Aplicatii Care Genereaza Numere_02.pdf

Mihai Baciu * AplicaŃii care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea

Corectură, coperta şi tehnoredactarea computerizată: Lucian Manoilă

Descrierea CIP a Bibliotecii NaŃionale a României BACIU, MIHAI AplicaŃii care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea / Baciu Mihai. - Cluj Napoca : Poliam, 2012 ISBN 978-973-87940-2-3 51

© Mihai Baciu, 2012 Orice valorificare a conŃinutului în afara Legii nr.8/1996 este interzisă.

Timbrul literar se virează la Uniunea Scriitorilor din România, cont 2511.1-171.1/ROL, BCR, Filiala Sectorului 1, Bucureşti TIPĂRIT Editura Poliam Cluj-Napoca

Mihai Baciu

APLICAłII CARE GENEREAZĂ NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA

Editura POLIAM 2012

Motto: „Dovedim prin logică, dar prin intuiŃie descoperim”. (Jules Henri Poincaré)

Fiului meu, Andrei.

INTRODUCERE Din antichitate până în prezent, numeroşi autori şi-au îndreptat atenŃia către un număr cu proprietăŃi interesante, Numărul de aur sau SecŃiunea de aur. Acest număr face parte dintr-o clasă de numere, fiind primul dintr-un şir de numere care au între ele proprietăŃi similare. Al doilea număr al şirului este Numărul de argint, mai puŃin cunoscut decât Numărul de aur. Începând cu al treilea număr al şirului, în ordine crescătoare, numerele la care facem referire nu au primit o denumire proprie (este imposibil acest lucru pentru toată clasa de numere, având în vedere că aceasta este o mulŃime infinită). Lucrarea a apărut din dorinŃa iniŃială de a sistematiza numeroasele şi diversele informaŃii referitoare la Numărul de aur. Acest număr este o constantă caracteristică unor sisteme matematice, fizice şi biologice, reprezentând raportul unor mărimi caracteristice ale acestora. În organismele vii, el se manifestă ca raport între

-6-

măsurile determinate la un moment dat, ale unor anumite părŃi ale acestora. Fiind considerat armonios, raportul Numărului de aur este utilizat la „punerea în proporŃie” a operelor de artă. Această lucrare prezintă pe larg o serie de aplicaŃii ale şirului de numere mai sus menŃionat, în geometrie şi fizică. AplicaŃiile geometrice constau dintr-o mulŃime de figuri geometrice are au proprietatea că măsurile a două elemente segmentale sau unghiulare ale figurii, au ca raport unul dintre numerele care compun acest şir. Aşa cum voi explica în secŃiunea 5, pentru denumirea generală a acestor numere, m-am orientat către una dintre aplicaŃiile lor geometrice: dreptunghiurile ce au ca valoare a raportului măsurilor lungime / lăŃime, unul dintre numerele în cauză. Această clasă de dreptunghiuri am denumit-o „dreptunghiuri cu rest asemenea”. Am ales pentru numerele la care ne referim denumirea de „numere dreptunghiulare cu rest asemenea”, având în vedere că aceste numere reflectă principala proprietate – ecuaŃia de definire, în dreptunghiurile cu rest asemenea. Cu alte cuvinte, dreptunghiurile cu rest asemenea constituie reprezentarea geometrică a numerelor de referinŃă.

-7-

AplicaŃiile în fizică care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea, constau în circuite electrice cu rezistori şi condensatori, care au proprietatea că raportul măsurilor a două mărimi caracteristice ale circuitelor, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea. În lucrare sunt definite numerele dreptunghiulare cu rest asemenea, proprietatea de comodulare, precum şi noi aplicaŃii ale acestor numere: Triunghiurile alfa n, beta n şi gama n, pentru n≥2, delta α n, Dreptunghiurile cu rest asemenea, Piramidele regulate clasele A, B, C, D, E şi F, Conurile circulare drepte clasele A şi B, Piramidele icosaedrale şi dedocaedrale, Triunghiurile epsilon n, zeta n, eta n şi teta γ n, Circuitele electrice cu rezistori Ψn.m (r), pentru n≥2 şi Circuitele electrice cu condensatori Ψn.m (c). În finalul fiecărei aplicaŃii analizate, sunt prezentate proprietăŃile particulare ale acestora. În unele cazuri, aceste proprietăŃi sunt prezentate sub denumirea concluzii. Sper ca lucrarea de faŃă să ofere o nouă perspectivă asupra acestei clase de numere.

I. APLICAłII GEOMETRICE CARE GENEREAZĂ NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA

A. APLICAłII GEOMETRICE SEGMENTALE CARE GENEREAZĂ NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA

- 13 -

1. NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA. DEFINIłIA GENERALĂ. ECUAłIA GENERALĂ. VALORI. FORMULA GENERALĂ. DEFINIłII PARTICULARE

Numerele dreptunghiulare cu rest asemenea sunt constituite din şirul de numere pozitive care satisfac ecuaŃia: 1 x = n + , n∈N x sau x2 – nx –1 = 0 , n∈N Aceste ecuaŃii reprezintă ecuaŃiile generale ale numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea. Propun ca notaŃie generală a acestor numere, litera grecească psi minusculă, ψ. Pentru n dat obŃinem o valoare corespunzătoare pentru ψn. Primele 20 de numere dreptunghiulare cu rest asemenea sunt următoarele: 1+4 1+ 5 = = 1¸618033989... = φ 2 2 (Numărul de aur); ψ1 =

1+

- 14 -

4+4 2+ 8 = = 1 + 2 = 2¸414213562... = θ 2 2 (Numărul de argint);

ψ2 =

ψ3 =

ψ4 =

ψ5 =

ψ6 =

ψ7 =

ψ8 =

ψ9 =

2+

3+

9 + 4 3 + 13 = = 3¸302775638... 2 2

4+

16 + 4 4 + 20 = = 2 + 5 = 4¸236067978... 2 2

5+

25 + 4 5 + 29 = = 5¸192582404... 2 2

6+

36 + 4 6 + 40 = = 3 + 10 = 6¸16227766... 2 2

7+

49 + 4 7 + 53 = = 7¸140054945... 2 2

8+

64 + 4 8 + 68 = = 4 + 17 = 8¸123105626... 2 2

9+

81 + 4 9 + 85 = = 9¸109772229... 2 2

ψ10 =

10 +

100 + 4 10 + 104 = = 5 + 126 = 2 2

=10,09901915... ψ11 =

11 +

121 + 4 11 + 125 = = 11¸09016994... 2 2

- 15 -

ψ12 =

ψ13 =

ψ14 =

ψ15 =

144 + 4 12 + 148 = = 6 + 37 = 12¸08276253... 2 2

13 +

169 + 4 13 + 173 = = 13¸07647322... 2 2

14 +

196 + 4 14 + 200 = = 7 + 50 = 14¸07106781... 2 2

15 + 225 + 4 15 + 229 = = 15, 618033989... 2 2

ψ16 =

ψ17 =

ψ18 =

ψ19 =

12 +

16 +

256 + 4 16 + 260 = = 8 + 65 = 16¸06225775... 2 2

17 +

289 + 4 17 + 293 = = 17¸05862138... 2 2

18 +

324 + 4 18 + 328 = = 9 + 82 = 18¸05538514... 2 2

19 + 361 + 4 19 + 365 = = 19, 05248659... 2 2

400 + 4 20 + 404 = = 10 + 101 = 2 2 =20,04987562... ....................................... Formula generală a numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea este deci:

ψ20 =

20 +

- 16 -

ψn =

n+ n 2 +4 , n∈N 2

Primele două numere ale acestui şir au nume consacrate: Numărul de aur şi Numărul de argint. Următoarele numere le vom denumi în raport cu rangul lor: Numărul dreptunghiular cu rest asemenea de rang 3, Numărul dreptunghiular cu rest asemenea de rang 4, ... EcuaŃiile anterioare mai pot fi scrise şi sub forma: x–n=

1 x

sau x – x =

1 x

unde x reprezintă partea întreagă a numărului x. DiferenŃa x – x

reprezintă partea zecimală a

numărului x. Să notăm cu ψ toate numerele care satisfac ultima ecuaŃie. Această ecuaŃie devine: ψ– ψ =

1 ψ

Din relaŃia de mai sus, putem deduce o nouă definiŃie a numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea: Numerele dreptunghiulare cu rest asemenea sunt numerele care au proprietatea că partea lor zecimală este egală cu inversul numerelor.

- 17 -

Conform celor mai sus menŃionate, putem defini oricare dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea. Numărul de aur ψ1 = φ, este numărul cu proprietatea că partea lui zecimală este egală cu inversul numărului, iar partea întreagă este egală cu unitatea. Numărul de argint ψ2 = θ, este numărul cu proprietatea că partea lui zecimală este egală cu inversul numărului, iar partea întreagă este egală cu 2. Pentru celelalte numere ale seriei, ψ3, ψ4, ψ5 ... definiŃiile sunt aceleaşi, ele diferenŃiindu-se prin partea întreagă corespunzătoare, 3, 4, 5 ... Aceste numere au şi alte proprietăŃi care vor fi prezentate în secŃiunea 16.2 a lucrării.

- 19 -

2. PROPRIETĂłI ALE APLICAłIILOR GEOMETRICE CARE GENEREAZĂ NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA Aşa cum am arătat în introducere, aplicaŃiile geometrice segmentare care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea, constau dintr-o mulŃime de figuri geometrice care au proprietatea că măsurile a două elemente segmentale sau unghiulare, au ca raport unul dintre aceste numere. Aceste rapoarte sunt proprietăŃi consecinŃă (efecte) ale unei alte proprietăŃi şi anume relaŃia de asemănare. RelaŃia de asemănare se scrie sub formă de proporŃie. Făcând produsul mezilor cu al extremilor, rezultă o nouă relaŃie, care reprezintă o egalitate între produsele măsurilor unor elemente unidimensionale. Aceste produse reprezentând arii ale unor figuri geometrice, relaŃia se numeşte relaŃie de echivalenŃă a ariilor. RelaŃia de asemănare, respectiv relaŃia de echivalenŃă a ariilor, sunt deci proprietăŃi generale ale aplicaŃiilor geometrice ale numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 20 -

O altă proprietate a aplicaŃiilor geometrice ale numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, pe care o întâlnim într-o măsură destul de importantă în aplicaŃiile geometrice segmentale este comodularea. Din acest motiv, vom prezenta aici câteva definiŃii legate de comodulare. Comodularea sau relaŃia de comodulare, este proprietatea unui sistem, constând în aceea că sistemul poate fi descompus în entităŃi identice, numite comodule. Comodulul reprezintă una dintre părŃile identice care pot alcătui un sistem. Comodularea geometrică sau relaŃia de comodulare geometrică, este proprietatea unei figuri geometrice, constând în faptul că figura poate fi descompusă în elemente egale şi/sau figuri congruente, numite comodule geometrice. Comodulul geometric reprezintă una dintre părŃile maxime şi identice care pot alcătui o figură geometrică. Prin parte se înŃeleg fie un element al figurii, fie o figură ce compune o figură geometrică dată. Numărul de comodule al unei figuri geometrice este egal cu ordinul de simetrie, în cazul figurilor geometrice simetrice în raport cu punct sau o axă.

- 21 -

3. APLICAłIILE 1: SEGMENTUL DE DREAPTĂ ÎMPĂRłIT PRINTR-UN PUNCT. CIRCUMFERINłA CERCULUI ÎMPĂRłITĂ PRIN DOUĂ PUNCTE În această secŃiune vom analiza cazurile de împărŃire a segmentului de dreaptă sau a circumferinŃei cercului în două părŃi inegale, astfel încât raportul dintre măsura părŃii mai mari, numită parte majoră şi măsura părŃii mai mici, numită parte minoră, să fie egal cu un număr dreptunghiular cu rest asemenea. O figură geometrică, numită în continuare şi aplicaŃie geometrică, este un sistem geometric alcătuit din elemente geometrice; elementele geometrice pot fi segmentul (elemente segmentale) sau unghiul (elemente unghiulare). Conform definiŃiei mai sus menŃionate, orice compunere de elemente geometrice, alcătuieşte o figură geometrică. În această accepŃiune, segmentul de dreaptă împărŃit printr-un punct, este o figură geometrică.

- 22 -

3.1. SEGMENTUL DE DREAPTĂ ÎMPĂRłIT ÎN RAPORTUL ψn Fie un segment de dreaptă AB împărŃit printr-un punct C, situat între punctele A şi B, astfel încât să rezulte două părŃi inegale: partea majoră, notată prin M şi partea minoră, notată prin m.

Fig. 1. Segmentul de dreaptă împărŃit în două părŃi inegale.

Cazul 1: Întregul segment se raportează la segmentul major, aşa cum segmentul major se raportează la segmentul minor. Figura o vom numi Segmentul de dreaptă împărŃit în raportul ψ1 sau Segmentul de dreaptă împărŃit în medie şi extremă raŃie, conform denumirii date de către Euclid. Transpus sub formă de ecuaŃie, cazul 1 devine: M+m M = M m Notând M/m=x, ecuaŃia de mai sus devine: x2 – x – 1 = 0

- 23 -

a cărei soluŃie este

M 1+ 5 = ψ1 = φ = m 2

EcuaŃia în M şi m mai poate fi scrisă sub forma: M2 = (M + m)m SemnificaŃia geometrică a acestei relaŃii este următoarea: aria pătratului de latură M este egală cu aria dreptunghiului de lungime M+m şi lăŃime m.

Fig. 2. SemnificaŃia geometrică a împărŃirii unui segment în raportul de aur.

Cazul 2: Întregul segment plus segmentul major, se raportează la segmentul major, aşa cum segmentul major se raportează la segmentul minor. Transpus sub formă de ecuaŃie, cazul 2 devine:

- 24 -

M+M+m M = m M 2M + m M = M m Notând

M = x, această ecuaŃie devine: m x2 – 2x – 1 = 0

a cărei soluŃie este

M = ψ2 = θ = 1+ 2 . m

EcuaŃia în M şi m mai poate fi scrisă sub forma: M2 = (2M + m)m SemnificaŃia geometrică a acestei relaŃii este următoarea: aria pătratului de latură M este egală cu aria dreptunghiului de lungime 2M+m şi lăŃime m.

Fig. 3. SemnificaŃia geometrică a împărŃirii unui segment în raportul de argint.

- 25 -

Cazul 3: Întregul segment plus de două ori segmentul major, se raportează la segmentul major, aşa cum segmentul major se raportează la segmentul minor. Din cazurile 1-3, putem deduce cazul general al împărŃirii asimetrice al unui segment de dreaptă. Cazul n: Întregul segment plus de n–1 ori segmentul major, se raportează la segmentul major, aşa cum segmentul major se raportează la segmentul minor. Transpus sub formă de ecuaŃie, cazul devine:

(n–1)M + M + m = M M

m

nM–M + M + m M = M m nM + m M = m M Notând

M = x, această ecuaŃie anterioară devine: m x2 – nx – 1 = 0 , n∈N

M n+ n 2 +4 =ψ n = , n∈N m 2

- 26 -

Concluzie: Segmentele de dreaptă pot fi împărŃite printr-un punct, astfel încât raportul dintre măsura segmentului major şi măsura segmentului minor, să fie egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

3.2. CIRCUMFERINłA CERCULUI ÎMPĂRłITĂ ÎN DOUĂ ARCE DE CERC DE RAPORT ψn Să împărŃim circumferinŃa cercului în două segmente inegale: partea majoră, notată prin M şi partea minoră, notată prin m. Dacă unim capetele comune ale celor două arce de cerc A şi B cu centrul cercului, se obŃin două unghiuri la centru.

Fig. 4. CircumferinŃa cercului şi cercul împărŃite în două părŃi inegale.

- 27 -

Cazul 1: CircumferinŃa cercului se raportează la lungimea arcului de cerc major, aşa cum lungimea arcului de cerc major se raportează la lungimea arcului de cerc minor. Similar segmentului de dreaptă, M 1+ 5 = ψ1 = φ = m 2 Cazul 2: CircumferinŃa cercului la care se adaugă lungimea arcului de cerc major se raportează la lungimea arcului de cerc major, aşa cum lungimea arcului de cerc major se raportează la lungimea arcului de cerc minor. Analog segmentul de dreaptă, M = ψ2 = θ = 1+ 2 m Având în vedere aceeaşi analogie, putem defini cazul n: Cazul n: CircumferinŃa cercului la care se adaugă de n – 1 ori lungimea arcului de cerc major se raportează la lungimea arcului de cerc major, aşa cum lungimea arcului de cerc major se raportează la lungimea arcului de cerc minor.

M n+ n 2 +4 =ψ n = , n∈N m 2

- 28 -

Se observă că odată cu împărŃirea circumferinŃei cercului, are loc o împărŃire a unghiului la centru corespunzător circumferinŃei cercului, în două unghiuri la centru corespunzătoare împărŃirii în M şi totodată o două arce inegale în raportul m împărŃire a suprafeŃei cercului în două sectoare de M cerc având ariile în acelaşi raport (suprafeŃele m sectoarelor de cerc sunt proporŃionale cu lungimile arcelor de cerc corespunzătoare). Concluzie: CircumferinŃa cercului poate fi împărŃită în două arce de cerc, astfel încât raportul dintre măsura lungimii arcului de cerc major şi măsura lungimii arcului de cerc minor, să fie egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea. MenŃionăm că Sectorul de cerc parte majoră rezultat din împărŃirea cercului în două sectoare de cerc, astfel încât raportul dintre aria sectorului de cerc major şi aria sectorului de cerc minor, să fie egală cu ψn, îl vom mai întâlni în cadrul aplicaŃiilor dedicate conurilor circulare drepte.

- 29 -

4. APLICAłIILE 2: TRIUNGHIURI În această secŃiune triunghiuri în care elemente segmentale număr dreptunghiular

vom analiza cazurile de raportul măsurilor unor (laturi), este egal cu un cu rest asemenea.

4.1. TRIUNGHIURI ISOSCELE Cazul 1.1: Să se construiască un triunghi isoscel cu unghiul opus bazei ascuŃit, astfel încât: – Pe una din laturile majore se ia măsura bazei, începând de la vârful opus bazei; – Unim punctul mai sus determinat cu vârful de la baza triunghiului, opus laturii pe care am determinat punctul; – Triunghiul format la baza triunghiului iniŃial, să fie asemenea cu triunghiul iniŃial. Vom numi triunghiul Triunghi alfa 1.

astfel

obŃinut

(∆ABC),

- 30 -

Fig. 5. Triunghiul alfa 1.

Dacă cele două triunghiuri în analiză sunt asemenea (∆ABC~ ∆BCD), înseamnă că triunghiul de la baza triunghiului iniŃial este şi el isoscel. Scriem raportul de asemănare în modul următor: l b = b l–b l2 – lb = b2 l2 l − −1 = 0 b2 b Am găsit ecuaŃia Numărului de aur, deci:

- 31 -

1+ 5 l = ψ1 = φ = b 2 Observăm că triunghiul de la vârful triunghiului dat este şi el isoscel, ceea ce înseamnă că A = ABD = DBC. Scriem suma unghiurilor în triunghiul ABC: A + B + C = 1800 α + 2α + 2α = 180° 5α = 180° sau α = 36° ProprietăŃile specifice Triunghiului alfa 1: 1. Raportul dintre măsurile laturii şi bazei triunghiului, este egal cu Numărul de aur; 2. Triunghiul conŃine Segmentul împărŃit în raportul AD Numărului de aur ( = φ); DC 3. Comodulare (comodulul este α = 36°). Cazul 1.2: Să se construiască un triunghi isoscel cu unghiul opus bazei ascuŃit, astfel încât: – Pe una din laturile majore se ia de două ori măsura bazei, începând de la vârful opus bazei; – Unim punctul mai sus determinat cu vârful de la baza triunghiului, opus laturii pe care am determinat punctul; – Triunghiul format la baza triunghiului iniŃial, să fie asemenea cu triunghiul iniŃial.

- 32 -

Vom numi triunghiul Triunghi alfa 2.

astfel

obŃinut

(∆ABC),

Fig. 6. Triunghiul alfa 2.

Dacă cele două triunghiuri supuse atenŃiei sunt asemenea (∆ABC~∆BCD), înseamnă că triunghiul de la baza triunghiului iniŃial este şi el isoscel. Scriem raportul de asemănare astfel: l b = b l–2b l2 – 2bl = b2

- 33 -

l2 l − 2 −1 = 0 2 b b Am găsit ecuaŃia Numărului de argint, deci: l = ψ2 = θ = 1 + 2 b Proprietatea specifică Triunghiului alfa 2: Raportul dintre măsurile laturii şi triunghiului, este egal cu Numărul de argint. Următoarele anterioare.

cazuri

sunt

similare

bazei

cazurilor

Cazul 1.n: Să se construiască un triunghi isoscel cu unghiul opus bazei ascuŃit, astfel încât: – Pe una din laturile majore se ia de n ori măsura bazei, începând de la vârful opus bazei; – Unim punctul mai sus determinat cu vârful de la baza triunghiului, opus laturii pe care am determinat punctul; – Triunghiul format la baza triunghiului iniŃial, să fie asemenea cu triunghiul iniŃial. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghi alfa n. Raportul de asemănare din cazurile anterioare devine: b l = b l–nb

- 34 -

care conduce la ecuaŃia: l2 l − n −1 = 0 2 b b Am găsit ecuaŃia generală a numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, deci:

1 n+ n 2 +4 =ψ n = b 2 Proprietatea specifică Triunghiului alfa n: Raportul dintre măsurile laturii şi triunghiului, este egal cu ψn =

n+

bazei

2

n +4 , n∈N . 2

Cazul 2: Să se construiască un triunghi isoscel cu unghiul opus bazei obtuz, astfel încât: – Pe bază se ia măsura laturii minore, începând de la unul din vârfuri; – Unim punctul mai sus determinat cu vârful opus bazei; – Vârful opus bazei, punctul determinat anterior şi vârful triunghiului iniŃial opus celui din care s-a luat măsura laturii minore, determină un triunghi care să fie asemenea cu triunghiul iniŃial. Vom numi triunghiul Triunghi penta.

astfel

obŃinut

(∆ABC),

- 35 -

Fig. 7. Triunghiul penta.

Dacă cele două triunghiuri în analiză sunt asemenea (∆ABC~ ∆BAD), înseamnă că ∆BAD este şi el isoscel. Scriem raportul de asemănare în modul următor: b l = l b–l care conduce la ecuaŃia: b2 – lb = l2 b2 b − −1 = 0 l2 l Am găsit ecuaŃia Numărului de aur, deci:

- 36 -

1+ 5 b = ψ1 = φ = l 2 În triunghiul ABC ducem înălŃimea din vârful A. BF =

BC b lφ l(1 + 5) = = = 2 2 2 4

În triunghiul dreptunghic ABF există relaŃia: cosα =

BF l(1 + 5) 1 + 5 = = AB 4l 4 α = 36°

În triunghiul ADC există relaŃia: 2β + α = 180° β=

180° − α = 72° 2

Ducem în triunghiul ADC bisectoarea vârfului A. Unghiurile formate au valoarea: DAE = EAC =

β = 36° 2

ProprietăŃile specifice Triunghiului penta: 1. Raportul dintre măsurile bazei şi laturii triunghiului, este egal cu Numărul de aur; 2. Triunghiul conŃine Segmentul împărŃit în raportul

- 37 -

Numărului de aur; 3. Comodulare (comodulul este α = 36°).

