜x , T˜y , T˜z ; • Face OCD: σ ˜xx , τ˜xy , τ˜xz ; • Face OBC: τ˜yz , σ ˜yy , τ˜yz ; • Face OBD: τ˜zx , τ˜zy , σ ˜zz . Da mesma forma, χx , χy , χz indicam as for¸cas de volume nas dire¸c˜ oes x, y, z, respectivamente. Por sua vez, o volume do tetraedro ´e 13 Ah. Logo, as condi¸c˜ oes de equil´ıbrio do tetraedro s˜ ao as seguintes 1)

X

2)

X

3)

X

1 Fx = 0 : T˜x A − σ ˜xx Al − τ˜xy Am − τ˜xz An − χx Ah = 0 3 1 Fy = 0 : T˜y A − τ˜yx Al − σ ˜yy Am − τ˜yz An − χy Ah = 0 3

(3.29)

1 Fz = 0 : T˜z A − τ˜zx Al − τ˜zy Am − σ ˜zz An − χz Ah = 0 3

Fazendo a altura h do tetraedro tender a zero, o plano P~ passar´ a pelo ponto O e as tens˜ oes m´edias em cada face tendem a`s tens˜ oes neste ponto, ou seja, h→0 →

(

σ ˜ii → σii i = x, y, z τ˜ij → τij i, j = x, y, z

Simplificando as equa¸c˜ oes (3.29) e tomando-se o limite quando h → 0 tem-se que ˜xx l − τ˜xy m − τ˜xz n − χx h] = 0 lim [T˜x − σ

h→0

lim [T˜y − τ˜xy l − σ ˜yy m − τ˜yz n − χy h] = 0

h→0

lim [T˜z − τ˜xz l − τ˜yz m − σ ˜zz n − χz h] = 0

h→0

˜ ´ CAP´ITULO 3. EQUAC ¸ OES BASICAS DE ELASTICIDADE

42 Obt´em-se ent˜ ao

Tx = σxx l + τxy m + τxz n Ty = τxy l + σyy m + τyz n Tz = τxz l + τyz m + σzz n As express˜ oes anteriores podem ser expressas na seguinte forma matricial,     Tx  







σxx τxy τxz   l     Ty =  τxy σyy τyz  m     T   τxz τyz σzz  n  z

(3.30)

ou ainda,

{T } = [Tσ ]O {p}

(3.31)

sendo • {T } = vetor com as componentes de tens˜ ao no ponto O nas dire¸c˜ oes x,y,z segundo o plano p; ao no ponto O segundo os 3 planos • [Tσ ]O = matriz com as componentes de tens˜ coordenados x,y,z, sendo denominada tensor de tens˜ ao no ponto O ; • {p} = vetor com os co-senos diretores da normal P~ do plano gen´erico p.

3.6

Equa¸ c˜ oes Diferenciais de Equil´ıbrio

Na se¸c˜ ao anterior, apresentou-se o estado de tens˜ ao num ponto O de um corpo el´ astico. Deseja-se agora estudar a varia¸c˜ ao de tens˜ ao na vizinhan¸ca do ponto O. Para isso, considere o pequeno paralelep´ıpedo de arestas ∆x, ∆y, ∆z, ilustrado na Figura 3.11, representando pequenos incrementos nas coordenadas do ponto O, juntamente com as componentes de tens˜ ao m´edia atuantes em cada uma das faces. Designam-se por 1, 2, 3, 4, 5, 6 os pontos m´edios das faces do elemento da Figura 3.11. A partir da´ı, as tens˜ oes normais m´edias nas faces 1 e 2 s˜ ao denotadas por (˜ σxx )1 e (˜ σxx )2 . Para as demais componentes utiliza-se uma nota¸c˜ ao similar. Como o paralelep´ıpedo ´e pequeno, as for¸cas presentes nas faces do mesmo s˜ ao obtidas pela multiplica¸c˜ ao da tens˜ ao pela a´rea da face. As for¸cas de volume s˜ ao indicadas por χx , χy e χz segundo os trˆes eixos coordenados. As condi¸c˜ oes de equil´ıbrio do paralelep´ıpedo elementar s˜ ao dadas por 1)

X

Fx = 0 :

[(˜ σxx )1 − (˜ σxx )2 ]∆y∆z + [(˜ τxy )3 − (˜ τxy )4 ]∆x∆z + [(˜ τxz )5 − (˜ τxz )6 ]∆x∆y + χx ∆x∆y∆z = 0

˜ 3.6. EQUAC ¸ OES DIFERENCIAIS DE EQUIL´IBRIO

43

Z

σ zz ∆x

τ zx

5

τ zy τ yz σ yy

2 4

∆z

τ yx

τ xz

O

3

Y τ xy

6

σxx 1 ∆y X

Figura 3.11: Paralelep´ıpedo elementar com suas componentes m´edias de tens˜ ao. 2)

3)

X

Fy = 0 :

X

Fz = 0 :

[(˜ τyx )1 − (˜ τyx )2 ]∆y∆z + [(˜ σyy )3 − (˜ σyy )4 ]∆x∆z + [(˜ τyz )5 − (˜ τyz )6 ]∆x∆y + χy ∆x∆y∆z = 0

[(˜ τzx )1 − (˜ τzx )2 ]∆y∆z + [(˜ τzy )3 − (˜ τzy )4 ]∆x∆z + σzz )6 ]∆x∆y + χz ∆x∆y∆z = 0 [(˜ σzz )5 − (˜

Dividindo-se as rela¸c˜ oes anteriores pelo volume do paralelep´ıpedo ∆x ∆y ∆z e passandose ao limite pela contra¸c˜ ao do elemento vem que lim



[(˜ σxx )1 − (˜ σxx )2 ] [(˜ τxy )3 − (˜ τxy )4 ] [(˜ τxz )5 − (˜ τxz )6 ] + + + χx ∆x ∆y ∆z

lim



[(˜ τyx )1 − (˜ τyx )2 ] [(˜ σyy )3 − (˜ σyy )4 ] [(˜ τyz )5 − (˜ τyz )6 ] + + + χy ∆x ∆y ∆z

lim



τzy )3 − (˜ σzz )5 − (˜ [(˜ τzx )1 − (˜ τzx )2 ] [(˜ τzy )4 ] [(˜ σzz )6 ] + + + χz ∆x ∆y ∆z

∆x,∆y,∆z→0

∆x,∆y,∆z→0

∆x,∆y,∆z→0



=0



=0



=0

As fra¸c˜ oes presentes nas rela¸c˜ oes anteriores, representam derivadas parciais. Portanto, ∂σxx ∂τxy ∂τxz + + + χx = 0 ∂x ∂y ∂z

˜ ´ CAP´ITULO 3. EQUAC ¸ OES BASICAS DE ELASTICIDADE

44

∂τyx ∂σyy ∂τyz + + + χy = 0 (3.32) ∂x ∂y ∂z ∂τzx ∂τzy ∂σzz + + + χz = 0 ∂x ∂y ∂z As rela¸c˜ oes (3.32) devem ser satisfeitas em todos os pontos ao longo do volume do corpo el´ astico. No contorno do corpo estas tens˜ oes devem estar em equil´ıbrio com as for¸cas externas na superf´ıcie do s´ olido. Estas condi¸c˜ oes de equil´ıbrio podem ser determinadas utilizando as rela¸c˜ oes (3.30), bastando substituir Tx , Ty , Tz pelas componentes Φx , Φy , Φz das for¸cas de superf´ıcie. Logo, Φx = σxx l + σxy m + σxz n Φy = σxy l + σyy m + σyz n Φz = σxz l + σyz m + σzz n

(3.33)

Assim, para se determinar o estado de tens˜ ao em um corpo s´ olido submetido ` a a¸c˜ao de for¸cas externas, deve-se resolver as equa¸c˜ oes (3.32) de tal forma que a solu¸c˜ ao satisfa¸ca as condi¸c˜ oes de contorno (3.33). No entanto, o problema ´e estaticamente indeterminado, pois tˆem-se 3 express˜ oes em (3.32) para a determina¸c˜ ao de seis componentes de tens˜ ao. Para se obter a solu¸c˜ ao do problema, deve-se considerar, portanto, as deforma¸c˜ oes el´asticas do corpo, representadas pelas equa¸c˜ oes de compatibilidade.

3.7

Exerc´ıcios Propostos

Exerc´ıcio 3.1 A cinem´ atica de uma barra em tra¸ca ˜o/compress˜ ao simples ´e dada em forma de vetor como u(x, y, z) =

n

u(x) 0 0

oT

Determinar as componentes de deforma¸ca ˜o correspondentes, a equa¸ca ˜o constitutiva e a equa¸ca ˜o diferencial de equil´ıbrio em termos das tens˜ oes e da cinem´ atica. Exerc´ıcio 3.2 A cinem´ atica de um eixo em tor¸ca ˜o simples ´e dada em forma de vetor como u(x, y, z) =

n

0 −yθ(x) zθ(x)

oT

sendo θ(x) o a ˆngulo de tor¸ca ˜o. Determinar as componentes de deforma¸ca ˜o correspondentes, a equa¸ca ˜o constitutiva e a equa¸ca ˜o diferencial de equil´ıbrio em termos das tens˜ oes e da cinem´ atica. Exerc´ıcio 3.3 A cinem´ atica de uma viga em flex˜ ao pura ´e dada em forma de vetor como u(x, y, z) =

n

u(x) −y dv(x) dx

0

oT

Determinar as componentes de deforma¸ca ˜o correspondentes, a equa¸ca ˜o constitutiva e a equa¸ca ˜o diferencial de equil´ıbrio em termos das tens˜ oes e da cinem´ atica.

Cap´ıtulo 4

Equa¸ c˜ ao de Movimento Nesse cap´ıtulo, aplica-se o Princ´ıpio do Trabalho Virtual (PTV) para determinar a forma integral de equil´ıbrio de um corpo s´ olido submetidos a` for¸cas de superf´ıcie, volume e concentradas. A forma integral ´e geralmente denominada forma fraca no contexto do M´etodo de Elementos Finitos. Inicialmente, introduzem-se os conceitos de trabalho e energia de deforma¸c˜ ao. Posteriormente, apresentam-se o Princ´ıpio de D’alambert e o PTV. Considera-se ent˜ ao a discretiza¸c˜ ao de um meio cont´ınuo atrav´es de um processo de interpola¸c˜ ao usando as fun¸c˜ oes de forma. Aplica-se a forma discreta do vetor deslocamento no PTV e determina-se a forma discreta das equa¸c˜ oes de equil´ıbrio de um corpo em movimento. Com isso, as express˜ oes gerais das matrizes de massa e rigidez e vetores de for¸cas equivalentes s˜ ao deduzidas. Ao final, determinam-se essas grandezas para os elementos de barra e viga.

4.1

Trabalho e Energia de Deforma¸ c˜ ao

Submetendo-se um corpo el´ astico a um sistema de for¸cas externas, verifica-se que o mesmo se deforma at´e que haja o equil´ıbrio entre as for¸cas externas e as internas resistentes. A Figura 4.1 apresenta um diagrama for¸ca-deslocamento para a deforma¸c˜ ao de um corpo, considerado n˜ ao-linear para efeito de generalidade. A a´rea W indicada no diagrama ´e igual ao trabalho realizado pela for¸ca externa P devido a um deslocamento u do corpo. Para um sistema linear, tem-se que W =

1 Pu 2

Se o deslocamento u ´e elevado para u + δu, o incremento correspondente no trabalho W para um sistema linear ´e dado pela a´rea do trap´ezio indicado na Figura 4.1. Logo, ∆W = (P + P + δP )

δu 1 = P δu + δP δu 2 2 45

˜ DE MOVIMENTO CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ AO

46 P

δP

∆W

δu W

u

Figura 4.1: Diagrama for¸ca × deslocamento para a deforma¸c˜ ao de um corpo. Suponha que seja aplicado ao corpo s´ olido um sistema de for¸cas de superf´ıcie {Φ} e de volume {χ}. Variando-se os deslocamentos de u para u + δu, verifica-se que os trabalhos realizados pelas for¸cas de superf´ıcie e de volume s˜ ao dados, respectivamente, por δWΦi =

Z

δWχi =

Z

{Φ}T {δu} dS

(4.1)

S

(4.2)

V

{χ}T {δu} dV

Neste caso, {δu} = { δux δuy

δuz }T

{χ} = { χx χy χz }T

{Φ} = { Φx Φy Φz }T s˜ ao as componentes, segundo um sistema de referˆencia cartesiano, da varia¸c˜ ao dos deslocamentos, das for¸cas de superf´ıcie e de corpo, respectivamente. Os ´ındices S e V denotam a superf´ıcie e o volume do s´ olido. Neste caso, o incremento de trabalho δW ser´ a dado por δW = δWΦi + δWχi =

Z

S

{Φ}T {δu} dS +

Z

V

{χ}T {δu} dV

(4.3)

Caso se apliquem for¸cas concentradas sobre o corpo s´ olido, a integral de superf´ıcie em (4.1) deve incluir a soma de produtos das for¸cas pelas varia¸c˜ oes de deslocamentos correspondentes. Portanto, aplicando-se apenas for¸cas concentradas {P } = { P1 . . . Pn }T sobre o corpo, tem-se que, δW = {P }T {δU } = P1 δU1 + . . . + Pn δUn

(4.4)

˜ 4.1. TRABALHO E ENERGIA DE DEFORMAC ¸ AO

47

onde {δU } = { δU1 . . . δUn }T s˜ ao as varia¸c˜ oes dos deslocamentos nas dire¸c˜ oes das for¸cas indicadas em {P }. Da mesma forma, considera-se uma rela¸c˜ ao tens˜ ao-deforma¸c˜ ao n˜ ao-linear como pode ser observado na Figura 4.2. A a´rea sob a curva indicada representa a densidade de energia ¯i , expressa em unidades como kgf · m/m3 . A energia de deforma¸c˜ de deforma¸c˜ ao U ao Ui ¯ armazenada no corpo ´e obtida integrando-se Ui ao longo do volume do corpo, ou seja, Ui =

Z

¯i dV U

V

(4.5)

σ

δσ

∆U i

δε Ui

ε

Figura 4.2: Diagrama de tens˜ ao × deforma¸c˜ ao. Variando-se os deslocamentos de u para u + δu, ocorrer˜ ao incrementos correspondentes nas deforma¸c˜ oes normais  e angulares γ para  + δ e γ + δγ, respectivamente. Como as componentes de deforma¸c˜ ao s˜ ao independentes, para se obter a varia¸c˜ ao δU¯i da densidade de energia de deforma¸c˜ ao, basta multiplicar as componentes de tens˜ ao pelas respectivas componentes de deforma¸c˜ ao, e somar todas as parcelas. Portanto, ¯i = σxx δxx + σyy δyy + σzz δzz + τxy δγxy + τyz δγyz + τxz δγxz = {σ}T {δ} δU sendo {σ} = { σxx σyy σzz τxy τyz τxz }T

{δ} = { δxx δyy

δzz δγxy δγyz

δγxz }T

Portanto, a varia¸c˜ ao na energia de deforma¸c˜ ao pode ser obtida a partir de (4.5), ou seja, δUi =

Z

V

δU¯i dV =

Z

V

{σ}T {δ} dV

(4.6)

˜ DE MOVIMENTO CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ AO

48

4.2

Identidade de Green

Considere a seguinte integral de volume I=

Z

V

∂f ∂g dV ∂i ∂i

i = x, y, z

(4.7)

sendo f e g fun¸c˜ oes cont´ınuas de x, y, z ao longo do volume de integra¸c˜ ao. A Figura 4.3 ilustra uma superf´ıcie elementar de a´rea dS cujas proje¸c˜ oes nos planos coordenados podem ser obtidas a partir dos co-senos diretores l, m, n da normal a` superf´ıcie ~ . Logo, N dydz = ldS dzdx = mdS dxdy = ndS

(4.8)

Y N

dS

dz dy

X V

Z

Figura 4.3: Proje¸c˜ ao da a´rea elementar dS sobre o plano yz. Substituindo i = x em (4.7) e tomando-se a primeira rela¸c˜ ao em (4.8), determina-se por integra¸c˜ ao por partes, a seguinte express˜ ao Z Z Z

∂f ∂g dx dy dz = ∂x ∂x

Z Z S

x

∂f ∂g ldx dS = ∂x ∂x

Z

f

S

∂g l dS − ∂x

Z

f

V

∂2g dV ∂x2

(4.9)

Analogamente, tomando-se i = y e i = z na express˜ ao (4.7), obt´em-se Z Z Z

∂f ∂g dx dy dz = ∂y ∂y

Z Z

y

∂f ∂g mdy dS = ∂y ∂y

Z Z Z

∂f ∂g dx dy dz = ∂z ∂z

Z Z

z

∂f ∂g ndz dS = ∂z ∂z

S

S

Z

f

S

Z

S

f

∂g m dS − ∂y

∂g n dS − ∂z

Z

Z

f

V

f V

∂2g dV ∂y 2

∂2g dV ∂z 2

(4.10)

(4.11)

Somando-se as rela¸c˜ oes (4.9) a (4.11), chega-se a forma padr˜ ao da primeira identidade de Green.

4.3. PRINC´IPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

4.3

49

Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais

Considere um corpo el´ astico submetido a um sistema de for¸cas externas. Como se sabe este corpo vai se deformar at´e que exista o equil´ıbrio entre as for¸cas externas aplicadas e as for¸cas internas resistentes. Esta condi¸c˜ ao de equil´ıbrio pode ser expressa fazendo-se a resultante das for¸cas nas dire¸c˜ oes x, y, z iguais a zero. Portanto, P F =0 P x F =0 P y

(4.12)

Fz = 0

Pode-se multiplicar as rela¸c˜ oes (4.12) por constantes arbitr´ arias δu, δv, δw sem alterar a condi¸c˜ ao de equil´ıbrio do corpo. Assim, as for¸cas externas e o estado de tens˜ ao permanecem os mesmos. Logo, δu Fx = 0 P δv Fy = 0 P δw Fz = 0 P

(4.13)

Os multiplicadores δu, δv, δw s˜ ao denominados deslocamentos virtuais e representam varia¸c˜ oes dos deslocamentos dos pontos de um corpo el´ astico a partir da condi¸c˜ ao de equil´ıbrio. Estes deslocamentos devem ser compat´ıveis com as condi¸c˜ oes de continuidade do material e de contorno na superf´ıcie do corpo, como por exemplo a extremidade engastada de uma viga. Designando por u, v, w as componentes do deslocamento real de um ponto devido a`s cargas aplicadas e por δu, δv, δw as componentes de um deslocamento virtual, tem-se que estes s˜ ao fun¸c˜oes cont´ınuas de x, y, z, ou seja, δu = δu(x, y, z) δv = δv(x, yz) δw = δw(x, y, z) Correspondentes aos deslocamentos virtuais δu, δv, δw tem-se os incrementos nas 6 componentes de deforma¸c˜ ao, ou seja, ∂ δxx = δu ∂x ∂ δyy = δv ∂y ∂ δzz = δw (4.14) ∂z ∂ ∂ δγxy = δv + δu ∂x ∂y ∂ ∂ δγyz = δw + δv ∂y ∂z ∂ ∂ δγzx = δw + δu ∂x ∂z

˜ DE MOVIMENTO CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ AO

50

Toma-se, ent˜ ao, um elemento de volume dV = dx dy dz do corpo el´ astico considerado, submetido a`s for¸cas de superf´ıcie Φx dS

Φy dS

Φz dS

para cada elemento de superf´ıcie dS; e a`s for¸cas de corpo χx dV

χy dV

χz dV

nas dire¸c˜ oes x, y, z, respectivamente. Substituindo as condi¸c˜ oes de equil´ıbrio (3.32), as quais est˜ ao expressas em componentes de tens˜ ao, em (4.13) tem-se para o elemento de volume infinitesimal ∂σxx ∂τxy ∂τxz δu + δu + δu + χx δu = 0 ∂x ∂y ∂z ∂σyy ∂τyz ∂τyx δv + δv + δv + χy δv = 0 ∂x ∂y ∂z

(4.15)

∂τzx ∂τzy ∂σzz δw + δw + δw + χz δw = 0 ∂x ∂y ∂z Para considerar todo o corpo s´ olido, integram-se as rela¸c˜ oes (4.15) ao longo do volume do corpo. Logo, Z

∂σxx δudV + ∂x

Z

∂τxy δudV + ∂y

Z

V

∂τxz δudV + ∂z

Z

∂τxy δvdV + ∂x

Z

∂σyy δvdV + ∂y

Z

V

∂τyz δvdV + ∂z

Z

∂τxz δwdV + ∂x

Z

∂τyz δwdV + ∂y

V

V

V

V

V

V

Z

V

Z

χx δudV = 0

(4.16)

Z

χy δvdV = 0

(4.17)

∂σzz δwdV + ∂z

V

V

Z

V

χz δwdV = 0

(4.18)

Pode-se aplicar as equa¸c˜ oes (4.9) a (4.11) para os trˆes primeiros termos das rela¸c˜ oes em (4.16). Assim, Z

∂σxx δudV = ∂x

Z

S

σxx lδu dS −

Z

∂τxy δudV = ∂y

Z

S

τxy mδu dS −

Z

∂τxz δudV = ∂z

Z

V

V

V

S

τxz nδu dS −

Z

σxx

∂δu dV ∂x

Z

τxy

∂δu dV ∂y

V

V

Z

V

τxz

∂δu dV ∂z

4.3. PRINC´IPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

51

Substituindo-se as rela¸c˜ oes acima em (4.16), obt´em-se Z

S

(σxx l + τxy m + τxz n)δudS +

Z

V

δu σxx δ δx 

Z 

χx δudV =

V

δu + τxy δ δy







δu + τxz δ δz 



dV

Analogamente, para as express˜ oes (4.17) e (4.18) Z

S

Z

S

(τyx l + σyy m + τyz n)δvdS +

Z

(τzx l + τzy m + σzz n)δwdS +

Z

V

V

χy δvdV =

Z  V

χz δwdV =

δv τyx δ δx

Z  V





δw τzx δ δx 

δv + σyy δ δy 





δw + τzy δ δy 

δv + τyz δ δz





δw + σzz δ δz 

Somando-se as 3 express˜ oes anteriores, chega-se a` seguinte equa¸c˜ ao Z

S

Z

V

[(σxx l + τxy m + τxz n)δu + (τyx l + σyy m + τyz n)δv + (τzx l + τzy m + σzz n)δw]dS+ (χx δu + χy δv + χz δw)dV =

∂u ∂v τxy δ + ∂y ∂x 



Z  V

∂v ∂w + τyz δ + ∂z ∂y 

∂u σxx δ ∂x 





∂v + σyy δ ∂y 

∂w ∂u + τxz δ + ∂x ∂z 





∂w + σzz δ + ∂y

dV





(4.19)

Como os deslocamentos virtuais δu, δv, δw s˜ ao cont´ınuos, tem-se que ∂δu ∂u =δ ∂x ∂x 



Substituindo as rela¸c˜ oes em (4.15) e as condi¸c˜ oes de contorno dadas em (3.33) vem que Z

(Φx δu + Φy δv + Φz δw)dS +

Z

(σxx δxx + σyy δyy + σzz δzz + τxy δγxy + τyz δγyz + τxz δγxz )dV

S

V

Z

V

(χx δu + χy δv + χz δw)dV = (4.20)

Observa-se que os termos do lado esquerdo da equa¸c˜ ao (4.20) representam, respectivamente, os trabalhos das for¸cas de superf´ıcie e de corpo. J´ a o termo do lado direito constitui-se na energia de deforma¸c˜ ao armazenada no corpo. Substituindo (4.3) e (4.6) na equa¸c˜ ao (4.20), tem-se a seguinte rela¸c˜ ao matricial Z

S

{Φ}T {δu}dS +

Z

V

{χ}T {δu}dV =

Z

V

{σ}T {δ}dV

(4.21)

ou na forma reduzida, δW = δUi



(4.22)

A equa¸c˜ ao (4.22) representa o Princ´ıpio do Trabalho Virtual. Esse princ´ıpio estabelece que para uma estrutura el´ astica em equil´ıbrio, sob a a¸c˜ ao de um sistema de for¸cas externas e uma distribui¸c˜ ao de temperatura, o trabalho virtual δW ´e igual a energia de deforma¸c˜ ao virtual δUi , considerando-se um deslocamento virtual {δu} da estrutura em estudo.

dV



dV

˜ DE MOVIMENTO CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ AO

52

4.4

Discretiza¸ c˜ ao de um Sistema Cont´ınuo

Na maioria dos problemas estruturais em engenharia, verifica-se que a aplica¸c˜ ao direta das equa¸c˜ oes de elasticidade apresenta algumas dificuldades, devido, por exemplo, a geometria do corpo considerado, as condi¸c˜ oes de carregamento e de contorno, assim como as propriedades do material do corpo. Nestes casos, como n˜ ao ´e poss´ıvel obter a solu¸c˜ ao anal´ıtica do problema em estudo, recorre-se a algum tipo de aproxima¸c˜ ao para a solu¸c˜ ao do problema. Pode-se por exemplo, considerar a solu¸c˜ ao para apenas alguns pontos do corpo, sendo estes usualmente, denominados n´ os. O sistema assim obtido ´e denominado discreto e a solu¸c˜ ao para os demais pontos, n˜ ao considerados no sistema discreto, pode ser determinada pela interpola¸c˜ ao dos resultados calculados para os n´ os. Algumas estruturas em engenharia s˜ ao constitu´ıdas de elementos discretos conectados em alguns pontos, sendo a intera¸c˜ ao entre os elementos expressas em fun¸c˜ ao da compatibilidade de deslocamentos ou equil´ıbrio de for¸cas. Como exemplo, tˆem-se as estruturas reticuladas, as quais s˜ ao constitu´ıdas pela uni˜ ao de elementos de barra e/ou viga. No entanto, para os casos gerais, a estrutura possui infinitos pontos, constituindose um meio cont´ınuo. Nestes casos, pode-se aproximar este meio atrav´es de elementos inter-conectados em um n´ umero finitos de pontos nodais. A Figura 4.4 ilustra um modelo discreto de um corpo cont´ınuo. Desta forma, definem-se v´ arios subdom´ınios denominados elementos discretos ou elementos finitos. Observa-se que a solu¸c˜ ao obtida para o modelo discreto deve convergir para a solu¸c˜ ao anal´ıtica ou real do meio cont´ınuo. Para que isso seja poss´ıvel, deve-se deduzir algumas propriedades para os elementos finitos.

Nos

Elementos

Figura 4.4: Meio cont´ınuo discretizado por elementos finitos. A rela¸c˜ ao entre os deslocamentos dos sistemas cont´ınuo {u} e discreto {U } pode ser escrita como {u} = [N ]{U }

(4.23)

onde [N ] ´e uma matriz cujos elementos s˜ ao fun¸c˜ oes Nij (x, y, z) que realizam o mapeamento entre o modelo cont´ınuo e discreto. Os elementos Nij s˜ ao denominados fun¸c˜ oes de forma, sendo usualmente polinˆ omios.

˜ DE MOVIMENTO 4.5. EQUAC ¸ AO

53

As deforma¸c˜ oes do modelo discreto podem ser obtidas substituindo (4.23) em (3.13). Logo, {} = [L][N ]{U } = [B]{U }

(4.24)

onde [B] ´e a matriz de deforma¸c˜ ao contendo as derivadas parciais das fun¸c˜ oes de forma. Da mesma maneira, determinam-se as tens˜ oes substituindo (4.23) em (3.21), ou seja, {σ} = [D][B]{U } + αT [DT ]

(4.25)

Assim, conhecendo-se os deslocamentos dos n´ os, pode-se determinar as deforma¸c˜ oes e as distribui¸c˜ oes de tens˜ ao bastando, para isso, aplicar as equa¸c˜ oes (4.24) e (4.25).

4.5

Equa¸ c˜ ao de Movimento

Considere um corpo s´ olido cont´ınuo de massa m submetido a a¸c˜ ao de um sistema de for¸cas e se movimentando com uma acelera¸c˜ ao ~a. A segunda lei de Newton estabelece que ~ ´e igual ao produto da massa pela acelera¸c˜ a resultante das for¸cas externas F ao do corpo, ou seja, ¨ ~ = m~a = m~u F

(4.26)

¨ dos deslocamentos ~u dos pontos do onde a acelera¸c˜ ao ~a ´e dada pela derivada segunda ~u corpo considerado. A equa¸c˜ ao (4.26) pode ser escrita da seguinte forma ¨=0 ~ − m~u F

(4.27)

¨ ´e a for¸ca de in´ercia do corpo. A rela¸c˜ onde −m~u ao (4.27) ´e denominada Princ´ıpio de D’Alambert. Para isso, toma-se um elemento infinitesimal de volume dV e superf´ıcie dS de um corpo el´ astico. A massa dm deste elemento ´e expressa como dm = ρ dV

(4.28)

sendo ρ a densidade do material do corpo. Assume-se que sobre este corpo atuam for¸cas ~ de tal forma que as for¸cas externas s˜ de corpo χ ~ e de superf´ıcie Φ, ao dadas nesse caso por ~ =χ ~ dS F ~ dV + Φ

(4.29)

Assim, pode-se escrever o Princ´ıpio de D’Alambert para o elemento infinitesimal, ou seja, ¨ dV = 0 ~ dS − ρ~u χ ~ dV + Φ

˜ DE MOVIMENTO CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ AO

54

Denotando os vetores em forma matricial, tem-se {χ} dV + {Φ} dS − ρ{¨ u}dV = 0

(4.30)

Submete-se, ent˜ ao, este elemento a um deslocamento virtual {δu}. Aplicando-se este deslocamento a equa¸c˜ ao (4.30) e integrando-se ao longo do volume e da superf´ıcie do corpo s´ olido, vem atrav´es de (4.21) Z

V

{χ}T {δu}dV +

Z

S

{Φ}T {δu}dS −

Z

V

ρ{¨ u}T {δu}dV =

Z

V

{σ}T {δ}dV

(4.31)

Este sistema cont´ınuo pode, ent˜ ao, ser discretizado utilizando-se (4.23), ou seja, {¨ u} = [N ]{U¨ }

{δu} = [N ]{δU }

(4.32)

Da mesma forma, aplicando-se (4.24) vem que {δ} = [B]{δU }

(4.33)

Substituindo (4.25), (4.32) e (4.33) em (4.31), tem-se a formula¸c˜ ao para o sistema discreto. Logo, {P }{δU } + Z

V

Z

V

{χ}T [N ]{δU }dV +

Z

S

{Φ}T [N ]{δU } dS −

Z

V

¨ }T [N ]T [N ]{δU }dV = ρ{U

({U }T [B]T [D] − αT [DT ])T [B]{δU }dV

onde {P } representa as cargas concentradas aplicadas aos pontos discretos do corpo correspondentes aos deslocamentos {δU }. ¨ }, {δU } e {δU¨ } s˜ Como {U }, {U ao vetores constantes, podem ser retirados para fora dos integrandos. Assim, {P }{δU } + {U }T

Z

Z

V



T

{χ} [N ]dV

[B]T [D][B] dV

V



Z

{δU } +

{δU } −

S

Z



¨ T {Φ} [N ] dS {δU } − {U} T

αT [DT ]T [B] dV

V



Z

V

T

ρ[N ] [N ]dV



{δU } =

{δU }

e cancelando {δU } em ambos os lados da equa¸c˜ ao, vem que {P } + Z

V

Z

V

T

{χ}T [N ]dV +

Z



Z

[B] [D] dV

{U } −

S

¨ }T {Φ}T [N ] dS − {U

V

αT [DT ]T [B] dV

Z

V

ρ[N ]T [N ]dV



= (4.34)

˜ DE MOVIMENTO 4.5. EQUAC ¸ AO

55

A equa¸c˜ ao (4.34) pode ser rearranjada da seguinte maneira Z

ρ[N ]T [N ]dV

V

{P } −

Z

V



¨} + {U

αT [DT ]T [B] dV

Z

[B]T [D] dV

Z

{χ}T [N ]dV +

V

V



{U } = Z

S

{Φ}T [N ] dS

Em forma reduzida, ¯ ]{U¨ } + [K]{U ¯ ¯ + {F¯χ } + {F¯Φ } [M } = {P¯ } − {Q}

(4.35)

sendo ¯ ] = matriz de massa do corpo • [M Z

¯] = [M

ρ[N ]T [N ]dV

(4.36)

V

¯ = matriz de rigidez do corpo • [K] ¯ = [K]

Z

[B]T [D][B] dV

(4.37)

V

¯ = vetor de carregamento nodal t´ermico equivalente • {Q} ¯ = {Q}

Z

αT [DT ]T [B] dV

V

(4.38)

• {F¯χ } = vetor de for¸cas nodais equivalentes devido a {χ} {F¯χ } =

Z

V

{χ}T [N ]dV

(4.39)

• {F¯Φ } = vetor de for¸cas nodais equivalentes devido a {Φ} {F¯Φ } =

Z

S

{Φ}T [N ] dS

(4.40)

• {P¯ } = vetor de for¸cas concentradas. ¨ } = {0}. Para o caso de an´ alise est´ atica, o vetor de acelera¸c˜ ao ´e nulo, ou seja, {U Substituindo em (4.35) vem que ¯ [K]{U } = {F¯ }

(4.41)

˜ DE MOVIMENTO CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ AO

56

¯ + {F¯χ } + {F¯Φ }. onde {F¯ } = {P¯ } − {Q} Um outro tipo de an´ alise que pode ser efetuada ´e o estudo de vibra¸c˜ ao livre do corpo. Neste caso, n˜ ao s˜ ao aplicadas for¸cas externas, isto ´e, ¯ ]{U¨ } + [K]{U ¯ [M } = {0}

(4.42)

Supondo uma solu¸c˜ ao para o sistema de equa¸c˜ oes diferenciais (4.42) do tipo peri´odica {U } = {X}eiλt (4.43) √ onde i = −1 e {X} ´e a amplitude de movimento dos pontos discretos, tem-se que {U˙ } = iλ{X}eiλt

¨ } = −λ2 {X}eiλt {U

(4.44)

Substituindo (4.43) e (4.44) em (4.42), tem-se que ([K] − λ2 [M ]){X} = {0}

(4.45)

definindo-se assim, ao constituem-se nas frequˆencias √ um problema de autovalor, cuja solu¸c˜ naturais ωi = λi e modos de vibra¸c˜ ao {Xi } do corpo em estudo.

4.6

Elemento de Barra Plana

Para ilustrar a aplica¸c˜ ao das equa¸c˜ oes apresentadas nas se¸c˜ oes anteriores, considere o elemento de barra plana ilustrado na Figura 2.3. Este elemento resiste apenas a cargas axiais sendo desprez´ıvel o peso pr´ oprio da barra. Desta forma, as for¸cas de superf´ıcie e de volume s˜ ao nulas e a equa¸c˜ ao (4.35) se reduz a express˜ ao ¯ ]{U¨ } + [K]{U ¯ ¯ [M } = {P¯ } − {Q}

(4.46)

Atrav´es da equa¸c˜ ao (3.20), verifica-se que a tens˜ ao normal σxx presente na barra est´ a relacionada a` deforma¸c˜ ao espec´ıfica xx de maneira linear, ou seja, σxx = Exx → {σxx } = [D]{xx }

(4.47)

onde a matriz [D] se reduz, neste caso, apenas ao m´ odulo de elasticidade longitudinal E. A partir da equa¸c˜ ao (2.1), verifica-se que os deslocamentos u ao longo da barra variam linearmente. Portanto, u(x) = ax + b

(4.48)

As constantes a e b s˜ ao determinadas aplicando-se (4.48) aos deslocamentos u ¯1 e u ¯2 nas extremidades do elemento. Logo, (

u ¯1 = a0 + b → b = u ¯1 1 u ¯2 = al + b → a = l (¯ u2 − u ¯1 )

57

4.6. ELEMENTO DE BARRA PLANA Portanto, 1 u2 − u ¯1 )x + u ¯1 u = (¯ l

(4.49)

Em forma matricial, {u} =

h

x l

1−

x l

i

(

)

u ¯1 u ¯2

= [N ]{U }

(4.50)

sendo [N ] a matriz das fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao. A deforma¸c˜ ao espec´ıfica xx pode ser obtida a partir de (3.13). Assim, i 1h {xx } = −1 1 l

(

u ¯1 u ¯2

)

= [B]{U }

(4.51)

verificando-se que as componentes da matriz [B] constituem-se nas derivadas das fun¸c˜ oes de forma com rela¸c˜ ao a`s vari´ avel global x. ¯ e ] do elemento de barra, segundo o sistema de Para se obter a matriz de rigidez [K referˆencia local, basta substituir as matrizes [D] e [B], deduzidas em (4.47) e (4.51), na express˜ ao (4.37) ¯ e] = [K

Z

T

[B] [D][B] dV =

V

Z

V

1 l

"

−1 1

#

Z i 1h EA l E −1 1 A dx = 2 l l 0

"

1 −1 −1 1

#

dx

onde dV = A dx, pois a a´rea da se¸c˜ ao transversal ´e constante. Portanto, ¯ e ] = EA [K l

"

1 −1 −1 1

#

(4.52)

No caso da matriz de massa, substitui-se [N ] na equa¸c˜ ao (4.36), ou seja, ¯ e] = [M

Z

ρ

V

h

1−

x l

x l

i

"

1− x l

x l

#

A dx = ρA

Z l" 0

Neste caso, realiza-se a seguinte mudan¸ca de vari´ avel x ξ= l

→

(

x=0 : ξ=0 x=l : ξ=1

→

dξ =

Logo, ¯ e ] = ρAl [M sendo

Z

0

1

"

(1 − ξ)2 (1 − ξ)ξ (1 − ξ)ξ ξ2

#

dξ

1 dx l

(1 − xl )2 (1 − xl ) xl

(1 − xl ) xl x2 l

#

dx

˜ DE MOVIMENTO CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ AO

58 • • •

R1

R1

0

(1 − ξ)2 dξ =

R1

(1 − ξ)ξ dξ =

0

R1 0

ξ 3 1 3 0

ξ 2 dξ =

0

R1 0

0

(ξ − ξ 2 ) dξ =

ξ2 2

−

1 3

=

1

(1 − 2ξ + ξ 2 ) dξ = ξ − ξ 2 + ξ3 = ξ 3 1 3 0



=

1 3

1 3

Finalmente, a matriz de massa ´e expressa como ¯ ] = ρAl [M 6

"

2 1 1 2

#

(4.53)

Da mesma forma, determina-se vetor de carregamento t´ermico equivalente, isto ´e, ¯ = {Q}

Z

V

T

αT [DT ] [B]dV = αT E

Z

0

1

1 l

"

−1 1

#

dx

onde αT ´e constante e [DT ] = E. Assim, ¯ e } = EAαT {Q

"

−1 1

#

(4.54)

O vetor de for¸cas concentradas cont´em as cargas axiais aplicadas nas extremidades 1 e 2 da barra {P¯e } =

(

P¯1 P¯2

)

(4.55)

No caso geral, o sistema de referˆencia global adotado faz com que o elemento de barra esteja inclinado como ilustrado, na Se¸c˜ ao 2.4. Portanto, deve-se efetuar uma transforma¸c˜ ao de coordenadas entre os sistemas local e global aplicando-se a matriz [T ] dada em (2.23). Substituindo esta rela¸c˜ ao na equa¸c˜ ao de movimento (4.46), tem-se que ¯ e ][T ]{U¨ } + [T ]T [K ¯ e ][T ]{U¨ } = [T ]T {P¯e } − [T ]T {Q ¯e} [T ]T [M onde se multiplicou por [T ]T para manter a simetria das matrizes de massa e rigidez. Assim, a matriz de rigidez [Ke ] do elemento de barra no sistema global ´e dada por

¯ e ][T ] = [Ke ] = [T ]T [K



EA    l 

c2 cs −c2 −cs cs s2 −cs −s2    −c2 −cs c2 cs  −cs −s2 cs s2 

(4.56)

sendo c = cos θ e s = sin θ dados em (2.22). Verifica-se que esta express˜ ao ´e a mesma obtida no Cap´ıtulo 2 utilizando-se coeficientes de influˆencia.

59

4.7. ELEMENTO DE VIGA PLANA

Analogamente, tem se que a matriz de massa e os vetores de carregamento concentrado e t´ermico s˜ ao dados, respectivamente, por 

 ¯ e ][T ] = ρAl  [Me ] = [T ]T [M  6 

2c2 2cs c2 cs 2cs 2s2 cs s2 c2 cs 2c2 2cs cs s2 2cs 2s2

 

¯ e } = EAαT  {Qe } = [T ]T {Q  

{Pe } = [T ]T {P¯e } =

c s −c −s

    

    

(4.57)

(4.58)

   cP1      sP   1

(4.59)

 cP2       

sP2

4.7

Elemento de Viga Plana

Considere agora o elemento de viga plana ilustrado na Figura 2.9. Este elemento resiste apenas a esfor¸cos de flex˜ ao e for¸cas transversais. Analogamente ao caso da barra, as for¸cas de superf´ıcie e de volume s˜ ao consideradas nulas e a equa¸c˜ ao de movimento se reduz a` express˜ ao (4.46). Atrav´es da equa¸c˜ ao (3.20), verifica-se que a tens˜ ao normal σxx presente na barra est´ a relacionada a` deforma¸c˜ ao espec´ıfica xx como σxx = Exx → {σxx } = [D]{xx }

(4.60)

onde a matriz [D] se reduz, neste caso, apenas ao m´ odulo de elasticidade longitudinal E. Os deslocamentos transversais v ao longo da viga s˜ ao aproximados atrav´es dos polinˆ omios de Hermite φi (x) (i = 1, 2, 3, 4) da seguinte forma v(x) = v1 φ1 (x) + θ1 φ2 (x) + v3 φ3 (x) + θ2 φ4 (x) As express˜ oes dos polinˆ omios de Hermite s˜ ao  3

x φ1 (x) = 2 L φ2 (x) = L

−3

"  3

x L

 3

x φ3 (x) = −2 L

 2

x L

+1

 2

x −2 L +3

 2

x L

x + L

#

(4.61)

˜ DE MOVIMENTO CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ AO

60 φ4 (x) = L

"  3

x L

−

 2 #

x L

(4.62) Em forma matricial,

{v} =

h

φ1 (x) φ2 (x) φ3 (x) φ4 (x)

   v1     θ   i 1

 v2       

= [N ]{U }

(4.63)

θ2

sendo [N ] a matriz das fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao. A deforma¸c˜ ao espec´ıfica xx pode ser obtida a partir de (3.13). Assim,

{xx } =

h

φ01 (x) φ02 (x) φ03 (x) φ04 (x)

   v1     θ   i 1

  v2      

= [B]{U }

(4.64)

θ2

verificando-se que as componentes da matriz [B] constituem-se nas derivadas das fun¸c˜ oes de forma com rela¸c˜ ao a`s vari´ avel global x. Para se obter a matriz de rigidez [Ke ] do elemento de barra, segundo o sistema de referˆencia local, basta substituir as matrizes [D] e [B], deduzidas em (4.60) e (4.64), na express˜ ao (4.37) e assumir dV = A dx. Portanto,

[Ke ] =

EIz L3

    

12 6L −12 6L

6L 4L2 −6L 2L2

−12 −6L 12 −6L

6L 2L2 −6L 4L2

    

(4.65)

No caso da matriz de massa, substitui-se [N ] na equa¸c˜ ao (4.36), obtendo-se    

[Me ] = ρAL 

4.8

13 35 11 210 9 70 13 − 420 L

11 210 L 1 2 105 L 13 420 L 13 420 L

9 70 13 420 L 13 35 11 − 210 L

13 − 420 L 1 − 140 L2 11 − 210 L 1 − 105 L2

    

(4.66)

Exerc´ıcios Propostos

Exerc´ıcio 4.1 Escrever o Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais para os problemas de barra, viga em flex˜ ao pura e tor¸ca ˜o simples. Exerc´ıcio 4.2 Determinar as matrizes de massa e rigidez para um elemento de eixo com dois n´ os submetido a ` tor¸ca ˜o simples.

Cap´ıtulo 5

Elementos Finitos Isoparam´ etricos Nesse cap´ıtulo, considera-se o importante conceito de elementos finitos isoparam´etricos. Inicialmente, introduzem-se as no¸c˜ oes de sistemas de coordenadas local e global. Posteriormente, considera-se a defini¸c˜ ao das fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao baseadas em polinˆ omios de Lagrange e a sua constru¸c˜ ao para elementos uni, bi e tridimensionais. Fun¸c˜ oes de forma para v´ arios elementos unidimensionais e o quadrado linear s˜ ao apresentadas. Com base nesses conceitos, introduzem-se os elementos isoparam´etricos, o jacobiano da transforma¸c˜ ao local-global e o c´ alculo de derivadas globais. Ao final, considera-se a dedu¸c˜ ao da matriz de rigidez local do elemento de barra usando o conceito de elemento isoparam´etrico.

5.1

Sistemas de Referˆ encia Global e Local

Considere o elemento linear, ilustrado na Figura 5.1, com n´ os i e j, cujas coordenadas s˜ ao xi e xj em rela¸c˜ ao ao sistema de referˆencia X adotado. Deseja-se encontrar uma fun¸c˜ ao F (t) que transforme um ponto xi ≤ x ¯ ≤ xj para um ponto −1 ≤ ξ¯ ≤ 1, pertencente ao sistema de referˆencia ξ. Como o elemento tomado possui 2 n´ os, a transforma¸c˜ ao F (t) ´e dada pela equa¸c˜ ao de uma reta, ou seja, F (t) = αt + β

(5.1)

F(t) ξ

x

ξ

X xi

xj

-1

Figura 5.1: Mapeamento entre os sistemas de referˆencia X e ξ. 61

1

´ CAP´ITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

62

Aplicando-se a equa¸c˜ ao (5.1) aos pontos xi e xj vem que (

F (xi ) = αxi + β = −1 F (xj ) = αxj + β = 1

Resolvendo-se o sistema de equa¸c˜ oes anterior, obt´em-se as constantes α e β. Logo, α=

2 xj − xi

β=−

xj + xi xj − xi

e substituindo em (5.1), tem-se que F (t) =

2 xj + xi t− xj − xi xj − xi

(5.2)

Por exemplo, tomando-se xi = −10, xj = 10 e x ¯ = 5, verifica-se que ξ¯ = F (¯ x) =

(10 − 10) 2 5− = 0, 5 10 − (−10) 10 − (−10)

No caso geral de um elemento s´ olido, tem-se 3 coordenadas cartesianas x, y, z as quais devem ser transformadas para as componentes ξ, η, ζ, respectivamente, como mostrado na Figura 5.2. Y

η

ξ (x), η (y), ζ (z)

P(x,y,z) k

(1,1,1)

i

ξ

X j

Z

ζ

Figura 5.2: Transforma¸c˜ ao entre os sistemas de referˆencia global e local. O sistema cartesiano xyz ´e denominado sistema global de referˆencia, enquanto ξηζ define o sistema local. A vantagem de se utilizar um sistema local est´ a relacionada a` mudan¸ca dos limites de integra¸c˜ ao nas express˜ oes para o c´ alculo das matrizes de massa e rigidez dos elementos finitos, assim como para os vetores de carregamento. Neste caso, os limites inferior e superior de integra¸c˜ ao passam para −1 e 1, respectivamente.

˜ 5.2. FUNC ¸ OES DE FORMA

63

Dado um ponto P de coordenadas (x, y, z) segundo o sistema global, verifica-se que para se obter este ponto no sistema local, basta aplicar a equa¸c˜ ao (5.2) para cada uma das componentes, ou seja, ξ(x) =

2 xj + xi t− xj − xi xj − xi

η(y) =

2 yk + yj t− yk − yj yk − yj

ζ(z) =

2 zj + zi t− zj − zi zj − zi

sendo (xi , yi , zi ), (xj , yj , zj ) e (xk , yk , zk ) as coordenadas dos n´ os i,j,k, respectivamente, como pode ser visto na Figura 5.2. No entanto, geralmente, o elemento finito possui uma forma distorcida no sistema global e deseja-se obter uma transforma¸c˜ ao para um sistema local onde os lados do elemento permane¸cam retos, como apresentado na Figura 5.3. Esta transforma¸c˜ ao est´ a baseada nas fun¸c˜ oes de forma, discutidas a seguir.

Y

η

4 (-1,1)

4

3 (1,1)

3

ξ 1 (-1,-1)

1

2 (1,-1)

2

X

Figura 5.3: Transforma¸c˜ ao entre os sistemas de referˆencia global e local utilizando fun¸c˜ oes de forma.

5.2

Fun¸ c˜ oes de Forma

Considere o conjunto de pontos (ξ1 , ξ2 , . . . , ξa , . . . , ξb , . . . , ξn ) definidos no sistema local de referˆencia ξ. O polinˆ omio de Lagrange de ordem n − 1 associado ao ponto ξa ´e definido

´ CAP´ITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

64 por la(n−1) (ξ) = =

Qn

b=1(b6=a) (ξ

Qn

b=1(b6=a) (ξa

− ξb )

(5.3)

− ξb )

(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 ) . . . (ξ − ξa−1 )(ξ − ξa+1 ) . . . (ξ − ξn ) (ξa − ξ1 )(ξa − ξ2 ) . . . (ξa − ξa−1 )(ξa − ξa+1 ) . . . (ξa − ξn )

Observa-se que o polinˆ omio la (ξ) apresenta a seguinte propriedade de coloca¸c˜ ao (

la (ξa ) = 1 a = b la (ξb ) = 0 a = 6 b

Logo, la (ξb ) = δab

(5.4)

onde δab ´e o delta de Kronecker e δab =

(

1 se a = b 0 se a 6= b

Deve-se associar uma fun¸ca˜o de forma para cada um dos n´ os de um elemento finito. Estas fun¸c˜ oes s˜ ao tomadas como polinˆ omios de Lagrange, cuja ordem depende do n´ umero de n´ os do elemento considerado. Para um elemento unidimensional com m n´ os, tem-se m fun¸c˜ oes de forma de ordem m − 1. Logo, Na(m−1) (ξ) = la(m−1) (ξ)

a = 1, . . . , m

(5.5)

Para elementos bidimensionais, basta tomar o produto tensorial dos polinˆ omios de Lagrange. Portanto, para um elemento com m e n n´ os nas dire¸c˜ oes ξ e η, tem-se um total de mn fun¸c˜ oes dadas por (m−1)

Na (ξ, η) = lb

(ξ)lc(n−1) (η)

a = 1, . . . , mn

(5.6)

Analogamente, para o caso tridimensional com m, n, p n´ os nas dire¸c˜ oes ξ, η, ζ, definemse mnp fun¸c˜ oes da seguinte maneira Na (ξ, η, ζ) = lbn−1 (ξ)lcm−1 (η)ldp−1 (ζ)

a = 1, . . . , mnp

(5.7)

Nas express˜ oes anteriores, os ´ındices a, b, c, d s˜ ao escolhidos de maneira conveniente como ser´ a mostrado nas se¸c˜ oes seguintes.

65

5.3. ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS

5.3

Elementos Unidimensionais

5.3.1

Elemento Linear

Para ilustrar o processo de obten¸c˜ ao das fun¸c˜ oes de forma considere o elemento linear mostrado na Figura 5.4. Como neste caso, o elemento possui apenas dois n´ os, as fun¸c˜ oes s˜ ao polinˆ omios de primeiro grau, ou seja, equa¸c˜ oes de retas em ξ. Assim, a partir de (5.4) e (5.5) vem que (1)

(1)

ξ − ξ2 ξ −1 1 = = (1 − ξ) ξ1 − ξ2 −1 − (−1) 2

(1)

(1)

ξ − ξ1 ξ +1 1 = = (1 + ξ) ξ2 − ξ1 −1 − (−1) 2

N1 (ξ) = l1 (ξ) = N2 (ξ) = l2 (ξ) =

N1( ξ )

N2( ξ )

1

1

2

-1

1

ξ

Figura 5.4: Elemento unidimensional linear. De forma reduzida, tem-se que Na(1) =

1 (1 + ξa ξ) 2

a = 1, 2

(5.8)

onde ξa = ±1.

5.3.2

Elemento Quadr´ atico

Da mesma forma, determinam-se as fun¸c˜ oes de forma para o elemento unidimensional quadr´ atico da Figura 5.5. Como s˜ ao trˆes n´ os, tem-se trˆes fun¸c˜ oes de ordem 2 e aplicandose (5.4) e (5.5) vem que (ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 ) (ξ − 0)(ξ − 1) 1 = = − ξ(1 − ξ) (ξ1 − ξ2 )(ξ1 − ξ3 ) (−1 − 0)(−1 − 1) 2 (ξ − ξ1 )(ξ − ξ3 ) (ξ − 1)(ξ + 1) (2) (2) N2 (ξ) = l2 (ξ) = = = (1 − ξ 2 ) (ξ2 − ξ1 )(ξ2 − ξ3 ) (0 + 1)(0 − 1) (2)

(2)

N1 (ξ) = l1 (ξ) =

´ CAP´ITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

66 (2)

(2)

N3 (ξ) = l3 (ξ) =

(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 ) (ξ + 1)(ξ − 0) 1 = = ξ(1 + ξ) (ξ3 − ξ1 )(ξ3 − ξ2 ) (1 + 1)(1 − 0) 2

ou ainda, (

(2)

N1 (ξ) = 12 ξa (1 + ξa ) a = 1, 3 (2) N2 (ξ) = (1 − ξ 2 ) a=2

(5.9)

Figura 5.5: Elemento unidimensional quadr´ atico.

5.3.3

Elemento C´ ubico

Seguindo o mesmo procedimento, determinam-se as fun¸c˜ oes de forma para o elemento de terceiro grau, ilustrado na Figura 5.6. Portanto, (3)

(ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ4 ) (ξ1 − ξ2 )(ξ1 − ξ3 )(ξ1 − ξ4 ) (ξ + 1/3)(ξ − 1/3)(ξ − 1) 1 = (9ξ 2 − 1)(1 − ξ) (−1 + 1/3)(−1 − 1/3)(−1 − 1) 16 (3)

N1 (ξ) = l1 (ξ) = = (3)

(ξ − ξ1 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ4 ) (ξ2 − ξ1 )(ξ2 − ξ3 )(ξ2 − ξ4 ) (ξ + 1)(ξ − 1/3)(ξ − 1) 9 = (1 − ξ 2 )(1 − 3ξ) (−1/3 + 1)(−1/3 − 1/3)(−1/3 − 1) 16 (3)

N2 (ξ) = l2 (ξ) = = (3)

(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )(ξ − ξ4 ) (ξ3 − ξ1 )(ξ3 − ξ2 )(ξ3 − ξ4 ) (ξ + 1)(ξ + 1/3)(ξ − 1) 9 = (1 − ξ 2 )(1 + 3ξ) (1/3 + 1)(1/3 + 1/3)(1/3 − 1) 16 (3)

N3 (ξ) = l3 (ξ) = =

5.3. ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS (3)

67

(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 ) (ξ4 − ξ1 )(ξ4 − ξ2 )(ξ4 − ξ3 ) (ξ + 1)(ξ + 1/3)(ξ − 1/3) 1 = (9ξ 2 − 1)(1 + ξ) (1 + 1)(1 + 1/3)(1 − 1/3) 16 (3)

N4 (ξ) = l4 (ξ) = = Logo, (

5.3.4

(3)

Na (ξ) = (3) Na (ξ) =

9 2 16 (1 − ξ )(1 + 3ξ) 1 2 16 (9ξ − 1)(1 + ξ)

a = 2, 3 a = 1, 4

(5.10)

Elemento Qu´ artico

Para o elemento qu´ artico, mostrado na Figura 5.7, as fun¸co˜es de forma s˜ ao determinadas de maneira an´ aloga aos elementos anteriores. Assim, (ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ4 )(ξ − ξ5 ) (4) (4) N1 (ξ) = l1 (ξ) = (ξ1 − ξ2 )(ξ1 − ξ3 )(ξ1 − ξ4 )(ξ1 − ξ5 ) (ξ + 1/2)(ξ − 0)(ξ − 1/2)(ξ − 1) 1 = = − ξ(4ξ 2 − 1)(1 − ξ) (−1 + 1/2)(−1 + 0)(−1 − 1/2)(−1 − 1) 6 (4)

(ξ − ξ1 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ4 )(ξ − ξ5 ) (ξ2 − ξ1 )(ξ2 − ξ3 )(ξ2 − ξ4 )(ξ2 − ξ5 ) (ξ + 1)(ξ + 0)(ξ − 1/2)(ξ − 1) 4 = ξ(ξ 2 − 1)(1 − 2ξ) (−1/2 + 1)(−1/2 − 0)(−1/2 − 1/2)(−1/2 − 1) 3 (4)

N2 (ξ) = l2 (ξ) = = (4)

(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )(ξ − ξ4 )(ξ − ξ5 ) (ξ3 − ξ1 )(ξ3 − ξ2 )(ξ3 − ξ4 )(ξ3 − ξ5 ) (ξ + 1)(ξ + 1/2)(ξ − 1/2)(ξ − 1) = (1 − ξ 2 )(1 − 4ξ 2 ) (0 + 1)(0 + 1/2)(0 − 1/2)(0 − 1) (4)

N3 (ξ) = l3 (ξ) = = (4)

(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ5 ) (ξ4 − ξ1 )(ξ4 − ξ2 )(ξ4 − ξ3 )(ξ4 − ξ5 ) (ξ + 1)(ξ + 1/2)(ξ − 0)(ξ − 1) 4 = − ξ(1 − ξ 2 )(1 + 2ξ) (1/2 + 1)(1/2 + 1/2)(1/2 − 0)(1/2 − 1) 3 (4)

N4 (ξ) = l4 (ξ) = = (4)

(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ4 ) (ξ5 − ξ1 )(ξ5 − ξ2 )(ξ5 − ξ3 )(ξ5 − ξ4 ) (ξ + 1)(ξ + 1/2)(ξ − 0)(ξ − 1/2) 1 = ξ(4ξ 2 − 1)(1 + ξ) (1 + 1)(1 + 1/2)(1 − 0)(1 − 1/2) 6 (4)

N5 (ξ) = l5 (ξ) = = Portanto,

 (4) 1 2    Na (ξ) = 6 ξa ξ(4ξ − 1)(1 + ξa ξ)   

(4) Na (ξ) (4) Na (ξ)

= =

4 2 3 ξa ξ(ξ − (1 − ξ 2 )(1

a = 1, 5 1)(1 + 2ξa ξ) a = 2, 4 − 4ξ 2 ) a=3

(5.11)

´ CAP´ITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

68 1

2

3

4

-1/3

1/3

1

x -1

Figura 5.6: Elemento unidimensional c´ ubico. 1

2

3

4

5

-1

-1/2

0

1/2

1

x

Figura 5.7: Elemento unidimensional qu´ artico.

5.4

Elemento Bidimensional Linear

Considere o elemento quadrangular ilustrado na Figura 5.8. As fun¸c˜ oes de forma deste elemento s˜ ao obtidas a partir de (5.6) e dos polinˆ omios dados em (5.8), onde a rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c est´ a apresentada na Tabela 5.1 e pode ser observada na Figura 5.8. Portanto, 1 (1) (1) (1) N1 (ξ, η) = l1 (ξ)l1 (η) = (1 − ξ)(1 − η) 4 1 (1) (1) (1) N2 (ξ, η) = l2 (ξ)l1 (η) = (1 + ξ)(1 − η) 4 1 (1) (1) (1) N3 (ξ, η) = l2 (ξ)l2 (η) = (1 + ξ)(1 + η) 4 1 (1) (1) (1) N4 (ξ, η) = l1 (ξ)l2 (η) = (1 − ξ)(1 − η) 4 Estas rela¸c˜ oes podem ser resumidas na seguinte express˜ ao 1 Na (ξ, η) = (1 + ξa ξ)(1 + ηa η) a = 1, 2, 3, 4 4

(5.12)

onde ξa = ±1 e ηa = ±1. a b c

1 1 1

2 2 1

3 2 2

4 1 2

Tabela 5.1: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b e c para o elemento quadrangular linear. Outros elementos planos podem ser obtidos aumentando-se, progressivamente, um n´ o para cada lado do quadrado, como ilustrado na Figura 5.9. Neste caso, verifica-se a presen¸ca de n´ os interiores, aumentando-se assim o n´ umero de vari´ aveis do elemento. Este conjunto de elementos assim obtidos pertence a` fam´ılia lagrangeana. Pode-se evitar a

´ 5.5. ELEMENTOS ISOPARAMETRICOS

69

η 4

η

3

1

2

-1

1

= ξ

1

2

1

1

-1

X ξ

2

Figura 5.8: Elemento quadrangular linear. presen¸ca destes n´ os interiores. Define-se, assim, os elementos finitos da fam´ılia Serendipity discutidos nos cap´ıtulos seguintes. η

η

ξ

η

ξ

ξ

Figura 5.9: Elemento lagrangeanos quadrangulares.

5.5

Elementos Isoparam´ etricos

Ao se aplicar o MEF na an´ alise de uma estrutura, deve-se interpolar a sua geometria, ou seja, as coordenadas dos pontos, assim como a grandeza a ser calculada, como por exemplo os deslocamentos nodais. Pode-se aplicar as fun¸c˜oes de forma para efetuar estas interpola¸c˜ oes. Neste caso, as trˆes possibilidades ilustradas na Figura 5.10 podem ser adotadas, ou seja, • o n´ umero de n´ os usados para definir a forma do elemento ´e menor que aquele aplicado para a interpola¸c˜ ao da grandeza de interesse; • utiliza-se o mesmo n´ umero de n´ os para interpolar a geometria e a grandeza; • adota-se um n´ umero de n´ os maior para a interpola¸c˜ ao da geometria.

´ CAP´ITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

70

= coordenadas = grandeza

a)

b)

c)

Figura 5.10: Elemento finitos subparam´etricos, isoparam´etricos e superparam´etricos . Estas trˆes alternativas definem as classes dos elementos finitos subparam´etricos, isoparam´etricos e superparam´etricos. Observa-se que os elementos subparam´etricos s˜ ao mais utilizados, pois em geral deseja-se interpolar com maior precis˜ ao o campo da grandeza a ser calculada, tais como deslocamentos, temperaturas, dentre outras. Neste texto, o interesse est´ a no estudo dos elementos finitos isoparam´etricos. Denotando por x, y e z as coordenadas dos pontos em rela¸c˜ ao a um sistema global de referˆencia, pode-se escrever as seguintes rela¸c˜ oes x(ξ, η, ζ) = y(ξ, η, ζ) = z(ξ, η, ζ) =

n X

a=1 n X a=1 n X

Na (ξ, η, ζ)Xae Na (ξ, η, ζ)Yae

(5.13)

Na (ξ, η, ζ)Zae

a=1

onde n ´e o n´ umero de n´ os do elemento e Xea , Yea , Zea s˜ ao as coordenadas cartesianas globais dos n´ os do elemento e. Analogamente, os deslocamentos {u}, {v} e {w} dos pontos s˜ ao dados por u(ξ, η, ζ) = v(ξ, η, ζ) = w(ξ, η, ζ) =

n X

a=1 n X a=1 n X

Na (ξ, η, ζ)Uae Na (ξ, η, ζ)Vae

(5.14)

Na (ξ, η, ζ)Wae

a=1

sendo Uea , Vea , Wea os deslocamentos nodais nas dire¸c˜ oes x,y,z, respectivamente, em rela¸c˜ ao ao sistema global de referˆencia. As transforma¸c˜ oes indicadas em (5.14) e (5.15) s˜ ao baseadas nas fun¸c˜ oes de forma dos elementos e podem ser utilizadas para efetuar o mapeamento de um elemento distorcido

´ 5.5. ELEMENTOS ISOPARAMETRICOS

71

no sistema global para uma forma regular no sistema local. Para exemplificar, considere o elemento quadrangular ilustrado na Figura 5.11. Aplicando-se (5.14), obt´em-se as coordenadas x e y dos pontos do elemento no sistema global, ou seja, x(ξ, η) = N1 (ξ, η)X1e + N2 (ξ, η)X2e + N3 (ξ, η)X3e + N4 (ξ, η)X4e y(ξ, η) = N1 (ξ, η)Y1e + N2 (ξ, η)Y2e + N3 (ξ, η)Y3e + N4 (ξ, η)Y4e Substituindo as express˜ oes das fun¸c˜ oes de forma dadas em (5.12) e as coordenadas do ponto i (ξ = −1; η = 0) vem que 1 (5) + (0)(30) + (0)(20) + 2

xi = x(−1, 0) =

 

yi = y(−1, 0) =

 

1 (10) = 7, 5 2

 

1 (15) + (0)(10) + (0)(30) + 2

1 (25) = 20 2

 

Observa-se que as coordenadas do ponto i assim calculadas est˜ ao de acordo com a Figura 5.11. Portanto, identificam-se no sistema global as linhas de ξ e η constantes. Y

η

η

3

η =1

30

4

3

4 25

i

Yi

i

ξ

ξ 15

1 2

1

2

10

ξ =-1

η =-1 ξ =1

5

10

20

30

X

Xi

Figura 5.11: Exemplo de transforma¸c˜ ao entre os sistemas de referˆencia local e global utilizando as fun¸c˜ oes de forma. Assim, as fun¸c˜ oes de forma podem ser utilizadas n˜ ao apenas para a interpola¸c˜ ao da geometria e das grandezas de interesse em estudo, mas tamb´em para definir uma transforma¸c˜ ao entre os sistemas de referˆencia global e local, facilitando o c´ alculo das matrizes dos elementos finitos.

