Anualidades

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE AUDITORÍA DÉCIMO SEMESTRE SEMINARIO DE INTEGRACIÓN PROFESIONAL SALÓN 210 S-3, JORNADA: NOCTURNA LICENCIADO: WALTER AUGUSTO CABRERA AUXILIAR: ALBA MONROY CASTILLO

TRABAJO 17, SEGUNDA FASE ANUALIDADES

GUATEMALA, 25 DE FEBRERO DE 2008

INTEGRANTES Nombres y Apellidos

Carné

Maynor Rene Véliz

009111030

Ligia Ycela Gil Monjes

200014523

Diana Onoria Velásquez Galeano

200116487

Rony Castellanos Carranza

200117944

Sulma Azucena Urrutia Ramirez

200120692

Elvis Dagoberto López Túnchez

200214652

Leiby de los Angeles Fuentes Gómez

200314470

Darlene Ivonne Bonilla Duarte

200316340

Cordinadora:

Darlene Ivonne Bonilla Duarte

Tesorera:

Diana Onoria Velásquez Galeano

INDICE Tema

Pág. No.

Introducción

i

CAPITULO I 1.GENERALIDADES DE LA MATEMATICA

01

1.1

CARACTERÍSTICAS DE LA MATEMÁTICA

1.2

QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA MATEMÁTICA

1.3

QUÉ ES LA MATEMÁTICA

03

1.4

ALGUNOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS.

03

1.5

CÓMO SE DA LA INNOVACIÓN EN LA MATEMÁTICA

04

1.6

LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS

05

1.7

PAUTAS Y RELACIONES

06

1.8

MATEMÁTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGÍA

08

1.9

LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA

09

1.9.1 Abstracción y representación simbólica

10

1.9.2 Manipulación de los enunciados matemáticos

11

1.9.3 Aplicación

12

1.10

02 03

DEFINICIÓN DE MATEMÁTICA FINANCIERA 1.10.1 Conceptos Básicos

13 14

1.10.1.1

Factibilidad Económica

14

1.10.1.2

Factibilidad Financiera

14

1.10.1.3

Factibilidad Económica versus Factibilidad Financiera

14

1.10.1.4

Valor Económico Agregado

15

1.10.1.5

Proyecto de Inversión

15

1.10.2 Relaciones de la matemática financiera con otras disciplinas

16

INDICE Tema

Pág. No.

CAPITULO II 2

GENERALIDADES DE LAS ANUALIDADES

20

2.1

DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

21

2.2

OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES

23

2.2.1 Intervalo o Período de Pago

23

2.2.2 Plazo de la Anualidad

23

2.2.3 Renta

23

2.3

PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES

23

2.4

ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES

23

2.5

OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES

25

2.6

ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES

25

CAPITULO III 3

CLASIFICACIÒN DE LAS ANUALIDADES

26

3.1

ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO

27

3.1.1 En función de la época de pago de cada renta

27

3.1.1.1

Vencidas u ordinarias

27

3.1.1.2

Anticipadas o inmediatas

27

3.1.1.3

Diferidas

28

3.1.2 Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las capitalizaciones de interés 3.1.2.1

29

Un pago de renta en el año y tasa de interés efectiva

3.1.2.2

29

Un pago de renta en el año y tasa de interés nominal

3.1.2.3

29

Varios pagos en el año y tasa de interés efectiva.

3.1.2.4

29

Varios pagos en el año y tasa de interés nominal.

29

INDICE Tema

Pág. No. 3.1.2.5

Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés efectiva.

3.1.2.6

29

Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés nominal.

3.1.3 Atendiendo la variabilidad de los pagos de renta

3.2

29 29

3.1.3.1

Constantes

29

3.1.3.2

Variables

29

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO

29

3.2.1 Rentas perpetuas

29

3.2.2 Costo capitalizado

30

3.2.3 Costos equivalentes

30

3.2.4 Límite de gastos para alargar la vida útil de un activo 3.3

ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES

30 30

3.3.1 Rentas vitalicias

31

3.3.2 Dote pura

31

3.3.3 Seguros de vida

31

CAPITULO IV 4.

PRONTUARIO DE FORMULAS DE ANUALIDADES 4.1

32

ANUALIDADES

33

4.1.1 Monto

33

4.1.2 Valor actual

33

4.1.3 Renta en función del monto

34

4.1.4 Renta en función del valor actual

34

4.1.5 Tiempo en función del monto

34

4.1.6 Tiempo en función del valor actual

35

INDICE Tema

Pág. No.

