Aporte 5 - Ejercicio 5.docx

Autor: Ivan alejandro Lopez morales EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación Se conecta en serie un resistor de 12 Ω, un capacitor de 0.1 F, un inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA

Se tiene que la carga 𝑄(𝑡) sobre el capacitor se modela con la ED:

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA Se tiene que la carga 𝑄(𝑡) sobre el capacitor se modela con la ED:

𝑑2𝑄 𝑑𝑄 𝑄 𝐿 2 +𝑅 + =𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 2 𝑑 𝑄 𝑑𝑄 𝑄 ⇒ 2 2 + 12 + = 20 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0.1

𝑑2 𝑄 𝑑𝑄 𝑄 𝐿 2 +𝑅 + =𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 2 𝑑 𝑄 𝑑𝑄 𝑄 ⇒ 2 2 + 12 + = 20 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0.1 Simplificando La solución general de esta ecuación se 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 𝑄 + 6 + = 10 obtiene sumando las soluciones 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 0.2 complementaria y particular: 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 + 6 + 5𝑄 = 10 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 2 𝑑 𝑄 𝑑𝑄 𝑑 𝑄 𝑑𝑄 +6 + 5𝑄 = 10 +6 + 5𝑄 − 10 = 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑 𝑄 𝑑𝑄 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 ⇒ 2 +6 + 5(𝑄 − 2) = 0 +6 + 5(𝑄 − 2) = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Haciendo cambio de variable 𝑞 = 𝑄 − 2, derivando 𝑞 ′ = 𝑄 ′ y 𝑞 ´´ = 𝑄 ´´ . Sustituyendo: Haciendo cambio de variable 𝑞 = 𝑄 − 2, derivando 𝑞 ´ = 𝑄 ´ y 𝑞 ´´ = 𝑄 ´´ . Sustituyendo: 𝑑2𝑞 𝑑𝑞 +6 + 5𝑞 = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑 𝑞 𝑑𝑞 +6 + 5𝑞 = 0 2 La ecuación característica: 𝑑𝑡 𝑑𝑡 La ecuación característica:

𝑚2 + 6𝑚 + 5 = 0

Usando la formula cuadrática 𝑚2 − 6𝑚 − 5 = 0 Factorizando se obtienen las siguientes −6 ± √62 − 4(5) −6 ± √16 soluciones: 𝑚= = 2 2 𝑚1 = 5 𝑚2 = 1 −6 ± 4 = Cuando las raíces son diferentes y reales, 2 una función complementaria es: se obtienen las siguientes soluciones: −𝑡 5𝑡 𝑄(𝑡) = 𝐶1 𝑒 + 𝐶2 𝑒 𝑚1 = −5 𝑚2 = −1 Pero 𝑞 = 𝑄 − 2 ⇒ 𝑄 = 𝑞 + 2 ⇒ 𝑄(𝑡) = 𝑞(𝑡) + 2 Cuando las raíces son diferentes y reales, por lo que la carga es: una función complementaria es: −𝑡 5𝑡 𝑄(𝑡) = 2 + 𝐶1 𝑒 + 𝐶2 𝑒 𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒 −5𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡 Pero Derivando se obtiene la corriente: 𝑞 = 𝑄 − 2 ⇒ 𝑄 = 𝑞 + 2 ⇒ 𝑄(𝑡) = 𝑞(𝑡) + 2 −𝑡 5𝑡 por lo que la carga es: 𝐼(𝑡) = 𝐶1 𝑒 + 5𝐶2 𝑒 𝑄(𝑡) = 2 + 𝐶1 𝑒 −5𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡 Si se tiene en cuenta las condiciones iniciales 𝑄(0) = 0 y 𝐼(0) = 0, se obtiene el Derivando se obtiene la corriente: 𝑑𝑄 siguiente sistema: = 𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶1 + 𝐶2 + 2 = 0 𝐼(𝑡) = −5𝐶1 𝑒 −5𝑡 − 𝐶2 𝑒 −𝑡 𝐶1 + 5𝐶2 = 0 Como 𝑄(0) = 0 y 𝐼(0) = 0, se obtiene el siguiente sistema: 5 1 𝐶1 = , 𝐶2 = 2 + 𝐶1 + 𝐶2 = 0 2 2 −5𝐶1 − 𝐶2 = 0 Sustituyendo: Resolviendo 5 1 𝑄(𝑡) = 2 + 𝑒 −𝑡 − 𝑒 5𝑡 𝐶1 = −2 − 𝐶2 2 2 Reemplazando La corriente que circula sobre el circuito −5𝐶1 − 𝐶2 = 0 es: 10 + 5𝐶2 − 𝐶2 = 0 5 5 𝐼(𝑡) = 𝑒 −𝑡 + 𝑒 5𝑡 10 + 4𝐶2 = 0 2 2 10 5 𝐶2 = − =− 4 2 Entonces 5 −4 + 5 𝐶1 = −2 + = 2 2 1 𝐶1 = 2 Sustituyendo: 1 5 𝑄(𝑡) = 2 + 𝑒 −5𝑡 − 𝑒 −𝑡 2 2 La corriente que circula sobre el circuito es: 5 5 𝐼(𝑡) = − 𝑒 −5𝑡 + 𝑒 −𝑡 2 2