Apa Itu Maple.docx

MAPLE Maple adalah salah satu paket program atau program aplikasi matematika yang berbasis computer. Maple mampu melakukan perhitungan-perhitungan dengan

cepat,

mampu

menyelesaikan

persamaan-persamaan

dalam

matematika, serta mampu menggambarkan grafik fungsi matematika, simulasi modeling bahkan dapat menampilkan gambar dalam bentuk animasi. Program maple mampu menjadi solusi dalam berbagai topik matematika, seperti analisis numerik, aljabar simbolik, kalkulus, persamaan diferensial, aljabar linear, simulasi dan visualisasi. Maple bersifat sangat sensitive dalam pemakaian huruf besar dan huruf kecil dalam persamaan matematika. Pada layar maple secara otomatis muncul simbol [ > seperti terlihat pada gambar berikut.

Simbol tersebut menandakan bahwa Maple siap dioperasikan dengan cara menuliskan perintah-perintah di depan symbol tersebut. Contoh menghitung : 7 x 5 – 17 +20 + 32

Jangan lupa mengakhiri perintah dengan semicolon (;), bila akan segera ingin mengetahui hasil operasi maple. Perintah diakhiri dengan colon (:) bila hasilnya tidak ingin ditampilkan tapi tetap diproses. Selanjutnya tekan [Enter], hasil :47 Sebaiknya sebelum perintah-perintah diberikan pada maple, dimulai dulu dengan perintah [ > restart ; untuk pengosongan memori

140

Operasi Aritmetika Simbol

Fungsi

+ dan -

Tambah dan kurang

* dan /

Kali dan bagi

^

Pangkat

sqrt

Menghitung akar

evalf

Memberikan nilai numerik

Fungsi Nama Maple

Fungsi

e^x

Fungsi exponent ( ex )

ln(e)

Logaritma Natural = log[e]

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)

Fungsi trigonometri

arcsin(x), arcos(x) dan lainnya

Invers trigonometri

sinh(x), cosh(x) dan lainnya

Hiperbolik

arcsinh(x), arccosh(x) dan lainnya

Invers hiperbolik

Semua sudut digunakan satuan radian Misal [> sin(30);

30 dalam radian

Manipulasi Polinomial Perintah Maple

Tujuannya

simplify

Menyederhanakan expresi aljabar

expand

Menguraikan suatu expresi

factor

Memfaktorkan suatu expresi

solve

Menyelesaikan system persamaan

fsolve

Memberikan solusi numerik

Grafik Maple mampu menggambar grafik suatu fungsi dimensi satu, dimensi dua atau dimensi tiga. Perintahnya [ > plot(…….); . Sebelum perintah plot diberikan panggil dulu paket perintah ini [ > with(plots); Berikut ini diberikan contoh-contoh penggunaan Maple dalam menyelesaikan masalah matematika :

141

Aritmetika Bentuk Matematika

Operasi Maple

Hasil

Keterangan

1 2  ? 3 7

> 1/3 + 2/7;

1 2  ? 3 7

> evalf(1/3 + 2/7);

0.6190476190

Hasilnya pecahan desimal

1 2  ? 3 7

> evalf(1/3 – 2/7);

0.04761904762

Hasil pengurangan pecahan

275 ? 4

> evalf(275/4);

68.750000000

Hasil pembagian

211 x 15

234.75  ? 125=?

3(1.3  1.7) 2  0.1  2 1

1 1 1  ...  2 3 10

13 21

> 211 * 15;

Hasilnya pecahan biasa

3165

> sqrt(234.75);

Hasil perkalian

15.32155345

Hasil penarikan akar

248832

Hasil perpangkatan

> 12^5;

Menunjukkan urutan pengerjaan : ( ), > 3 * (1.3 + 1.7)^2/2;

13.40000000

pangkat, kali, bagi dan kurang

> sum(1/n, n = 1 . . 10);

2.928968254

Hasol penjumlahan deret.

Cari factor-faktor dari

Mencari factor-fatktor prima dari suatu

302330880000

> ifactor(302330880000);

5!

> 5!;

(2)13

(3)10 120

142

(5)4

bilangan yang bukan prima Faktorial dari bilangan 5

Bulatkan 7.432

7 sisanya adalah ... 4

> round(7.432);

7

Membulatkan bilangan

> 7 mod 4

3

Mencari sisa dari pembagian

=?

> evalf(Pi);

3.141592654

Nilai  (Pi ) P harus huruf besar

e = ?

> evalf(exp(1));

2.718281282

Mencari nilai e ( e = exp ). exp(1) = e1 = e

10

log(123.75) = ?

atau

Log[10] maksudnya

10

Log

Log(123.75) = ?

> log[10](123.75);

2.92545208

Mencari nilai log dengan bil.pokok 10

2

> log[2](123.75);

6.951284715

Mencari log dgn bil pokok 2 dari 123.75

log(123.75) = ?

Aljabar Bentuk Matematika 4

Operasi Maple

(x+y) =?

> expand((x+y)^4);

Faktorkan a2 + 2ab + b2

> factor(a^2 + 2*a*b + b^2);

Hasil 4

3

Keterangan

2 2

3

X + 4x y + 6x y + 4xy + y ( a + b )2

4

Mencari perpangkatan bentuk aljabar Memfaktorkan bentuk aljabar

> p := (a+b)^2;

p:= (a + b)2

Mendefinisikan p

> expand(p);

a2 + 2ab + b2

Mencari pangkat dua dari p

> a:=1;

a := 1

Memberi nilai kepada a (a = 1). Merubah nilai p

> p;

(1+b)

2

Nilai a dikembalikan ke semula > a = ‘a’

a := a Mengecek kembali nilai p 2

> p;

(a+b)

143

Sederhanakan bentuk :

x 3  3x 2  2 x ( x  2) x

Menyedarhanakan bentuk aljabar > simplify((x^3+3*x^2+2*x)/((x+2)*x);

X+1

k := x2 Cos ( 2 x ) (1 2 x 2 ) Cos ( 2 x )   2 4 4

Menyederhanakan : > simplify(k);

1  x2 ( 1cos( 2 x ) ) 2

> restart; Selesaikan x2 – 5 = 0

Mengosongkan memori

> fsolve( x^2 – 5 = 0);

-2.236067977

> solve(x^2 – 5 = 0, {x});

Selesaikan 3ax2 = 4

x2 Cos ( 2 x ) (1 2 x 2 ) Cos ( 2 x )   2 4 4

{x=

2.236067977

5 } , {x = - 5 }

Menyelsaika persamaan

Perhatikan perbedaannya

 2 3 2 3  x     x  3 a 3 a  

> solve(3*a*x^2 = 4 , {x};

Tulis fungsi polynomial : polynomial := 24x5+105x42

10x +17x-10

> polynomial := 24*x^5 + 105*x^4-10*x^2+17*x-

polynomial := 24x5+105x4-10x2+17x-10

Mendefinisikan fungsi polinomial

10;

Cari akar-akar polynomial di

-4.343092665 , -0.7577682339 ,

atas untuk -5 < x < 5

> fsolve(polynom ial , x = -5 . . . 5);

Selesaikan :

> Pers_1 := 2*x + 3*y = 5;

Pers_1 := 2x +3y = 5

2 x  3 y  5  x  2y  6

> Pers_2 :=

Pers_2 := x + 2y = 6

Menyelesaikan polynomial

0.4425545605

x - 2*y = 6;

>fsolve({Pers_1,Pers_2}, {x,y});

{y=-1 , x=4}

144

Menyelesaikan system persamaan.

Selesaikan :

x  2 y  z  3  3x  y  z  4  x  y  2 z  6

> p1:= x+2*y-z=3; > p2 := 3*x+y+z=4; > p3 := x-y+2*z=6; > fsolve({p1,p2,p3}, {x,y,z});

Selesaikan : 2

2x – 5x + 10 = 0

> solve(2*x^2 – 5*x +10 = 0 , {x});

{ x-5., z10., y9. }

Menyelesaikan 3 persamaan dengan 3 anu

5 1 5 1 { x  I 55 }, { x  I 55 Menyelesaikan } persamaan 4 4 4 4

Trigonometri Bentuk Matematika Sin(30) = ? 0

Sin(30 ) = ?