4.2

4.3

ANUALIDADES PAGADERAS CADA “K” AÑOS

35

4.2.1 Monto

36

4.2.2 Valor actual

36

4.2.3 Renta en función del monto

36

4.2.4 Renta en función del valor actual

36

4.2.5 Tiempo en función del monto

37

4.2.6 Tiempo en función del valor actual

37

ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

4.4

4.5

4.6

38

4.3.1 Factor del monto (FM)

38

4.3.2 Factor del valor actual (FVA)

38

ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRES ARITMÉTICA CRECIENTES

39

4.4.1 Monto

39

4.4.2 Valor actual

39

4.4.3 Primer pago en función del monto

40

4.4.4 Primer pago en función del valor actual

40

4.4.5 Diferencia en función del monto

40

4.4.6 Diferencia en función del valor actual

41

ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CRECIENTES

41

4.5.1 Monto

42

4.5.2 Valor actual

42

4.5.3 Primer pago partiendo del monto

43

4.5.4 Primer pago partiendo del valor actual

43

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO – RENTAS PERPETUAS

44

INDICE Tema

Pág. No. 4.6.1 Valor actual

45

4.6.1.1

Pagadera cada “k” años

45

4.6.2 Rentas

45

4.6.2.1

Pagadera cada “k” años

45

4.6.2.2

Pagadera anualmente o en períodos menores de un año

45

4.6.3 Tasa de interés

45

4.6.3.1

Pagaderas cada “k” años

45

4.6.3.2

Pagadera anualmente o en períodos menores de un año

4.7

4.8

45

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO – COSTO

CAPITALIZADO

46

4.7.1 Costo inicial y de reemplazo diferentes

46

4.7.2 Costo inicial y de reemplazo iguales

46

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO COSTOSEQUIVALENTES

4.9

47

LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE UN ACTIVO

47

4.10

RENTAS VITALICIAS

48

4.11

DOTE PURA

49

4.12

SEGURO DE VIDA

50

CAPITULO V 5

EJEMPLOS DE ANUALIDADES

51

Conclusiones

69

Recomendaciones

70

Bibliografía

71

INTRODUCCIÓN La presente investigación es realizada con el ánimo de conocer las herramientas matemáticas para toma de decisiones en las actividades financieras de una empresa. En el capítulo uno se aborda las generalidades de la matemática financiera y sus diferentes campos de acción, tomando como base las generalidades matemáticas. En el capítulo dos, trata de las anualidades como tema central, abordándolo de forma específica El capítulo tres se hace mención de la clasificación de las anualidades, esto para conocerlas, con sus diferencias, y como pueden desarrollarse. El prontuario de formulas se puede ver en el capitulo cuatro, seguido del capítulo cinco donde se desarrollan diez casos prácticos de anualidades.

CAPÍTULO I

GENERALIDADES DE LA MATEMÁTICA En el presente capítulo se muestran las generalidades de la matemática. OBJETIVOS •

Dar a conocer la definición de matemática, con énfasis a la matemática financiera.

•

Establecer los conceptos relacionados a la matemática financiera .

•

Establecer la relación que tienen la matemática financiera con otras disciplinas.

1.1

CARACTERÍSTICAS DE LA MATEMÁTICA

La Matemática posee varias características que la hacen diferir de otras disciplinas. •

La primera es que es muy difícil de describir o definir su materia de estudio. Es claro cuales la materia de estudio de la Astronomía y de la, Biología, pero no de la Teoría Algebraica. Esto se debe fundamentalmente a que los objetos de estudio son conceptos abstractos definidos que a menudo van encadenados a otros conceptos previamente definidos. Su descripción se reduce a definiciones formales que requieren de conexiones neuronales, las cuales requieren de cierto tiempo para realizarse. Esto, aunado a una madurez matemática o entrenamiento matemático le permite al ser humano asimilar una buena cantidad de ideas abstractas. Por ejemplo, trate usted de explicarle a su sobrinita preguntona qué es la adición, o de qué se trata la Geometría Analítica, o qué es un anillo. Requerirá, después de muchas explicaciones intuitivas, establecer definiciones formales y tiempo, mucho tiempo.

•

La segunda característica es que posee una lógica perfecta. La Matemática de Euclides es tan válida hoy como en la época de Euclides. Esto contrasta con otras teorías, como la de la tierra plana, la del flogisto o la del éter.

•

La tercera es lo conclusivo de la Matemática, esto es, las diferentes disciplinas

toman

conclusiones

con

base

en

las

manipulaciones

matemáticas.

•

La cuarta es su independencia, esto es, no requiere de equipos costosos a diferencia de las ciencias experimentales. Basta a veces con lápiz y papel, o ni siquiera esto. Arquímedes dibujaba sobre la arena. Leray escribió su

matemática siendo prisionero de guerra. Apesar de los regímenes políticos de toda índole, la Matemática continúa evolucionando. Es interesante observar que sus bibliotecas son menos grandes que las de otras disciplinas. 1.2

QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA MATEMÁTICA

Según Arrigo Coen, Mathema significa erudición, manthánein es el infinitivo de aprender, el radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo relativo al aprendizaje. Así que en sentido implícito, Matemática significa: «lo digno de ser aprendido». 1.3

QUÉ ES LA MATEMÁTICA

No existe una definición de lo que es la Matemática. Sin embargo, se dice que es una colección de ideas y técnicas para resolver problemas que provienen de cualquier disciplina, incluyendo a la Matemática misma. 1.4

ALGUNOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Recuerden el famoso último teorema de Fermat (el cual sucede al de la ecuación pitagórica x2 + y2 = z2) que dice que la ecuación xn + yn = zn nunca tiene soluciones enteras positivas para cualquier entero positivo n mayor que 2. Excepto para n = 2, estas ecuaciones no tienen una interpretación geométrica. Aparentemente este problema no pareciera tener mucha importancia, sin

embargo ha tenido una influencia enorme en el desarrollo de la

Matemática.

Fermat dijo que tenía una demostración pero que no tenía espacio para escribirla. Por más de 300 años, este problema, aparentemente sencillo, ha sido el motivo de grandes esfuerzos de muchos matemáticos y es precisamente de estos esfuerzos

que se han creado nuevas técnicas y conceptos, los cuales tienen influencia en muchas áreas de la Matemática. El problema de los cuatro colores afirma que solamente se requieren 4 colores para iluminar o colorear cualquier mapa del globo terrestre con la condición de que dos países adyacentes deban tener colores diferentes. La solución positiva, más de cien años después, fue obtenida mediante el uso de la computadora, teniendo un impacto muy pequeño en la Matemática. Fue el primer problema no trivial solucionado por la computadora. En la Matemática, si un problema se resuelve mediante métodos estándar, el problema pierde mucho de su interés. Si no se resuelve mediante los métodos conocidos por mucho tiempo, se convierte en un problema clásico. Un buen problema es aquel que da lugar a nuevas técnicas con gran aplicabilidad a otras áreas. Las ideas nuevas que constituyen los pasos para obtener la solución de algún problema constituyen el progreso de la Matemática. Los matemáticos sabemos apreciar las técnicas ingeniosas. 1.5

CÓMO SE DA LA INNOVACIÓN EN LA MATEMÁTICA

A diferencia de otras disciplinas científicas, en la Matemática la creación de nuevos métodos o técnicas constituye la innovación, la cual es vital para el progreso de la Matemática.

No se requiere del descubrimiento de antiguos documentos manuscritos, ni del trabajo experimental o de la introducción de nueva tecnología. La innovación se da, entre otras cosas, por la creación de nuevas técnicas. Por ejemplo, cuando Galois se dio cuenta al trabajar en el problema de la insolubilidad de la ecuación polinomial general de grado al menos 5 que la clave estaba en las simetrías de las

cinco soluciones de la ecuación, proveyó los fundamentos de la teoría general de la simetría, la cual es una de las ramas más profundas y de amplio espectro de toda la Matemática, llamada Teoría de Grupos. También hay innovación interna al tratar de dar cohesión a una teoría matemática, al realizar preguntas adecuadas, las cuales requieren de mucha intuición y compenetración. También puede venir de problemas de otras disciplinas. Se puede decir que hay progreso matemático cuando existe una aplicación continua de métodos usuales intercalados espectacularmente con nuevos conceptos y problemas. 1.6

LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS

Las matemáticas dependen tanto de la lógica como de la creatividad, y están regidas por diversos propósitos prácticos y por su interés intrínseco. Para algunas personas, y no sólo para los matemáticos profesionales, la esencia de esta disciplina se encuentra en su belleza y en su reto intelectual Para otros, incluidos muchos científicos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma en que se aplican a su propio trabajo. Ya que las matemáticas juegan ese papel central en la cultura moderna, es indispensable una comprensión básica de ellas en la

formación científica. Para lograr esto, debe percatarse de que las matemáticas forman parte del quehacer científico, comprender la naturaleza del pensamiento matemático y familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina. 1.7

PAUTAS Y RELACIONES

Las matemáticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina teórica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si éstas tienen homólogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias de números hasta figuras geométricas o series de ecuaciones. Si se propone, por ejemplo, "¿forma una pauta el intervalo entre números primos?" como pregunta teórica, los matemáticos se interesarán sólo en encontrar la pauta o probar que ésta no existe, pero no en buscar la utilidad que podría tener tal conocimiento. Cuando se deriva, por ejemplo, una expresión para el cambio en el área de cualquier cuerpo regular cuando su volumen se aproxima a cero, los matemáticos no manifiestan interés en la concordancia entre los cuerpos geométricos y los objetos físicos del mundo real. Una línea fundamental de investigación en las matemáticas teóricas es identificar en cada campo de estudio un pequeño conjunto de ideas y reglas básicas a partir de las cuales puedan deducirse, por lógica, todas las demás ideas y reglas de interés en ese campo. Los matemáticos, como otros científicos, gozan en particular cuando descubren que partes de esa ciencia sin relación previa pueden ser derivables entre si o a partir de una teoría más general. Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en esta ciencia no radica en hallar la más grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las matemáticas avanzan, se han encontrado más y más relaciones entre partes que

se habían desarrollado por separado por ejemplo, entre las representaciones simbólicas del álgebra y las representaciones espaciales de la geometría. Estas interconexiones hacen posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial de toda la estructura.

Las matemáticas son también una ciencia aplicada. Muchos matemáticos dedican sus energías a resolver problemas que se originan en el mundo de la experiencia. De igual manera, buscan pautas y relaciones; en el proceso utilizan técnicas similares a las que se emplean en esta ciencia puramente teórica. La diferencia es en gran medida de propósito. En contraste con las matemáticas teóricas, las aplicadas, en los ejemplos anteriores, podrían estudiar la pauta del intervalo de los números primos para desarrollar un nuevo sistema para codificar información numérica, más que como un problema abstracto. También podrían abordar el problema sobre el área/volumen como un paso en la concepción de un modelo para el estudio del comportamiento del cristal. Los resultados de las matemáticas teóricas y aplicadas con frecuencia influyen entre sí. A menudo los descubrimientos de los matemáticos teóricos tienen un valor práctico no previsto algunas veces décadas después. Por ejemplo, el estudio de las propiedades matemáticas de acontecimientos que ocurren al azar condujo al conocimiento que más tarde hizo posible mejorar el diseño de los experimentos en las ciencias naturales y sociales. Por el contrario, al tratar de solucionar el problema del cobro justo a los usuarios del teléfono de larga distancia, los especialistas hicieron importantes descubrimientos sobre las matemáticas de redes complejas. Las matemáticas teóricas, a diferencia de otras ciencias, no están restringidas por el mundo real, pero a la larga contribuyen a entenderlo mejor.

1.8

MATEMÁTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGÍA

Debido a su abstracción, las matemáticas son universales en un sentido en que no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones útiles en los negocios, la industria, la música, la historia, la política, los deportes, la medicina, la agricultura, la ingeniería y las ciencias naturales y sociales. Es muy amplia la

relación entre las matemáticas y los otros campos de la ciencia básica y aplicada. Ello obedece a varias razones, incluidas las siguientes: •

La relación entre la ciencia y las matemáticas tiene una larga historia, que data de muchos siglos. La ciencia le ofrece a las matemáticas problemas interesantes para investigar, y éstas le brindan a aquélla herramientas poderosas para el análisis de datos. Con frecuencia, los modelos abstractos que han sido estudiados por los matemáticos, por el puro interés que despiertan han resultado ser muy útiles para la ciencia tiempo después. La ciencia y las matemáticas están tratando de descubrir pautas y relaciones generales, y en este caso ambas son parte del mismo quehacer.

•

Las matemáticas son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje simbólico matemático ha resultado ser en extremo valioso para expresar las ideas científicas sin ambigüedad. La declaración a = F/m no es sólo una manera abreviada de decir que la aceleración de un objeto depende de la fuerza que se le aplique y de su masa; sino que es un enunciado preciso de la relación cuantitativa entre esas variables. Más importante aún, las matemáticas proporcionan la gramática de la ciencia las reglas para el análisis riguroso de ideas científicas y datos.

•

Las matemáticas y la ciencia tienen muchas características en común. Estas incluyen la creencia en un orden comprensible; una interacción de imaginación y lógica rigurosa; ideales de honestidad y franqueza; la importancia decisiva de la crítica de los compañeros; el valor atribuido a ser el primero en hacer un descubrimiento clave; abarcar el ámbito internacional; e incluso, con el desarrollo de poderosas computadoras electrónicas, ser capaz de utilizar la tecnología para abrir nuevos campos de investigación.

•

Las matemáticas y la tecnología también han desarrollado una relación productiva mutua. Las matemáticas de las relaciones y cadenas lógicas, por ejemplo, han contribuido considerablemente al diseño del hardware computacional y a las técnicas de programación. Las matemáticas también ayudan de manera importante a la ingeniería, como en la descripción de sistemas complejos cuyo comportamiento puede ser simulado por la computadora. En tales simulaciones, pueden variarse las características del diseño y las condiciones de operación como un medio para encontrar diseños óptimos. Por su parte, la tecnología computacional ha abierto áreas totalmente nuevas en las matemáticas, aun en la misma naturaleza de la comprobación, y también continúa ayudando a resolver problemas anteriormente atemorizantes.

1.9

LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA

El uso de las matemáticas para expresar ideas o resolver problemas comprende por lo menos tres fases: 1. representar de manera abstracta algunos aspectos de las cosas; 2. manejar las abstracciones mediante reglas de lógica para hallar nuevas relaciones entre ellas, y 3. ver si las nuevas relaciones indican algo útil sobre las cosas originales.

1.9.1 Abstracción y representación simbólica El pensamiento matemático comienza con frecuencia con el proceso de abstracción esto es, observar una similitud entre dos o más acontecimientos u objetos. Los aspectos que tienen en común, ya sea concretos o hipotéticos, se pueden representar por símbolos como los números, letras, otros signos, diagramas, construcciones geométricas o incluso palabras. Todos los números son abstracciones que representan el tamaño de conjuntos de cosas y sucesos, o el orden de los elementos en una serie. El círculo como concepto es una abstracción derivada de caras humanas, flores, ruedas, u olas pequeñas que se expanden; la

letra A puede ser una abstracción para el área de objetos de cualquier forma, para la aceleración de todos los objetos móviles o para aquellos que tienen una propiedad específica; el símbolo + representa un proceso de adición, aun cuando uno se encuentre sumando manzanas o naranjas, horas o millas por hora. Y las abstracciones no se hacen sólo a partir de objetos o procesos concretos; también pueden realizarse con base en otras abstracciones, como las clases de números (los números pares, por ejemplo). Tal abstracción permite a los matemáticos concentrarse en ciertas características de los objetos, además de que les evita la necesidad de guardar continuamente otras en su mente. En lo que a las matemáticas se refiere, no importa si un triángulo representa el área de un velero o la convergencia de dos líneas visuales sobre una estrella; los matemáticos pueden trabajar con ambos conceptos de igual manera. El ahorro de esfuerzo resultante es muy útil siempre y cuando al hacer la abstracción se ponga cuidado en no soslayar las características que juegan un papel importante en la determinación de los resultados de los sucesos que se están estudiando.

1.9.2 Manipulación de los enunciados matemáticos Una vez que se han hecho las abstracciones y se han seleccionado las representaciones simbólicas de ellas, los símbolos se pueden combinar y recombinar de diversas maneras de acuerdo con reglas definidas con exactitud. En ocasiones, eso se lleva a cabo teniendo en mente un objetivo fijo; en otras, se hace en el contexto de un experimento o prueba para ver lo que sucede. A veces, una manipulación apropiada se puede identificar fácilmente a partir del significado intuitivo de las palabras y símbolos de que se compone; en otras ocasiones, una serie útil de manipulaciones se tiene que resolver por tanteo.

Es común que el conjunto de símbolos se combine en enunciados que expresan ideas o proposiciones. Por ejemplo, el símbolo A para el área de cualquier cuadrado se puede combinar con la letra s que representa la longitud del lado del cuadrado, para formar la expresión A = s2. Esta ecuación específica de qué manera se relaciona el área con el lado y también implica que no depende de nada mas. Las reglas del álgebra común se pueden utilizar, entonces, para descubrir que si se duplica la longitud de los lados de un cuadrado, el área de éste se cuadruplica. En sí, este conocimiento hace posible que se descubra lo que le sucede al área de un cuadrado sin importar cuánto varíe la longitud de sus lados y, por el contrario, cómo cualquier cambio en el área afecta a los lados. El discernimiento matemático en las relaciones abstractas ha aumentado a lo largo de miles de años y todavía sigue ampliándose y en ocasiones se revisa. Aunque las matemáticas comenzaron en la experiencia concreta de contar y medir, han evolucionado a través de muchas etapas de abstracción y ahora dependen mucho más de la lógica interna que de la demostración mecánica. Entonces, en cierto sentido, la manipulación de las abstracciones es casi un juego:

comenzar

con

algunas reglas básicas, después hacer cualquier

movimiento que las cumpla el cual incluye la invención de reglas adicionales y encontrar nuevas relaciones entre las antiguas. La prueba para validar las ideas nuevas consiste en que sean congruentes y se relacionen lógicamente con las demás.

1.9.3 Aplicación Los procesos matemáticos pueden llevar a un tipo de modelo de una cosa, a partir de los cuales se obtendrían profundizaciones de la cosa misma. Cualquier relación matemática que se obtenga por medio de la manipulación de enunciados abstractos puede o no transmitir algo verdadero sobre el objeto que se está modelando. Por ejemplo, si a dos tazas de agua se agregan otras tres, y la

operación matemática abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de azúcar se añaden tres tazas de té caliente y se realiza la misma operación, cinco es una respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado sólo un poco más de cuatro tazas de té muy dulce. La simple suma de volúmenes es apropiada para la primera situación, pero no para la segunda lo que podría haberse predicho sólo conociendo algo sobre las diferencias físicas en los dos casos. Así, para utilizar e interpretar bien las matemáticas, es necesario estar interesado en algo más que la validez matemática de las operaciones abstractas, así como tomar en consideración qué tan bien se corresponden con las propiedades de las cosas que representan. Algunas veces, el sentido común es suficiente para decidir silos resultados de las matemáticas son apropiados. Por ejemplo, para calcular la estatura de una joven cuando tenga 20 años si en la actualidad mide 1.63 m y crece a una tasa de 2.54 cm por año, el sentido común sugiere rechazar la respuesta simple de "tasa por tiempo" de 2.13 m como muy improbable, y dirigirse a algún otro modelo

matemático, como las curvas que aproximan valores restrictivos. Sin embargo, en ocasiones, puede ser difícil saber qué tan correctos son los resultados matemáticos por ejemplo, al tratar de predecir los precios en la bolsa de valores, o los terremotos. Con frecuencia, sucede que una sesión de razonamiento matemático no produce conclusiones satisfactorias; entonces se intenta efectuar cambios en la manera en que se hizo la representación o en las mismas operaciones. De hecho, se dan saltos entre pasos hacia adelante y hacia atrás y no hay reglas que determinen cómo se debe proceder. El proceso avanza típicamente a empujones, con muchas vueltas erróneas y callejones sin salida. Este proceso continúa hasta que los resultados son suficientemente buenos.

