Apostila Coordenadas Polares-alunos (4).pdf

UTFPR - CAMPUS TOLEDO

COORDENADAS POLARES SEGUNDO PERÍODO ENGENHARIA ELETRÔNICA

PROFESSOR: SÉRGIO FLÁVIO SCHMITZ

ACADÊMICO: ____________________________________________________

SISTEMA COORDENADAS POLARES

- SISTEMA CARTESIANO: é o sistema mais utilizado até o momento, composto por um plano chamado cartesiano, compostos por dois eixos perpendiculares chamados eixos coordenados (abcissas e ordenadas). Neste sistema localizamos um ponto por meio das coordenadas retangulares.

- SISTEMA DE COORDENADAS POLARES: as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e uma semi-reta fixa.

O →Polo ou origem (0; θ) OP = r (distância de O a P) AO = eixo Polar θ = medida do ângulo em redianos Coordenadas Polares: Ponto P(r,θ) no plano, com distância r a partir de O até P com ângulo θ entre o eixo Polar e o segmento de reta OP. . Por convenção o ângulo θ é positivo quando medido no sentido anti-horário a partir do eixo polar e negativo se for medido no sentido horário.

. Se P=0 então r=0, logo (0,θ) coincide com o Polo para qualquer que seja θ. . Se (r,θ) e (-r,θ) são opostos em r, então os pontos estão na mesma reta passando por 0 e estão à mesma distância r .

1

2

. Se r>0, então o ponto (r,θ) está no mesmo quadrante que θ. . Se r<0,então o ponto (r,θ) está no quadrante do lado oposto ao pólo. . (-r,θ) representa o mesmo ponto que (r,θ+ π ) , logo (-r,θ)=(r,θ+ π ) . Um ponto P pode ter um número ilimitado de pares de coordenadas polares, ou seja (r,θ+2k π ) onde kεZ ou (-r;θ+(2k+1) π onde kεZ. Obs.: Se um ponto P tiver coordenadas polares (r,θ), então coordenadas equivalentes podem ser obtidas por: (r, θ + n.360°) e ( r , θ − n . 3 6 0 ° ) para todo n não negativo. O sinal – (menos) ou +(mais) indicam o sentido em que este ângulo se movimenta. O sinal positivo indica o sentido anti-horário e o negativo o sentido horário.

Obs.: Observe o quadro abaixo e observe a representação dos pontos no plano:

PONTO COORDENADA COORDENADA CARTESIANA POLAR (1; 0) A (1;0) π B (0;2) (2; ) 2 (3; π ) C (-3;0) 3π D (0;-3) (3; ) 2 π E (1;1) ( 2; ) 4 3π F (-2;2) (2 2; ) 4

3

4

Atividades de sala: Marque no plano os pontos cujas coordenadas polares são dadas por:

π

π

P1 (2; ) P2 (2;3π ) 4 P8 (1;

13π ) 4

P3 (−2; ) 4

π

P9 (−1; ) 4

Conclusão: P6 = P7 = P8 = P9

π

P4 (−2; − ) 4

π

P5 (2; − ) 4

P6 (1;

5π ) 4

P7 (1; −

3π ) 4

5

RELAÇÃO ENTRE PLANO CARTESIANO E PLANO DE COORDENADAS POLARES: Vamos observar a figura ao abaixo.

O ponto P tem coordenadas cartesianos (x,y) e coordenadas polares (r,θ), donde podemos tirar as seguintes relações: senθ =

y r

→ y=r.senθ

cos θ =

x r

→ x=r.cosθ

Obs.: Estas relações são válidas para qualquer r e θ. Observando bem a figura podemos tirar outras relações: r2 = x2 + y2

e

tgθ =

y x

A partir destas relações podemos converter coordenadas polares em coordenadas cartesianos e vice versa. Exemplos: 01. Passar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares o ponto P(-1;1). Resolução:

Logo: P( 2;

3π ) 4

6

π

02) Passar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas o ponto P(−2; ) 3 Resolução:

( −1; − 3)

Resposta:

→ Podemos também transformar equações cartesianas em polares e vice-versa.

Para converter equações polares em equações cartesianas e vice versa usamos as relações x = r cos θ, y=r sen θ e r2 = x2 + y2.

Atividade 1. Converter a equação cartesiana x 2 + y 2 = 9 em equação polar.

Resposta: r=3

Atividade 2. Converter a equação polar r = 2cos θ em equação cartesiana. Resolução:

Fatorando teremos:

(x-1)2 + y2 = 1

Atividade 3. Converter a equação polar r = cos θ + sen θ em equação cartesiana.

