A.pdf

NAMA

: _________________________________________________

TINGKATAN

: ________________________

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PULAU PINANG

PROGRAM PENINGKATAN AKADEMIK SPM 2015

MODUL 5

3472/1

ADDITIONAL MATHEMATICS Kertas 1 2 jam

Dua jam

JANGAN BUKA KERTAS SOALAN INI SEHINGGA DIBERITAHU 1. Tuliskan nama dan tingkatan anda pada ruangan yang disediakan. 2. Kertas soalan ini adalah dalam dwibahasa. 3. Soalan dalam bahasa Inggeris mendahului soalan yang sepadan dalam bahasa Melayu. 4. Calon dibenarkan menjawab keseluruhan atau sebahagian soalan sama ada dalam bahasa Inggeris atau bahasa Melayu. 5. Calon dikehendaki membaca maklumat di halaman belakang kertas soalan ini.

Untuk Kegunaan Pemeriksa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Markah Penuh 2 2 2 3 4 2 3 4 3 4 4 2 3 4 3 3 3 3 4 3 4 4 4 3 4

JUMLAH

80

Soalan

Markah Diperolehi

Kertas soalan ini mengandungi 21 halaman bercetak dan 1 halaman tidak bercetak. 3472/1

[Lihat halaman sebelah

2

3472/1

THE UPPER TAIL PROBABILITY Q(z) FOR THE NORMAL DISTRIBUTION N(0, 1) KEBARANGKALIAN HUJUNG ATAS Q(z) BAGI TABURAN NORMAL N(0, 1) 1

