Aporte 3 -ejercicio 3-c.docx

EJERCICIOS 3 ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: IVAN ALEJANDRO LOPEZ MORALES 𝐶. 𝑥 3 𝑦′′′ − 3𝑥 2 𝑦′′ + 6𝑥𝑦′ − 6𝑦 = 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑦 = 𝑥𝑟 ,

RAZÓN O EXPLICACIÓN Suponemos la solución de la ecuación

𝑥>0

𝑦 ′ = 𝑟𝑥 𝑟−1

Se calcula la primera derivada

𝑦 ′′ = 𝑟(𝑟 − 1)𝑥 𝑟−2

Se calcula la segunda derivada

𝑦 ′′′ = 𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)𝑥 𝑟−3

Se calcula la tercera derivada

𝑥 3 𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)𝑥 𝑟−3 − 3𝑥 2 𝑟(𝑟 − 1)𝑥 𝑟−2 + 6𝑥𝑟𝑥 𝑟−1 − 6𝑥 𝑟 = 0

Se reemplaza en la ecuación diferencial

𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)𝑥 𝑟 − 3𝑟(𝑟 − 1)𝑥 𝑟 + 6𝑟𝑥 𝑟 − 6𝑥 𝑟 = 0

Se operan las potencias

(𝑟 3 − 3𝑟 2 + 2)𝑥 𝑟 − 3(𝑟 2 − 𝑟)𝑥 𝑟 + 6𝑟𝑥 𝑟 − 6𝑥 𝑟 = 0

Se operan términos

(𝑟 3 − 3𝑟 2 + 2𝑟 − 3𝑟 2 + 3𝑟 + 6𝑟 − 6)𝑥 𝑟 = 0 (𝑟 3 − 6𝑟 2 + 11𝑟 − 6)𝑥 𝑟 = 0 𝑟 3 − 6𝑟 2 + 11𝑟 − 6 = 0 (𝑟 − 3)(𝑟 − 2)(𝑟 − 1) = 0 𝑟1 = 3 , 𝑟2 = 2

𝑦

𝑟1 = 1

Se saca el factor común Se operan términos Se iguala a cero Se factoriza Se resuelve

𝑦 = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥

Se encuentra la solución de la ecuación diferencial