2

2

Manipulando essa equação chegamos em (x-½) + (y-½) = circunferência.

1

2

, ou seja, na equação de uma

7

Atividades Complementares: 01)Converter o ponto P(2;

02)Converter o ponto P(

4π 5π ) e Q(7; ) de coordenadas polares para coordenadas cartesianas. 3 6

5 3 5 ; ) e Q(1,-1) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. 2 2

03) Transforme coordenadas cartesianas em coordenadas polares: a) (1,1) b) (2,–2) c) ( 3;1)

d) (4,0) e) (0,–3)

04) Transforme coordenadas polares em coordenadas cartesianas: a) (1,π/2) b) (–2,49π/6) c) (3,−5π/3) d) (0,π/9)

e) (7,π)

05) Transformar os pontos e equações cartesianas para polares: 2x a) ( −2, −2 3) b) (−1, 3) c) y = 2 d) x2 – y2 = 16 e) x=5 f) y=3 x +1 g) (x-1)2 + (y-3)2=4 h) xy=5 i) x2 + y2 + 3y = 0

06) Transformar os pontos e equações polares para cartesianas.

a)

(2,

−7π ) 6

b)

(2,

7π ) 6

g) r cos θ = 0 h) r2 =1

c) r = 2sen3θ

i) r = 8senθ

d) r cos θ = −1 e) r 2 = 4 cos 2θ

f) r 2 sen 2θ = 2

j) r = 2(cos θ + sen θ )

RESPOSTAS:

π

1) P (−1; − 3)

7 3 7 e Q(− 2 ; 2 )

P(5; ) 6

2)

Q( 2;

e

7π ) 4

π π 7π 3π 3) a) ( 2; ) b) (2 2; ) c) (2; ) d) (4;0) e) (3; ) 4 4 6 2 3 3 3 4) a) (0;1) b) (-1;- 3) c) ( ; ) d) (0;0) e) (-7;0) 2 2

5)

a)

(4,

4π 2π ) (2, ) 3 b) 3

e) r cos θ = 5

c) r 2 cos 2 θ senθ + senθ − 2 cos θ = 0

f) rsen θ = 5

d) r 2 = 16sec 2θ

2 g) r 2 − 2r (cos θ + 3sen θ ) + 6 = 0 h) r sen 2θ = 10

i) r + 3senθ = 0

6)

a) ( − 3,1) b) ( − 3, −1) c) ( x 2 + y 2 ) 2 − 6 x 2 y + 2 y 3 = 0 d) x = -1 f) xy=1

g) x = 0

h) x 2 + y 2 = 1 i) x 2 + y 2 − 8 y = 0

e) ( x 2 + y 2 ) 2 = 4( x 2 − y 2 )

j) x 2 + y 2 = 2( x + y )

8

GRÁFICOS DE EQUAÇÕES POLARES: O gráfico de uma equação f(r;θ)=0 são todos os pontos cujas coordenadas polares satisfazem a equação f(r;θ)=0 de coordenadas (r;θ). Esta equação pode ser representada na forma explícita, isto é, r=f(θ). Exemplos: 01) Construir a curva representada pela equação polar r=2.

02) Esboce a curva polar θ =

π 4

9

03) Esboce a curva com equação r = 2 cosθ. θ 0

π

3

6

π π

r 2

2

4

1

3

π

0

2

2π 3π 5π

-1

3

− 2

4

− 3

6

π

-2

PARA CONSTRUÇÃO DE UM GRÁFICO MAIS COMPLEXO EM COORDENADAS POLARES ACONSELHA-SE USAR OS SEGUINTES PROCEDIMENTOS. i. calcular os pontos de máximo e/ou mínimos; ii. encontrar os valores de θ para os quais a curva passa pelo pólo; iii. verificar as simetrias. . Se a equação não se altera quando substituímos r por -r, então existe simetria em relação à origem; . Se a equação não se altera quando substituímos θ por −θ , então existe simetria em relação ao eixo polar; . Se a equação não se altera quando substituímos θ por π − θ , então existe simetria em relação ao eixo θ =

π 2

.

