Apontamentos Do Trimestre Ii.docx

ESCOLA JOÃO XXIII 11ᵃ CLASSE. TURMA: 113. TRIMESTRE II. CURSO-DIURNO-MANHÃ Disciplina: Matemática Unidade Temática: Equações e Inequações exponenciais. Tema: Física nuclear. 

Conceito da Física Nuclear.



Partículas nucleares.



Isotopia.

Objectivos: 

Distinguir as diferentes partículas nucleares.



Representar as diferentes partículas nucleares.



Identificar elementos isótopos, isóbaros e isótonos.



Resolver exercícios concretos.

Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro. Duração da aula: 90 minutos. Metodologia: Elaboração conjunta e método independente. Bibliografia: AZEVEDO, Carlos. Física 12ª classe, Plural editores, Maputo, 2014 e JOÃO, Estevão Manuel. Física 12 pré-universitário , Longman Moçambique, Maputo 2010. Professor: João Matangue Arone.

Beira, 23 de Maio de 2016.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

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Chamamos de equação exponencial toda equação na qual a incógnita aparece no expoente. Exemplos de equações exponenciais: 1) 3x =81 (a solução é x=4) 2) 2x-5=16 (a solução é x=9) 3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1) 4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1) Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade:

a m  a n  m  n (a  1 e a  0) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) 3x=81 Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34 E daí, x=4. 2) 9x = 1 Resolução: 9x = 1  9x = 90 ; logo x=0. x

81 3 3)    256 4 x

x

x

4

81 34 3 3 3 3 Resolução :        4       ; então x  4. 256 4 4 4 4 4 4) 3 x  4 27 3 4

Resolução : 3  27  3  3  3  3 ; logo x  x

4

x

4

3

x

3 4

5) 23x-1 = 322x Resolução: 23x-1 = 322x  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10, de onde x=-1/7. 6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0. Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: Professor: João Matangue Arone

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32x–6.3x–27=0  (3x)2-6.3x–27=0 Fazendo 3x=y, obtemos: y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos  y’=-3 e y’’=9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y: y’=-3  3x’ = -3  não existe x’, pois potência de base positiva é positiva y’’=9  3x’’ = 9  3x’’ = 32  x’’=2 Portanto a solução é x=2

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 01) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

X y

-2 ¼

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-1 1/2

0 1

1 2

2 4

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2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0
-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a rel="nofollow">1

0
f(x) é crescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 rel="nofollow">x1  y2>y1 (as desigualdades têm

f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2
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mesmo sentido)

sentidos diferentes)

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece no expoente. Exemplos de inequações exponenciais: 1) 3 x  81 (a solução é x  4) 2) 2 2x-2  2 x

2

1

(que é satisfeita para todo x real) 3

x

4 4 3)      (que é satisfeita para x  -3) 5 5 4) 25 x - 150.5 x  3125  0 (que é satisfeita para 2  x  3)

Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1

0
a rel="nofollow"> a  m>n

a > an  m
m

n

m

(as desigualdades têm mesmo sentido)(as desigualdades têm sentidos diferentes)

EXERCÍCIO RESOLVIDO:

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1) 4 x 1  4 x  4 x 1 

 11 4

Resolução : 4x  11 A inequação pode ser escrita  4 x  4 x .4  . 4 4 Multiplica ndo ambos os lados por 4 temos : 4 x  4.4 x  16.4 x  11 , ou seja : (1  4  16).4 x  11  -11.4 x  11 e daí, 4 x  1 Porém, 4 x  1  4 x  4 0. Como a base (4) é maior que 1, obtemos : 4 x  40  x  0 Portanto S  IR - (reais negativos)

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ESCOLA JOÃO XXIII UNIDADE TEMÁTICA: EQUAÇÕES E ENEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS TEMA: NOÇÃO DE LOGARITMO -COLOGARITMO E ANTILOGARITMO Noção de logaritmo Para 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, a função logarítmica com base 𝑎 representa-se por: 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥, sendo log 𝑎 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑎 𝑦 = 𝑥. Existem logaritmos de bases especiais, que são logaritmos de base dez (log10 𝑥 = log 𝑥) e logaritmos de base natural ( log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥), com 𝑒 = 2,718 … Propriedades de logaritmos. 1) log 𝑎 𝑎 = 1 2) Logaritmo de uma potência (o logaritmo de uma potência, é igual ao produto dessa potência pelo logaritmo). log 𝑐 𝑎𝑛 = 𝑛 log 𝑐 𝑎 3) Logaritmo de um produto ( o produto de um logaritmo é igual a soma de seus logaritmos); log 𝑐 𝑎. 𝑏 = log 𝑐 𝑎 + log 𝑐 𝑏 4) Logaritmo de um quociente ( o logaritmo de um quociente é igual a diferença dos 𝑎

logaritmos). log 𝑐 (𝑏) = log 𝑐 𝑎 − log 𝑐 𝑏 1

5) log 𝑐 𝑎 𝑏 = 𝑎 log 𝑐 𝑏 6) 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 COLOGARITMO O estudo do cologaritmo tem sua principal “raiz” o estudo dos logaritmos e suas propriedades operacionais. Define-se cologaritmo de um número real pelo oposto de seu logaritmo. A sua definição algébrica, 1

é: 𝑐𝑜 log 𝑏 𝑎 = − log 𝑏 𝑎 = log 𝑏 (𝑎), desde que: 𝑎 > 0; 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1. Exemplos: calcule a) 𝑐𝑜 log 4 64; b) 𝑐𝑜 log 3 27; c) 𝑐𝑜 log 0,001 Resolução: 1

1

a) 𝑐𝑜 log 4 64 = log 4 (64) = 𝑥 ⟺ 4𝑥 = 64 ⟺ 4𝑥 = 4−3 ⟺ 𝑥 = −3 b) 𝑐𝑜 log 3 27 = − log 3 27. C.a: log 3 27 = 𝑥 ⟺ 3𝑥 = 27 ⟺ 3𝑥 = 33 ⟺ 𝑥 = 3 ⟹ 𝑐𝑜 log 3 27 = −3 c) 𝑐𝑜 log 0,001 = − log 0,001. C.a: log 0,001 = 𝑥 ⟺ 10𝑥 = 0,001 ⟺ 10𝑥 = 10−3 ⟺ 𝑥 = −3 ⟹ 𝑐𝑜 log 0,001 = 3 ou então: Professor: João Matangue Arone

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𝑐𝑜 log 0,001 = − log 0,001 = − log 10−3 = −(−3) log10 10 = 3 Antilogaritmo A função antilogarítmica é a função inversa da função logarítmica. Por exemplo, o logaritmo de 100000 na base 10 é 5 e o antilogaritmo de 5 na base 10 é 100000. A sua definição algébrica, é: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 𝑏 𝑥 = 𝑏 𝑥 , com 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑥 ∈ ℝ. Ou seja: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 𝑏 𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏 𝑎 = 𝑥.  𝑎𝑛𝑡𝑖 log 𝑏 log 𝑏 𝑥 = 𝑥  log 𝑏 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 𝑏 𝑥 = 𝑥 Exemplo1: Calcule o valor de 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 5 2 Resolução: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 5 2 = 52 = 25 Prova: log 5 25 = 𝑥 ⟺ 5𝑥 = 25 ⟺ 5𝑥 = 52 ⟺ 𝑥 = 2. 25 é logaritmando de um logaritmo de base 5 e deve ser igual a 2, que é o logaritmando do antilogaritmo. Exemplo2: Calcule o valor de 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 6 log 2 16 Resolução: C.a: log 2 16 = 𝑥 ⟺ 2𝑥 = 16 ⟺ 2𝑥 = 24 ⟺ 𝑥 = 4; dai: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 6 log 2 16 = 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 6 4 = 64 = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1296 Exemplo3: Defina o conjunto solução da expressão: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 3 log 1 512 = 2𝑥 + 5. 8

1 𝑡

C.a: log 1 512 = 𝑡 ⟺ (8) = 512 ⟺ 8−𝑡 = 83 ⟺ 𝑡 = −3; portanto: 8

1

1

𝑎𝑛𝑡𝑖 log 3 log 1 512 = 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 3 −3 = 3−3 = 27 ⟹ 27 = 2𝑥 + 5 ⟹ 𝑥 ≅ −2,5. 8

EXERCÍCIOS 1. a) b) c) d)

Resolve as seguintes equações: 𝑐𝑜 log 3 9 = 𝑥 𝑐𝑜 log 3 𝑥 = 2 𝑐𝑜 log 2 𝑥 − 1 = 3 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 6 4 = 𝑥 − 296

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11ᵃ Classe. Matemática. Turma: 113. Trimestre II. Curso-diurno-manhã Disciplina: Matemática. Unidade Temática: Equações e Inequações logarítmicas. Tema: Característica e Mantissa. Objectivos:  Escrever o logaritmo decimal na forma de 𝑐 + 0, 𝑚. Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro e papel quadriculado. Duração da aula: 90 minutos Professor: João Matangue Arone Beira, 22 de Junho de 2016

Característica (c): a parte inteira do logaritmo chama-se característica e representa-se normalmente por c; a característica pode ser positiva ou negativa. Mantissa (m): a parte decimal do logaritmo chama-se mantissa e representa-se normalmente por m; a mantissa é sempre positiva. Exemplo: 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟏𝟔 = −𝟏, 𝟕𝟗𝟓𝟗 = −𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟎𝟒𝟏. 𝒄 = −𝟐, porque o número 0,016 tem 2 zeros. 𝒎 = 𝟐𝟎𝟒𝟏, porque a mantissa de 0,016 é igual à mantissa de 16. Conclusão: 𝐥𝐨𝐠 𝒙 = 𝒄 + 𝟎, 𝒎. O logaritmo de um número positivo 𝒙, quando não é potência de 10, expressa-se por 𝒄 + 𝟎, 𝒎. Cálculo da Característica. O cálculo da característica de um logaritmo decimal é baseado na seguinte propriedade: Se 𝒎 < 𝒑 < 𝒏, então 𝐥𝐨𝐠 𝒎 < 𝐥𝐨𝐠 𝒑 < 𝐥𝐨𝐠 𝒏. Exemplo1: calcular a característica de 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟓𝟏 Enquadrando 251 entre duas potências de 10. 𝟏𝟎𝟎 < 𝟐𝟓𝟏 < 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⟹ 𝟏𝟎𝟐 < 𝟐𝟓𝟏 < 𝟏𝟎𝟑 , isto é, 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟐 < 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟓𝟏 < 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟑 ⟹ ⟹ 2 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 < 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟓𝟏 < 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 ⟹ 𝟐 < 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟓𝟏 < 𝟑. Ou seja, 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟓𝟏 é um número compreendido entre 𝟐 e 𝟑. Logo, 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟓𝟏 = 𝟐, … ⟹ 𝒄 = 𝟐.

