Aplicacion Integrales Dobles

  • Uploaded by: Paula Villalobos
  • 0
  • 0
  • May 2020
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Aplicacion Integrales Dobles as PDF for free.

More details

  • Words: 633
  • Pages: 4
Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DOBLES Villalobos, Paula [email protected] Fundación Universitaria Konrad Lorenz

Resumen: en este documento se mostrará a través de un ejercicio la aplicación de integrales dobles. Índice de términos: densidad, masa, coordenadas. I.

INTRODUCCIÓN

La aplicación de las integrales dobles tiene como tiene un objetivo geométrico principalmente, calcular volúmenes bajo superficies, áreas de superficies y aplicaciones físicas. El problema que a continuación se planteará tiene una aplicación de conceptos físicos tales como densidad y masa. II. FORMULACIÓN La frontera de una lámina está formada por los semicírculos y = 1 − x 2 y y = 4 − x 2 junto con las porciones del eje x que las une. Encuentre el centro de masa de la lámina si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen.

Gráfica 1. Lámina formada por los semicírculos

y = 1 − x2 y y = 4 − x2

Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales

III. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

( )

Las coordenadas x, y del centro de masa de la lámina que ocupa una región D y con una función de densidad ρ ( x, y ) son:1 x=

My 1 = x ρ ( x, y ) dA m m ∫∫ D

y=

Mx 1 = y ρ ( x, y ) dA m m ∫∫ D

Donde la masa m está dada por:

m = ∫∫ ρ ( x, y )dA D

Se coloca la lámina como la mitad superior del círculo

2

2

x + y =a

2

.Como la

densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen, entonces la distancia de un punto ( x, y ) al centro del círculo (el origen) es x 2 + y 2 , por lo tanto la función de la densidad es:

ρ ( x, y ) = K x 2 + y 2 Donde K es alguna constante. Tanto la función de densidad como la forma de la lámina permiten que se convierta a coordenadas polares. Entonces x 2 + y 2 = r y la región está dada por 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π

-

Convertimos a coordenadas polares:

ρ ( x, y ) = K x 2 + y 2 ⇒ ρ (r , θ ) = Kr -

Hallamos m: π 2

m = ∫∫ ρ ( x, y )dA = ∫∫ K x + y dA = ∫ ∫ ( Kr )rdrdθ 2

D

2

0 1

D

π 2

π

m = K ∫ ∫ r 2 drdθ = K ∫ 0 1

0

2

π

r3 7 7 = K ∫ dθ = θ 31 3 3 0

π

=K 0

7π 3

Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales

Gráfica 2. Relación del  θ con respecto a

-

ry y

Hallamos y partiendo de la Gráfica 2., donde tomamos el ángulo θ , entonces:

y r y = rSenθ

Senθ =

-

Hallamos y : y=

1 y ρ ( x, y )dA m ∫∫ D

3 y= 7π K π

π 2

3 ∫0 ∫1 rSenθ ( Kr )rdrdθ = 7π K 42

π

π

∫ r Senθ Kdrdθ 3

0

π

π

3 3 1 3 15 45 45  y= Senθ r = Senθ  4 −  dθ = Senθ dθ = = 0.5115 ( Cosθ ) = ∫ ∫ ∫ 7π 0 4 1 7π 0 4 7π 4 0 28π 28π  0

Observando la Gráfica 2. encontramos que x = 0 , luego el centro de masa de la lámina es ( 0, 0.5115)

Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales

REFERENCIAS

1

Stewart J. Calculo de varias variables 6ª Edición

Related Documents

Integrales Dobles
November 2019 17
Integrales
October 2019 40
Integrales
May 2020 23
Integrales
April 2020 26

More Documents from ""

May 2020 2
Do Cum En To 1
May 2020 28
October 2019 47
Ferry.pdf
June 2020 24