04) Faça o esboço do gráfico da curva r = 2(1-cos θ ), usando a estratégia citada. Gráfico em coordenadas cartesianas: y = 2(1-cos(x))

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10

y

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10

Resolução: i. Ponto de máximo e mínimo:

MÁXIMO: MÍNIMO:

(4, π )

(0,0)

ii. Valores de θ para os quais a curva passa pelo pólo.

iii. Simetria:

Concluímos que a simetria é em relação ao eixo polar. θ 0

π

6

π π

4 3

π

2

2π 3π 5π

π

3 4 6

r 0 2− 3

2− 2 1 0 3

2+ 2 2+ 3 4

11

Atividades de sala: 01) Esboçar a curva r = 1 + cos θ θ

r

02) Esboçar a curva r = 1 + senθ θ 0  6  4  3  2   



 6



4



3



2

r

12

03) Esboçar a curva r = 2 cos 2θ θ

r

04) Esboçar a curva r = 3 + 2senθ θ

r

13

05) Esboçar no mesmo plano r = 2 cos θ e r = 2 − 2 cos θ θ

r

06) Esboçar a rosácea r = cos 2θ θ

r

14

07) Construir o gráfico da função r = θ para 0 ≤ θ ≤ 2π θ

r

15

RESPOSATAS: 01)

03)

05)

02)

04)

06)

07)

16

ALGUMAS EQUAÇÕES EM COORDENADAS POLARES E SEUS RESPECTIVOS GRÁFICOS. 01) Equação de retas: a) θ = θ o ou θ = θ o ± kπ , k ∈ z é uma reta que passa pelo pólo e faz um ângulo θo

b)

r.senθ = a

e r.cos θ = b

a, b ∈ R , são paralelas aos eixos polares e

π 2

, respectivamente.

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2) Circunferências. i. r=c,

c ∈ R é uma circunferência centrada no pólo e raio c .

ii. r = 2a cosθ é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo θ = π/2: se a > 0, o gráfico está à direita do pólo; se a < 0, o gráfico está à esquerda do pólo

iii. r = 2b.sinθ é uma circunferência de centro no eixo π/2 e que tangencia o eixo polar: . se b > 0, o gráfico está acima do pólo; . se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo

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3) LIMAÇONS i. r = a ± b cosθ ou r = a ± b.sinθ, onde a, b ∈ R são limaçons Obs.: Para efeito de gráfico usamos a=1 e b=2 Temos, se b > a, então o gráfico tem um laço

ii. se b = a, então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como Cardióide. Para efeito de gráfico usamos a=b=1

iii. se b < a, então o gráfico não tem laço. Usamos a=3 e b=2

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iiii. r = a cos nθ ou r = a sin nθ, onde a ∈ R e n ∈ N são rosáceas: . se n for par temos uma rosácea de 2n pétalas. Para efeito de gráfico usamos a=1 e n=4 . se n for impar temos uma rosácea de n pétalas. Para efeito de gráfico usamos a=1 e n=5

4) LEMNISCATAS: r2 = ±a2 cos2θ ou r2 = ±a2 sin 2θ, onde a ∈ R são lemniscatas.. Para efeito de gráfico usamos a=1

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5) ESPIRAIS As equações seguintes representam algumas espirais: (a) r.θ = a; a > 0 (espiral hiperbólica); (b) r = a.θ ; a > 0 (espiral de Arquimedes); (c) r = eaθ (espiral logarítmica); (d) r = θ (espiral parabólica).

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COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA DADA EM COORDENADAS POLARES. Tomamos como base a equação r = f (θ ) , sabemos que: x = r.cos θ → x = f (θ ).cos θ eq 01 y = r.senθ → y = f (θ ).senθ eq 02 São chamadas de equações paramétricas de uma curva onde θ ∈ [θ o ,θ ] . Se derivarmos as funções eq 01 e eq 02 , (funções produto ) temos: dx = f '(θ ).cos θ − f (θ ).senθ eq 03 dθ dy = f '(θ ).senθ + f (θ ).cos θ eq 04 dθ Elevando-se as eq 03 e eq 04 ao quadrado e fazendo sua soma obteremos: (

dx 2 dy ) + ( ) 2 = ( f '(θ ).cos θ − f (θ ).senθ )+2 ( f '(θ ).senθ + f (θ ).cos θ )2 dθ dθ

Desenvolvendo temos:

(

2 dx 2 dy 2 ) + ( ) 2 = f '(θ ) + f (θ ) dθ dθ

Obs.: estudou-se na aplicação de integrais, o comprimento do arco de uma curva plana como sendo: t

s = ∫ ( x '(t ))2 + ( y '(t ))2 dt to

θ

Substituindo na nossa relação teremos:

s = ∫ ( f '(θ )) 2 + ( f (θ ))2 dθ θo

Atividade 01. O gráfico da cardioide r = 1 + senθ ,foi construído na unidade anterior, vamos calcular o comprimento desta cardioide. π 2

s = 2. ∫ −

π 2

π 2

(1 + senθ ) 2 + cos 2 θ dθ = 2. ∫ −

2 + 2senθ dθ =

π 2

Resposta: 8 u.c.