´ CAP´ITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

72

5.6

Jacobiano e C´ alculo das Derivadas Globais

A express˜ ao geral para o c´ alculo da matriz de rigidez dos elementos finitos, dada em (4.37) envolve derivadas das fun¸c˜ oes de forma em rela¸c˜ ao a`s coordenadas globais x,y e z, atrav´es da matriz de deforma¸c˜ ao [B]. Como as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao est˜ ao expressas em coordenadas locais ξ,η e ζ, deve-se aplicar a regra da cadeia para se obter as derivadas globais. Considerando, ent˜ ao, o n´ o a de um elemento vem que ∂Na ∂Na ∂x ∂Na ∂y ∂Na ∂z = + + ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂z ∂ξ ∂Na ∂Na ∂x ∂Na ∂y ∂Na ∂z = + + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ∂z ∂η ∂Na ∂Na ∂x ∂Na ∂y ∂Na ∂z = + + ∂ζ ∂x ∂ζ ∂y ∂ζ ∂z ∂ζ ou em forma matricial,     

∂Na ∂ξ ∂Na ∂η ∂Na ∂ζ

    

 

= 

∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ζ

∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ζ

∂z ∂ξ ∂z ∂η ∂z ∂ζ

     

∂Na ∂x ∂Na ∂y ∂Na ∂z

  

= [J]

 

    

∂Na ∂x ∂Na ∂y ∂Na ∂z

  

(5.15)

 

A matriz [J] ´e denominada Jacobiano da transforma¸c˜ ao. Assim, para se obter as derivadas das fun¸c˜ oes de forma em rela¸c˜ ao a`s coordenadas globais x,y e z deve-se inverter a matriz do Jacobiano. Logo,     

∂Na ∂x ∂Na ∂y ∂Na ∂z

  

= [J]−1

    

 

∂Na ∂ξ ∂Na ∂η ∂Na ∂ζ

  

(5.16)

 

Utilizando-se as rela¸c˜ oes (5.14) chega-se biano Pn ∂Na  Pn ∂Na a=1 ∂ξ Xa ∂ξ Ya P Pa=1  n ∂Na a X [J] =  na=1 ∂N a ∂η ∂η Ya Pn ∂N Pa=1 n ∂Na a a=1 ∂ζ Xa a=1 ∂ζ Ya =

  

∂N1 ∂ξ ∂N1 ∂η ∂N1 ∂ζ

∂N2 ∂ξ ∂N2 ∂η ∂N2 ∂ζ

... ... ...

∂Nn ∂ξ ∂Nn ∂η ∂Nn ∂ζ





    

a seguinte express˜ ao para a matriz do Jaco-

X1 X2 .. .

Pn

∂Na ∂ξ Za ∂Na ∂η Za Pa=1 n ∂Na a=1 ∂ζ Za

Pa=1 n

Y1 Y2 .. .

Z1 Z2 .. .

Xn Yn Zn

     

  

(5.17)

Demonstra-se ainda que o diferencial de volume dV , presente nas express˜ oes para o c´ alculo das matrizes e vetores de carregamentos dos elementos finitos, pode ser escrito nas coordenadas locais ξ, η e ζ a partir do determinante do jacobiano da seguinte maneira dV = dξdη dζ |

det[J]|

(5.18)

´ 5.6. JACOBIANO E CALCULO DAS DERIVADAS GLOBAIS

73

Logo, as integrais de volume presentes nas rela¸c˜ oes para o c´ alculo das matrizes e dos vetores de carregamento dos elementos finitos podem ser expressas em fun¸c˜ ao das vari´ aveis locais. Tomando-se, por exemplo, a matriz de rigidez, observa-se que

¯ e] = [K

Z

[B]T [D][B] dV =

V

Z

1

Z

1

Z

1

[B]T [D][B]| det[J]| dξdη dζ

(5.19)

−1 −1 −1

Em geral, a integra¸c˜ ao indicada em (5.19) n˜ ao pode ser efetuada analiticamente. Desta forma, deve-se empregar t´ecnicas de integra¸c˜ ao num´erica, as quais ser˜ ao discutidas posteriormente. Observa-se que o mapeamento entre coordenadas locais e globais pode n˜ ao ser u ´nico nos casos onde o elemento finito apresentar-se muito distorcido. Para que o mapeamento seja u ´nico, o sinal do determinante do jacobiano deve permanecer inalterado para todos os pontos do dom´ınio considerado. Para o elemento quadrangular linear, os aˆngulos internos n˜ ao devem ser superiorres a 180o para evitar a distor¸c˜ ao excessiva do elemento. Para o elemento quadr´ atico, deve-se garantir ainda que a posi¸c˜ ao dos n´ os intermedi´ arios esteja no 1/3 central de cada uma das faces. Este casos est˜ ao ilustrados na Figura 5.12. Para as fun¸c˜ oes de forma de maior grau, n˜ ao ´e poss´ıvel obter regras semelhantes, devendo-se, ent˜ ao, checar o sinal do determinante do jacobiano.

α < 180

η

η

ξ

ξ

α

1/3L η

η ξ

1/3L ξ

1/3L

Figura 5.12: Condi¸c˜ ao para que os elementos quadrangulares linear e quadr´ atico n˜ ao apresentem distor¸c˜ ao.

´ CAP´ITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

74

5.7

Dedu¸ c˜ ao da Matriz de Rigidez de Barra Plana

A matriz de rigidez do elemento de barra plana, ilustrado na Figura 2.5, foi obtida nos cap´ıtulos anteriores considerando coeficientes de influˆencia e aplicando-se a express˜ ao (4.37). Neste u ´ltimo caso, as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao dependiam da vari´ avel global x, como indicado em (4.50). Pretende-se agora deduzir esta mesma matriz, considerando, no entanto, as fun¸c˜ oes de forma segundo o sistema local de referˆencia ξ. A partir de (4.48), observa-se que o campo de deslocamentos u do elemento de barra possui varia¸c˜ ao linear. Como o elemento possui dois n´ os, a geometria pode ser interpolada por fun¸c˜ oes lineares. Assim, este elemento ´e isoparam´etrico, podendo-se empregar ent˜ ao, as fun¸c˜ oes de forma do elemento linear dadas em (5.8). A partir das express˜ oes (5.14) e (5.15), a geometria e os deslocamentos s˜ ao interpolados como x(ξ) =

2 X

¯1 + 1 (1 + ξ)X ¯2 ¯1 + N2 (ξ)X ¯2 = 1 (1 − ξ)X Na (ξ)Xae = N1 (ξ)X 2 2

(5.20)

2 X

¯1 + N2 (ξ)U ¯2 = 1 (1 − ξ)U ¯1 + 1 (1 + ξ)U ¯2 Na (ξ)Uae = N1 (ξ)U 2 2

(5.21)

a=1

u(ξ) =

a=1

¯1 , X ¯2 e U ¯1 ,U ¯2 denotam, respectivamente, as coordenadas e os deslocamentos dos onde X n´ os 1 e 2 do elemento de barra. A matriz de rigidez, segundo o sistema de referˆencia local, pode ser calculada a partir de (4.37). Neste caso, tem-se que ¯ e] = [K

Z

T

[B] [D][B] dV =

V

Z

1

−1

[B]T [D][B] | det[J]| A dξ

(5.22)

sendo A a a´rea da se¸c˜ ao transversal. A matriz de deforma¸c˜ ao ser´ a dada por [B] =

h

∂N1 ∂x

∂N2 ∂x

i

(5.23)

Para a determina¸c˜ ao das derivadas globais na express˜ ao anterior aplica-se (5.16). Logo, ∂Na ∂Na = [J]−1 = ∂x ∂ξ



∂x ∂Na ∂ξ ∂ξ



a = 1, 2

(5.24)

Assim, atrav´es de (5.20) obt´em-se
∂ 1 ¯2 − X ¯1 = l ¯1 + 1 (1 + ξ)X ¯2 = 1 X [J] = (1 − ξ)X ∂x 2 2 2 2 



(5.25)

5.8. EXERC´ICIOS PROPOSTOS

75

Substituindo (5.25) em (5.24), chega-se a`s derivadas globais indicadas na matriz [B] ∂N1 ∂x ∂N2 ∂x

= =

2 ∂N1 1 =− l ∂ξ l 2 ∂N2 1 = l ∂ξ l

Portanto, obt´em-se a mesma express˜ ao para a matriz [B] dada em (4.51), ou seja, i 1h −1 1 l

A matriz de elasticidade [D] consiste apenas do m´ odulo de elasticidade E, como pode ser verificado em (4.47). Assim, retornando-se a (5.22) vem que ¯ e] = [K =

Z

1

−1 Z 1 −1

[B]T [D][B] | det[J]| A dξ 1 l

"

−1 1

#

i l 1h EA E −1 1 A dξ = l 2 l

"

1 −1 −1 1

#

(5.26)

Desta maneira, determina-se a mesma express˜ ao anterior. No entanto, este procedimento ´e geral podendo ser estendido a v´ arios tipos de elementos finitos, como ser´ a mostrado nos pr´ oximos cap´ıtulos.

5.8

Exerc´ıcios Propostos

Exerc´ıcio 5.1 Determinar as fun¸co ˜es de interpola¸ca ˜o do elemento quadr´ atico de 9 n´ os da fam´ılia lagrangeana. Exerc´ıcio 5.2 Calcular a matriz do Jacobiano e seu determinante para o elemento quadrangular ilustrado na Figura 5.13. y 4

3

2 x 2 2

1

4

4

Figura 5.13: Exerc´ıcio 5.2.

76

´ CAP´ITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

Exerc´ıcio 5.3 Considere uma barra bi-apoiada de comprimento L submetida a uma carga distribu´ıda axial linear de intensidade q(x) = q0 (L − x). Determinar a solu¸ca ˜o anal´ıtica e comparar a solu¸ca ˜o na metade da barra as aproxima¸co ˜es obtidas pelo MEF usando dois elementos lineares e um elemento quadr´ atico.

Cap´ıtulo 6

Fun¸ c˜ oes de Forma para os Elementos Quadrangulares Nesse cap´ıtulo, apresenta-se a constru¸c˜ ao das fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao para quadrados e cubos da fam´ılia Serendipty at´e a quarta e terceira ordens, respectivamente. A constru¸c˜ ao ´e baseada no produto tensorial de polinˆ omios de Lagrange unidimensionais, conforme indicado no cap´ıtulo anterior.

6.1

Elementos Planos

Os elementos da fam´ılia Serendipity n˜ ao possuem n´ os internos, como pode ser visto na Figura 6.1, onde se apresentam os elementos linear, quadr´ atico, c´ ubico e qu´ artico. Tomando-se o n´ o 5 do elemento quadr´ atico, verifica-se a existˆencia de trˆes n´ os na dire¸c˜ ao ξ, ou seja, (1,5,2) e apenas dois n´ os na dire¸c˜ ao η, isto ´e, (5,7). Assim, a fun¸c˜ ao de forma associada ao n´ o 5 ser´ a quadr´ atica em ξ e linear em η. Analogamente, a fun¸c˜ ao de interpola¸c˜ ao do n´ o 8 ser´ a quadr´ atica em η e linear em ξ. Considerando o elemento c´ ubico, observa-se que para os n´ os (5,6,9,10) as fun¸c˜ oes de forma s˜ ao de terceiro grau em ξ e linear em η. J´ a para os n´ os (7,8,11,12) tem-se fun¸c˜ oes c´ ubicas em η e lineares em ξ. Esta an´ alise pode ser efetuada para o elemento qu´ artico, assim como para os elementos espaciais. Este fato ´e uma das propriedades dos elementos da fam´ılia Serendipity. Assim, enquanto os elementos lagrangeanos possuem fun¸c˜ oes de forma com os mesmo graus em ξ e η, como pode ser verificado na Figura 5.9, os elementos de Serendipty apresentam varia¸c˜ ao linear numa das dire¸c˜ oes. Observa-se que o elemento linear ´e o mesmo j´ a apresentado para a fam´ılia lagrangeana. As fun¸c˜ oes de forma s˜ ao dadas pela express˜ ao (5.12), estando por sua vez apresentada na Figura 6.2. A seguir apresentam-se as fun¸c˜ oes de forma de segundo ao quarto graus para os elementos quadrangulares da fam´ılia Serendipity. 77

˜ 78CAP´ITULO 6. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES

η

η

4

3

4

6

2

1

5

η 4

10

9

4

3

2

12

7

6

13 12

11

3

14

8

5

ξ

η

11

1

3

8

ξ

1

7

10

15

ξ

9

17

16

2

ξ

8 1

5

6

7

2

Figura 6.1: Elementos planos da fam´ılia Serendipity.

1

0 1 -1

0 0 1

-1

Figura 6.2: Fun¸c˜ ao de forma t´ıpica para os n´ os do elementos linear.

79

6.1. ELEMENTOS PLANOS η 4

7

η 3

2

1 6

8

1

5

X -1

1

2

0

1

-1

3

=

ξ

3

0

ξ

1

2

Figura 6.3: Elemento quadr´ atico da fam´ılia Serendipity.

6.1.1

Elemento Quadr´ atico

Neste caso, verifica-se que as fun¸c˜ oes de forma para o segundo elemento da fam´ılia Serendipity possuem varia¸c˜ ao quadr´ atica ao longo dos lados, como ilustrado na Figura 6.3. Pode-se aplicar a express˜ ao (5.6) para a determina¸c˜ ao das fun¸co˜es de interpola¸c˜ ao, onde a rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b e c est´ a apresentada na Tabela 6.1. a b c

1 1 1

2 3 1

3 3 3

4 1 3

5 2 1

6 3 2

7 2 3

8 1 2

Tabela 6.1: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b e c para o elemento quadr´ atico. Assim, tomando-se as express˜ oes (5.6), (5.8) e (5.9) determinam-se as seguintes fun¸c˜ oes para o elemento quadr´ atico 1 (2) (2) (2) N1 (ξ, η) = l1 (ξ)l1 (η) = ξη(1 − ξ)(1 − η) 4 1 (2) (2) (2) N2 (ξ, η) = l3 (ξ)l1 (η) = − ξη(1 + ξ)(1 − η) 4 1 (2) (2) (2) N3 (ξ, η) = l3 (ξ)l3 (η) = ξη(1 + ξ)(1 + η) 4 1 (2) (2) (2) N4 (ξ, η) = l1 (ξ)l3 (η) = − ξη(1 − ξ)(1 + η) 4 1 (2) (2) (1) N5 (ξ, η) = l2 (ξ)l1 (η) = (1 − ξ 2 )(1 − η) 2 1 (2) (1) (2) N6 (ξ, η) = l3 (ξ)l2 (η) = (1 + ξ)(1 − η 2 ) 2 1 (2) (2) (1) N7 (ξ, η) = l2 (ξ)l3 (η) = (1 − ξ 2 )(1 + η) 2 1 (2) (1) (2) N8 (ξ, η) = l1 (ξ)l2 (η) = (1 − ξ)(1 − η 2 ) 2

(6.1)

˜ 80CAP´ITULO 6. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES De forma reduzida,  (2) 1    N1 (ξ, η) = 4 ξa ξηa η(1 − ξ)(1 − η)   

(2) Na (ξ, η) (2) Na (ξ, η)

= =

1 2 (1 1 2 (1

ξ 2 )(1

− + ηa η) 2 − η )(1 + ξa ξ)

a = 1, . . . , 4 a = 5, 7 a = 6, 8

(6.2)

As fun¸c˜ oes de forma dos n´ os 1 a 4 podem ainda serem determinadas a partir daquelas (1) do elemento linear. Para isso, tomando-se por exemplo N1 (ξ, η) dada em (5.12) e as atico, coordenadas dos n´ os 5 (ξ5 = 0; η5 = −1) e 8 (ξ8 = −1; η8 = 0) do elemento quadr´ tem-se que (1)

1 1 (1 − 0)(1 + 1) = 4 2

(1)

1 1 (1 − 0)(1 + 1) = 4 2

N1 (0, −1) = N1 (−1, 0) = (1)

Assim, N1 (·) n˜ ao pode ser utilizada para o elemento quadr´ atico pois n˜ ao satisfaz a (2) (2) propriedade (5.4). Como N5 (ξ5 , η5 ) = 1 e N8 (ξ8 , η8 ) = 1, pode-se utiliz´ a-las para obter (2) a fun¸c˜ ao N1 do n´ o 1 da seguinte maneira 1 (2) (2) (1) (2) N1 (ξ, η) = N1 (ξ, η) − [N5 (ξ, η) + N8 (ξ, η)] 2 Tomando-se a express˜ ao anterior para as coordenadas dos n´ os 1, 5 e 8, verifica-se que i 1 h (2) 1 (2) N5 (−1, −1) + N8 (−1, −1) = 1 − [0 + 0] = 1 2 2 i 1 h (2) 1 1 (2) (1) (2) N5 (0, −1) = N1 (0, −1) − N5 (0, −1) + N8 (0, −1) = − [1 + 0] = 0 2 2 2 i 1 h (2) 1 1 (2) (1) (2) N8 (−1, 0) = N1 (−1, 0) − N5 (−1, 0) + N8 (−1, 0) = − [0 + 1] = 0 2 2 2 (2)

(1)

N1 (−1, −1) = N1 (−1, −1) −

satisfazendo a equa¸c˜ ao (5.4). Para os demais n´ os o procedimento ´e an´ alogo, bastando subtrair das fun¸c˜ oes de forma do elemento linear 12 vezes a soma das respectivas fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao dos n´ os adjacentes. Portanto, estas rela¸c˜ oes s˜ ao resumidas como  (2) (1) (2) (2)  N1 (ξ, η) = N1 (ξ, η) − 12 [N5 (ξ, η) + N8 (ξ, η)]     N (2) (ξ, η) = N (1) (ξ, η) − 1 [N (2) (ξ, η) + N (2) (ξ, η)] 2 2 5 6 2  N (2) (ξ, η) = N (1) (ξ, η) − 1 [N (2) (ξ, η) + N (2) (ξ, η)]  3 3 6 7  2   (2) (1) (2) (2) 1

(6.3)

N4 (ξ, η) = N4 (ξ, η) − 2 [N7 (ξ, η) + N8 (ξ, η)]

As fun¸c˜ oes t´ıpicas para os n´ os 5 a 8 deste elemento est˜ ao ilustradas na Figura 6.4.

81

6.1. ELEMENTOS PLANOS

1

0 1 -1

0 0 1

-1

Figura 6.4: Fun¸c˜ ao de forma t´ıpica para os n´ os 5 a 8 do elemento quadr´ atico.

6.1.2

Elemento C´ ubico

O procedimento anterior pode ser estendido para os elementos quadrangulares de maior grau. Tomando-se o elemento c´ ubico ilustrado na Figura 6.5, pode-se aplicar a express˜ ao (5.6) para se determinar as fun¸c˜ oes de forma, estando a rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b e c dada na Tabela 6.2. A partir das equa¸c˜ oes (5.6), (5.8), (5.10) e da Tabela 6.2 determinam-se as fun¸c˜ oes de forma para este elemento (3)

(3)

(3)

N1 (ξ, η) = l1 (ξ)l1 (η) =

1 (9ξ 2 − 1)(1 − ξ)(9η 2 − 1)(1 − η) 256

η 4

10

9

η

3

11

8

1

2

3

4

= 12

7

1

5

6

ξ

4

1

3

1/3

2

-1/3

1

-1

X -1

-1/3

1/3

1

ξ

2

Figura 6.5: Elemento quadrangular c´ ubico.

˜ 82CAP´ITULO 6. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES a b c

1 1 1

2 4 1

3 4 4

4 1 4

5 2 1

6 3 1

7 4 2

8 4 3

9 3 4

10 2 4

11 1 3

12 1 2

Tabela 6.2: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b e c para o elemento c´ ubico. (3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(1)

(3)

(3)

(1)

(3)

(1)

(3)

(3)

(1)

(3)

(3)

(3)

(1)

(3)

(3)

(1)

(3)

(1)

(3)

(3)

(1)

(3)

N2 (ξ, η) = l4 (ξ)l1 (η) = N3 (ξ, η) = l4 (ξ)l4 (η) = N4 (ξ, η) = l1 (ξ)l4 (η) = N5 (ξ, η) = l2 (ξ)l1 (η) = N6 (ξ, η) = l3 (ξ)l1 (η) = N7 (ξ, η) = l4 (ξ)l2 (η) = N8 (ξ, η) = l4 (ξ)l3 (η) = N9 (ξ, η) = l3 (ξ)l4 (η) = N10 (ξ, η) = l2 (ξ)l4 (η) = N11 (ξ, η) = l1 (ξ)l3 (η) = N12 (ξ, η) = l1 (ξ)l2 (η) =

1 (9ξ 2 − 1)(1 + ξ)(9η 2 − 1)(1 − η) 256 1 (9ξ 2 − 1)(1 + ξ)(9η 2 − 1)(1 + η) 256 1 (9ξ 2 − 1)(1 − ξ)(9η 2 − 1)(1 + η) 256 9 (1 − ξ 2 )(1 − 3ξ)(1 − η) 32 9 (1 − ξ 2 )(1 + 3ξ)(1 − η) 32 9 (1 + ξ)(1 − η 2 )(1 − 3η) 32 9 (1 + ξ)(1 − η 2 )(1 + 3η) 32 9 (1 − ξ 2 )(1 + 3ξ)(1 + η) 32 9 (1 − ξ 2 )(1 − 3ξ)(1 + η) 32 9 (1 − ξ)(1 − η 2 )(1 + 3η) 32 9 (1 − ξ)(1 − η 2 )(1 − 3η) 32

ou de forma reduzida,  (3) (3) (3)    Na (ξ, η) = l1 (ξ)l1 (η) =   

(3) Na (ξ, η) (3) Na (ξ, η)

= =

9 32 (1 9 32 (1

1 2 256 (9ξ

− 1)(1 − ξ)(9η 2 − 1)(1 − η) a = 1, 2, 3, 4 − ξ 2 )(1 + 3ξa ξ)(1 + ηa η) a = 5, 6, 9, 10 (6.4) 2 + ξa ξ)(1 + 3ηa η)(1 − η ) a = 7, 8, 11, 12

Da mesma maneira, as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao dos n´ os 1 a 4 podem ser determinadas a partir da modifica¸c˜ ao das fun¸c˜ oes obtidas para o elemento linear. Portanto,  (3) (1) (3) (3) (3) (3)  N1 (ξ, η) = N1 (ξ, η) − 23 [N5 (ξ, η) + N12 (ξ, η)] − 13 [N6 (ξ, η) + N11 (ξ, η)]     N (3) (ξ, η) = N (1) (ξ, η) − 2 [N (3) (ξ, η) + N (3) (ξ, η)] − 1 [N (3) (ξ, η) + N (3) (ξ, η)] 2 2 6 7 5 8 3 3 (6.5)  N (3) (ξ, η) = N (1) (ξ, η) − 2 [N (3) (ξ, η) + N (3) (ξ, η)] − 1 [N (3) (ξ, η) + N (3) (ξ, η)]  3 3 8 9 7 10  3 3   (3) (1) (3) (3) (3) (3) 2 1

N4 (ξ, η) = N4 (ξ, η) − 3 [N10 (ξ, η) + N11 (ξ, η)] − 3 [N9 (ξ, η) + N12 (ξ, η)]

As fun¸c˜ oes de forma t´ıpicas para os n´ os 5 a 12 deste elemento est˜ ao ilustradas na Figura 6.6.

83

6.1. ELEMENTOS PLANOS

1

1

0

0

1 -1

1

-1

0

0

0

0 1

-1

1

-1

Figura 6.6: Fun¸c˜ ao de forma t´ıpica para os n´ os (5, 6, 9, 10) e (7, 8, 11, 12) do elemento c´ ubico.

6.1.3

Elemento Qu´ artico

Para o elemento de quarto grau, mostrado na Figura 6.7, as fun¸c˜ oes de forma s˜ ao obtidas a partir das express˜ oes (5.6), (5.8) e (5.11). Os ´ındices a, b e c est˜ ao apresentados na Tabela 6.3. Assim, de forma resumida  (4) 1  Na (ξ, η) = 36 ξa ξηa η(4ξ 2 − 1)(1 + ξa ξ)(4η 2 − 1)(1 + ηa η)    (4)  N (ξ, η) = 2 (ξ ξ)(ξ 2 − 1)(1 + 2ξ ξ)(1 + η η) a a a 3 a (4) 2 2  Na (ξ, η) = 3 (ηa η)(1 − η )(1 + ξa ξ)(1 + 2ηa η)     (4) 2 2

Na (ξ, η) = (1 − ξ )(1 − η )

a = 1, 2, 3, 4 a = 5, 7, 11, 13 (6.6) a = 8, 10, 14, 16 a = 17

Expressando-se as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao dos n´ os 1 a 4 em termos das fun¸c˜ oes do elemento linear, obt´em-se  (4) (1) (4) (4) (4) (4) (4) (4) N (ξ, η) = N1 (·) − 43 [N5 (·) + N16 (·)] − 12 [N6 (·) + N15 (·)] − 14 [N7 (·) + N14 (·)]    1(4) (1) (4) (4) (4) (4) (4) (4) 3 1 1 N2 (ξ, η) = N2 (·) − 4 [N7 (·) + N8 (·)] − 2 [N9 (·) + N12 (·)] − 4 [N8 (·) + N13 (·)]

(4) (1) (4) (4) (4) (4) (4) (4)  N (ξ, η) = N3 (·) − 34 [N10 (·) + N11 (·)] − 12 [N9 (·) + N12 (·)] − 14 [N8 (·) + N13 (·)]   3(4) (1) (4) (4) (4) (4) (4) (4) 3 1 1

N4 (ξ, η) = N4 (·) − 4 [N13 (·) + N14 (·)] − 2 [N12 (·) + N15 (·)] − 4 [N11 (·) + N16 (·)]

a b c

1 1 1

2 5 1

3 5 5

4 1 5

5 2 1

6 3 1

7 4 1

8 5 2

9 5 3

10 5 4

11 4 5

12 3 5

13 2 5

14 1 4

15 1 3

16 1 2

17 3 3

Tabela 6.3: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b e c para o elemento qu´ artico.

(6.7)

˜ 84CAP´ITULO 6. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES η 4

13 12

11

η

3

14

10

15 16

2

3

4

5

=

9

17

1

ξ

X -1

-1/2

0

1/2

1

ξ

8 1

5

6

7

5

1

4

1/2

3

0

2

-1/2

1

-1

2

Figura 6.7: Elemento quadrangular qu´ artico. As fun¸c˜ oes de forma t´ıpicas para os n´ os deste elemento est˜ ao ilustradas nas Figuras 6.8 e 6.9.

6.2

Elementos Espaciais

Pode-se estender a formula¸c˜ ao apresentada anteriormente para se obter as fun¸c˜ oes de forma dos elementos quadrangulares planos para os elementos espaciais. Neste caso, consideramse os cubos ilustrados na Figura 6.10.

6.2.1

Elemento Linear

Inicialmente, toma-se o elemento linear ilustrado na Figura 6.11. Para deduzir as suas fun¸c˜ oes de forma, aplica-se a equa¸c˜ ao (5.7), onde a correspondˆencia entre os ´ındices a, b, c e d est´ a dada na Tabela 6.4, juntamente com as rela¸c˜ oes em (5.8). Assim, determinam-se as seguintes fun¸c˜ oes (1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

N1 (ξ, η, ζ) = l1 (ξ)l1 (η)l1 (ζ) = N2 (ξ, η, ζ) = l2 (ξ)l1 (η)l1 (ζ) = N3 (ξ, η, ζ) = l2 (ξ)l2 (η)l1 (ζ) = N4 (ξ, η, ζ) = l1 (ξ)l2 (η)l1 (ζ) = N5 (ξ, η, ζ) = l1 (ξ)l1 (η)l2 (ζ) = N6 (ξ, η, ζ) = l2 (ξ)l1 (η)l2 (ζ) = N7 (ξ, η, ζ) = l2 (ξ)l2 (η)l2 (ζ) =

1 (1 − ξ)(1 − η)(1 − ζ) 8 1 (1 + ξ)(1 − η)(1 − ζ) 8 1 (1 + ξ)(1 + η)(1 − ζ) 8 1 (1 − ξ)(1 + η)(1 − ζ) 8 1 (1 − ξ)(1 − η)(1 + ζ) 8 1 (1 + ξ)(1 − η)(1 + ζ) 8 1 (1 + ξ)(1 + η)(1 + ζ) 8

85

6.2. ELEMENTOS ESPACIAIS

1 1

0 1

1

0.5 -1

-1

0

0

-0.5 -0.5

0 0.5 1

0

-1

1

-1

Figura 6.8: Fun¸c˜ ao de forma t´ıpica para os n´ os 1 a 4 e (5, 7, 11 e 13) do elemento qu´ artico.

1

0 0 1 -1

0 0

1 -1

0 0

1

-1

1

-1

Figura 6.9: Fun¸c˜ ao de forma para os n´ os (8, 10, 14, 16) e 17 do elemento qu´ artico.

˜ 86CAP´ITULO 6. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES η

5

η

5

16

5

8

η

24

23

8

8 17

22

13 18

15 6

7

6

4

ξ

19

1

18

4

ζ 2

2

10

28 31

1

4

9

26

16

10

11

ζ

20 25

ξ

12

9

32

7 19 30

1

21

6

20

7

14

17

29

15 27

14

ζ 2

3

11

13 12

3

3

Figura 6.10: Elementos espaciais linear, quadr´ atico e c´ ubico. η 5

8

η 6 2

7 1 1 4

ξ

= -1

1

1 -1

ξ

X

X 2 1

ζ 2

1

2

1

-1

ζ

3

Figura 6.11: Elemento espacial linear. (1)

(1)

(1)

(2)

N8 (ξ, η, ζ) = l1 (ξ)l2 (η)l2 (ζ) =

1 (1 − ξ)(1 + η)(1 + ζ) 8

Resumido as rela¸c˜ oes anteriores, tem-se 1 Na(1) (ξ, η, ζ) = (1 + ξa ξ)(1 + ηa η)(1 + ζa ζ) 8

a = 1, . . . , 8

(6.8)

onde ξa = ±1, ηa = ±1 e ζa = ±1.

