Apontamentos Series

Universidade da Beira Interior Departamento de Matem´atica

An´ alise Matem´ atica II

Apontamentos Te´ oricos Cursos: Bioqu´ımica, Eng. Qu´ımica, F´ısica e Qu´ımica (ensino de), e Qu´ımica Industrial

♦♦

Docente : Ana Catarina Santos Carapito

Ano lectivo 2005/2006

´Indice 1 S´ eries

1

1.1

S´eries Num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Defini¸c˜ao. Convergˆencia. Propriedades . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

S´eries de termos n˜ao negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

S´eries alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Convergˆencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

S´eries de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1

Convergˆencia pontual e uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2

S´eries de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3

Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Fun¸ c˜ oes de v´ arias vari´ aveis reais

19

2.1

Defini¸ca˜o. Dom´ınio e sua representa¸ca˜o geom´etrica. . . . . . . . . . . 19

2.2

Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3

Derivadas parciais e direccionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4

Diferenciabilidade. Plano tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5

No¸ca˜o de diferencial. Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6

Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7

Derivada da fun¸c˜ao composta. Regra da Cadeia. . . . . . . . . . . . . 52

2.8

Teorema da Fun¸c˜ao impl´ıcita

2.9

Extremos de fun¸co˜es reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1

2.9.1

Extremos livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.9.2

Extremos condicionados. M´etodo dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.10 Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 C´ alculo Integral em IRn 3.1

3.2

Integrais duplos

63

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1

Defini¸c˜ao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.2

Mudan¸ca de vari´avel num integral duplo. Coordenadas polares 69

Integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.1

Mudan¸ca de vari´aveis num integral triplo. Coordenadas cil´ındricas e esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2

Cap´ıtulo 1 S´ eries 1.1 1.1.1

S´ eries Num´ ericas Defini¸c˜ ao. Convergˆ encia. Propriedades

Defini¸c˜ ao 1.1.1. Seja un uma sucess˜ ao num´erica. Chama-se s´ erie gerada por un `a sucess˜ ao Sn definida do seguinte modo: S 1 = u1 S 2 = u1 + u2 S 3 = u1 + u2 + u3 .. . S n = u1 + u2 + u3 + · · · + un .. . As somas S1 , S2 , ... chamam-se somas parciais.

Uma s´erie pode ser representada por ∞ X

un

ou por

u1 + u2 + u 3 + · · · ,

n=1

1

Cap´ıtulo 1. S´eries

2

onde os n´ umeros u1 , u2 , . . . , chamam-se termos da s´ erie; un diz-se o termo geral da s´erie.

Defini¸c˜ ao 1.1.2. A s´erie

∞ X

un diz-se convergente se existir e for finito o limite

n=1

lim Sn = lim

n→+∞

n→+∞

n X

ui .

i=1

Neste caso, ao valor do limite, S, chama-se soma da s´erie. Se aquele limite n˜ao existir ou n˜ao for finito a s´erie diz-se divergente.

Exemplos 1.1.3 (S´ eries especiais). 1. Uma s´erie gerada por uma progress˜ ao geom´etrica chama-se s´ erie Geom´ etrica e pode ser escrita como

∞ X

u1 rn−1 ,

n=1

onde u1 ´e o primeiro termo da s´erie e r ´e a raz˜ ao da progress˜ ao. • Se un ´e uma progress˜ ao geom´etrica de raz˜ ao r 6= 1 tem-se Sn = u1 + u1 r2 + u1 r3 + · · · + u1 rn = u1 .

1 − rn . 1−r

E Sn ´e convergente se, e s´o se, |r| < 1, pois neste caso lim rn = 0 n→+∞ 1 1 , isto ´e, S = u1 . . Com efeito, e, portanto, lim Sn = u1 . n→+∞ 1−r 1−r uma s´erie geom´etrica ´e convergente quando |r| < 1. Quando |r| > 1 ou r = −1, a s´erie geom´etrica ´e divergente (exo ). • Se un ´e uma progress˜ ao geom´etrica de raz˜ ao r = 1, obt´em-se uma s´erie ∞ X cujo termo geral ´e constante, isto ´e, uma s´erie da forma u1 . Neste caso, Sn = nu1 e, se u1 6= 0, a s´erie ser´a divergente.

n=1

Cap´ıtulo 1. S´eries

3

2. Uma s´erie cujo termo geral un se pode escrever na forma an −an+k , com k ∈ N chama-se s´ erie de Mengoli ou Telesc´ opica e pode ser escrita como ∞ X (an − an+k ). n=1

Se existir e for finito , lim an , n→+∞

Sn =

n X

(ai − ai+k )

i=1

=

n X

ai −

i=1

n X

ai+k

i=1

= a1 + · · · + ak + ak+1 + · · · + an − (ak+1 + · · · + an + an+1 + · · · + an+k ) = a1 + · · · + ak + ak+1 − (an+1 + · · · + an+k ).