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Atividade 02. Analise o gráfico a seguir e calcule o comprimento do arco de equação r = 2(1 − cos θ ) .

Resolução: f (θ ) = 2(1 − cos θ ) = 2 − 2 cos θ f '(θ ) = 2.senθ Como o gráfico é simétrico em relação ao eixo polar (x), calculamos o comprimento do arco no intervalo [0, π ] e multiplicamos por 2. π

π

s = ∫ (2 senθ )2 + (2 − 2 cos) 2 dθ = ∫ 4( sen 2θ + cos 2 θ ) + 4 − 8cos θ dθ 0

0

Resposta: 8 u.c.

23

Atividade 03. Mais uma vez aproveitamos o gráfico já construído, calculamos o comprimento da cardioide, nome dado ao gráfico da equação r = 1 + cos θ . π

dr = − sen(θ ) s = 2.∫ (− senθ )2 + (1 + cos θ ) 2 dθ dθ 0

Resposta: 8 u.c.

24

Atividade 04 . Analise o gráfico abaixo e calcule o comprimento da parte da cardioide r = 1 − cos θ que 1 está dentro do círculo r = 2

Resposta Correta L=8(-

3  1) 2

25

Atividade 05. Calcular o comprimento da cardioide r = 1 − cos θ .

Atividades Complementares: 01) As equações abaixo são dadas na forma polar, calcule o comprimento destas curvas. a)

r = 3cos θ

b) r =

θ 3

0 ≤θ ≤

0 ≤θ ≤

θ

π

π 2

2

c) r = 3cos 2 ( ) 2 d) r = −1 + senθ

0 ≤θ ≤

e) r = cos θ + senθ

0 ≤θ ≤

π 2

π 2

Resp

3π 2

Resp

1 π2 π 4 + π 2 + ln( 1 + + ) 24 6 4 4

π

Resp 3 2 Resp 8 π 2 Resp 2

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ÁREAS EM COORDENADAS POLARES - Área de um Setor Circular: A área de um setor circular faz-se através de uma regra de três simples. Ac = π r 2 Ac área de um círculo equivalente a um ângulo de 360o . As = Área do setor equivalente a um ângulo θ

π r 2 → 360o As → θ

Logo

As =

π r 2 .θ 360

o

=

π r 2 .θ r 2 .θ = 2π 2

1 As = .r 2 .θ 2

ou

Como já estudado na aplicação de Integrais a área de uma curva equivale a soma das áreas dos infinitos b

retângulos determinados por esta curva em um determinado intervalo ou seja: A =

∫ f ( x).dx a

O mesmo raciocínio aplicamos no nosso estudo. Analisamos a figura no sistema de coordenadas polares, abaixo. A área da região hachurada equivale a soma das áreas dos infinitos setores circulares. 1 1 Como a área de um setor é dada por As = .r 2 .θ e como r = f (θ ) temos que As = .( f (θ )) 2 .θ . 2 2 Assim a soma das áreas da região limitada por α e β é dada por: 2

β

2

1 n 1 A = lim ∑ [ f (θ ) ] .∆θ = ∫ [ f (θ ) ] dθ n →∞ 2 2α i =1

Proposição : Seja a equação polar de uma curva dada pela função contínua r = r ( θ ) para α ≤ θ ≤ β tal que β − α ≤ 2π e r ≥ θ . A área da região do plano limitada pelas retas de equações polares θ = α e θ = β e a curva r = r (θ ) é igual a.

β

⇔

1 A = ∫ r 2 dθ 2α

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Demonstração. Para todo θ tal que α ≤ θ ≤ β , seja A ( θ ) a área como indicada na figura abaixo. Vamos calcular

Para ∆θ > 0 , tomando-se no intervalo [θ ,θ + ∆θ ] rM e rm o maior e o menor raio, as áreas dos setores circulares com ângulo central ∆θ e esses raios são

Para ∆θ < 0 segue de modo análogo. Pelo teorema fundamental do cálculo

28

Atividade 1: Determine a área do hemisfério superior da região compreendida pela curva polar cardióide, cuja equação é:

Quando θ varia de 0 a π, o segmento OP percorre o hemisfério superior da região interior à cardióide. Portanto, a área A da região será dada por:

29

Atividade 2: Calcular a área limitada pela cardióide r (θ ) = a.(1 − cos θ )

Observação 1: São equações de cardióides: r (θ ) = a.(1 ± cos θ )

e

r (θ ) = a.(1 ± senθ )

30

Atividade 3: Determine a área da região compreendida pela lemniscata de equação r 2 = 4 cos(2θ ) :

Vamos considerar somente 1/4 da lemniscata, já que é simétrica em relação ao pólo devido ao grau 2 de r. Assim, vamos considerar a porção da lemniscata para a qual:

Quando θ = 0 e r = 2, e como θ cresce, o ponto P = (r, θ) se desloca para a esquerda ao longo da parte superior da lemniscata até chegar ao pólo O, quando θ = π/4. Assim, o segmento OP percorre um quarto da área:

Este exemplo mostra que devemos saber o comportamento da curva para que possamos definir os limites de integração. Quando utilizamos a fórmula para encontrar a área de uma região compreendida por uma curva polar r = f (θ) num intervalo Δθ, devemos estar certos que α ≤ β e que o segmento de reta radial OP, percorre apenas uma vez cada ponto no interior da região. Por exemplo, se quisermos determinar a área total no interior do limaçon r = 2 – 3sen(θ), seria incorreto integrar de 0 a 2π, pois quando θ vai de 0 a 2π, o segmento OP percorre duas vezes todos os pontos pertencentes ao laço interior.

31

Atividade 4: Determine a área do laço interior ao limaçon de equação r = 2 − 3senθ :

Quando θ = 0, r = 2 e o ponto P (r, θ) = (2, 0) se encontra no eixo polar. Quando θ começa acrescer, r = 2 – 3sen(θ) começa a decrescer, atingindo 0 quando θ = sen–1(2/3), que é aproximadamente 41,8°. Neste ponto, o segmento OP inicia o percurso da região desejada. Quando θ atinge o valor de π/2, então r = –1 e o segmento de reta OP, cujos pontos se movem para baixo, percorre exatamente metade a área desejada. Desta forma, a área da região será:

Então:

32

Atividade 5: Determine a área da região interior ao círculo r = 4 cos(θ), que seja exterior ao círculo r = 2.

[Figura 9] Os dois círculos se interceptam em P1 = (2, – π/3) e P2 = (2, π/3). A área A da região procurada é dada por:

33

Atividade 6. Calcular a área limitada pelas pétalas da rosácea r = a.sen(2θ ) , a > 0 Para efeito de cálculo usamos a=3 Trata-se de uma rosácea de 4 pétalas. Devido a simetria das pétalas, basta calcular a área de uma delas e multiplicar por 4. 

A  4.



2 1 2 (1  cos(4 ) 2 3 sen (2 ) d 18 d      20 2 0 2

 2 1 A  9. [  sen(4 )]  A  4,5 u.a. 0 4

Observação 2: São equações de rosáceas: r = a.sen(nθ ) • •

e r = a.cos(nθ ) para n =1, 2, 3..., que possuem

2n pétalas , se n é par n pétalas se n é ímpar

34

Atividade 07. Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano interior a ambas as curvas de equações polares e a calcule.

r = 1 + cos θ

e r = 3cos θ

r = 1 + cos θ

é equação de uma cardióide e

r = 3cos θ

é equação de um círculo.

Obtendo a interseção das duas curvas : 1 + cos θ = 3cos θ ⇒ cos(θ ) =

1 π ⇒ θ = ± + 2k π 2 3

35

36

37

Atividade 08. Calcule a área da região no plano limitado pela cardioide r = 2(1 + cos θ )

38

Atividade 09. Calcule a área dentro do laço da menor caracol r = (1 + 2 cos θ ) .

39

Atividade 10. Calcule a área da região que está no interior do círculo r=1 e exterior a cardióde r = 1 − cos θ ) .

π

Resp A = (2 − )u.a 4

40

Atividade 11. Calcule a área interior de r = 3cos θ e exterior a r = 2 − cos θ

41

Atividade 12. Calcular a área interior a

r = 4 + 2senθ

42

RESPOSTAS: 27π u.a 4 3π a 2 u.a A= 2 A = 4 u.a. A = 0,44 u.a. 4π A= + 2 3 u.a. 3 A = 9π u.a. 5π A= u.a. 4 A = 6π u.a. 3 3 A=π − u.a. 2

01) A = 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09)

10) A = 2 −

π

u.a 4 11) A = 5,24 u.a 12) A = 18π u.a.