Pero, ¿qué grado de exactitud es el suficiente? La respuesta depende de la forma en que se vaya a utilizar el resultado, las consecuencias del error, y el posible costo de modelar y estimar una respuesta más precisa. Por ejemplo, un error de 1% al calcular la cantidad de azúcar en una receta para pastel podría ser insignificante, pero un grado de error similar en el cálculo de la trayectoria de una sonda espacial podría resultar desastroso. Sin embargo, la importancia de la pregunta "suficiente" ha llevado al desarrollo de procesos matemáticos para estimar qué tan lejos podrían llegar los resultados y cuánto cálculo se requeriría para obtener el grado de precisión deseado. 1.10DEFINICIÓN

DE MATEMÁTICA FINANCIERA

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo

para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica. En este texto debe comprenderse las Matemáticas financieras como: Conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión. 1.10.1 Conceptos Básicos 1.10.1.1

Factibilidad Económica

La factibilidad económica de un proyecto de inversión tiene que ver con la bondad de invertir recursos económicos en una alternativa de inversión, sin importar la

fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluación, se analiza la decisión de inversión independiente del dueño del proyecto, se enfatiza únicamente en los recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el origen de estos. 1.10.1.2

Factibilidad Financiera

En la factibilidad financiera del proyecto de inversión se evalúa el retorno para los dueños. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente por el dueño, obtiene la rentabilidad esperada por él. 1.10.1.3

Factibilidad Económica versus Factibilidad Financiera

En el ámbito de la evaluación de proyecto es de vital importancia comprender que a cada decisión de inversión, corresponde una decisión de financiación. Con la condición fundamental de que la rentabilidad de la inversión, debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. La decisión de inversión, como ya se

menciono, tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una de las funciones de la Administración financiera que es definir donde invertir. Para poder tomar la decisión de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestión financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo financiero básico y si los proyectos de inversión que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. La decisión de financiación, otra de las decisiones fundamentales de la administración, tienen que ver con la estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructura se refiere a los dueños de los recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital promedio ponderado. Al evaluar la estructura financiera del proyecto, interesa

diseñar

indicadores

financieros

que

permitan

identificar

si

los

inversionistas o dueños de la empresa están alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan ánimo de lucro, es ganar más dinero ahora y en el futuro.

1.10.1.4

Valor Económico Agregado

Solamente, cuando la rentabilidad de la inversión supere el costo de capital promedio ponderado, se generara valor económico para los propietarios de la empresa. Únicamente en este evento los inversionistas están satisfaciendo sus expectativas y alcanzando sus objetivos financieros. 1.10.1.5

Proyecto de Inversión

Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de obtener retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo. Cualquier criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de inversión, siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de efectivo cumplan con las siguientes condiciones: Recuperación de las inversiones,

recuperar o cubrir los gastos operacionales y además obtener una rentabilidad deseada por los dueños del proyecto, de acuerdo a los niveles del riesgo de este. El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Cuanto más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se desprende la naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones. 1.10.2 Relaciones de la matemática financiera con otras disciplinas La matemática financiera, Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, al combinar elementos fundamentales (capital, tasa, tiempo) para conseguir un rendimiento o interés, al brindarle herramientas y métodos que permitan tomar la decisión más correcta a la hora de una inversión. Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y comunica la información económica de una organización o empresa, con el fin de que las personas interesadas puedan evaluar la situación de la entidad. Relación: Suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente

privado publico, que permitan tomar la decisión mas acertada en el momento de realizar una inversión. Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que están sometidos los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee diferentes ramas por lo que se relaciona de diversas maneras con las matemáticas financieras. •

Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a las transacciones realizadas en los negocios.

•

Relación: En sus leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías; que representan instrumentos esenciales en las finanzas.

•

Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a la protección y defensa de la persona y de los fines que son propios de ésta.

Relación: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas, prestamos a interés; que representa el campo de estudio de las matemáticas financieras, es decir, todas las transacciones económicas que estudia esta disciplinas. Economía: Es una ciencia social que estudia los procesos de producción, distribución, comercialización y consumo de bienes y servicios; es decir, estudia la riqueza para satisfacer necesidades humanas. Relación: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podría obtener mayores beneficios económicos.

Ciencia política: es una disciplina que estudia el estudio sistemático del gobierno en su sentido más amplio. Abarca el origen de los regímenes políticos, sus estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los gobiernos identifican y resuelven problemas socioeconómicos y las interacciones entre grupos e individuos importantes en el establecimiento, mantenimiento y cambio de los gobiernos. Relación: Las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en

manos de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajuste económico y negociaciones que beneficien a toda la población. Ingeniería: Es él termino que se aplica a la profesión en la que el conocimiento de las matemáticas y la física, alcanzado con estudio, experiencia y practica, se aplica a la utilización eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza. Relación: Esta disciplina controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción. Informática: es el campo de la ingeniería y de la física aplicada relativo al diseño y aplicación

de

dispositivos,

por

lo

general

circuitos

electrónicos,

cuyo

funcionamiento depende del flujo de electrones para la generación, transmisión, recepción y almacenamiento de información. Relación: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos manuales que estén relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones.

Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales cuyos propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una determinada cantidad monetaria. Relación: esta disciplina trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y prestamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.

Sociología: es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la función de la sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las instituciones y los problemas de índole social influyen en la sociedad. Relación: la sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una buena administración de los recursos tanto humano como material. La matemática financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que esas empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad.