Donde, lim Sn = a1 + · · · + ak + ak+1 − k lim an ,

n→+∞

n→+∞

pois se an ´e convergente ent˜ao lim ai+n existe e lim an = lim ai+n . n→+∞

n→+∞

n→+∞

Exerc´ıcios 1.1.4. 1. Usando a defini¸c˜ ao, determine a natureza das s´eries µ ¶ ∞ X n (a) ln n+1 n=1 (b) (c)

∞ X 1 √ n n=1 ∞ X n=1

1 n(n + 1)

2. Estude a natureza das seguintes s´eries, e no caso de existirem, calcule as respectivas somas: (a)

∞ X e2n−1 n=0

e3n+1

Cap´ıtulo 1. S´eries

(b)

4

∞ X 4 2n−1 6n+2 n=1 ∞ X

1 + 3n n=1 µ ¶ µ ¶ ∞ X 1 1 cos − cos − (d) n n+4 n=1 (c)

n2

O resultado que se segue indica uma condi¸ca˜o necess´aria mas n˜ao suficiente para que uma s´erie seja convergente. Teorema 1.1.5. Se a s´erie

∞ X

un ´e convergente ent˜ao lim un = 0. n→+∞

n=1

Exemplos 1.1.6. ∞ X n n 1. Como lim = 1 6= 0, ent˜ao a s´erie ´e divergente. n→+∞ n + 1 n+1 n=1

1 2. Como lim √ = 0, ent˜ao n˜ao podemos concluir nada sobre a natureza da n→+∞ n ∞ X 1 √ . No entanto, verifique que anteriormente mostrou que a s´erie ´e s´erie n n=1 divergente.

Teorema 1.1.7. Sejam

∞ X

un e

n=1

vn s´eries convergentes de somas A e B, respec-

n=1

tivamente, e λ ∈ IR. Ent˜ao, 1. A s´erie

∞ X

∞ X (un + vn ) tamb´em ´e convergente e a sua soma ´e A + B: n=1 ∞ X n=1

(un + vn ) =

∞ X n=1

un +

∞ X n=1

vn .

Cap´ıtulo 1. S´eries

2. A s´erie

∞ X

5

λun ´e convergente e a sua soma ´e λA:

n=1 ∞ X

λun = λ

n=1

∞ X

un .

n=1

Teorema 1.1.8. A natureza de uma s´erie n˜ao ´e alterada se lhe suprimirmos um n´ umero finito, arbitr´ario de termos.

Exemplo 1.1.9. A s´erie harm´onica porque

∞ X 1 1 , cujo primeiro termo ´e ´e divergente, n 3 n=3

∞ ∞ X 1 X1 1 = −1− n n=1 n 2 n=3

Exerc´ıcio 1.1.10. Mostre que a s´erie 73 . soma ´e igual a 1080

e

∞ X n=1

∞ X 1 ´e divergente. n n=1

1 ´e convergente e a sua n(n + 3)(n + 6)

Exemplos 1.1.11 (Outras s´ eries especiais). ∞ X 1 ´ convergente se Uma s´erie da forma chama-se S´ erie de Dirichelet. E α n n=1 α < 1; ´e divergente se α ≥ 1. ∞ X 1 Um caso particular de uma s´erie de Dirichelet ´e a s´erie , denominada por n n=1 S´ erie Harm´ onica.

1.1.2

S´ eries de termos n˜ ao negativos

Nesta sec¸ca˜o apresentam-se alguns crit´erios de convergˆencia de s´eries de termos n˜ao negativos. Estes crit´erios surgem da necessidade de estudar a natureza de uma s´erie quando n˜ao ´e poss´ıvel fazˆe-lo a partir da sucess˜ao das somas parciais.

