Anzdoc.com Sistim Persamaan Linier

SISTIM PERSAMAAN LINIER BENTUK UMUM

a11x1

a12 x 2

 a1 j x j

 a1n x n

a21x1

a22 x 2

 a2 j x j

 a2n x n

 ai 1x1

ai 2 x 2

 ai j x j

 an1x1

an2 x 2

 an j x j

 ai n x n  ann x n

b1 b2

aij , bi = KONSTANTA Xj = VAR.YG DICARI i = BARIS j = KOLOM

bi bn

PERMASALAHAN CARI X1 Xn SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA PERSAMAAN DIATAS TERPENUHI SECARA SIMULTAN ?

BENTUK TERBATAS n = 3 a11x1 a12 x 2 a13 x 3 b1 a21x1 a22 x 2 a23 x 3 b2 a31x1 a32 x 2 a33 x 3 b3

10/2/2008

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

METODE CRAMER DESKRIPSI : CARA ANALITIS DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG DENGAN DETERMINANNYA. PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,

x1

A1 A

b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

U/ X2 GANTI KOLOM 2 PEMBILANG DGN RUAS KANAN.

U/ X3 GANTI KOLOM 3 PEMBILANG DGN RUAS KANAN.

METODE ELEMINASI GAUSS DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT : 10/2/2008

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

SISTIM PERSAMAAN LINIER ( SEGIEMPAT )

TRANSFORMASI ELEMENTER

SISTIM TRIANGGULASI ATAS ( SEGITIGA ATAS )

DEFINISIKAN FAKTOR PENGALI U/ MENGELIMINASIKAN ELEMEN-ELEMEN KOLOM DIBAWAH DIAGONAL

PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,  BILA a11 0 FAKTOR PENGALI m1 = a21 / a11  BILA a11 = 0 PERMUTASIKAN / PERTUKARKAN LEBIH DULU BARIS YG MENGANDUNG a11 0.  TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS 2 DIKURANGKAN DGN [ BARIS 1 DIKALIKAN DGN m1 ] :

a12m1) x 2

0 (a22 a'22 x 2

a'23 x 3

(a23

a13m1) x 3

(b2 b1m1)

b' 2

 ANALOOG UNTUK ELIMINASI a31 DAN a32 !!!  HASIL TRIANGGULASI ATAS :

a11x1

a12 x 2 a '22 x 2

10/2/2008

a13 x 3

b1

a '23 x 3

b'2

a"33 x 3KuliahbSarjana "3 Teknik Sipil FTUB

 HASIL PENYELESAIAN AKHIR :

x3

b"33 a"33

x2

b'2 a'23 x 3 a'22

x1

b1

a12 x 2 a13 x 3 a11

KELEMAHAN : TRANSFORMASI ELEMENTER MENGANDUNG BANYAK OPERASI ARITMATIKA BILA n >>> MAKA OPERASI ARITMATIKA >>> SEHINGGA KESALAHAN >>> !!!

METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL DESKRIPSI : CARA NUMERIK PENUH DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT : SISTIM PERSAMAAN LINIER

BENTUK RUMUS ITERASI

ITERASI S / D : X(k) X(k-1) DGN KETELITIAN TERTENTU

PENYELESAIAN PDKT AWAL Xj(0) , j = 1,2,3 … . . n 10/2/2008

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

RUMUS ITERASI : U/ n = 3, ASUMSI : a11 0 , a22 0 , a33

0 DAN k = ITERASI

x

(k) 1

1 b1 - a12 x (k2 -1) - a13 x (k3 -1) a11

x

(k) 2

1 b2 a21x1(k) a22

a23 x (k3 -1)

x

(k) 3

1 b3 a31x1(k) a33

a32 x (k) 2

j

1,2,...,N

PROSES ITERASI :  ITERASI 1

10/2/2008

DIAMBIL P.P.A X1(0), X2(0) DAN X3(0) :

x

(1) 1

1 (0) b1 - a12 x (0) a x 2 13 3 a11

x

(1) 2

1 b2 a22

a21x1(1)

a23 x (0) 3

x (1) 3

1 b3 a33

a31x1(1)

a32 x (1) 2

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

 ITERASI 2

DIAMBIL X1(1), X2(1) DAN X3(1) :

x1(2)

1 a11

(1) b1 - a12 x (1) a x 2 13 3

x (2) 2

1 a22

b2

a21x1(2)

a23 x (1) 3

(2) 3

1 a33

b3

a31x1(2)

a32 x (2) 2

x

 DAN SETERUSNYA S / D DIPEROLEH X(k) DIHENTIKAN ATAS DASAR KRITERIA :

m(k)

x(k) - x(k -1)

