Aplicaciones De La Integral Definida

Elaborado por Ing. José Quero Aplicaciones de la integral definida Área de una región acotada Región Tipo I (Tomando rectángulos verticales) Sean dos funciones continuas f y g en el intervalo cerrado a,b, tales que fx≥gx para toda x en a,b. El área de la región acotada por la dos curvas y=fx y y=gx y las dos rectas x=a y x=b esta dada por: A=lim∆→0i=1nfξi-g(ξi)∆ix=abfx-g(x) dx Región Tipo II (Tomando rectángulos horizontales) Sean dos funciones continuas h y p en el intervalo cerrado c,d, tales que hy≥py para toda y en c,d. El área de la región acotada por la dos curvas x=hy y x=py y las dos rectas y=c y y=d esta dada por: A=lim∆→0i=1nhεi-p(εi)∆iy=cdhy-p(y) dy Volúmenes de Sólidos 1) Método de las rebanadas Sea S un sólido tal que se encuentre entre los planos trazados perpendicularmente al eje x en a y b. Si la medida del área de la sección plana de S, trazada perpendicularmente al eje x en x, esta dada por A(x), donde A es continua en a,b, entonces la medida del volumen de S está dada por V =lim∆→0i=1nAξi∆ix =abA(x) dx Nota: si la sección plana de S es trazada perpendicularmente al eje y (Region Tipo 2), entonces el volumen será V =lim∆→0i=1nAεi∆iy =cdA(y) dy 2) Método del disco y arandela a) Método del disco Sea la función f continua en el intervalo cerrado a,b, y supongamos que fx≥0 para toda x en a,b. Si S es el sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y=f(x), el eje x, y las rectas x=a y x=b, y si V es el volumen de S en unidades cubicas, entonces V =lim∆→0i=1nπ fξi2∆ix =πabf(x)2 dx Regla nemotécnica: hay que tener siempre presente que el volumen de un disco con ancho dx viene dado por dV=π.(Radio)2.dx Unefa Bruzual 2009

Elaborado por Ing. José Quero Nota 1: para regiones tipo 2 se cambia x por y. Nota 2: si el sólido de revolución es obtenido al girar la región acotada alrededor de una recta y=k, entonces en ese caso el Radio es fx-k para regiones tipo 1. Si el sólido de revolución es obtenido al girar la región acotada alrededor de una recta x=l, entonces en ese caso el Radio es hy-l para regiones tipo 2. 3: observe que los rectángulos son perpendiculares al eje de revolución. b) Método de la arandela Sean las funciones f y g continuas en el intervalo cerrado a,b, y supongamos que fx≥g(x)≥0 para toda x en a,b. Entonces, si V unidades cubicas es el volumen del solido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por las curvas y=f(x), y=g(x) y las rectas x=a y x=b, entonces V =lim∆→0i=1nπ (fξi2-gξi2) ∆ix =πab(fx2-gx2) dx Regla nemotécnica: hay que tener siempre presente que el volumen de una arandela con ancho dx viene dado por dV=π.(Radio mayor)2-(Radio menor)2.dx Nota 1: para regiones tipo 2 se cambia x por y. Nota 2: si el sólido de revolución es obtenido al girar la región acotada alrededor de una recta y=k, entonces en ese caso el Radio es fx-k para regiones tipo 1. Si el sólido de revolución es obtenido al girar la región acotada alrededor de una recta x=l, entonces en ese caso el Radio es hy-l para regiones tipo 2. Nota 3: observe que los rectángulos son perpendiculares al eje de revolución. 3) Método de los anillos (capas cilíndricas) Sea la función f continua en el intervalo cerrado a,b, y supongamos que fx≥0 para toda x en a,b. Si R es la región limitada por la curva y=f(x), el eje x, y las rectas x=a y x=b, si S es el sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje y , y si V es el volumen de S en unidades cubicas, entonces V =lim∆→0i=1n2πmif(mi)∆ix =2πabx f(x) dx Regla nemotécnica: hay que tener siempre presente que el volumen de un anillo de grosor dx viene dado por dV=2π.Radio.Altura.dx Unefa Bruzual 2009

Elaborado por Ing. José Quero Nota 1: para regiones tipo 2 se cambia x por y. Nota 2: si el sólido de revolución es obtenido al girar la región acotada alrededor de una recta x=k, entonces en ese caso el Radio es x-k para regiones tipo 1. Si el sólido de revolución es obtenido al girar la región acotada alrededor de una recta y=l, entonces en ese caso el Radio es y-l para regiones tipo 2. Nota 3: si la región tipo 1 estas entre dos curvas f y g, en donde f(x)≥g(x), en ese caso la Altura es f(x)-g(x). Si la región tipo 2 estas entre dos curvas h yp, en donde h(y)≥p(y), en ese caso la Altura es h(y)-p(y). Nota 4: observe que los rectángulos son paralelos al eje de revolución. 4) Longitud de arco Si la función f y su derivada f' son continuas en el intervalo cerrado a,b, entonces la longitud de arco de la curva y=f(x) del punto (a,fa) al punto (b,fb) esta dada por

L=ab1+f'(x)2 dx

Si x se expresa como una función de y, entonces la longitud de arco se enuncia de la siguiente forma Si la función F y su derivada F' son continuas en el intervalo cerrado c,d, entonces la longitud de arco de la curva x=F(y) del punto (F,Fc) al punto (d,Fd) esta dada por

L=cd1+F'(y)2 dy

5) Centros de masa a) De una barra Una barra de longitud L (metros) tiene su extremo izquierdo en el origen. Si el número de kilogramos por metro que es la densidad lineal en un punto a x metros del origen, es ρ(x), donde ρ es continua en 0,L, entonces la masa total de la barra es M Kilogramos, donde M=0Lρx.dx

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Elaborado por Ing. José Quero Una barra de longitud L (metros) tiene su extremo izquierdo en el origen. Si el número de kilogramos por metro que es la densidad lineal en un punto a x metros del origen, es ρ(x), donde ρ es continua en 0,L, entonces el momento de masa de la barra con respecto al origen es M0 Kg-m; donde M0=0Lx.ρx.dx Luego el centro de masa de la barra es x=M0M b) De una lamina Sea L la lamina homogénea cuya densidad de área constante es ρ kg/m2 y la cual se encuentra limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. La función f es continua en a,b y fx≥0 para toda x en a,b. Si My kg-m es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje y, entonces My=ρabx fxdx Si Mx kg-m es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje x, entonces Mx=12ρabf(x)2dx Si M kg es la masa total de la lámina L, entonces M=ρabfxdx Si (x,y) es el centro de masas de la lámina L, entonces x=MyM y=MxM 6) Trabajo Sea la función f continua en el intervalo cerrado a,b y sea f(x) el número de unidades de la fuerza que actúa sobre un objeto en el punto x sobre el eje x. Entonces, si W unidades es el trabajo efectuado por la fuerza cuando el objeto se mueve de a a b, W=abfxdx 7) Presión de un líquido Supóngase que una placa plana se sumerge verticalmente en un líquido cuya densidad de masa es ρ. La longitud de la placa, a una profundidad de x unidades bajo la superficie del liquido, es f(x) unidades, donde f es continua en el intervalo cerrado a,b y f(x)≥0 en a,b. Entonces F, la fuerza originada por la presión del liquido sobre la placa, esta dada por Unefa Bruzual 2009

Elaborado por Ing. José Quero F=ρgabx fx dx

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