Cap´ıtulo 1. S´eries

Teorema 1.1.12. Seja ∞ X

6 ∞ X

un uma s´erie de termos n˜ao negativos. Ent˜ao a s´erie

n=1

un ´e convergente se, e s´o se, a sucess˜ ao das suas somas parciais ´e limitada.

n=1

Teorema 1.1.13 (Crit´ erio de compara¸c˜ ao geral). Sejam

∞ X

un e

n=1

s´eries de termos n˜ao negativos tais que un ≤ vn , ∀n ∈ N. Ent˜ao, a) Se a s´erie

∞ X

vn ´e convergente ent˜ao a s´erie

n=1

b) Se a s´erie

∞ X

∞ X

∞ X

vn duas

n=1

un ´e convergente.

n=1

un ´e divergente ent˜ao a s´erie

n=1

∞ X

vn ´e divergente.

n=1

Exerc´ıcios 1.1.14. Estude a natureza das seguintes s´eries: 1.

∞ X n=1

n3

1 ln n

∞ X 1 2. n! n=1 ∞ X n+1 √ 3. 3 n n=1

4.

∞ X n=2

1 √ n− n

Corol´ ario 1.1.15. Sejam

∞ X n=1

un e

∞ X n=1

vn duas s´eries tais que un ≥ 0 e vn > 0, ∀n ∈

un = l ∈ IR+ ent˜ao as s´eries s˜ao da mesma natureza. n→+∞ vn

N. Se lim

Cap´ıtulo 1. S´eries

7

Corol´ ario 1.1.16. Sejam un N. Se lim = 0 ent˜ao n→+∞ vn a) se a s´erie

∞ X

∞ X

un e

n=1

∞ X

vn duas s´eries tais que un ≥ 0 e vn > 0, ∀n ∈

n=1

vn ´e convergente, a s´erie

n=1

b) se a s´erie

∞ X

∞ X

un tamb´em ´e convergente;

n=1

un ´e divergente, a s´erie

n=1

∞ X

vn tamb´em ´e divergente.

n=1

Corol´ ario 1.1.17. Sejam

∞ X n=1

un = +∞ ent˜ao n→+∞ vn

un e

∞ X

vn duas s´eries tais que un ≥ 0 e vn > 0, ∀n ∈

n=1

N. Se lim

a) se a s´erie

∞ X

vn ´e divergente, a s´erie

n=1

b) se a s´erie

∞ X

∞ X

un tamb´em ´e divergente;

n=1

un ´e convergente, a s´erie

n=1

∞ X

vn tamb´em ´e convergente.

n=1

Exerc´ıcios 1.1.18. Estude a natureza das seguintes s´eries: 1.

∞ X 2n2 + 1 n=1

2.

n4 + 3

∞ X 1 + (−1)n

n2

n=1

3.

∞ X ln n n=1 ∞ X

n3 µ

2 4. ln 1 + n n=1

¶

Cap´ıtulo 1. S´eries

8

Proposi¸c˜ ao 1.1.19 (Crit´ erio D’Alembert ou da Raz˜ ao). Seja

∞ X

un uma s´erie

n=1

un+1 = λ (λ ∈ IR0+ ou λ = +∞),ent˜ ao de termos positivos. Se existir lim n→+∞ un ∞ X a) se λ < 1, a s´erie un ´e convergente; n=1

b) se λ > 1, a s´erie

∞ X

un ´e divergente;

n=1

c) se λ = 1, nada se pode concluir acerca da natureza da s´erie.

Exerc´ıcios 1.1.20. Estude a natureza das seguintes s´eries: ∞ X 2n 1. n! n=1 ∞ X (n!)2 + n! 2. (4n)! + n4 n=1

∞ X

Proposi¸c˜ ao 1.1.21 (Crit´ erio de Cauchy ou da Raiz). Seja un uma s´erie n=1 √ de termos n˜ao negativos. Se existir lim n un = λ (λ ∈ IR+ ao 0 ou λ = +∞),ent˜ n→+∞

a) se λ < 1, a s´erie

∞ X

un ´e convergente;

n=1

b) se λ > 1, a s´erie

∞ X

un ´e divergente;

n=1

c) se λ = 1, nada se pode concluir acerca da natureza da s´erie.

Exerc´ıcios 1.1.22. Estude a natureza das seguintes s´eries: ¶ n2 ∞ µ X n+1 1. n n=1 2.