6.2.2

Elemento Quadr´ atico

Tomando-se agora o elemento quadr´ atico, como mostrado na Figura 6.12, e os ´ındices a, b, c e d dados na Tabela 6.5, pode-se aplicar as express˜ oes (5.7), (5.8) e (5.9) para a obten¸c˜ ao

ξ

87

6.2. ELEMENTOS ESPACIAIS a b c d

1 1 1 1

2 2 1 1

3 2 2 1

4 1 2 1

5 1 1 2

6 2 1 2

7 2 2 2

8 1 2 2

Tabela 6.4: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento espacial linear. das fun¸c˜ oes de forma. Portanto, de forma reduzida  (2)  Na (ξ, η, ζ) =    (2) Na (ξ, η, ζ) = (2)  Na (ξ, η, ζ) =    (2) Na (ξ, η, ζ) =

1 8 (1 1 4 (1 1 4 (1 1 4 (1

+ ξa ξ)(1 + ηa η)(1 + ζa ζ)(ξa ξ + ηa η + ζa ζ − 2) − ξ 2 )(1 + ηa η)(1 + ζa ζ) + ξa ξ)(1 − η 2 )(1 + ζa ζ) + ξa ξ)(1 + ηa η)(1 − ζ 2 )

a = 1, 2, 3, 4 a = 9, 11, 13, 15 (6.9) a = 10, 12, 14, 16 a = 17, 18, 19, 20

Para os n´ os 1 a 8, as fun¸c˜ oes de forma podem ser determinadas modificando-se a`quelas (1) obtidas para o elemento linear. Por exemplo, calculando-se N1 para os n´ os 9 (ξ = 0; η = −1; ζ = −1), 12 (ξ = −1; η = 0; ζ = −1), e 17 (ξ = −1; η = −1; ζ = 0), vem que (1)

N1 (0, −1, −1) = (1)

N1 (−1, 0, −1) = (1)

N1 (−1, −1, 0) =

1 (1 − 0)(1 + 1)(1 + 1) = 8 1 (1 + 1)(1 − 0)(1 + 1) = 8 1 (1 + 1)(1 + 1)(1 − 0) = 8

1 2 1 2 1 2

Portanto, deve-se subtrair das fun¸c˜ oes de forma lineares o m´ ultiplo de das fun¸c˜ oes dos quadr´ aticas dos n´ os adjacentes. Assim,

1 2

vezes a soma

 (2) (1) (2) (2) (2)  N1 (ξ, η, ζ) = N1 (ξ, η, ζ) − 12 [N9 (ξ, η, ζ) + N12 (ξ, η, ζ) + N17 (ξ, η, ζ)]     (2) (1) (2) (2) (2)   N2 (ξ, η, ζ) = N2 (ξ, η, ζ) − 12 [N9 (ξ, η, ζ) + N10 (ξ, η, ζ) + N18 (ξ, η, ζ)]    (2) (1) (2) (2) (2)   N3 (ξ, η, ζ) = N3 (ξ, η, ζ) − 12 [N10 (ξ, η, ζ) + N11 (ξ, η, ζ) + N19 (ξ, η, ζ)]    (1) (2) (2) (2)  (2) 1

N4 (ξ, η, ζ) = N4 (ξ, η, ζ) − 2 [N11 (ξ, η, ζ) + N12 (ξ, η, ζ) + N20 (ξ, η, ζ)]

(2) (1) (2) (2) (2)  N5 (ξ, η, ζ) = N5 (ξ, η, ζ) − 12 [N13 (ξ, η, ζ) + N16 (ξ, η, ζ) + N17 (ξ, η, ζ)]     (2) (1) (2) (2) (2)   N6 (ξ, η, ζ) = N6 (ξ, η, ζ) − 12 [N13 (ξ, η, ζ) + N14 (ξ, η, ζ) + N18 (ξ, η, ζ)]    (2) (1) (2) (2) (2)   N7 (ξ, η, ζ) = N7 (ξ, η, ζ) − 12 [N14 (ξ, η, ζ) + N15 (ξ, η, ζ) + N19 (ξ, η, ζ)]    (1) (2) (2) (2)  (2) 1

(6.10)

N8 (ξ, η, ζ) = N8 (ξ, η, ζ) − 2 [N15 (ξ, η, ζ) + N16 (ξ, η, ζ) + N20 (ξ, η, ζ)]

6.2.3

Elemento C´ ubico

O elemento de terceiro grau possui 32 n´ os e est´ a apresentado na Figura 6.13. A rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d est´ a dada na Tabela 6.6. Aplicando-se o mesmo procedimento, chegam-se a`s seguintes fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao, respectivamente, para os n´ os a = 1, . . . , 8,

˜ 88CAP´ITULO 6. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES η 16

5

8

η

13 15 14

6

20

7

17

1 1

18

19 4

ξ

-1

ζ 2

0

3

1

2

0

1 -1

3

=

12

9

2

1

ξ

X

2

X

0 2

11

1

1

-1

10

ζ

3

Figura 6.12: Elemento espacial quadr´ atico. a b c d

1 1 1 1

2 3 1 1

3 3 3 1

4 1 3 1

5 1 1 3

6 3 1 3

7 3 3 3

8 1 3 3

9 2 1 1

10 3 2 1

11 2 3 1

12 1 2 1

13 2 1 3

14 3 2 3

15 2 3 3

16 1 2 3

17 1 1 2

18 3 1 2

19 3 3 2

20 1 3 2

Tabela 6.5: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento espacial quadr´ atico. a = (9, 10, 13, 14, 17, 18, 21, 22), a = (11, 12, 15, 16, 19, 20, 23, 24) e a = 25, . . . , 32 deste elemento Na(3) (ξ, η, ζ) = Na(3) (ξ, η, ζ) = Na(3) (ξ, η, ζ) = Na(3) (ξ, η, ζ) =

1 (1 + ξa ξ)(1 + ηa η)(1 + ζa ζ)[9(ξ 2 + η 2 ζ 2 ) − 19] 64 9 (1 − ξ 2 )(1 + 3ξa ξ)(1 + 3ηa η)(1 + ζa ζ) 64 9 (1 + 3ξa ξ)(1 − η 2 )(1 + 3ηa η)(1 + ζa ζ) 64 9 (1 + 3ξa ξ)(1 − η 2 )(1 + 3ηa η)(1 − η 2 )(1 + ζa ζ) 64

(6.11)

Novamente, as fun¸c˜ oes de forma dos n´ os 1 a 8 podem ser obtidas a partir das rela¸c˜ oes do elemento linear. Logo, (3)

=

N1 (·) −

(3)

=

N2 (·) −

(3)

=

N3 (·) −

(3)

=

N4 (·) −

(3)

=

N5 (·) −

(3)

=

N6 (·) −

N1 (ξ, η, ζ) N2 (ξ, η, ζ) N3 (ξ, η, ζ) N4 (ξ, η, ζ) N5 (ξ, η, ζ) N6 (ξ, η, ζ)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

2 (3) (3) (3) [N (·) + N16 (·) + N25 (·)] − 3 9 2 (3) (3) (3) [N (·) + N11 (·) + N26 (·)] − 3 10 2 (3) (3) (3) [N (·) + N13 (·) + N27 (·)] − 3 12 2 (3) (3) (3) [N (·) + N15 (·) + N28 (·)] − 3 14 2 (3) (3) (3) [N (·) + N24 (·) + N29 (·)] − 3 17 2 (3) (3) (3) [N (·) + N19 (·) + N30 (·)] − 3 18

1 (3) (3) (3) [N (·) + N15 (·) + N29 (·)] 3 10 1 (3) (3) (3) [N (·) + N12 (·) + N30 (·)] 3 9 1 (3) (3) (3) [N (·) + N14 (·) + N31 (·)] 3 11 1 (3) (3) (3) [N (·) + N16 (·) + N32 (·)] 3 13 1 (3) (3) (3) [N (·) + N23 (·) + N25 (·)] 3 18 1 (3) (3) (3) [N (·) + N20 (·) + N26 (·)] 3 17

(6.12)

89

6.2. ELEMENTOS ESPACIAIS η 24

5

23

17

22 29

18 19

6

8

η

21

20

32

4

7 25

31

30 1

16

15

4

9 26

10

27

ζ

1

28

ξ

2

3

4

= -1

-1/3

1/3

1

ξ

X

14 13

2

1

3

1/3

2

-1/3

1

-1

X

-1 -1/3

3 1/3

4 1

ζ

3 11

1 2

12

Figura 6.13: Elemento espacial de terceiro grau. (3)

=

(3)

=

N7 (ξ, η, ζ) N8 (ξ, η, ζ)

2 (3) (3) (3) [N (·) + N21 (·) + N31 (·)] − 3 20 2 (3) (1) (3) (3) N8 (·) − [N22 (·) + N23 (·) + N32 (·)] − 3 (1)

N7 (·) −

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

b 1 4 4 1 1 4 4 1 2 3 4 4 3 2 1 1

c 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 2 3 4 4 3 2

d 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1

a 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

b 2 3 4 4 3 2 1 1 1 4 4 1 1 4 4 1

1 (3) (3) (3) [N (·) + N22 (·) + N27 (·)] 3 19 1 (3) (3) (3) [N (·) + N24 (·) + N28 (·)] 3 21

c 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 4 4 1 1 4 4

d 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 3 3 3 3

Tabela 6.6: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento espacial de terceiro grau.

˜ 90CAP´ITULO 6. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES

Cap´ıtulo 7

Fun¸ c˜ oes de Forma para Elementos Triangulares Nesse cap´ıtulo, apresenta-se a constru¸c˜ ao das fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao para triˆ angulos e tetraedros baseada no produto tensorial de fun¸c˜ oes unidimensionais. A abordagem aqui discutida ´e totalmente original. Inicialmente, considera-se o conceito de coordenadas de a´rea, as quais s˜ ao naturalmente apropriadas para o caso de triˆ angulos. Apresenta-se o conceito de jacobiano de transforma¸c˜ ao e o c´ alculo de derivadas globais. Posteriormente, discute-se o processo de tensoriza¸c˜ ao, o qual ´e aplicado para se obter as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao de elementos at´e o quarto grau. Posteriomente, consideram-se as coordenadas de volume para tetraedros, o jacobiano local-global, c´ alculo de derivadas globais e aplica¸c˜ ao do produto tensorial para a constru¸c˜ ao de fun¸c˜ oes dos elementos at´e o terceiro grau.

7.1

´ Coordenadas de Area

Dado um ponto P no interior de um triˆ angulo de a´rea A, definem-se 3 subtriˆ angulos com a´reas A1 , A2 e A3 , como mostrado na Figura 7.1. Pode-se, ent˜ ao, escrever as seguintes rela¸c˜ oes L1 =

A1 A

L2 =

A2 A

L3 =

A3 A

(7.1)

Verifica-se que estas coordenadas variam de 0 a 1, ou seja, 0 ≤ Li ≤ 1 (i = 1, 2, 3). Assim, supondo que o ponto P esteja sobre o v´ertice 1, tem-se que a a´rea A1 ser´ a igual a a´rea A e L1 assume o valor 1. No entanto, se o ponto P est´ a sobre a aresta 2-3, a a´rea A1 ser´ a nula e portanto L1 = 0. De forma an´ aloga para L2 e L3 . Pode-se tra¸car linhas de Li constante, observando-se que as mesmas s˜ ao paralelas ao lado a partir do qual a coordenada Li ´e medida. Estas linhas est˜ ao mostradas na Figura 7.1, considerando-se a coordenada L1 . 91

˜ CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

92

3

3

3

A1 A2 L2

L1

L1

P L3

2

A3 1

1

2 2 1

L1

3

=1

L 1 = 1/2

L1 = 0 1

2

Figura 7.1: Coordenadas de a´rea para triˆ angulos. As componentes L1 , L2 e L3 s˜ ao denominadas coordenadas de a´rea, sendo utilizadas para a defini¸c˜ ao das fun¸c˜ oes de forma dos elementos triangulares. A partir da Figura 7.1, verifica-se que A = A1 + A2 + A3 Dividindo-se a rela¸c˜ ao anterior por A vem que A1 A2 A3 + + =1 A A A Aplicando (7.1), tem-se L1 + L2 + L3 = 1 → L3 = 1 − L1 − L2

(7.2)

Assim, a express˜ ao (7.2) pode ser utilizada para denotar a vari´ avel L3 em fun¸c˜ ao das componentes independentes L1 e L2 .

7.2

C´ alculo do Jacobiano e das Derivadas Globais

Considerando-se os elementos triangulares como isoparam´etricos, tem-se que as coordenadas globais x e y dos pontos de um elemento s˜ ao dadas por x(L1 , L2 ) =

n X

Na (L1 , L2 )Xae

(7.3)

n X

Na (L1 , L2 )Yae

(7.4)

a=1

y(L1 , L2 ) =

a=1

´ 7.2. CALCULO DO JACOBIANO E DAS DERIVADAS GLOBAIS

93

onde n ´e o n´ umero de n´ os do elemento; Xae e Yae s˜ ao as coordenadas globais dos n´ os do elemento e. Observa-se que express˜ oes an´ alogas podem ser escritas para os deslocamentos u e v de pontos do elemento. Logo, u(L1 , L2 ) =

n X

Na (L1 , L2 )Uae

(7.5)

n X

Na (L1 , L2 )Vae

(7.6)

a=1

v(L1 , L2 ) =

a=1

sendo Uae e Vae os deslocamentos dos graus de liberdade do elemento e. Para o c´ alculo da matriz de rigidez dos elementos, deve-se calcular a matriz de deforma¸c˜ ao [B] contendo as derivadas parciais das fun¸c˜ oes de forma em rela¸c˜ ao a`s vari´ aveis globais x e y. No entanto, tˆem-se 3 coordenadas de a´rea para o caso plano. Considerando, aveis independentes, pode-se escrever para o n´ o a de um inicialmente, L1 e L2 como vari´ elemento ∂Na ∂Na ∂x ∂Na ∂y = + ∂L1i ∂x ∂L1 ∂y ∂L1 ∂Na ∂Na ∂x ∂Na ∂y = + ∂L2i ∂x ∂L2 ∂y ∂L2 onde o sub´ındice i reflete a independˆencia das vari´ aveis L1 e L2 . Estas rela¸c˜ oes podem ser denotadas matricialmente como (

NaL1 i NaL2 i

)

=

"

#(

xL1 yL1 xL2 yL2

Nax Nay

)

= [J]

(

Nax Nay

)

(7.7)

sendo [J] a matriz do Jacobiano. Invertendo-se a matriz do Jacobiano, determinam-se as coordenadas em rela¸c˜ ao as derivadas globais x e y. Logo, (

Nax Nay

)

−1

= [J]

(

NaL1 i NaL2 i

)

Deve-se, no entanto, considerar a vari´ avel L3 . Observa-se que ∂Na ∂Na ∂L1 ∂Na ∂L1 ∂Na ∂L1 = + + ∂L1i ∂L1 ∂L1 ∂L1 ∂L2 ∂L1 ∂L3 Aplicando (7.2), verifica-se que ∂L1 =1 ∂L1

∂L2 =0 ∂L1

∂L3 = −1 ∂L1

(7.8)

˜ CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

94

3

3

3

3

10 8 6

11

5 9

1

2

4

1

a)

2

10

4

1

9

7

b)

6

5

15

12

2

c)

1

13 4

8 14

5

7 6

2

d)

Figura 7.2: Elementos triangulares planos. e ∂Na ∂Na ∂Na = − ∂L1i ∂L1 ∂L3

(7.9)

Obt´em-se uma express˜ ao an´ aloga para L2i , ou seja, ∂Na ∂Na ∂Na = − ∂L2i ∂L2 ∂L3

(7.10)

Uma maneira mais simples para se calcular as derivadas globais ´e utilizar a rela¸c˜ ao (7.2). Desta forma, elimina-se a dependˆencia das fun¸c˜ oes de forma da vari´ avel L3 e as derivadas globais podem ser calculadas atrav´es de uma express˜ ao an´ aloga a (7.8), ou seja, (

7.3

Nax Nay

)

−1

= [J]

(

NaL1 NaL2

)

(7.11)

Elementos Planos

A seguir ser˜ ao deduzidas as fun¸c˜ oes de forma para os elementos triangulares planos linear, quadr´ atico, c´ ubico e qu´ artico. Estes elementos, ilustrados na Figura 7.2, possuem 3, 6, 10 e 15 n´ os, respectivamente. As fun¸c˜ oes de forma destes elementos ser˜ ao dadas pelos produtos tensoriais dos polinˆ omios de Lagrange nas coordenadas L1 , L2 e L3 . Logo, (b−1)

Na (L1 , L2 , L3 ) = lb

(d−1)

(L1 )lc(c−1) (L2 )ld

(L3 )

(7.12)

onde os ´ındices a, b, c e d s˜ ao escolhidos de maneira an´ aloga ao realizado para os elementos quadrangulares.

95

7.3. ELEMENTOS PLANOS L1

L2

1

3

L1

L2

3

L3

2

2

L3

1

2 1

1

L2

L1

2

1

3

0

1

2 0

0

1

2

L3

1

1

Figura 7.3: Elemento triangular plano linear. Os polinˆ omios presentes na express˜ ao anterior s˜ ao dados na seguinte forma geral (b−1)

lb

(L1 ) =

lc(c−1) (L2 ) = (d−1)

ld

(L3 ) =

(L1 − L11 )(L1 − L12 ) . . . (L1 − L1b−1 ) (L1b − L11 )(L1b − L12 ) . . . (L1b − L1b−1 ) (L2 − L21 )(L2 − L22 ) . . . (L2 − L2c−1 ) (L2c − L21 )(L2c − L22 ) . . . (L2c − L2c−1 ) (L3 − L31 )(L3 − L32 ) . . . (L3 − L3d−1 ) (L3d − L31 )(L3d − L32 ) . . . (L3d − L3d−1 )

(7.13)

A seguir ser˜ ao deduzidas as fun¸c˜ oes de forma para os elementos ilustrados na Figura 7.2.

7.3.1

Elemento Linear

Como h´ a dois pontos em cada aresta do triˆ angulo, as fun¸c˜ oes de forma variam linearmente ao longo dos lados do elemento. As coordenadas de a´rea destes pontos s˜ ao indicadas pelos sub´ındices 1 e 2. Assim, por exemplo, na dire¸c˜ ao L1 tˆem-se as coordenadas L11 = 0 e L12 = 1, correspondendo a`s duas linhas de valores constantes para L1 , como indicado na Figura 7.3. De forma an´ aloga, nas dire¸co˜es L2 e L3 , tem-se L21 = 0, L22 = 1 e L31 = 0, L32 = 1. a b c d

1 2 1 1

2 1 2 1

3 1 1 2

Tabela 7.1: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento linear. Para determinar as fun¸c˜ oes de forma Na (a = 1, 2, 3) associada a cada um dos trˆes n´ os, deve-se aplicar a express˜ ao (7.12). Os ´ındices b, c, d indicam os pontos passando pelo

96

˜ CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

n´ o considerado segundo as dire¸c˜ oes L1 , L2 , L3 . Tomando-se, por exemplo, o primeiro n´ o (a = 1), tem-se os pontos 2, 1 e 1 nas dire¸c˜ oes L1 , L2 e L3 , correspondendo a L12 = 1, L21 = 0 e L31 = 0. Neste caso, a = 1, b = 2, c = 1 e d = 1. A Tabela 7.1 resume a rela¸c˜ ao entre estes ´ındices. Aplicando-se (7.12) e (7.14), tem-se que L1 − L11 L1 − 0 = L1 = L12 − L11 1−0 L2 − L21 L2 − 0 (1) (0) (1) (0) N2 (L1 , L2 , L3 ) = l1 (L1 )l2 (L2 )l1 (L3 ) = = = L2 L22 − L21 1−0 (L3 − L31 ) L3 − 0 (1) (0) (0) (1) = L3 N3 (L1 , L2 , L3 ) = l1 (L1 )l1 (L2 )l2 (L3 ) = = (L32 − L31 ) 1−0 (1)

(1)

(0)

(0)

N1 (L1 , L2 , L3 ) = l2 (L1 )l1 (L2 )l1 (L3 ) =

onde os polinˆ omios de Lagrange de ordem 0 s˜ ao iguais a unidade. Substituindo (7.2), as fun¸c˜ oes de forma do elemento linear podem ser expressas em termos de L1 e L2 . Logo,  (1)    N1 (L1 , L2 ) = L1

N

(1)

(7.14)

(L , L ) = L

1 2 2 2    N (1) (L , L ) = 1 − L − L 1 2 1 2 3

As fun¸c˜ oes de forma dos n´ os deste elemento est˜ ao ilustradas na Figura 7.4.

1

0

−1 1 1 0.5

0.5 0

0

1 1 0.5 0

0.5

−0.5

0

−1 1

−0.5 1

0.5 0

1

0.5

0

−1 0

0.5 0.5

1

0

Figura 7.4: Fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao para o triˆ angulo linear lagrangiano.

97

7.3. ELEMENTOS PLANOS

7.3.2

Elemento Quadr´ atico

O elemento quadr´ atico est´ a ilustrado na Figura 7.5 e a rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d na Tabela 7.2. As fun¸c˜ oes de forma s˜ ao determinadas a partir de (7.12). Logo, (2)

(2)

(0)

(0)

N1 (L1 , L2 , L3 ) = l3 (L1 )l1 (L2 )l1 (L3 ) = (2)

(L1 − 0)(L1 − 12 ) (L1 − L11 )(L2 − L12 ) = = L1 (2L1 − 1) (L13 − L11 (L13 − L12 ) (1 − 0)(1 − 12 ) (0)

(2)

(0)

(2)

(0)

(0)

(2)

(2)

(1)

(1)

(0)

(2)

(0)

(1)

(1)

(2)

(1)

(0)

(1)

N2 (L1 , L2 , L3 ) = l1 (L1 )l3 (L2 )l1 (L3 ) = L2 (2L2 − 1) N3 (L1 , L2 , L3 ) = l1 (L1 )l1 (L2 )l3 (L3 ) = L3 (2L3 − 1) N4 (L1 , L2 , L3 ) = l2 (L1 )l2 (L2 )l1 (L3 ) = 4L1 L2 N5 (L1 , L2 , L3 ) = l1 (L1 )l2 (L2 )l2 (L3 ) = 4L2 L3 N6 (L1 , L2 , L3 ) = l1 (L1 )l1 (L2 )l2 (L3 ) = 4L1 L3 Analogamente aos elementos quadrangulares, as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao dos n´ os 1 a 3 (1) podem ser obtidas a partir daquelas do elemento linear. Calculando-se N1 (L1 , L2 ), dada em (7.14), para as coordenadas dos n´ os 4 (L1 = L2 = 12 ) e 6 (L1 = 1, L2 = 0), tem-se que (1) 1 1 N1 ( , ) = 2 2 (1) 1 N1 ( , 0) = 2

1 2 1 2 (2)

(2)

Assim, utilizam-se as fun¸c˜ oes N4 (L1 , L2 ) e N6 (L1 , L2 ) para se obter a fun¸c˜ ao referente ao n´ o 1 do elemento quadr´ atico, ou seja, i 1 h (2) (2) N4 (L1 , L2 ) + N6 (L1 , L2 ) (7.15) 2 Tomando-se a rela¸ca ˜o anterior para as coordenadas dos n´ os 1, 4 e 6, tem-se que (2)

(1)

N1 (L1 , L2 ) = N1 (L1 , L2 ) −

1 (2) N1 (1, 0) = 1 − [0 + 0] = 1 2 1 1 (2) 1 1 N1 ( , ) = − [1 + 0] = 1 2 2 2 2 1 1 (2) 1 N1 ( , 0) = − [0 + 1] = 1 2 2 2 O mesmo procedimento pode ser efetuado para os n´ os 2 e 3. Portanto,   N (2) (L1 , L2 ) = N (1) (L1 , L2 ) − 2 2  N (2) (L1 , L2 ) = N (1) (L1 , L2 ) − 3 3

1 2 1 2

h

(2)

(2)

(2)

(2)

i

N4 (L1 , L2 ) + N5 (L1 , L2 )

h

i

N5 (L1 , L2 ) + N6 (L1 , L2 )

(7.16)

˜ CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

98

L1

1

L2 3

L1

L2 5 L

3

6

4

1 1

1/2

2

1/2

0

L2

4

1 0

2

1/2

L3

3

2

5 L2

1

3

1

2

6

L1

1

3

6

5

3

0

1

4

L3

2

L3 2

L3

1

1

Figura 7.5: Elemento triangular plano quadr´ atico.

Novamente, pode-se utilizar (7.2) para eliminar L3 das express˜ oes das fun¸c˜ oes de forma. Logo,  (2)   N1 (L1 , L2 ) = L1 (2L1 − 1)    (2)   N2 (L1 , L2 ) = L2 (2L2 − 1)     N (2) (L , L ) = (1 − L − L )(1 − 2L − 2L ) 1 2 1 2 1 2 3 (2)  N4 (L1 , L2 ) = 4L1 L2     (2)   N5 (L1 , L2 ) = 4L2 (1 − L2 − L1 )     (2)

(7.17)

N6 (L1 , L2 ) = 4L1 (1 − L2 − L1 )

As fun¸c˜ oes de forma deste elemento est˜ ao apresentadas na Figura 7.6. a b c d

1 3 1 1

2 1 3 1

3 1 1 3

4 2 2 1

5 1 2 2

6 2 1 2

Tabela 7.2: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento quadr´ atico.

7.3.3

Elemento C´ ubico

A Tabela 7.3 apresenta os ´ındices a,b,c,d para o elemento triangular c´ ubico ilustrado na Figura 7.7. Aplicando-se (7.12), obt´em-se as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao para este elemento,

99

7.3. ELEMENTOS PLANOS

1 0 −1 1

1

0.5 0 0

0.5

1

1

0

0

−1 1

1

0.5 0 0

−1 1

1

0.5

0.5

0 0

0.5

1

1

1

0

0

0

−1 1

1

0.5 0 0

0.5

−1 1

1

0.5 0 0

0.5

−1 1

1

0.5 0 0

0.5

Figura 7.6: Fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao para o triˆ angulo quadr´ atico lagrangiano.

˜ 100 CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES L1

4

L1

L1

1

3 1

L2

3

8

L1

L2

3

3

8

7

9

10

L1

6

9

7

L2

10

2/3

1

4

5

2/3

1

1

2

1/3

0

4

6

2/3

0

5

1/3

8

7

L3

3

3

L2 1

4

2

L2 2

L3

1/3

9

10

4

2

0

1

6

L3

4

5

L3 2

2

L3

1

1

Figura 7.7: Elemento triangular plano c´ ubico. ou seja,                                           

(3)

N1 (L1 , L2 ) = 12 (3L1 − 1)(3L1 − 2) (3) N2 (L1 , L2 ) = 12 (3L2 − 1)(3L2 − 2) (3) N3 (L1 , L2 ) = 12 (2 − 3L1 − 3L2 )(1 − 3L1 − 3L2 ) (3) N4 (L1 , L2 ) = 92 L1 L2 (3L1 − 1) (3) N5 (L1 , L2 ) = 92 L1 L2 (3L2 − 1) (3) N6 (L1 , L2 ) = 92 L2 (1 − L1 − L2 )(3L2 − 1) (3) N7 (L1 , L2 ) = 92 L2 (1 − L1 − L2 )(2 − 3(L1 + L2 )) (3) N8 (L1 , L2 ) = 92 L1 (1 − L1 − L2 )(2 − 3(L1 + L2 )) (3) N9 (L1 , L2 ) = 92 L1 (1 − L1 − L2 )(3L1 − 1) (3) N10 (L1 , L2 ) = 27L1 L2 (1 − L1 − L2 )

(7.18)

observando-se que (7.2) foi utilizada para eliminar L3 das express˜ oes. A Figura 7.8 apresenta as fun¸c˜ oes de forma deste elemento. Analogamente, pode-se expressar as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao dos n´ os 1 a 3 a partir daquelas do elemento linear. Logo,  (3) (1)  N (L1 , L2 ) = N1 (·) −    1 (3)

(1)

N2 (L1 , L2 ) = N2 (·) −

    N (3) (L1 , L2 ) = N (1) (·) − 3 3

7.3.4

2 3 2 3 2 3

h h h

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

i

N4 (·) + N9 (·) − i

N5 (·) + N6 (·) − i

N5 (·) + N6 (·) −

1 3 1 3 1 3

h

(3)

(3)

(3)

(3)

h

(3)

(3)

i

N5 (·) + N8 (·)

h

i

N4 (·) + N7 (·)

(7.19)

i

N6 (·) + N9 (·)

Elemento Qu´ artico

Finalmente, para o elemento qu´ artico ilustrado na Figura 7.9, obt´em-se de maneira an´ aloga as suas fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao, observando-se que a rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d

101

7.3. ELEMENTOS PLANOS

a b c d

1 4 1 1

2 1 4 1

3 1 1 4

4 3 2 1

5 2 3 1

6 1 3 2

7 1 2 3

8 2 1 3

9 3 1 2

10 2 2 2

Tabela 7.3: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento c´ ubico.

1 0 −1 1

0.5

0 0

0.5

1

1

1

0

0

−1 1

−1 1 1 0.5

0.5

0 0

0.5

0 0

0.5

1

1

1

0

0

0

−1 1

−1 1 1 0.5

−1 1 1 0.5

0.5

0 0

0.5

1

0 0

0.5

0 0

0.5

1

1

1

1

0

0

0

0

−1 1

−1 1 1 0.5

−1 1 1 0.5

−1 1 1 0.5

0.5

0 0

0.5

0 0

0.5

1

0 0

0.5

0 0

0.5

1

Figura 7.8: Fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao para o triˆ angulo c´ ubico lagrangiano.

˜ 102 CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES est´ a dada na Tabela 7.4. Portanto,                                                                     

(4)

N1 (L1 , L2 ) = 13 L1 (4L1 − 1)(4L1 − 3) (4) N2 (L1 , L2 ) = 13 L2 (4L2 − 1)(4L2 − 3) (4) N3 (L1 , L2 ) = 13 (1 − L1 − L2 )(3 − 4(L2 + L3 ))(1 − 4(L2 + L3 )) (4) N4 (L1 , L2 ) = 16 3 L1 L2 (4L1 − 1)(2L1 − 1) (4) N5 (L1 , L2 ) = 4L1 L2 (4L1 − 1)(4L2 − 1) (4) N6 (L1 , L2 ) = 16 3 L1 L2 (4L2 − 1)(2L2 − 1) (4) 16 N7 (L1 , L2 ) = 3 L2 (1 − L1 − L2 )(4L2 − 1)(2L2 − 1) (4) N8 (L1 , L2 ) = 4L2 (1 − L1 − L2 )(4L2 − 1)(3 − 4(L1 + L2 )) (4) N9 (L1 , L2 ) = 16 3 L2 (1 − L1 − L2 )(3 − 4(L1 + L2 ))(1 − 2(L1 + L2 )) (4) 16 N10 (L1 , L2 ) = 3 L1 (1 − L1 − L2 )(3 − 4(L1 + L2 ))(1 − 2(L1 + L2 )) (4) N11 (L1 , L2 ) = 4L1 (1 − L1 − L2 )(4L1 − 1)(3 − 4(L1 + L2 )) (4) N12 (L1 , L2 ) = 16 3 L1 (1 − L1 − L2 )(4L1 − 1)(2L1 − 1) (4) N13 (L1 , L2 ) = 32L1 L2 (1 − L1 − L2 )(4L1 − 1) (4) N14 (L1 , L2 ) = 32L1 L2 (1 − L1 − L2 )(4L2 − 1) (4) N15 (L1 , L2 ) = 32L1 L2 (1 − L1 − L2 )(3 − 4(L1 + L2 ))

(7.20)

Para os n´ os 1 a 3, determinam-se as seguintes express˜ oes pela modifica¸c˜ ao das fun¸c˜ oes do elemento linear (4)

N1 (L1 , L2 ) =

(4)

N2 (L1 , L2 ) =

(4)

N3 (L1 , L2 ) =

a b c d

1 5 1 1

2 1 5 1

i 1h i 3 h (4) (1) (3) (4) (3) (4) N1 (·) − N4 (·) + N12 (·) − N5 (·) + N11 (·) + N13 (·) − 4 2 i 1 h (4) (3) (4) (4) N6 (·) + N10 (·) + N14 (·) + N15 (·) 4 i 1h i 3 h (4) (3) (4) (3) (4) (1) N6 (·) + N7 (·) − N5 (·) + N8 (·) + N14 (·) − N2 (·) − 4 2 i 1 h (4) (3) (4) (4) N4 (·) + N9 (·) + N13 (·) + N14 (·) (7.21) 4 h i h i 3 1 (1) (4) (3) (4) (3) (4) N3 (·) − N9 (·) + N10 (·) − N8 (·) + N11 (·) + N15 (·) − 4 2 i 1 h (4) (3) (4) (4) N7 (·) + N12 (·) + N13 (·) + N14 (·) 4

3 1 1 5

4 4 2 1

5 3 3 1

6 2 4 1

7 1 4 2

8 1 3 3

9 1 2 4

10 2 1 4

11 3 1 3

12 4 1 2

13 3 2 2

14 2 3 2

15 2 2 3

Tabela 7.4: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento qu´ artico.

103

7.4. COORDENADAS DE VOLUME L1 L1 L1 L1

3 4 10

9

5

L2

3 10

11

15

2 13

11

8 14

L1

7

15 L2

12

13

3 1

4

L2

9

3

12

L1

L2

5

L2

8 14

1

4

1

5

1/4

6

1/2

1

2

3/4

4

5

2

12

2

0

1/4

1/2

3/4

13

14

1

4

5

L3

4

L3 7

1/4 1 0

0

8

1/2

7

6

15

5

L3

9

11

L2

1

10

3/4

3

L3

6

3

L3 2

2

L3

1

1

Figura 7.9: Elemento triangular plano qu´ artico.

7.4

Coordenadas de Volume

Para o caso de elementos espaciais, torna-se conveniente expandir as coordenadas de a´rea L1 , L2 e L3 introduzindo-se uma quarta componente L4 , definindo-se assim as coordenadas de volume. Dado um ponto P no interior de um tetraedro de volume V , definem-se 4 tetraedros internos 1, 2, 3 e 4 com volumes V1 , V2 , V3 e V4 , respectivamente. As coordenadas de volume L1 , L2 , L3 e L4 s˜ ao definidas pela raz˜ ao de volumes destes tetraedros, como ilustrado na Figura 7.10. Logo, L1 =

V1 V

L2 =

V2 V

L3 =

V3 V

L4 =

V4 V

Verifica-se que o volume V ´e a soma dos volumes V1 , V2 , V3 e V4 dos tetraedros internos. Portanto, V = V1 + V2 + V3 + V4 Dividindo-se a express˜ ao anterior pelo volume V , verifica-se que V1 V2 V3 V4 + + + = 1 → L1 + L2 + L3 + L4 = 1 V V V V Utilizando-se a equa¸c˜ ao anterior, pode-se escrever L4 em fun¸c˜ ao das coordenadas independentes L1 , L2 e L3 . Logo, L4 = 1 − L1 − L2 − L3

(7.22)

Observa-se que estas coordenadas variam de 0 a 1 de maneira an´ aloga a`s coordenadas de a´rea apresentadas anteriormente.

˜ 104 CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES 1 V P V1

4

3

2

Figura 7.10: Coordenadas de volume: componente L1 .

