Anzdoc.com_optimization-with-matlab-extras.pdf

OPTIMIZATION WITH MATLAB

EXTRAS

PENDAHULUAN  Model optimasi berusaha untuk menjelaskan, secara matematis, tujuan menyelesaikan masalah dalam jalan terbaik.  Misalkan dalam bisnis: problem untuk memaksimalkan keuntungan, meminimalkan kerugian, memaksimalkan efisiensi, atau meminimalkan resiko;  Problem optimasi secara tipikal akan memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi yang disebut fungsi obyektif (objective function) pada himpunan titik-titik S (feasible set).  Secara umum feasible set didefinisikan dalam variabel kendala (constraints);

2

OPTIMASI LINIER  Apabila fungsi obyektif dan variabel kendala yang akan dioptimalkan linier, maka optimasinya adalah optimasi linier;  Contoh 1:

Fungsi obyektif Kendala

𝑓 𝑥 = 2𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1; 𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥0

Problem: menemukan nilai 𝑥1 dan 𝑥2 sedemikian sehingga fungsi obyektif menjadi optimal. 3

OPTIMASI LINIER  Contoh 2: persamaan linier

b(t )  x1  x2t  x3t 2  Dimana 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 adalah tiga parameter yang tidak diketahui yang menentukan persamaan kuadratik tersebut. Tiga titik yang mendefinisikan persamaan tersebut adalah: 𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 1 𝑥1 + 3𝑥2 + 9𝑥3 = 6 𝑥1 + 5𝑥2 + 25𝑥3 = 4

4

NON LINIER OPTIMASI  Apabila salah satu dari fungsi obyektif atau variabel kendala yang akan dioptimalkan non-linier, maka optimasinya adalah optimasi non linier.  Contoh:

Fungsi obyektif Kendala

𝑓 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2

2

𝑥1 𝑥2 ≤ 0; −2 ≤ 𝑥1 ≤ 1; −2 ≤ 𝑥2 ≤ 1

Problem: menemukan nilai 𝑥1 dan 𝑥2 sedemikian sehingga fungsi obyektif menjadi optimal. 5

EXPONENTIAL SMOOTHING  Apa yang dioptimalkan dalam exponential smoothing?  Parameter smoothing sedemikian sehingga model exponential smoothing memiliki MSE terkecil

 Siapa yang menjadi fungsi obyektif? 1

 Fungsi MSE yaitu 𝑀𝑆𝐸 = 𝑛

𝑛 𝑖=1

𝑦𝑖 − 𝑦𝑖

2

 Siapa yang menjadi kendalan (constraints)?  Syarat dari nilai-nilai parameter yaitu nilai parameter yang berada diantara 0 hingga 1.

 Termasuk ke dalam optimasi linier atau non linier? Mengapa?  Optimasi non linier, karena data dibobot secara eksponensial sehingga menyebabkan parameter pembobot tidak linier.

6

LEVENBERG-MARQUARDT  Fungsi dalam MATLAB: lsqcurvefit dengan option: algoritma “levenbergmarquardt”  Fungsi lsqcurvefit:

 Sintak:  [x, resnorm] = lsqcurvefit (fun, x0, xdata, ydata, lb, ub, options)  Output:  X  Resnorm

: hasil parameter optimum : residual

 Input  Fun  x0  lb, ub

: fungsi obyektifnya; : nilai awal parameter yang akan dioptimasi; : lower bound, upper bound untuk parameter yang akan dioptimasi;

 Dimana options dapat diisi dengan:  TolFun  MaxIter  Algorithm

: toleransi fungsi untuk menghentikan iterasi, ketik: ‘TolFun’, 1e-4 : maksimum iterasi yang diinginkan, ketik: ‘MaxIter’, 200 : ketik ‘Algorithm’, ‘levenberg-marquardt’

7

LEVENBERG-MARQUARDT

Fungsi obyektif 1

Proses optimasi

8

 Contoh 1: data yang digunakan t

data

1

5.1

2

4

3

6.7

4

5

5

9.2

6

7.8

7

10

8

5

9

10.3

10

11.1

data 15 10 5 0 Model yang digunakan adalah Holt Exponential Smoothing. Parameter hasil optimasi: Alpha : 0.4050 Beta : 0.5221 9

QUASI-NEWTON  Fungsi MATLAB lain yang dapat digunakan untuk optimasi non-linier adalah: fmincon  Fungsi fmincon: menemukan minimum dari suatu fungsi obyektif yang memiliki kendala (constraint);

 Sintak:  [x, fval] = fmincon (fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options)  Output:  x  Fval

: parameter : nilai dari fungsi obyektif

10

QUASI-NEWTON  Sedikit berbeda dengan lsqcurvefit, fungsi obyektif yang akan diminimalkan menggunakan fungsi fmincon adalah fungsi MSE; sehingga kita harus mendefinisikan fungsi MSE-nya terlebih dahulu.  Fungsi MSE 𝑀𝑆𝐸 =

1 𝑛

𝑛 𝑖=1

𝑦𝑖 − 𝑦𝑖

2

 Contoh data yang digunakan sama pada contoh 1;  Parameter optimum yang dihasilkan adalah: Alpha : 0.4049 Beta : 0.5203

11

QUASI-NEWTON

Fungsi obyektif 2

Proses optimasi

12

LEAST-SQUARE DATA FITTING  Fungsi MATLAB yang digunakan addalah lsqnonlin  Fungsi lsqnonlin:

 Dengan menggunakan fungsi obyektif 2, proses optimasinya:

 Hasil optimasi: Alpha : 0.4064 Beta : 0.5187

13

GENETIC ALGORITHM  Menggunakan optimasi dari genetic-algorithm dengan fungsi: ga  Fungsi obyektif yang digunakan adalah fungsi obyektif 2;

 Hasil optimasi: Alpha : 0.4024 Beta : 0.5259

14

REFERENSI  Griva, I., Nash, S. G., Sofer, A., 2009, Linier and Non Linier Optimization 2nd Edition, SIAM.  MATLAB non linier optimization toolbox;  www.mathworks.com/help

15