∞ X n=1

2n nn (3 + 9n)n

Cap´ıtulo 1. S´eries

1.1.3

9

S´ eries alternadas

Defini¸c˜ ao 1.1.23. Uma s´erie diz-se alternada se os seus termos s˜ao alterna∞ X damente positivos e negativos, podendo escrever-se da forma (−1)n−1 un , com n=1

un > 0.

Para estudar a natureza de uma s´erie alternada ´e u ´til o seguinte crit´erio de convergˆencia:

Proposi¸c˜ ao 1.1.24 (Crit´ erio de Leibnitz). Se un ´e uma sucess˜ ao decrescente de ∞ X (−1)n−1 un ´e convergente. termos positivos e lim un = 0, ent˜ao a s´erie n→+∞

n=1

Exerc´ıcios 1.1.25. Estude a natureza das seguintes s´eries: 1.

∞ X (−1)n n=1

2.

n+1

∞ X cos(nπ) n=1

3n + 1

∞ X 1 3. (−1)n α n n=1

µ ¶ ∞ X (−1)n (−1)n √ 1+ √ 4. n n n=1

1.1.4

Convergˆ encia absoluta

Defini¸c˜ ao 1.1.26. Uma s´erie s´erie

∞ X n=1

∞ X n=1

|un | for convergente.

un diz-se absolutamente convergente se a

Cap´ıtulo 1. S´eries

10

Observa¸ c˜ ao 1.1.27. A s´erie m´odulos,

∞ X

∞ X

un pode ser convergente sem que a s´erie dos

n=1

|un | , o seja. Por exemplo,

n=1

convergente e a s´erie

∞ X

(−1)n

n=1

dos m´odulos) ´e divergente.

Defini¸c˜ ao 1.1.28. Uma s´erie

∞ X

∞ X

∞ X 1 1 ´e convergente, e (s´erie n n n=1

un diz-se simplesmente convergente se for

n=1

|un | for divergente.

n=1

Proposi¸c˜ ao 1.1.29. Se a s´erie

∞ X

|un | for convergente, ent˜ao a s´erie

n=1

´e convergente.

∞ X

un tamb´em

n=1

Exerc´ıcios 1.1.30. Determine se s˜ao absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as seguintes s´eries: ¶n ∞ µ X −5 1. n+2 n=0 2.

∞ X n=1

sen

³ nπ ´

4 3n2 + n

∞ X 1 3. (−1)n n n=1

Cap´ıtulo 1. S´eries

1.2

11

S´ eries de fun¸c˜ oes

1.2.1

Convergˆ encia pontual e uniforme

Nesta sec¸c˜ao, ao contr´ario das anteriores, consideraremos sucess˜oes de fun¸co˜es e, em consequˆencia, s´erie de fun¸c˜oes, relativamente `as quais abordaremos a sua convergˆencia. Defini¸c˜ ao 1.2.1. Seja fn uma sucess˜ ao de fun¸c˜ oes, fn : D ⊂ IR → IR. Diz-se que fn converge num ponto a ∈ D se a sucess˜ ao num´erica fn (a) ´e convergente. Se a sucess˜ ao fn converge em todos os pontos de D, pode definir-se uma fun¸c˜ ao f : D → IR por f (x) = lim fn (x), a qual se diz limite de fn em D. Diz-se n→+∞

tamb´em que fn converge pontualmente para f em D. ³ x ´n , definidas em IR, converge qualExemplo 1.2.2. A sucess˜ ao de fun¸c˜ oes 1 + n quer que seja x ∈ IR. A fun¸c˜ ao limite ´e a fun¸c˜ ao f (x) = ex : ³ x ´n lim 1 + = ex , ∀x ∈ IR. n→+∞ n

Defini¸c˜ ao 1.2.3. Seja fn uma sucess˜ ao de fun¸c˜ oes, fn : X ⊂ IR → IR. Chama-se a sucess˜ ao de fun¸c˜ oes Sn definida por s´ erie de termo geral fn ` Sn (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x), ∀x ∈ X; representa-se por

∞ X

fn .

n=1

Defini¸c˜ ao 1.2.4. Diz-se que a s´erie num´erica

∞ X n=1

∞ X n=1

fn (a) for convergente.