7.5

C´ alculo do Jacobiano e das Derivadas Globais

Considerando L1 , L2 e L3 como coordenadas independentes e tomando-se o n´ o a de um elemento finito, obt´em-se atrav´es da regra da cadeia ∂Na ∂L1 ∂Na ∂L2 ∂Na ∂L3

∂Na ∂x ∂Na ∂y ∂Na ∂z + + ∂x ∂L1 ∂y ∂L1 ∂z ∂L1 ∂Na ∂x ∂Na ∂y ∂Na ∂z + + ∂x ∂L2 ∂y ∂L2 ∂z ∂L2 ∂Na ∂x ∂Na ∂y ∂Na ∂z + + ∂x ∂L3 ∂y ∂L3 ∂z ∂L3

= = =

ou em forma matricial,     NaL1  

N

aL   N 2 aL3

Logo,

xL1  =  xL2   xL3

    Nax  

N



ay   N   az

= [J]−1









  yL1 zL1   Nax   Nax    yL2 zL2  Nay = [J] Nay     N   yL3 zL3  Naz  az

     NaL1 

N

aL    N 2  aL3

(7.23)

(7.24)

105

7.6. ELEMENTOS ESPACIAIS 1

1

1

9

7 7

6

5

10

19 8 5

4 3

18 10

17

4 3

3

4 14

13

12

6 20

8

16

9 11 15

2

2

2

Figura 7.11: Tetraedros linear, quadr´ atico e c´ ubico.

7.6

Elementos Espaciais

Neste caso, ser˜ao deduzidas as fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao para os elementos linear, quadr´ atico e c´ ubico, ilustrados na Figura 7.11, os quais possuem 4, 10 e 20 n´ os, respectivamente. Estas fun¸c˜ oes s˜ ao dadas pelo produto tensorial de polinˆ omios nas dire¸c˜ oes L1 , L2 , L3 e L4 , ou seja, Na (L1 , L2 , L3 L4 ) = Nbb−1 (L1 )Ncc−1 (L2 )Ndd−1 (L3 )Nee−1 (L4 )

a = 1, . . . , n

(7.25)

onde n ´e o n´ umero de n´ os e os ´ındices a,b,c,d,e s˜ ao escolhidos de maneira conveniente.

7.6.1

Tetraedro Linear

Tomando-se o elemento linear, ilustrado na Figura 7.12, e a rela¸c˜ ao de ´ındices dada na Tabela 7.5, aplica-se a express˜ ao (7.25) para a obten¸c˜ ao das fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao. Portanto, (1)

(0)

(0)

(0)

(0)

(1)

(0)

(0)

(0)

(0)

(1)

(0)

(0)

(0)

(0)

(1)

N1 (L1 , L2 , L3 , L4 ) = l2 (L1 )l1 (L2 )l1 (L3 )l1 (L4 ) =

L1 − L11 L1 − 0 = = L1 L12 − L11 1−0

N2 (L1 , L2 , L3 L4 ) = l1 (L1 )l2 (L2 )l1 (L3 )l1 (L4 ) = L2 N3 (L1 , L2 , L3 L4 ) = l1 (L1 )l1 (L2 )l2 (L3 )l1 (L4 ) = L3 N4 (L1 , L2 , L3 L4 ) = l1 (L1 )l1 (L2 )l1 (L3 )l2 (L4 ) = L4

˜ 106 CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

1

L1 =1

1

1

2

L2 =0 1

4 3

L3 =0

L3 =1 2

1

4

4

3 3

L1 =0 1 L2 =1 2

2

2

2

Figura 7.12: Tetraedro linear.

a b c d e

1 2 1 1 1

2 1 2 1 1

3 1 1 2 1

4 1 1 1 2

Tabela 7.5: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c, d e e para o tetraedro linear.

107

7.6. ELEMENTOS ESPACIAIS

Substituindo (7.22) nas express˜ oes anteriores, tˆem-se as seguintes fun¸c˜ oes de forma para o tetraedro linear   N1 (L1 , L2 , L3 ) = L1   

N2 (L1 , L2 , L3 ) = L2

(7.26)

 N3 (L1 , L2 , L3 ) = L3   

N4 (L1 , L2 , L3 ) = 1 − L1 − L2 − L3

7.6.2

Tetraedro Quadr´ atico

Segue-se o mesmo procedimento para o elemento quadr´ atico dado na Figura 7.13. A Tabela 7.6 apresenta a rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c, d e e. Portanto, eliminando-se L4 a partir de (7.22), tem-se que                                           

(2)

N1 (L1 , L2 , L3 ) = (2L1 − 1)L1 (2) N2 (L1 , L2 , L3 ) = (2L2 − 1)L2 (2) N3 (L1 , L2 , L3 ) = (2L3 − 1)L3 (2) N4 (L1 , L2 , L3 ) = ((1 − 2(L1 + L2 + L3 ))(1 − L1 − L2 − L3 ) (2) N5 (L1 , L2 , L3 ) = 4L1 L2 (2) N6 (L1 , L2 , L3 ) = 4L1 L3 (2) N7 (L1 , L2 , L3 ) = 4L1 (1 − L1 − L2 − L3 ) (2) N8 (L1 , L2 , L3 ) = 4L2 L3 (2) N9 (L1 , L2 , L3 ) = 4L3 (1 − L1 − L2 − L3 ) (2) N10 (L1 , L2 , L3 ) = 4L2 (1 − L1 − L2 − L3 )

(7.27)

Expressando-se as fun¸c˜ oes dos n´ os 1 a 4 a partir das rela¸c˜ oes do elemento linear, obt´em-se  (2) (1)  N1 (L1 , L2 , L3 ) = N1 (·) −       N (2) (L1 , L2 , L3 ) = N (1) (·) − 2 2 (2) (1)  N3 (L1 , L2 , L3 ) = N3 (·) −       N (2) (L1 , L2 , L3 ) = N (1) (·) − 4 4

7.6.3

1 2 1 2 1 2 1 2

h

(2)

(2)

(2)

h

(2)

(2)

(2)

h

(2)

(2)

(2)

h

(2)

(2)

(2)

i

N5 (·) + N6 (·) + N7 (·)

i

N5 (·) + N8 (·) + N10 (·)

i

N6 (·) + N8 (·) + N9 (·)

(7.28)

i

N7 (·) + N9 (·) + N10 (·)

Tetraedro C´ ubico

Finalmente, pode-se obter as fun¸c˜ oes de forma para o elemento c´ ubico ilustrado na Figura 7.14, onde a rela¸c˜ ao entre os ´ındices est´ a dada na Tabela 7.7. Portanto, determinam-se as

˜ 108 CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

1

1

7

6

1

L2= 0

L1 = 1

L 3 = 1/2 L3= 1

6

L 3= 0

L 1 = 1/2 5 4

3

9

4 3

5

3

L 2 = 1/2

8

10 8

L 2= 1

L1= 0 2

2

2

Figura 7.13: Tetraedro quadr´ atico.

a b c d e

1 3 1 1 1

2 1 3 1 1

3 1 1 3 1

4 1 1 1 3

5 2 2 1 1

6 2 1 2 1

7 2 1 1 2

8 1 2 2 1

9 1 1 2 2

10 1 2 1 2

Tabela 7.6: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c, d e e para o tetraedro quadr´ atico.

4

109

7.6. ELEMENTOS ESPACIAIS 1

1

1

L1 = 1

L2= 0 7

9

7

L 1 = 2/3 5

5 8

L3= 1

L 1 = 1/3

8

10 4

3

4 3

L1= 0

L 2 = 1/3

2

4

L 3 = 2/3

15

11

2

16

12

14

12

L 2 = 2/3

6 6

13

3

L 2= 1

11

L 3 = 1/3 L 3= 0

2

Figura 7.14: Tetraedro c´ ubico. seguintes express˜ oes em fun¸c˜ ao de L1 , L2 e L3                                                                                                 

(3)

N1 (L1 , L2 , L3 ) = 12 (3L1 − 1)(3L1 − 2)L1 (3) N2 (L1 , L2 , L3 ) = 12 (3L2 − 1)(3L2 − 2)L2 (3) N3 (L1 , L2 , L3 ) = 12 (3L3 − 1)(3L3 − 2)L3 (4) N4 (L1 , L2 , L3 ) = 12 (2 − 3(L1 + L2 + L3 ))(1 − 3(L1 + L2 + L3 ))(1 − L1 − L2 − L3 ) (3) N5 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L1 L2 (3L1 − 1) (3) N6 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L1 L2 (3L2 − 1) (3) N7 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L1 L3 (3L1 − 1) (3) N8 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L1 L3 (3L3 − 1) (3) N9 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L1 L4 (3L1 − 1) (3) N10 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L1 (1 − L1 − L2 − L3 )(2 − 3(L1 + L2 + L3 )) (7.29) (3) N11 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L2 L3 (3L2 − 1) (3) N12 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L2 L3 (3L3 − 1) (3) N13 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L3 (1 − L1 − L2 − L3 )(3L3 − 1) (3) N14 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L3 (1 − L1 − L2 − L3 )(2 − 3(L1 + L2 + L3 )) (3) N15 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L2 (1 − L1 − L2 − L3 )(3L2 − 1) (3) N16 (L1 , L2 , L3 ) = 92 L2 (1 − L1 − L2 − L3 )(2 − 3(L1 + L2 + L3 )) (3) N17 (L1 , L2 , L3 ) = 27L1 L2 L3 (3) N18 (L1 , L2 , L3 ) = 27L1 L2 (1 − L1 − L2 − L3 ) (3) N19 (L1 , L2 , L3 ) = 27L1 L3 (1 − L1 − L2 − L3 ) (3) N20 (L1 , L2 , L3 ) = 27L2 L3 (1 − L1 − L2 − L3 )

˜ 110 CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES a b c d e

1 4 1 1 1

2 1 4 1 1

3 1 1 4 1

4 1 1 1 4

5 3 2 1 1

6 2 3 1 1

7 3 1 2 1

8 2 1 3 1

9 3 1 1 2

10 2 1 1 3

11 1 3 2 1

12 1 2 3 1

13 1 1 3 2

14 1 1 2 3

15 1 3 1 2

16 1 2 1 3

17 2 2 2 1

18 2 2 1 2

19 2 1 2 2

20 1 2 2 2

Tabela 7.7: Rela¸c˜ ao entre os ´ındices a, b, c, d e e para o tetraedro c´ ubico. As fun¸c˜ oes de forma para os n´ os 1 a 4 podem ser determinadas modificando-se aquelas do elemento linear. Assim, (3)

N1 (L1 , L2 , L3 )

(3)

N2 (L1 , L2 , L3 )

(3)

N3 (L1 , L2 , L3 )

(3)

N4 (L1 , L2 , L3 )

7.7

i 2 h (3) (1) (3) (3) = N1 (·) − N5 (·) + N7 (·) + N9 (·) − 3 i 1 h (3) (3) (3) (3) (3) (3) N5 (·) + N8 (·) + N10 (·) + N17 (·) + N18 (·) + N19 (·) 3 i 2 h (3) (3) (3) (1) N6 (·) + N11 (·) + N15 (·) − = N2 (·) − 3 i 1 h (3) (3) (3) (3) (3) (3) N5 (·) + N12 (·) + N17 (·) + N16 (·) + N18 (·) + N20 (·) 3 i 2 h (3) (1) (3) (3) = N3 (·) − N8 (·) + N12 (·) + N13 (·) − 3 i 1 h (3) (3) (3) (3) (3) (3) N7 (·) + N11 (·) + N14 (·) + N17 (·) + N19 (·) + N20 (·) 3 i 2 h (3) (1) (3) (3) = N4 (·) − N10 (·) + N14 (·) + N16 (·) − 3 i 1 h (3) (3) (3) (3) (3) (3) N9 (·) + N13 (·) + N15 (·) + N18 (·) + N19 (·) + N20 (·) 3

(7.30)

Exerc´ıcios Propostos

Exerc´ıcio 7.1 Calcular a matriz do Jacobiano e seu determinante para o elemento triangular ilustrado na Figura 7.15. y 3

2 x 2

2 1

4

Figura 7.15: Exerc´ıcio 7.1.

7.7. EXERC´ICIOS PROPOSTOS

111

Exerc´ıcio 7.2 Determinar a matriz de massa local para um elemento triangular linear.

˜ 112 CAP´ITULO 7. FUNC ¸ OES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

Cap´ıtulo 8

Integra¸ c˜ ao Num´ erica Nesse cap´ıtulo, discutem-se procedimentos para a integra¸c˜ ao num´erica dos coeficientes das matrizes de massa e rigidez e vetores de carregamento dos elementos finitos. Inicialmente, estuda-se a integra¸c˜ ao de Newton-Cotes e Gauss-Legendre para elementos unidimensionais. Posteriormente, consideram-se elementos planos e espaciais.

8.1

Introdu¸ c˜ ao

A utiliza¸c˜ ao de coordenadas locais permite simplificar os limites de integra¸c˜ ao no c´ alculo das matrizes e vetores de carregamento dos elementos finitos. No entanto, nos casos gerais, n˜ ao ´e poss´ıvel obter uma express˜ ao anal´ıtica para estas express˜ oes. Desta forma, torna-se necess´ ario aplicar t´ecnicas de integra¸c˜ ao num´erica. R Considerando o caso unidimensional, a integra¸c˜ ao num´erica de ab f (ξ) dξ ´e efetuada R tomando-se um polinˆ omio ϕ(ξ) atrav´es de alguns valores de f (ξ) e usar ab ϕ(ξ) dξ como R uma aproxima¸c˜ ao para ab f (ξ) dξ. A posi¸c˜ ao dos pontos de amostragem e o n´ umero de valores para f (ξ) determina a qualidade da aproxima¸c˜ ao de ϕ(ξ) para f (ξ) e, portanto, o erro da integra¸c˜ ao num´erica. Observa-se que para os elementos isoparam´etricos, adota-se a = −1 e b = 1. A seguir apresentam-se as duas t´ecnicas comumente utilizadas para calcular numericamente uma integral.

8.2

Integra¸ c˜ ao de Newton-Cotes

Neste primeiro procedimento, toma-se a fun¸c˜ ao calculada em pontos igualmente espa¸cados em seu dom´ınio. Assim, para n pontos, pode-se ajustar um polinˆ omio de grau n − 1 e a fun¸c˜ ao pode ser assim integrada exatamente como ilustrado na Figura 8.1. Esta t´ecnica ´e conhecida como Newton-Cotes. 113

˜ NUMERICA ´ CAP´ITULO 8. INTEGRAC ¸ AO

114

f

f( ξ 1 )

f( ξ n )

-1

1

ξ

Figura 8.1: Pontos igualmente espa¸cados para a t´ecnica de integra¸c˜ ao de Newton-Cotes. O valor da integral de uma fun¸c˜ ao, definida no intervalo [−1, 1], ´e obtida pelo somat´ orio de valores da fun¸c˜ ao multiplicadas por um coeficiente de pondera¸c˜ ao. Portanto, I=

Z

1

f (ξ)dξ = −1

n X

Hl f (ξl )

(8.1)

l=1

ao, est˜ ao dados na Os coeficientes de pondera¸c˜ ao Hl , para at´e 5 pontos de integra¸c˜ Tabela 8.1. Para n = 2, tem-se a regra do trap´ezio, ou seja,

I=

2 X l=1

Hl f (ξl ) =

1 [f (−1) + f (1)] 2

Para n = 3, tem-se a regra de Simpson

I=

3 X

Hl f (ξl ) = I =

l=1

2 X

Hl f (ξl ) =

l=1

n 2 3 4 5

H1 1 1/3 1/4 7/45

H2 1 4/3 3/4 32/45

1 [f (−1) + 4f (0) + f (1)] 3

H3 1/3 3/4 12/45

H4 1/4 32/45

H5 7/45

Tabela 8.1: Coeficientes de pondera¸c˜ ao para as f´ ormulas de quadratura de Newton-Cotes.

115

8.3. QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE

8.3

Quadratura de Gauss-Legendre

Uma segunda t´ecnica para integrar numericamente uma fun¸c˜ ao ´e posicionar os pontos de amostragem, de tal forma a obter uma melhor precis˜ ao. Assim, tomando-se n pontos, tem-se 2n inc´ ognitas, ou seja, ξl e f (ξl ), podendo-se ajustar um polinˆ omio de grau 2n − 1 para que a fun¸c˜ ao seja integrada exatamente. Esta t´ecnica ´e conhecida por quadratura de Gauss-Legendre. Aplica-se, ent˜ ao, a equa¸c˜ ao (8.1) com os pontos de integra¸c˜ ao e os respectivos coeficientes de pondera¸c˜ ao apresentados na Tabela 8.2. A disposi¸c˜ ao destes pontos est´ a ilustrada na Figura 8.2. n 1 2 3

±0, 57735 0, 00000 ±0, 77459 ±0, 86113 ±0, 33998 0, 00000 ±0, 53846 ±0, 90618

4 5

ξl 0, 0 02691 00000 66692 63115 10435 00000 93101 98459

0, 34785 0, 65214 0, 56888 0, 47862 0, 23692

Hl 2, 00 1, 00 8/9 5/9 48451 51548 88888 86704 68850

Tabela 8.2: Pontos de integra¸c˜ ao e coeficientes de pondera¸c˜ ao para a quadratura de GaussLegendre supondo um intervalo (−1, 1). f

f

ξ

ξ1

ξ1

f

ξ

ξ2

ξ1

f

ξ1

ξ2

ξ

ξ2

ξ

ξ 3

f

3

ξ

ξ 4

ξ1

ξ2

ξ

3

ξ

4

ξ5

ξ

Figura 8.2: Pontos de integra¸c˜ao para os elementos unidimensionais. A quadratura de Gauss ´e comumente utilizada para o c´ alculo das matrizes dos ele-

˜ NUMERICA ´ CAP´ITULO 8. INTEGRAC ¸ AO

116

mentos finitos, pois obt´em-se uma melhor precis˜ ao com um n´ umero menor de pontos de integra¸c˜ ao, comparando-se com a t´ecnica de Newton-Cotes.

8.4

Exemplo de Aplica¸ c˜ ao

Para exemplificar o procedimento de integra¸c˜ ao num´erica por Gauss-Legendre, seja X1 = 1 3 , X = 1 e X = as coordenadas globais do elemento quadr´ atico ilustrado na Figura 2 3 2 2 5.5. Atrav´es de (5.17), a matriz do jacobiano ´e dada por

[J] =

h

N1ξ

N2ξ

N3ξ

ou seja, [J] =

3 X dNi (ξ)

dξ

i=1

Xi =

   X1   i

X

2   X   3

dN1 (ξ) dN2 (ξ) dN3 (ξ) X1 + X2 + X3 dξ dξ dξ

As fun¸c˜ oes de forma deste elemento est˜ ao dadas em (5.8). Assim, dN1 (ξ) dξ dN2 (ξ) dξ dN3 (ξ) dξ

d 1 ξ(ξ − 1) = ξ − dξ 2 d [1 − ξ 2 ] = −2ξ dξ   d 1 ξ(ξ + 1) = ξ + dξ 2 

= = =



1 2

1 2

Portanto, det[J] = 1/2. A partir da´ı vem que 

[J] = ξ −

1 2



1 1 + (−2ξ)1 + ξ + 2 2 



3 1 = 2 2

Neste caso, tem-se que a fun¸c˜ ao f (ξ) = [B]T [D][B]| det[J]| para a matriz de rigidez T e f (ξ) = [N ] [N ]| det[J]| para a matriz de massa. O n´ umero de pontos de integra¸c˜ ao depende do grau do polinˆ omio que ocorre nestes produtos. Verifica-se que para o termo [N ]T [N ]| det[J]| utiliza-se um n´ umero maior de pontos que para o termo [B]T [D][B]| det[J]|, pois a matriz [B] cont´em as derivadas das fun¸c˜ oes de forma. (2) Verifica-se que a fun¸c˜ ao N2 (ξ) cont´em um termo em ξ 2 . Portanto, neste caso o termo a um polinˆ omio em ξ 4 e a ordem de integra¸c˜ ao necess´ aria ´e determinada [N ]T [N ] originar´ fazendo-se 2n − 1 = 4

→

n = 2, 5

˜ 8.4. EXEMPLO DE APLICAC ¸ AO

117

Como n deve ser um inteiro, tomam-se 3 pontos de integra¸c˜ ao para o produto [N ]T [N ]. No T entanto, consideram-se 2 pontos para o termo [B] [D][B], onde se encontram polinˆ omios em ξ 2 . A matriz de massa deste elemento no sistema local de referˆencia ´e determinada pela seguinte express˜ ao [M ] =

Z

ρ[N ]T [N ] dx =

x

Z

1

ρ[N ]T [N ]| det[J]| dξ

−1

Como devem ser usados 3 pontos de integra¸c˜ ao, vem que [M ] =

Z

1

ρ[N ]T [N ]| det[J]| dξ = ρ

−1

3 X i=1

Hi [N (ξi )]T [N (ξi )] | det[J]|

Assim, para um valor unit´ ario de ρ, tem-se [M ] =

 1 H1 [N (ξ1 )]T [N (ξ1 )] + H2 [N (ξ2 )]T [N (ξ2 )] + H3 [N (ξ3 )]T [N (ξ3 )] 2

(8.2)

Os pontos de integra¸c˜ ao e os coeficientes de pondera¸c˜ ao est˜ ao dados na Tabela 8.2. Assim, para ξ1 = −0, 774597, verifica-se que 1 ξ1 (ξ1 − 1) = 0, 687299 2 N2 (ξ1 ) = 1 − ξ12 = 0, 40 1 N3 (ξ1 ) = ξ1 (ξ1 + 1) = −0, 087298 2 N1 (ξ1 ) =

e 



0, 687299 h i   f (ξ1 ) =  0, 40  0, 687299 0, 40 −0, 087298 −0, 087298 



0, 472299 0, 274896 −0, 059995   0, 160000 −0, 034919  =  0, 274896 −0, 059995 −0, 034919 0, 007621

Efetuando o mesmo procedimento para ξ2 = 0, 0 e ξ3 = 0, 774597, obt´em-se 



0 0 0   f (ξ2 ) =  0 1 0  0 0 0 



0, 007621 −0, 034919 −0, 059995   f (ξ3 ) =  −0, 034919 0, 16 0, 274896  −0, 059995 0, 274896 0, 472299

˜ NUMERICA ´ CAP´ITULO 8. INTEGRAC ¸ AO

118

Substituindo f (ξ1 ), f (ξ2 ) e f (ξ3 ) em (8.2), multiplicando-se pelos coeficientes correspondentes e observando-se que H1 = H3 , chega-se a seguinte express˜ ao Z

1

−1

   0, 48 1 5  f (ξ) dξ =  0, 24 2  9 −0, 12

Portanto, [M ] =

Z

1

−1







0, 24 −0, 12 0 0 0    8  0, 32 0, 24  +  0 1 0   9 0, 24 0, 48 0 0 0 





0, 1333 0, 0667 −0, 0333   0, 0667  f (ξ) dξ =  0, 0667 0, 5333 −0, 0333 0, 0667 0, 1333

A Tabela 8.3 apresenta o n´ umero de pontos de integra¸c˜ ao necess´ ario para os elementos unidimensionais at´e o quarto grau, para cada um dos termos presentes nas express˜ oes das matrizes e vetores de carregamento dos elementos. Elemento Linear Quadr´ atico C´ ubico Qu´ artico

[N ]T [N ] 2 3 4 5

[B]T [B] 1 2 3 4

[B] 1 1 1 1

[N ]T 2 2 2 2

Tabela 8.3: Ordem de integra¸c˜ ao para os elementos unidimensionais.

8.5

Integra¸ c˜ ao Num´ erica Bidimensional

A quadratura de Gauss-Legendre pode ser estendida para integrar fun¸c˜ oes de duas vari´aveis f (ξ, η), ou seja, I=

Z

1

Z

1

f (ξ, η) dξ dη

(8.3)

−1 −1

Esta integral pode ser calculada numericamente, considerando inicialmente apenas a ao η e aplicando integral em η e mantendo ξ constante. Tomando-se n2 pontos na dire¸c˜ (8.1) vem que I=

Z

1

f (ξ, η) dη = −1

n2 X

Hj f (ξ, ηj ) = g(ξ)

(8.4)

j=1

onde g(ξ) ´e uma fun¸c˜ ao de ξ. Desta forma, para n1 pontos de integra¸c˜ ao na dire¸c˜ ao ξ, a integral de g(ξ) ´e dada por I=

Z

1

g(ξ) dξ = −1

n1 X i=1

Hi g(ξi )

(8.5)

˜ NUMERICA ´ 8.5. INTEGRAC ¸ AO BIDIMENSIONAL

119

Substituindo (8.4) em (8.5) vem que

I=

Z

1

Z

1

g(ξ) dξ =

−1 −1

n1 X i=1



Hi 

n2 X

j=1



Hj f (ξi , ηj )

ou ainda, I=

n1 X n2 X

Hi Hj f (ξi , ηj )

(8.6)

i=1 j=1

O somat´ orio duplo em (8.6) pode ser escrito como uma somat´ orio simples da seguinte forma I=

N int X

Hl f (ξl , ηl )

(8.7)

l=1

onde Nint = n1 n2 e Hl = Hi Hj (i = 1, . . . , n1 ; j = 1, . . . , n2 ) Para os elementos finitos quadrangulares planos, os pontos de integra¸c˜ ao e os coeficientes de pondera¸c˜ ao s˜ ao obtidos pela composi¸c˜ ao, nas dire¸c˜ oes ξ e η, daqueles determinados para o caso unidimensional e ilustrados na Figura 8.2. Assim, a Tabela 8.4 apresenta estes valores para a ordem de integra¸c˜ ao at´e 4. J´ a a Tabela 8.5 cont´em o n´ umero de pontos de integra¸c˜ ao para os termos das matrizes e vetores dos elementos quadrangulares. A disposi¸c˜ ao destes pontos est´ a ilustrada na Figura 8.3. η

η

ξ

η

η

ξ

ξ

ξ

Figura 8.3: Pontos de integra¸c˜ ao para os elementos quadrangulares planos. No caso dos triˆ angulos, verifica-se que o processo de integra¸c˜ ao num´erica ´e an´ alogo, devendo-se observar que a fun¸c˜ ao a ser integrada est´ a especificada nas vari´ aveis L1 e L2 . Portanto, Z

0

1 Z 1−L2 0

f (L1 , L2 )| det[J]| dL1 dL2 =

N int X l=1

Hl g(Ll1 , Ll2 )

(8.8)

˜ NUMERICA ´ CAP´ITULO 8. INTEGRAC ¸ AO

120

(n1 × n2 ) (1 × 1) (2 × 2)

Grau de precis˜ ao 1 3

(3 × 3)

5

(4 × 4)

7

(ξl , ηl )

Hl

(0.000, 0.000) (−0.577..., −0, 577...) (0.577..., −0, 577...) (0.577..., 0, 577...) (−0.577..., 0, 577...) (−0.774..., −0.774...) (0.000..., −0.774...) (0.774..., −0.774...) (−0.774..., 0.000...) (0.000..., 0.000...) (0.774..., 0.000...) (−0.774..., 0.774...) (0.000..., 0.774...) (0.774..., 0.774...) (−0.861..., −0.861...) (0.339..., −0.861...) (0.339..., −0.861...) (0.861..., −0.861...) (−0.861..., −0.339...) (−0.339..., −0.339...) (0.339..., −0.339...) (0.861..., −0.339...) (−0.861..., 0.339...) (−0.339..., 0.339...) (0.339..., 0.339...) (0.861..., 0.339...) (−0.861..., 0.861...) (−0.339..., 0.861...) (0.339..., 0.861...) (0.861..., 0.861...)

4, 0 1, 0 1, 0 1, 0 1, 0 25/81 40/81 25/81 40/81 40/81 40/81 25/81 40/81 25/81 0, 121... 0, 226... 0, 226... 0, 121... 0, 226... 0, 425... 0, 425... 0, 226... 0, 226... 0, 425... 0, 425... 0, 226... 0, 121... 0, 226... 0, 226... 0, 121...

Tabela 8.4: Pontos de integra¸c˜ ao e coeficientes de pondera¸c˜ ao para elementos quadrangulares planos.

˜ NUMERICA ´ 8.6. INTEGRAC ¸ AO TRIDIMENSIONAL Elemento Linear Quadr´ atico C´ ubico Qu´ artico

[N ]T [N ] n1 ,n2 2,2 3,3 4,4 5,5

[B]T [B] n1 ,n2 1,1 2,2 3,3 4,4

121 [N ]T n1 ,n2 1,1 2,2 2,2 3,3

Tabela 8.5: Ordem de integra¸c˜ ao para os elementos quadrangulares planos.

Figura 8.4: Pontos de integra¸c˜ ao para os elementos triangulares planos. onde g(·) inclui o determinante do Jacobiano. A ordem de integra¸c˜ ao a ser empregada depende das potˆencias presentes nas coordenadas L1 e L2 Por exemplo, tomando-se o produto L1 L22 , verifica-se que a soma dos expoentes ´e 3, devendo-se tomar uma integra¸c˜ ao de ordem 3. A Tabela 8.6 resume os pontos de integra¸c˜ ao e a respectiva pondera¸c˜ ao . A Figura 8.4 ilustra a disposi¸c˜ ao deste pontos de integra¸c˜ ao.

8.6

Integra¸ c˜ ao Num´ erica Tridimensional

No caso tridimensional, deseja-se calcular a seguinte integral I=

Z

1

Z

1

Z

1

f (ξ, η, ζ) dξ dη ζ

(8.9)

−1 −1 −1

O procedimento ´e an´ alogo ao caso anterior. Assim, tomando-se n1 , n2 e n3 pontos nas dire¸c˜ oes ξ, η, ζ, respectivamente, pode-se integrar (8.9) como I=

n1 X n2 X n3 X

Hi Hj Hk f (ξi , ηj , ζk )

(8.10)

i=1 j=1 k=1

A express˜ ao anterior pode ser escrita como um somat´ orio simples da seguinte forma I=

N int X

Hl f (ξl , ηl , ζl )

l=1

onde Nint = n1 n2 n3 e Hl = Hi Hj Hk (i = 1, . . . , n1 ; j = 1, . . . , n2 ; k = 1, . . . , n3 ).

(8.11)

˜ NUMERICA ´ CAP´ITULO 8. INTEGRAC ¸ AO

122

n 1 3

7

13

Hl 0.5 4/6 1/6 1/6 0.0629 0.0629 0.0629 0.0662 0.0662 0.0662 0.1125 0.0533 0.0533 0.0533 0.0771 0.0771 0.0771 0.0771 0.0771 0.0771 0.1756 0.1756 0.1756 -0.149

L1 1/3 1/6 4/6 1/6 0.1012 0.7974 0.1012 0.4701 0.4701 0.0597 0.3333 0.0651 0.8697 0.0651 0.3128 0.6384 0.0486 0.6384 0.3128 0.0486 0.2603 0.4793 0.2603 0.3333

L2 1/3 1/6 1/6 4/6 0.1012 0.1012 0.7974 0.0597 0.4701 0.4701 0.3333 0.0651 0.0651 0.8697 0.0486 0.3128 0.6384 0.0486 0.6384 0.3128 0.2603 0.2603 0.4793 0.3333

Tabela 8.6: Pontos de integra¸ca˜o e coeficientes de pondera¸c˜ ao para elementos triangulares planos.

8.7. EXERC´ICIOS PROPOSTOS

123

A Tabela 8.7 apresenta os pontos de integra¸c˜ ao (L1 , L2 , L3 ) e as respectivas pondera¸c˜ oes para tetraedros. n 1

Hl 1/6

4

1/24 1/24 1/24 1/24 -2/15 3/40 3/40 3/40 3/40

5

L1 1/4 √ (5 − √5)/20 (5 − √5)/20 (5 − √5)/20 (5 + 3 5)/20 1/4 1/6 1/6 1/6 1/2

L2 1/4 √ (5 − √5)/20 (5 − √5)/20 (5 + 3√ 5)/20 (5 − 5)/20 1/4 1/6 1/6 1/2 1/6

L3 1/4 √ (5 − √5)/20 (5 + 3√ 5)/20 (5 − √5)/20 (5 − 5)/20 1/4 1/6 1/2 1/6 1/6

Tabela 8.7: Pontos de integra¸c˜ ao para os tetraedros.

8.7

Exerc´ıcios Propostos

Exerc´ıcio 8.1 Determine a matriz de rigidez para um elemento de barra linear de 3 n´ os, de comprimento L, pelo uso da regra de quadratura de Gauss. Exerc´ıcio 8.2 Determinar o coeficiente local K15 da matriz de rigidez de um quadrado com fun¸co ˜es de interpola¸ca ˜o da fam´ılia Serendipty para um problema de condu¸ca ˜o de calor usando integra¸ca ˜o num´erica. Nesse caso, tem-se K15 =

Z

1

Z

1

−1 −1

N1,ξ N5,ξ + N1,η N5,η dξdη

124

˜ NUMERICA ´ CAP´ITULO 8. INTEGRAC ¸ AO

Cap´ıtulo 9

Estudo de Casos Nesse cap´ıtulo, consideram-se trˆes modelos estruturais planos comumente usados, ou seja, estado plano de tens˜ ao, estado plano de deforma¸c˜ ao e s´ olido axissim´etrico. Consideram-se aspectos da formula¸c˜ ao de cada problema e a respectiva aproxima¸c˜ ao atrav´es de quadrados e triˆ angulos.

