Apontamentos Matematica 11 Classe. Trimestre Iii..docx

O corpo humano é só aparência, a realidade é a alma.

ESCOLA JOÃO XXIII

11ᵃ Classe. Turma: 113. Trimestre III. Curso-diurno-manhã Disciplina: Matemática Unidade Temática: Geometria analítica no plano Tema: Conceitos gerais sobre vectores  Operações com vectores Objectivos:  Determinar a norma de um vector no plano.  Escrever as coordenadas e os componentes de um vector no plano. Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro e papel quadriculado. Duração da aula: 90 minutos. Data: 30 e 31 de Agosto de 2016 Metodologia: Elaboração conjunta e método independente. Professor: João Matangue Arone. Bibliografia: FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos Editores. Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.

Geometria analítica A geometria analítica tem por objectivo a tradução da linguagem geométrica para a linguagem analítica ou algébrica e vice-versa, isto é, estuda as propriedades das figuras geométricas com a ajuda de cálculos ou de métodos analíticos. Conceitos gerais sobre vectores O conceito de vector é muitas vezes usado nas ciências físicas e matemáticas. Na física, os vectores podem representar grandezas, tais como força, velocidade, aceleração, etc. Estas grandezas dizem-se grandezas vectoriais. Na matemática, os vectores são caracterizados por: uma origem, uma extremidade, uma direcção, um sentido e um comprimento. Em geral, os vectores são representados por letras minúsculas com uma seta por cima. ⃗ , 𝒄, ⃗ ,𝒃 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Exemplo: (𝒂 𝒅, … ) ⃗⃗⃗⃗⃗ e pode escrever-se: ⃗ definido pelo segmento de recta orientado [A, B] representa-se por 𝐴𝐵 O vector 𝒂 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵.

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O corpo humano é só aparência, a realidade é a alma. O ponto A é geralmente denominado por ponto de aplicação ou origem e o ponto B por extremidade ou ponto final. A medida do comprimento de um vector é designada por comprimento ou norma ou tamanho ou módulo do vector. A norma de um vector 𝒂 ⃗ representa-se por ‖𝒂 ⃗ ‖ e lê-se norma do vector 𝒂 ⃗. O vector nulo, é um vector que tem direcção e sentidos indeterminados e comprimento zero. Este ⃗ . vector representa-se por 𝟎 ⃗ , é um vector de comprimento 1, isto é, ‖𝒖 ⃗ não é o vector nulo, então o O vector unitário 𝒖 ⃗ ‖. Se 𝒗 ⃗ 𝒗

𝟏

⃗ = ‖𝒗‖ = ‖𝒗‖ ∙ 𝒗 ⃗ é o vector unitário na direcção de 𝒗 ⃗. vector 𝒖 ⃗ ⃗ Coordenadas de um vector. Se a origem de um sistema de coordenadas 𝑥𝑦 coincide com a origem do vector, verifica-se que este vector é igual à soma dos vectores formados pelas suas projecções em cada eixo.

⃗ = 𝒗𝒙 𝑖 + 𝒗𝒚 𝑗. Os escalares 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 são as Os vectores 𝑖 e 𝑗, são vectores unitários. Então, 𝒗 ⃗ = (𝒗𝒙 ; 𝒗𝒚 ). Portanto, o coordenadas do vector no sistema, então o vector 𝑣 pode-se representar por 𝒗 𝟐

módulo do vector 𝑣 será dado por, 𝑣 = √(𝒗𝒙 )𝟐 + (𝒗𝒚 ) . Dois vectores, não nulos, 𝑢 ⃗ e 𝑣 são colineares se e só se existir um número real 𝑘 ≠ 0 tal que 𝑣 = 𝑘𝑢 ⃗. Dados dois vectores do plano, 𝑢 ⃗ = (𝑢𝑥 ; 𝑢𝑦 ) e 𝑣 = (𝑣𝑥 ; 𝑣𝑦 ), serão iguais se e só se, 𝑢 ⃗ = 𝑣 ⟺ 𝑢𝑥 = 𝑣𝑥 ∧ 𝑢𝑦 = 𝑣𝑦 . Exemplo1: Considera o vector 𝑣 = (−3; 2). O módulo do vector 𝑣 é dado por ‖𝑣 ⃗‖ =

√(−3)2 + (2)2 = √9 + 4 = √13. ⃗ 𝑣

O vector unitário será dado por 𝑢 ⃗ = ‖𝑣⃗‖ =

1 ∙ √13

−3 2 ; ). √13 √13

(−3; 2) = (

Exemplo2: Indique o sentido, a direcção e determine o comprimento de cada um dos vectores representados na figura abaixo:

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Resolução: ‖𝑎‖ = 3 ;Pela observação da figura. ‖𝑏⃗‖ = √22 + 22 = √4 + 4 = √8 = 2√2 ;Pela aplicação do teorema de Pitágoras. ‖𝑐‖ = √32 + 22 = √9 + 4 = √13 ;Pela aplicação do teorema de Pitágoras. TPC Determine o comprimento de cada um dos vectores representados na figura, e indicar as coordenadas dos pontos da origem e da extremidade de cada vector.