2

3

4

5

7

8

9

24

28

32

36

24

28

32

36

19

23

27

31

35

19

22

26

30

34

15

18

22

25

29

32

14

17

20

24

27

31

10

13

16

19

23

26

29

9

12

15

18

21

24

27

5

8

11

14

16

19

22

25

5

8

10

13

15

18

20

23

2

5

7

9

12

14

16

19

21

0.1170

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.0985

2

4

6

7

9

11

13

15

17

0.0838

0.0823

2

3

5

6

8

10

11

13

14

0.0694

0.0681

1

3

4

6

7

8

10

11

13

0.0582

0.0571

0.0559

1

2

4

5

6

7

8

10

11

0..0475

0.0465

0.0455

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.0392

0.0384

0.0375

0.0367

1

2

3

4

4

5

6

7

8

0.0314

0.0307

0.0301

0.0294

1

1

2

3

4

4

5

6

6

0.0256

0.0250

0.0244

0.0239

0.0233

1

1

2

2

3

4

4

5

5

0.0202

0.0197

0.0192

0.0188

0.0183

0

1

1

2

2

3

3

4

4

0.0162

0.0158

0.0154

0.0150

0.0146

0.0143

0

1

1

2

2

2

3

3

4

0.0125

0.0122

0.0119

0.0116

0.0113

0.0110

0

1

1

1

2

2

2

3

3

0

1

1

1

1

2

2

2

2

3

5

8

10

13

15

18

20

23

2

5

7

9

12

14

16

16

21

z

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.0

0.5000

0.4960

0.4920

0.4880

0.4840

0.4801

0.4761

0.4721

0.4681

0.4641

4

8

12

16

20

0.1

0.4602

0.4562

0.4522

0.4483

0.4443

0.4404

0.4364

0.4325

0.4286

0.4247

4

8

12

16

20

0.2

0.4207

0.4168

0.4129

0.4090

0.4052

0.4013

0.3974

0.3936

0.3897

0.3859

4

8

12

15

0.3

0.3821

0.3783

0.3745

0.3707

0.3669

0.3632

0.3594

0.3557

0.3520

0.3483

4

7

11

15

0.4

0.3446

0.3409

0.3372

0.3336

0.3300

0.3264

0.3228

0.3192

0.3156

0.3121

4

7

11

0.5

0.3085

0.3050

0.3015

0.2981

0.2946

0.2912

0.2877

0.2843

0.2810

0.2776

3

7

10

0.6

0.2743

0.2709

0.2676

0.2643

0.2611

0.2578

0.2546

0.2514

0.2483

0.2451

3

7

0.7

0.2420

0.2389

0.2358

0.2327

0.2296

0.2266

0.2236

0.2206

0.2177

0.2148

3

6

0.8

0.2119

0.2090

0.2061

0.2033

0.2005

0.1977

0.1949

0.1922

0.1894

0.1867

3

0.9

0.1841

0.1814

0.1788

0.1762

0.1736

0.1711

0.1685

0.1660

0.1635

0.1611

3

1.0

0.1587

0.1562

0.1539

0.1515

0.1492

0.1469

0.1446

0.1423

0.1401

0.1379

1.1

0.1357

0.1335

0.1314

0.1292

0.1271

0.1251

0.1230

0.1210

0.1190

1.2

0.1151

0.1131

0.1112

0.1093

0.1075

0.1056

0.1038

0.1020

0.1003

1.3

0.0968

0.0951

0.0934

0.0918

0.0901

0.0885

0.0869

0.0853

1.4

0.0808

0.0793

0.0778

0.0764

0.0749

0.0735

0.0721

0.0708

1.5

0.0668

0.0655

0.0643

0.0630

0.0618

0.0606

0.0594

1.6

0.0548

0.0537

0.0526

0.0516

0.0505

0.0495

0.0485

1.7

0.0446

0.0436

0.0427

0.0418

0.0409

0.0401

1.8

0.0359

0.0351

0.0344

0.0336

0.0329

0.0322

1.9

0.0287

0.0281

0.0274

0.0268

0.0262

2.0

0.0228

0.0222

0.0217

0.0212

0.0207

2.1

0.0179

0.0174

0.0170

0.0166

2.2

0.0139

0.0136

0.0132

0.0129

2.3

0.0107

0.0104

0.0102 0.00990

2.4

0.00820

0.00798

0.00776

0.00755

0.00964

0.00939

0.00914 0.00889

0.00866

0.00842

0.00734

6

Minus / Tolak

2

4

6

8

11

13

15

17

19

0.00714

0.00695

0.00676

0.00657

0.00639

2

4

6

7

9

11

13

15

17

2.5

0.00621

0.00604

0.00587

0.00570

0.00554

0.00539

0.00523

0.00508

0.00494

0.00480

2

3

5

6

8

9

11

12

14

2.6

0.00466

0.00453

0.00440

0.00427

0.00415

0.00402

0.00391

0.00379

0.00368

0.00357

1

2

3

5

6

7

9

9

10

2.7

0.00347

0.00336

0.00326

0.00317

0.00307

0.00298

0.00289

0.00280

0.00272

0.00264

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.8

0.00256

0.00248

0.00240

0.00233

0.00226

0.00219

0.00212

0.00205

0.00199

0.00193

1

1

2

3

4

4

5

6

6

2.9

0.00187

0.00181

0.00175

0.00169

0.00164

0.00159

0.00154

0.00149

0.00144

0.00139

0

1

1

2

2

3

3

4

4

3.0

0.00135

0.00131

0.00126

0.00122

0.00118

0.00114

0.00111

0.00107

0.00104

0.00100

0

1

1

2

2

2

3

3

4

f (z)

Example / Contoh:

If X ~ N(0, 1), then JikaX ~ N(0, 1), maka Q(z) P(X>k) = Q(k) P(X>2.1) = Q(2.1) = 0.0179 O 3472/1

k

z

3

3472/1

The following formulae may be helpful in answering the questions. The symbols given are the ones commonly used. Rumus-rumus berikut boleh membantu anda menjawab soalan. Simbol-simbol yang diberi adalah yang biasa digunakan. ALGEBRA 1