9.1

Estado Plano de Tens˜ ao

Seja a chapa de espessura constante t submetida a` a¸c˜ ao de uma carga distribu´ıda uniformemente ao longo da espessura e paralela ao plano da chapa, como pode ser visto na ao nulas nos pontos Figura 9.1. Assume-se que os componentes de tens˜ ao σzz , σzx e τzy s˜ da chapa. Desta forma, o estado de tens˜ ao nos pontos da chapa ´e especificado somente por σxx , σyy e τxy , sendo denominado estado plano de tens˜ ao. Z

X

t

Y

Figura 9.1: Chapa sob estado plano de tens˜ ao. 125

CAP´ITULO 9. ESTUDO DE CASOS

126

Para problemas planos, a matriz de deforma¸c˜ ao [Ba ] para um n´ o a de um elemento finito quadrangular ou triangular ´e dada por 



Nax  [Ba ] =  0 Nay

0  Nay  Nax

(9.1)

J´ a a matriz de elasticidade pode ser obtida a partir de (3.20), reduzindo-se a 

1 µ E  [D] =  µ 1 1 − µ2 0 0

0 0 1−µ 2



(9.2)

 

Os elementos quadrangulares planos podem ser aplicados para o tratamento de problemas de estado plano de tens˜ ao. A matriz do Jacobiano cont´em derivadas em rela¸c˜ ao a ξ e η. Logo, [J] =

"

xξ yξ xη yη

#

" P n N X = Pna=1 aξ a a=1

Naη Xa

# Pn Naξ Ya a=1 Pn a=1

Naη Ya

O determinante do Jacobiano ´e dado por

det[J] = xξ (ξl , ηl ) yη (ξl , ηl ) − yξ (ξl , ηl ) xη (ξl , ηl ) = −

n X

a=1 n X

Naξ (ξl , ηl )Xa Naη (ξl , ηl )Xa

a=1

!

!

n X

b=1 n X

b=1

Nbη (ξl , ηl )Yb

!

Nbξ (ξl , ηl )Yb

!

(9.3)

ao. onde (ξl , ηl ) representa as coordenadas dos pontos de integra¸c˜ Neste caso, a inversa da matriz do Jacobiano [J]−1 ´e escrita como [J]−1

1 = det[J]

"

xξ −yξ −xη yη

#

(9.4)

Assim, as derivadas das fun¸c˜ oes de forma em rela¸c˜ ao a`s vari´ aveis globais x e y s˜ ao calculadas como ∂Na ∂x ∂Na ∂y

1 ∂x ∂y ∂x ∂y − det[J] ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ   1 ∂x ∂y ∂x ∂y = − − det[J] ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ =





(9.5) (9.6)

˜ 9.1. ESTADO PLANO DE TENSAO

127

Conhecidas as matrizes de deforma¸c˜ ao [B] e de elasticidade [D], determina-se a matriz de rigidez dos elementos quadrangulares como [Ke ] =

Z

= t

1

1

Z

Z

1

[B]T [D][B]| det[J]| dξ dη dζ

−1 −1 −1 n X

Hl [B(ξl , ηl )]T [D][B(ξl , ηl )]| det[J(ξl , ηl )]|

(9.7)

l=1

onde a integral em ζ se constitui na espessura t do elemento. Considerando o elemento linear de 4 n´ os, mostrado na Figura 5.8, a matriz [B] para cada ponto de integra¸c˜ ao (ξl , ηl ) ´e dada por 

N1x  [B] =  0 N1y

0 N1y N1x

N2x 0 N2y

0 N2y N2x

N3x 0 N3y

0 N3y N3x

N4x 0 N4y



0  N4y  N4x

Ao inv´es de se calcular a matriz [B] como indicado na express˜ ao anterior, pode-se efetuar o produto [B]T [D][B] para cada n´ o do elemento da seguinte forma

¯ e] = [K

N int X l=1

=

N int X l=1

T

Hl [B] [D][B] | det[J]| =     

[B1 ]T [B2 ]T [B3 ]T [B4 ]T

˜ [B1 ] [D] ˜ [B1 ] [D] ˜ [B1 ] [D] ˜ [B1 ] [D]

[B1 ]T [B2 ]T [B3 ]T [B4 ]T

N int X l=1

h

˜ [B2 ] [D] ˜ [B2 ] [D] ˜ [B2 ] [D] ˜ [B2 ] [D]

[B1 ] [B2 ] [B3 ] [B4 ] [B1 ]T [B2 ]T [B3 ]T [B4 ]T

˜ [B3 ] [D] ˜ [B3 ] [D] ˜ [B3 ] [D] ˜ [B3 ] [D]

[B1 ]T [B2 ]T [B3 ]T [B4 ]T

iT

   

˜  [D]

˜ [B4 ] [D] ˜ [B4 ] [D] ˜ [B4 ] [D] ˜ [B4 ] [D]

[B1 ] [B2 ] [B3 ] [B4 ] 

    

   (9.8) 

˜ = Hl | det[J]| [D] e Nint ´e o n´ onde [D] umero de pontos de integra¸c˜ ao. A express˜ ao, ¯ no entanto, deve ser calculada para cada ponto de integra¸ca˜o. Assim, a matriz [Ke ] ´e composta por submatrizes [Kab ] tal que ˜ b] [Kab ] = [Ba ]T [D][B

a, b = 1, . . . , 4

(9.9)

Logo,    

¯ e] =  [K

[K11 ] [K21 ] [K31 ] [K41 ]

[K12 ] [K22 ] [K32 ] [K42 ]

[K13 ] [K23 ] [K33 ] [K43 ]

[K14 ] [K24 ] [K34 ] [K44 ]

    

(9.10)

O mesmo procedimento pode ser estendido para os demais elementos quadrangulares planos. Assim, o seguinte algoritmo pode ser aplicado para o c´ alculo da matriz de rigidez destes elementos for l=1:N´ umeroPontosIntegra¸ ca ~o

CAP´ITULO 9. ESTUDO DE CASOS

128

˜ Calcular [D] for b=1:NumeroN´ os Calcular Nbx , Nby e a matriz [Bb ] ˜ b] Determinar o produto [D][B for a=1:NumeroN´ os Calcular Nax , Nay e a matriz [Ba ] ˜ b] Determinar [Kab ] = [Ba ]T [D][B Superpor [Kab ] em [Ke ]: "

Ke (2a − 1, 2b − 1) Ke (2a − 1, 2b) Ke (2a, 2b − 1) Ke (2a, 2b)

#

←

" "

Ke (2a − 1, 2b − 1) Ke (2a − 1, 2b) Ke (2a, 2b − 1) Ke (2a, 2b) Kab (1, 1) Kab (1, 2) Kab (2, 1) Kab (2, 2)

#

end end end No caso da matriz de massa, a express˜ ao ´e an´ aloga a (9.7). Assim, [Me ] =

Z

= t

1

Z

1

Z

1

ρ[N ]T [N ]| det[J]| dξ dη dζ

−1 −1 −1 n X

Hl ρ[N (ξl , ηl )]T [N (ξl , ηl )]| det[J(ξl , ηl )]|

(9.11)

l=1

Para exemplificar, considera-se o elemento quadrangular de 4 n´ os. A partir de (5.14), observa-se para cada ponto de integra¸c˜ ao x(ξl , ηl ) = N1 (ξl , ηl )X1e + N2 (ξl , ηl )X2e + N3 (ξl , ηl )X3e + N4 (ξl , ηl )X4e y(ξl , ηl ) = N1 (ξl , ηl )Y1e + N2 (ξl , ηl )Y2e + N3 (ξl , ηl )Y3e + N4 (ξl , ηl )Y4e Em forma matricial,

(

x y

)

=

"

N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 0 N2 0 N2 0 N3 0 N4

           #               

X1e Y1e X2e Y2e X3e Y3e X4e Y4e

                          

= [N ]{X}

(9.12)

#

+

˜ 9.1. ESTADO PLANO DE TENSAO

129

Substituindo a matriz [N (ξl , ηl )] dada em (9.12) na equa¸c˜ ao (9.11) obt´em-se a matriz de massa para o elemento linear, ou seja, 

    4 X  [M e ] = ρt Hl | det[J(ξl , ηl )]|    l=1   

N1 N1 0 N1 N2 0 N1 N3 0 N1 N4 0

0 N1 N1 0 N1 N2 0 N1 N3 0 N1 N4

N1 N2 0 N2 N2 0 N2 N3 0 N2 N4 0

0 N1 N2 0 N2 N2 0 N2 N3 0 N2 N4

N1 N3 0 N2 N3 0 N3 N3 0 N3 N4 0

0 N1 N3 0 N2 N3 0 N3 N3 0 N3 N4

N1 N4 0 N2 N4 0 N3 N4 0 N4 N4 0

0 N1 N4 0 N2 N4 0 N3 N4 0 N4 N4

As matrizes de massa para os demais elementos s˜ ao determinadas de maneira an´ aloga. Portanto, o seguinte algoritmo pode ser utilizado para o c´ alculo das matrizes de massa dos elementos quadrangulares, for l=1:N´ umeroPontosIntegra¸ ca ~o for b=1:NumeroNos Calcular NT = Nb (ξl , ηl ) for a=1:N´ umeroNos Calcular N = Na (ξl , ηl ) Determinar Me (2a − 1, 2b − 1) = NT N Determinar Me (2a, 2b) = NT N end end [Me ] ← [Me ]Hl | det[J(ξl , ηl )]| end [Me ] ← [Me ]ρt Os elementos triangulares tamb´em podem ser aplicados para problemas de estado plano de tens˜ ao. O procedimento ´e an´ alogo a`quele efetuado para os elementos quadrangulares. Neste caso as matrizes de rigidez e de massa s˜ ao obtidas por integra¸c˜ ao num´erica de acordo com a express˜ ao (8.8). Assim, [Ke ] = t = t

Z

0

1 Z 1−L2 0

n X

[B]T [D][B]| det[J]| dL1 dL2

Hl [B(Ll1 , Ll2 )]T [D][B(Ll1 , Ll2 )]| det[J(Ll1 , Ll2 )]|

(9.14)

l=1

[Me ] = t

Z

0

= tρ

1 Z 1−L2 0

n X l=1

ρ[N ]T [N ]| det[J]| dL1 dL2

Hl [N (Ll1 , Ll2 )]T [N (Ll1 , Ll2 )]| det[J(Ll1 , Ll2 )]|

(9.15)



     (9.13)     

CAP´ITULO 9. ESTUDO DE CASOS

130

A matriz do Jacobiano ´e dada por (7.7) e seu determinante expresso como det[J] = xL1 (L1 , L2 ) yL2 (L1 , L2 ) − yL1 (L1 , L2 ) xL2 (L1 , L2 )

(9.16)

ou aplicando as rela¸c˜ oes (7.4) vem que det[J] =

N X

a=1

NaL1 Xae

!

N X

NbL2 Ybe

b=1

!

N X

−

a=1

NaL2 Xae

N X

!

b=1

NbL1 Ybe

!

(9.17)

Para a determina¸c˜ ao da matriz de deforma¸c˜ ao [B], deve-se efetuar as derivadas das fun¸c˜ oes de forma em rela¸c˜ ao a`s vari´ aveis globais x e y como indicado em (7.8). Desta maneira, as derivadas das fun¸c˜oes de forma em rela¸c˜ ao a x e y ser˜ ao dadas por ∂Na ∂x ∂Na ∂y

1 ∂Na ∂Na ∂y ∂Na ∂Na ∂y = − − − det[J] ∂L1 ∂L3 ∂L2 ∂L2 ∂L3 ∂L1      1 ∂Na ∂Na ∂x ∂Na ∂Na ∂x = − − + − det[J] ∂L1 ∂L3 ∂L2 ∂L2 ∂L3 ∂L1 









(9.18) (9.19)

Assim, os mesmos algoritmos anteriores podem ser aplicados para a implementa¸c˜ ao computacional das matrizes destes elementos.

9.2

Estado Plano de Deforma¸ c˜ ao

O problema de estado plano de deforma¸c˜ ao ocorre, por exemplo, no caso de um muro de arrimo submetido a uma press˜ ao lateral ou num rolamento comprimido por for¸cas no plano diametral como ilustrado na Figura 9.2. Nestes casos, sup˜ oe-se que a dimens˜ao do corpo na dire¸c˜ ao z ´e muito grande e que as for¸cas n˜ ao variam ao longo do corpo. Uma vez que as condi¸c˜ oes s˜ ao as mesmas em todas as se¸c˜ oes transversais, basta considerar uma fatia entre duas se¸c˜ oes que distam uma unidade entre si. Y

X

Y

Y

X

Z

Figura 9.2: Muro de arrimo sob press˜ ao lateral e um rolamento sob compress˜ ao. As componentes de deslocamento u e v s˜ ao fun¸c˜ oes de x e y, mas independem da coordenada longitudinal z. Supondo que o deslocamento w seja nulo, observa-se que

´ 9.3. ESTRUTURAS AXISSIMETRICAS

131

as componentes de deforma¸c˜ ao γzy , γzx , zz s˜ ao nulas para o caso de estado plano de deforma¸c˜ ao. A matriz de deforma¸c˜ ao [B] ´e dada pela equa¸c˜ ao (9.1). J´ a a matriz de elasticidade [D] ´e obtida a partir da lei de Hooke (3.20), ou seja, 



1−µ µ 0 E   1−µ 0 [D] =  µ  (1 + µ)(1 − 2µ) 0 0 1 − 2µ

(9.20)

As matrizes de rigidez para os elementos retangulares e triangulares s˜ ao obtidas de maneira an´ aloga para o caso de estado plano de tens˜ ao, bastando substituir a matriz [D] dada em (9.20) e tomar uma espessura unit´ aria. Como as fun¸c˜ oes de forma s˜ ao as mesmas, as matrizes de massa s˜ ao determinadas tomando-se t = 1 na equa¸c˜ ao (9.11).

9.3

Estruturas Axissim´ etricas

V´ arias estruturas, tais como vasos de press˜ ao, possuem a propriedade de axissimetria, ou seja, s˜ ao obtidas pela revolu¸c˜ ao de uma geratriz em torno de um eixo de simetria ao longo da estrutura, como pode ser visto na Figura 9.3. Este tipo de problema pode ser tratado de maneira similar aos casos de estado plano de tens˜ ao e deforma¸c˜ ao. Observa-se que o carregamento aplicado na estrutura deve tamb´em ser axissim´etrico. O sistema de referˆencia cil´ındrico (r, θ, z) ´e o mais adequado para formular este tipo de problema. Z(v)

Geratriz

R(u)

Figura 9.3: S´ olido axissim´etrico. Pela simetria, verifica-se que as componentes de deslocamento u (na dire¸c˜ ao radial r) e v (na dire¸c˜ ao axial z) presentes numa se¸c˜ ao plana do corpo definem completamente, os

CAP´ITULO 9. ESTUDO DE CASOS

132

estados de deforma¸c˜ ao e tens˜ ao. Assim, as mesmas fun¸c˜ oes de forma anteriores podem ser utilizadas para o tratamento de s´ olidos de revolu¸c˜ ao. As componentes de deforma¸c˜ ao num sistema de coordenadas cil´ındricas est˜ ao ilustradas na Figura 9.4 para um elemento infinitesimal do s´ olido da Figura 9.3. Logo, tˆem-se 4 componentes de deforma¸c˜ ao espec´ıfica rr , θθ , zz e γrz . Qualquer deslocamento u na dire¸c˜ ao radial r faz surgir uma deforma¸c˜ ao circunferencial θθ , como apresentado na Figura 9.5 para um elemento infinitesimal ∆r∆θ no plano r. z

γ rz

ε rr

γ rz

ε zz

ε θθ

r

θ

Figura 9.4: Componentes de deforma¸c˜ ao em coordenadas cil´ındricas.

D’ u+du

∆ r’

A’

∆ l’

D

C’

∆r A

∆l

B’ C u

∆θ

B θ

Figura 9.5: Elemento infinitesimal no plano rθ.

´ 9.3. ESTRUTURAS AXISSIMETRICAS

133

A deforma¸c˜ ao espec´ıfica na dire¸c˜ ao radial r ´e dada por ∆r 0 − ∆r ∆r→0 ∆r

rr = lim

onde ∆r 0 = u + du + ∆r − u = du + ∆r. Portanto, ∂u ∆r du ∂u = ∂r = ∆r→0 ∆r ∆r ∂r

rr = lim

(9.21)

O arco ∆l ap´ os o deslocamento radial u apresenta um novo comprimento ∆l0 e a deforma¸c˜ ao circunferencial no ponto A ´e a seguinte, ∆l0 − ∆l (r + u)∆θ − r∆θ u = = ∆θ→0 ∆l r∆θ r

θθ = lim

(9.22)

ao obtidas a partir da Figura 9.6 e As demais componentes de deforma¸ca˜o zz e γrz s˜ de modo an´ alogo ao realizado na Sec¸c˜ ao 1.3. A deforma¸c˜ ao zz ´e dada por ∂v ∆z v + dv + ∆z − v − ∆z dv ∂v ∆z 0 − ∆z = = = ∂z = ∆z→0 ∆z ∆z ∆z ∆z ∂z

zz = lim

(9.23)

A distor¸c˜ ao no plano rz ´e a soma dos aˆngulos γ1 e γ2 , ou seja, γrz = γ1 + γ2 com γ1 ≈ tan γ1 =

∂v ∂r ∆z ∆r 0

=

∂v ∂r ∆r ∆r + ∂v ∂z ∆r

=

γ2 ≈ tan γ2 =

∂u ∂z ∆z ∆z 0

=

∂u ∂z ∆z ∆z + ∂u ∂r ∆z

=

∂v ∂r

1 + zz ∂u ∂z

1 + rr

=

∂v ∂r

=

∂u ∂z

Logo, γrz =

∂u ∂v + ∂z ∂r

(9.24)

As rela¸c˜ oes em (9.21) a (9.24) podem ser escritas matricialmente como   zz       

rr θθ γzr

    



  =     

0 ∂ ∂r 1 r ∂ ∂z

∂ ∂z

0 0

∂ ∂r

    

(

u v

)

(9.25)

CAP´ITULO 9. ESTUDO DE CASOS

134 Z

R’ γ

2

S’

∆z’

Q’ γ1

P’

v+dv

∆ r’

S

R

P

Q

v ∆z

∆r u u+du

r

Figura 9.6: Plano rz para um elemento infinitesimal. ou ainda, {} = [L]{u}

(9.26)

Substituindo a rela¸c˜ ao (4.23) em (9.26) vem que {} = [L][N ]{U } = [B]{U }

(9.27)

Neste caso, a matriz de deforma¸c˜ ao [Ba ] para um n´ o a de um elemento axissim´etrico ´e dada por 

0  N  ar

[B] =  

Na r Naz

Naz 0 0 Nar

    

(9.28)

Para cada uma das componentes de deforma¸c˜ ao zz , rr , θθ e γrz correspondem as componentes de tens˜ ao σzz , σrr , σθθ e τrz , as quais est˜ ao relacionadas pela lei de Hooke, ou seja, zz =

1 [σzz − µ(σθθ + σrr )] E

´ 9.3. ESTRUTURAS AXISSIMETRICAS

135

1 [σrr − µ(σθθ + σzz )] E 1 [σθθ − µ(σrr + σzz )] E τzr 2(1 + µ) = τzr G E

rr = θθ = γzr =

A rela¸c˜ ao anterior pode ser escrita na seguinte forma matricial como   zz   

    



1  rr  =      E θθ       γzr

1 −µ −µ 0 −µ 1 −µ 0 −µ −µ 1 0 0 0 0 2(1 + µ)

   σzz   σ  rr   σ θθ   

τzr

    

(9.29)

   

Expressando as componentes de tens˜ ao em fun¸c˜ ao das componentes de deforma¸c˜ ao vem que   σzz   

    



 E σrr  =     σ (1 + µ)(1 − 2µ) θθ      τzr 

1−µ µ µ µ 1−µ µ µ µ 1−µ 0 0 0

ou seja,

{σ} = [D]{}

0 0 0 1−2µ 2

     zz  rr     θθ   

γzr

    

(9.30)

   

(9.31)

Para os elementos finitos isoparam´etricos quadrangulares, podem-se escrever rela¸c˜ oes an´ alogas a (5.14), ou seja, n X

r(ξ, η) =

a=1 n X

z(ξ, η) =

Na (ξ, η)Rae Na (ξ, η)Zae

(9.32)

a=1

sendo n o n´ umero de n´ os do elemento; Ra e Za s˜ ao coordenadas nodais do elemento e. A partir da´ı, estabelecem-se as seguintes rela¸c˜ oes ∂Na ∂ξ ∂Na ∂η

= =

∂Na ∂r ∂Na ∂z + ∂r ∂ξ ∂z ∂ξ ∂Na ∂r ∂Na ∂z + ∂r ∂η ∂z ∂η

(9.33) (9.34)

ou ainda, (

Naξ Naη

)

=

"

rξ zξ rη zη

#(

Nar Naz

)

= [J]

(

Nar Naz

)

(9.35)

CAP´ITULO 9. ESTUDO DE CASOS

136

Invertendo-se a matriz do Jacobiano, obt´em-se as derivadas das fun¸c˜ oes de forma em rela¸c˜ ao as vari´ aveis globais r e z, ou seja, (

Nar Naz

)

= [J]−1

(

Naξ Naη

)

(9.36)

onde [J]−1

1 = det[J]

"

zη −zξ −rη rξ

#

(9.37)

Por sua vez, o determinante da matriz do Jacobiano ´e obtido por det[J] = rξ zη − rη zξ n X ∂Na

=

a=1

∂ξ

Ra

!

n X ∂Nb b=1

∂η

n X ∂Na

!

Zb −

a=1

∂η

Ra

!

n X ∂Nb b=1

∂ξ

Zb

!

(9.38)

Substituindo (9.36) e (9.37) em (9.35), obt´em-se ∂Na ∂Na ∂z ∂Na ∂z = + (9.39) ∂r ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂Na ∂r ∂Na ∂r ∂Na = + (9.40) ∂z ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ Seja dV o elemento infinitesimal de volume ilustrado na Figura 9.7. Neste caso, tem-se que dV = 2πrdA = 2πrdrdz ou no sistema local dV = 2πr det[J]dξdη Assim, a matriz de rigidez dos elementos quadrangulares ´e obtida pela seguinte express˜ ao [Ke ] = 2π

Z

1

Z

1

−1 −1

[B]T [D][B] r | det[J]|dξdη

(9.41)

Integrando numericamente e aplicando-se (9.32) para a interpola¸c˜ ao de r, obt´em-se [Ke ] = 2π

N int X

˜ [B(ξl , ηl )] [D][B(ξ l , ηl )]

l=1

T

n X

Na (ξl , ηl )Ra

a=1

!

(9.42)

˜ = Hl | det[J(ξl , ηl )]|[D]. onde [D] Analogamente, a matriz de massa ´e determinada por [Me ] = 2πρ

N X l=1

T

Hl | det[J(ξl , ηl )]|[N (ξl , ηl )] [N (ξl , ηl )]

n X

a=1

Na (ξl , ηl )Ra

!

(9.43)

Para o caso de elementos triangulares planos, obt´em-se express˜ oes semelhantes a (9.42) e (9.43) para as matrizes de rigidez e de massa.

˜ ´ 9.4. CONSIDERAC ¸ OES SOBRE ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS 137 dr

r dz

Figura 9.7: Elemento de volume infinitesimal para um s´ olido de revolu¸c˜ ao.

9.4 9.4.1

Considera¸ c˜ oes sobre Elementos Finitos Isoparam´ etricos Integra¸c˜ ao Num´ erica

A quadratura de Gauss-Legendre permite integrar exatamente um polinˆ omio de ordem (2n − 1) tomando-se apenas n valores da fun¸c˜ ao considerada. J´ a a t´ecnica de NewtonCotes integra sem erro um polinˆ omio de ordem n, amostrando n + 1 valores da fun¸c˜ ao. Numa an´ alise por elementos finitos, a aplica¸c˜ ao da quadratura de Gauss reduz o custo da an´ alise no que se refere ao c´ alculo das matrizes e dos vetores de carregamento dos elementos finitos. No entanto, torna-se importante selecionar a ordem de integra¸c˜ ao, n˜ ao apenas para reduzir o tempo de an´ alise, mas tamb´em devido ao fato que os resultados obtidos podem ser bastante afetados utilizando-se diferentes ordens de integra¸c˜ ao, principalmente em problemas tridimensionais. A Tabela 8.4 apresenta o n´ umero de pontos necess´ ario para integrar exatamente os termos presentes nas express˜ oes das matrizes e vetores de carregamentos dos elementos quadrangulares planos. Utilizando uma ordem de integra¸ca˜o muito reduzida, a solu¸c˜ ao do problema pode ser imprecisa ou at´e mesmo n˜ ao existir devido ao mal-condicionamento das matrizes globais envolvidas. A formula¸c˜ao abordada ao longo deste texto est´ a baseada no m´etodo de deslocamentos. Observa-se que esta metodologia implica em superestimar a matriz de rigidez do sistema. Assim, verifica-se que a utiliza¸c˜ ao de integra¸c˜ ao reduzida permite obter em muitos casos melhores resultados. Isto se deve ao fato que o erro induzido na integra¸c˜ ao num´erica reduzida ´e compensado na estimativa superior da matriz de rigidez. Pode-se adotar, ainda, a integra¸c˜ ao seletiva, onde os termos na matriz de deforma¸c˜ ao s˜ ao integrados com ordens diferentes. No entanto, observa-se que a utiliza¸c˜ ao destes mecanismos de integra¸c˜ ao num´erica deve garantir a solu¸c˜ ao do problema, evitando matrizes singulares ou mal-condicionadas, e a convergˆencia dos resultados obtidos. Assim, no estudo de um problema pr´ atico, o emprego destes tipos de integra¸c˜ ao para o c´ alculo de um elemento, deve ser feita com crit´erio e cuidado, pois nestes casos a confiabilidade

CAP´ITULO 9. ESTUDO DE CASOS

138

dos resultados ´e o aspecto fundamental. Desta forma, o emprego dos esquemas de integra¸c˜ ao reduzida ou seletiva depende, principalmente, da experiˆencia adquirida na an´ alise de problemas similares com ordem de integra¸c˜ ao mais alta, ou o conhecimento de uma solu¸c˜ ao num´erica confi´ avel, ou ainda a disponibilidade de resultados experimentais. A Tabela 9.1 apresenta as ordens de integra¸c˜ ao, consistente e reduzida, necess´ arias para efetuar o c´ alculo da matriz de rigidez de alguns elementos quadrangulares planos, considerando problemas de estado plano e s´ olidos axissim´etricos. A integra¸c˜ ao consistente permite calcular exatamente a matriz dos elementos quadrangulares com lados retos, pois neste caso a matriz do jacobiano ´e constante. J´ a para os elementos distorcidos, as matrizes s˜ ao geralmente aproximadas. No entanto, as ordens especificadas s˜ ao eficientes. Elemento Linear Linear distorcido Quadr´ atico Quadr´ atico distorcido C´ ubico C´ ubico distorcido

Consistente (2 × 2) (2 × 2) (3 × 3) (3 × 3) (4 × 4) (4 × 4)

Reduzida – – (2 × 2) (2 × 2) (3 × 3) (3 × 3)

Tabela 9.1: Ordem de integra¸ca˜o consistente e reduzida para o c´ alculo da matriz de rigidez dos elementos quadrangulares planos. Como exemplo, considere o problema de estado plano de tens˜ ao, modelado com o elemento quadr´ atico, ilustrado na Figura 9.8. Considerando-se integra¸c˜ ao reduzida (2 × 2), a solu¸c˜ ao ´e inst´ avel, verificando-se valores excessivos para os deslocamentos nodais. Observa-se que a integra¸c˜ ao reduzida induz, em muitos casos, a` instabilidade ou imprecis˜ ao dos resultados devido ao surgimento de movimentos de corpo r´ıgido. Entretanto, ao se aplicar integra¸c˜ ao consistente com (3 × 3) pontos, a solu¸c˜ ao exata ´e determinada, consistindo numa rota¸c˜ ao r´ıgida em torno do ponto A.

9.4.2

C´ alculo de Tens˜ oes

Conhecidos os deslocamentos dos n´ os, as tens˜ oes no interior do elemento podem ser calculadas utilizando-se a express˜ ao (4.25). Pode-se obter as tens˜ oes em qualquer ponto do elemento, mas em geral, selecionam-se alguns pontos espec´ıficos, tais como o centro do elemento, as coordenadas nodais ou os pontos de integra¸c˜ ao. A formula¸c˜ ao at´e aqui apresentada garante a compatibilidade dos deslocamentos no contorno dos elementos finitos. No entanto, n˜ ao se pode garantir a continuidade das tens˜ oes. Observa-se que esta descontinuidade diminui a medida que a malha de elementos ´e refinada. Logo, a magnitude destas descontinuidades podem ser empregadas na pr´atica

˜ ´ 9.4. CONSIDERAC ¸ OES SOBRE ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS 139 P

A

B

Figura 9.8: Problema de estado plano de tens˜ ao calculado com esquemas de integra¸c˜ ao consistente e reduzida. para determinar as regi˜ oes onde se deve refinar a malha. Em geral, ao mostrar as tens˜ oes nodais, os programas de elementos finitos utilizam um processo de suaviza¸c˜ ao das tens˜ oes nos elementos de tal forma a obter uma distirbui¸c˜ ao cont´ınua de tens˜ oes. Uma outra observa¸c˜ ao no c´ alculo das tens˜ oes est´ a relacionada ao fato que os valores obtidos em alguns pontos do elemento s˜ ao significativamente mais precisos quando comparados com a solu¸c˜ ao exata. Em particular, verifica-se que as tens˜ oes determinadas nos pontos de integra¸c˜ ao s˜ ao mais precisas que aqueles determinadas considerando as coordenadas nodais do elemento.

9.4.3

Considera¸c˜ oes sobre o Modelamento

A aplica¸c˜ ao do MEF para o estudo de um problema pr´ atico depende em grande parte dos seguintes fatores: • conhecimento do problema f´ısico; • no¸c˜ ao qualitativa do resultado esperado da an´ alise; • dom´ınio das ferramentas dispon´ıveis para efetuar a an´ alise (hardware+software); • conhecimento b´ asico dos princ´ıpios de mecˆ anica. Uma primeira considera¸c˜ ao est´ a relacionada a` escolha do tipo de elemento a ser empregado. Para isso, deve-se considerar as caracter´ısticas do problema e simplifica¸c˜ oes adotadas para o modelo. No que se refere aos elementos isoparam´etricos, recomenda-se, em geral, a utiliza¸c˜ ao dos elementos quadr´ aticos, pois a rela¸c˜ ao entre o tempo de c´ alculo da an´ alise e os resultados esperados ´e satisfat´ oria. Observa-se, por exemplo, numa an´ alise est´ atica, a varia¸c˜ ao linear de deforma¸c˜ oes e tens˜ oes no interior do elemento, enquanto que para os elementos lineares estas grandezas s˜ ao constantes nos elementos.

140

CAP´ITULO 9. ESTUDO DE CASOS

Uma vez selecionado o elemento, deve-se gerar a malha, adotando-se o tamanho e o n´ umero de elementos. Dependendo do problema, deve-se refinar a malha em algumas regi˜oes. Pode-se utilizar a descontinuidade de tens˜ oes entre os elementos como indicador dos pontos a serem refinados. Assim, nas regi˜ oes onde se deseja uma solu¸c˜ ao mais precisa, as descontinuidades das tens˜ oes devem ser pequenas, enquanto para as demais ´ areas n˜ ao h´ a necessidade de refinamento. Esta decis˜ oes dependem do n´ıvel de precis˜ ao requerido na an´ alise. A performance dos elementos isoparam´etricos ´e geralmente superior quando s˜ao usados sem distor¸c˜ ao. No entanto, em casos pr´ aticos, a distor¸c˜ ao de elementos ´e dif´ıcil de ser evitada. A influˆencia deste fato na precis˜ ao da an´ alise depende novamente do problema em estudo e do elemento empregado. No entanto, se os resultados devem ser mais precisos em regi˜ oes onde se encontram elementos distorcidos, deve-se refinar a malha nestes pontos. Quando n˜ ao se conhece a solu¸c˜ ao exata do problema, torna-se necess´ ario efetuar a an´ alise considerando malhas progressivamente mais finas nas regi˜ oes de interesse, at´e se verificar pequenas altera¸c˜ oes nos resultados obtidos entre duas an´ alises consecutivas.

Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1] Bathe, K.J.Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice-Hall, 1982. [2] Hughes, T.J.R. The Finite Element Method - Linear Static and Dynamic Analysis. Prentice-Hall, 1987. [3] Moreira, L.A. Notas dos cursos EM421 (Resistˆencia dos Materiais I) e EM525 (Resistˆencia dos Materiais II). DPM/FEM/UNICAMP. [4] Przemieniecki, T.S. Theory of Matrix Analysis. Dover Publications, 1968. [5] Segerlind, L.J. Applied Finite Element Analysis. John Wiley, 1976. [6] Timonshenko, S.P., Goodier, J.N. Teoria de Elasticidade. Guanabara Dois, 1980. [7] Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method in Engineering Science. McGrawHill, 1980.

141

142

ˆ ´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Apˆ endice A

Vetores e Matrizes A.1

Vetores

O espa¸co euclideano
{x} =

  x1     x2     

.. . xn

     

(A.1)

    

Por sua vez, define-se o vetor transposto {x}T como

{x}T =

  x1     x2     

.. . xn

T          

=

n

x1 x2 . . . xn

o

(A.2)

Dados os vetores a, b ∈ = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn =

n X i=1

ai bi = {a}T {b}

Por sua vez, a norma Euclidiana de um vetor x ∈ 143

(A.3)

(A.4)

ˆ APENDICE A. VETORES E MATRIZES

144 Y

P( x 1 , x 2 , x 3 )

X

Z

Figura A.1: Sistema cartesiano de referˆencia.

A.2

Matrizes

Uma matriz [A] de m linhas e n colunas ´e definida como um vetor retangular de mn elementos arranjados da seguinte maneira 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

     [A] =   ai1   ..  .

ai2 .. .

am1 am2

... ... ... ...

a1j a2j .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

aij .. .

... .. .

ain .. .

... . . . amj

. . . amn

          

(A.5)

umero real e os ´ındices i e j denotam a i-´esima linha e j-´esima onde o elemento aij ´e um n´ coluna, respectivamente. Neste caso, diz-se que a matriz [A] possui ordem m×n, indicando [A]m×n . Se m = 1, tem-se uma matriz linha ou um vetor linha, isto ´e, [A] = {A}T = [a11 a12 . . . a1j . . . a1n ]

(A.6)

Analogamente, para n = 1 obt´em-se uma matriz coluna ou um vetor. Logo, 

a11 a21 .. .

     [A] = {A} =   ai1   ..  .

am1

          

(A.7)

145

A.2. MATRIZES No entanto, outros tipos especiais de matrizes podem ser definidas.

A.2.1

Matriz Nula

Uma matriz nula de ordem m × n ´e aquela onde todos os elementos aij (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) s˜ ao nulos. 

     [A] =     

A.2.2

0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 ... .. .. . . . . . . . .. .. 0 0 ... 0 ... .. .. . . . . . . . .. .. 0 0 ... 0 ...

0 0 .. . 0 .. . 0

          

(A.8)

Matriz Quadrada

Para m = n, tem-se uma matriz quadrada. Logo, 

  [A] =   

a11 a21 .. . an1

a12 . . . a1n a22 . . . a2n .. .. . ... . an2 . . . ann

     

(A.9)

Neste caso, a ordem de [A] ´e n × n, ou simplesmente n.

A.2.3

Matriz Diagonal

Uma matriz diagonal de ordem n ´e uma matriz quadrada onde os elementos n˜ ao pertencentes a` diagonal principal s˜ ao nulos, ou seja, (

aij = 0 se i 6= j aij 6= 0 se i = j (i, j = 1, . . . , n)

Representa-se uma matriz diagonal da seguinte maneira 

  [A] =   

a11 0 0 a22 .. .. . . 0 0

... ...

0 0 .. .

... . . . ann

     

(A.10)

ˆ APENDICE A. VETORES E MATRIZES

146

A.2.4

Matriz Unit´ aria ou Identidade

Uma matriz identidade de ordem n, denotada por [I], ´e uma caso particular de matriz diagonal, onde todos os elementos s˜ ao iguais a 1, ou seja aii = 1 (i = 1, . . . , n). Portanto,   

[I] =   

A.2.5



1 0 ... 0 0 1 ... 0   .. .. ..   . . ... .  0 0 ... 1

(A.11)

Matrizes Diagonais Superior e Inferior

Diz-se que uma matriz quadrada [A] de ordem n ´e diagonal superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal de [A] s˜ ao nulos. Assim, (

aij = 6 0 se i ≤ j aij = 0 se i > j

e 

  [A] =   

a11 a12 0 a22 .. .. . . 0 0

. . . a1n . . . a2n .. ... . . . . ann

     

(A.12)

Analogamente, uma matriz diagonal inferior [B] de ordem n ´e aquela onde todos os coeficientes acima da diagonal principal s˜ ao nulos, ou seja, (

bij = 6 0 se i ≥ j bij = 0 se i < j

Logo, 

  [B] =   

b11 b21 .. . bn1

0 ... 0 b22 . . . 0 .. . . . . . .. 0 . . . bnn

     

(A.13)

147

A.2. MATRIZES

A.2.6

Matriz Banda

Em alguns casos, os elementos n˜ ao-nulos de uma matriz quadrada est˜ ao agrupados ao redor da diagonal principal, formando, assim, uma banda de elementos. Uma matriz banda [A] de ordem n ´e representada da seguinte forma 

     [A] =      

a11 a12 0 0 a21 a22 a23 0 0 a32 a33 a34 0 0 a43 a44 .. .. .. .. . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0

... ... ... ...

0 0 0 0 .. .

0 0 0 0 .. .

0 0 0 0 .. .

... . . . an−1,n−2 an−1,n−1 an−1,n ... 0 an,n−1 an,n

           

(A.14)

A largura de banda ´e definida como o n´ umero de diagonais ocupadas pela matriz. Assim, a matriz [A] em (A.14) possui largura de banda igual a 3.

A.2.7

Matrizes Sim´ etrica e Anti-sim´ etrica

Uma matriz sim´etrica [A] de ordem n ´e uma matriz quadrada cujos elementos s˜ ao sim´etricos em rela¸c˜ ao a` diagonal principal, ou seja, aij = aji

(i, j = 1, . . . , n)

Assim, 

   [A] =    

a11 a12 a13 .. .

a12 a22 a23 .. .

a13 a23 a33 .. .

. . . a1n . . . a2n . . . a3n .. ... .

a1n a2n a3n . . . ann

       

(A.15)

Analogamente, uma matriz quadrada [B] ´e anti-sim´etrica se bij = −bji

(i, j = 1, . . . , n)

Portanto, 

   [B] =    

b11 b12 b13 −b12 b22 b23 −b13 −b23 b33 .. .. .. . . . −b1n −b2n −b3n

. . . b1n . . . b2n . . . b3n .. ... . . . . bnn

       

(A.16)

ˆ APENDICE A. VETORES E MATRIZES

148

A.2.8

Particionamento de uma Matriz

Dada uma matriz quadrada [A] de ordem 3 



a11 a12 a13   [A] =  a21 a22 a23  a31 a32 a33

(A.17)

pode-se particion´ a-la de forma conveniente da seguinte maneira [A] =

"

[A11 ] [A12 ] [A21 ] [A22 ]

#

(A.18)

onde, [A11 ] = [A12 ] = [A21 ] = [A22 ] =

"

a11 a12 a21 a22

#

h

a13 a23

i

h h

a31 a32 a33

i

i

s˜ ao definidas como submatrizes.

A.2.9

Matriz Transposta

Dada uma matriz [A] de ordem m × n, a transposta de [A], denotada por [A]T , ´e a matriz de ordem n × m obtida ao se trocar as linhas pelas colunas de [A]. Tomando-se m = 2 e n = 3, tem-se que [A] =

A.3

"

a11 a12 a13 a21 a22 a23

#





a11 a21   → [A]T =  a12 a21  a13 a23

(A.19)

Opera¸ c˜ oes Matriciais

A.3.1

Igualdade

Duas matrizes [A] e [B] de mesma ordem m × n s˜ ao iguais, ou seja [A] = [B] desde que aij = bij (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).

(A.20)

˜ A.4. SISTEMA DE EQUAC ¸ OES LINEARES

A.3.2

149

Adi¸ c˜ ao e Subtra¸c˜ ao

A soma ou subtra¸c˜ ao de duas matrizes [A] e [B], de mesma ordem n × m, ´e definida como [C] = [A] ± [B]

(A.21)

tal que cij = aij ± bij e [C] ´e uma matriz de ordem m × n.

A.3.3

Multiplica¸c˜ ao

Dadas as matrizes [A]m×p e [B]p×n , a multiplica¸c˜ ao de [A] por [B] ´e uma matriz [C]m×n , tal que [C]m×n = [A]m×p [B]p×n

(A.22)

sendo cij =

p X

air brj i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n

r=1

Observa-se que para multiplicar duas matrizes, tem-se que o n´ umero de colunas da primeira deve ser igual a n´ umero de linhas da segunda matriz.

A.4

Sistema de Equa¸ c˜ oes Lineares

Considere o sistema de equa¸c˜ oes lineares com n inc´ ognitas   a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2

..   .    a x + a x + ... + a x = b n1 1 n2 2 nn n n

(A.23)

[A]{x} = {b}

(A.24)

Verifica-se que este sistema de equa¸c˜ oes pode ser escrito em forma matricial, ou seja,

sendo 

  [A] =   

{x} = {b} =

n

n

a11 a21 .. . an1

a12 . . . a1n a22 . . . a2n .. .. . ... . an2 . . . ann

x1 x2 . . . xn b1 b2 . . . bn

     

oT

oT

(A.25)

ˆ APENDICE A. VETORES E MATRIZES

150

A.5

Problema de Autovalor

Considere uma matriz [A] sim´etrica de ordem n. O problema de autovalor relacionado a matriz [A] ´e definido por [A]{x} = λ{x} → ([A] − λ[I]){x} = {0}

(A.26)

Resolvendo-se a equa¸c˜ ao anterior, obt´em-se os autovalores λi (i = 1. . . . , n) e os respectivos autovetores {xi } (i = 1, . . . , n). Assim, como solu¸c˜ ao tem-se os auto-pares(λi , {xi }). Dadas duas matrizes [A] e [B] sim´etricas de ordem n, o problema de autovalor generalizado ´e dado por [A]{x} = λ[B]{x} → ([A] − λ[B]){x} = {0}

(A.27)

Apˆ endice B

Introdu¸ c˜ ao ao Programa ANSYS O programa ANSYS ´e um pacote geral implementando a t´ecnica de elementos finitos para os mais variados tipos de problemas. Os seguintes tipos de an´ alise podem ser efetuadas atrav´es do ANSYS: • An´ alise Est´ atica Linear e N˜ ao-linear; • Flambagem; • An´ alise Modal e Resposta em Frequˆencia; • An´ alise Dinˆ amica Linear e N˜ ao-linear Transiente; • Subestrutura¸c˜ ao; • Transferˆencia de Calor; • Dinˆ amica de Fluidos Computacional. O programa possui v´ arios recursos gr´ aficos, gerador autom´ atico de malhas e uma vasta biblioteca de elementos finitos. Nesse apˆendice, n˜ ao se considera a interface gr´ afica do ANSYS, mas apenas os comandos textuais que s˜ ao executados pela interface e que podem ser dados na janela Input da interface ou em um arquivo texto. O uso do material apresentado nos Apˆendices B e C requer a disponibilidade do programa ANSYS. Basicamente, o programa est´ a dividido nos m´ odulos ilustrados na Figura B.1 onde PREP7 : consiste no pr´e-processador, no qual o usu´ ario define o modelo de elementos finitos da estrutura em estudos. Pode-se definir a geometria da estrutura, gerar a malhas de elementos de forma manual ou autom´ atica e especificar caracter´ısticas de material. Pode-se ainda importar a geometria em v´ arios formatos de arquivos CAD. 151

ˆ ˜ AO PROGRAMA ANSYS APENDICE B. INTRODUC ¸ AO

152

ANSYS

/PREP7 FINI

/SOLVE FINI

PREP7

SOLVER

/POST1 FINI

POST1

Figura B.1: M´ odulos do programa ANSYS. SOLVER : ´e a parte de solu¸c˜ ao do programa, no qual aplicam-se carregamentos e condi¸c˜ oes de contorno. As matrizes dos elementos s˜ ao calculadas, efetua-se a resolu¸c˜ ao de sistemas de equa¸c˜ oes e a determina¸c˜ ao de deslocamentos, tens˜ oes, frequˆencias naturais, etc. POST1 : ´e o p´ os-processador do ANSYS, permitindo a apresenta¸ca˜o gr´ afica e listagens dos resultados. O programa armazena as informa¸c˜ oes fornecidas pelo usu´ ario ou geradas durante uma an´ alise em alguns arquivos, tais como file.bd : armazena as informa¸c˜ oes do modelo de elementos finitos gerados no PREP7; file.log : armazena os comandos utilizados durante a execu¸c˜ ao do ANSYS; file.err : cont´em a listagem de advertˆencias e erros listados ao longo da execu¸c˜ao do programa; file.emat : cont´em as matrizes dos elementos finitos; file.rst : armazena as grandezas calculadas no SOLVER, tais como deslocamentos, tens˜ oes, frequˆencias naturais, modos de vibra¸c˜ ao, etc. Este arquivo ´e, geralmente, lido pelo p´ os-processador; O prefixo file pode ser alterado atrav´es do comando /FILNAME. Podem ser utilizados sistemas de referˆencia global e local dos seguintes tipos • cartesiano; • cil´ındrico;

B.1. COMANDOS DO ANSYS

153

• esf´erico; • toroidal Pode-se empregar qualquer unidade para as grandezas do problema em estudo, tais como coordenadas, carregamentos, propriedades geom´etricas, caracter´ısticas do material, dentre outras. No entanto, a compatibilidade destas unidades ´e responsabilidade do usu´ ario do programa. O pr´e-processador ´e acessado com o comando /PREP7, devendo-se fornecer FINI para sair do PREP7. Ap´ os a grava¸c˜ ao do arquivo file.db, utiliza-se solu para que a an´ alise possa ser realizada pelo SOLVER. Abandona-se o SOLVER, com FINI, executando-se o p´ os-processador com /POST1. Estes comandos est˜ ao ilustrados na Figura B.1. A seguir apresenta-se um sum´ ario de alguns comandos do ANSYS. Para a descri¸c˜ ao completa deste comandos pode-se utilizar help,<nome do comando>. Observa-se que os comandos podem ser dados em letras min´ usculas ou mai´ usculas, utilizando-se apenas os primeiros 4 caracteres dos comandos.

B.1 B.1.1

Comandos do ANSYS N´ os

N : define um n´ o no sistema de coordenadas ativo; FILL : gera uma linha de n´ os entre dois n´ os dados; NGEN : gera um conjunto de n´ os a partir de uma padr˜ ao de n´ os especificados; NSYMM : gera um conjunto de n´ os a partir de uma padr˜ ao de n´ os especificados de acordo com um plano de simetria; NMODIF : modifica um n´ o j´ a definido; NLIST : lista as coordenadas do n´ os no sistema de coordenadas ativo; NDELE : apaga n´ os; NPLOT : apresenta os n´ os de modo gr´ afico; MERGE : agrupa n´ os com coordenadas pr´ oximas dentro de uma precis˜ ao especificada;

B.1.2

Elementos

E : define um elemento fornecendo-se a sua incidˆencia; EGEN : Gera elementos adicionais a partir de um padr˜ ao especificado;

154

ˆ ˜ AO PROGRAMA ANSYS APENDICE B. INTRODUC ¸ AO

ESYM : Gera elementos a partir de um padr˜ ao especificado por simetria reflexiva; EMODIF : modifica um elemento definido anteriormente; ELIST : lista os n´ os de um elemento e suas propriedades; EDELE : apaga um elemento; EMORE : adiciona mais n´ os a um elemento definido anteriormente; MAT : atribui um n´ umero de material para os elementos; TYPE : atribui um n´ umero de tipo aos elementos; REAL : atribui um n´ umero de um conjunto de constantes reais aos elementos; ESYS : atribui um n´ umero de um sistema de referˆencia aos elementos; EPLOT : apresenta graficamente os elementos;

B.1.3

Tipo de Elemento

ET : define um tipo de elemento; ETLIST : lista os tipos de elementos definidos; ETDELE : apaga tipos de elementos; KEYOPT : especifica as op¸c˜oes para um elemento.

B.1.4

Constantes Reais

R : define at´e 6 constantes reais de um elemento; RMORE : adiciona at´e 6 constantes reais a um conjunto previamente definido; RMODIF : modifica os valores das constantes reais de um conjunto previamente definido; RDELE : apaga conjuntos de constantes reais; RLIST : lista os conjuntos de constantes reais; RSIZE : permite alterar o n´ umero m´ aximo de constantes reais de um conjunto.

B.1. COMANDOS DO ANSYS

B.1.5

155

Carregamentos e Condi¸c˜ oes de Contorno

F : aplica for¸cas concentradas em graus de liberdade de n´ os especificados; FLIST : lista as for¸cas concentradas aplicadas; FDELE : apaga for¸cas concentradas; SFE : gera press˜ oes nas faces dos elementos; SFELIST : lista press˜ oes no elementos; SFEDELE : apaga press˜ oes nos elementos; ACEL : define um vetor de acelera¸c˜ ao em termos de componentes cartesianas; D : aplica deslocamentos em graus de liberdades de n´ os; DLIST : lista os deslocamentos nodais aplicados; DDELE : apaga deslocamentos nodais; DSYM : gera restri¸c˜ oes de deslocamentos em n´ os de um plano de simetria.

B.1.6

Casos de Carregamentos

LSWRITE : salva o caso de carregamento corrente para o arquivo FILE23.DAT; LSREAD : lˆe um caso de carregamento do arquivo FILE23.DAT. Os carregamentos presentes s˜ ao apagados;

B.1.7

Material

MP : define as propriedades de um material el´ astico, linear e isotr´ opico.

B.1.8

Sistemas de Coordenadas

LOCAL : define um sistema de coordenadas local dados a posi¸c˜ ao e os aˆngulos de orienta¸c˜ ao no sistema global de referˆencia; CS : define um sistema local de coordenadas a partir de trˆes n´ os; CSKP : define um sistema local de coordenadas a partir de trˆes pontos; CSYS : ativa um sistema de coordenadas; NROTAT : gira os sistemas de coordenadas nodais relativo ao sistema ativo; DSYS : ativa um sistema de coordenadas para a apresenta¸c˜ ao de tabelas e gr´ aficos;

ˆ ˜ AO PROGRAMA ANSYS APENDICE B. INTRODUC ¸ AO

156

CSLIST : apresenta os sistemas de coordenadas definidos; CSDELE : apaga sistemas de coordenadas;

B.1.9

Reordenamento dos Elementos

WSTART : define uma lista de n´ os para ordenamento dos elementos atrav´es do comando WAVES; WMORE : adiciona mais n´ os a uma lista previamente definida; WERASE : apaga as listas de ordenamento j´ a definidas; WFRONT : fornece o wavefront corrente do modelo; WAVES : inicializa o reordenamento de acordo com uma lista definida previamente; WSORT : inicializa reordenamento baseado na localiza¸c˜ ao do centr´ oide dos elementos.

B.1.10

Tipo de An´ alise

ANTYPE : define o tipo de an´ alise e op¸c˜ oes.

B.1.11

Pontos

K : define um ponto dadas as suas coordenadas; KNODE : define um ponto na mesma localiza¸c˜ ao de um n´ o j´ a existente; KFILL : gera pontos entre dois pontos dados; KGEN : gera pontos adicionais a partir de um padr˜ ao de pontos dado; KSYMM : gera um conjunto de n´ os por reflex˜ ao de um padr˜ ao de pontos dado; KMODIF : modifica um ponto previamente definido; KDELE : apaga pontos; KSUM : calcula e imprime as propriedades geom´etricas associadas aos pontos selecionados; KLIST : lista as coordenadas dos pontos definidos; KMOVE : calcula e move um ponto para uma interse¸c˜ ao; KPLOT : apresenta os pontos graficamente.

B.1. COMANDOS DO ANSYS

B.1.12

157

Linhas

L : define um segmento de linha; LGEN : gera linhas adicionais a partir de um padr˜ ao fornecido; LSYMM : gera um conjunto de linhas por reflex˜ ao, assim como os pontos correspondentes; LTRAN : transfere um padr˜ ao de linhas de um sistema de coordenadas para outro sistema; LMODIF : modifica um segmento de linha previamente definido; LDELE : apaga segmentos de linhas; LSUM : calcula e imprime as propriedades geom´etricas associadas as linhas selecionadas; LLIST : lista os segmentos de linhas definidos; LPLOT : apresenta graficamente as linhas definidas; LARC : define um arco circular; CIRCLE : gera um c´ırculo; SPLINE : gera uma curva spline a partir de uma s´erie de pontos; LDIV : divide um segmento em dois ou mais segmentos.

B.1.13

´ Areas

A : gera uma a´rea a partir de 3 ou 4 pontos dados; AGEN : gera a´reas adicionais a partir de um padr˜ ao especificado; ARSYM : gera um conjunto de a´reas por reflex˜ ao a partir de um padr˜ ao de a´reas especificado; ATRAN : transfere um padr˜ ao de a´reas de um sistema de coordenadas para outro sistema; ADELE : apaga a´reas; ASUM : calcula e imprime as propriedades geom´etricas associadas as a´reas selecionadas; ALIST : lista a´reas definidas; APLOT : mostra graficamente as a´reas definidas;

ˆ ˜ AO PROGRAMA ANSYS APENDICE B. INTRODUC ¸ AO

158

AL : define uma a´rea a partir de um dado conjunto de linhas; AROTAT : gera a´reas cil´ındricas atrav´es de uma rota¸c˜ ao de um padr˜ ao de segmentos de linhas em torno de um eixo; ADRAG : gera a´reas por extrus˜ ao de um conjunto de linhas ao longo de uma curva especificada.

B.1.14

Volumes

V : gera volumes dados 4, 6 ou 8 pontos; VGEN : gera volumes adicionais a partir de um padr˜ ao dado; VSYMM : gera volumes por reflex˜ ao de um conjunto de volumes especificados; VTRAN : transfere um padr˜ ao de volumes de um sistema de coordenadas para outro sistema; VDELE : apaga volumes definidos; VSUM : calcula e imprime as propriedades geom´etricas associadas aos volumes selecionados; VLIST : lista volumes definidos; VPLOT : mostra graficamente os volumes definidos; VL : define um volume a partir de um dado conjunto de a´reas; VROTAT : gera volumes cil´ındricos pela rota¸c˜ ao de a´reas especificadas; VDRAG : gera volumes adicionais por extrus˜ ao de um padr˜ ao de a´reas ao longo de uma curva.

B.1.15

Gera¸c˜ ao de Malha

ESIZE : define o n´ umero de divis˜ oes ou tamanho dos elementos em linhas; MSHAPE : especifica a forma do elemento da malha; KMESH : gera n´ os e elementos em pontos j´ a definidos; LMESH : gera n´ os e elementos de linha ao longo de segmentos de linhas dados; AMESH : gera n´ os e elementos de a´reas no interior de a´reas especificadas; VMESH : gera n´ os e elementos de volume no interior de volumes especificados;

˜ DE CONDIC ˜ ´ B.2. APLICAC ¸ AO ¸ OES DE CONTORNO AO MODELO SOLIDO

159

KCLEAR : apaga n´ os e elementos associados a pontos; ACLEAR : apaga n´ os e elementos associados a a´reas; VCLEAR : apaga n´ os e elementos associados a volumes; MODMSH : desassocia o modelo s´ olido do modelo de elementos finitos;

B.2

Aplica¸ c˜ ao de Condi¸ c˜ oes de Contorno ao Modelo S´ olido

DK : define deslocamentos especificados num ponto; KF : define for¸cas concentradas num ponto; SFL : define uma superf´ıcie de press˜ ao num segmento de linha; SFA : define uma superf´ıcie de press˜ ao numa a´rea; SBCTRANS : transfere condi¸c˜ oes de contorno (deslocamentos e carregamentos) do modelo s´ olido para a malha de elementos finitos; SBCLIST : lista as condi¸c˜ oes de contorno aplicadas ao modelo s´ olido;

B.2.1

Sele¸c˜ ao de Entidades

NSEL : seleciona um subconjunto de n´ os; ESEL : seleciona um subconjunto de elementos; KSEL : seleciona um subconjunto de pontos; LSEL : seleciona um subconjunto de linhas; ASEL : seleciona um subconjunto de a´reas; VSEL : seleciona um subconjunto de volumes; CM : cria uma componente de entidades; CMSEL : seleciona uma componente.

B.2.2

Comandos /

/TITLE : define um t´ıtulo para o modelo; /PBC : apresenta graficamente as condi¸c˜ oes de contorno selecionadas; /PNUM : indica se os n´ umeros de uma entidade devem ser apresentados graficamente; /PSF : apresenta graficamente os carregamentos distribu´ıdos.

160

B.2.3

ˆ ˜ AO PROGRAMA ANSYS APENDICE B. INTRODUC ¸ AO

Graus de Liberdade Masters

M : define graus de liberdade masters para an´ alises reduzidas; MGEN : gera graus de liberdade masters a partir de um conjunto dado; MLIST : lista os graus de liberdade masters; MDELE : apaga graus de liberdade masters; TOTAL : efetua a gera¸c˜ ao autom´ atica dos graus de liberdade masters.

B.2.4

Comandos de Visualiza¸ c˜ ao

/ANGLE : Gira o gr´ afico em torno de um eixo de visualiza¸c˜ ao; /AUTO : ativa o modo autom´ atico de c´ alculo dos parˆ ametros de visualiza¸c˜ ao; /COUNTOR : define os valores de contorno que ser˜ ao mostrados no gr´ afico; /DIST : define a distˆ ancia de visualiza¸c˜ ao; /FOCUS : define a localiza¸ca˜o do ponto de foco do objeto; /NUMBER : determina se os ´ıtens numerados ser˜ ao distinguidos pela cor ou n´ umeros no gr´ afico; /RATIO : distorce a geometria do objeto numa dire¸c˜ ao particular; /SHRINK : comprime os elementos de tal forma que os elementos adjacentes s˜ ao separados; /TLABEL : coloca um texto definido pelo usu´ ario num local especificado pelo usu´ ario; /TYPE : define o tipo de apresenta¸c˜ ao do gr´ afico; /USER : ativa a janela onde ser´ a apresentado o gr´ afico; /VCONE : define o cone de vis˜ ao para vista em perspectiva; /VIEW : define a dire¸c˜ ao de vis˜ ao para o gr´ afico; /WINDOW : define o tamanho de uma janela; /ZOOM : seleciona uma regi˜ ao que ser´ a ampliada.

˜ DE CONDIC ˜ ´ B.2. APLICAC ¸ AO ¸ OES DE CONTORNO AO MODELO SOLIDO

B.2.5

161

P´ os-processador

ETABLE : especifica dados de p´ os-processamento adicionais a serem lidos pelo comando SET; SET : lˆe os resultados da an´ alise do arquivo file12.dat; PRNSOL : lista solu¸c˜ ao de grandezas nodais; PRRSOL : lista as for¸cas de rea¸c˜ ao para os n´ os indicados; PLNSOL : apresenta graficamente as distribui¸c˜ oes de deslocamentos, tens˜ oes, temperaturas, etc; PLDISP : apresenta graficamente a geometria deformada.

B.2.6

Outros Comandos

NUMCMP : compacta a numera¸c˜ ao das entidades (pontos, linhas, a´reas,etc); NUMMRG : agrupa entidades pr´ oximas dentro de uma precis˜ ao especificada; NUMSTR : estabelece n´ umeros iniciais para as entidades; SAVE : salva os dados do modelo para o arquivo file16.dat; RESUME : lˆe os dados do arquivo file16.dat para a mem´ oria; CDWRITE : grava um arquivo com comandos do PREP7 correspondente ao modelo em estudo; FINISH : permite a sa´ıda dos m´ odulos PREP7, POST1 e SOLVER.

162

ˆ ˜ AO PROGRAMA ANSYS APENDICE B. INTRODUC ¸ AO

Apˆ endice C

Exemplos Analisados pelo ANSYS C.1

Estrutura Reticulada

Objetivos : ilustrar a aplica¸c˜ ao do elemento de barra plana (LINK1), assim como comandos b´ asicos para a gera¸c˜ ao de n´ os e elementos, aplica¸c˜ ao de carregamentos e condi¸c˜ oes de contorno, apresenta¸c˜ ao de resultados. Constantes do problema : • M´ odulo de elasticidade: E = 21 × 105 Kgf /cm2 = 21 × 109 Kgf /m2 ; ´ • Area da se¸c˜ ao transversal: A = 1 cm2 = 10−4 m2 . !PRE-PROCESSADOR /PREP7 /TITLE,ESTRUTURA RETICULADA ET,1,LINK1 !Tipo do elemento MP,EX,1,21E9 !Modulo de elasticidade R,1,1E-4 !Area N,1 !Definicao dos nos N,2,3 N,3,3,8 N,6,12,8 NPLOT !Plota os nos FILL,3,6 NPLOT NGEN,2,3,5,5,1,0,-2 NPLOT NGEN,2,3,4,4,1,0,-4 NPLOT NLIS !Lista as coordenadas nodais E,1,3 !Definicao dos elementos E,2,3 E,2,7 E,3,7 E,3,4 EPLOT !Plota os elementos EGEN,3,1,5,5,1

163

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

164

1,0Kgf

1,0Kgf 5

6

3

1,5Kgf

1,0Kgf

1,0Kgf

4

7

5 10

8

9

8

6 2m

12

4

2m 11

1

7 2

4m

3

Y 1

2 X 3m

3m

3m

3m

Figura C.1: Treli¸ca analisada. EPLOT E,4,7 E,4,8 E,5,8 E,8,7 E,6,8 EPLOT SAVE FINI !SOLVER /SOLU D,1,UX,0,0,2,1,UY DLIS F,3,FX,1.5 F,3,FY,-1,0,6,1 FLIS /PBC,ALL,1 EPLOT SOLVE FINI !POS-PROCESSADOR /POST1 ETABLE,FXE,SMISC,1 ETABLE,TEN,LS,1 PLDI,1 PRDIS

!Salva dados !Abandona PREP7

!Condicoes de contorno para os nos 1 e 2 !Lista condicoes de contorno !Forca em x para o no 3 !Forca em y para os nos 3 a 6 !Lista forcas

!Abandona SOLVER

!Forca axial na barra !Tensao nas barras !Plot da geometria deformada !Deslocamentos nodais

˜ EM VIGAS C.2. DEFORMAC ¸ AO PRETAB,FXE,TEN PLETAB,TEN PLETAB,FXE PRRSOL FINI

C.2

165

!Forcas axiais e tensao nos elementos !Apresenta as tensoes nos elementos !Apresenta as forcas axiais nos elementos !Lista as reacoes de apoio !Abandona POST1

Deforma¸ c˜ ao em Vigas

Objetivos : aplicar o elemento de viga plana (BEAM3) para o estudo de uma viga submetida a um momento puro, for¸ca concentrada e carga distribu´ıda, ilustrada em C.2. Constantes do problema : • M´ odulo de elasticidade: E = 21 × 106 tf /m2 ; ´ • Area da se¸c˜ ao transversal: A = 3, 75 × 10−2 m2 ; • Momento de in´ercia em rela¸c˜ ao ao eixo z:

bh3 (15)(25)3 = = 1, 953 × 10−4 m4 ; 12 12 • Altura do perfil: h = 25 cm. Jz =

Y

3t Y

1 t/m 2 t.m Z

25 cm

Z

X

2m 15 cm

Figura C.2: Viga em estudo. !PRE-PROCESSADOR /PREP7 /TITLE,VIGA - 10 ELEMENTOS MP,EX,1,21E6 ET,1,BEAM3 R,1,3.75E-2,1.953E-04,25E-2 N,1,0,0 N,11,2,0 NPLOT

!Modulo de elasticidade do material da viga !Tipo do elemento: viga !Area, Izz, h !Definicao dos nos extremos !Plota nos

166

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

FILL /PNUM,NODE,1 NPLOT NLIS E,1,2 EGEN,10,1,1,1,1 /PNUM,ELEM,1 EPLOT SAVE FINI

!Lista coordenadas dos nos !Definicao dos elementos !Gera o restante dos elementos !Ativa numeracao dos elementos !Plota elementos !Salva modelo !Abandona PREP7

!SOLVER /SOLU D,1,ALL,0 F,11,FY,-3 F,11,MZ,-2 SFBEAM,ALL,1,PRESS,1 /PBC,ALL,1 /VIEW,1,1,1,1 EPLO SOLVE FINI

!Entra no modulo de solucao !Engastado no no’ 1 !Forca de -3t no no’ 11 !Momento de -2 t.m no no’ 11 !Carga distribuida de -1 t/m na face 1 do elemento !Mostra condicoes de contorno !Vista em perspectiva !Plot dos elementos !Soluciona modelo !Abandona SOLVER