fn converge no ponto a ∈ X se a s´erie

Cap´ıtulo 1. S´eries

12

Se a s´erie for convergente em todos os pontos de D ⊂ X, pode definir-se uma fun¸c˜ ao f : D → IR que a cada ponto x ∈ D faz corresponder a soma da s´erie ∞ X fn (x); `a fun¸c˜ ao f chama-se fun¸c˜ ao soma da s´ erie . n=1

Exemplo 1.2.5. Consideremos a s´erie

∞ X n=1

x2 . (1 + x2 )n

Se x = 0 a s´erie dada ´e a s´erie nula, e por isso convergente. Se x 6= 0,

∞ X n=1

∞ X 1 x2 2 = x . 2 )n (1 + x2 )n (1 + x n=1

∞ X

1 1 A s´erie x2 ´e uma s´erie geom´etrica, de raz˜ ao r = , convergente 2 n (1 + x ) 1 + x2 n=1 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ < 1. Logo, pois ¯ 1 + x2 ¯ ∞ X n=1

x2 = x2 . (1 + x2 )n

1 1 1− 1 + x2

= 1 + x2 ,

isto ´e, a fun¸c˜ ao soma ´e   1 + x2 , se x 6= 0; f (x) =  0, se x = 0.

Defini¸c˜ ao 1.2.6. Diz-se que a s´erie fun¸c˜ ao f em D ⊂ IR (D 6= ∅) se

∞ X

fn (x) converge uniformemente para

n=1

lim sup |f (x) − Sn (x)| = 0.

n→+∞

Cap´ıtulo 1. S´eries

13

Teorema 1.2.7 (Weierstrass). Se existir uma s´erie num´erica convergente, de ∞ X un , tal que termos positivos, n=1

|fn (x)| ≤ un , ∀x ∈ D, ∀n ∈ N ent˜ao a s´erie

∞ X

fn ´e uniformemente convergente em D.

n=1

¯ ¯ ∞ X ¯ sen (nx) ¯ 1 1 ¯ ¯ Exemplo 1.2.8. Como ¯ ≤ 2 , ∀x ∈ IR, e a s´erie ´e convergente, ¯ 2 n n n2 n=1 ∞ X sen (nx) a s´erie ´e uniformemente convergente em qualquer subconjunto de IR. 2 n n=1

Exerc´ıcio 1.2.9. Prove que a s´erie de fun¸c˜ oes em [−a, a], sendo a < 25.

1.2.2

∞ X xn ´e uniformemente convergente 2n 5 n=1

S´ eries de potˆ encias

Aqui, consideraremos um caso particular das s´eries de fun¸co˜es, as s´eries de potˆencias. Defini¸c˜ ao 1.2.10. Seja a ∈ IR. Chama-se s´ erie de potˆ encias em x − a a uma ∞ X s´erie da forma un (x − a)n , com un ∈ IR, ∀n ∈ N. n=1

Observa¸ c˜ ao 1.2.11. Se a = 0 a s´erie de potˆencias toma a forma

∞ X

un x n .

n=1

Na s´erie de potˆencias

∞ X n=1

un (x − a)n , x ´e considerada uma vari´avel, tal que a

s´erie ´e convergente para alguns dos seus valores e divergente para outros.

Cap´ıtulo 1. S´eries

∞ X

14

O conjunto I de todos os valores de x para os quais uma s´erie de potˆencias un (x − a)n ´e convergente chama-se intervalo de convergˆ encia e pode ser:

n=1

1. um intervalo com extremos a − r e a + r com r > 0, que podem pertencer ou n˜ao a I; 2. um intervalo [a, a] = {a}; 3. IR. A r chama-se raio de convergˆ encia, que nos casos 2. e 3. ´e 0 e +∞, respectivamente.

Especificamente, Teorema 1.2.12. A s´erie de potˆencias

∞ X

un (x − a)n ´e

n=1

1. absolutamente convergente em ]a − r, a + r[; 2. divergente em ] − ∞, a − r[∪]a + r, +∞[; 3. nos pontos a − r e a + r pode ser divergente, absolutamente convergente ou simplesmente convergente, sendo r=

Corol´ ario 1.2.13. Seja vergˆencia r, ent˜ao

se existir o limite.

