Aporte Ejercicio 1 - 2 Jonathan Ardila.docx

ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentado a: xxxxxxx Tutor(a)

Entregado por: Jonathan Fernando Ardila Código: 1019050756 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx

Grupo:xxxxxx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA BOGOTÁ D.C. 2019

INTRODUCCIÓN

OBJETIVOS

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante

Ejemplo: Adriana Granados

Rol a desarrollar

Ejemplo: Líder

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios Ejemplo: Desarrollo el ejercicio a en todos los 3 Tipo de ejercicios.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 –ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. 𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ − 88𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA 𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ − 88𝑦 = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Primero resolvemos la homogénea.

𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 𝑦´ = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 𝑦´´ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 Sustituyendo en la homogénea. 2 𝑟𝑥

𝑟𝑥

𝑟𝑥

𝑟 𝑒 + 𝑟𝑒 − 𝑒 = 0 (𝑟 2 + 3𝑟 − 88)𝑒 𝑟𝑥 = 0 𝑟 2 + 3𝑟 − 88 = 0

Como podemos observar la ecuación general permite emplear la fórmula cuadrática para resolverla

ax2 + bx + c=0 a=1

Darle valores para poder efectuar la ecuación. Sustituye los valores en la fórmula cuadrática.

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑟= 𝑟=

b=3 c=-88

−3 ± √(3)2 − 4(1)(−88) 2(1)

Sustituyendo los valores en la fórmula cuadrática.

−3 ± √9 + 352 2

Simplifica, teniendo cuidado de usar los signos correctos.

𝑟=

𝑟=

Simplifica el radical: √9 ± 352 = 19.

−3 + 19 16 = =8 2 2

Separa y simplifica para encontrar las soluciones de la ecuación.

−3 − 19 −22 = = −11 2 2

Observar que en una, se suma 19 y en la otra se resta -19.

𝑟1 = 𝑟2 =

−3 ± 19 2

𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑟1𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑟2𝑥

Reemplazar en la ecuación.

𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 8𝑥 + 𝐶2 𝑒 −11𝑥

Solucion de la ecuación general.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑏. 𝑦 ´´´ − 4𝑦 ´´ − 5𝑦 ´ = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑐. 3𝑦 ´´ − 12𝑦 ´ + 5𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑑. 𝑦 ´´´ − 5𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ + 9𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑒. 𝑦 ´´ − 10𝑦 ´ + 25𝑦 = 0; 𝑠𝑖 𝑦(0) = 1,

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

𝑦(1) = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑎. y ´´ − 10y ´ + 25y = 30x + 3 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA y ´´ − 10y ´ + 25y = 0 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 𝑦´ = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 𝑦´´ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Primero resolvemos la homogénea.

Sustituyendo en la homogénea 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 − 𝑟𝑒 𝑟𝑥 + 𝑒 𝑟𝑥 = 0 (𝑟 2 − 10𝑟 + 25)𝑒 𝑟𝑥 = 0 𝑟 2 − 10𝑟 + 25 = 0

ax2 + bx + c=0 a=1

𝑟= 𝑟=

b=-10 c=25

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Como podemos observar la ecuación general permite emplear la fórmula cuadrática para resolverla Darle valores para poder efectuar la ecuación. Sustituye los valores en la fórmula cuadrática.

−(−10) ± √(10)2 − 4(1)(25) 2(1)

Sustituyendo los valores en la fórmula cuadrática.

+10 ± √100 − 100 2

Simplifica, teniendo cuidado de usar los signos correctos.

𝑟=

𝑟=

10 ± 0 2

Simplifica el radical: √100 − 100 = 0.

𝑟1 =

10 + 0 10 = =5 2 2

Separa y simplifica para encontrar las soluciones de la ecuación.

𝑟2 =

10 − 0 10 = =5 2 2

Observar que en una, se suma 0 y en la otra se resta 0.

𝑦ℎ = (𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥)𝑒 𝑟𝑥

Reemplazar en la ecuación.

𝑦ℎ = (𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥)𝑒 5𝑥

Solucion de la primera parte de la ecuación.

𝑦𝑝 =Ax+B

La solución particular será:

𝑦𝑝´ = 𝐴 𝑦𝑝´´ = 0 𝑦 ´´ − 10𝑦 ´ + 25𝑦 = 30𝑥 + 3 𝑦𝑝´´ − 10𝑦𝑝´ + 25𝑦𝑝 = 30𝑥 + 3 0 − 10𝐴 + 25(𝐴𝑥 + 𝐵) = 30𝑥 + 3

Sustituyendo

−10𝐴 + 25𝐴𝑥 + 25𝐵 = 30𝑥 + 3

Sustituyendo

(25𝐴)𝑥 + (25𝐵 − 10𝐴) = 30𝑥 + 3 25𝐴 = 30

25𝐵 − 10𝐴 = 3 25𝐴 = 30 𝐴=

30 25

𝐴=

6 5

Todo lo que tenga x aun lado y lo demás al otro lado. Cancelar las x. Despejar (A) de la ecuación