!POS-PROCESSADOR /POST1 ETABLE,FXI,SMISC,1 ETABLE,FXJ,SMISC,7 ETABLE,FYI,SMISC,2 ETABLE,FYJ,SMISC,8 ETABLE,MZI,SMISC,6 ETABLE,MZJ,SMISC,12 ETABLE,SDI,LS,1 ETABLE,SDJ,LS,4 ETABLE,SBI,LS,2 ETABLE,SBJ,LS,5 ETABLE,SDMI,NMISC,2 ETABLE,SDMJ,NMISC,4 ETABLE,SDPI,NMISC,1 ETABLE,SDPJ,NMISC,3 SET PLDI,1 PRDIS PRETAB,FXI,FXJ,FYI,FYJ,MZI,MZJ PRETAB,SDI,SDJ,SBI,SBJ PRETAB,SDMI,SDMJ,SDPI,SDPJ PLLS,FYI,FYJ PLLS,MZI,MZJ PLLS,SDPI,SDPJ PLLS,SDMI,SDMJ PLETAB,SDPI PLETAB,SDPJ PLETAB,SBI PLETAB,SBJ PRRSOL FINI

!Gera nos intermediarios !Ativa numeracao dos nos

!Entra no modulo de pos-processamento !Le forca de reacao nodal na direcao x - no i !Le forca de reacao nodal na direcao x - no j !Le forca de reacao nodal na direcao y - no i !Le forca de reacao nodal na direcao y - no j !Le momento fletor mz nos pontos nodais - no i !Le momento fletor mz nos pontos nodais - no j !Tensao devido ao esforco normal - no i !Tensao devido ao esforco normal - no j !Tensao de flexao no topo da secao - no i !Tensao de flexao no topo da secao - no j !Tensao de flexao-normal - no i !Tensao de flexao-normal - no j !Tensao de flexao+normal - no i !Tensao de flexao+normal - no j !Le arquivo de resultados !Plot da geometria deformada !Imprime deslocamentos e rotacoes !Imprime esforcos nodais !Tensoes axiais e de flexao !Tensoes resultantes !Forcas nodais na direcao y !Momentos nodais em z !Tensoes resultantes !Tensoes nos elementos

!Lista as reacoes de apoio !Abandona POST1

´ C.3. PORTICO

C.3

167

P´ ortico

Objetivos : analisar um p´ ortico modelado por elementos de barra e viga plana. Utilizamse v´ arios tipos de constantes reais e materiais. Desta forma, ilustra-se a defini¸c˜ ao de elementos utilizando diferentes parˆ ametros. Toma-se a mesma se¸c˜ ao transversal do exemplo anterior para as vigas. O p´ ortico est´ a ilustrado na Figura C.3. Propriedades e constantes : • M´ odulo de elasticidade das vigas: E = 21, 0 × 106 tf /m2 ; ´ • Area da se¸c˜ ao transversal das vigas: A = 3, 75 × 10−2 m2 ;

• Momento de in´ercia em rela¸c˜ ao ao eixo z: Jz = 1, 953 × 104 m4 ; • M´ odulo de elasticidade das barras: E = 7, 0 × 106 tf /m2 ; ´ • Areas da se¸c˜ ao transversal das barras inclinadas: A = 2, 0 cm2 ;

´ • Areas da se¸c˜ ao transversal das barras horizontais: A = 1, 0 cm2 ; 5t

3t

2t

2t

Aluminio

1m

Aco

20cm

20cm

Figura C.3: P´ ortico analisado. ! Estrutura com varios materiais e elementos ! ! PRE-PROCESSAMENTO

168

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

! /prep7 /title,Portico ! ! Configuracao ! /pnum,node,1 !habilita numeracao de nos e elementos /pnu,elem,1 ! ! Tipos de Elementos/Constantes/Materiais ! et,1,link1 ! link1=elemento de barra et,2,beam3 ! beam3=elemento de viga plana r,1,3.75e-2,1.953e-4,25e-2 ! area, Izz, h r,2,1e-4 ! area r,3,2e-4 ! area mp,ex,1,7e6 ! E aluminio mp,ex,2,21e6 ! E aco mp,nuxy,1,0.28 ! coef. poisson aluminio=0.28 mp,nuxy,2,0.3 ! coef. poisson aco=0.3 ! ! Nos ! n,1 n,2,.20 n,3,0,.20 n,4,.20,.20 nplot ! ! Elementos de aluminio - barras ! type,1 !inicializa os conjuntos de constantes a serem utilizados real,2 mat,1 e,1,2 real,3 e,1,4 real,2 e,3,4 eplot ! ! Elementos de aco - vigas ! type,2 !inicializa os conjuntos de constantes a serem utilizados real,1 mat,2 e,1,3 e,4,2 eplot ! ! Geracao do restante dos nos e elementos ! ngen,5,2,3,4,1,0,0.20 ! Gera os nos a partir de 3 e 4 egen,5,2,4,5,1 ! Copia elementos de aco egen,5,2,2,2,1 ! Copia elementos de aluminio egen,5,2,3,3,1 ! Copia elementos de aluminio eplot ! ! Grava arquivos e sai do PREP7

C.4. ESTUDO DE UM EIXO

169

save fini ! ! SOLUCAO ! /solu ! Aplicacao das restricoes ! d,1,all,0,0,2,1 ! Engastado na base ! ! Aplicacao das forcas ! f,11,fx,2,0,12,1 ! Forca em X nos nos 11 e 12 de 2t f,11,fy,5 ! Forca em Y nos nos 11 e 12 de 5t f,12,fy,-3 ! Forca em Y nos nos 11 e 12 de -3t ! ! Plota para verificacao ! /view,1,1,1,1 !Vista em perspectiva /pbc,all,1 /pnum,type,1 !Numera elementos pelo tipo eplot /pnum,real,1 !Numera elementos pelas propriedades geometricas eplot /pnum,mat,1 !Numera elementos pelo material eplot ! solve fini ! ! POS-PROCESSAMENTO ! /post1 etable,imz,smisc,6 !Momentos fletores para os nos i e j etable,jmz,smisc,12 etable,ibnd,nmisc,1 !Tensao de flexao resultante maxima para os nos i e j etable,jbnd,nmisc,3 etable,ten,ls,1 !Tensao nos elementos de barra set !Le arquivo de resultados pldisp,1 !Geometria deformada plls,imz,jmz !Momentos fletores para os nos i e j plls,ibnd,jbnd !Apresenta tensao de flexao pletab,ten !Tensao nas barras prrsol !Lista as reacoes de apoio fini !Abandona POST1

C.4

Estudo de um Eixo

Objetivos : analisar o eixo da Figura C.4 submetido aos esfor¸cos indicados no sistema equivalente, utilizando-se o elemento de viga espacial (BEAM4). A especifica¸c˜ ao das dimens˜ oes, das propriedades geom´etricas e dos esfor¸cos ´e feita de forma param´etrica facilitando modifica¸c˜ oes nos valores destes dados. Como existem dois diˆ ametros distintos (d1 e d2 ) definem-se dois conjuntos de constantes reais. O sistema equivalente, apresentando os esfor¸cos aplicados sobre o eixo, est´ a ilustrado na Figura C.4.

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

170

Figura C.4: Eixo analisado. Propriedades e Constantes : • M´ odulo de elasticidade: E = 21 × 10 M P a; 2 ´ • Area da se¸c˜ ao transversal: A = πd4 ; • Momentos de in´ercia em rela¸c˜ ao aos eixos x e y: Jy = Jz = • For¸ca axial: Fa = 2, 4 KN ;

• For¸ca radial: Fr = 3, 3 KN ;

• For¸ca tangencial: Ft = 8, 0 KN ; • Torque: T = 911, 2 N m;

• Diˆ ametro da engrenagem: d = 227, 8 mm;

• Diˆ ametro do trecho AB: d1 = 50 mm; • Diˆ ametro do trecho BC: d2 = 45 mm;

!PRE-PROCESSADOR /PREP7 /TITLE,Eixo com engrenagem ! ! Constantes do problema ! d1=50e-3 ! [m] d2=45e-3 ! [m] d=227.8e-3 ! [m] l1=150e-3 ! [m] l2=140e-3 ! [m] l3=70e-3 ! [m] l4=40e-3 ! [m] Ft=8.0e3 ! [N]

diametro eixo 1 diametro eixo 2 diametro primitivo eng. comprimento eixo1 comprimento eixo2 - 1a. parte comprimento eixo2 - 2a. parte largura do rebaixo do mancal B Forca Tangencial

πd4 64 ;

171

C.4. ESTUDO DE UM EIXO Y

Z

T AY AZ l1 AX Ft

Fa l

2

Ft d/2

Fa d/2

BY BZ

Fr l3 l4 X

Figura C.5: Sistema equivalente ao eixo.

Fr=3.3e3 ! [N] Forca Radial Fa=2.4e3 ! [N] Forca axial T=911.2 ! [N.m] Torque transmitido pi=3.1415926 ! ! Constante do material ! MP,EX,1,21e9 ! ! Seleciona elemento ! ET,1,BEAM4 ! ! Define as constantes reais (geom. propert.) ! R,1,pi*d1**2/4,pi*d1**4/64,pi*d1**4/64,d1/2,d1/2,0 R,2,pi*d2**2/4,pi*d2**4/64,pi*d2**4/64,d2/2,d2/2,0 ! ! Geracao dos nos ! N,1 N,16,l1 FILL /PNUM,NODE,1 NPLOT N,30,l1+l2 FILL NPLOT N,35,l1+l2+l3-l4/2 FILL

172

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

NPLOT N,37,l1+l2+l3 FILL NPLOT N,39,l1+l2+l3+l4/2 FILL NPLOT ! ! Geracao dos elementos ! ! Constantes reais 1 REAL,1 !seleciona as propriedades 1 E,1,2 !gera um elemento EGEN,34,1,1 !gera os demais /PNUM,ELEM,1 EPLOT ! ! Constantes reais 2 REAL,2 !seleciona as propriedades 2 E,35,36 !gera um elemento EGEN,4,1,35 !gera os demais EPLOT ! SAVE !Salva dados FINI !Abandona PREP7 !SOLVER /SOLU ! Condicoes de contorno ! D,16,UX,0,0,0,0,UY,UZ D,37,UY,0,0,0,0,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ ! ! Carregamento ! ! Na extremidade (acoplamento) ! F,1,MX,T ! Torque no acoplamento ! ! Na engrenagem ! F,30,FX,-Fa !Forca axial do engrenamento F,30,FY,Fr !Forca radial (cortante) F,30,FZ,Ft !Forca tangencial (cortante) F,30,MX,-Ft*d/2 !Momento da Forca tangencial F,30,MZ,Fa*d/2 !Momento da Forca axial /PBC,ALL,1 !Mostra condicoes de contorno EPLO !Plot dos elementos SOLVE FINI

!Solucao do modelo !Abandona SOLVER

!POS-PROCESSADOR /POST1 !Tensoes normais resultantes maximas para os nos i e j do elemento ETABLE,SG1I,NMISC,1 ETABLE,SG1J,NMISC,3

˜ C.5. VIGA - PROBLEMA DE ESTADO PLANO DE TENSAO

173

!Tensoes normais resultantes minimas para os nos i e j do elemento ETABLE,SG3I,NMISC,2 ETABLE,SG3J,NMISC,4 !Momento torcor para os nos i e j de cada elemento ETABLE,MXI,SMISC,4 ETABLE,MXJ,SMISC,10 SET /VIEW,1,1,1,1 PLDI,1 PLLS,SG1I,SG1J PLLS,SG3I,SG3J PLLS,MXI,MXJ PRDIS PRRSOL FINI

C.5

!Le arquivo de resultados !Vista em perspectiva !Plot da geometria deformada !Plot das tensoes normais maximas e minimas !Plot do momento torcor !Imprime deslocamentos e rotacoes !Imprime reacoes de apoio !Abandona POST1

Viga - Problema de Estado Plano de Tens˜ ao

Objetivos : estudar uma viga considerando um problema de estado plano de tens˜ ao. Para isso, utiliza-se um elemento quadrangular de 4 n´ os (plane42). Constantes do Problema : • M´ odulo de elasticidade: E = 21 × 105 Kgf /cm2 ; • Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

• Espessura: t = 1, 5 cm.

10Kgf

20cm 10Kgf 1m

Figura C.6: Viga analisada com elementos de estado plano de tens˜ ao. /PREP7 /TITLE,Viga - Elementos planos (plane42) ! ! Material

174

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

! MP,EX,1,21e5 ! E = 21 x 10^5 kgf/cm^2 MP,NUXY,1,0.3 ! Coeficiente de Poisson ! ! Tipo Elemento ! ET,1,plane42 ! Elemento plane42 com espessura ! !Espessura R,1,1.5 ! ! Nos ! N,1 N,2,0,10 N,3,0,20 ! !Numera nos /PNUM,NODE,1 NPLOT ! !Gera nos adicionais NGEN,21,3,1,3,1,25 NPLOT ! !Elementos ! E,1,4,5,2 ! Gera o 1o. elemento E,2,5,6,3 ! Gera o 2o. elemento EPLOT EGEN,20,3,1,2 !Gera os demais elementos /PNUM,ELEM,1 ! Numera elementos EPLOT ! FINI !SOLVER /SOLU ! !Restricoes ! D,1,ALL,0,0,3,1 ! Engastado em uma extremidade ! !Carregamento ! F,61,FX,10 !Forca em x para o no 13 F,63,FX,-10 !Forca em x para o no 15 /PBC,ALL,2 EPLOT SOLVE FINI !Abandona SOLVER !POS-PROCESSADOR /POST1 PLDISP,1 PLNSOL,U,Y,0 PLNSOL,S,EQV PLNSOL,S,X PLNSOL,S,Y

!Plota a geometria deformada !Imprime deslocamentos nodais na dire¸ ca ~o Y !Plota tensao equivalente de von Mises !Plota tensao na direcao x !Plota tensao na direcao y

175

C.6. PROBLEMA COM SIMETRIA PLNSOL,S,XY PRNSOL,S,COMP FINI

C.6

!Plota tensao de cisalhamento !Imprime tensoes

Problema com Simetria

Objetivos : Em alguns casos, o problema em estudo possui um ou mais planos de simetria. Nestes casos, pode-se modelar apenas uma parte do problema, facilitando a tarefa de prepara¸c˜ ao dos dados e reduzindo o n´ umero de graus de liberdade. Assumese tamb´em a simetria do carregamento. Como exemplo, considere a chapa ilustrada na Figura C.7. Verificam-se dois planos de simetria, sendo, portanto, necess´ ario modelar apenas uma quarta parte. Para facilitar a entrada dos dados utiliza-se um sistema global cil´ındrico. Constantes do Problema : • M´ odulo de elasticidade: E = 21 × 105 Kgf /cm2 ; • Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

• Espessura: t = 3, 2 cm.

r. 8 cm r. 2 cm

p

(a) Chapa com furo.

(b) Malha com simetria.

Figura C.7: Chapa com furo submetida a um press˜ ao interna uniforme. /PREP7 /title,Chapa Circular - Simetria (plane42) ! ! Material

176

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

! mp,ex,1,21e5 ! E = 21 x 10^5 kgf/cm^2 mp,nuxy,1,0.3 ! Coeficiente de Poisson ! ! Tipo Elemento ! et,1,plane42,0,,3 ! plane42 com entrada da espessura r,1,3.2 ! Espessura = 3.2 cm ! ! Sistema de Coordenadas cilindrico ! csys,1 ! ! Nos ! /pnum,node,1 n,1,2,0 n,4,8,0 nplot fill nplot ngen,7,4,1,4,1,0,15 ! Gera o restante de 15 em 15 graus nplot ! ! Elementos ! /pnum,elem,1 e,1,2,6,5 ! Primeiro elemento eplot egen,3,1,1 ! Copia ao longo do raio eplot egen,6,4,1,3 ! Copia ao longo da circunferencia eplot ! !Simetria ! /pbc,all,2 symbc,0,1,0,0 symbc,0,2,0,0 eplot ! ! Restri¸ co ~es ! d,4,all,0 d,28,all,0 ! save fini ! Abandona /PREP7 ! !SOLVER /SOLU ! ! Carregamento ! nsel,s,loc,x,2 ! Seleciona os nos internos sf,all,press,10 ! Coloca uma pressao nos nos selecionados de 10 kgf/cm^2 /psf,press,norm,2 ! plota simbolo de pressao na superficie eplot allsel ! Reativa todas as entidades

´ C.7. MULTIPLOS CARREGAMENTOS

177

save SOLVE ! ! FINI !Abandona SOLVER !POS-PROCESSADOR /POST1 PLDISP,1 PRDIS PLNSOL,S,EQV PLNSOL,S,X PLNSOL,S,Y PLNSOL,S,XY PRNSOL,S,COMP

C.7

!Plota a geometria deformada e n~ ao deformada !Imprime deslocamentos !Plota tensao equivalente de von Mises !Plota tensao na direcao x !Plota tensao na direcao y !Plota tensao de cisalhamento !Imprime tensoes FINI

M´ ultiplos Carregamentos

Objetivos : Algumas estruturas podem estar submetidas a v´ arias condi¸c˜ oes de carregamentos. Ao inv´es de se gerar uma malha para cada caso de carregamento, pode-se aplicar todas as condi¸c˜ oes a um mesmo modelo. Para isso, considere a chapa circular do exemplo anterior, onde se aplica como segundo caso de carregamento uma for¸ca concentrada de 100 Kgf e uma press˜ ao interna de 30 Kgf /cm2 . /PREP7 ! ! Varios Casos de Carregamentos ! ! (baseado no exemplo: "Chapa Circular - Simetria (plane42)" ! resume ! para ler o modelo ja gravado eplot ! mostra o modelo e o carregamento ! ! Gravar o carregamento ja aplicado ! /SOLU lswrite ! carregamento 1 ! ! Apagar todo o carregamento ! sfdele,all,all ! apaga todas as pressoes ! ! Coloca outro carregamento e grava ! Carregamento 2 ! csys,1 ! ativa sistema de coordenada cilindrico nsel,s,loc,x,2 sf,all,press,30 ! pressao de 30 kgf/cm^2 rm r=2cm /psf,press,norm,2 ! plota simbolo de pressao na superficie allsel ! seleciona tudo f,24,fy,-100 ! forca de 100 kgf no no’ 24 lswrite ! carregamento 2 ! ! Salva modelo para solucao

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

178 ! save ! Solucao ! lssolve,1,2 fini

! inicia solucao

/POST1 ! ! Pos-Processamento ! ! set,1 ! pldisp,0 ! plnsol,s,eqv set,2 ! pldisp,0 ! plnsol,s,eqv fini

C.8

le o 1o. caso plota a geometria deformada le o 2o. caso plota a geometria deformada

´ Gera¸ c˜ ao Autom´ atica de Malhas em Areas

Objetivos : Ilustrar o processo de gera¸c˜ ao de malha em problemas planos, considerando o problema de estado plano de tens˜ ao da Figura C.8. A geometria ´e gerada com os comandos do ANSYS para pontos, linhas e a´reas. A malha ´e obtida com o comando AMESH. As condi¸c˜ oes de contorno de deslocamentos e carregamentos s˜ ao aplicadas no modelo geom´etrico com os comandos DK e SFL. Posteriormente, s˜ ao transferidos para o modelo de elementos finitos com o comando SBCTRA. Constantes do Problema : • M´ odulo de elasticidade: E = 21 × 105 Kgf /cm2 ; • Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

• Espessura: t = 0, 7 cm. /PREP7 /TITLE,GERACAO DE MALHA - CHAVE ! !Keypoints ! K,1,21 K,2,21.6,2.1 K,3,15.9,3.6 K,4,15.3,1.5 K,5,10.2.,5.1 K,6,9.6,3 /PNUM,KPOI,1 KPLO K,7,7,6

˜ AUTOMATICA ´ ´ C.8. GERAC ¸ AO DE MALHAS EM AREAS

Figura C.8: Gera¸c˜ ao autom´atica de malha em problema plano. K,8,6.5,3.8 K,9,3.5,6.5 K,10,5.75,6.6 K,11,3.9,3.1 K,12,2.5,3.3 K,13,1.4,4 K,14,1,4.6 K,15,2.8,4.6 K,16,3.5,5.1 KPLO K,17,2.8,7 K,18,1,7 K,19,1.45,7.65 K,20,2.5,8.3 K,21,3.9,8.5 K,22,5,7.85 KPLO ! !Areas ! A,1,2,3,4 A,4,3,5,6 A,6,5,7,8 APLOT ! !Linhas ! L,8,16 L,16,9 L,9,10 L,10,7 L,8,11 L,11,12 L,12,13 L,13,14 L,14,15 L,15,16 LPLO !

179

180

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

L,9,17 L,17,18 L,18,19 L,19,20 L,20,21 L,21,22 L,22,10 LPLO ! !Areas definidas por linhas AL,9,11,12,13,14 AL,11,15,16,17,18,19,20 AL,13,21,22,23,24,25,26,27 /PNUM,AREA,1 APLO ! !Tipo do elemento - triangulo com 6 nos ! ET,1,PLANE2,0,0,3 ! !Espessura da chave ! R,1,0.7 ! !Define tamanho do elemento ! ESIZE,3,1 !Tamanho do elemento 3 cm com 1 divisao por linha ! !Geracao de elementos nas areas AMESH,ALL ! !Transfere condicoes de contorno do modelo solido para malha SBCTRAN ! !Apresenta elementos /PBC,ALL,1 /PBC,PRESS,2 /TYPE,1,4 /PNUM,ELEM,1 EPLO ! !Propriedades do material MP,EX,1,21E5 MP,NUXY,1,0.3 ! FINI !SOLVER /SOLU ! !Aplica pressao numa linha ! SFL,2,PRESS,10 ! plota simbolo de pressao na superficie /PSF,PRES,NORM,2 ! ! SBCLIS,ALL !

˜ AUTOMATICA ´ C.9. GERAC ¸ AO DE MALHA EM VOLUMES

181

!Aplica restricoes em keypoints ! DK,9,ALL,0 DK,14,ALL,0 DK,15,ALL,0 DK,16,ALL,0 DK,17,ALL,0 DK,17,ALL,0 SOLVE FINI !POS-PROCESSADOR /POST1 PLDISP,1 PLNSOL,S,X PLNSOL,S,EQV FINI

C.9

Gera¸ c˜ ao Autom´ atica de Malha em Volumes

Objetivos : A Figura C.9 ilustra o modelo discreto de uma viga de perfil I gerado de maneira autom´ atica atrav´es do comando VMESH. O elemento empregado ´e o SOLID45, ou seja, um cubo com 8 n´ os. Constantes do Problema : • M´ odulo de elasticidade: E = 21 × 105 Kgf /cm2 ;

• Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

/PREP7 /TITLE,Viga - Geracao Automatica - Volumes - Solid 45) /PBC,ALL,2 /PNUM,volu,1 ! ! Material ! MP,EX,1,21e5 ! E = 21 x 10^5 kgf/cm^2 MP,NUXY,1,0.3 ! Coeficiente de Poisson ! ! Tipo Elemento ! ET,1,solid45 ! Elemento Solid-45: 3D Isopara. Solid ! ! Kpoints ! K, 1, 0, 0 ! base K, 2, 0, 1 K, 3, 10, 0 K, 4, 10, 1 K, 5, 4.5, 1 K, 6, 5.5, 1 K, 7, 4.5, 0 K, 8, 5.5, 0 K, 9, 4.5, 9 ! alma

182

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

Figura C.9: Viga analisada como problema espacial utilizando cubos de oito n´ os.

K,10, 5.5, 9 K,11, 4.5, 10 ! topo K,12, 5.5, 10 K,13, 2, 9 K,14, 8, 9 K,15, 2, 10 K,16, 8, 10 ! ! Linha para o Vdrag (numero 1) ! K,17,0,0,40 ! kpoint L,1,17 ! linha (no. 1) ! ! Areas ! A,1,2,5,7 ! base A,5,6,8,7 A,6,4,3,8 A,5,9,10,6 ! alma A,13,15,11,9 ! topo A,11,12,10,9 A,12,16,14,10 ! ! Vdrag (gera volume por extrusao de areas) ! VDRAG,ALL,,,,,,1 ! areas 1-7 ao longo da linha 1 ! ! ! Ajusta o modelo gerado !

˜ AUTOMATICA ´ C.9. GERAC ¸ AO DE MALHA EM VOLUMES NUMM,ALL ! executa um merge das entidades ! ! Visualizacao ! /PNUM,default ! volta numeracao ao ’default’ /VIEW,1,1,1,1 ! Observador em (1,1,1) /TYPE,1,2 ! Hidden Lines (centroidal sort) VPLOT ! ! Controle/Geracao Automatica ! ESIZE,2 MSHAPE,0,3D ! gera¸ ca ~o com apenas cubos VMESH,ALL ! ! Coerencia da malha ! NUMMRG,ALL ! FINI !Grava arquivos !SOLVER /SOLU ! Restricoes ! NSEL,S,LOC,Z,0 D,ALL,ALL,0 ! Engastado em uma extremidade ! ! Carregamento ! ! (Carga distribuida de 40 kgf/cm no topo) ! (areas: 26, 30 e 33) ASEL,S,AREA,,26,30 ! seleciona 26 e 30 ASEL,A,AREA,,33 ! adciona ao grupo a area 33 NSLA,S,1 SF,ALL,PRES,40 ! pressao nas areas selecionadas /PSF,PRES,NORM,2 ! plota simbolo de pressao na superficie ALLSEL ! seleciona todas as entidades ! ! Transporta B.C. para o mesh ! sbctran ! ! Visualiza ! EPLOT SOLVE ! FINI !Abandona SOLVER ! Pos-Processamento ! /POST1 SET,1 /VIEW,1,1,1,1,1 /TYPE,1,2 PLDISP,1 PLNS,S,EQV FINI

183

184

C.10

ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

Simetria em Volumes

Objetivos : Pode-se explorar a simetria do problema em casos espaciais. Como exemplo, toma-se o modelo discreto mostrado nas Figura C.10. Neste caso, gera-se a geometria e a malha apenas para um quarto do modelo e utiliza-se a simetria de volumes para copiar n˜ ao apenas as entidades geom´etricas, assim como n´os e elementos da malha. Constantes do Problema : • M´ odulo de elasticidade: E = 21 × 105 Kgf /cm2 ; • Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

Figura C.10: Disco gerado utilizando a simetria do problema. /PREP7 /TITLE,Disco - Geracao Automatica - Volumes - Solid95 /PBC,ALL,2 /PNUM,KPOI,1 /PNUM,LINE,1 /PNUM,AREA,1 /PNUM,VOLU,1 ! ! Material ! MP,EX,1,21e5 ! E = 21 x 10^5 kgf/cm^2 MP,NUXY,1,0.3 ! Coeficiente de Poisson ! ! Tipo Elemento ! ET,1,solid95 ! Elemento Solid95: 3D 20 node Isopara. Solid

C.10. SIMETRIA EM VOLUMES ! ! Sistema Cilindrico ! CSYS,1 ! ! Kpoints ! K,1,1,0 K,2,1,90 K,3,10,0 K,4,13,0 K,5,10,90 K,6,13,90 KPLOT ! ! Linhas para o Vdrag (numero 1 e 2) ! K,7,1,0,2 K,8,1,0,4 L,1,7 ! linha 1 L,7,8 ! linha 2 /VIEW,1,1,1,1 KPLOT ! ! Areas ! A,1,3,5,2 A,3,4,6,5 APLOT ! ! Vdrag (gera volume por extrusao de areas) ! VDRAG,1,0,0,0,0,0,1 ! area 1 ao longo da linha 1 VDRAG,2,0,0,0,0,0,1,2 ! area 2 - linhas 1 e 2 ! ! Ajusta o modelo gerado ! NUMM,ALL ! executa um merge das entidades ! ! Visualizacao ! /PNUM,DEFAULT ! volta numeracao ao ’default’ /VIEW,1,-1,1,1 ! Observador em (1,1,1) /TYPE,1,2 ! Hidden Lines (centroidal sort) vplot ! ! Controle/Geracao Automatica ! ESIZE,,3 VMESH,ALL ! ! Executa a simetria em x e y (cartesianos) ! CSYS,0 VSYMM,1,all VSYMM,2,all CSYS,1 ! ! Coerencia do modelo/malha

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ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

186 ! NUMM,ALL ! ! SAVE !SOLVER /SOLU ! Restricoes ! NSEL,S,LOC,X,1 D,ALL,ALL,0 ALLSEL,ALL ! ! Carregamento ! NSEL,S,LOC,Z,4 ! SF,ALL,PRES,40 /PSF,PRES,NORM,2 ALLSEL ! ! Visualiza ! EPLOT SOLVE FINI ! !POS-PROCESSADOR /POST1 /VIEW,1,1,1,1 PLDI,1 PRDIS,ALL PLNSOL,S,EQV PLNSOL,S,X PLNSOL,S,Y PLNSOL,S,XY PRNSOL,S,COMP FINI

C.11

! Engastado em uma extremidade ! Seleciona todas entidades

! Seleciona n´ os na posicao z=4 ! Pressao de 40 kgf/cm^2 em z=4 ! Plota simbolo de pressao como seta ! Seleciona todas as entidades

!Abandona SOLVER

!Plot da geometria deformada !Imprime deslocamentos e rotacoes !Plota tensao equivalente de von Mises !Plota tensao na direcao x !Plota tensao na direcao y !Plota tensao de cisalhamento !Imprime tensoes

Estrutura modelada por Elementos de Placa

Objetivos : ilustrar a aplica¸c˜ ao do elemento de placa (SHELL63), para a gera¸c˜ao da malha triangular numa estrutura espacial. A geometria ´e gerada pela rota¸c˜ ao de linhas em torno de um eixo de simetria. Utiliza-se o comando ldvs, permitindo refinar a malha numa regi~ ao da estrutura. Comandos de sele¸ ca ~o s~ ao utilizados para a aplica¸ ca ~o das restri¸ co ~es e carregamentos. Constantes do problema : • M´ odulo de elasticidade:

E = 21 × 105 Kgf /cm2 = 21 × 109 Kgf /m2 ;

• Coeficiente de Poisson:

µ = 0, 3.

C.11. ESTRUTURA MODELADA POR ELEMENTOS DE PLACA

Figura C.11: Estrututa modelada por elementos de placa.

! Estrutura tridimensional com elementos de casca ! ! PREPROCESSAMENTO ! /PREP7 /TITLE,Estrutura tridimensional com casca ! ! Configuracao ! /VIEW,1,1,1,1 /TYPE,1,2 /PBC,ALL,2 ! ! Tipos de Elementos/Constantes/Materiais ! ET,1,shell63 ! shell63=ELASTIC QUADRILATERAL SHELL R,1,3.15 MP,EX,1,21e6 ! E aco (kfg/cm2) MP,NUXY,1,0.3 ! coef. poisson aco=0.3 ! ! Pontos ! ! keypoints do modelo K,1,40 K,2,20 K,3,20,100 /PNUM,KPOI,1 KPLOT ! ! keypoints usados na rotacao (veja arotate logo abaixo)

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ˆ APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

K,4,0 K,5,0,100 KPLOT /PNUM,KPOI ! ! Linhas ! L,1,2 L,2,3 LPLOT ! ! Areas ! AROTATE,1,2,0,0,0,0,4,5,360,8 APLOT ! ! Seleciona as linhas do topo ! KSEL,S,LOC,y,100 ! seleciona os pontos KPLOT LSLK,S,1 ! seleciona as linhas correspondentes LPLOT ! ! Controla a geracao para 2 divisoes por linha ! LDIV,ALL,0,2,2,0 LPLOT ! ! Reseleciona todos os pontos e linhas ALLSEL ! SAVE ! ! Gera a malha ! MSHAPE,1,2D ESIZE,15 ! Tamanho maximo do elemento=30cm (triangulos) AMESH,ALL ! gera malha em todas as areas NUMMRG,ALL ! elimina redundancias EPLOT ! ! Grava arquivos e sai do PREP7 ! FINI ! ! SOLUCAO /SOLU ! Aplica a pressao na base ! ASEL,S,LOC,Y,0 !Seleciona regiao (areas) de restricao APLOT SFA,ALL,1,PRES,-100 !Aplica pressao na area selecionada /PSF,PRES,NORM,2 !Plota simbolo de pressao na superficie ! Reseleciona tudo novamente ! ALLSEL ! Transfere solido->malha SBCTRAN !

C.11. ESTRUTURA MODELADA POR ELEMENTOS DE PLACA ! ! Aplica as restricoes no topo NSEL,S,LOC,Y,100 NLIS NPLOT D,ALL,ALL ALLSEL ! reseleciona todos nos NPLOT ! ! Visualiza modelo ! /VIEW,1,1,-1,1 EPLOT SOLVE ! FINI ! ! POS-PROCESSAMENTO ! /POST1 SET /VIEW,1,1,1,1 PLDISP,1 ! plota a geometria deformada PLNS,S,EQV ! plota a tensao equivalente de von-Mises FINI

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