X(k-1) DAN ITERASI

ketelitian

RUMUS UMUM ITERASI : U/ ( n X n ),

x

(k 1) i

i, j 10/2/2008

bi ai i

1,2,3,...,n

i-1 j 1

ai j ai i

n

x

(k 1) j j i 1

k

ai j ai i

1,2,3,...,N

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

x (k) j

KELEMAHAN :  SANGAT PEKA THD VARIASI ANTAR ELEMEN YG KECIL  SANGAT LAMBAT KONVERGEN BILA DETERMINAN 0

PERLU DIKEMBANGKAN KRITERIA KONVERGENSI !!! KRITERIA KONVERGENSI n ELEMEN DIAGONAL HARUS ai i ai j DOMINAN !!! j 1,j i

BENTUK MATRIKS BENTUK UMUM ( DIMENSI n X n ) :

10/2/2008

a11 a21

a12 a22

 a1 j  a2 j

 a1n  a2n

 ai1 

 ai 2 

  

  

an1

an 2

 anj

 aij 

 ain 

 ann

BENTUK SINGKAT :

x1 x2 

b1 b2 

xj 

bj 

xn

bn

aij x j A X

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

bi atau B

BENTUK AUGMENTASI : U/ n x n,

aij bj BENTUK U/ n = 3 :

a11 a21

a12 a22

a13 a23

x1 x2

b1 b2

a11 a21

a12 a22

a13  b1 a23  b2

a31

a32

a33

x3

b3

a31

a32

a33

PENYELESAIAN

X

A A

1

1

 b3

DG METODE INVERSI / CRAMER / KOFAKTOR :

B

adj A A

adj A

ji

ij

( 1) i

j

M ij

[A]-1 = INVERS MATRIKS A, adj [A] = ADJOINT MATRIKS A, ij = KOFAKTOR DAN Mij = MINOR. 10/2/2008

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

METODE CROUT ( DEKOMPOSISI MATRIKS ) DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT ,

[ aij : bi ]

=

[ Lij ][ Tij : ci ] TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN RUAS KIRI DAN KANAN ) HITUNG KOEFISIEN Lij , Tij , Ci

PENYELESAIAN Xj

TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK PADA [ Tij : CI ]

PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,

10/2/2008

a11 a21

a12 a22

a13  b1 a23  b2

L11 0 L 21 L 22

a31

a32

a33  b3

L 31 L 32 L 33

0 0

1 T12 0 1 0

0

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

T13  c1 T23  c 2 1

 c3

HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :

L11

a12 L11

a11 T12

T13

L 21

a21 L 22

a22

L 21T12 T23

L 31

a31 L 32

a32

L 31T12 L 33

c1

b1 c2 L11

(b2

PENYELESAIANNYA :

L 21c 1 ) L 22

c3

X2 = C2 – T23 X3

X3 = C3

a13 L11 ( a23

L 21T13 ) L 22

a33

L 31T13 - L 32T23

(b3

L 31c 1 - L 32c 2 ) L 33

X1 =C1 – T13 X3 – T12 X2

RUMUS UMUM DAN PENYELESAIAN : j-1

L ij

L ikTkj ,

aij

i

j, j

1,2,3,...,n

xn

cn

k 1

Tij ci 10/2/2008

1 aij L ii 1 bi L ii

i-1

n

L ikTkj ,

i

j, j

2,3,4,...,n

xj

cj

k 1

Tjr x r r j 1

i-1

L ikc k , k 1

i

2,3,4,...,n

j

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

1, 2 , 3,..., ( n

1)

METODE CHOLESKI ( MATRIKS SIMETRIS ) DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

[ aij : bi ]

=

[ Uji ][ Uij : ci ] TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN RUAS KIRI DAN KANAN ) PENYELESAIAN Xj

HITUNG KOEFISIEN Uij , Ci TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK PADA [ Uij : CI ]

PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,

a11 a21

a12 a22

a13  b1 a23  b2

U11 0 U12 U22

a31

a32

a33  b3

U13 U23 U33

10/2/2008

0 0

U11 U12 U13  c1 0 U22 U23  c 2 0

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

0

U33  c 3

HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :

U11

2 a22 U12

a11 U22

U12

a12 U11

U13

a13 U12

U23

c1

(a23 U12U13 ) U22 2 13

U33

2 23

a23 U U

b1 U11

c2

(b2 c1U12 ) U22

c3

(b3 c1U13 - c 2U23 ) U33

PENYELESAIAN :

x3

c3 U33

c2

x2

U23 x 3 U22

x1

c1 - U12 x 2 - U13 x 3 U11

RUMUS UMUM ( n x n ) : i 1

Uii

Uki2 ,

aii

i

2,3,4,...,n

k 1 i-1

Uki Ukj

aij Uij 10/2/2008

i-1

k 1

Uii

Uki c k

bi ,

j

2,3,4,...,n

ci

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

k 1

Uii

PENYELESAIANNYA :

xn

cn Unn

n

ci

Ui k x k k i 1

xi

Ui i

,

i

1,2,3,...,(n - 1)

CONTOH SOAL : INTEPRETASI GEOMETRIK M ITERASI SPL 2 X 2 : X2 2 2 X1 + X2 = 2

TITIK POTONG PENYELESAIAN YANG DICARI !!!