25𝐵 − 10𝐴 = 3 6

25𝐵 = 3 + (10 ∗ 5 )

Despejar (B) de la ecuación sustituyendo el valor 6 de 𝐴 = 5

25𝐵 = 3 + 12 25𝐵 = 15 𝐵=

15 25

𝐵=

3 5

𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵

La solución particular será:

6 3 𝑦𝑝 = 𝑥 + 5 5 𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥) 6 3 𝑦(𝑥) = (𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥)𝑒 5𝑥 + 𝑥 + 5 5

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

La solución a la EDO será:

𝑏. y ´´ + y = sec x

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑐. 𝑦 ´´ − 2𝑦 ´ + 5𝑦 = 𝑒 𝑥 cos 2𝑥

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑑. 2𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ − 2𝑦 = 14𝑥 2 − 4𝑥 − 11; 𝑠𝑖 𝑦(0) = 0,

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

𝑦 ´ (0) = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑒. 𝑦 ´´´ − 3𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ − 𝑦 = 𝑥 − 4𝑒 𝑥

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. x 2 y ´´ + 5xy ´ + 4y = 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑏. x 3 y ´´´ + 4x 2 y ´´ − 2y = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑐. x 3 y ´´´ − 3x 2 y ´´ + 6xy ´ − 6y = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑑. x 2 y ´´ − xy ´ + 2y = xln x

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑒. x 2 y ´´ − 3xy ´ + 13y = 4 + 3x

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PASO 4 PRESENTACIÓN DE APORTES A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura

Se suelta desde el reposo a 𝑁

1 2

1

unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de 5 𝐾𝑔 y la

constante elástica es 𝑘 = 2 𝑚. El movimiento es amortiguado (𝛽 = 1,2) y está siendo impulsado por una 𝜋

fuerza periódica externa (𝑇 = 2 𝑠), comenzando en 𝑡 = 0. Dicha fuerza está definida como 𝑓(𝑡) = 5 𝑐𝑜𝑠 4𝑡. Para esta situación, la solución corresponde a:

38

86

25

50

38

86

25

50

a. y = e3t (51 cos t − 51 sin t) − 102 cos 4t + 51 sin 4t b. y = e3t (51 cos t + 51 sin t) + 102 cos 4t − 51 sin 4t 38

86

25

50

c. y = e−3t (51 cos t − 51 sin t) − 102 cos 4t + 51 sin 4t

38

86

25

50

d. . y = e−3t (51 cos t − 51 sin t) − 102 cos 4t + 51 sin 4t

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación Se conecta en serie un resistor de 12 Ω, un capacitor de 0.1 F, un inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA Solución planteada: Se tiene que la carga 𝑄(𝑡) sobre el capacitor se modela con la ED: 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 𝑄 𝐿 2 +𝑅 + =𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑2 𝑄 𝑑𝑄 ⇒ 2 2 + 12 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑄 + = 20 0.1 La solución general de esta ecuación se obtiene sumando las soluciones complementaria y particular: 𝑑2 𝑄 𝑑𝑄 +6 + 5𝑄 = 10 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 ⇒ 2 +6 + 5(𝑄 − 2) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 =0 Haciendo cambio de variable 𝑞 = 𝑄 − 2, derivando 𝑞 ´ = 𝑄 ´ y 𝑞 ´´ = 𝑄 ´´ . Sustituyendo: 𝑑2𝑞 𝑑𝑞 +6 + 5𝑞 = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 La ecuación característica: 𝑚2 − 6𝑚 − 5 = 0 Factorizando se obtienen las siguientes soluciones: 𝑚1 = 5

𝑚2 = 1

Cuando las raíces son diferentes y reales, una función complementaria es: 𝑄(𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 5𝑡

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Pero 𝑞 = 𝑄 − 2 ⇒ 𝑄 = 𝑞 + 2 ⇒ 𝑄(𝑡) = 𝑞(𝑡) + 2 por lo que la carga es: 𝑄(𝑡) = 2 + 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 5𝑡 Derivando se obtiene la corriente: 𝐼(𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 5𝐶2 𝑒 5𝑡 Si se tiene en cuenta las condiciones iniciales 𝑄(0) = 0 y 𝐼(0) = 0, se obtiene el siguiente sistema: 𝐶1 + 𝐶2 + 2 = 0 𝐶1 + 5𝐶2 = 0 5 𝐶1 = , 2

𝐶2 =

1 2

Sustituyendo: 5 1 𝑄(𝑡) = 2 + 𝑒 −𝑡 − 𝑒 5𝑡 2 2 La corriente que circula sobre el circuito es: 5 5 𝐼(𝑡) = 𝑒 −𝑡 + 𝑒 5𝑡 2 2

PASO 8 TABLA ENLACES VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante Ejemplo: Adriana González

Ejercicios sustentados a de todos los tipos de ejercicios.

Enlace video explicativo https://youtu.be/l8Mfcl_VLYM

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS