Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DOBLES Villalobos, Paula
[email protected] Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Resumen: en este documento se mostrará a través de un ejercicio la aplicación de integrales dobles. Índice de términos: densidad, masa, coordenadas. I.
INTRODUCCIÓN
La aplicación de las integrales dobles tiene como tiene un objetivo geométrico principalmente, calcular volúmenes bajo superficies, áreas de superficies y aplicaciones físicas. El problema que a continuación se planteará tiene una aplicación de conceptos físicos tales como densidad y masa. II. FORMULACIÓN La frontera de una lámina está formada por los semicírculos y = 1 − x 2 y y = 4 − x 2 junto con las porciones del eje x que las une. Encuentre el centro de masa de la lámina si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen.
Gráfica 1. Lámina formada por los semicírculos
y = 1 − x2 y y = 4 − x2
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III. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
( )
Las coordenadas x, y del centro de masa de la lámina que ocupa una región D y con una función de densidad ρ ( x, y ) son:1 x=
My 1 = x ρ ( x, y ) dA m m ∫∫ D
y=
Mx 1 = y ρ ( x, y ) dA m m ∫∫ D
Donde la masa m está dada por:
m = ∫∫ ρ ( x, y )dA D
Se coloca la lámina como la mitad superior del círculo
2
2
x + y =a
2
.Como la
densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen, entonces la distancia de un punto ( x, y ) al centro del círculo (el origen) es x 2 + y 2 , por lo tanto la función de la densidad es:
ρ ( x, y ) = K x 2 + y 2 Donde K es alguna constante. Tanto la función de densidad como la forma de la lámina permiten que se convierta a coordenadas polares. Entonces x 2 + y 2 = r y la región está dada por 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π
-
Convertimos a coordenadas polares:
ρ ( x, y ) = K x 2 + y 2 ⇒ ρ (r , θ ) = Kr -
Hallamos m: π 2
m = ∫∫ ρ ( x, y )dA = ∫∫ K x + y dA = ∫ ∫ ( Kr )rdrdθ 2
D
2
0 1
D
π 2
π
m = K ∫ ∫ r 2 drdθ = K ∫ 0 1
0
2
π
r3 7 7 = K ∫ dθ = θ 31 3 3 0
π
=K 0
7π 3
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Gráfica 2. Relación del θ con respecto a
-
ry y
Hallamos y partiendo de la Gráfica 2., donde tomamos el ángulo θ , entonces:
y r y = rSenθ
Senθ =
-
Hallamos y : y=
1 y ρ ( x, y )dA m ∫∫ D
3 y= 7π K π
π 2
3 ∫0 ∫1 rSenθ ( Kr )rdrdθ = 7π K 42
π
π
∫ r Senθ Kdrdθ 3
0
π
π
3 3 1 3 15 45 45 y= Senθ r = Senθ 4 − dθ = Senθ dθ = = 0.5115 ( Cosθ ) = ∫ ∫ ∫ 7π 0 4 1 7π 0 4 7π 4 0 28π 28π 0
Observando la Gráfica 2. encontramos que x = 0 , luego el centro de masa de la lámina es ( 0, 0.5115)
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REFERENCIAS
1
Stewart J. Calculo de varias variables 6ª Edición