X1 – 2 X2 = 2

ARAH PERGERAKAN ITERASI MENUJU TITIK POTONG DUA KURVA KONVERGEN !!!

1

( 0,0 ) 10/2/2008

1

X1

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

INVERSI MATRIKS BENTUK MATRIKS U/ SPL DGN 3 PERSAMAAN :

a11 a21

a12 a22

a13 a23

x1 x2

b1 b2

a31

a32

a33

x3

b3

DALAM BNTK SINGKAT DAN BNTK AUGMENTASI :

Ab

A X B PENYELESAIAN :

BILA [ A ] NON SINGULAR ( A

A

1

A X

X

A

A 1

1

B

0 ), MAKA :

B

A A

1

1

A

I

Matriks Invers

ATURAN CRAMER ( METODE KOFAKTOR )

A

1

1 C A

T

A = DETERMINAN [ A ], [ C ]T = ADJOINT [ A ]. 10/2/2008

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN :  AMBIL :

A

1

C

c11 c21

c12 c22

c13 c23

c31

c32

c33

A C

C A

a11 a21

a12 a22

a13 a23

c11 c21

c12 c22

c13 c23

1 0 0 0 1 0

a31

a32

a33

c31

c32

c33

0 0 1

I

 HASIL PERKALIAN DLM BNTK MATRIKS :

 10/2/2008

a11

0

0



0

c11

1

a21 a31

0

0

0

0

c12 c13

0

0

 



 0

 c33



0

 a31

0

   a33

0

1

C11 , C12 , . . . , C33 DAPAT DIHITUNG, NAMUN PERHITUNGAN MENJADI BANYAK !!! Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

 PENYEDERHANAAN DLM BTK AUGMENTASI :

A I

I C

a12

a13  1 0 0

1

a21 a22 a31 a32

a23  0 1 0 a33  0 0 1

0

a11

0

 c11

0

c12

c13

 c21 c22 c23 0 0 1  c31 c32 c33 1

0

METODE REDUKSI  AMBIL SPL DG 3 PERSAMAAN DLM BTK MATRIKS :

a11 a21

a12 a 22

a13 a23

x1 x2

b1 b2

a31

a32

a33

x3

b3

A X

B

 PROSEDUR REDUKSI :

Ri A X

Ri B ,

i

1,2,3

[ Ri ] = MATRIKS PEREDUKSI, DIAMBIL SDRS HASIL PERKALIAN AKHIR [ RI ] [ A ] = [ I ], DENGAN i = DIMENSI MATRIKS. 10/2/2008

Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

 REDUKSI KOLOM 1 DR [ A ]

1

a11 a21 a11 a31 a11

R1

0

0

1

0

0

1

[ R1 ] DIAMBIL BERIKUT :

R1 A X

R1 B

 HASIL PERKALIAN :

a12' a13'

x1

b1

a22' a23' ' ' 0 a32 a33

x2 x3

R1 b2 b3

1 0

 DALAM BENTUK SINGKAT :

A1 X 10/2/2008

R1 B Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

 REDUKSI KOLOM 2 DR [ A ]

a12' ' a22

1

R2

1

0

' 22 ' 32 ' 22

a a a

0

[ R2 ] DIAMBIL BERIKUT :

0

R2 A1 X

0

R2 R1 B

1

 HASIL PERKALIAN :

a13"

x1

b1

" a23 " 0 0 a33

x2 x3

R2 R1 b2 b3

1 0

0 1

 DALAM BENTUK SINGKAT :

A2 X 10/2/2008

R2 R1 B Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

 REDUKSI KOLOM 3 DR [ A ]

R3

1

0

0

1

0

0

" a13 " a33 " a23 " a33

[ R3 ] DIAMBIL BERIKUT :

R3 A2 X

R3 R2 R1 B

1 " a33

 HASIL PERKALIAN :

0 1 0

x1 x2

0 0 1

x3

1 0 0

R3 R2 R1

b1 b2 b3

 DENGAN DEMIKIAN :

A

-1

R3 R2 R1

 BENTUK UMUM U/ MATRIKS n x n :

A 10/2/2008

-1

Rn

Rn

R

R

1 n 2 1 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB