Apontamentos Da 11 Classe.docx

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). ESCOLA SECUNDÁRIA JOAQUIM CHISSANO 11ᵃ CLASSE. TURMAS: B01N-B05T. TRIMESTRE I. CURSOS: NOTURNO-DIURNO. Disciplina: Matemática. Unidade Temática: Introdução à lógica matemática. Tema: Apresentação do professor aos alunos e breves considerações sobre a disciplina.

- Noção de lógica e definição de proposições. Objectivos: 

Identificar proposições.

 Atribuir valor lógico correcto a uma proposição.  Aplicar as propriedades de negação, disjunção e conjunção.  Demonstrar as propriedades através de tabelas de verdade (tabela de Bett). Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro. Duração de cada aula: 90 minutos Metodologia: Elaboração conjunta e método independente. Professor: João Matangue Arone. Xai-Xai, 01 de Março de 2018. Bibliografia: FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos editoras, Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.

NOÇÃO DE LÓGICA A lógica matemática é um ramo da ciência que se dedica ao estudo do raciocínio matemático. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar corrente, sendo, portanto, instrumento do pensar. A palavra “ lógica” deriva da palavra grega logiké, que significa “ciência do raciocínio”. Proposições Chama-se Proposição a toda a expressão a respeito da qual faz sentido dizer que é verdadeira ou falsa. Ou seja, é uma expressão à qual é possível atribuir um valor lógico (verdadeiro ou falso). Também pode se usar a notação 1 (equivalente a verdadeiro) e 0 (equivalente a falso). Exemplos:

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 1

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).     

Xai-Xai é capital da Província de Maputo (F ou 0). 8 − 5 = 3 (V ou 1). 4 > 4 (F ou 0). 2 ≠ 5 (V ou 1). 𝑥 + 3 = 7 (depende do valor de 𝑥).

Princípio de não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Princípio do terceiro excluido: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, não existe terceira possibilidade. Duas proposições são equivalentes se, e só se, tiverem o mesmo valor lógico. Chama-se condição ou expressão proposicional a toda a expressão com variáveis que se pode transformar numa proposição, quando são substituidas as variáveis por valores, nos respectivos domínios. Exemplo: A expressão 2𝑥 = 7, para algum valor de 𝑥 é verdadeira, mas para outros é falsa. Por isso, não é uma proposição. Outro exemplo: 𝑥 é um número par.

TEMA: OPERAÇÕES LÓGICAS. As operações lógicas estão sujeitas às regras do cálculo proposicional, que são: Negação (~, que lê-se: não); conjunção (∧, que lê-se: e); disjunção (∨, que lê-se: ou); implicação (⟹, que lê-se: se…então…) e dupla implicação ou simplesmente equivalência(⟺, que lê-se: se, e só se). Negação de proposições. Se uma proposição P é verdadeira, a sua negação (~P) é falsa e vice-versa. P 1 0

~P 0 1

Exemplo: Seja a proposição P: 2 é um número primo. A sua negação (~P), seria: 2 não é um número primo. Conjunção de proposições. A conjunção representa-se pelo símbolo ^, que lê-se “e”. A conjunção de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P^Q) que só é verdadeira quando as duas proposições forem verdadeiras. P 1 1 0 0 Propridades da conjunção

Q 1 0 1 0

P^Q 1 0 0 0

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 2

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). A conjunção goza das propriedades: Comutativa (A^B = B^A), associativa [(A^B)^C=A^(B^C)] e a idempotência (A^A = A). Observa: A^1 = A: o valor lógico 1(verdadeiro) é o elemento neutro na conjunção. A^0 = 0: o valor lógico 0( falso) é o elemento absorvente na conjunção. Disjunção de proposições. A disjunção representa-se pelo símbolo ∨, que lê-se “ou”. A disjunção de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P∨Q) que só é falsa quando as duas proposições forem falsas. P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

P∨Q 1 1 1 0

Propridades da disjunção. A disjunção goza das propriedades: Comutativa (A∨B = B∨A), associativa [(A∨B) ∨C=A∨ (B∨C)] e a idempotência (A∨A=A). Observa: A∨0 = A: o valor lógico 0(falso) é o elemento neutro na disjunção. A∨1 = 1: o valor lógico 1( verdadeiro) é o elemento absorvente na disjunção. Implicação de proposições. A proposição “se P então Q”chama-se implicação. Simbolicamente representa-se por P⟹Q, onde o P é antecedente e o Q é consequente. A implicação de duas proposições, P e Q, é uma nova proposição P⟹Q, que só é falsa se a antecedente for verdadeira e a consequente for falsa. P Q P⟹Q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Observando o quadro a seguir, podemos ver que a implicação pode ser transformada numa disjunção, sendo que: P⟹Q = ~P∨Q. P 1 1

Q 1 0

~P 0 0

P⟹Q 1 0

~P∨Q 1 0

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 3

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). 0 0

1 0

1 1

1 1

1 1

E observando agora a tabela seguinte: P Q ~Q P^~Q P⟹Q ~ (P⟹Q) 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 Conclui-se que: ~( P⟹Q) = P^~Q, isto é: a negação da implicação equivale à conjunção da antecedente com a negação da consequente. Equivalência de proposições. A operação lógica da dupla implicação é traduzida por 𝑝 ⟹ 𝑞 e 𝑞 ⟹ 𝑝 ou, simplesmente, 𝑝 ⟺ 𝑞 que se lê “se e só se”. A equivalência de duas proposições só é verdadeira se ambas as proposições tiverem o mesmo valor lógico. 𝑝 1 1 0 0

𝑞 𝑝⟺𝑞 1 0 1 0

1 0 0 1

As primeiras leis de De Morgan. De Morgan estabeleceu a seguinte lei de negação da conjunção: negar a conjunção equivale a uma disjunção com proposições negadas.∼ (𝑝 ∧ 𝑞) =∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞. A negação de uma disjunção equivale a uma conjunção com proposições negadas. ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) =∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞. NB: As tabelas de Bett e as demonstrações das propriedades serão dadas como tarefas de casa.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 4

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

ESCOLA SECUNDÁRIA JOAQUIM CHISSANO 11ᵃ CLASSE. TURMAS: B01N-B05T. TRIMESTRE I. NOITE-TARDE. Disciplina: Matemática. Unidade Temática: Introdução à lógica matemática. Tema: QUANTIFICADORES. - Segundas leis de De Morgan. Objectivos:  Aplicar quantificadores na tradução de expressões correntes em expressões quantificadas e vice-versa;  Aplicar as Leis de De Morgan na resolução de problemas. Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro. Duração de cada aula: 90 minutos Metodologia: Elaboração conjunta e método independente. Professor: João Matangue Arone. Xai-Xai, 03 de Março de 2018. Bibliografia: FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos editoras, Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.

Expressões proposicionais (condições). Uma expressão algébrica ou com variável é uma expressão que tem pelo menos uma variável. Expressões algébricas podem ser designatórias ou condições. Chama-se condição ou expressão proposicional a toda a expressão com variáveis que se pode transformar numa proposição, quando são substituidas as variáveis por valores, nos respectivos domínios. Em geral, as equações e as inequações são condições. Expressões designatórias, quando se concretiza a variável ou as variáveis obtém-se uma designação. Exemplo: 𝑥 + 2; 𝑥 − 1; 𝑥 2 + 1. Classificação de condições.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 5

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). Condição possível é aquela que pode acontecer (pode ser verdadeira) no domínio dado. Exemplo: 𝑥 + 1 = 0 é uma condição possível em ℤ. Condição impossível é aquela que nunca ocorre (é sempre falsa) no domínio considerado. Exemplo: 𝑥 + 1 = 0 é uma condição impossível em ℕ. Condição universal é aquela que acontece sempre (é sempre verdadeira) no domínio considerado. Exemplo: 𝑥 2 ≠ −1 é uma condição universal em ℝ. É evidente que toda a condição universal é possível. Quantificadores. Além das operações lógicas já estudadas, podemos ainda considerar mais duas, as quais se aplicam apenas nas expressões com variáveis: quantificador universal e quantificador existencial. Os quantificadores transformam condições em proposições. Quantificador universal. Consideremos, em ℕ, a condição universal: 𝑥 ≥ 0. Para dizer em linguagem corrente que esta proposição é universal escreve-se: “ Todo o número natural é maior ou igual que zero”. Em linguagem simbólica, e com o mesmo significado, escreve-se: ∀𝑥 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 0. Ao símbolo ∀ denomina-se quantificador universal, que lê-se: qualquer que seja ou para todo o … ou para qualquer … ou para cada … . Exemplo: Sendo 𝐶 = {1; 3; 5}, dizer que: 1 é ímpar ∧ 3 é ímpar ∧ 5 é ímpar, é o mesmo que dizer: “ todo o elemento de 𝐶 é ímpar” ou, simbolicamente, ∀𝑥 ∈ 𝐶: 𝑥 é ímpar. Quantificador existencial. Ao símbolo ∃ dá-se o nome de quantificador existencial. ∃ lê-se “ existe pelo menos um”. O quantificador existencial transforma uma condição possível numa proposição verdadeira. O quantificador existencial transforma uma condição impossível numa proposição falsa. Exemplo: A partir da condição possível em ℝ: 𝑥 + 1 = 0 pode afirmar-se: “ Existe pelo menos um número real que verifica a condição 𝑥 + 1 = 0”. Em linguagem simbólica, escrever-se-ia com o mesmo significado: ∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 + 1 = 0. 2𝑥 − 1 = 0, condição possível em ℝ. ∃𝑥 ∈ ℝ: 2𝑥 − 1 = 0, proposição verdadeira. 𝑥 2 + 1 = 0, condição impossível em ℝ. ∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 2 + 1 = 0, proposição falsa. Quantificação múltipla.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 6

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). Consideremos, em ℝ, a condição: 𝑦 = 𝑥. Para obtermos uma proposição a partir desta condição, temos de utilizar dois quantificadores (quantificação múltipla). 

Utilizando duas vezes o quantificador universal: ∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 = 𝑥 ou

∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 = 𝑥. Em linguagem corrente: quaisquer dois números reais são iguais (proposição falsa). 

Utilizando duas vezes o quantificador existencial: ∃𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 = 𝑥 ou

∃𝑥, 𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 = 𝑥. Em linguagem corrente: existem pelo menos dois números reais que são iguais (proposição verdadeira). 

Utilizando quantificadores diferentes: 1. ∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 = 𝑥

Em linguagem corrente: Para todo número real existe pelo menos um número real igual a ele. (proposição verdadeira). 2. ∃𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ: 𝑥 = 𝑦. Em linguagem corrente: existe pelo menos um número real que é igual a todos os outros números reais (proposição falsa). Quando se utilizam quantificadores diferentes e se troca a sua ordem, obtêm-se proposições diferentes que podem ter ou não o mesmo valor lógico. TAREFAS. 1. Traduza em linguagem simbólica, utilizando quantificadores, as seguintes proposições: a) “Dado um número inteiro qualquer, existe pelo menos outro número inteiro menor do que ele”. b) “ Há pelo menos um número inteiro que é menor que todos os outros inteiros”. 2. Indique o valor lógico das proposições: b) ∃𝑦 ∈ ℕ, ∀𝑥 ∈ ℕ: 𝑦 ≤ 𝑥. a) ∀𝑥 ∈ ℕ, ∃𝑦 ∈ ℕ: 𝑦 < 𝑥 Tema: Negação de um quantificador (segundas leis de De Morgan). Negação de um quantificador (segundas leis de De Morgan). Negar que uma condição é universal equivale a afirmar que nem todos os elementos a verificam, isto é, que há pelo menos um que não a verifica. Exemplo: Proposição: Todo losango é um quadrado. Negação da proposição: Existe pelo menos um losango que não é quadrado. Em geral: 1. A negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial seguido de negação. ~(∀𝒙) = ∃~𝒙.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 7

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). 2.

A negação transforma o quantificador existencial em quantificador universal seguido de negação. ~(∃𝒙) = ∀~𝒙. Estes dois enunciados são conhecidos por segundas leis de De Morgan.

Exemplos: Consideremos, no conjunto T dos alunos da turma B05, as proposições: 1. ∀𝑥 ∈ 𝑇, 𝑥 estuda Matemática 2. ∃𝑥 ∈ 𝑇, 𝑥 é inteligente. Em linguagem corrente traduzem-se, respectivamente, por: 1. Todos os alunos estudam Matemática. 2. Há pelo menos um aluno que é inteligente. A negação destas proposições em linguagem corrente é: 1. Nem todos os alunos da turma B05 estudam Matemática. 2. Nenhum aluno da turma B05 é inteligente. Traduzindo em linguagem simbólica: 1. ∃𝑥 ∈ 𝑇, 𝑥 não estuda Matemática 2. ∀𝑥 ∈ 𝑇, 𝑥 não é inteligente. Isto é, ~ (∀𝑥 ∈ 𝑇, 𝑥 estuda Matemática) = ∃𝑥 ∈ 𝑇, 𝑥 não estuda Matemática ~(∃𝑥 ∈ 𝑇, 𝑥 é inteligente) = ∀𝑥 ∈ 𝑇, 𝑥 não é inteligente. Operação ∨ ∀ ⟹ > < = ∈ ⊃ ⊂

Negação ∧ ∃ ⟺ ≤ ≥ ≠ ∉ ⊈ ⊉

Exercícios: 3. a) b) c) d) e)

Negue as seguintes proposições e diga o seu valor lógico: ∀𝑥 ∈ ℕ, |𝑥| ≥ 2 ∧ 𝑥 < 1 ∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 0 ∀𝑥 ∈ ℤ: 𝑥 ∈ ℚ ∀𝑥 ∈ ℝ: 2 ≤ 𝑥 < 3 ∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 4 ∨ 𝑥 = 6

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 8

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

ESCOLA SECUNDÁRIA JOAQUIM CHISSANO 11ᵃ CLASSE. TURMAS: B01N-B05T. TRIMESTRE I. CURSOS: NOTURNO-DIURNO. Disciplina: Matemática Unidade Temática: ÁLGEBRA Tema: Expressões algébricas racionais. Objectivos: 

Determinar o domínio de expressões algébricas racionais.

 Operar com fracções racionais. Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro. Duração de cada aula: 90 minutos. Metodologia: Elaboração conjunta e método independente. Xai-Xai, 22 de Março de 2018. Professor: João Matangue Arone. Bibliografia: FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos editoras, Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.

Expressão algébrica é aquela em que a variável 𝑥 está sujeita apenas a operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão ou extracção da raiz. 𝟑𝒙

Exemplos: 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏; 𝒙−𝟐 − 𝟒; 𝟑 − √𝟐𝒙. Classificação de expressões algébricas. Uma expressão algébrica pode ser Racional inteira; Racional fraccionária ou Irracional. Uma expressão diz-se expressão algébrica racional inteira quando não se indica uma divisão, em que a variável fica no divisor e não aparece sob sinal de radical. 𝟐

Exemplos: 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏; 𝟑 𝒙 + 𝒙𝟐 + √𝟐𝒙 − 𝟓. Uma expressão diz-se expressão algébrica racional fraccionária quando no divisor figura a variável. Exemplos:

𝟑𝒙 𝒙+𝟏 − 𝟒; 𝟐 . 𝒙−𝟐 𝒙 −𝟑

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 9

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). Uma expressão diz-se expressão algébrica irracional quando, sob sinal de radical, figura a variável. Exemplos: 𝟑 − √𝟐𝒙;

√𝒙𝟐 −𝟏 𝒙+𝟐

.

Transformações idênticas. Duas transformações ou expressões são idênticas se e só se os coeficientes dos termos do mesmo grau da incógnita são iguais. Exemplo: 𝑨(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 e 𝑩(𝒙) = (𝒂 + 𝟏)𝒙𝟐 + (𝒂 − 𝒃)𝒙 + (𝟐𝒄 + 𝒃). Quais são os valores 𝒂, 𝒃, 𝒄 para que as expressões 𝑨(𝒙) e 𝑩(𝒙) sejam iguais? ___________ 𝑎=2 𝑎=2 3=𝑎+1 𝑏 = 3 ⟹ { 𝑏 = 31 {−1 = 𝑎 − 𝑏 ⟹ {−1 = 2 − 𝑏 ⟹ { 2 = 2𝑐 + 3 𝑐 = −2 _________ 2 = 2𝑐 + 𝑏 Frações Racionais. Frações Racionais são expressões algébricas racionais fraccionárias, já definidas anteriormente. Domínio de existência. No domínio de existência de uma fração, olhamos para o denominador, o qual não pode ser nulo. Exemplos: 𝑨(𝒙) = 𝑩(𝒙) =

𝟑𝒙 − 𝟒; 𝒙−𝟐

𝑫𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 − 𝟐 ≠ 𝟎} = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≠ 𝟐}.

𝒙+𝟏 ; 𝑫 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙𝟐 − 𝟑 ≠ 𝟎} = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙𝟐 ≠ 𝟑} = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≠ ±√𝟑}. 𝒙𝟐 − 𝟑 𝑩

Simplificações de frações racionais. Exemplos: Simplifique as seguintes expressões. a) b) c)

(𝑥−2)(𝑥−2) 𝑥 2 −4𝑥+4 = = 𝑥 − 2. 𝑥−2 𝑥−2 2 (𝑥+2)(𝑥+2) 𝑥 +4𝑥+4 = = 𝑥 + 2. 𝑥+2 𝑥+2 2 3 2 𝑥(𝑥 −5𝑥+6) 𝑥 −5𝑥 +6𝑥 𝑥(𝑥−3)(𝑥−2) = 2(𝑥 2 −2𝑥−3) = 2(𝑥−3)(𝑥+1) 2𝑥 2 −4𝑥−6

𝑥(𝑥−2)

= 2(𝑥+1).

TO Resolver exercícios da ficha.

ESCOLA SECUNDÁRIA JOAQUIM CHISSANO 11ᵃ CLASSE. TURMAS: B01N-B05T. TRIMESTRE I. CURSOS: NOTURNO-DIURNO. UNIDADE TEMÁTICA: ÁLGEBRA

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 10

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). TEMA: OPERAÇõES COM POLINÓMIOS. Objectivos:  Operar com expressões racionais. Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro. Duração da aula: 90 minutos. Metodologia: Elaboração conjunta e método independente. ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO. Dados dois polinómios 𝐴(𝑥) 𝑒 𝐵(𝑥), calcula-se 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥): 1o. Ordena-se o polinómio se está desordenado. 2o. Associa-se os coeficientes dos termos do mesmo grau. Exemplo: 𝐴(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 e 𝐵(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 5. 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) = (2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 ) + (𝑥 3 + 𝑥 2 − 5). 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) = (2 + 1)𝑥 3 + (3 + 1)𝑥 2 + (−1 + 0)𝑥 + 4 − 5 = 3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 − 1. MULTIPLICAÇÃO. O produto de dois polinómios é o polinómio que se obtém multiplicando cada termo do 1o por cada termo do 2o polinómio e adicionando-se os monómios obtidos. Exemplo: 𝐴(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 − 4 𝑒 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 2 𝐴(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥) = (3𝑥 2 + 2𝑥 − 4) ∙ (𝑥 − 2) = 3𝑥 2 ∙ 𝑥 + 3𝑥 2 (−2) + 2𝑥 ∙ 𝑥 + 2𝑥 ∙ (−2) − 4 ∙ 𝑥 − 4 ∙ (−2) 𝐴(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥) = 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 2 − 4𝑥 − 4𝑥 + 8 = 3𝑥 3 − 4𝑥 2 − 8𝑥 + 8 DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS. A divisão de polinómios procede-se da mesma forma como se efectua a divisão de dois números naturais. 𝐷 = 𝑑 ∙ 𝑞 + 𝑟. Se o resto for zero, diz-se que a divisão é exata. Exemplo: Calcular o quociente e o resto da divisão. 𝐴(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 𝑒 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 1. 𝐷(𝑥)

𝑅(𝑥)

3𝑥 2 − 𝑥 + 4 −(3𝑥 2 − 3𝑥) 2𝑥 + 4 −(2𝑥 − 2) 6

𝑥−1 3𝑥 + 2

𝑑(𝑥) 𝑞(𝑥)

Regra de Briot-Ruffini. A regra de Ruffini consiste na divisão de um polinómio por um binómio do tipo 𝑥 − 𝑎. Exemplo: Calcular o quociente e o resto da divisão inteira de 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 por 𝑥 − 1.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 11

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). 3

−1 4 3 2 𝑅(𝑥) 3 2 6 Resposta: 𝑞(𝑥) = 3𝑥 + 2 e 𝑅(𝑥) = 6. 1

Teorema do resto. O teorema do resto diz que o resto da divisão de um polinómio 𝑃(𝑥) por um binómio do tipo 𝑥 − 𝑎 é igual a 𝑃(𝑎). Consequentemente, se 𝑃(𝑎) = 0 então 𝑃(𝑥) é divisivel por 𝑥 − 𝑎. Exemplo: Calcular o resto da divisão de 𝑃(𝑥) = 4𝑥 3 − 2𝑥 − 4 por 𝑥 − 3. 4 3 4

0 12 12

−2 36 34

−4 102 98

Resposta: 𝑞(𝑥) = 4𝑥 2 + 12𝑥 + 38 e 𝑅(𝑥) = 98, agora vamos usar o teorema do resto para depois comparar os resultados. 𝑃(𝑎) = 𝑃(3) = 4 ∙ 33 − 2 ∙ 3 − 4 = 98, e sem dúvida são iguais.

Exercícios: Resolver exercícios da ficha.

Beira, 16 de Março de 2016.

ESCOLA JOÃO XXIII 11ᵃ CLASSE. TURMA: 113. TRIMESTRE I. CURSO-DIURNO-MANHÃ OITAVA SEMANA DE AULAS (28.03.2016 - 01.04.2016) Disciplina: Matemática Unidade Temática: ÁLGEBRA Tema: EQUAÇõES DO 3O GRAU E EQUAÇõES QUE SE REDUZEM A EQUAÇõES

QUADRÁTICAS. Objectivos: 

Identificar e encontrar a solução de uma equação do 3o grau.



Identificar e resolver as equações que se reduzem a equações quadráticas.

Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro. Duração da aula: 90 minutos Metodologia: Elaboração conjunta e método independente. Bibliografia: FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos editoras, Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 12

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). Professor: João Matangue Arone.

Beira, 29 de Março de 2016.

Uma equação do 3o grau (equação cúbica) é do tipo 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0. Uma equação do terceiro grau se tem raizes reais, então pelo menos uma das raizes é divisor (divide) o termo independente (d). Exemplos: Resolver as seguintes equações: 1) 𝑥 3 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥(𝑥 2 − 1) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 2 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = ±1 𝑆 = {−1; 0; 1} 3 2 2) 3𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 − 6 = 0; é visivel aqui que 1 é uma solução desta equação. Vamos aplicar a regra de Ruffini e depois o teorema do resto. 3 1 3

2 3 5

1 5 6

−6 6 0

𝑅(𝑥) 𝑞(𝑥) = 3𝑥 + 5𝑥 + 6; esta é uma equação do segundo grau, a qual sabemos bem como resolver. 3𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 − 6 = (3𝑥 2 + 5𝑥 + 6)(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 3𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 ∨ 𝑥 − 1 = 0. ∆= 25 − 4 ∙ 3 ∙ 6 = 25 − 72 = −47 < 0; logo a equação quadrática não tem raizes reais. Portanto a equação cúbica tem apenas uma solução. 𝑆 = {1}. 3) 2𝑥 3 − 8𝑥 2 + 2𝑥 + 12 = 0 ⟹ 2(𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6) = 0 ⟹ 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0 ⟹ 𝑥1 = −1 ∨ 𝑥2 = 2 ∨ 𝑥3 = 3. 𝑆 = {−1; 2; 3}. 2

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 13

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

Equações biquadráticas As equações biquadráticas são as equações do tipo 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 = 0. Fazendo 𝑥 2 = 𝑡, a equação transforma-se em 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0. Exemplo1: 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 6 = 0; Seja: 𝑥 2 = 𝑡, então: 𝑡 2 − 5𝑡 + 6 = 0 ⟺ (𝑡 − 2)(𝑡 − 3) = 0 𝑡 − 2 = 0 ∨ 𝑡 − 3 = 0 ⟺ 𝑡 = 2 ∨ 𝑡 = 3 e para encontrar o valor de 𝑥, substitui-se 𝑡 na equação 𝑥 2 = 𝑡. Assim: 𝑥 2 = 2 𝑜𝑢 𝑥 2 = 3 ⟹ 𝑥 = ±√2 𝑜𝑢 𝑥 = ±√3. 𝑆 = {−√3; −√2; √2; √3}. Exemplo2: 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 0; Seja: 𝑥 2 = 𝑡, então: 𝑡 2 − 5𝑡 + 4 = 0 ⟺ (𝑡 − 1)(𝑡 − 4) = 0 𝑡 − 1 = 0 ∨ 𝑡 − 4 = 0 ⟺ 𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = 4 e para encontrar o valor de 𝑥, substitui-se 𝑡 na equação 𝑥 2 = 𝑡. Assim: 𝑥 2 = 1 𝑜𝑢 𝑥 2 = 4 ⟹ 𝑥 = ±√1 𝑜𝑢 𝑥 = ±√4 ⟹ 𝑥 = ±1 𝑜𝑢 𝑥 = ±2. 𝑺 = {−𝟐; −𝟏; 𝟏; 𝟐}. Equações com radicais. Uma equação diz-se irracional quando a incógnita está sujeita a um sinal de raiz ou a um expoente fraccionário.

Resolução de uma equação irracional. 1) Se √𝐴 = 𝐵 então 𝐴 = 𝐵 2com 𝐴, 𝐵 ≥ 0. 𝟏

Exemplo: √𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟒 com 𝟑𝒙 + 𝟏 ≥ 𝟎 ⟺ 𝒙 ≥ − 𝟑 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟒𝟐 ⟹ 𝟑𝒙 = 𝟏𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟓. 𝑺 = {𝟓} 2) Se √𝐴 + √𝐵 = 0 então 𝐴 = 0 𝑒 𝐵 = 0. Exemplo: √𝟑𝒙 − 𝟔 + √𝒙 − 𝟐 = 𝟎 com 𝟑𝒙 − 𝟔 ≥ 𝟎 ⟺ 𝒙 − 𝟐 ≥ 𝟎 𝑫 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≥ 𝟐 ∧ 𝒙 ≥ 𝟐} ⟺ 𝑫 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≥ 𝟐} 𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝟎 ∧ 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⟺ 𝒙 = 𝟐 ∧ 𝒙 = 𝟐. 𝑺 = {𝟐} 3) Se √𝐴 = √𝐵 então 𝐴 = 𝐵. 3

√𝟒𝒙 − 𝟑 = √𝒙 com 𝑥 ≥ 0 ∧ 4𝑥 − 3 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 ≥ 4 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝟑𝒙 = 𝟑 ⟹ 𝒙 = 𝟏;

𝑺 = {𝟏}.

EXERCÍCIOS ESTÃO NA FICHA.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 14

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

Tema: Sistemas de equações lineares Sistemas de equações lineares a 2 incógnitas (revisão).

SEGUNDO TRIMESTRE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de equação exponencial toda equação na qual a incógnita aparece no expoente. Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 15

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

Exemplos de equações exponenciais: 1) 3x =81 (a solução é x=4) 2) 2x-5=16 (a solução é x=9) 3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1) 4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1) Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade:

a m  a n  m  n (a  1 e a  0) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) 3x=81 Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34 E daí, x=4. 2) 9x = 1 Resolução: 9x = 1  9x = 90 ; logo x=0. x

81 3 3)    256 4 x

x

x

4

81 34 3 3 3 3 Resolução :        4       ; então x  4. 256 4 4 4 4 4 4) 3 x  4 27 3 4

Resolução : 3  27  3  3  3  3 ; logo x  x

4

x

4

3

x

3 4

5) 23x-1 = 322x Resolução: 23x-1 = 322x  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; daí 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟏𝟎𝒙 ⟹ 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏 ⟹ −𝟕𝒙 = 𝟏 ⟹ 𝒙 = −𝟕 de onde x=-1/7. 6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 16

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: 32x–6.3x–27=0  (3x)2-6.3x–27=0 Fazendo 3x=y, obtemos: y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos  y’=-3 e y’’=9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y: y’=-3  3x’ = -3  não existe x’, pois potência de base positiva é positiva y’’=9  3x’’ = 9  3x’’ = 32  x’’=2 Portanto a solução é x=2

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 01) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

X y

-2 ¼

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 17

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0
-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a rel="nofollow">1

0
f(x) é crescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 rel="nofollow">x1  y2>y1 (as desigualdades têm

f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2
Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 18

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

mesmo sentido)

sentidos diferentes)

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece no expoente. Exemplos de inequações exponenciais: 1) 3 x  81 (a solução é x  4) 2) 2 2x-2  2 x

2

1

(que é satisfeita para todo x real) 3

x

4 4 3)      (que é satisfeita para x  -3) 5 5 4) 25 x - 150.5 x  3125  0 (que é satisfeita para 2  x  3)

Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1

0
a rel="nofollow"> a  m>n

a > an  m
(as desigualdades têm mesmo sentido)

(as desigualdades têm sentidos diferentes)

m

n

m

EXERCÍCIO RESOLVIDO:

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 19

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

1) 4 x 1  4 x  4 x 1 

 11 4

Resolução : 4x  11 A inequação pode ser escrita  4 x  4 x .4  . 4 4 Multiplica ndo ambos os lados por 4 temos : 4 x  4.4 x  16.4 x  11 , ou seja : (1  4  16).4 x  11  -11.4 x  11 e daí, 4 x  1 Porém, 4 x  1  4 x  4 0. Como a base (4) é maior que 1, obtemos : 4 x  40  x  0 Portanto S  IR - (reais negativos)

ESCOLA JOÃO XXIII SEXTA SEMANA DE AULAS (22.06.2015-26.06.2015) UNIDADE TEMÁTICA: EQUAÇÕES E ENEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS TEMA: NOÇÃO DE LOGARITMO -COLOGARITMO E ANTILOGARITMO Noção de logaritmo Para 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, a função logarítmica com base 𝑎 representa-se por: 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥, sendo log 𝑎 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑎 𝑦 = 𝑥. Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 20

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). Existem logaritmos de bases especiais, que são logaritmos de base dez (log10 𝑥 = log 𝑥) e logaritmos de base natural ( log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥), com 𝑒 = 2,718 … Propriedades de logaritmos 1) log 𝑎 𝑎 = 1 2) Logaritmo de uma potência (o logaritmo de uma potência, é igual ao produto dessa potência pelo logaritmo). log 𝑐 𝑎𝑛 = 𝑛 log 𝑐 𝑎 3) Logaritmo de um produto ( o produto de um logaritmo é igual a soma de seus logaritmos); log 𝑐 𝑎. 𝑏 = log 𝑐 𝑎 + log 𝑐 𝑏 4) Logaritmo de um quociente ( o logaritmo de um quociente é igual a diferença dos 𝑎

logaritmos). log 𝑐 (𝑏) = log 𝑐 𝑎 − log 𝑐 𝑏 1

5) log 𝑐 𝑎 𝑏 = 𝑎 log 𝑐 𝑏 6) 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 COLOGARITMO O estudo do cologaritmo tem sua principal “raiz” o estudo dos logaritmos e suas propriedades operacionais. Define-se cologaritmo de um número real pelo oposto de seu logaritmo. A sua definição 1

algébrica, é: 𝑐𝑜 log 𝑏 𝑎 = − log 𝑏 𝑎 = log 𝑏 (𝑎), desde que: 𝑎 > 0; 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1. Exemplos: calcule a) 𝑐𝑜 log 4 64; b) 𝑐𝑜 log 3 27; c) 𝑐𝑜 log 0,001 Resolução: 1

1

a) 𝑐𝑜 log 4 64 = log 4 (64) = 𝑥 ⟺ 4𝑥 = 64 ⟺ 4𝑥 = 4−3 ⟺ 𝑥 = −3 b) 𝑐𝑜 log 3 27 = − log 3 27. C.a: log 3 27 = 𝑥 ⟺ 3𝑥 = 27 ⟺ 3𝑥 = 33 ⟺ 𝑥 = 3 ⟹ 𝑐𝑜 log 3 27 = −3 c) 𝑐𝑜 log 0,001 = − log 0,001. C.a: log 0,001 = 𝑥 ⟺ 10𝑥 = 0,001 ⟺ 10𝑥 = 10−3 ⟺ 𝑥 = −3 ⟹ 𝑐𝑜 log 0,001 = 3 ou então: 𝑐𝑜 log 0,001 = − log 0,001 = − log 10−3 = −(−3) log10 10 = 3 Antilogaritmo A função antilogarítmica é a função inversa da função logarítmica. Por exemplo, o logaritmo de 100000 na base 10 é 5 e o antilogaritmo de 5 na base 10 é 100000. A sua definição algébrica, é: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 𝑏 𝑥 = 𝑏 𝑥 , com 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑥 ∈ ℝ. Ou seja: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 𝑏 𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏 𝑎 = 𝑥.  𝑎𝑛𝑡𝑖 log 𝑏 log 𝑏 𝑥 = 𝑥  log 𝑏 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 𝑏 𝑥 = 𝑥 Exemplo1: Calcule o valor de 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 5 2

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 21

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). Resolução: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 5 2 = 52 = 25 Prova: log 5 25 = 𝑥 ⟺ 5𝑥 = 25 ⟺ 5𝑥 = 52 ⟺ 𝑥 = 2. 25 é logaritmando de um logaritmo de base 5 e deve ser igual a 2, que é o logaritmando do antilogaritmo. Exemplo2: Calcule o valor de 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 6 log 2 16 Resolução: C.a: log 2 16 = 𝑥 ⟺ 2𝑥 = 16 ⟺ 2𝑥 = 24 ⟺ 𝑥 = 4; dai: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 6 log 2 16 = 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 6 4 = 64 = 6 ∗ 6 ∗ 6 ∗ 6 = 1296 Exemplo3: Defina o conjunto solução da expressão: 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 3 log 1 512 = 2𝑥 + 5. 8

1 𝑡

C.a: log 1 512 = 𝑡 ⟺ (8) = 512 ⟺ 8−𝑡 = 83 ⟺ 𝑡 = −3; portanto: 8

1

1

𝑎𝑛𝑡𝑖 log 3 log 1 512 = 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 3 −3 = 3−3 = 27 ⟹ 27 = 2𝑥 + 5 ⟹ 𝑥 ≅ −2,5. 8

EXERCÍCIOS 1. a) b) c) d)

Resolve as seguintes equações: 𝑐𝑜 log 3 9 = 𝑥 𝑐𝑜 log 3 𝑥 = 2 𝑐𝑜 log 2 𝑥 − 1 = 3 𝑎𝑛𝑡𝑖 log 6 4 = 𝑥 − 296

ESCOLA JOÃO XXIII

11ᵃ Classe. Turma: 115. Trimestre II. Curso-diurno-manhã Disciplina: Matemática Unidade Temática: Geometria analítica no plano Tema: Conceitos gerais sobre vectores Objectivos:  Determinar a norma de um vector no plano.  Escrever as coordenadas e as componentes de um vector no plano. Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro e papel quadriculado. Duração da aula: 90 minutos Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 22

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

Professor: João Matangue Arone

Beira, 14 de Julho de 2015 Geometria analítica A geometria analítica tem por objectivo a tradução da linguagem geométrica para a linguagem analítica ou algébrica e vice-versa, isto é, estuda as propriedades das figuras geométricas com a ajuda de cálculos ou de métodos analíticos. Conceitos gerais sobre vectores O conceito de vector é muitas vezes usado nas ciências físicas e matemáticas. Na física, os vectores podem representar grandezas, tais como força, velocidade, aceleração, etc. Estas grandezas dizem-se grandezas vectoriais. Na matemática, os vectores são caracterizados por: Uma origem Uma extremidade Uma direcção

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 23

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes). Um sentido Um comprimento Em geral, os vectores são representados por letras minúsculas com uma seta por cima. Exemplo: ⃗ , ⃗𝒃, 𝒄, ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅, … ) (𝒂 ⃗ definido pelo segmento de recta orientado [A, B] representa-se por ⃗⃗⃗⃗⃗ O vector 𝒂 𝐴𝐵 e pode escrever-se: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 = 𝐴𝐵.

O ponto A é geralmente denominado por ponto de aplicação ou origem e o ponto B por extremidade ou ponto final. O vector nulo, é um vector que tem direcção e sentidos indeterminados e comprimento zero. Este vector representa-se por ⃗𝟎 . A medida do comprimento de um vector é designada por comprimento ou norma ou tamanho ou módulo do vector. A norma de um vector 𝒂 ⃗ representa-se por ‖𝒂 ⃗ ‖ e lê-se norma do vector 𝒂 ⃗.

Exemplo: Indique o sentido e a direcção e determine o comprimento de cada um dos vectores representados na figura:

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 24

A verdade alivia mais do que machuca. E estará sempre acima de qualquer falsidade como o óleo sobre a água. (Miguel de Cervantes).

Resolução: ‖𝑎‖ = 3

Pela observação da figura.

‖𝑏⃗‖ = √22 + 22 = √4 + 4 = √8 = 2√2 ‖𝑐 ‖ = √32 + 22 = √9 + 4 = √13

Pela aplicação do teorema de pitagoras.

Pela aplicação do teorema de pitagoras.

TPC Determine o comprimento de cada um dos vectores representados na figura, e indicar as coordenadas dos pontos da origem e da extremidade de cada vector.

Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 25