∞ X

lim

1 p n

|un |

.

un (x − a)n uma s´erie de potˆencias com raio de con-

n=1

¯ ¯ ¯ un ¯ ¯, r = lim ¯¯ n→+∞ un+1 ¯

Cap´ıtulo 1. S´eries

15

Exerc´ıcios 1.2.14. 1. Determine o raio de convergˆencia da s´erie

∞ X

(3 + (−1)n )n xn .

n=1

2. Indique, justificando, os valores reais de x para os quais as s´eries s˜ao absolutamente convergentes, simplesmente convergentes e divergentes: (a) (b) (c) (d)

∞ X xn n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1

nn n!xn xn n (−1)n

(x + 1)n 2n

Proposi¸c˜ ao 1.2.15. Toda a s´erie de potˆencias

∞ X

un xn ´e uniformemente conver-

n=1

gente em qualquer intervalo fechado [a, b] contido no seu intervalo de convergˆencia e, nesse intervalo ´e integr´ avel termo a termo, isto ´e, Z bX ∞ a n=1

n

un x dx =

∞ X n=1

Z

b

un

n

x dx = a

∞ X n=1

un

bn+1 − an+1 . n+1

Proposi¸c˜ ao 1.2.16. A soma de uma s´erie de potˆencias

∞ X n=1

cont´ınua em qualquer ponto do seu intervalo de convergˆencia.

un xn ´e uma fun¸c˜ ao

Cap´ıtulo 1. S´eries

16

Proposi¸c˜ ao 1.2.17. Toda a s´erie de potˆencias

∞ X

un xn de raio de convergˆencia

n=1

r > 0 e com soma f (x) em ] − r, r[, ´e deriv´avel termo a termo no intervalo de convergˆencia, isto ´e,

̰ X

!0 un x n

n=1

=

∞ X

n un xn−1 .

n=1

Esta s´erie tem o mesmo intervalo de convergˆencia e tem soma f 0 (x).

Exerc´ıcios 1.2.18. Z

1

1. Calcule

f (x) dx sendo f (x) = 0

∞ X x2n (−1)n . (2n)! n=1

∞ X (x − 5)n 2. Seja f (x) = (−1)n+1 . Indique, justificando, os valores reais de x n5n n=1 para os quais f 0 (x) ´e absolutamente convergentes, simplesmente convergente e

divergente.

1.2.3

Teorema de Taylor

Teorema 1.2.19. Sejam I um intervalo aberto e f : I ⊂ IR → IR uma fun¸c˜ ao de classe C n em I. Seja a ∈ I. Ent˜ao, existe c ∈ I tal que

f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +

f 00 (a) f (n) (a) (x − a)2 + · · · + (x − a)n + Rn+1 (x), 2! n!

f (n+1) (c) (x − a)n+1 e ´e designado por resto de Lagrange da (n + 1)! f´ormula de Taylor de f em torno do ponto a. onde Rn+1 (x) =

Cap´ıtulo 1. S´eries

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Defini¸c˜ ao 1.2.20. Dada uma fun¸c˜ ao f : D ⊂ IR → IR infinitamente diferenci´ avel numa vizinhan¸ca do ponto a ∈ Int(D), chama-se s´ erie de Taylor de f em a, ´a s´erie de potˆencias

∞ X f (n) (a)

n!

n=1

(x − a)n .

Se a = 0, a s´erie de Taylor designa-se por s´ erie de MacLaurin e escreve-se ∞ X f (n) (0) n=1

n!

xn .

Teorema 1.2.21. Sejam I um intervalo aberto que cont´em a, f : I ⊂ IR → IR uma fun¸c˜ ao de classe C ∞ em I. Se lim Rn+1 (x) = 0 para qualquer x ∈ I, ent˜ao f pode n→+∞

ser desenvolvida numa s´erie de Taylor, isto ´e, f (x) =

∞ X f (n) (a) n=1

n!

(x − a)n .

Teorema 1.2.22. Toda a s´erie de potˆencias de x − a ´e a s´erie de Taylor (em torno de a) da fun¸c˜ ao por ela definida. Em particular, o desenvolvimento em s´erie de potˆencias de x − a ´e u ´nico.

Exerc´ıcio 1.2.23. Determine a s´erie de Taylor para as seguintes fun¸c˜ oes nos pontos indicados: 1. f (x) = ex ; a = 0; 2. f (x) = sen x; a = 0; 3. f (x) =

1 ; a = 0; 1−x

4. f (x) = ln x; a = 1.

Cap´ıtulo 1. S´eries

5. f (x) =

1 ; a = 0; 2 + 3x

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