Operasi Maple

Hasil

> evalf(sin(30));

- 0.9880316241

Sudut dalam radian

> sin(30*Pi/180);

½

Sudut dalam derajat

> evalf(sin(30*Pi/180));

0.5

Sin(900) = ?

> sin(Pi/2);

1

Arcsin(1) = ?

> arcsin(1);

½ Pi

Selesaikan : tan(cox(x)) = 1

> fsolve(tan(cos(x)) = 1 , {x});

{ x = 0.6674572160}

10 = ….. radian

> deg := evalf(Pi/180);

deg := 0.0174532925

1 radian = …….. derajat

> rad := 1/deg;

rad = 57.29577951

Sin(90 ) = ?

> sin(90*deg);

1

Arcsin(1) = ?

> arcsin(1) * rad;

0

Keterangan

Mencari arces sinus 1

10 = 0.174532925 1 rad = 57.29577951 Sin(900) = 1

28.64788976  Arcsin(1) = 900

> evalf(%); 2

f = Sin(x) + Sin(x)

> f := Sin(x)^2 + Sin(x);

f(Pi/3) = ?

> evalf(subs(x=Pi/3, f;

90.000000002 2

145

%

singkatan dari perhitungan sebelumnya

f := Sin(x) + Sin(x)

Mendefinisikan f ( f(x) )

1.616025404

Subsitusi x = Pi/3 ke f(x)

Fungsi Bentuk Matematika

f ( x)  1  x 2

Operasi Maple > f := x -> sqrt(1 + x^2);

f( 1 ) = ?

> f( 1 );

f( a + 3 ) = ?

> f( a + 3 );

g ( xy) 

x2  y2

g(3,4) = ?

Hasil

Keterangan

f := x -> sqrt(1 + x2) 2

Mendefinisikan fungsi f

½

Nilai f untuk x = 1

(10 + a2 + 6a )½

> g := (x,y) -> sqrt(x^2 + y^2);

g : ( x, y )  

> g(3,4);

Nilai f untuk x = a + 3

x2  y2

5

g(x,y) = ?

g(3,4) = 5

g ( x, y ) 

x2  y2

> g(x,y);

Mendefinisikan fungsi dengan 2 variabel

x2  y2

Kalkulus Bentuk Matematika 3

Operasi Maple

Y=Sin(Cos(x)+x +1, Y’ = ?

> diff(sin(cos(x)) + x^3 + 1, x);

x

> int(x^2, x);

2

dx  ?

Hasilnya Cos(cos(x) sin(x) + 3 x

1 3 x 3 1 3

1

2  x dx  ?

> int(x^2, x = 0 . . 1);

0 1



1  x 3 dx  ?

> int(sqrt(1+ x^30, x = 0 ..1);

1.111447971

0

146

Keterangan 2

Mencari turunan suatu fungsi Menghitung Integral

Menghitung Integral tertentu

 1x   dx 2   ( x3 ) 

> Int((1-x)/(x-3)^2, x);

ln ( x3 )

> int((1-x)/(x-3)^2, x);

 1x   dx 2   ( x3 ) 

h

1 x ( x  3) 2

> Int((1-x)/(x-3)^2, x )=int((x-1)/(x-3)^2, x);

 1x 2   dxln ( x3 ) 2  x3  ( x3 )  h := x

> h := x -> (1-x)/(x-3)^2;

1x ( x3 ) 2

h( x ) dx dx  

> Int(Int(h(x),x),x);

h( x ) dx dx = ?  

2 x3

 1x   dx dx = 2    ( x3 ) 

> Int(Int(h(x),x),x)=int(int(h(x),x),x);

Menulis rumus integral Int huruf “i” besar

Menghitung integral int huruf “i” kecil

Rumus dan hasil perhitungan dijadikan satu.