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Exemplo2: calcular a característica de 𝐥𝐨𝐠 𝟑 Enquadrando 3 entre duas potências de 10. 𝟏 < 𝟑 < 𝟏𝟎 ⟹ 𝐥𝐨𝐠 𝟏 < 𝐥𝐨𝐠 𝟑 < 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 ⟹ 0 < 𝐥𝐨𝐠 𝟑 < 𝟏. Ou seja, 𝐥𝐨𝐠 𝟑 é um número compreendido entre 0 e 1. Logo, 𝐥𝐨𝐠 𝟑 = 𝟎, … ⟹ 𝒄 = 𝟎. Exemplo3: calcular a característica de 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟏, 𝟑 Enquadrando 21,3 entre duas potências de 10. 𝟏𝟎 < 𝟐𝟏, 𝟑 < 𝟏𝟎𝟎 ⟹ 𝟏𝟎 < 𝟐𝟏, 𝟑 < 𝟏𝟎𝟐 , isto é, 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 < 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟏, 𝟑 < 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟐 ⟹ ⟹ 1 < 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟏, 𝟑 < 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 ⟹ 𝟏 < 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟏, 𝟑 < 𝟐. Ou seja, 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟏, 𝟑 é um número compreendido entre 1 e 2. Logo, 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟏, 𝟑 = 𝟏, … ⟹ 𝒄 = 𝟏. Analisando os três exemplos, chega-se à seguinte conclusão: “a característica de um número maior que 𝟏 é igual ao número de algarismos do logaritmando da parte inteira, menos 1”. Exemplo4: calcular a característica de 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 Enquadrando 0,0045 entre duas potências de 10. 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 < 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 < 𝟎, 𝟎𝟏 ⟹ 𝟏𝟎−𝟑 < 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 < 𝟏𝟎−𝟐, isto é, 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎−𝟑 < 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 < 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎−𝟐 ⟹ −3 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 < 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 < −𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 ⟹ −𝟑 < 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 < −𝟐. Ou seja, 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 é um número compreendido entre −3 e −2. Logo, 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 = −𝟑, … ⟹ 𝒄 = −𝟑. Isto é, 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 = −𝟐, 𝟑𝟒𝟔𝟖 = −𝟑 + 𝟎, 𝟔𝟓𝟑𝟐 ⟹ 𝒄 = −𝟑. “a característica de um número menor que 1 é igual ao número de zeros mais 1 que antecedem o primeiro algarismo não nulo, com sinal menos”. Cálculo da Mantissa. A mantissa do logaritmo de um número determina-se com o auxílio de uma tábua de logaritmos. Observa os seguintes exemplos: log 3 = 0,4771 ; log 30 = 1,4771; log 0,03 = −2 + 0,4771 = −1,5229 e log 0,003 = −3 + 0,4771 = −2,5229. Nos números que se obtêm multiplicando ou dividindo o número dado por uma potência de 10, os seus logaritmos decimais conservam a mantissa. Exercícios: 1. Escreve na forma 𝒄 + 𝟎, 𝒎, os seguintes logaritmos: a) log 37; b) log 0,571; c) log 873; d) log 345 2. Calcule a característica dos logaritmos que se seguem: a) log 25; b) log 0,23; c) log 7; d) log 372; e) log 1763; f) log 0,073 Professor: João Matangue Arone

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11ᵃ Classe. Turma: 113. Trimestre II. Curso-diurno-manhã Disciplina: Matemática Unidade Temática: Geometria analítica no plano Tema: Conceitos gerais sobre vectores Objectivos:  Determinar a norma de um vector no plano.  Escrever as coordenadas e as componentes de um vector no plano. Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro e papel quadriculado. Duração da aula: 90 minutos

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Beira, 14 de Julho de 2015 Geometria analítica A geometria analítica tem por objectivo a tradução da linguagem geométrica para a linguagem analítica ou algébrica e vice-versa, isto é, estuda as propriedades das figuras geométricas com a ajuda de cálculos ou de métodos analíticos. Conceitos gerais sobre vectores O conceito de vector é muitas vezes usado nas ciências físicas e matemáticas. Na física, os vectores podem representar grandezas, tais como força, velocidade, aceleração, etc. Estas grandezas dizem-se grandezas vectoriais. Na matemática, os vectores são caracterizados por: Uma origem Uma extremidade Uma direcção Um sentido Um comprimento Em geral, os vectores são representados por letras minúsculas com uma seta por cima. Exemplo: ⃗ , ⃗𝒃, ⃗⃗𝒄, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅, … ) (𝒂 O vector ⃗𝒂 definido pelo segmento de recta orientado [A, B] representa-se por ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 e pode escrever-se: 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵.

O ponto A é geralmente denominado por ponto de aplicação ou origem e o ponto B por extremidade ou ponto final. O vector nulo, é um vector que tem direcção e sentidos indeterminados e comprimento zero. Este vector ⃗ . representa-se por 𝟎 A medida do comprimento de um vector é designada por comprimento ou norma ou tamanho ou módulo do vector. A norma de um vector 𝒂 ⃗ representa-se por ‖𝒂 ⃗ ‖ e lê-se norma do vector 𝒂 ⃗.

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Exemplo: Indique o sentido e a direcção e determine o comprimento de cada um dos vectores representados na figura:

Resolução: ‖𝑎‖ = 3

Pela observação da figura.

‖𝑏⃗‖ = √22 + 22 = √4 + 4 = √8 = 2√2 ‖𝑐 ‖ = √32 + 22 = √9 + 4 = √13

Pela aplicação do teorema de Pitágoras.

Pela aplicação do teorema de Pitágoras.

TPC Determine o comprimento de cada um dos vectores representados na figura, e indicar as coordenadas dos pontos da origem e da extremidade de cada vector.

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