4.2. TRIUNGHIURI DREPTUNGHICE Cazul 1.1: Să se construiască dreptunghic, astfel încât:

un

triunghi

– Pe cateta majoră, din vârful opus catetei minore, se ia un segment egal cu cateta minoră; – Unim punctul astfel determinat cu vârful opus catetei majore; – Triunghiul format la baza triunghiului iniŃial, să fie asemenea cu triunghiul iniŃial. Vom numi triunghiul astfel obŃinut Triunghi beta 1 sau Triunghi de aur.

Fig. 8. Triunghiul de aur.

(∆ABC),

- 38 -

Scriem raportul de asemănare în modul următor: C c = c C–c C2 – Cc = c2 C2 C − −1 = 0 c2 c Am găsit ecuaŃia Numărului de aur, deci: C 1+ 5 = ψ1 = φ = 2 c ProprietăŃile specifice Triunghiului de aur: 1. Raportul dintre măsurile catetei majore şi catetei minore, este egal cu SecŃiunea de aur; 2. Triunghiul conŃine Segmentul împărŃit în raportul CD = φ). Numărului de aur ( AD Cazul 1.2: Să se construiască dreptunghic, astfel încât:

un

triunghi

– Pe cateta majoră, din vârful opus catetei minore, se iau două segmente egale cu cateta minoră; – Unim punctul astfel determinat cu vârful opus catetei majore; – Triunghiul format la baza triunghiului iniŃial, să fie asemenea cu triunghiul iniŃial. Vom

numi

triunghiul

astfel

obŃinut

(∆ABC),

- 39 -

Triunghi beta 2 sau Triunghi de argint.

Fig. 9. Triunghiul de argint.

Scriem raportul de asemănare în modul următor: c C = c C–2c C2 – 2Cc = c2 C2 C − 2 −1 = 0 2 c c Am găsit ecuaŃia Numărului de argint, deci: C = ψ2 = θ = 1 + 2 c

- 40 -

c 1 Unghiul C = arctg = arctg = 22°,5 C 1+ 2 Concluzie: În triunghiul de argint, raportul dintre măsurile catetei majore şi catetei minore, este egal cu Numărul de argint. Următoarele anterioare.

cazuri

sunt

similare

Cazul 1.n: Să se construiască dreptunghic, astfel încât:

un

cazurilor triunghi

– Pe cateta majoră, din vârful opus catetei minore, se iau n segmente egale cu cateta minoră; – Unim punctul astfel determinat cu vârful opus catetei majore; – Triunghiul format la baza triunghiului iniŃial, să fie asemenea cu triunghiul iniŃial. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghi beta n. Raportul de asemănare din cazurile anterioare devine: C c = c C–nc care conduce la ecuaŃia: C2 C − n −1 = 0 2 c c

- 41 -

Am găsit ecuaŃia generală a numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, deci:

C n+ n 2 +4 =ψ n = , n∈N c 2 Proprietatea specifică Triunghiului beta n: Raportul dintre măsurile catetei majore şi catetei minore, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea. Cazul 2.1: Să se construiască un triunghi dreptunghic, astfel încât cateta minoră să fie egală cu proiecŃia catetei majore pe ipotenuză. Triunghiul astfel obŃinut se numeşte Triunghiul lui Kepler.

Fig. 10. Triunghiul lui Kepler.

- 42 -

Vom mai numi acest triunghi, Triunghiul gama 1. Pentru a obŃine proiecŃia catetei majore pe ipotenuză, ducem înălŃimea triunghiului din vârful unghiului drept. Se formează două triunghiuri dreptunghice asemenea triunghiului dat, unul mediu şi unul minor. Scriem raportul de asemănare între triunghiul iniŃial şi triunghiul minor în modul următor: i c = (1) c i–c i2 i − −1 = 0 c2 c Am găsit ecuaŃia Numărului de aur, deci: 1+ 5 i = ψ1 = φ = c 2 Să analizăm în continuare proprietăŃile acestui triunghi. Teorema lui Pitagora în triunghiul major este: C2 = i2 – c2 Din relaŃia (1) rezultă: c2 = i2 – ic

- 43 -

Din ultimele două relaŃii rezultă: C2 = i2 – i2 + ic C2 = ic ProprietăŃile particulare ale Triunghiului lui Kepler: 1. Raportul dintre măsurile ipotenuzei şi catetei minore, este egal cu SecŃiunea de aur; 2. Triunghiul conŃine Segmentul împărŃit în raportul CD Numărului de aur ( = φ); DB 3. Cateta majoră este media geometrică a catetei minore şi a ipotenuzei. Cazul 2.2: Să se construiască un triunghi dreptunghic, astfel încât proiecŃia catetei majore pe ipotenuză să fie egală cu măsura a două catete minore. Vom numi acest triunghi, Triunghiul gama 2.

Fig. 11. Triunghiul gama 2.

- 44 -

Pentru a obŃine proiecŃia catetei majore pe ipotenuză, ducem înălŃimea triunghiului din vârful unghiului drept. Se formează două triunghiuri dreptunghice asemenea triunghiului dat, unul mediu şi unul minor. Scriem raportul de asemănare între triunghiul iniŃial şi triunghiul minor în modul următor: i c = c i–2c i2 – 2ic = c2 i2 i − 2 −1 = 0 2 c c Am găsit ecuaŃia Numărului de argint, deci: i = ψ2 = θ = 1 + 2 c Concluzie: În Triunghiul gama 2, raportul dintre măsurile ipotenuzei şi catetei minore, este egal cu Numărul de argint. Următoarea anterioare.

cazuri

sunt

similare

cazurilor

Cazul 2.n: Să se construiască un triunghi dreptunghic, astfel încât proiecŃia catetei majore pe

- 45 -

ipotenuză să fie egală cu măsura a n catete minore. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul gama n. Raportul de asemănare din cazurile anterioare devine: i c = c i–nc care conduce la ecuaŃia: i2 i − n −1 = 0 2 c c Am găsit ecuaŃia generală a numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, deci:

i n+ n 2 +4 =ψ n = , n∈N c 2 Proprietatea specifică Triunghiului gama n: Raportul dintre măsurile ipotenuzei şi catetei minore, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

4.3. TRIUNGHIURI OARECARE Cazul 1: Să se construiască un triunghi oarecare, astfel încât:

- 46 -

– Unghiul dintre latura minoră şi latura majoră să fie α < 90°; – Pe latura majoră, din vârful opus laturii minore, se ia un segment egal cu măsura laturii minore; – Unim punctul astfel determinat cu vârful opus laturii majore; – Triunghiul minor să fie asemenea cu triunghiul iniŃial. Vom numi acest triunghi, Triunghi delta α 1.

Fig. 12. Triunghiul delta α 1.

Scriem raportul de asemănare în modul următor: c a = a c–a c2 – ca = a2 l2 l − −1 = 0 b2 b

- 47 -

Am găsit ecuaŃia Numărului de aur, deci: c 1+ 5 = ψ1 = φ = a 2 ProprietăŃile specifice Triunghiului delta α 1: 1. Raportul dintre măsurile laturii majore şi laturii minore, este egal cu Numărul de aur; 2. Triunghiul conŃine Segmentul împărŃit în raportul Numărului de aur. Cazul 2: Să se construiască un triunghi oarecare, astfel încât: – Unghiul dintre latura minoră şi latura majoră să fie α < 90°; – Pe latura majoră, din vârful opus laturii minore, se ia un segment egal cu măsura a două laturi minore; – Unim punctul astfel determinat cu vârful opus laturii majore; – Triunghiul minor să fie asemenea triunghiului iniŃial. Vom numi acest triunghi, Triunghi delta α 2.

Fig. 13. Triunghiul delta α 2.

- 48 -

Scriem raportul de asemănare în modul următor: c a = a c–2a c2 – 2ca = a2 c2

c –2 –1=0 a a 2

Am găsit ecuaŃia Numărului de argint, deci: c = ψ2 = θ = 1 + 2 a Proprietatea specifică Triunghiului delta α 2: Raportul dintre măsurile laturii majore şi laturii minore, este egal cu Numărul de argint. Cazul n: Să se construiască un triunghi oarecare, astfel încât: – Unghiul dintre latura minoră şi latura majoră să fie α < 90°; – Pe latura majoră, din vârful opus laturii minore, se ia un segment egal cu măsura a n laturi minore; – Unim punctul astfel determinat cu vârful opus laturii majore; – Triunghiul minor să fie asemenea triunghiului iniŃial. Vom numi acest triunghi, Triunghi delta α n.

- 49 -

Raportul de asemănare din cazurile anterioare devine: c a = a c–na c2 – nca = a2 c2 c − n −1 = 0 2 a a Am găsit ecuaŃia generală a numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, deci: M n+ n 2 +4 =ψ n = m 2 , n∈N 15 + 225 + 4 15 + 229 ψ15 = = = 15, 618033989... 2 2

Proprietatea specifică Triunghiului delta α n: Raportul dintre măsurile laturii majore şi laturii minore, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea. ObservaŃie: Triunghiurile delta α1, delta α2, ..., delta α n reprezintă clase de triunghiuri, unghiul α luând orice valoare în intervalul (0° – 90°). În finalul analizei triunghiurilor care au laturi având ca raport numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ne vom mai opri asupra unui triunghi.

- 50 -

Vom analiza în continuare un triunghi din clasa Triunghiurilor delta α 2, şi anume Triunghiul delta delta α 2, pentru cazul α = 45°. După cum vom vedea în secŃiunea dedicată poligoanelor regulate, acest triunghi intră în compunerea octogonului regulat. Din acest motiv, vom numi triunghiul analizat în continuare, Triunghi octomodul.

4.3.1. TRIUNGHIUL OCTOMODUL Să se construiască un triunghi oarecare, astfel încât: – Unghiul dintre latura minoră şi latura majoră să fie de 45°; – Pe latura majoră, din vârful opus laturii minore, se ia un segment egal cu măsura a două laturi minore; – Unim punctul astfel determinat cu vârful opus laturii majore; – Triunghiul minor să fie asemenea triunghiului iniŃial. După cum se poate observa, Triunghi octomodul face parte din clasa Triunghiurilor delta α 2, pentru cazul α = 45°.

- 51 -

Fig. 14. Triunghiul octomodul.

Scriem raportul de asemănare în modul următor: c a = a c–2a c2 – 2ca = a2 c2 c − 2 −1 = 0 2 a a Am găsit ecuaŃia Numărului de argint, deci: c = ψ2 = θ = 1 + 2 a Din relaŃia de mai sus rezultă c = a(1 + 2). În acest moment putem calcula latura b în funcŃie de latura a. În acest sens, aplicăm în triunghiul dat teorema cosinusului:

b= a 2 +c 2 − 2ac cos 45°

- 52 -

b= a 2 +a 2 (1 + 2) 2 − 2a 2 (1 + 2)

2 = 2

= a 2 +a 2 (1 + 2 + 2) − 2a 2 − 2a 2 = = a 2 +a 2 + 2 2a 2 − 2a 2 − 2a 2 − 2a 2 = =a

2a 2 + 2a 2 =

2+2

În acelaşi triunghi aplicăm teorema sinusului: a b = sinA sinB

a a = sinA

1 = sinA

2+2 sin45o

2+2·

2 2

2

sinA =

2+2 A = arcsin

2 2+2

= 22°,5

- 53 -

C = 180° – A – B = 180° – 22°,5 – 45° = 112°, 5 Să calculăm rapoartele 45° B = 2, = A 22, 5°

B C şi : A A 112°,5 C =5 = A 22, 5°

Dacă notăm A = α, atunci B = 2α şi C = 5α. După cum se poate observa triunghiul analizat este comodulat. Comodulul este α = 22,5°. ProprietăŃile particulare ale Triunghiului octomodul: 1. Raportul dintre măsurile laturii majore şi laturii minore, este egal cu Numărul de argint; 2. Triunghiul este comodulat. Comodulul este α = 22°,5.

- 55 -

5. APLICAłIILE 3: DREPTUNGHIURI. DREPTUNGHIURILE CU REST ASEMENEA Dreptunghiurile cu rest asemenea sunt figuri geometrice compuse, alcătuite din două dreptunghiuri: un dreptunghi comodulat, comodulul fiind un pătrat cu latura egală cu latura egală cu lăŃimea dreptunghiului dat, şi un alt dreptunghi, asemenea cu cel dat, de lungime egală cu lăŃimea dreptunghiului dat. Dreptunghiurile cu rest asemenea constituie reprezentarea geometrică a şirului de numere x, care au proprietatea: x=n+

1 , n∈N (2) x

Concret, x este valoarea raportului dintre lungimea şi lăŃimea acestor dreptunghiuri, iar n este numărul de pătrate de latură egală cu lăŃimea dreptunghiurilor, care pot fi înscrise în figura geometrică dată. În Fig. 15 au fost reprezentate primele două dreptunghiuri cu rest asemenea, Dreptunghiul de aur şi respectiv Dreptunghiul de argint.

- 56 -

a. Dreptunghiul de aur b. Dreptunghiul de argint Fig. 15. Primele două dreptunghiuri cu rest asemenea.

EcuaŃia (2) mai poate fi scrisă astfel: x2 – nx – 1 = 0

(3)

Pentru n = 1, ecuaŃia (3) devine: x2 – x – 1 = 0

(4)

Dat fiind faptul că raportul dintre măsurile lungimii şi lăŃimii dreptunghiului are valoare pozitivă, soluŃia ecuaŃiei va fi tot pozitivă: x=

1+ 5 = 1¸618... 2

1+ 5 2 reprezintă Numărul de aur, iar ecuaŃia (4) este ecuaŃia Numărului de aur.

Aşa

cum

am

arătat

în

secŃiunea

Numărul de aur are proprietatea: φ=1+

1 φ

(5)

1,

- 57 -

Această relaŃie s-a obŃinut înlocuind în relaŃia (2) pe x cu notaŃia Numărului de aur şi pe n cu valoarea 1. Inversul Numărului de aur: 1 1 = = 0¸618... φ 1¸618... Expresia (5) reprezintă o proprietate interesantă a Numărului de aur, aceea că acest număr poate fi obŃinut însumând unitatea şi inversul său: Analog, în Fig. 15a), Dreptunghiul de aur de arie 1,618... este compus din pătratul de arie 1 şi un alt dreptunghi, de asemenea de aur, reprezentând inversul dreptunghiului dat (lungimea dreptunghiului mic este egală cu lăŃimea dreptunghiului dat), a cărui arie este 0,618. După cum se poate observa, Dreptunghiul de aur constituie o reprezentare geometrică a Numărului de aur, în opinia mea, cea mai precisă, întrucât reflectă principala proprietate a acestui număr, expresia (5). Repetând raŃionamentul pentru n=2, ecuaŃia (3) devine: x2 – 2x – 1 = 0 x = 1 + 2 = 2¸414... Numărul θ = 1 + 2 reprezintă Numărul de argint,

- 58 -

iar ecuaŃia de mai sus este ecuaŃia Numărului de argint. Similar Numărului de aur, Numărul de argint are proprietatea: 1 θ=1+ (6) θ 1 1 = θ 2¸414... 2,414... = 2 + 0,414... În Fig. 15b, Dreptunghiul de argint de arie 2,414... este compus din două pătrate de arie 2 şi un alt dreptunghi, de asemenea de argint, reprezentând inversul dreptunghiului dat (lungimea dreptunghiului mic este egală cu lăŃimea dreptunghiului dat), a cărui arie este 0,414... Constatăm că Dreptunghiul de argint constituie cea mai precisă reprezentare geometrică pentru Numărul de argint, întrucât dreptunghiul reflectă principala proprietate (6), a numărului. Analog, putem demonstra pentru următoarele numele ale şirului (n = 3, 4 , 5 ...), existenŃa unui dreptunghi care să reprezinte geometric numerele dreptunghiulare cu rest asemenea. În cele ce urmează, vom analiza în detaliu fiecare dintre aceste dreptunghiuri.

- 59 -

Cazul 1: Să se construiască un dreptunghi, astfel încât: – În interiorul dreptunghiului se duce o paralelă la lăŃimea acestuia, astfel încât aceasta să formeze un pătrat; – Dreptunghiul rămas are lungimea egală cu lăŃimea dreptunghiului iniŃial şi este asemenea cu acesta din urmă. Vom numi dreptunghiul Dreptunghi de aur.

astfel

obŃinut,

Fig. 16. Dreptunghiul de aur.

Scriem raportul de asemănare în modul următor: l L = l L–l L2 – lL = l2

- 60 -

L2 L − −1 = 0 l2 l Am găsit soluŃia Numărului de aur, deci: 1+ 5 L = ψ1 = φ = 2 l ObservaŃie: Dreptunghiul de aur se descompune diagonală, în două Triunghiuri de aur.

prin

ProprietăŃile specifice Dreptunghiul de aur: 1. Raportul dintre măsurile lungimii şi lăŃimii dreptunghiului, este egal cu Numărul de aur; 2. Dreptunghiul conŃine Segmentul de dreaptă împărŃit în raportul Numărului de aur şi Triunghiul de aur; 3. Dreptunghiul este comodulat. Comodulul este Triunghiul de aur. Cazul 2: Să se construiască un dreptunghi, astfel încât: – În interiorul dreptunghiului se duce o paralelă la lăŃimea acestuia, astfel încât aceasta să formeze un dreptunghi comodulat de raport 2:1, de lăŃime egală cu lăŃimea dreptunghiului iniŃial; – Dreptunghiul rămas are lungimea egală cu lăŃimea dreptunghiului iniŃial şi este asemenea cu acesta din urmă. Vom numi dreptunghiul Dreptunghi de argint.

astfel

obŃinut,

- 61 -

Fig. 17. Dreptunghiul de argint.

Scriem raportul de asemănare în modul următor: L l = l L–2l L2 – 2lL = l2 L2 L − 2 −1 = 0 2 l l Am găsit soluŃia Numărului de argint, deci: L = ψ2 = θ = 1 + 2 l ObservaŃie: Dreptunghiul de argint se descompune prin diagonală, în două Triunghiuri de argint.

- 62 -

ProprietăŃile specifice Dreptunghiul de argint: 1. Raportul dintre măsurile lungimii şi lăŃimii dreptunghiului, este egal cu Numărul de argint; 2. Dreptunghiul conŃine Triunghiul de argint; 3. Dreptunghiul este comodulat. Comodulul este Triunghiul de argint. Următoarele anterioare.

cazuri

sunt

similare

cazurilor

Cazul n: Să se construiască un dreptunghi, astfel încât: – În interiorul dreptunghiului se duce o paralelă la lăŃimea acestuia, astfel încât aceasta să formeze un dreptunghi comodulat de raport n:1, n∈N, de lăŃime egală cu lăŃimea dreptunghiului dat; – Dreptunghiul rămas are lungimea egală cu lăŃimea dreptunghiului iniŃial şi este asemenea cu acesta din urmă. Vom numi dreptunghiul astfel obŃinut, Dreptunghiul cu rest asemenea de rang n. Raporturile de asemănare din cazurile anterioare devine: L l = l L–nl L2 – nlL = l2 L2 L − n −1 = 0 2 l l

- 63 -

Am găsit ecuaŃia generală a numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, deci:

L n+ n 2 +4 = ψn = , n∈N. l 2 ObservaŃie: Dreptunghiul se descompune prin diagonală în două Triunghiuri beta n. ProprietăŃile particulare ale Dreptunghiul cu rest asemenea de rang n: 1. Raportul dintre măsurile lungimii şi lăŃimii dreptunghiului, este unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea; 2. Dreptunghiul conŃine Triunghiul beta n; 3. Dreptunghiul este comodulat. Comodulul este Triunghiul beta n.

- 65 -

6. APLICAłIILE 4: POLIGOANE REGULATE AplicaŃiile geometrice pe care le-am analizat până acum, au presupus anumite condiŃii impuse figurii geometrice în vederea definirii acesteia. Prezentele aplicaŃii geometrice precum şi aplicaŃiile 7 privesc poligoanele şi poliedrele regulate şi sunt constituite din figuri geometrice definite fără condiŃii impuse. În această secŃiune vom analiza cazurile de poligoane regulate, în care raportul dintre măsurile unei diagonale şi ale laturii, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

6.1. PENTAGONUL REGULAT Pentagonul regulat este figura geometrică care are cinci laturi egale şi cinci unghiuri interioare egale. Figurile de compunere ale pentagonului sunt cinci triunghiuri isoscele identice cu vârful în centrul acestuia.

- 66 -

Fig. 18. Pentagonul regulat descompus în comodulele sale.

Fig. 19. Triunghiul penta şi Triunghiul alfa 1 înscrise în Pentagonul regulat.

Având în vedere acest lucru, pentagonul este comodulat prin definiŃie, comodulul fiind triunghiul isoscel având drept bază latura pentagonului şi vârful în centrul acestuia. Să calculăm unghiurile comodulului. Unghiul cu vârful în centrul poligonului regulat 360° = 72° . are valoarea 5 180° − 72° = 54° . Unghiurile de la baza triunghiului sunt 2 Să considerăm una dintre diagonalele pentagonului. Aceasta formează împreună cu două dintre laturile pentagonului, un triunghi isoscel, având unghiul la vârf de 108° = 3×36°. Observăm că acest triunghi este Triunghiul penta. Să considerăm acum triunghiul format din două diagonale ale pentagonului şi o latură a acestuia.

- 67 -

Unghiul de la vârful acestui triunghi este de 108° (unghiul de la vârful Triunghiului penta) minus 2×36° (unghiul de la baza Triunghiului penta), adică 36°. Observăm că acest triunghi este Triunghiul alfa 1. ProprietăŃile specifice Pentagonului regulat: 1. Raportul dintre măsurile diagonalei laturii acestuia, este egal cu Numărul de aur; 2. Pentagonul conŃine Triunghiul penta şi Triunghiul alfa 1; 3. Figura este comodulată. Comodulul este un triunghi isoscel având unghiul la vârf de 72°.

6.2. OCTOGONUL REGULAT

Fig. 20. Octogonul regulat descompus în comodulele sale.

Fig. 21. Triunghiul octomodul (AFH) şi Dreptunghiul de argint (ABEF) înscrise în Octogonul regulat.

- 68 -

Octogonul regulat este figura geometrică care are opt laturi egale şi opt unghiuri interioare egale. Figurile de compunere ale octogonului sunt opt triunghiuri isoscele identice cu vârful în centrul acestuia. Având în vedere acest lucru, octogonul este comodulat prin definiŃie, comodulul fiind triunghiul isoscel având drept bază latura octogonului şi vârful în centrul acestuia. Să calculăm unghiurile comodulului. Unghiul cu vârful în centrul poligonului regulat 360° are valoarea = 45° . 8 Unghiurile de la baza comodulului sunt 360° − 45° = 67°, 5 . 2 Octogonul în cauză are 3 diagonale: prima diagonală, care uneşte capetele a două laturi consecutive ale poligonului regulat, a doua diagonală care uneşte capetele a trei laturi consecutive ale poligonului regulat şi a treia diagonală, care trece prin centrul figurii. Să considerăm triunghiul format de primele două diagonale şi o latură a octogonului. Fie acest triunghi triunghiul AFH. Să calculăm unghiurile acestui triunghi.

- 69 -

Unghiul FGH este format din unghiurile de la baza a două triunghiuri comodul, deci are valoarea 67,5°×2=135°. Unghiurile de la baza triunghiului isoscel FGH 180° − 135° sunt = 22°,5 2



− GHF=135
° − 22°,5=112°,5 Unghiul FHA=GHA

° − AOB=180 ° − 45°=135° Unghiul FOA=180

Triunghiul FOA este isoscel, deci
= 180° − 135° = 22°,5 . FAO 2

Unghiul

− OAB
− FAO=135
HAF=HAF ° − 67°,5 − 22°,5=45° În triunghiul AFH există relaŃia



− HAF=180  HFA=180 ° − FHA ° − 112°,5 − 45°=22°,5 Am stabilit deci unghiurile triunghiului AFH:


FHA=112 °,5 , HAF=45° °,5 . Observăm că , HFA=22 acest triunghi este Triunghiul octomodul. Prin urmare, raportul dintre diagonala a doua şi latura octogonului este egal cu Numărul de argint.

- 70 -

Să considerăm acum triunghiul format de diagonalele a treia, a doua şi o latură a octogonului. Fie acest triunghi triunghiul FAB. Să calculăm unghiurile acestui triunghi.


°,5 . Am stabilit deja că FAO=22


Unghiul FAB=FAO+OAB=22 °,5+67°,5=90° , deci triunghiul FAB este dreptunghic.

°,5 . Triunghiul FAO fiind isoscel OFA=FAO=22

°,5 . Unghiul AFB=OFA=22 Având în vedere că în triunghiul dreptunghic FAB
unghiul AFB=22 °,5 , rezultă că triunghiul FAB este Triunghi de argint. łinând seama de faptul că triunghiurile FAB şi FBE sunt congruente, rezultă că figura ABEF este Dreptunghi de argint. ProprietăŃile specifice Octogonului regulat: 1. Raportul dintre măsurile celei de-a doua diagonale şi laturii acestuia, este egal cu Numărul de argint; 2. Octogonul conŃine Triunghiul octomodul şi Dreptunghiul de argint; 3. Figura este comodulată. Comodulul este un triunghi isoscel având unghiul la vârf de 45°.

- 71 -

7. APLICAłIILE 5: PIRAMIDE REGULATE

7.1. PIRAMIDA DE AUR. RELAłIA LUI HERODOT Se cunoaşte că Piramida de aur este piramida regulată, în care aria unei feŃe laterale este egală cu aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei.

Fig. 22. Piramida de aur.

Această proprietate a Piramidei de aur, ca de altfel

- 72 -

a tuturor piramidelor care vor fi analizate în această secŃiune, este o relaŃie de echivalenŃă a ariilor prin definiŃie. Un model riguros la scară al Piramidei de aur, îl întâlnim şi astăzi, după mai bine de 4500 de ani de la ridicarea acestuia, în Piramida lui Kheops de la Giseh. Cu toate că există controverse în legătură cu menŃionarea proprietăŃii mai sus precizate, de către Herodot, controverse în ceea ce priveşte interpretarea textului antic, istoricul a rămas ca fiind primul care a scris despre prezenŃa relaŃiei de echivalenŃă a ariilor în Marea Piramidă din Egipt. Dat fiind acest fapt, vom numi în continuare această proprietate RelaŃia lui Herodot. Transpusă în ecuaŃie, relaŃia devine: bc = h2 În triunghiul dreptunghic determinat de apotema piramidei b, apotema bazei c şi înălŃimea piramidei h, există relaŃia (Teorema lui Pitagora): h2 = b2 – c2 Punând expresia lui din prima relaŃie în cea de-a doua, rezultă: b2 – c2 = bc

- 73 -

b2 b – –1=0 2 c c Am regăsit ecuaŃia Numărului de aur, deci: b 1+ 5 = ψ1 = φ = 2 c Drept consecinŃă, semitriunghiul piramidei este Triunghi Kepler.

median

al

Observăm că apotema bazei piramidei este egală cu semilatura bazei, deci o jumătate din faŃa laterală a piramidei este Triunghi de aur. O altă proprietate a piramidei este comodularea. Să considerăm piramida dreaptă determinată de o faŃă laterală a piramidei regulate şi proiecŃia acesteia pe baza piramidei date. În concordanŃă cu definiŃia comodulului, acest corp geometric reprezintă comodulul Piramidei de aur. ProprietăŃile specifice ale Piramidei de aur: 1. Raportul dintre măsurile apotemei şi apotemei bazei piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul lui Kepler şi Triunghiul de aur; 3. Piramida este comodulată. Comodulul este piramida dreaptă determinată de o faŃă laterală a piramidei date şi proiecŃia acestei feŃe pe baza piramidei iniŃiale.

- 74 -

7.2. NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA, CA RAPORT ÎNTRE ELEMENTELE SEGMENTALE ALE PIRAMIDEI REGULATE În cele ce urmează vom determina clasele de piramide regulate care determină triunghiuri ale căror laturi se află în raport egal cu un număr dreptunghiular cu rest asemenea. Să considerăm piramida dreaptă de compunere a piramidei regulate determinată de o faŃă laterală a piramidei şi proiecŃia acesteia pe bază. Acesta este comodulul piramidei regulate. Putem analiza piramida regulată prin analizarea comodulului, prima figură fiind o combinaŃie simetrică a celei de-a doua.

Fig. 23. Comodulul piramidei regulate.

- 75 -

Elementele piramidei regulate sunt: a – semilatura bazei piramidei regulate; h – înălŃimea piramidei regulate; b – apotema piramidei regulate; c – apotema bazei piramidei regulate; d – muchia piramidei regulate; e – proiecŃia muchiei piramidei regulate pe baza acesteia. Triunghiurile ale căror măsuri ale laturilor au ca raport un număr dreptunghiular cu rest asemenea, care pot fi înscrise în piramidele regulate sunt următoarele: 1. Triunghiul dreptunghic format de apotema piramidei, apotema bazei şi înălŃimea piramidei; 2. Triunghiul dreptunghic format de apotema piramidei, muchia piramidei şi semilatura bazei piramidei; 3. Triunghiul dreptunghic determinat de muchia piramidei, proiecŃia acesteia pe bază şi înălŃimea piramidei; 4. Triunghiul isoscel format de apoteme ale piramidei situate în acelaşi plan şi baza piramidei (valabil numai pentru piramidele de ordin par); 5. Triunghiul isoscel format de muchii ale piramidei situate în opoziŃie şi baza piramidei (valabil numai pentru piramidele de ordin par); 6. Triunghiul isoscel la unei feŃe laterale a piramidei. Toate aceste şase cazuri au subcazuri. Acestea sunt următoarele: 1.1. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea,

- 76 -

ca raport între măsurile apotemei şi apotemei bazei piramidei; 1.2. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile apotemei şi înălŃimii piramidei; 1.3. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile înălŃimii şi apotemei bazei piramidei; 1.4. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile apotemei bazei şi înălŃimii piramidei; 2.1. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi semilaturii bazei piramidei; 2.2. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi apotemei piramidei; 2.3. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile apotemei şi semilaturii bazei piramidei; 2.4. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile semilaturii bazei şi apotemei piramidei; 3.1. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi proiecŃiei acesteia pe baza piramidei; 3.2. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi înălŃimii piramidei; 3.3. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile proiecŃiei muchiei pe bază şi muchia piramidei; 3.4. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile înălŃimii şi proiecŃiei

- 77 -

muchiei pe baza piramidei; 4.1. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile apotemei şi două apoteme ale bazei piramidei, aflate una în prelungirea celeilalte; 4.2. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile a două apoteme ale bazei aflate una în prelungirea celeilalte şi apotema piramidei; 5.1. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi diagonalei maxime a bazei piramidei; 5.2. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile diagonalei maxime a bazei şi muchia piramidei; 6.1. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi laturii bazei piramidei; 6.2. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile laturii bazei şi muchiei piramidei. În continuare vom analiza fiecare subcaz în parte şi vom face o generalizare a RelaŃiei lui Herodot. Concret, pentru fiecare subcaz, ne propunem să generăm ecuaŃia numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 78 -

7.3. PIRAMIDE REGULATE PĂTRATE. RELAłIA LUI HERODOT GENERALIZATĂ Vom lua din nou în considerare comodulul piramidei regulate din Fig. 23. Subcazul 1.1: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile apotemei şi apotemei bazei piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de apotema piramidei şi apotema bazei este: b2 – c2 = h2 ÎnălŃimea piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot este: h2 = bc Înlocuim expresia lui h2 în prima relaŃie: b2 – c2 = bc ÎmpărŃind prin factorul c2, relaŃia de mai sus devine: b2 b – –1=0 c2 c Cel de-al doilea membru al RelaŃiei lui Herodot, bc, în cazul Piramidei de aur reprezintă aria unei feŃe laterale.

- 79 -

Să presupunem că aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei este egală cu aria a k feŃe laterale ale piramidei. h2 = kbc Aceasta reprezintă RelaŃiei lui Herodot generalizată pentru subcazul de faŃă. EcuaŃia anterioară devine:

b2 b –k –1=0 2 c c care este ecuaŃia generală a dreptunghiulare cu rest asemenea.

numerelor

Am definit astfel o clasă de piramide regulate: Piramidele regulate clasa A sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei, este egală cu aria a k feŃe laterale ale piramidei. Piramida regulată A1 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei, este egală cu aria unei feŃe laterale ale piramidei. Am regăsit definiŃia Piramidei de aur. Reamintim proprietăŃile particulare ale acestei piramide:

- 80 -

1. Raportul dintre măsurile apotemei şi apotemei bazei piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 1 (Triunghiul lui Kepler) şi Triunghiul beta 1 (Triunghiul de aur); 3. Piramida este comodulată. Comodulul este piramida dreaptă determinată de o faŃă laterală a piramidei date şi proiecŃia acestei feŃe pe baza piramidei iniŃiale. Ultima proprietate este valabilă în cazul tuturor piramidelor regulate. În cele ce urmează, numai pentru aceste aplicaŃii, vom desemna această proprietate prin termenul comodulare. Piramida regulată A2 sau Piramida de argint este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei, este egală cu aria a două feŃe laterale ale piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate A2: 1. Raportul dintre măsurile apotemei şi apotemei bazei piramidei, este egal cu Numărul de argint, ψ2 =θ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 2 şi Triunghiul beta 2 (Triunghiul de argint); 3. Comodulare. Piramidele regulate An sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei, este egală cu aria a n feŃe laterale ale piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidelor regulate An: 1. Raportul dintre măsurile apotemei şi apotemei piramidei, este egal cu numărul bazei

- 81 -

n2 + 4 ψn = , n∈N; 2 2. Piramidele conŃin Triunghiurile gama n şi beta n; 3. Comodulare. n+

Subcazul 1.2: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile apotemei şi înălŃimii piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic determinat de apotema şi înălŃimea piramidei este: b2 – c2 = h2 Apotema bazei piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: c2 = kbh Înlocuim expresia lui c2 în prima relaŃie: b2 – kbh = h2 ÎmpărŃind prin factorul h2, relaŃia devine:

b2 b – k –1 = 0 2 h h Aceasta este ecuaŃia generală a dreptunghiulare cu rest asemenea.

numerelor

Am definit astfel o clasă de piramide regulate:

- 82 -

Piramidele regulate clasa B sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu apotema bazei piramidei, este egală cu aria a k dreptunghiuri construite cu apotema şi înălŃimea piramidei. Piramida regulată B1 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu apotema bazei piramidei, este egală cu aria unui dreptunghi construit cu apotema şi înălŃimea piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate B1: 1. Raportul dintre măsurile apotemei şi înălŃimii piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 1 (Triunghiul lui Kepler); 3. Comodulare. Piramida regulată B2 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu apotema bazei piramidei, este egală cu aria a două dreptunghiuri construite cu apotema şi înălŃimea piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate B2: 1. Raportul dintre măsurile apotemei şi înălŃimii piramidei, este egal cu Numărul de argint, ψ2 = θ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 2; 3. Comodulare. Piramidele regulate clasa Bn sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu apotema bazei piramidei, este egală cu aria a n dreptunghiuri construite cu apotema şi înălŃimea piramidei.

- 83 -

ProprietăŃile particulare ale Piramidelor regulate Bn: 1. Raportul dintre măsurile apotemei şi înălŃimii piramidei, este egal cu numărul ψn =

n+

n2 + 4 , 2

n∈N; 2. Piramidele conŃin Triunghiurile gama n; 3. Comodulare. Subcazul 1.3: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile înălŃimii şi apotemei bazei piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de înălŃimea şi apotema bazei piramidei este: h2 + c2 = b2 Apotema piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: b2 = kch Înlocuim expresia lui b2 în prima relaŃie: h2 + c2 = kch ÎmpărŃind prin factorul c2, relaŃia de mai sus devine:

h2 h –k +1=0 2 c c EcuaŃia obŃinută nu are ca soluŃii dreptunghiulare cu rest asemenea.

numere

- 84 -

Subcazul 1.4: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile apotemei bazei şi înălŃimii piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de apotema bazei şi înălŃimea piramidei este: c2 + h2 = b2 Apotema piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: b2 = kch Înlocuim expresia lui b2 în prima relaŃie: c2 + h2 = kch ÎmpărŃind prin factorul h2, relaŃia de mai sus devine:

c2 c –k +1=0 2 h h EcuaŃia găsită nu generează soluŃii dreptunghiulare cu rest asemenea.

numere

Subcazul 2.1: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi semilaturii bazei piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de muchia şi semilatura bazei piramidei este: d2 – b2 = a2

- 85 -

Apotema piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: b2 = kad Înlocuim expresia lui b2 în prima relaŃie: d2 – kad = a2 ÎmpărŃind prin factorul a2, relaŃia de mai sus devine: d2 d –k –1=0 2 a a Am obŃinut ecuaŃia generală a numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea. Am găsit astfel o clasă de piramide regulate: Piramidele regulate de clasa C sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu apotema piramidei, este egală cu aria a k dreptunghiuri construite cu muchia şi semilatura bazei piramidei. Piramida regulată C1 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu apotema piramidei, este egală cu aria dreptunghiului construit cu muchia şi semilatura bazei piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate C1: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi semilaturii bazei piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ;

- 86 -

2. Piramida conŃine Triunghiul gama 1 (Triunghiul lui Kepler); 3. Comodulare. Piramida regulată C2 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu apotema piramidei, este egală cu aria a două dreptunghiuri construite cu muchia şi semilatura bazei piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate C2: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi semilaturii bazei piramidei, este egal cu Numărul de argint, ψ2 =θ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 2; 3. Comodulare. Piramidele regulate Cn sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu apotema piramidei, este egală cu aria a n dreptunghiuri construite cu muchia şi semilatura bazei piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidelor regulate Cn: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi semilaturii bazei piramidei, este egal cu numărul n2 + 4 , n∈N; 2 2. Piramidele conŃin Triunghiurile gama n; 3. Comodulare. ψn =

n+

Subcazul 2.2: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi apotemei piramidei.

- 87 -

Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic determinat de muchia şi apotema piramidei este: d2 – b2 = a2 Semilatura bazei piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: a2 = kdb Înlocuim expresia lui a2 în prima relaŃie: d2 – b2 = kdb ÎmpărŃind prin factorul b2, relaŃia devine:

d2 d –k –1=0 2 b b Am găsit ecuaŃia numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea. Am obŃinut astfel o clasă de piramide regulate: Piramidele regulate de clasa D sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu semilatura bazei piramidei, este egală cu aria a k dreptunghiuri construite cu muchia şi apotema piramidei. Piramida regulată D1 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu semilatura bazei piramidei, este egală cu aria

- 88 -

dreptunghiului construit cu muchia şi apotema piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate D1: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi apotemei piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 1 (Triunghiul lui Kepler); 3. Comodulare. Piramida regulată D2 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu semilatura bazei piramidei, este egală cu aria a două dreptunghiuri construite cu muchia şi apotema piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate D2: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi apotemei piramidei, este egal cu Numărul de argint, ψ2 = θ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 2; 3. Comodulare. Piramidele regulate Dn sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu semilatura bazei piramidei, este egală cu aria a n dreptunghiuri construite cu muchia şi apotema piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidelor regulate Dn: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi apotemei piramidelor, este egal cu numărul ψn = n∈N;

n+

n2 + 4 , 2

- 89 -

2. Piramidele conŃin Triunghiurile gama n; 3. Comodulare. Subcazul 2.3: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile apotemei şi semilaturii bazei piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic determinat de apotema şi semilatura bazei piramidei este: b2 + a2 = d2 Muchia piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: d2 = kab Înlocuim expresia lui d2 în prima relaŃie: b2 + a2 = kab ÎmpărŃind prin factorul a2, relaŃia devine:

b2 b –k +1=0 2 a a EcuaŃia obŃinută nu generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Subcazul 2.4: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile semilaturii bazei şi apotemei piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic

- 90 -

format de semilatura bazei şi apotema piramidei este: a2 + b2 = d2 Muchia piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: d2 = kab Înlocuim expresia lui d2 în prima relaŃie: a2 + b2 = kab ÎmpărŃind prin factorul b2, relaŃia devine:

a2 a –k +1=0 2 b b EcuaŃia nu determină numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Subcazul 3.1: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi proiecŃiei acesteia pe baza piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de muchia piramidei şi proiecŃia acesteia pe bază este: d2 – h2 = e2 ÎnălŃimea piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: h2 = kde

- 91 -

Înlocuim expresia lui h2 în prima relaŃie: d2 – kde = e2 ÎmpărŃind prin factorul e2, relaŃia de mai sus devine: d2 d –k –1=0 2 e e Aceasta este ecuaŃia generală a dreptunghiulare cu rest asemenea.

numerelor

Am găsit astfel o clasă de piramide regulate: Piramidele regulate de clasa E sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei, este egală cu aria a k dreptunghiuri construite cu muchia şi proiecŃia acesteia pe baza piramidei. Piramida regulată E1 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei, este egală cu aria dreptunghiului construit cu muchia şi proiecŃia acesteia pe baza piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate E1: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi proiecŃiei acesteia pe baza piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 1 (Triunghiul lui Kepler); 3. Comodulare.

- 92 -

Piramida regulată E2 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei, este egală cu aria a două dreptunghiuri construite cu muchia şi proiecŃia acesteia pe baza piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate E2: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi proiecŃiei acesteia pe baza piramidei, este egal cu Numărul de argint, ψ2 = θ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 2; 3. Comodulare. Piramidele regulate En sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei, este egală cu aria a n dreptunghiuri construite cu muchia şi proiecŃia acesteia pe baza piramidei. ProprietăŃile particulare ale Piramidelor regulate En: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi proiecŃia acesteia pe baza piramidelor, este egal cu numărul n2 + 4 , n∈N; 2 2. Piramidele conŃin Triunghiurile gama n; 3. Comodulare. ψn =

n+

Subcazul 3.2: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi înălŃimii piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de muchia piramidei şi înălŃimea acesteia este:

- 93 -

d2 – e2 = h2 ProiecŃia muchiei piramidei pe baza acesteia, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: e2 = kdh Înlocuim expresia lui e2 în prima relaŃie: d2 – kdh = h2 ÎmpărŃind prin factorul h2, relaŃia de mai sus devine:

d2 d –k –1=0 2 h h Am găsit ecuaŃia numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea. Am determinat astfel o clasă de piramide regulate: Piramidele regulate de clasa F sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu proiecŃia muchiei piramidei pe baza acesteia, este egală cu aria a k dreptunghiuri construite cu muchia piramidei şi înălŃimea acesteia. Piramida regulată F1 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu proiecŃia muchiei piramidei pe baza acesteia, este egală cu aria dreptunghiului construit cu muchia piramidei şi înălŃimea acesteia.

- 94 -

ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate F1: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi înălŃimii piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 1 (Triunghiul lui Kepler); 3. Comodulare. Piramida regulată F2 este piramida regulată pătrată, în care aria pătratului construit cu proiecŃia muchiei piramidei pe baza acesteia, este egală cu aria a două dreptunghiuri construite cu muchia piramidei şi înălŃimea acesteia. ProprietăŃile particulare ale Piramidei regulate F2: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi înălŃimii piramidei, este egal cu Numărul de argint, ψ2 = θ; 2. Piramida conŃine Triunghiul gama 2; 3. Comodulare. Piramidele regulate Fn sunt piramidele regulate pătrate, în care aria pătratului construit cu proiecŃia muchiei piramidei pe baza acesteia, este egală cu aria a n dreptunghiuri construite cu muchia piramidei şi înălŃimea acesteia. ProprietăŃile particulare ale Piramidelor regulate Fn: 1. Raportul dintre măsurile muchiei şi înălŃimii piramidelor, este egal cu numărul ψn =

n+

n∈N; 2. Piramidele conŃin Triunghiurile gama n; 3. Comodulare.

n2 + 4 , 2

- 95 -

Subcazul 3.3: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile proiecŃiei muchiei pe bază şi muchia piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic determinat de proiecŃia muchiei pe baza acesteia şi înălŃimea piramidei este: e2 + h2 = d2 Muchia piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: d2 = keh Înlocuim expresia lui d2 în prima relaŃie: e2 + h2 = keh ÎmpărŃim prin factorul h2:

e2 e –k +1=0 h h2 EcuaŃia nu determină numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Subcazul 3.4: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile înălŃimii şi proiecŃiei muchiei pe baza piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de înălŃimea piramidei şi proiecŃia muchiei pe bază este:

- 96 -

h2 + e2 = d2 Muchia piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: d2 = khe Înlocuim expresia lui d2 în prima relaŃie: e2 + h2 = khe ÎmpărŃind prin factorul e2, relaŃia devine:

h2 h –k +1=0 2 e e EcuaŃia nu generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Subcazul 4.1: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile apotemei şi două apoteme ale bazei piramidei, aflate una în prelungirea celeilalte. Considerăm triunghiul isoscel format din două apoteme ale piramidei situate în acelaşi plan şi două apoteme ale bazei piramidei, aflate una în prelungirea celeilalte. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic determinat de apotema piramidei şi apotema bazei este: b2 – c2 = h2

- 97 -

ÎnălŃimea piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: h2 = kbc Înlocuim expresia lui h2 în prima relaŃie: b2 – c2 = kbc ÎmpărŃim relaŃia prin factorul 4c2: 2

 b  – k b  – 1 = 0 2c 22c 4     EcuaŃia nu are ca soluŃii numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Subcazul 4.2: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile a două apoteme ale bazei aflate una în prelungirea celeilalte şi apotema piramidei. Considerăm triunghiul isoscel format din două apoteme ale bazei piramidei aflate una în prelungirea celeilalte şi două apoteme ale piramidei situate în acelaşi plan. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic determinat de apotema bazei piramidei şi apotema piramidei este: c2 + h2 = b2 ÎnălŃimea piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot

- 98 -

generalizate este: h2 = kcb Înlocuim expresia lui h2 în prima relaŃie: c2 + kcb = b2 ÎnmulŃim relaŃia cu factorul

4 : b2

2

2c + 2k2c – 4 = 0 b b     EcuaŃia nu determină numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Subcazul 5.1: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi diagonalei maxime a bazei piramidei. Considerăm triunghiul isoscel format din două muchii ale piramidei situate una în prelungirea celeilalte şi diagonala maximă a bazei acesteia. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic determinat de muchia piramidei şi proiecŃia acesteia pe bază este: d2 – e2 = h2 ÎnălŃimea piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: h2 = kde

- 99 -

Înlocuim expresia lui h2 în prima relaŃie: d2 – e2 = kde ÎmpărŃind prin factorul 4e2, relaŃia devine: 2

 d  – k d  – 1 = 0 2e 22e 4     EcuaŃia nu generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Subcazul 5.2: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile diagonalei maxime a bazei şi muchia piramidei. Considerăm triunghiul isoscel format din diagonala maximă a bazei piramidei şi două muchii ale piramidei aflate una în prelungirea celeilalte. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de muchia piramidei şi proiecŃia acesteia pe baza piramidei este: e2 + h2 = d2 ÎnălŃimea piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: h2 = ked Înlocuim expresia lui h2 în prima relaŃie:

- 100 -

e2 + ked = d2 ÎnmulŃim relaŃia cu factorul

4 : d2

2 2e + 2k2e – 4 = 0 d d    

EcuaŃia nu are ca soluŃii numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Subcazul 6.1: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile muchiei şi laturii bazei piramidei. Considerăm triunghiul isoscel al unei feŃe laterale a piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul isoscel format de muchia piramidei şi semilatura bazei acesteia este: d2 – a2 = b2 Apotema piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: b2 = kda Înlocuim expresia lui b2 în prima relaŃie: d2 – a2 = kda ÎmpărŃim relaŃia cu factorul 4a2:

- 101 2  d  – k d  – 1 = 0 2a 22a 4    

EcuaŃia nu determină numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Subcazul 6.2: Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între măsurile laturii bazei şi muchiei piramidei. Considerăm triunghiul isoscel al unei feŃe laterale a piramidei. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de semilatura bazei piramidei şi muchia piramidei este: a2 + b2 = d2 Apotema piramidei, conform RelaŃiei lui Herodot generalizate este: b2 = kad Înlocuim expresia lui b2 în prima relaŃie: a2 + kad = d2 ÎnmulŃim relaŃia cu factorul

4 d2

:

2 2a + 2k2a – 4 = 0 d d    

EcuaŃia nu generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 102 -

Pe lângă piramidele analizate în această secŃiune, mai există şi alte piramide regulate care determină triunghiuri ale căror laturi se află în raport egal cu un număr dreptunghiular cu rest asemenea. După cum vom prezenta în secŃiunea referitoare la poliedrele regulate, icosaedrul regulat şi dodecaedrul regulat conŃin piramide regulate care determină triunghiuri ale căror laturi se află în raport egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 103 -

8. APLICAłIILE 6: CONURI CIRCULARE DREPTE

8.1. ANALOGIA DINTRE PIRAMIDELE REGULATE ŞI CONURILE CIRCULARE DREPTE. CONUL DE AUR. CONUL CIRCULAR DREPT B1 Să considerăm un con circular drept:

Fig. 24. Conul circular drept.

Elementele conului circular drept sunt: g – generatoarea conului; r – raza cercului de bază al conului; h – înălŃimea conului.

- 104 -

Dacă comparăm conul din Fig. 24 cu una dintre piramidele regulate, spre exemplu Piramida de aur din Fig. 22, având în vedere elementele celor două figuri, constatăm o analogie (corespondenŃă) între cele două corpuri. semitriunghiului median al Elementelor piramidelor regulate le corespund elementele conului circular drept. Această analogie următor:

este

Elemente ale semitriunghiului median al piramidei regulate Denumirea NotaŃie elementului apotemă b apotema bazei c înălŃime

h

prezentată

în

tabelul

Elemente ale conului circular drept Denumirea NotaŃie elementului generatoare g raza cercului de r bază înălŃime h

În cadrul piramidelor regulate, sunt două clase de piramide care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca rapoarte ale elementelor din cadrul semitriunghiului median al piramidei: – Piramidele regulate An, care au proprietatea că raportul dintre măsurile apotemei şi apotemei bazei piramidelor, este un număr dreptunghiular cu rest asemenea; – Piramidele regulate Bn, care au proprietatea că raportul dintre măsurile apotemei şi înălŃimii piramidelor, este un număr dreptunghiular cu rest asemenea.

- 105 -

Din prima clasă face parte Piramida de aur, iar din cea de-a doua Piramida regulată B1. Prin analogie cu proprietăŃile acestor două piramide, putem determina două conuri circulare drepte care au proprietăŃi similare. RelaŃia lui Herodot în Piramida de aur este: Aria pătratului construit cu înălŃimea piramidei este egală cu aria unei feŃe laterale a piramidei: h2 = bc Corespondentul relaŃiei lui Herodot în cazul Conului de aur este: h2 = gr ÎnmulŃim relaŃia cu constanta cercului π: πh2 = πgr ceea ce înseamnă că aria cercului construit cu înălŃimea conului, este egală cu aria suprafeŃei laterale a conului. Am obŃinut astfel RelaŃia lui Herodot în cazul Conului de aur, deci: Conul de aur este conul circular drept în care aria cercului construit cu înălŃimea conului, este egală cu aria suprafeŃei laterale a conului. Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic al

- 106 -

conului circular este: g2 – r2 = h2 Înlocuim expresia lui h2 în prima relaŃie: g2 – r2 = gr ÎmpărŃind cu r2, rezultă ecuaŃia:

g2 g – –1=0 r r2 care are drept soluŃie Numărul de aur. Acest con mai are o proprietate interesantă. Desfăşurarea suprafeŃei laterale a conului este un sector circular de rază g:

Fig. 25. Desfăşurata suprafeŃei laterale a conului circular drept.

- 107 -

Lungimea arcului de cerc corespunzător sectorului circular al desfăşuratei suprafeŃei laterale a conului este 2πr. CircumferinŃa cercului din care face parte această desfăşurată este 2πg. Dacă facem raportul dintre circumferinŃa cercului desfăşuratei menŃionate şi lungimea arcului de cerc al desfăşuratei obŃinem: 2πg g = =φ 2πr r Desfăşurata suprafeŃei laterale a Conului de aur este partea majoră care rezultă din împărŃirea cercului desfăşuratei în două sectoare de cerc de raport al ariilor egal cu Numărului de aur. ProprietăŃile specifice Conului de aur: 1. Raportul dintre măsurile generatoarei şi razei cercului de bază al conului, este egal cu Numărul de aur ψ1 = φ; 2. Conul conŃine Triunghiul gama 1 (Triunghiul lui Kepler); 3. Desfăşurata suprafeŃei laterale a conului este partea majoră care rezultă din împărŃirea cercului desfăşuratei în două sectoare de cerc de raport al ariilor egal cu Numărul de aur. RelaŃia lui Herodot în Piramida regulată B1 este: Aria pătratului construit cu apotema bazei piramidei, este egală cu aria unui dreptunghi

- 108 -

construit cu apotema şi înălŃimea piramidei: c2 = bh Corespondentul RelaŃiei lui Herodot în cazul Conului circular drept B1 este: r2 = gh ÎnmulŃim relaŃia cu constanta cercului π: πr2 = πhg RelaŃia de mai sus are două interpretări, în funcŃie de modul de grupare a factorilor din membrul al doilea. Astfel, dacă vom grupa primii doi factori ai membrului al doilea al relaŃiei, rezultă: πr2 = (πh)g ceea ce înseamnă că aria cercului de bază al conului este egală cu aria suprafeŃei laterale a unui con care are drept rază a cercului de bază, înălŃimea conului iniŃial şi aceeaşi generatoare cu a conului iniŃial. Am obŃinut astfel RelaŃia lui Herodot în cazul Conului circular drept B1, într-o primă variantă. Dacă vom grupa primul şi al treilea factor al membrului al doilea al relaŃiei de mai sus, rezultă: πr2 = (πg)h

- 109 -

ceea ce înseamnă că aria cercului de bază al conului, este egală cu aria suprafeŃei laterale a unui con care are drept rază a cercului de bază, generatoarea conului iniŃial şi aceeaşi înălŃime cu a conului iniŃial. Am obŃinut astfel RelaŃia lui Herodot în cazul Conului circular drept B1, într-o a doua variantă. Drept urmare, în cazul Conului circular drept B1, există două definiŃii: Conul circular drept B1 este conul circular drept în care aria cercului de bază al conului este egală cu aria suprafeŃei laterale a unui con care are drept rază a cercului de bază, înălŃimea conului iniŃial şi aceeaşi generatoare cu a conului iniŃial (definiŃia 1). Conul circular drept B1 este conul circular drept în care aria cercului de bază al conului este egală cu aria suprafeŃei laterale a unui con care are drept rază a cercului de bază, generatoarea conului iniŃial şi aceeaşi înălŃime cu a conului iniŃial (definiŃia 2). Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic al conului circular este: g2 – r2 = h2 Înlocuim expresia lui r2 în această relaŃie: g2 – gh = h2

- 110 -

ÎmpărŃind cu h2, rezultă ecuaŃia:

g2 g – –1=0 h2 h care are drept soluŃie Numărul de aur. ProprietăŃile specifice Conului circular drept B1: 1. Raportul dintre măsurile generatoarei şi înălŃimii conului este egal cu Numărul de aur ψ1 = φ; 2. Conul conŃine Triunghiul gama 1 (Triunghiul lui Kepler).

8.2. GENERALIZAREA RELAłIEI LUI HERODOT ÎN CAZUL CONULUI DE AUR RelaŃia lui Herodot generalizată în cazul Conului de aur este: Aria cercului construit cu înălŃimea conului este egală cu aria a k suprafeŃe laterale ale conului. Putem defini astfel o clasă de conuri circulare drepte: Conurile circulare drepte clasa A sunt conurile circulare drepte în care aria cercului construit cu înălŃimea conului este egală cu aria a k suprafeŃe laterale ale conului.

- 111 -

Conul circular drept A1 este conul circular drept în care aria cercului construit cu înălŃimea conului este egală cu aria unei suprafeŃe laterale ale conului. Am regăsit definiŃia Conului de aur. Reamintim proprietăŃile specifice acestui con: 1. Raportul dintre măsurile generatoarei şi razei cercului de bază al conului, este egal cu Numărul de aur ψ1 = φ; 2. Conul conŃine Triunghiul gama 1 (Triunghiul lui Kepler); 3. Desfăşurata suprafeŃei laterale a conului este partea majoră care rezultă din împărŃirea cercului desfăşuratei în două sectoare de cerc de raport al ariilor egal cu Numărul de aur. Conul circular drept A2 este conul circular drept în care aria cercului construit cu înălŃimea conului este egală cu aria a două suprafeŃe laterale ale conului. ProprietăŃile specifice Conului circular drept A2: 1. Raportul dintre măsurile generatoarei şi razei cercului de bază al conului este egal Numărul de argint ψ2 = θ; 2. Conul conŃine Triunghiul gama 2. Conul circular drept An este conul circular drept în care aria cercului construit cu înălŃimea conului este egală cu aria a n suprafeŃe laterale ale conului.

- 112 -

ProprietăŃile specifice Conului circular drept An: 1. Raportul dintre măsurile generatoarei şi razei cercului de bază al conului, este egal numărul n2 + 4 , n∈N; 2 2. Conul conŃine Triunghiul gama n. ψn =

n+

8.3. GENERALIZAREA RELAłIEI LUI HERODOT ÎN CAZUL CONULUI CIRCULAR DREPT B1 După cum am arătat în secŃiune 8.1, RelaŃia lui Herodot în cazul Conului circular drept B1 are două variante. Drept urmare, RelaŃia lui Herodot generalizată pentru Conul circular drept B1, va avea şi ea două variante: – Aria cercului de bază al conului este egală cu aria a k suprafeŃe laterale ale unui con care are drept rază a cercului de bază, înălŃimea conului iniŃial şi aceeaşi generatoare cu a conului iniŃial (prima variantă); – Aria cercului de bază al conului este egală cu aria a k suprafeŃe laterale ale unui con care are drept rază a cercului de bază, generatoarea conului iniŃial şi aceeaşi înălŃime cu a conului iniŃial (a doua variantă).

- 113 -

Putem defini astfel o clasă de conuri circulare drepte: Conurile circulare drepte clasa B sunt conurile circulare drepte în care aria cercului de bază al conului, este egală cu aria a k suprafeŃe laterale ale unui con care are drept rază a cercului de bază, înălŃimea conului iniŃial şi aceeaşi generatoare cu a conului iniŃial (definiŃia 1). Conurile circulare drepte clasa B sunt conurile circulare drepte în care aria cercului de bază al conului, este egală cu aria a k suprafeŃe laterale ale unui con care are drept rază a cercului de bază, generatoarea conului iniŃial şi aceeaşi înălŃime cu a conului iniŃial (definiŃia 2). DefiniŃiile şi proprietăŃile specifice Conului circular drept B1, au fost prezentate în secŃiunea 8.1. Conul circular drept B2 este conul circular drept în care aria cercului de bază al conului, este egală cu aria a două suprafeŃe laterale ale unui con care are drept rază a cercului de bază, înălŃimea conului iniŃial şi aceeaşi generatoare cu a conului iniŃial (definiŃia 1). Conul circular drept B2 este conul circular drept în care aria cercului de bază al conului, este egală cu aria a două suprafeŃe laterale ale unui con care are drept rază a cercului de bază, generatoarea conului iniŃial şi aceeaşi înălŃime cu a conului iniŃial (definiŃia 2).

- 114 -

ProprietăŃile specifice Conului circular drept B2: 1. Raportul dintre măsurile generatoarei şi înălŃimii conului este egal cu Numărul de argint ψ2 = θ; 2. Conul conŃine Triunghiul gama 2. Conurile circulare drepte Bn sunt conurile circulare drepte în care aria cercului de bază al conului, este egală cu aria a n suprafeŃe laterale ale unui con care are drept rază a cercului de bază, înălŃimea conului iniŃial şi aceeaşi generatoare cu a conului iniŃial (definiŃia 1). Conurile circulare drepte Bn sunt conurile circulare drepte în care aria cercului de bază al conului, este egală cu aria a n suprafeŃe laterale ale unui con care are drept rază a cercului de bază, generatoarea conului iniŃial şi aceeaşi înălŃime cu a conului iniŃial (definiŃia 2). ProprietăŃile specifice Conurilor circulare drepte Bn: 1. Raportul dintre măsurile generatoarei şi înălŃimii n2 + 4 conului, este egal numărul ψn = , n∈N; 2 2. Conurile conŃin Triunghiurile gama n. n+

- 115 -

9. APLICAłIILE 7: POLIEDRE REGULATE Ca şi în cazul poligoanelor regulate, poliedrele regulate sunt constituite din figuri geometrice definite fără condiŃii impuse.

9.1. ICOSAEDRUL REGULAT. PIRAMIDE ICOSAEDRALE Icosaedrul regulat este poliedrul a cărui suprafaŃă este compusă din triunghiuri echilaterale congruente.

Fig. 26. Icosaedrul regulat şi grupul de trei Dreptunghiuri de aur congruente generate de acesta.

- 116 -

FeŃele din jurul unul vârf al Icosaedrului regulat, formează o piramidă pentagonală dreaptă, ce are ca bază un Pentagon regulat. Conform celor arătate anterior, raportul dintre măsurile diagonalei Pentagonului regulat şi laturii acestuia, este egal cu SecŃiunea de aur. Ca urmare a acestei proprietăŃi, vârfurile Icosaedrului regulat generează un grup de trei Dreptunghiuri de aur congruente, toate având centrul în centrul icosaedrului, care sunt perpendiculare reciproc şi care au dimensiuni în opoziŃie. Pentru a demonstra acest lucru, punem problema inversă: vârfurile unui grup de trei Dreptunghiuri de aur congruente, având acelaşi centru, perpendiculare reciproc şi care au dimensiunile în opoziŃie, determină un Icosaedru regulat, respectiv vom demonstra că vârfurile Dreptunghiurilor de aur, generează triunghiuri echilaterale congruente. În Fig. 26 este reprezentat Icosaedrul regulat şi grupul de trei Dreptunghiuri de aur congruente generate de acestea: IJKL, EFGH şi ABCD. Dacă considerăm două dreptunghiuri, de exemplu IJKL şi EFGH, acestea vor determina opt noi segmente egale, şi anume: LF, KF, LG, KG, IE, JE, IH şi JH. Analog, dreptunghiurile al doilea şi al treilea, şi al treilea şi primul determină opt noi segmente egale,

- 117 -

adică obŃinem 8×3 = 24 noi segmente, care adăugate la cele 2×3 = 6 segmente reprezentând lăŃimea celor trei dreptunghiuri, obŃinem 30 de segmente reprezentând muchiile icosaedrului. Rămâne deci să demonstrăm că aceste 30 de segmente sunt egale, respectiv că segmentele determinate de cele trei dreptunghiuri sunt egale cu latura mică a dreptunghiurilor. Dacă latura mică a dreptunghiurilor este a a, latura mare va fi φ a . ΜΝ =

ϕa − a ϕ−1 a = 2 2

ΝF = MN 2 +MF2 = (

=

ϕ−1 2 ϕa 2 a) + ( ) = 2 2

ϕ2 − 2ϕ+1 2 ϕ2 − a 2 a = 2ϕ2 − 2ϕ+1 = a + 4 4 2 =

a a a 3 2(ϕ− 2) +1 = 2 +1 = 2 2 2

a 3a 2 a 3a 2 = + =a LF = LN 2 +NF2 = ( )2 + 2 4 4 4

Icosaedrul regulat are în compunere trei piramide regulate:

- 118 -

– Piramida regulată triunghiulară având drept bază o faŃă a icosaedrului şi vârful în centrul acestuia, pe care o vom numi Piramida icosaedrală 1. Aceasta constituie comodulul icosaedrului prin definiŃie; – Piramida regulată pentagonară având drept bază pentagonul determinat de cinci feŃe ale icosaedrului şi vârful în punctul de întâlnire al celor cinci feŃe, pe care o vom numi Piramida icosaedrală 2; – Piramida regulată pentagonară având drept bază pentagonul determinat de cinci feŃe ale icosaedrului şi vârful în centrul acestuia, pe care o vom numi Piramida icosaedrală 3.

PIRAMIDA ICOSAEDRALĂ 1 Aşa cum am menŃionat în secŃiunea dedicată piramidelor regulate, acestea pot fi analizate prin comodul, având în vedere că piramidele regulate sunt o combinaŃie simetrică a comodulului.

Fig. 27. Comodulul piramidei regulate.

- 119 -

Elementele comodulului piramidei regulate sunt: a – latura bazei piramidei regulate; h – înălŃimea piramidei regulate; b – apotema piramidei regulate; c – apotema bazei piramidei regulate; d – muchia piramidei; e – proiecŃia muchiei piramidei pe baza acesteia. Conform definiŃiei Piramidei icosaedrale 1, baza acesteia este un Triunghi echilateral. În semitriunghiul bazei comodulului există relaŃia: tgα =

a 2c

tg 60º =

c=

a 2c

a = 0, 288a 2tg 60º

Teorema lui Pitagora în acest triunghi este:

e=

a2 2 + c = 0,25a 2 + 0,083a 2 = 0,577 a 4

Fie un Dreptunghi de aur generat de icosaedru:

- 120 -

Fig. 28. Dreptunghiul de aur al icosaedrului.

Semidiagonala dreptunghiului

f=

ϕ2 a 2 a 2 a + = ϕ2 +1 4 4 2

este egală cu muchia piramidei. Prin urmare, a d=f = ϕ2 +1 = 0,951a 2 Ne propunem să calculăm rapoartele supraunitare determinate de laturile triunghiurilor dreptunghice reprezentând semitriunghiul feŃei laterale a comodulului şi triunghiul determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului şi să vedem dacă printre aceste rapoarte, se regăsesc numere dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 121 -

Teorema lui Pitagora în semitriunghiul laterale a comodulului este:

feŃei

a a2 2 a 2 ϕa b = d 2 + ( )2 = (ϕ +1) − = = 0,809a 2 4 4 2

Laturile acestui triunghi sunt: b = 0,809a a = 0,5a 2

d = 0, 951a

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: d = 1,175 b

d = 1,902 a 2 b = 1, 618 = ψ = ϕ 1 a 2

Teorema lui Pitagora în triunghiul median al comodulului este:

- 122 -

h = b 2 − c 2 = (0,809a)2 − (0,288a) 2 = 0, 755a Laturile acestui triunghi sunt: b = 0,809a c = 0, 288a h = 0, 755a

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: b = 1, 070 h b = 2,802 c h = 2, 618 c

Laturile triunghiului determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului sunt: d = 0, 951a e = 0,577 a h = 0, 755a

- 123 -

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: d = 1, 258 h d = 1, 647 e h = 1,309 e

ProprietăŃile particulare ale Piramidei icosaedrale 1: 1. Raportul dintre măsurile apotemei şi semilaturii bazei piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul beta 1 (Triunghiul de aur); 3. Comodulare.

PIRAMIDA ICOSAEDRALĂ 2 Considerăm comodulul piramidei regulate din Fig. 27. Conform definiŃiei piramidei, baza acesteia este un Pentagon regulat. În semitriunghiul relaŃia:

bazei

comodulului,

a 2c a tg 36º = 2c tgα =

există

- 124 -

c=

a = 0, 688a 2tg 36º

Teorema lui Pitagora în acest triunghi este:

e=

a2 2 + c = 0,25a 2 + 0,473a 2 = 0,850a 4

În semitriunghiul feŃei laterale a comodulului există relaŃia: a tg β = 2b tg 30º =

b=

a 2b

a = 0,866a 2tg 30º

Ne propunem să calculăm rapoartele supraunitare determinate de laturile triunghiurilor dreptunghice reprezentând semitriunghiul feŃei laterale a comodulului, triunghiul median al comodulului şi triunghiul determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului şi să vedem dacă printre aceste rapoarte se regăsesc numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Teorema lui Pitagora în triunghiul median al comodulului este:

- 125 -

h = b 2 − c 2 = (0,866a) 2 − (0,688a) 2 = 0,525a Laturile acestui triunghi sunt: b = 0,866a c = 0, 688a h = 0,525a

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: b = 1, 258 c b = 1, 647 h c = 1,309 h

Laturile triunghiului determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului sunt: d =a e = 0,850a h = 0,525a

Rapoartele supraunitare determinate de laturile

- 126 -

acestui triunghi sunt: d = 1,175 e d = 1, 902 h e = 1, 618 = ψ = ϕ 1 h

ProprietăŃile particulare ale Piramidei icosaedrale 2: 1. Raportul dintre măsurile proiecŃiei muchiei piramidei pe baza acesteia şi înălŃimii piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul beta 1 (Triunghiul de aur) şi Pentagonul regulat; 3. Comodulare.

PIRAMIDA ICOSAEDRALĂ 3 Considerăm comodulul piramidei regulate din Fig. 27. Conform definiŃiei piramidei, baza acesteia este un Pentagon regulat. În semitriunghiul relaŃia:

bazei

tgα =

comodulului,

a 2c

există

- 127 -

tg 36º =

c=

a 2c

a = 0, 688a 2tg 36º

Teorema lui Pitagora în acest triunghi este:

e=

a2 2 + c = (0,5a ) 2 + (0,688a ) 2 = 0,850a 4

Fie un dreptunghi de aur generat de icosaedru din Fig. 28. Semidiagonala dreptunghiului ϕ2 a 2 a 2 a f= + = ϕ2 +1 4 4 2

este egală cu muchia piramidei. Prin urmare, a d=f = ϕ2 +1 = 0,951a 2 Ne propunem să calculăm rapoartele supraunitare determinate de laturile triunghiurilor dreptunghice reprezentând semitriunghiul feŃei laterale a comodulului şi triunghiul mediu al comodulului determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului şi să vedem dacă printre aceste rapoarte se regăsesc numere

- 128 -

dreptunghiulare cu rest asemenea. Teorema lui Pitagora în semitriunghiul laterale a comodulului este:

feŃei

a b = d 2 + ( )2 = (0,951a)2 −(0,5a )2 = 0,809a 2 Laturile acestui triunghi sunt: b = 0,809a a = 0,5a 2

d = 0, 951a

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: d = 1,175 b d = 1,902 a 2 b = 1, 618 = ψ = ϕ 1 a 2

Teorema lui Pitagora în triunghiul median al

- 129 -

comodulului este:

h = b 2 − c 2 = (0,809a)2 − (0,688a)2 = 0, 425a Laturile acestui triunghi sunt: b = 0,809a c = 0, 688a h = 0, 425a

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: b = 1,175 c b = 0,902 h c = 1, 618 = ψ = ϕ 1 h

Laturile triunghiului determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului sunt: d = 0, 951a e = 0,850a

- 130 -

h = 0, 425a

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: d = 1,118 e d = 2, 236 h e =2 h

ProprietăŃile particulare ale Piramidei icosaedrale 3: 1. Raportul dintre măsurile apotemei şi semilaturii bazei piramidei, precum şi raportul dintre măsurile apotemei bazei piramidei şi înălŃimii acesteia, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul beta 1 (Triunghiul de aur) şi Pentagonul regulat; 3. Comodulare. Dacă unim centrele celor 20 de feŃe ale icosaedrului, având în vedere că figura este simetrică în raport cu centrul acesteia, obŃinem o figură geometrică regulată, compusă din 12 Pentagoane regulate congruente, numită Dodecaedru regulat. Figurile care se obŃin una din cealaltă, prin unirea centrelor feŃelor acestora, se numesc figuri duale.

- 131 -

ProprietăŃile particulare ale Icosaedrului regulat: 1. Figura conŃine Dreptunghiul de aur, Piramida icosaedrală 1, Piramida icosaedrală 2 şi Piramida icosaedrală 3; 2. Figura admite un dual, Dodecaedrul regulat; 3. Figura este comodulată. Comodulul este Piramida icosaedrală 1. Se observă că între proprietăŃile icosaedrului nu a fost inclus şi Pentagonul regulat. Acesta se regăseşte în proprietăŃile Piramidelor icosaedrale 2 şi 3.

9.2. DODECAEDRUL REGULAT. PIRAMIDE DODECAEDRALE Cele 20 de feŃe ale icosaedrului regulat determină cele 20 de vârfuri ale dodecaedrului regulat şi, reciproc, drept urmare, centrele feŃelor dodecaedrului regulat, vor determina la rândul lor un grup de trei Dreptunghiuri de aur congruente.

Fig. 29. Dodecaedrul regulat şi grupul de trei Dreptunghiuri de aur congruente generate de acesta.

- 132 -

Dodecaedrul regulat piramide regulate:

are

în

compunere

trei

– Piramida regulată pentagonală având drept bază o faŃă a dodecaedrului şi vârful în centrul acestuia, pe care o vom numi Piramida dodecaedrală 1. Aceasta constituie comodulul dodecaedrului prin definiŃie; – Piramida regulată triunghiulară având drept bază diagonalele a trei feŃe pentagonale ale dodecaedrului şi drept vârf punctul de întâlnire al acestor feŃe, pe care o vom numi Piramida dodecaedrală 2; – Piramida regulată triunghiulară având drept bază diagonalele a trei feŃe pentagonale ale dodecaedrului şi drept vârf centrul acestuia, pe care o vom numi Piramida dodecaedrală 3.

PIRAMIDA DODECAEDRALĂ 1 Conform definiŃiei piramidei, baza acesteia este un Pentagon regulat. Considerăm comodulul piramidei regulate din Fig. 27. În semitriunghiul bazei comodulului piramidei, există relaŃia: a tgα = 2c

- 133 -

tg 36º =

c=

a 2c

a = 0, 688a 2tg 36º

Teorema lui Pitagora în acest triunghi este:

e=

a2 2 + c = (0,5a ) 2 + (0,688a ) 2 = 0,850a 4

Unind anumite vârfuri ale dodecaedrului şi Ńinând seama de simetria acestuia, Dodecaedrul regulat determină un cub. După cum se poate observa din Fig. 30, diagonalele feŃelor pentagonale ale dodecaedrului, egale între ele, reprezintă muchiile figurii presupuse a fi cub. Trebuie să mai demonstrăm că aceste muchii sunt şi perpendiculare două câte două, adică feŃele figurii presupuse a fi cub, sunt pătrate. Având în vedere simetria dodecaedrului, este suficient a arăta că numai două dintre cele douăsprezece muchii sunt perpendiculare.

Fig. 30. Dodecaedrul regulat şi cubul determinat de acesta.

- 134 -

Vom lua în considerare un grup de muchii ale dodecaedrului care determină o faŃă a figurii presupuse a fi cub.

Fig. 31. Grupul de muchii al Dodecaedrului regulat care determină o faŃă a cubului.

łinând seama de simetria dodecaedrului, rezultă următoarele: – Segmentele AD şi BC, respectiv DC şi AB sunt paralele două câte două; – Segmentele AB şi DC sunt perpendiculare pe segmentul EF. Se poate deduce deci că segmentul AD este perpendicular pe segmentul AB, deci figura ABCD este un pătrat. Rezultă că Dodecaedrul regulat determină un cub, între muchiile acestuia existând relaŃia: lc ld

=ϕ

- 135 -

unde lc şi ld sunt latura cubului şi respectiv a Dodecaedrului regulat. Să considerăm figura geometrică determinată de un grup de muchii ale dodecaedrului şi o faŃă a cubului:

Fig. 32. Figura geometrică determinată de un grup de muchii ale Dodecaedrului regulat şi o faŃă a cubului şi secŃiunea sa mediană.

În această figură luăm un plan de secŃiune care trece prin mijlocul muchiei de deasupra şi mijloacele a două muchii ale cubului. SecŃiunea mediană a figurii este un triunghi isoscel de bază φa, unde a este latura dodecaedrului şi α unghiul la vârf al triunghiului. Ne propunem să determinăm unghiul α, adică unghiul format de două feŃe alăturate ale dodecaedrului sau unghiul diedru al dodecaedrului.

- 136 -

Pentru aceasta este necesar a determina în prealabil măsura laturilor egale ale triunghiului mai sus menŃionat. Fie o faŃă pentagonală a dodecaedrului:

Fig. 33. FaŃa pentagonală a Dodecaedrului regulat.

Latura triunghiului isoscel din secŃiunea mediană a corpului geometric din Fig. 32, este segmentul EF al feŃei pentagonale a dodecaedrului. Segmentul GB este: GB=

AB-CD ϕa − a ϕ−1 a = = 2 2 2

- 137 -

EF=GD= BD 2 -GB2 = a 2 − ( Acum putem dodecaedrului:

determina

ϕ+ 2 ϕ−1 2 a) = a 2 2

unghiul

diedru

al

Fig. 34. SecŃiunea mediană a figurii geometrice determinate de un grup de muchii ale Dodecaedrului regulat şi o faŃă a cubului.

sin

α 2

=

ϕa ϕ 2 = = 0,850 ϕ+ 2 ϕ+ 2 a 2

α 2

= arcsin 0,850

α 2

= 58°, 282

α = 116°,565 Ne propunem acum să calculăm lăŃimea Dreptunghiului de aur generat de dodecaedru. Să considerăm Dodecaedrul regulat din Fig. 29.

- 138 -

Observăm că lăŃimea Dreptunghiului de aur uneşte centrele a două feŃe pentagonale adiacente ale dodecaedrului. Mai observăm în figură că lăŃimea Dreptunghiului de aur formează împreună cu apotemele a două feŃe pentagonale adiacente, un triunghi isoscel.

Fig. 35. Triunghiul isoscel ce are ca bază lăŃimea Dreptunghiului de aur al Dodecaedrului regulat şi drept laturi apotemele a două feŃe pentagonale adiacente ale dodecaedrului.

Să calculăm menŃionate.

măsura

apotemelor

mai

Fie un comodul al feŃei dodecaedrului:

Fig. 36. Comodulul feŃei pentagonale a Dodecaedrului regulat.

sus

- 139 -

a tg 36º = 2 g g=

a = 0, 688a 2tg 36º

În semitriunghiul din Fig. 35 există relaŃia: sin

α 2

=

i g

unde i este jumătatea lăŃimii Dreptunghiului de aur al dodecaedrului. i = g sin

α 2

= 0, 688a sin 58°, 282 = 0, 585a

Fie un Dreptunghi de aur generat de dodecaedru:

Fig. 37. Dreptunghiul de aur generat de Dodecaedrul regulat.

- 140 -

Lungimea dreptunghiului este: j = 2ϕi = 2ϕ • 0,585a = 1,113a

Diagonala dreptunghiului este:

k=

j 2 + 4i 2 = (1,894a)2 + 4(0,585a)2 = 2, 227 a

Ne propunem să calculăm rapoartele supraunitare determinate de laturile triunghiurilor dreptunghice reprezentând semitriunghiul feŃei laterale a comodulului, triunghiul median al comodulului şi triunghiul determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului şi să vedem dacă printre aceste rapoarte se regăsesc numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Observăm că înălŃimea piramidei analizate este jumătate din diagonala Dreptunghiului de aur: h=

k 2,227 a = = 1,113a 2 2

Teorema lui Pitagora în triunghiul median al comodulului piramidei este:

b = h 2 + c 2 = (1,113a) 2 + (0,688a)2 = 1, 309a Laturile acestui triunghi sunt: b = 1, 309a

- 141 -

h = 1,113a c = 0, 688a

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: b = 1,175 h b = 1,902 c h = 1, 618 = ψ = ϕ 1 c

Teorema lui Pitagora în semitriunghiul laterale a comodulului este:

d = b2 +

feŃei

a2 = (1,309a )2 + (0,5a )2 = 1, 401a 4

Laturile acestui triunghi sunt: d = 1, 401a b = 1, 309a a = 0,5a 2

Rapoartele supraunitare determinate de laturile

- 142 -

acestui triunghi sunt: d = 1, 070 b d = 2,802 a 2 b = 2, 618 a 2

Teorema lui Pitagora în triunghiului determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului sunt:

e = d 2 − h 2 = (1,401a)2 −(1,113a)2 = 0,850a Laturile acestui triunghi sunt: d = 1, 401a h = 1,113a e = 0,850a

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: d = 1, 258 h

- 143 -

d = 1, 648 e h = 1,309 e

ProprietăŃile particulare ale Piramidei dodecaedrale 1: 1. Raportul dintre măsurile înălŃimii şi apotemei bazei piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul beta 1 (Triunghiul de aur) şi Pentagonul regulat; 3. Comodulare.

PIRAMIDA DODECAEDRALĂ 2 Conform definiŃiei piramidei, baza acesteia este un triunghi echilateral, iar feŃele sunt Triunghiuri penta. Considerăm comodulul piramidei regulate din Fig. 27. Notând latura dodecaedrului cu piramidei va fi d = ad .

ad , muchia

Având în vedere că faŃa laterală a piramidei este Triunghiul penta: a =ϕ d sau a =ϕ ad

- 144 -

Deci latura bazei piramidei este:

a = ϕad Ne propunem să calculăm rapoartele supraunitare determinate de laturile triunghiurilor dreptunghice reprezentând triunghiul median al comodulului şi triunghiul determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului şi să vedem dacă printre aceste rapoarte se regăsesc numere dreptunghiulare cu rest asemenea. În triunghiul feŃei laterale a comodulului există relaŃia:

ϕ2 a d2 ϕa a b = d 2 + ( )2 = a d2 − ( d )2 = a d2 − = 2 2 4

=

4a d2 − ϕ2 a d2 4

=

1 ad 4 − ϕ2 = 0,587 ad 2

În semitriunghiul bazei comodulului există relaŃia: tgα =

a 2c

tg 60º =

c=

a 2c

ϕad a = = 0, 467ad 2tg 60º 2tg 60º

- 145 -

Teorema lui Pitagora în triunghiul median al comodulului este:

h = b 2 − c 2 = (0,587ad ) 2 −(0,467ad ) 2 = 0,356ad Laturile triunghiului median al comodulului sunt:

b = 0, 587ad c = 0, 467ad h = 0,356ad Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: b = 1, 258 c b = 1, 647 h c = 1,309 h

Laturile triunghiului determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului sunt: d = ad

e = 0,934ad

- 146 -

h = 0,356ad Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: d = 1, 070 e d = 2,802 h e = 2, 618 h

ProprietăŃile particulare ale Piramidei dodecaedrale 2: 1. Raportul dintre măsurile bazei şi muchiei piramidei, este egal cu Numărul de aur, ψ1 = φ; 2. Piramida conŃine Triunghiul penta; 3. Comodulare.

PIRAMIDA DODECAEDRALĂ 3 Conform definiŃiei piramidei, baza acesteia este un triunghi echilateral. Considerăm comodulul piramidei regulate din Fig. 27. Notând latura dodecaedrului cu ad, latura bazei piramidei va fi a = ϕad . În semitriunghiul relaŃia:

bazei

comodulului,

există

- 147 -

tgα =

a 2c

tg 60º =

c=

a 2c

ϕad a = = 0, 467ad 2tg 60º 2tg 60º

Teorema lui Pitagora în semitriunghiul bazei comodulului este:

a ϕ e = c 2 + ( ) 2 = (0,467 ad ) 2 + ( ad )2 = 0,934ad 2 2 Observăm că muchia Piramidei dodecaedrale 3 este egală cu muchia Piramidei dodecaedrale 1:

d = 1, 401a = 1, 401ϕad = 2, 267ad Ne propunem să calculăm rapoartele supraunitare determinate de laturile triunghiurilor dreptunghice reprezentând semitriunghiul feŃei laterale al comodulului, triunghiul median al comodulului şi triunghiul determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza comodulului şi să vedem dacă printre aceste rapoarte se regăsesc numere dreptunghiulare cu rest asemenea. Teorema lui Pitagora în triunghiul determinat de muchia comodulului şi proiecŃia acesteia pe baza

- 148 -

comodulului este:

h = d 2 − e2 = (0,267ad ) 2 −(0,934ad ) 2 = 2, 065ad Laturile acestui triunghi sunt:

d = 2, 267ad h = 2, 065ad e = 0,934ad Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: d = 1, 097 h d = 2, 427 e h = 2, 211 e

Teorema lui Pitagora în semitriunghiul laterale a comodulului este:

a ϕ b = d 2 − ( ) 2 = (2,267 ad )2 −( ad )2 = 2,118a 2 2 Laturile acestui triunghi sunt:

feŃei

- 149 -

d = 2, 267ad b = 2,118ad a ϕ = ad = 0,809ad 2 2

Rapoartele supraunitare determinate de laturile acestui triunghi sunt: d = 1, 070 b d = 2,802 a 2 b = 2, 618 a 2

Laturile triunghiului median al comodulului sunt:

b = 2,118ad h = 2, 065ad c = 0, 467ad Rapoartele supraunitare determinate de laturile

- 150 -

acestui triunghi sunt: b = 1, 025 h b = 4,534 c h = 4, 422 c

Concluzie: Piramida dodecaedrală 3 nu conŃine aplicaŃii geometrice ale numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea. ProprietăŃile particulare Dodecaedrului regulat: 1. Figura conŃine Dreptunghiul de aur, Piramida icosaedrală 1 şi Piramida icosaedrală 2; 2. Figura admite un dual, Icosaedrul regulat; 3. Figura este comodulată. Comodulul este Piramida dodecaedrală 1. Se constată că între proprietăŃile dodecaedrului nu a fost inclus şi Pentagonul regulat. Acesta este regăseşte în ProprietăŃile Piramidei dodecaedrale 1.

B. APLICAłII GEOMETRICE UNGHIULARE CARE GENEREAZĂ NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA

- 153 -

10. APLICAłIILE 8: UNGHIUL ÎMPĂRłIT PRINTR-O SEMIDREAPTĂ. UNGHIUL COMPLET ÎMPĂRłIT ÎN DOUĂ PĂRłI

10.1. UNGHIUL DETERMINAT DE DOUĂ SEMIDREPTE AVÂND ACEEAŞI ORIGINE ÎMPĂRłIT ÎN RAPORT ψn Fie γ unghiul determinat de semidreptele OA şi OB, împărŃit de semidreapta OC, astfel încât să rezulte două unghiuri inegale: partea majoră, notată β şi partea minoră, notată α

Fig. 38. Unghiul determinat de două semidrepte având aceeaşi origine, împărŃit în două părŃi inegale.

Cazul 1: Unghiul întreg se raportează la unghiul major, aşa cum unghiul major se raportează la unghiul minor:

- 154 -

β +α β = β α Notând

β = x , ecuaŃia anterioară devine: α 1+

1 =x x

x2 – x – 1 = 0 SoluŃia acestei ecuaŃii este x =

1+ 5 β = ψ1 = ϕ = . α 2

Cazul 2: Suma dintre întregul unghi şi unghiul major, se raportează la unghiul major, aşa cum unghiul major se raportează la unghiul minor:

β + β +α β = β α 2β + α

β Notând

=

β α

β = x , ecuaŃia de mai sus devine: α 2+

1 =x x

x2 – 2x – 1 = 0

- 155 -

SoluŃia acestei ecuaŃii este x =

β = ψ2 = θ = 1 + 2 . α

Cazul 3: Suma dintre întregul unghi şi dublul unghiului major, se raportează la unghiul major, aşa cum unghiul major se raportează la unghiul minor: 2β + β + α β =

β

α

3β + α

β Notând

=

β α

β = x , ecuaŃia anterioară devine: α 3+

1 =x x

x2 – 3x – 1 = 0 SoluŃia acestei ecuaŃii este x =

3 + 13 β = ψ3 = . α 2

Din cazurile 1-3, putem deduce o regulă privind împărŃirea unui unghi în două părŃi asimetrice: Cazul n: Suma dintre întregul unghi şi de n–1 ori unghiul major, se raportează la unghiul major, aşa cum unghiul major se raportează la unghiul minor: (n − 1) β + β + α β =

β

α

- 156 -

nβ − β + β + α

β nβ + α β = β α Notând

=

β α

β = x , ecuaŃia de mai sus devine: α x2 – nx – 1 = 0

care are soluŃia x =

β n + n2 + 4 = ψn = , n∈N . α 2

Concluzie: Un unghi poate fi împărŃit printr-o semidreaptă, astfel încât raportul dintre măsurile unghiului major şi unghiului minor, să fie egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

10.2. UNGHIUL COMPLET ÎMPĂRłIT ÎN DOUĂ PĂRłI DE RAPORT ψn Unghiul egal cu patru unghiuri drepte este un unghi complet. Să împărŃim unghiul complet în două părŃi inegale: partea majoră, reprezentată de unghiul β şi partea minoră, reprezentată de unghiul α.

- 157 -

Fig. 39. Unghiul complet împărŃit în două părŃi inegale.

Cazul 1: Unghiul complet se raportează la unghiul major, aşa cum unghiul major se raportează la unghiului minor. Analog împărŃirii unghiul determinat de două semidrepte având aceeaşi origine, în două părŃi inegale, 1+ 5 β = ψ1 = ϕ = α 2 Cazul 2: Suma dintre unghiul complet şi unghiul major, se raportează la unghiul major, aşa cum unghiul major se raportează la unghiul minor. Similar împărŃirii unghiul determinat de două semidrepte având aceeaşi origine, în două părŃi inegale,

β = ψ2 = θ = 1 + 2 α Având în vedere aceeaşi analogie cu cea mai sus

- 158 -

menŃionată, Cazul n: Suma dintre unghiul complet şi de n–1 ori unghiul major, se raportează la unghiul major, aşa cum unghiul major se raportează la unghiul minor:

β n + n2 + 4 = ψn = , n∈N . α 2 Concluzie: Unghiul complet poate fi împărŃit în două părŃi, astfel încât raportul dintre măsura unghiului major şi măsura unghiului minor, să fie egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 159 -

11. APLICAłIILE 9: TRIUNGHIURI În această secŃiune vom analiza cazurile de triunghiuri în care raportul măsurilor unor elemente unghiulare (unghiuri) este egal cu un număr dreptunghiular cu rest asemenea.

11.1. TRIUNGHIURI ISOSCELE Cazul 1.1: Să se construiască un triunghi isoscel având unghiul de la bază mai mare decât unghiul opus bazei, astfel încât suma dintre unghiul de la bază şi unghiul opus bazei, raportată la unghiul de la bază, să fie egală un unghiul de la bază, raportat la unghiul opus bazei. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul epsilon 1.

Fig. 40. Triunghiul epsilon 1.

- 160 -

Conform definiŃiei, între unghiurile triunghiului există relaŃia: α +β β =

β

α

β 2 − αβ − α 2 = 0 β α

( )2 −

β −1 = 0 α

1+ 5 β = ψ1 = ϕ = α 2

Să determinăm măsurile unghiurilor triunghiului:

β = ϕα 2 β + α = 180° 2ϕα + α = 180° (2ϕ + 1)α = 180°

α=

180° 1 180° = 0, 236 • 180° = 42°, 492 = 2ϕ + 1 1+ 5 2 +1 2

Proprietatea specifică Triunghiului epsilon 1: Raportul dintre măsurile unghiului de la baza triunghiului şi unghiului opus bazei acestuia, este egal cu Numărul de aur ψ1=φ. Cazul 1.2: Să se construiască un triunghi isoscel

- 161 -

având unghiul de la bază mai mare decât unghiul opus bazei, astfel încât suma dintre dublul unghiului de la bază şi unghiul opus bazei, raportată la unghiul de la bază, să fie egală un unghiul de la bază, raportat la unghiul opus bazei. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul epsilon 2.

Fig. 41. Triunghiul epsilon 2.

Conform definiŃiei, între unghiurile triunghiului există relaŃia: 2β + α β =

β

α

β 2 − 2αβ − α 2 = 0 β α

β α

( )2 − 2( ) − 1 = 0

- 162 -

β = ψ2 = θ = 1 + 2 α Să determinăm măsura unghiurilor triunghiului:

β = θα 2 β + α = 180° 2θα + α = 180° (2θ + 1)α = 180°

α=

180° 180° 180° 180° = = = = 2θ + 1 2(1 + 2) + 1 2 + 2 2 + 1 3 + 2 2

= 1,171 • 180° = 30°,883

β = θα = (1 + 2)30°,883 = 74°,558 Proprietatea specifică Triunghiului epsilon 2: Raportul dintre măsurile unghiului de la baza triunghiului şi unghiului opus bazei acestuia, este egal cu Numărul de argint ψ2=θ. Următoarele cazuri sunt similare celor anterioare. Cazul 1.n: Să se construiască un triunghi isoscel având unghiul de la bază mai mare decât unghiul opus bazei, astfel încât suma dintre de n ori unghiul de la bază şi unghiul opus bazei, raportată la unghiul de la bază, să fie egală un unghiul de la bază, raportat la unghiul opus bazei.

- 163 -

Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul epsilon n. Conform definiŃiei, între unghiurile triunghiului există relaŃia: nβ + α β =

β

α

β 2 − nαβ − α 2 = 0 β α

β α

( ) 2 − n( ) − 1 = 0

β n + n2 + 4 = ψn = , n∈N α 2 Proprietatea specifică Triunghiului epsilon n: Raportul dintre măsurile unghiului de la baza triunghiului şi unghiului opus bazei acestuia, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea. Cazul 2.1: Să se construiască un triunghi isoscel având unghiul opus bazei mai mare decât unghiul de la bază, astfel încât suma dintre unghiul de la bază şi unghiul opus bazei, raportată la unghiul opus bazei, să fie egală un unghiul opus bazei, raportat la unghiul de la bază. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul zeta 1.

- 164 -

Fig. 42. Triunghiul zeta 1.

Conform definiŃiei, între unghiurile triunghiului există relaŃia: β +α β =

β

α

β 2 − αβ − α 2 = 0 β α

β α

( )2 − ( ) − 1 = 0 1+ 5 β = ψ1 = ϕ = α 2

Să determinăm măsura unghiurilor triunghiului:

β = ϕα β + 2α = 180° ϕα + 2α = 180° (ϕ + 2)α = 180°

- 165 -

α=

180° 180° 180° 360° = = = = ϕ + 2 1+ 5 1+ 5 + 4 5 + 5 +2 2 2 = 0, 276 • 180° = 49°, 75

β = ϕα =

1+ 5 49°, 75 = 1, 618 • 49°, 75 = 80°, 498 2

Proprietatea specifică Triunghiului zeta 1: Raportul dintre măsurile unghiului opus bazei triunghiului şi unghiului de la baza acestuia, este egal cu Numărul de aur ψ1=φ. Cazul 2.2: Să se construiască un triunghi isoscel, având unghiul opus bazei mai mare decât unghiul de la bază, astfel încât suma dintre dublul unghiului opus bazei şi unghiul de la bază, raportată la unghiul opus bazei, să fie egală un unghiul opus bazei, raportat la unghiul de la bază. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul zeta 2.

Fig. 43. Triunghiul zeta 2.

- 166 -

Conform definiŃiei, între unghiurile triunghiului există relaŃia: 2β + α β =

β

α

β 2 − 2αβ − α 2 = 0 β α

β α

( )2 − 2( ) − 1 = 0

β = ψ2 = θ = 1 + 2 α Să determinăm măsura unghiurilor triunghiului:

β = θα β + 2α = 180° θα + 2α = 180° (θ + 2)α = 180°

α=

180° 180° 180° = = = 0, 226 • 180° = 40°, 777 θ + 2 1+ 2 + 2 3 + 2

β = θα = (1 + 2)40°, 777 = 2, 414 * 40°, 777 = 98°, 445 Proprietatea specifică Triunghiului zeta 2: Raportul dintre măsurile unghiului opus bazei triunghiului şi unghiului de la baza acestuia, este egal cu Numărul de argint ψ2=θ.

- 167 -

Următoarele cazuri sunt similare celor cazurilor anterioare. Cazul 2.n: Să se construiască un triunghi isoscel, având unghiul opus bazei mai mare decât unghiul de la bază, astfel încât suma dintre de n ori unghiul opus bazei şi unghiul de la bază, raportată la unghiul opus bazei, să fie egală un unghiul opus bazei, raportat la unghiul de la bază. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul zeta n. Conform definiŃiei, între unghiurile triunghiului există relaŃia: nβ + α β =

β

α

β 2 − nαβ − α 2 = 0 β α

β α

( ) 2 − n( ) − 1 = 0

β n + n2 + 4 = ψn = , n∈N α 2 Proprietatea specifică Triunghiului zeta n: Raportul dintre măsurile unghiului opus bazei triunghiului şi unghiului de la baza acestuia, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 168 -

11.2. TRIUNGHIURI DREPTUNGHICE Cazul 1.1: Să se construiască un triunghi dreptunghic, astfel încât suma dintre unghiul opus catetei majore şi unghiul opus catetei minore, raportată la unghiul opus catetei majore, să fie egală un unghiul opus catetei majore, raportat la unghiul opus catetei minore. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul eta 1.

Fig. 44. Triunghiul eta 1.

Conform definiŃiei, între unghiurile triunghiului există relaŃia:

- 169 -

α +β β = β α β 2 − αβ − α 2 = 0 β α

β α

( )2 − ( ) − 1 = 0 1+ 5 β = ψ1 = ϕ = α 2

Să determinăm măsura unghiurilor triunghiului:

β = ϕα α + β = 90° α + ϕα = 90° (ϕ + 1)α = 90°

α=

90° 90° 90° = = = 0,381 • 90° = 34°, 376 ϕ +1 1+ 5 1+ 5 + 2 +1 2 2

β = ϕα =

1+ 5 • 34°,376 = 1, 618 • 34°,376 = 55°, 623 2

Proprietatea specifică Triunghiului eta 1: Raportul dintre măsurile unghiului opus catetei majore şi unghiului opus catetei minore, este egal cu Numărul de aur ψ1=φ.

- 170 -

Cazul 1.2: Să se construiască un triunghi dreptunghic, astfel încât suma dintre dublul unghiului opus catetei majore şi unghiul opus catetei minore, raportată la unghiul opus catetei majore, să fie egală un unghiul opus catetei majore, raportat la unghiul opus catetei minore. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul eta 2.

Fig. 45. Triunghiul eta 2.

Conform definiŃiei, între unghiurile triunghiului există relaŃia: 2β + α

β

=

β α

β 2 − 2αβ − α 2 = 0

- 171 -

β α

β α

( )2 − 2( ) − 1 = 0

β = ψ2 = θ = 1 + 2 α Să determinăm măsura unghiurilor triunghiului:

β = θα α + β = 90° α + θα = 90° (θ + 1)α = 90°

α=

90° 90° 90° = = = 0, 292 • 90° = 26°, 36 θ +1 1+ 2 +1 2 + 2

β = θα = (1 + 2)26°, 36 = 2, 414 • 26°,36 = 63°, 639 Proprietatea specifică Triunghiului eta 2: Raportul dintre măsurile unghiului opus catetei majore şi unghiului opus catetei minore, este egal cu Numărul de argint ψ2=θ. Următoarele cazuri sunt similare celor anterioare. Cazul 1.n: Să se construiască un triunghi dreptunghic, astfel încât suma dintre de n ori unghiul opus catetei majore şi unghiul opus catetei minore, raportată la unghiul opus catetei majore, să fie egală un unghiul opus catetei

- 172 -

majore, raportat la unghiul opus catetei minore. Vom numi triunghiul astfel obŃinut, Triunghiul eta n. Conform definiŃiei, între unghiurile triunghiului există relaŃia: α + nβ β =

β

α

β 2 − nαβ − α 2 = 0 β α

β α

( ) 2 − n( ) − 1 = 0

β n + n2 + 4 = ψn = , n∈N α 2 Proprietatea specifică Triunghiului eta n: Raportul dintre măsurile unghiului opus catetei majore şi unghiului opus catetei minore, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

11.3. TRIUNGHIURI OARECARE Cazul 1: Să se construiască un triunghi oarecare de unghiuri α, β şi γ, astfel încât:

- 173 -

α +β β = β α Vom numi acest triunghi, Triunghiul teta γ 1.

Fig. 46. Triunghiul teta γ 1.

β 2 − αβ − α 2 = 0 β α

β α

( )2 − ( ) − 1 = 0 1+ 5 β = ψ1 = ϕ = α 2

β = ϕα

- 174 -

Proprietatea specifică Triunghiului teta γ 1: Raportul măsurilor a două unghiuri ale triunghiului, este egal cu Numărul de aur ψ1=φ. Cazul 2: Să se construiască un triunghi oarecare de unghiuri α, β şi γ, astfel încât: 2β + α

β

=

β α

Vom numi acest triunghi, Triunghiul teta γ 2.

Fig. 47. Triunghiul teta γ 2.

β 2 − 2αβ − α 2 = 0 β α

β α

( )2 − 2( ) − 1 = 0

- 175 -

β = ψ2 = θ = 1 + 2 α β = θα Proprietatea specifică Triunghiului teta γ 2: Raportul măsurilor a două unghiuri ale triunghiului, este egal cu Numărul de argint ψ2=θ. Următoarele cazuri sunt similare celor anterioare. Cazul n: Să se construiască un triunghi oarecare de unghiuri α, β şi γ, astfel încât:

α + nβ β = β α Vom numi acest triunghi, Triunghiul teta γ n.

β 2 − nαβ − α 2 = 0 β α

β α

( ) 2 − n( ) − 1 = 0

β n + n2 + 4 = ψn = , n∈N α 2 Proprietatea specifică Triunghiului teta γ n: Raportul măsurilor a două unghiuri ale triunghiului, este egal unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 176 -

ObservaŃie: Triunghiurile teta γ 1, teta γ 2, ..., teta γ n reprezintă clase de triunghiuri.

- 177 -

12. APLICAłIILE 10: SUPRAFAłA CERCULUI ÎMPĂRłITĂ ÎN DOUĂ SECTOARE DE CERC DE RAPORT AL ARIIOR ψn Fie suprafaŃa cercului împărŃită în două părŃi inegale, corespunzătoare împărŃirii prin două unghiuri la centru: sectorul de cerc major, de unghi la centru β şi sectorul de cerc minor, de unghi la centru α.

Fig. 48. SuprafaŃa cercului împărŃită în două părŃi inegale.

Se observă că odată cu împărŃirea unghiului la centru al cercului în două unghiuri la centru inegale, de raport β/α, are loc o împărŃire a circumferinŃei cercului în două arce de cerc şi

- 178 -

totodată o împărŃire a suprafeŃei cercului în două sectoare de cerc, în acelaşi raport β/α (suprafeŃele sectoarelor de cerc sunt proporŃionale cu lungimile arcelor de cerc corespunzătoare). Concluzie: Analog împărŃirii unghiului la centru al cercului în două părŃi de raport ψn, suprafaŃa cercului poate fi împărŃită în două sectoare de cerc, astfel încât raportul dintre aria sectorului de cerc major şi aria sectorului de cerc minor, să fie egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

12.1. SECTORUL DE CERC PARTE MAJORĂ CARE REZULTĂ DIN ÎMPĂRłIREA SUPRAFEłEI CERCULUI ÎN DOUĂ SECTOARE DE CERC DE RAPORT AL ARIIOR ψ1 Dacă vom tăia suprafaŃa cercului în două sectoare inegale, corespunzătoare unghiurilor la centru major şi minor, iar extremităŃile sectorului major, respectiv segmentele OA şi OB le vom suprapune (Fig.48), vom genera o nouă figură geometrică, respectiv un con circular drept. Conform definiŃiei din secŃiunea 10.2, cazul 1:

β =ϕ α α + β = 360°

- 179 -

β = ϕα α + ϕα = 360° (1 + ϕ)α = 360°

α=

β = ϕα =

360° ϕ +1

ϕ • 360° ϕ • 360° 360° = = = 222°, 492 ϕ +1 ϕ2 ϕ

Cu sectorul de cerc având unghiul la centru β = 2220,492 (sectorul de cerc major), ne propunem să construim un con circular drept.

Fig. 49. Sectorul de cerc corespunzător unghiului la centru β = 222°,492.

Lungimea arcului de cerc l al sectorului de cerc

- 180 -

major, poate fi determinată prin regula de trei simplă: 360°...........................2π g 360° ...............................l ϕ

360° • 2π g 2π g ϕ l= = ϕ 360°

Fig. 50. Conul circular drept construit cu sectorul de cerc major.

CircumferinŃa cercului de bază al conului este 2πr. Prin construcŃie lungimea arcului de cerc al sectorului de cerc major, este egală cu circumferinŃa cercului de bază al conului: 2π g = 2π r ϕ g =r ϕ

- 181 -

g = ϕr g =ϕ r

Concluzie: Partea majoră rezultată prin împărŃirea suprafeŃei cercului în două sectoare de cerc, corespunzătoare împărŃirii unghiului la centru al cercului în raport egal cu Numărul de aur, generează un Con de aur.

II. APLICAłII ÎN FIZICĂ CARE GENEREAZĂ NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA

- 185 -

13. ŞIRURI ADITIVE An

13.1. ŞIRURI ADITIVE A1: ŞIRUL LUI FIBONACCI Fie şirul de numere naturale: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Şirul poartă denumirea de Şirul lui Fibonacci şi are proprietatea că fiecare termen, începând cu al treilea, este suma celor doi termeni precedenŃi: an = an–1 + an–2 , n = 3,4, ... Primii doi termeni ai şirului au valoarea 1. RelaŃia de mai sus mai poate fi scrisă: an+1 = an + an–1 ÎmpărŃim relaŃia prin factorul an: a n+1 a n +a n-1 = an an

La limită, relaŃia devine:

- 186 -

lim

a n+1 a +a = lim n n-1 n →∞ an an

lim

a n+1 a = lim(1 + n-1 ) n →∞ an an

n →∞

n →∞

a n+1 a = 1 + lim n-1 n →∞ an an

lim n →∞

lim

n →∞

1 a n+1 = 1 + lim n →∞ a an n a n-1

a n+1 =x n →∞ a n

Notăm lim

RelaŃia de mai sus devine: x = 1+

1 x

RelaŃia reprezintă ecuaŃia Numărului de aur. Deci lim

n→∞

a n+1 = ψ1 = ϕ . an

Concluzie: În Şirul lui Fibonacci, raportul supraunitar a doi termeni consecutivi tinde către Numărul de aur, cu cât creşte indicele n.

- 187 -

13.2. ŞIRURI ADITIVE A2: ŞIRUL PELL Fie şirul de numere naturale: 1, 2, 5, 12, 29, 70, ... Şirul poartă denumirea de Şirul Pell şi are proprietatea că fiecare termen, începând cu al treilea, este suma dintre dublul precedentului şi anteprecedent: an = 2an–1 + an–2 , n = 3,4, ... Primii doi termeni ai şirului sunt 1 şi 2. RelaŃia de mai sus mai poate fi scrisă: an+1 = 2an + an–1 ÎmpărŃim relaŃia prin factorul an: a n+1 2a n +a n-1 = an an

La limită, relaŃia devine: lim

n →∞

a n+1 2a +a = lim n n-1 n →∞ an an

- 188 -

lim n →∞

a n+1 a = lim(2 + n-1 ) n →∞ an an

lim

n →∞

lim

n →∞

a n+1 a = 2 + lim n-1 n →∞ an an 1 a n+1 = 2 + lim n →∞ a an n a n-1

a n+1 =x n →∞ a n

Notăm lim

RelaŃia de mai sus devine: x = 2+

1 x

RelaŃia reprezintă ecuaŃia Numărului de argint. Deci lim n→∞

a n+1 = ψ2 = θ . an

Concluzie: În Şirul Pell, raportul supraunitar a doi termeni consecutivi tinde către Numărul de argint, cu cât creşte indicele n.

- 189 -

13.3. ŞIRURI ADITIVE A3 Fie şirul de numere naturale: 1, 3, 10, 33, 109, 360, ... Şirul nu are o denumire, îl vom denumi Şirul Aditiv A3, care are proprietatea că fiecare termen, începând cu al treilea, este suma dintre triplul precedentului şi antecedent: an = 3an–1 + an–2 , n = 3,4, ... Primii doi termeni ai şirului sunt 1 şi 3. RelaŃia de mai sus, scrisă în alt mod este: an+1 = 3an + an–1 ÎmpărŃim relaŃia prin factorul an: a n+1 3a n +a n-1 = an an

La limită, relaŃia devine: lim

n →∞

a n+1 3a +a = lim n n-1 n →∞ an an

- 190 -

lim n →∞

a n+1 a = lim(3 + n-1 ) n →∞ an an

lim

n →∞

lim

n →∞

Notăm lim

n →∞

a n+1 a = 3 + lim n-1 n →∞ an an 1 a n+1 = 3 + lim n →∞ a an n a n-1

a n+1 =x an

RelaŃia anterioară devine: x = 3+

1 x

RelaŃia reprezintă ecuaŃia Numărului dreptunghiular cu rest asemenea de rang 3. Deci lim

n→∞

a n+1 = ψ3 . an

Concluzie: În Şirul aditiv A3, raportul supraunitar a doi termeni consecutivi tinde către Numărul dreptunghiular cu rest asemenea de rang 3, cu cât creşte indicele n.

- 191 -

14. APLICAłIILE 11: CIRCUITE ELECTRICE CU REZISTORI

14.1. REłELE (GRUPĂRI) DE REZISTORI

14.1.1. GRUPAREA ÎN SERIA A REZISTORILOR ReŃelele electrice sunt montaje electrice construite din elemente de circuit (surse, rezistori, condensatori, inductanŃe, comutatori etc.) şi conductori de legătură între aceste elemente. În prezentele aplicaŃii vom analiza o serie de reŃele electrice cu rezistori. Punctele din reŃea în care sunt conectaŃi mai mult de doi conductori, se numesc noduri de reŃea. Doi sau mai mulŃi rezistori sunt conectaŃi în serie, dacă sunt plasaŃi pe aceeaşi ramură de reŃea, iar între ei nu sunt noduri de reŃea.

(a) ReŃea de rezistori conectaŃi în serie

(b) Schema echivalentă a reŃelei (a) Fig. 51. Gruparea în serie a rezistorilor.

- 192 -

RezistenŃa electrică echivalentă a reŃelei serie de rezistori, se calculează cu formula: Re = R1 + R2 + R3 + ... + Rn Dacă reŃeaua este compusă din rezistori având rezistenŃă electrică r, rezistenŃa aceeaşi echivalentă a circuitului va fi:

R e = r r + ... +r = n r , n∈N + r + n termeni

R e = n r , n∈N

14.1.2. GRUPAREA ÎN PARALEL A REZISTORILOR Doi sau mai mulŃi rezistori sunt conectaŃi în paralel, dacă sunt conectaŃi între aceleaşi două noduri.

(a) ReŃea de rezistori conectaŃi în paralel

(b) Schema echivalentă a reŃelei (a) Fig. 52. Gruparea în paralel a rezistorilor.

- 193 -

RezistenŃa electrică echivalentă a reŃelei în paralel de rezistori este: 1 1 1 1 1 = + + + ... + R e R1 R 2 R 3 Rn

Dacă reŃeaua este compusă din rezistori având aceeaşi rezistenŃă electrică r, rezistenŃa echivalentă a circuitului va fi: 1 1 1 1 1 n = + + + ... + = R e  r r  r r r n termeni

Re =

r , n∈N n

Pentru doi rezistori conectaŃi în paralel, formula rezistenŃei electrice echivalente este: Re =

R 1R 2 R 1 +R 2

14.2. CIRCUITUL ELECTRIC CU REZISTORI Ψ1.m(r) Fie circuitul electric cu un rezistor, circuit pe care îl vom nota Ψ1.1(r), Ψ fiind litera grecească psi majusculă.

- 194 -

Fig. 53. Circuitul electric cu un rezistor Ψ1.1 (r).

RezistenŃa echivalentă a circuitului Ψ1.1(r) este egală cu rezistenŃa electrică a rezistorului r: Re = r Considerăm circuitul electric cu doi rezistori de rezistenŃă electrică egală r, legaŃi în serie, pe care îl vom nota Ψ1.2(r):

Fig. 54. Circuitul electric cu doi rezistori Ψ1.2 (r).

RezistenŃa electrică Ψ1.2(r) este:

echivalentă

a

circuitului

Re = 2r Fie circuitul electric cu trei rezistori de rezistenŃă electrică egală r, conectaŃi mixt, notat Ψ1.3(r):

- 195 -

Fig. 55. Circuitul electric cu trei rezistori Ψ1.3 (r).

Circuitul electric echivalent Ψ1.3(r) este:

Fig. 56. Circuitul electric echivalent Ψ1.3 (r).

RezistenŃa electrică Ψ1.3(r) este:

echivalentă

R e = r+

a

circuitului

r 3 = r 2 2

Considerăm circuitul electric cu patru rezistori de rezistenŃă electrică egală r, conectaŃi mixt, notat Ψ1.4(r):

- 196 -

Fig. 57. Circuitul electric cu patru rezistori Ψ1.4 (r).

Circuitul electric echivalent Ψ1.4(r) este:

Fig. 58. Circuitul electric echivalent Ψ1.4 (r).

RezistenŃa electrică Ψ1.4(r) este:

echivalentă

a

circuitului

r • 2r 2r 2 3r 2 +2r 2 5 R e = r+ =r+ = = r r+2r 3r 3r 3 Având în vedere ultimele două circuite analizate, respectiv circuitele prezentate în Fig. 55 şi 57 putem deduce o regulă pentru compunerea unei reŃele nesfârşite de rezistori având aceeaşi

- 197 -

rezistenŃă electrică r, reŃea pe care o vom nota Ψ1.m(r). Circuitul electric cu rezistori Ψ1.m(r) rezultă prin conectarea nesfârşită şi alternativă serie – paralel a câte unui rezistor având aceeaşi rezistenŃă electrică r. Conform acestei reguli, circuitul electric cu cinci rezistori conectaŃi serie – paralel este:

Fig. 59. Circuitul electric cu cinci rezistori Ψ1.5 (r).

Circuitul electric echivalent Ψ1.5(r) este:

Fig. 60. Circuitul electric echivalent Ψ1.5 (r).

RezistenŃa

electrică

echivalentă

a

circuitului

- 198 -

Ψ1.5(r) este: 3 3 2 r• r r 3 2 3 8 R e = r+ 2 =r+ 2 =r+ • r=r+ r= r 3 5 2 5 5 5 r+ r r 2 2 Având în vedere regula mai înainte stabilită, circuitul electric cu şase rezistori conectaŃi serie – paralel este:

Fig. 61. Circuitul electric cu şase rezistori Ψ1.6 (r).

Circuitul electric echivalent Ψ1.6(r) este:

Fig. 62. Circuitul electric echivalent Ψ1.6 (r).

- 199 -

RezistenŃa electrică Ψ1.6(r) este:

echivalentă

a

circuitului

5 5 2 r• r r 5 3 5 13 R e = r+ 3 =r+ 3 =r+ • r=r+ r= r 5 8 3 8 8 8 r+ r r 3 3 Se observă că rezistenŃa electrică a circuitelor cu rezistori Ψ1(r), este egală cu raportul supraunitar a doi termeni consecutivi ai Şirului lui Fibonacci, înmulŃit cu rezistenŃa electrică r a rezistorului comodul. Circuitul electric cu rezistori Ψ1.m(r) este:

Fig. 63. Circuitul electric cu m rezistori Ψ1.m (r).

La limită, rezistenŃa circuitului Ψ1.m(r) este:

electrică

R e =ϕr , ϕ =

1+ 5 2

echivalentă

a

- 200 -

Dacă facem raportul dintre măsurile rezistenŃei echivalente a circuitului şi rezistenŃei rezistorului comodul, obŃinem: ϕr 1+ 5 = ϕ, ϕ = r 2

Concluzie: În circuitul electric cu rezistori Ψ1.m(r), raportul măsurilor rezistenŃei echivalente a circuitului şi rezistenŃei rezistorului comodul, este egal cu SecŃiunea de aur.

14.3. CIRCUIT ELECTRIC CU REZISTORI Ψ2.m(r) Fie circuitul electric cu un rezistor, pe care îl vom nota Ψ2.1(r):

Fig. 64. Circuitul electric cu un rezistor Ψ2.1 (r).

RezistenŃa electrică echivalentă a circuitului Ψ1.1(r) este egală cu rezistenŃa electrică a rezistorului r:

- 201 -

Re = r Considerăm circuitul electric cu doi rezistori de rezistenŃă electrică egală r, legaŃi în serie, pe care îl vom nota Ψ2.2(r):

Fig. 65. Circuitul electric cu doi rezistori Ψ2.2 (r).

RezistenŃa electrică Ψ2.2(r) este:

echivalentă

a

circuitului

Re = 2r Fie circuitul electric cu patru rezistori de rezistenŃă electrică egală r, conectaŃi mixt, notat Ψ2.3(r):

Fig. 66. Circuitul electric cu patru rezistori Ψ2.3 (r).

- 202 -

Circuitul electric echivalent Ψ2.3(r) este:

Fig. 67. Circuitul electric echivalent Ψ2.3 (r).

RezistenŃa electrică Ψ2.3(r) este:

echivalentă

R e = 2r+

a

circuitului

r 5 = r 2 2

Fie circuitul electric cu şase rezistori de rezistenŃă electrică egală r, conectaŃi mixt, notat Ψ2.4(r):

Fig. 68. Circuitul electric cu şase rezistori Ψ2.4 (r).

Circuitul electric echivalent Ψ2.4(r) este:

- 203 -

Fig. 69. Circuitul electric echivalent Ψ2.4 (r).

RezistenŃa electrică Ψ2.4(r) este:

echivalentă

a

circuitului

r • 2r r2 2 12 2 R e = 2r+ =2r+ =2r+ r= r r 5 5 5 +2r r 2 2 Considerăm circuitul electric cu opt rezistori de rezistenŃă electrică egală r, conectaŃi mixt, notat Ψ2.5(r):

Fig. 70. Circuitul electric cu opt rezistori Ψ2.5 (r).

- 204 -

Circuitul electric echivalent Ψ2.5(r) este:

Fig. 71. Circuitul electric echivalent Ψ2.5 (r).

RezistenŃa electrică Ψ2.5(r) este:

echivalentă

a

circuitului

r 5 5 2 • r r 5 1 29 R e = 2r+ 2 2 =2r+ 4 =2r+ r • r= r r 5 6 4 3 12 + r r 2 2 2 Având în vedere ultimile două circuite analizate, respectiv circuitele prezentate în Fig. 68 şi 70, putem deduce o regulă pentru compunerea unei reŃele nesfârşite de rezistori având aceeaşi rezistenŃă electrică r, reŃea pe care o vom nota Ψ2.m(r). Circuitul electric cu rezistori Ψ2.m(r) rezultă prin conectarea nesfârşită şi alternativă serie – paralel a câte doi rezistori având aceeaşi rezistenŃă electrică r. Se observă că rezistenŃa electrică a circuitelor cu

- 205 -

rezistori Ψ2(r), este egală cu raportul supraunitar a doi termeni consecutivi ai Şirului Pell, înmulŃit cu rezistenŃa electrică r a rezistorului comodul. Circuitul electric echivalent Ψ2.m(r) este:

Fig. 72. Circuitul electric cu m rezistori Ψ2.m (r).

La limită, rezistenŃa circuitului Ψ2.m(r) este:

electrică

echivalentă

a

R e =θr , θ = 1 + 2 Dacă facem raportul dintre măsurile rezistenŃei echivalente a circuitului şi rezistenŃei rezistorului comodul, obŃinem: θr = θ , θ = 1+ 2 r

Concluzie: În circuitul electric cu rezistori Ψ2.m(r), raportul măsurilor rezistenŃei echivalente a circuitului şi rezistenŃei rezistorului comodul, este egal cu Numărul de argint.

- 206 -

14.4. CIRCUITUL ELECTRIC CU REZISTORI Ψ3.m(r) Fie circuitul electric cu un rezistor, circuit pe care îl vom nota Ψ3.1(r):

Fig. 73. Circuitul electric cu un rezistor Ψ3.1 (r).

RezistenŃa electrică echivalentă a circuitului Ψ3.1(r) este egală cu rezistenŃa electrică a rezistorului r: Re = r Considerăm circuitul electric cu trei rezistori de rezistenŃă electrică egală r, legaŃi în serie, pe care îl vom nota Ψ3.2(r):

Fig. 74. Circuitul electric cu trei rezistori Ψ3.2 (r).

- 207 -

RezistenŃa electrică Ψ3.2(r) este:

echivalentă

a

circuitului

Re = 3r Fie circuitul electric cu şase rezistori de rezistenŃă electrică egală r, conectaŃi mixt, notat Ψ3.3(r):

Fig. 75. Circuitul electric cu şase rezistori Ψ3.3 (r).

Circuitul electric echivalent Ψ3.3(r) este:

Fig. 76. Circuitul electric echivalent Ψ3.3 (r).

RezistenŃa electrică Ψ3.3(r) este:

echivalentă

a

circuitului

- 208 -

1 10 R e = 3r+ r= r 3 3

Fie circuitul electric cu nouă rezistori de rezistenŃă electrică egală r, conectaŃi mixt, notat Ψ3.4(r):

Fig. 77. Circuitul electric cu nouă rezistori Ψ3.4 (r).

Circuitul electric echivalent Ψ3.4(r) este:

Fig. 78. Circuitul electric echivalent Ψ3.4 (r).

RezistenŃa echivalentă a circuitului Ψ3.4(r) este: 1 r • 3r r2 3 33 R e = 3r+ 3 =3r+ =3r+ r= r r 10 10 10 +3r r 3 3

- 209 -

Considerăm circuitul electric cu doisprezece rezistori de rezistenŃă electrică egală r, conectaŃi mixt, pe care îl vom nota Ψ3.5(r):

Fig. 79. Circuitul electric cu doisprezece rezistori Ψ3.5 (r).

Circuitul electric echivalent Ψ3.5(r) este:

Fig. 80. Circuitul electric echivalent Ψ3.5 (r).

RezistenŃa electrică Ψ3.5(r) este:

echivalentă

a

circuitului

1 10 10 2 r• r r 10 109 3 3 9 R e = 3r+ =3r+ =3r+ r= r r 10 11 33 33 + r r 3 3 3 Se observă că rezistenŃa electrică a circuitelor cu

- 210 -

rezistori Ψ3(r), este egală cu raportul supraunitar a doi termeni consecutivi ai Şirului aditiv A3, înmulŃit cu rezistenŃa electrică r a rezistorului comodul. Având în vedere ultimele două circuite analizate, respectiv circuitele prezentate în Fig. 77 şi 79, putem deduce o regulă pentru compunerea unei reŃele nesfârşite de rezistori având aceeaşi rezistenŃă electrică r, reŃea pe care o vom nota Ψ3.m(r). Circuitul electric cu rezistori Ψ3.m(r) rezultă prin conectarea nesfârşită şi alternativă serie – paralel a câte trei rezistori având aceeaşi rezistenŃă electrică r. Circuitul electric cu rezistori Ψ3.m(c) este:

Fig. 81. Circuitul electric cu m rezistori Ψ3.m (r).

La limită, rezistenŃa circuitului Ψ3.m(r) este:

electrică

R e =ψ 3 r , ψ 3 =

echivalentă

a

3 + 13 2

Dacă facem raportul dintre măsurile rezistenŃei

- 211 -

echivalente a circuitului şi rezistenŃei rezistorului comodul, obŃinem: ψ 3r 3 + 13 = ψ 3 , ψ3 = r 2

Concluzie: În circuitul electric cu rezistori Ψ3.m(r), raportul măsurilor rezistenŃei echivalente a circuitului şi rezistenŃei rezistorului comodul, este egal cu Numărul dreptunghiular cu rest asemenea de rang 3.

14.5. CIRCUITUL ELECTRIC CU REZISTORI Ψn.m(r) łinând seama de circuitele electrice cu m rezistori Ψ1.m(r), Ψ2.m(r) şi Ψ3.m(r), respectiv circuitele din Fig. 63, 72 şi 81, putem deduce o regulă generală pentru compunerea unei reŃele nesfârşite de rezistori având aceeaşi rezistenŃă electrică r, reŃea pe care o vom nota Ψn.m(r). Circuitul electric cu rezistori Ψn.m(r) rezultă prin conectarea nesfârşită şi alternativă serie – paralel a câte n rezistori de aceeaşi rezistenŃă electrică r:

- 212 -

Fig. 82. Circuitul electric cu m rezistori Ψn.m (r).

La limită, rezistenŃa circuitului Ψn.m(r) este:

R e =ψ n r , ψ n =

electrică

echivalentă

a

n+ n 2 +4 , n∈N 2

Dacă facem raportul dintre măsurile rezistenŃei echivalente a circuitului şi rezistenŃei rezistorului comodul, obŃinem: ψnr n+ n 2 +4 = ψn , ψn = , n∈N r 2

Concluzie: În circuitul electric cu n rezistori Ψn.m(r), raportul măsurilor rezistenŃei echivalente a circuitului şi rezistenŃei rezistorului comodul, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 213 -

15. APLICAłIILE 12: CIRCUITE ELECTRICE CU CONDENSATORI

15.1. REłELE (GRUPĂRI) DE CONDENSATORI

15.1.1. GRUPAREA ÎN SERIE A CONDENSATORILOR Doi sau mai mulŃi condensatori sunt conectaŃi în serie, dacă sunt plasaŃi pe aceeaşi ramură de reŃea, iar între ei nu sunt noduri de reŃea. Reamintim că nodurile de reŃea sunt punctele din reŃea în care sunt conectaŃi mai mult de doi conductori.

(a) ReŃea de condensatori conectaŃi în serie

(b) Schema echivalentă a reŃelei (a) Fig. 83. Gruparea în serie a condensatorilor.

Capacitatea echivalentă a reŃelei în serie de condensatori este:

- 214 -

1 1 1 1 1 = + + + ... + Ce C1 C2 C3 Cn

Dacă reŃeaua este compusă din condensatori având aceeaşi capacitate c, capacitatea echivalentă a circuitului va fi:

1 1 1 1 1 n = + + + ... + = , n ∈ N Ce  c c c c c n termeni

Ce =

c , n∈N n

Pentru doi condensatori conectaŃi formula capacităŃii echivalente este: Ce =

în

serie,

C1C 2 C1 +C 2

15.1.2. GRUPAREA ÎN PARALEL A CONDENSATORILOR Doi sau mai mulŃi condensatori sunt conectaŃi în paralel, dacă sunt conectaŃi între aceleaşi două noduri.

- 215 -

(a) ReŃea de condensatori conectaŃi în paralel

(b) Schema echivalentă a reŃelei (a) Fig. 84. Gruparea în paralel a condensatorilor.

Capacitatea echivalentă a reŃelei în paralel de condensatori este: Ce = C1 + C2 + C3 + ... + Cn Dacă reŃeaua este compusă din condensatori având aceeaşi capacitate c, capacitatea echivalentă a circuitului va fi:

Ce = c c + ... +c = n c , n ∈ N + c +  n termeni

Ce = nc , n ∈ N

15.2. CIRCUITUL ELECTRIC CU CONDENSATORI Ψ1.m(c) Fie circuitul electric cu un condensator, circuit pe

- 216 -

care îl vom nota Ψ1.1(c).

Fig. 85. Circuitul electric cu un condensator Ψ1.1 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ1.1(c) este egală cu capacitatea c a condensatorului: Ce = c Considerăm circuitul electric cu doi condensatori de capacitate egală c, legaŃi în paralel, pe care îl vom nota Ψ1.2(c):

Fig. 86. Circuitul electric cu doi condensatori Ψ1.2 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ1.2(c) este: Ce = 2c Fie circuitul electric cu trei condensatori de capacitate egală c, conectaŃi mixt, notat Ψ1.3(c):

- 217 -

Fig. 87. Circuitul electric cu trei condensatori Ψ1.3 (c).

Circuitul electric echivalent Ψ1.3(c) este:

Fig. 88. Circuitul electric echivalent Ψ1.3 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ1.3(c) este: 1 3 Ce = c+ c = c 2 2

Considerăm circuitul electric cu patru condensatori de capacitate egală c, conectaŃi mixt, notat Ψ1.4(c):

- 218 -

Fig. 89. Circuitul electric cu patru condensatori Ψ1.4 (c).

Circuitul electric echivalent Ψ1.4(c) este:

Fig. 90. Circuitul electric echivalent Ψ1.4 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ1.4(c) este:

c • 2c 2c2 5 Ce = c+ =c+ = c c+2c 3c 3 Fie circuitul electric cu cinci condensatori de

- 219 -

capacitate egală c, conectaŃi mixt, notat Ψ1.5(c):

Fig. 91. Circuitul electric cu cinci condensatori Ψ1.5 (c).

Circuitul electric echivalent Ψ1.5(c) este:

Fig. 92. Circuitul electric echivalent Ψ1.5 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ1.5(c) este: 3 3 2 c• c c 3 2 3 8 Ce = c+ 2 =c+ 2 =c+ • c=c+ c= c 3 5 2 5 5 5 c+ c c 2 2

- 220 -

Având în vedere circuitele analizate, putem deduce o regulă pentru compunerea unei reŃele nesfârşite de condensatori de aceeaşi capacitate c, reŃea pe care o vom nota Ψ1.m(c). Circuitul electric cu condensatori Ψ1.m(c) rezultă prin conectarea nesfârşită şi alternativă paralel – serie a câte unui condensator de aceeaşi capacitate c, cu condensatorul montat anterior în reŃea. Capacitatea circuitelor cu condensatori Ψ1(c) este egală cu raportul supraunitar a doi termeni consecutivi ai Şirului lui Fibonacci, înmulŃit cu capacitatea c a condensatorului comodul. Circuitul electric echivalent Ψ1.m(c) este:

Fig. 93. Circuitul electric cu m condensatori Ψ1.m (c).

- 221 -

La limită, capacitatea echivalentă a circuitului Ψ1.m(c) este: 1+ 5 Ce =ϕc , ϕ = 2 Dacă facem raportul dintre măsurile capacităŃii echivalente a circuitului şi capacităŃii condensatorului comodul, obŃinem: ϕc 1+ 5 = ϕ, ϕ = c 2

Concluzie: În circuitul electric cu condensatori Ψ1.m(c), raportul măsurilor capacităŃii echivalente a circuitului şi capacităŃii condensatorului comodul, este egal cu SecŃiunea de aur.

15.3. CIRCUITUL ELECTRIC CU CONDENSATORI Ψ2.m(c) Fie circuitul electric cu un condensator, circuit pe care îl vom nota Ψ2.1(c):

Fig. 94. Circuitul electric cu un condensator Ψ2.1 (c).

- 222 -

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ2.1(c) este egală cu capacitatea c a condensatorului: Ce = c Considerăm circuitul electric cu doi condensatori de capacitate egală c, legaŃi în paralel, pe care îl vom nota Ψ2.2(c):

Fig. 95. Circuitul electric cu doi condensatori Ψ2.2 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ2.2(c) este: Ce = 2c Fie circuitul electric cu patru condensatori de capacitate egală c, conectaŃi mixt, notat Ψ2.3(c):

Fig. 96. Circuitul electric cu patru condensatori Ψ2.3 (c).

- 223 -

Circuitul electric echivalent Ψ2.3(c) este:

Fig. 97. Circuitul electric echivalent Ψ2.3 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ2.3(c) este: Ce = 2c+

c 5 = c 2 2

Fie circuitul electric cu şase condensatori de capacitate egală c, conectaŃi mixt, notat Ψ2.4(c):

Fig. 98. Circuitul electric cu şase condensatori Ψ2.4 (c).

- 224 -

Circuitul electric echivalent Ψ2.4(c) este:

Fig. 99. Circuitul electric echivalent Ψ2.4 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ2.4(c) este: c • 2c c2 2 12 Ce = 2c+ 2 =2c+ =2c+ c= c c 5 5 5 +2c c 2 2 Considerăm circuitul electric cu opt condensatori de capacitate egală c, conectaŃi mixt, notat Ψ2.5(c):

Fig. 100. Circuitul electric cu opt condensatori Ψ2.5 (c).

- 225 -

Circuitul electric echivalent Ψ2.5(c) este:

Fig. 101. Circuitul electric echivalent Ψ2.5 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ2.5(c) este: 1 5 5 2 c• c c 5 2 5 29 Ce = 2c+ 2 2 =2c+ 4 =2c+ • c=2c+ c = c 1 5 6 4 6 12 12 c+ c c 2 2 2 Având în vedere circuitele prezentate în Fig. 95, 96, 98 şi 100, putem deduce o regulă pentru compunerea unei reŃele nesfârşite de condensatori având aceeaşi capacitate c, reŃea pe care o vom nota Ψ2.m(c). Circuitul electric cu condensatori Ψ2.m(c) rezultă prin conectarea nesfârşită şi alternativă paralel – serie a unui grup de câte doi condensatori de aceeaşi capacitate c, cu grupul de condensatori montat anterior în reŃea. Capacitatea circuitelor cu condensatori Ψ2(c) este egală cu raportul supraunitar a doi termeni

- 226 -

consecutivi ai Şirului Pell, înmulŃit cu capacitatea c a condensatorului comodul. Circuitul electric echivalent Ψ2.m(c) este:

Fig. 102. Circuitul electric cu m condensatori Ψ2.m (c).

La limită, capacitatea echivalentă a circuitului Ψ2.m(c) este: Ce =θc , θ = 1 + 2 Dacă facem raportul dintre măsurile capacităŃii echivalente a circuitului şi capacităŃii condensatorului comodul, obŃinem: θc = θ , θ = 1+ 2 c

- 227 -

Concluzie: În circuitul electric cu condensatori Ψ2.m(c), raportul măsurilor capacităŃii echivalente a circuitului şi capacităŃii condensatorului comodul, este egal cu Numărul de argint.

15.4. CIRCUITUL ELECTRIC CU CONDENSATORI Ψ3.m(c) Fie circuitul electric cu un condensator, circuit pe care îl vom nota Ψ3.1(c):

Fig. 103. Circuitul electric cu un condensator Ψ3.1 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ3.1(c) este egală cu capacitatea c a condensatorului: Ce = c Considerăm circuitul electric cu trei condensatori de capacitate egală c, legaŃi în paralel, pe care îl vom nota Ψ3.2(c):

- 228 -

Fig. 104. Circuitul electric cu trei condensatori Ψ3.2 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ3.2(c) este: Ce = 3c Fie circuitul electric cu şase condensatori de capacitate egală c, conectaŃi mixt, notat Ψ3.3(c):

Fig. 105. Circuitul electric cu şase condensatori Ψ3.3 (c).

- 229 -

Circuitul electric echivalent Ψ3.3(c) este:

Fig. 106. Circuitul electric echivalent Ψ3.3 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ3.3(c) este: 1 10 Ce = 3c+ c= c 3 3

Fie circuitul electric cu nouă condensatori de capacitate egală c, conectaŃi mixt, notat Ψ3.4(c):

Fig. 107. Circuitul electric cu nouă condensatori Ψ3.4 (c).

- 230 -

Circuitul electric echivalent Ψ3.4(c) este:

Fig. 108. Circuitul electric echivalent Ψ3.4 (c).

Capacitatea echivalentă a circuitului Ψ3.4(c) este: 1 c • 3c c2 3 33 Ce = 3c+ 3 =3c+ =3c+ c= c c 10 10 10 +3c c 3 3 Având în vedere ultimele trei circuite analizate, respectiv circuitele prezentate în Fig. 104, 105 şi 107, putem deduce o regulă pentru compunerea unei reŃele nesfârşite de condensatori având aceeaşi capacitate c, reŃea pe care o vom nota Ψ3.m(c). Circuitul electric cu condensatori Ψ3.m(c) rezultă prin conectarea nesfârşită şi alternativă paralel – serie a unui grup de câte trei condensatori de aceeaşi capacitate c, cu grupul de

- 231 -

condensatori montat anterior în reŃea. Capacitatea circuitelor cu condensatori Ψ3(c) este egală cu raportul supraunitar a doi termeni consecutivi ai Şirului aditiv A3 înmulŃit cu capacitatea c a condensatorului comodul. Circuitul electric cu condensatori Ψ3.m(c) este:

Fig. 109. Circuitul electric cu m condensatori Ψ3.m (c).

La limită, capacitatea echivalentă a circuitului Ψ3.m(c) este: 3 + 13 Ce =ψ 3c , ψ 3 = 2 Dacă facem raportul dintre măsurile capacităŃii echivalente a circuitului şi capacităŃii condensa-

- 232 -

torului comodul, obŃinem: ψ 3c 3 + 13 = ψ 3 , ψ3 = c 2

Concluzie: În circuitul electric cu condensatori Ψ3.m(c), raportul măsurilor capacităŃii echivalente a circuitului şi capacităŃii condensatorului comodul, este egal cu Numărul dreptunghiular cu rest asemenea de rang 3.

15.5. CIRCUITUL ELECTRIC CU CONDENSATORI Ψn.m(c) łinând seama de circuitele electrice cu m condensatori Ψ1.m(c), Ψ2.m(c) şi Ψ3.m(c), respectiv circuitele din Fig. 93, 102 şi 109, putem deduce o regulă generală pentru compunerea unei reŃele nesfârşite de condensatori având aceeaşi capacitate c, reŃea pe care o vom nota Ψn.m(c). Circuitul electric cu condensatori Ψn.m(c) rezultă prin conectarea nesfârşită şi alternativă paralel – serie a unui grup de câte n condensatori de aceeaşi capacitate c, cu grupul de condensatori montat anterior în reŃea.

- 233 -

Fig. 110. Circuitul electric cu m condensatori Ψn.m (c).

La limită, capacitatea echivalentă a circuitului Ψn.m(c) este:

C e =ψ n c , ψ n =

n+ n 2 +4 , n∈N 2

Dacă facem raportul dintre măsurile capacităŃii echivalente a circuitului şi capacităŃii condensatorului comodul, obŃinem: ψnc n+ n 2 +4 = ψn , ψn = , n∈N c 2

- 234 -

Concluzie: În circuitul electric cu condensatori Ψn.m(c), raportul măsurilor capacităŃii echivalente a circuitului şi capacităŃii condensatorului comodul, este egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 235 -

16. SISTEMUL APLICAłIILOR CARE GENEREAZĂ NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA

16.1. NATURA RAPORTULUI REPREZENTÂND NUMERELE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA Datele privind natura raportului reprezentând numerele dreptunghiulare cu rest asemenea, sunt sintetizate în tabelul următor:

Nr. crt.

0

Denumirea aplicaŃiei sau clasei de aplicaŃii

1

1

Segmentul de dreaptă împărŃit în raportul ψn

2

CircumferinŃa cercului împărŃită în două arce de cerc de raport ψn

3

Triunghiurile alfa

4

Triunghiul penta

Denumirea grupei aplicaŃiei sau clasei de aplicaŃii

2 Segmentele de dreaptă împărŃite printr-un punct CircumferinŃa cercului împărŃită prin două puncte Triunghiuri isoscele Triunghiuri isoscele

Natura raportului reprezentând numerele dreptunghiulare cu rest asemenea Mărimea Mărimea caracteristică a caracteristică a aplicaŃiei sau aplicaŃiei sau clasei de aplicaŃii clasei de aplicaŃii corespunzătoare corespunzătoare numărătorului numitorului raportului raportului 3 4 Segmentul de dreaptă major

Segmentul de dreaptă minor

Arcul de cerc major

Arcul de cerc minor

Latură

Bază

Bază

Latură

- 236 Triunghiurile beta Triunghiurile gama Triunghiurile delta α Dreptunghiurile cu rest asemenea Pentagonul regulat Octogonul regulat Piramidele regulate clasa A Piramidele regulate clasa B Piramidele regulate clasa C Piramidele regulate clasa D Piramidele regulate clasa E Piramidele regulate clasa F Conurile circulare drepte clasa A Conurile circulare drepte clasa B Icosaedrul regulat

Triunghiuri dreptunghice Triunghiuri dreptunghice Triunghiuri oarecare

20 21

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

22

23

Catetă majoră

Catetă minoră

Ipotenuză

Catetă minoră

Latură majoră

Latură minoră

Lungime

LăŃime

Diagonală

Latură

Diagonala a doua

Latură

Apotemă

Apotema bazei

Apotemă

ÎnălŃime

Muchie

Semilatura bazei

Muchie

Apotemă

Muchie

ProiecŃia muchiei pe bază

Muchie

ÎnălŃime

Conuri circulare drepte

Generatoare

Raza cercului de bază

Conuri circulare drepte

Generatoare

ÎnălŃime

Poliedre regulate

Diagonala = lungimea Dreptunghiului de aur conŃinut

Dodecaedrul regulat

Poliedre regulate

Lungimea Dreptunghiului de aur conŃinut

LăŃimea Dreptunghiului de aur conŃinut = Latura icosaedrului LăŃimea Dreptunghiului de aur conŃinut

Unghiul determinat de două semidrepte având aceeaşi origine, împărŃit în raportul ψn

Unghiuri determinate de două semidrepte având aceeaşi origine, împărŃite printr-o semidreaptă Unghiuri complete împărŃite prin două semidrepte având originea în vârful unghiului Triunghiuri isoscele

Unghiul major

Unghiul minor

Unghiul major

Unghiul minor

Unghiul de la bază

Unghiul opus bazei

Unghiul complet împărŃit în două părŃi de raport ψn

Triunghiurile epsilon

Dreptunghiuri Poligoane regulate Poligoane regulate Piramide regulate Piramide regulate Piramide regulate Piramide regulate Piramide regulate Piramide regulate

- 237 24 25 26 27

Triunghiurile zeta Triunghiurile eta Triunghiurile teta γ SuprafaŃa cercului împărŃită prin două sectoare de cerc de raport al ariilor ψn

28

Circuitul electric cu rezistori Ψ

29

Circuitul electric cu condensatori Ψ

Triunghiuri isoscele Triunghiuri dreptunghice Triunghiuri oarecare SuprafaŃa cercului împărŃită în două semidrepte având originea în centrul cercului Circuite electrice cu rezistori comodulate Circuite electrice cu condensatori comodulate

Unghiul opus bazei Unghiul opus catetei majore

Unghiul de la bază Unghiul opus catetei minore

Unghi

Unghi

Sectorul de cerc major

Sectorul de cerc minor

RezistenŃa electrică echivalentă a circuitului Capacitatea echivalentă a circuitului

RezistenŃa electrică a rezistorului comodul Capacitatea condensatorului comodul

Aşa cum putem constata din coloanele 3 şi 4 ale tabelului, respectiv pentru mărimile caracteristice ale aplicaŃiei sau clasei de aplicaŃii corespunzătoare numărătorului şi numitorului raportului reprezentând numerele dreptunghiulare cu rest asemenea, în cazul figurilor geometrice, acest raport se regăseşte între măsurile anumitor elemente segmentale sau unghiulare. În cazul suprafeŃei cercului împărŃită în două sectoare de cerc de raport al ariilor ψn (poz. 27 din tabel), deşi raportul la care facem referire este între măsurile a două elemente reprezentând suprefeŃe, respectiv sectorul de cerc major şi sectorul de cerc minor, acestora le corespund fie elemente segmentale, fie elemente unghiulare (suprafeŃele respective sunt proporŃionale cu arcele de cerc sau unghiurile la centru corespunzătoare). În ceea ce priveşte aplicaŃiile din fizică ale

- 238 -

numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, în circuitele electrice cu rezistori şi condensatori comodulate (circuite care au în compunere numai elemente identice), prin gruparea rezistorilor ori a condensatorilor comodul în aceeaşi secvenŃă specifică, pot fi generate reŃele nesfârşite (reŃele ideale), în care raportul dintre mărimile rezistenŃei electrice echivalente sau capacităŃii echivalente a circuitului şi rezistenŃei electrice a rezistorului comodul, respectiv capacitatea condensatorului comodul, să fie egal cu unul dintre numerele dreptunghiulare cu rest asemenea. łinând seama de cele mai sus prezentate, putem deduce o proprietate generală a sistemului aplicaŃiilor care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea: Raportul măsurilor unor mărimi caracteristice ale acestui sistem de aplicaŃii, este egal cu unul dintre numerele dreptunghulare cu rest asemenea.

16.2. COMODULAREA APLICAłIILOR CARE GENEREAZĂ NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA O altă proprietate care caracterizează sistemul aplicaŃiilor care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea, care se manifestă în multe dintre aceste aplicaŃii, este comodularea.

- 239 -

Comodularea geometrică constă în egalitatea unor elemente segmentale sau unghiulare, ori în congruenŃa unor figuri geometrice. O subclasă a aplicaŃiilor geometrice comodulate care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea, este reprezentată de către două poligoane regulate şi două poliedre regulate: Pentagonul regulat şi Octogonul regulat şi respectiv Icosaedrul regulat şi Dodecaedrul regulat. Aceste aplicaŃii geometrice sunt comodulate prin definiŃie. Comodularea în circuitele electrice, constă în circuite compuse din elemente identice, în cazul de faŃă rezistori sau condensatori identici. Comodularea se regăseşte chiar şi în clasa numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, precum şi în clasa şirurilor aditive An. În cazul numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, ne referim aici la structura unor expresii ale acestor numere. Aşa cum am rătat în secŃiunea 5, Numărul de aur are proprietatea: 1 φ=1+ φ Înlocuind succesiv în membrul al doilea al relaŃiei pe φ cu expresia 1+1/φ, obŃinem în expresia Numărului de aur o fracŃie continuă:

- 240 -

ψ = ϕ = 1+ 1

1 1 1+ 1 1+ 1+...

EcuaŃia numărului de aur x2 – x – 1 = 0 mai poate fi scrisă sub forma:

x = 1+ x Înlocuind în această ecuaŃie pe x cu Numărul de aur, rezultă următoarea proprietate a acestuia:

ϕ = 1+ϕ Înlocuind succesiv în membrul al doilea al relaŃiei 1+ϕ , obŃinem în expresia pe φ cu expresia Numărului de aur ca o rădăcină pătrată continuă:

ψ = θ = 1+ 1+ 1+... 1 Expresiile de mai sus ale Numărului de aur, sunt o combinaŃie a unui singur număr, numărul 1. Proprietatea similară primei proprietăŃi a Numărului de aur prezentate aici, în cazul Numărului de argint este:

- 241 -

θ= 2+

1 θ

Înlocuind succesiv în membrul al doilea al relaŃiei, 1 pe θ cu expresia 2 + , obŃinem în expresia θ Numărului de argint, o combinaŃie a numărului 2: ψ = θ= 2+ 2

1 1

2+ 2+

1 2 +...

Similar, orice număr dreptunghiular cu rest asemenea ψn, poate fi exprimat ca o combinaŃie a numărului natural n: ψ = n+ n

1 1

n+ n+

1 n +...

După cum se poate observa din expresiile de mai sus, numerele dreptunghiulare cu rest asemenea au o structură comodulată la infinit, adică pot fi obŃinute printr-o combinaŃie nesfârşită a aceluiaşi număr natural. Putem spune că şirurile aditive An au şi ele o structură comodulată: termenii acestora sunt constituiŃi din numere naturale, respectiv numere comodulate ce au drept comodul numărul 1.

- 242 -

De exemplu pentru Şirul lui Fibonacci, termenii şirului pot fi exprimaŃi ca sume al numărului 1: 1=1 2=1+1 3=1+1+1 5=1+1+1+1+1 ..................................

16.3. CLASIFICAREA ŞI GRAFUL APLICAłIILOR CARE GENEREAZĂ NUMERE DREPTUNGHIULARE CU REST ASEMENEA Analizând proprietăŃile aplicaŃiilor care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ajungem la următoarea concluzie: cvasitotalitatea aplicaŃiilor includ alte aplicaŃii. Această proprietate de includere conduce la o ierarhizare / clasificare a acestor aplicaŃii sau clase de aplicaŃii în şase ordine: 1. Ordinul 6 – cuprinde aplicaŃiile care nu includ şi nu sunt incluse în alte aplicaŃii; 2. Ordinul 5 – cuprinde aplicaŃiile care nu includ alte aplicaŃii şi care sunt incluse în aplicaŃii de ordin 3 sau 4; 3. Ordinul 4 – cuprinde aplicaŃiile care includ aplicaŃii de ordin 5 şi care sunt incluse în aplicaŃii de ordin 2 sau 3; 4. Ordinul 3 – cuprinde aplicaŃiile care includ

- 243 -

aplicaŃii de ordin 4 sau 5 şi care sunt incluse în aplicaŃii de ordin 1 sau 2; 5. Ordinul 2 – cuprinde aplicaŃiile care includ aplicaŃii de ordin 3 sau 4 şi care sunt incluse în aplicaŃii de ordin 1; 6. Ordinul 1 – cuprinde aplicaŃiile care includ aplicaŃii de ordin 2 sau 3 şi care nu sunt incluse în alte aplicaŃii. Sistemul aplicaŃiilor care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea poate fi redus la 43 de aplicaŃii sau clase de aplicaŃii cu proprietăŃi distincte, conform tabelului următor:

Nr. crt.

Ordinul aplicaŃiei / clasei de aplicaŃii

0 1 2 3 4 5

1 1 1 2 2 2

6

2

7

2

8

2

9

2

10

2

11 12 13 14 15 16 17 18

3 3 3 3 3 3 3 3

Denumirea aplicaŃiei sau clasei de aplicaŃii cu proprietăŃi distincte care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea 2 Icosaedrul regulat Dodecaedrul regulat Piramida icosaedrală 2 Piramida icosaedrală 3 Piramida dodecaedrală 1 Piramidele regulate Bn , Cn , Dn , En şi Fn Piramidele regulate An Conurile circulare drepte clasa An Conurile circulare drepte clasa Bn Dreptunghiurile cu rest asemenea de rang n Piramida icosaedrală 1 Pentagonul regulat Dreptunghiul de aur Piramida dodecaedrală 2 Triunghiurile gama n Triunghiurile beta n Conul circular drept A1 Octogonul regulat

Nr.crt. al aplicaŃiilor / claselor de aplicaŃii conŃinute

Comodulare

3 3,4,11 şi 13 5,13 şi 14 12 şi 22 12 şi 22 12 şi 22

4 da da da da da

15

da

15 şi 16

da

15 şi 17

-

15

-

13,16 şi 29 22 23 şi 25 22 şi 33 25 26 22 şi 34 26 şi 35 29 şi 36

da da da da da da

- 244 19 20

3 3

21

3

22 23

4 4

24

4

25 26

4 4

27

4

28 29

4 4

30

4

31

4

32

4

33

5

34

5

35

5

36

5

37

5

38 39 40 41

6 6 6 6

42

6

43

6

Triunghiurile alfa n Triunghiurile delta α n SuprafaŃa cercului împărŃită în două sectoare de cerc de raport al ariilor ψn Triunghiul beta 1 Triunghiul alfa 1 Segmentele de dreaptă împărŃite în raportul ψn Triunghiul penta Triunghiul gama 1 Unghiurile determinate de două semidrepte având aceeaşi origine, împărŃite în raportul ψn Triunghiul delta α 2 Dreptunghiul de argint SuprafaŃa cercului împărŃită în două sectoare de cerc de raport al ariilor ψ1 Triunghiul delta α 1 CircumferinŃa cercului împărŃită în două arce de cerc de raport al lungimilor ψn Segmentul de dreaptă împărŃit în raportul ψn= ψ1 Triunghiul beta 2 Sectorul de cerc parte majoră care rezultă din împărŃirea suprafeŃei cercului în două sectoare de cerc de raport al ariilor ψ1 Triunghiul octomodul Unghiurile complete împărŃite în două părŃi de raport ψn Triunghiurile epsilon n Triunghiurile zeta n Triunghiurile eta n Triunghiurile teta γ n Circuitul electric cu rezistori Ψ Circuitul electric cu condensatori Ψ

23 31

-

30,32 şi 37

-

33 33

da

33

-

33 33

da -

37

-

36 34

Da

35

-

33

-

37

-

-

-

-

-

-

-

da

-

-

-

-

-

da

-

da

- 245 -

ProprietăŃile acestor 43 de aplicaŃii sintetizate în graful din Fig. 111.

sunt

Nodurile reprezintă aplicaŃiile sau clasele de aplicaŃii ale numerelor dreptunghiulare cu rest asemenea, iar arcele reprezintă proprietatea prin care o astfel de aplicaŃie sau clasă de aplicaŃii conŃine o altă aplicaŃie sau clasă de aplicaŃii. Fiecărui nod îi corespunde numărul curent al aplicaŃiei sau clasei de aplicaŃii din tabel. AplicaŃiile sau clasele de aplicaŃii comodulate sunt simbolizate prin puncte albe, iar cele necomodulate sunt simbolizate prin puncte negre. Şirurile verticale ale nodurilor reprezintă ordinele aplicaŃiilor sau claselor de aplicaŃii. Şirurile ordinelor sunt dispuse crescător de la stânga spre dreapta.

- 246 -

Fig. 111. Graful aplicaŃiilor care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea.

- 247 -

BIBLIOGRAFIE K.H.BACHMANN şi alŃii, Mică enciclopedie matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1980; VASILE BOBANCU, DicŃionar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, Bucureşti, 1974; FLORICA T. CÂMPAN, Povestiri cu proporŃii şi simetrii, Editura Albatros, Bucureşti, 1985; MATILA C. GHYCA, Estetică şi teoria artei, Editura ŞtiinŃifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1981; JAY HAMBIDGE, The Elements of Dynamic Symetry, Dover Publications, Inc., New York, 1967; MARIO LIVIO, SecŃiunea de aur: Povestea lui phi, cel mai uimitor număr, Humanitas, Bucureşti, 2005; ROMULUS SFICHI, Caleidoscop de fizică, Editura Albatros, Bucureşti, 1988; JOSÉ ANTONIO RUÌZ DE LA ROSA, Traza y Simetria de la Arquitectura: en la Antigüedad y Medievo, Sevicio de Publicaciones de la Universidad de Sevilla, Serie: Arquitectura, num. 10-1987;

- 248 -

ICOSAHEDRON AND Φ, http://www.ac-noumea.nc/maths/polihedr/ stuff/ gold_icosahedron.pdf; TEORIE ŞI PRACTICĂ ELECTRONICĂ, http://eprofu.ro/electronica/

CUPRINS

Introducere …………………………………………… I.

5

AplicaŃii geometrice care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea ………………..

9

A. AplicaŃii geometrice segmentale care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea ……….

11

1.

2.

3.

4.

Numerele dreptunghiulare cu rest asemenea. DefiniŃia generală. EcuaŃia generală. Valori. Formula generală. DefiniŃii particulare ……. ProprietăŃi ale aplicaŃiilor geometrice care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea …………………………………... AplicaŃiile 1: Segmentul de dreaptă împărŃit printr-un punct. CircumferinŃa cercului împărŃită prin două puncte ………………………………... 3.1. Segmentul de dreaptă împărŃit în raportul ψn ………………………….. 3.2. CircumferinŃa cercului împărŃită în două arce de cerc de raport ψn ……... AplicaŃiile 2: Triunghiuri ………………………………… 4.1. Triunghiuri isoscele ………………... 4.2. Triunghiuri dreptunghice …………... 4.3. Triunghiuri oarecare ……………….. 4.3.1. Triunghiul octomodul ……...

13

19

21 22 26 29 29 37 45 50

- 250 -

5.

6.

7.

8.

9.

AplicaŃiile 3: Dreptunghiuri. Dreptunghiurile cu rest asemenea …………………………………... AplicaŃiile 4: Poligoane regulate …………………………. 6.1. Pentagonul regulat …………………. 6.2. Octogonul regulat ………………….. AplicaŃiile 5: Piramide regulate ………………………….. 7.1. Piramida de aur. RelaŃia lui Herodot . 7.2. Numere dreptunghiulare cu rest asemenea, ca raport între elementele segmentale ale piramidei regulate …. 7.3. Piramide regulate pătrate. RelaŃia lui Herodot generalizată ……………….. AplicaŃiile 6: Conuri circulare drepte …………………….. 8.1. Analogia dintre piramidele regulate şi conurile circulare drepte. Conul de aur. Conul circular drept B1………… 8.2. Generalizarea relaŃiei lui Herodot în cazul conului de aur ………………... 8.3. Generalizarea relaŃiei lui Herodot în cazul conului circular drept B1 …….. AplicaŃiile 7: Poliedre Regulate ………………………….. 9.1. Icosaedrul regulat. Piramide icosaedrale …………………………. 9.2. Dodecaedrul regulat. Piramide dodecaedrale………………………...

B. AplicaŃii geometrice unghiulare care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea ……….

55 65 65 67 71 71

74 78 103

103 110 112 115 115 131

151

- 251 -

10. AplicaŃiile 8: Unghiul împărŃit printr-o semidreaptă. Unghiul complet împărŃit în două părŃi ……. 10.1. Unghiul determinat de două semidrepte având aceeaşi origine împărŃit în raport ψn ………………... 10.2. Unghiul complet împărŃit în două părŃi de raport ψn …………………… 11. AplicaŃiile 9: Triunghiuri ………………………………… 11.1. Triunghiuri isoscele ………………... 11.2. Triunghiuri dreptunghice …………... 11.3. Triunghiuri oarecare …………...…... 12. AplicaŃiile 10: SuprafaŃa cercului împărŃită în două sectoare de cerc de raport al ariilor ψn ……………… 12.1. Sectorul de cerc parte majoră care rezultă din împărŃirea suprafeŃei cercului în două sectoare de cerc de raport al ariilor ψ1 ………………….. II. AplicaŃii în fizică care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea ……………….. 13. Şiruri aditive an ……………………………. 13.1. Şiruri aditive A1: Şirul lui Fibonacci . 13.2. Şiruri aditive A2: Şirul Pell ………... 13.3. Şiruri aditive A3 ……………………. 14. AplicaŃiile 11: Circuite electrice cu rezistori ……………… 14.1. ReŃele (grupări) de rezistori ………... 14.1.1. Gruparea în seria a rezistorilor ……………….

153

153 156 159 159 168 172

177

178

183 185 185 187 189 191 191 191

- 252 -

14.1.2.

Gruparea în paralel a rezistorilor ………………. 14.2. Circuitul electric cu rezistori ψ1.m(r) 14.3. Circuitul electric cu rezistori ψ2.m(r) 14.4. Circuitul electric cu rezistori ψ3.m(r) 14.5. Circuitul electric cu rezistori ψn.m(r) 15. AplicaŃiile 12: Circuite electrice cu condensatori …………. 15.1. ReŃele (grupări) de condensatori …... 15.1.1. Gruparea în serie a condensatorilor ………….. 15.1.2. Gruparea în paralel a condensatorilor ………….. 15.2. Circuitul electric cu condensatori ψ1.m(c) ……………………………… 15.3. Circuitul electric cu condensatori ψ2.m(c) ……………………………… 15.4. Circuitul electric cu condensatori ψ3.m(c) ……………………………… 15.5. Circuitul electric cu condensatori ψn.m(c) ……………………………… 16. Sistemul aplicaŃiilor care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea …………. 16.1. Natura raportului reprezentând numerele dreptunghiulare cu rest asemenea …………………………... 16.2. Comodularea aplicaŃiilor care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea ………………………. 16.3. Clasificarea şi graful aplicaŃiilor care generează numere dreptunghiulare cu rest asemenea ………………………. Bibliografie …………………………………………...

192 193 200 206 211 213 213 213 214 215 221 227 232 235

235

238

242 247