Mendefinisikan fungsi h

Menuliskan Integral lipat

Integral dari fungsi h

2 ln( x3 )ln( x3 ) ( x3 )x3 Mendefinisikan fungsi dengan 2 variabel

k(x,y) = 1 + xy 2

x

> k := (x,y) -> 1 + x*y;

k := (x,y)  1 + xy

2

  1x y dy dx   0 x

2

x

2

  1x y dy dx = 4   0 x

>Int(Int(h(x,y),y = x .. x^2), x = 0 .. 2) = Int(int(h(x,y), y = x .. x^2), x= 0 .. 2;

=?

147

bebas

Hasil perhitungan integran ganda tertentu

lim

x0

1x ( x3 ) 2

1 9

> limit((1-x)/(x-3)^2, x = 0);

lim

> Limit((1-x)/(x-3)^3, x = infinity;

lim

1x ( x3 ) 2

lim

1x ( x3 ) 2

x

x1

h( x ) 

1 x ( x  3) 2

h'(x) = ?

 d  1 x   ?  2 dx  ( x  3) 

x

> limit((1-x)/(x-3)^2, x = infinity;

Mencari harga limit fungsi

1x ( x3 ) 2 -~

> limit((1-x)/(x-3)^2, x = 1;

0

h( x) : x  

> h := x -> (1 - x)/(x – 3)^2;



> diff(h(x),x);

1 x ( x  3) 2

1 2(1  x)  2 ( x  3) ( x  3) 3

d  1 x    dx  ( x  3) 2 

> Diff(h(x), x);

 d  1 x   ?  = 2 dx  ( x  3) 

> Diff(h(x), x ) = diff(h(x), x);



148

1 2(1  x)  2 ( x  3) ( x  3) 3

Mendefinisikan fungsi h(x)

Mencari turunan dari h(x)

Menuliskan rumus differensial

Menyatukan rumus dan hasil perhitungan differensial

B := > B := Diff(h(x), x) = diff(h(x), x);



Cari nilai B untuk x = 10

h( x ) 

1 x ( x  3) 2

d 2  1x    dx 2  ( x3 ) 2 

 d  1 x   ?  2 dx  ( x  3) 

=

11 343 d 2  1x    dx 2  ( x3 ) 2  d 2  1x  2 ( x3 )   2  2 dx  ( x3 )  ( x3 ) 4

>Diff(h(x),x$2=simplify(diff(h(x),x$2));

turunan h(x)

1 2(1  x)  2 ( x  3) ( x  3) 3

> subs( x=10, rhs( B );

>Diff(h(x),x$2;

Mendefinisikan fungsi B sebagai hasil dari

rhs = right hand side

Turunan ke dua dari h(x)

Hasil turunan ke dua dari h(x)

Grafik Rumus Matematika

y=x+2

Operasi Maple

Hasil

> plot(x + 2);

149

Keterangan

y = x2 - 1

y  Cox( x) 

> plot(x^2 – 1);

Cos(3x) > plot(cos(x)-cos(3*x)/3, x = -Pi..Pi); 3

Gambar grafik : y = x5 + 13x4 – 69x3 –

> plot(x^5+13*x^4-69*x^3 -

1093x2 + 428x + 15840 untuk

1093x^2+428x+15840;

-11<x<6

Gambar grafik : y  Sin( x )  y  Sin( 2 x )  y  Sin( 3 x )  0 < x < Pi y  Sin( 4 x ) 

> plot({sin(x),sin(2*x),sin(3*x),sin(4*x)},x=0 ..P1);

150

Gambar grafik 3 dimensi : z = xy

Plot3d(x*y, x=0..3, y=0..3);

0<x<3 0
> plot(3*exp(1)^(-1/2*x)*sin(5*x) ,x=0..2*Pi, title="Grafik :di samping");

>plot({rhs(yp0),rhs(yp1),rhs(yp2), rhs(yp3)}, x=-2..2, title ="Grafik kurve Gauss");

Sumber:

mahdi47.files.wordpress.com/2011/09/maple5.doc

151