x = b

b 2  4ac 2a

2 a m  a n  a m n

8

log a b 

log c b log c a

9 Tn  a  n  1d

3 a m  a n  a mn 10

n Sn  [2a  (n  1)d ] 2

Tn  ar n 1

4

a 

5

log a mn  log a m  log a n

11

6

m log a  log a m  log a n n

12 Sn 

a(r n  1) a(1  r n ) , r 1  r 1 1 r

7

log a mn  n log a m

13 S 

a , 1 r

m n

 a mn

r <1

CALCULUS KALKULUS

1 y = uv ,

dy dv du u v dx dx dx

4

Area under a curve Luas di bawah lengkung b

  y dx or (atau)

du dv v u u dy  dx 2 dx 2 y , v v dx

a

b

  x dy a

3

dy dy du   dx du dx

5

Volume of revolution Isi padu kisaran b

   y 2 dx or (atau) a b

   x 2 dy a

3472/1

[Lihat halaman sebelah

4

3472/1

STATISTICS STATISTIK 1

2

3

x =

x =

=

x

7

N 8

 fx f 2  x  x 

=

N

 f x  x  f

2

4

=

5

1   NF C m  L 2  f m   

6

I

x

=

9 2

N

 fx f

 x2

10

P A  B  P A  PB  P A  B

11

P X  r nCr p r q n  r , p + q = 1

12

Mean / Min,  = np

13

  npq

14

Z

2

 x2

Q1  100 Q0

 Wi I i Wi n! n Pr  (n  r )! n! n Cr  (n  r )!r! I

X 



GEOMETRY GEOMETRI 1

Distance / Jarak  ( x1  x2 )  ( y1  y2 ) 2

2

Midpoint / Titik tengah

^

6

3

y  y2   x  x2 (x, y) =  1 , 1  2   2 A point dividing a segment of a line Titik yang membahagi suatu tembereng garis  nx  mx2 ny1  my2  , (x, y) =  1  mn   mn

4

Area of triangle / Luas segi tiga 1  ( x1 y2  x2 y3  x3 y11 )  ( x2 y1  x3 y2  x1 y3 ) 2

3472/1

r  x2  y2

5 2

r

xi  y j x2  y2

5

3472/1

TRIGONOMETRY TRIGONOMETRI

1

2

Arc length, s = r  Panjang lengkok, s = j  Area of sector , A = Luas sektor , L =

3

8

sin A  B  sin A cos B  cos A sin B sin (A ± B) = sin A kos B ± kos A sin B

9

cos A  B  cos A cos B  sin A sin B kos A  B   kosA kosB  sin A sin B

10

tan A  B  

11

tan 2 A 

12

a b c   sin A sin B sin C

13

a 2  b 2  c 2  2bc cos A

1 2 r 2

1 2 j 2

sin 2A + cos2A = 1 sin 2 A  kos2 A  1

4

sec2A = 1 + tan2A sek 2 A = 1 + tan2 A

5

cosec2A = 1 + cot2A kosek 2 A  1 kot 2 A

6

sin 2A = 2 sin A cos A sin 2A = 2 sin A kos A

7

cos 2A = cos 2 A – sin 2 A

tan A  tan B 1  tan A tan B

2 tan A 1  tan 2 A

a 2  b 2  c 2  2bc kosA

= 2 cos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A kos 2A = kos 2 A – sin 2 A = 2 kos2 A – 1

14

Area of triangle / Luas segi tiga



1 ab sin C 2

= 1 – 2 sin2 A

3472/1

[Lihat halaman sebelah

6

For Examiner’s Use

1

3472/1

Answer all questions. Jawab semua soalan. Diagram 1 shows the relation between set P and set Q. Rajah 1 menunjukkan hubungan antara set P dan set Q. Set P

Set Q

2.

.6 .3 . -3

1. -1.

Diagram 1/ Rajah 1 State Nyatakan (a) the image of 1, imej bagi 1, (b) the type of relation. jenis hubungan. [2 marks] [2 markah] Answer/ Jawapan : (a)

1

(b)

2 2

Diagram 2 shows the function, h : x Rajah 2 menunjukkan fungsi, h : x

. .

h

x

8 q

Diagram 2/ Rajah 2 2

Find the value of q. Cari nilai q. [2 marks] [2 markah]

2 Answer/ Jawapan :

3472/1

[Lihat halaman sebelah

7 3

3472/1

Given that one of the roots of the quadratic equation px2  3x  6  0 is 3, find the value of p. Diberi satu daripada punca persamaan kuadratik px2  3x  6  0 ialah 3, cari nilai p. [2 marks] [2 markah] Answer/ Jawapan :

3 2 4

Diagram 4 shows the graph of , where m, n and p are constants. Point (1, 3) is the maximum point of the graph. Rajah 4 menunjukkan graf bagi , dengan keadaan m, n dan p adalah pemalar. Titik (1, 3) ialah titik maksimum bagi graf tersebut. y (1, 3)  x 0 -2 

Diagram 4/ Rajah 4 Determine the values of m, n and p. Tentukan nilai m, n dan p. [3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan :

4 3

3472/1

[Lihat halaman sebelah

8 5

3472/1

If  and  are the roots of the quadratic equation 2x2 + 3x  10 = 0, form the quadratic equation that has the roots  + 1 and  + 1. Jika  dan  adalah punca-punca persamaan kuadratik 2x2 + 3x  10 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca  + 1 dan  + 1. [4 marks] [4 markah] Answer/ Jawapan :

5 4 6

Solve the equation: Selesaikan persamaan: 2 x–1 = [2 marks] [2 markah] Answer/ Jawapan :

6 2

3472/1

9

7

3472/1

Solve the equation: Selesaikan persamaan: log3 q – log9 27 = [3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan :

7 3 8

Given a geometric progression 4, x, 16, y, ..., where x and y are negative integers, find Diberi suatu janjang geometri 4, x, 16, y, ..., dengan keadaan x dan y adalah integer negatif, cari (a) the value of x + y, nilai x + y, (b) the eleventh term. sebutan kesebelas. [4 marks] [4 markah] Answer/ Jawapan : (a)

8 (b) 4

3472/1

[Lihat halaman sebelah

10

9

3472/1

The content of hydrogen gas in a hot balloon is 720 cm3 at the beginning. Later the content of gas decreases at the rate of 18 cm3 per second. Find the content of hydrogen gas left at the end of the twelfth second. Kandungan gas hidrogen dalam belon udara panas ialah 720 cm3 pada mulanya. Kemudian kandungan gas tersebut berkurangan dengan kadar 18 cm3 sesaat. Cari kandungan gas hidrogen yang tinggal pada akhir saat kedua belas. [3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan :

9 3 10

10 4

3472/1

In a geometric progression, the second term exceeds the first term by 3 and the third term exceeds the second term by 6. Find the seventh term. Dalam suatu janjang geometri, sebutan kedua melebihi sebutan pertama sebanyak 3 dan sebutan ketiga melebihi sebutan kedua sebanyak 6. Cari sebutan ketujuh. [4 marks] [4 markah] Answer/ Jawapan :

11

11

3472/1

The variables x and y are related by the equation y = px−4, where p is a constant. Diagram 11 shows the straight line obtained by plotting against . Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px−4, dengan keadaan p ialah pemalar. Rajah 11 menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot melawan . 𝑙𝑜𝑔 𝑦

𝑙𝑜𝑔 𝑥

Diagram 11/ Rajah 11 Calculate the value of (a) (b) q. [4 marks] [4 markah] Answer/ Jawapan : (a) 11 (b) 4 12

Given that the points A(1, –1), B(t, –9) and C(5, 7) lie on a straight line, find the value of t. Diberi titik-titik A(1, –1), B(t, –9) dan C(5, 7) terletak pada satu garis lurus, cari nilai t. [2 marks] [2 markah] Answer/ Jawapan : 12 2

3472/1

[Lihat halaman sebelah

12

13

3472/1

The vertices of a triangle are P(4, 5), Q(h, 3) and R(6, 7). Given that the area of the triangle is 24 unit2, find the possible values of h. Bucu-bucu bagi sebuah segi tiga ialah P(4, 5), Q(h, 3) dan R(6, 7). Diberi bahawa luas bagi segi tiga ialah 24 unit2, cari nilai-nilai yang mungkin bagi h. [3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan :

13 3 14

Solve the equation 8 sin x + 3sec x = 0 for 0° ≤ x ≤ 180°. Selesaikan persamaan 8 sin x + 3 sek x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 180°. [4 marks] [4 markah] Answer/ Jawapan :

14 4

3472/1

13

15

3472/1

→ = 4i − j and The points P, Q and R are collinear. It is given that PQ ~ ~ → = 12i + (k + 13)j , where k is a constant. QR ~ ~ → = 4i − j dan Titik-titik P, Q dan R adalah segaris. Diberi bahawa PQ ~ ~ → = 12i + (k + 13)j , dengan keadaan k ialah pemalar. QR ~ ~ Find Cari (a) the value of k, nilai k, (b) the ratio of PQ : QR. nisbah PQ : QR. [3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan : (a) 15 (b) 3

16

Given that a~ = 3i + 13j and b~ = −5i + kj where k is a constant, find Diberi a~ = 3i + 13j dan b~ = −5i + kj dengan keadaan k adalah pemalar, cari (a) 2a~ − b~ in terms of k in the form of xi + yj, 2a~ − b~ dalam sebutan k dalam bentuk xi + yj, (b) the value of k if |2a~ − b~| =11. nilai k jika |2a~ − b~| = 11. [3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan : 16 3

3472/1

[Lihat halaman sebelah

14

3472/1

17 Given f(x) = 5x (2x + 1)4, find Diberi f(x) = 5x (2x + 1)4 , cari [3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan :

17 3 18

The gradient of the tangent to the curve y = p is a constant. Find the value of p. Diberi kecerunan lengkung y = keadaan p ialah pemalar. Cari nilai p.

at x = −13 is 167, where di x = −13 ialah 167 dengan

[3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan :

18 3

3472/1

15

19

3472/1

Given that the gradient function of a curve is (2x − 1)3, find the equation of the curve if the curve passes through the point (-1, ). Diberi fungsi kecerunan suatu lengkung ialah (2x − 1)3, cari persamaan lengkung jika lengkung itu melalui titik (-1, ). [3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan :

19 3 20

Given that ∫ (6x2 + 7) dx = kx3 + 7x + c, where k and c are constants, find Diberi ∫ (6x2 + 7) dx = kx3 + 7x + c, dengan keadaan k dan c ialah pemalar, cari (a) the value of k, nilai k, (b) the value of c if ∫ (6x2 + 7) dx = 50 when x = 2. nilai c jika ∫ (6x2 + 7) dx = 50 apabila x = 2. [4 marks] [4 markah] Answer/ Jawapan : (a)

20

(b)

4

3472/1

[Lihat halaman sebelah

16

21

3472/1

In Diagram 21, AB is the diameter of a circle with centre O. P is a point on the circumference of the circle where AP = 12 cm and BP = 5 cm. Dalam Rajah 21, AB ialah diameter sebuah bulatan berpusat O. P ialah titik pada lilitan bulatan dengan keadaan AP = 12 cm dan BP = 5 cm.

Diagram 21/ Rajah 21 Find Cari (a) ∠PAO, in radians. ∠PAO, dalam radian. (b) the area, in cm2, of the shaded region. luas, dalam cm2, rantau berlorek. [4 marks] [4 markah] Answer/ Jawapan : (a)

(b)

21 4

3472/1

17

22

3472/1

Table 22 shows the cumulative frequency of the scores obtained by a group of students in a game. Jadual 22 menunjukkan kekerapan longgakan bagi skor yang diperoleh oleh sekumpulan pelajar dalam suatu permainan. Score 1 2 3 4 5 Mata Cumulative frequency 5 12 15 23 25 Kekerapan longgokan

Table 22 / Rajah 22 Find the variance of the scores. Cari varians bagi skor yang diperolehi. [4 marks] [4 markah] Answer/ Jawapan :

22 4

3472/1

[Lihat halaman sebelah

18

23

3472/1

A team that consists of 7 students is to be chosen from a group of 8 male students and 5 female students. Satu pasukan yang terdiri daripada 7 orang pelajar akan dipilih daripada 8 orang pelajar lelaki dan 5 orang pelajar perempuan. Calculate the number of different teams that can be formed if each team consists of Hitungkan bilangan cara yang berlainan pasukan itu boleh dibentuk jika setiap pasukan terdiri daripada (a)

exactly 3 male students, tepat 3 orang pelajar lelaki,

(b)

not more than 2 female students. tidak lebih daripada 2 orang pelajar perempuan. [4 marks] [4 markah]

Answer/ Jawapan : (a)

(b)

23 4

3472/1

19

24

3472/1

Given two bags P and Q , each contains green and red marbles. Bag P contains 2 green marbles and 4 red marbles. Bag Q contains 3 green marbles and 5 red marbles. A bag is chosen at random and a marble is picked from it. Find the probability that Diberi dua beg P dan Q, masing-masing mengandungi guli berwarna hijau dan merah. Beg P mengandungi 2 biji guli hijau dan 4 biji guli merah. Beg Q mengandungi 3 biji guli hijau dan 5biji guli merah. Sebuah beg dipilih secara rawak dan sebiji guli dikeluarkan daripada beg tersebut. Cari kebarangkalian bahawa (a) a green marble from bag Q is chosen, sebiji guli hijau daripada beg Q dipilih, (b) the marble is red. guli berwarna merah dipilih. [3 marks] [3 markah] Answer/ Jawapan : (a)

(b)

24 3

3472/1

[Lihat halaman sebelah

20

25

3472/1

Diagram 25 shows a standard normal distribution graph. Rajah 25 menunjukkan graf taburan normal piawai. f(z) 0.3264

k 0

z

Diagram 25 / Rajah 25 The probability represented by the area of the shaded region is 0.3264. Kebarangkalian yang diwakili oleh kawasan berlorek ialah 0.3264. (a) Find the value of k, Cari nilai k, (b) X is a continuous random variable which has a normal distribution with a mean of 180 and a standard deviation of 5.5. X ialah satu pembolehubah rawak selanjar yang bertabur secara normal dengan min 180 dan sisihan piawai 5.5. Find the value of X when z-score is k. Cari nilai X apabila skor-z ialah k. [4 marks] [4 markah] Answer/ Jawapan : (a)

(b)

25 4

END OF QUESTION PAPER KERTAS SOALAN TAMAT

3472/1

21

3472/1

BLANK PAGE HALAMAN KOSONG

3472/1

[Lihat halaman sebelah

22

3472/1

INFORMATION FOR CANDIDATES MAKLUMAT UNTUK CALON

1. This question paper consists of 25 questions. Kertas soalan ini mengandungi 25 soalan. 2. Answer all questions. Jawab semua soalan. 3. Write your answers in the spaces provided in this question paper. Jawapan hendaklah ditulis pada ruang yang disediakan dalam kertas soalan ini. 4. Show your working. It may help you to get marks. Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. 5. If you wish to change your answer, cross out the work that you have done. Then write down the new answer. Sekiranya anda hendak menukar jawapan, batalkan jawapan yang telah dibuat. Kemudian tulis jawapan yang baru. 6. The diagrams in the questions provided are not drawn to scale unless stated. Rajah yang mengiringi soalan tidak dilukis mengikut skala kecuali dinyatakan. 7. The marks allocated for each question are shown in brackets. Markah yang diperuntukkan bagi setiap soalan ditunjukkan dalam kurungan. 8. The Upper Tail Probability Q(z) For The Normal Distribution N(0, 1) Table is provided on page 2. Jadual Kebarangkalian Hujung Atas Q(z) Bagi Taburan Normal N(0, 1) disediakan di halaman 2. 9. A list of formulae is provided on pages 3 to 5. Satu senarai rumus disediakan di halaman 3 hingga 5. 10. You may use a scientific calculator. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. 11. Hand in this question paper to the invigilator at the end of the examination. Serahkan kertas soalan ini kepada pengawas peperiksaan di akhir peperiksaan.

3472/1