Operações com vectores Existem duas operações básicas envolvendo vectores: a adição e a multiplicação por um escalar, isto é, por um número real. Adição de dois vectores Há dois métodos geométricos para realizar a adição de dois vectores.  Método de triângulo – consiste em colocar a origem do segundo vector coincidente com a extremidade do primeiro vector, o vector soma (ou vector resultante) é o que fecha o triângulo (origem coincidente com a origem do primeiro e extremidade coincidente com a extremidade do segundo). 

Método do paralelogramo – consiste em colocar as origens dos dois vectores

coincidentes e construir um paralelogramo. O vector soma (ou vector resultante) será dado pela diagonal do paralelogramo cuja origem coincide com a dos dois vectores. A outra diagonal será o vector diferença. Multiplicação por um escalar. A multiplicação ou divisão de um vector por um escalar resulta em vectores paralelos, na mesma linha ou não, com módulos e sentidos alterados pelo multiplicador ou divisor.  𝛼𝑣 – tem o mesmo sentido e direcção de 𝑣 se 𝛼 > 0;  𝛼𝑣 – tem a mesma direcção de 𝑣 e sentido oposto se 𝛼 < 0.

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O corpo humano é só aparência, a realidade é a alma.  ‖𝛼𝑣 ‖ = ‖𝛼‖ ∙ ‖𝑣 ‖. Vejamos exemplos da multiplicação e divisão de um vector por escalares.

Adição de vectores em coordenadas Seja 𝑢 ⃗ = (𝑢𝑥 ; 𝑢𝑦 ) e 𝑣 = (𝑣𝑥 ; 𝑣𝑦 ), então: 𝑢 ⃗ + 𝑣 = (𝑢𝑥 + 𝑣𝑥 ; 𝑢𝑦 + 𝑣𝑦 ) e 𝑢 ⃗ − 𝑣 = (𝑢𝑥 − 𝑣𝑥 ; 𝑢𝑦 − 𝑣𝑦 ). Exemplos: 𝑢 ⃗ = (1; 4) e 𝑣 = (3; −2), então: 𝑢 ⃗ + 𝑣 = (1 + 3; 4 + (−2)) = (4; 2). 𝑢 ⃗ − 𝑣 = (1 − 3; 4 − (−2)) = (−2; 6). Exercícios de aplicação. 1.

Dados os pontos A (2;3), B (4; −2), C (3;7), D (5;−4). Represente no mesmo sistema de

⃗⃗⃗⃗⃗ ; d) 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ coordenadas os vectores: a) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵; b) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶 ; c) −𝐵𝐶 𝐴𝐷. 2 2.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; −3), se M (5;2). Represente o vector 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ no sistema Determine a extremidade do vector 𝑀𝑁

de coordenadas. 3.

Considerando a figura ao lado, determine: a) 𝑎 − 2𝑏⃗ b) 3𝑐 + 𝑎 − 𝑏⃗ c) −2𝑎 + 𝑐 d) 𝑎 + 𝑐

4. Desenhe um representante do vector: a) 𝑣 = 2𝑖 + 3𝑗 b) 𝑤 ⃗⃗ = −𝑖 − 2𝑗 5.

⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √17. Determine as coordenadas do E que pertence ao eixo das ordenadas e tal que: ‖𝑂𝐸

6.

Seja 𝑢 ⃗ = (−1; 2). Quais são as coordenadas de um vector 𝑣 , colinear com 𝑢 ⃗ e de norma 4.

7.

Considere o vector 𝑢 ⃗ = (−3; 0). Determine um vector 𝑣 , colinear com 𝑢 ⃗ , tal que ‖𝑣 ‖ = 10.

8.

Dados os vectores 𝑣 = (0; 1) e 𝑢 ⃗ = (1; 2). Represente no mesmo sistema de coordenadas e

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determine: a) 𝑣 + 𝑢 ⃗ , pelo método de triangulação. b) 𝑣 − 2𝑢 ⃗ , pelo método de paralelogramo. c) −𝑣 + 𝑢 ⃗ , pelo método de triângulo.

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