Aplicacion En El Laboratorio

En un laboratorio donde se estudia el crecimiento y desarrollo de la bacteria Salmonella se hace un cultivo donde se observa que la cantidad de bacterias crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se toma nota de que hay 400 individuos. Pasadas diez horas hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad de bacterias que se colocó inicialmente? Sea: x : cantidad de bacterias en el tiempo t. t : tiempo en horas. Xo : cantidad inicial de bacterias. Tenemos que: dxdt :rapidez con la que aumenta el # de bacterias en el cultivo K>0 : constante de proporcionalidad Las Bacterias presentes es proporcional a la rapidez con la que aumenta el #de bacterias por lo tanto: dxdt∝x Para quitar esa proporcionalidad es necesario agregar una constante del lado derecho y tenemos que: dxdt=Kx

↔

dxdt- Kx=0

Como tenemos una ecuación de la forma y´ + P(x)y = Q (x), el factor integrante de la ecuación anterior es: epxdx= µ (x) Donde P(x) = -K por lo tanto el factor integrante queda de la siguiente manera: e-kt Si lo multiplicamos por toda la ecuación nos queda: e-ktdxdt- Ke-ktx=0

↔

de-kt ∙x=0

Ahora integramos la ecuación anterior y nos queda que: e-kt ∙x=c

↔

x= cekt

esta es la familia de soluciones para cualquier número de bacterias en determinado tiempo. Ahora tenemos que la cantidad inicial de bacterias (en t=0): xo = x (t) = x(0) x̥= cek(0) xo = c

por lo tanto podemos decir que: x= x̥ekt ahoradeterminaremos la constante de proporcionalidad K: al cabo de tres horas hay 400 bacterias: t=3 x = 400 400= x̥e3k ↔ e3k =400x̥ Si aplicamos Ln en ambos lados de la ecuación: 3k=ln400x̥ Ahora despejamos K: k=13ln400x̥ Al cabo de diez horas hay 2000 bacterias: t= 10 x=2000 realizamos el mismo proceso anterior y tenemos que: k=110ln2000x̥ Igualamos las ecuaciones anteriores: 13ln400x̥=110ln2000x̥

ln400x̥1/3=ln2000x̥1/10

Aplicamos exponencial en ambos lados: 400x̥1/3=2000x̥1/10 400x̥10=2000x̥3 Despejamos xo para obtener la cantidad de bacterias inicial: 40010x̥10= 20003x̥3 1.31072×1016=x̥7 71.31072×1016=x̥ x = 200.68≈201

↔

4001020003= x̥10x̥3=x̥7

El número de bacterias que se colocó inicialmente es de aproximadamente 201.