CAPÍTULO II

GENERALIDADES DE LAS ANUALIDADES En el presente capítulo se muestran algunas de las generalidades más importantes de las anualidades. OBJETIVOS •

Dar a conocer la definición de anualidad.

•

Establecer los conceptos relacionados en el desarrollo de las anualidades, su aplicación, las épocas de valuación de las anualidades y el objeto de cálculo de éstas.

•

Mostrar los diferentes elementos que conforman las anualidades con su respectiva simbología.

2.1

DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Se conoce como anualidades a una serie de pagos iguales y periódicos. También se dice que una anualidad es un pago o ingreso derivado de fondos cuyo fin es proporcionar la base para el pago de una cantidad. La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo son anualidades siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean anuales o no (Períodos menores o mayores a un año). Por ejemplo: •

Una anualidad cuyos pagos periódicos se realizan al final de cada año y de Q. 500.00 cada uno. - 1 año -

- 1 año 500

•

- 1 año 500

- 1 año 500

500

Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 150.00 se realizan al final de cada 6 meses. - 6 meses -

- 6 meses 150

•

- 6 meses 150

- 6 meses 150

150

Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 2,500.00 se realizan al final de cada 2 años.

- 2 años -

- 2 años -

- 2 años -

2,500

2,500

- 2 años 2,500

2,500

En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades, pagos de igual valor por períodos regulares, no necesariamente de un año, en los últimos dos casos. En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar más de una anualidad en una serie de pagos por ejemplo: •

Dos anualidades en las que los pagos se están haciendo al final de cada 1.5 años, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una anualidad para los pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q. 5,800.00

- 1.5 años -

- 1.5 años -

- 1.5 años -

800

800

- 1.5 años 2,800

1

•

2,800

2

Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno, pero una es pagadera cada 6 meses y la otra cada año. - 6 meses -

- 6 meses 800

- 6 meses -

800

1

800

- 1 año -

- 1 año 800

2

800

2.2

OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES

2.2.1 Intervalo o Período de Pago Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad.

Existen

anualidades con períodos de pago iguales a un año, menores de un año y con períodos de pago mayores a un año. 2.2.2 Plazo de la Anualidad Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer período de pago y el final del último período de pago de la anualidad. 2.2.3 Renta Es el pago periódico de la anualidad. 2.3

PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES

Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras por ejemplo: los pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y salarios, las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos, las amortizaciones de créditos otorgados, las compras al crédito de vehículos mediante amortizaciones iguales cada cierto tiempo, entre otros. 2.4

ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES

Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se valúa al inicio o al final del plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuación al inicio del plazo.

Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuación debe realizarse al final de la serie de pagos. También puede valuarse en períodos intermedios y determinar montos si se quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o valores actuales si se desea conocer lo que está pendiente de amortizar a esa fecha. Por ejemplo: •

Cuando la valuación se realiza al inicio y al final de la anualidad.

Valor Actual

Monto

A

S

Inicio

Final

•

Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo acumulado a la fecha de valuación se determina el monto de los pagos efectuados. Fecha de Valuación S Inicio

•

Acumulación Parcial

Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo que está pendiente de amortizar a la fecha de valuación, se determina el valor actual de los pagos que aún no se han hecho. Valor Actual A Saldo pendiente de amortizar

Final

2.5

OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES

Básicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulación de los pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas niveladas. 2.6

ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES ELEMENTO

SÍMBOLO

Monto Valor Actual Renta Tiempo No. de pagos en el año Tasa efectiva de interés Tasa nominal de interés No. de capitalizaciones en el año Período de diferimiento

S A R n P i j m y

CAPÍTULO IiI

CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES A continuación se la clasificación de las anualidades: OBJETIVOS

3.1

•

Conocer las diferentes anualidades que pueden desarrollarse.

•

Establecer las principales diferencias entre las anualidades.

•

Aprender a identificar los tipos de anualidades que se presentan.

ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO

Son aquellas en las cuales se conoce cuando se inician y cuando finalizan los pagos y si tienen plazo indefinido o a perpetuidad.

3.1.1 En función de la época de pago de cada renta 3.1.1.1

Vencidas u ordinarias

Cuando la renta se efectúa al final de cada período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales vencidos, los pagos cada final de año, los pagos al final de cada semestre, etc.

R

3.1.1.2

R

R

R

Anticipadas o inmediatas

Cuando la renta se efectúa al inicio de cada período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales anticipados, los pagos al inicio de cada año, al inicio de cada semestre, etc.

R

R

3.1.1.3

R

R

Diferidas

Cuando la serie de pagos no se inicia de inmediato, sino que se deja pasar un período sin que se efectúe amortización alguna.

Estas anualidades diferidas

pueden ser a su vez, diferidas vencidas o diferidas anticipadas.

Diferidas vencidas

En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento

R

R

Diferidas anticipadas

En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento

R

R

El período de diferimiento deberá aplicarse únicamente a las fórmulas del valor actual o sus derivadas y no así para las del monto.

3.1.2 Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las capitalizaciones de interés 3.1.2.1

Un pago de renta en el año y tasa de interés efectiva

3.1.2.2

Un pago de renta en el año y tasa de interés nominal

3.1.2.3

Varios pagos en el año y tasa de interés efectiva.

3.1.2.4

Varios pagos en el año y tasa de interés nominal.

3.1.2.5

Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés efectiva.

3.1.2.6

Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés nominal.

3.1.3 Atendiendo la variabilidad de los pagos de renta 3.1.3.1

Constantes

Son constantes cuando el valor de la renta siempre es el mismo. 3.1.3.2

Variables

Cuando el valor de la renta varía atendiendo leyes matemáticas, por lo que pueden ser en progresión aritmética y en progresión geométrica, en ambos casos pueden presentarse de forma creciente o decreciente. 3.2 ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO 3.2.1 Rentas perpetuas Es una serie de pagos cuyo plazo es indeterminado o sea que el tiempo es infinito, por lo tanto el capital permanece invariable por un tipo infinito y los pagos de renta se toman de los intereses generados en un determinado tiempo. En este tipo de anualidades no se puede determinar el monto por desconocerse el tiempo de finalización de la serie de pagos.

3.2.2 Costo capitalizado Se le denomina así a la inversión necesaria para adquirir un activo y al mismo tiempo estar en condición de reemplazarlo cada determinado período de años en forma indefinida o sea que es igual al costo inicial del activo más el valor actual de infinito número de renovaciones.

Para interpretar los resultados de dos

alternativas a elegir se deberá considerar la que presente el menor costo capitalizado.

3.2.3 Costos equivalentes Consiste en determinar el precio el precio que se puede pagar por un bien que debe ser reemplazado cada período de años de manera que dicho desembolso en períodos infinitamente largos sea equivalente al de otro bien que tenga la misma utilidad pero con un costo inicial y de reemplazo diferentes. 3.2.4 Límite de gastos para alargar la vida útil de un activo Constituye un indicador financiero que determina el límite de gastos que puede adicionarse para prolongar la vida útil de un activo en comparación con el costo de preposición de un activo similar cuya vida útil está relacionada con el número de años que se puede prolongar dicho activo.

Es aquella erogación que

justificadamente se puede hacer para prolongar la vida útil de un activo sin alterar su costo capitalizado. Nos permite determinar financieramente cuándo conviene prolongar la vida de un activo en vez de sustituirlo. 3.3 ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES Son aquellas cuyo inicio o finalización depende de un suceso cuya realización no puede fijarse con certeza, como por ejemplo la supervivencia o la muerte de una persona. Se aplica en las rentas vitalicias y los seguros de vida.

3.3.1 Rentas vitalicias Serie de pagos que me efectúan durante el tiempo que la persona beneficiaria se encuentre con vida para recibirlos. Con la muerte del rentista finaliza la obligación de pagar las rentas. 3.3.2 Dote pura Toma este nombre una cantidad de dinero que se pagará al cabo de “n” años a una persona de edad actual “x” a condición, de que esté entonces con vida.

Se trata de un capital cuyo pago es un evento aleatorio porque está condicionado a que la persona de edad “x” cumpla “x +n” años para recibirlo, por tanto el precio justo está dado por la esperanza matemática o depósito que el individuo en cuestión debe efectuar hoy para recibirlo sólo si se encuentra con vida a la edad “x + n”. 3.3.3 Seguros de vida Los pagos de la prima del seguro se realizan si el asegurado se encuentra con vida para hacerlos, y al ocurrir su muerte se hace efectivo el pago de la suma asegurada.

PRONTUARIO DE FÓRMULAS DE ANUALIDADES En el presente capítulo se dan a conocer las diferentes fórmulas a utilizar para resolver las anualidades. OBJETIVOS •

CAPÍTULO iV

Conocer las diferentes fórmulas para el desarrollo de las anualidades.

•

Establecer la fórmula necesaria para resolver cada tipo de anualidad que se presente.

4.1

ANUALIDADES

Simbología Monto Valor Actual Renta Tiempo No. de pagos en el año Tasa efectiva de interés Tasa nominal de interés No. de capitalizaciones en el año Período de diferimiento

= = = = = = = = =

S A R n P i j m y

4.1.1 Monto

S =

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mn (1 + j/m) -

1

m/p (1 + j/m) -

1

R

m/p (1+j/m)

4.1.2 Valor actual

1 A =

-

- mn (1 + j/m)

R m/p (1 + j/m) -

1

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p my (1+j/m)

( 1 + j / m)

4.1.3 Renta en función del monto

m/p S { (1 + j/m) - 1 } R

= mn (1 + j/m) -

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

- m/p (1+j/m)

1

4.1.4 Renta en función del valor actual

m/p A { (1 + j/m) - 1 } R

= 1

-

-mn ( 1 + j/m)

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- m/p (1+j/m)

my ( 1 + j / m)

4.1.5 Tiempo en función del monto

* FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p S { (1 + j/m) - 1 } Log

m/p

+ 1

(1+j/m)

R* n = m Log (1 + j/m)

4.1.6 Tiempo en función del valor actual

1 m/p A { (1 + j/m) - 1} Log 1 -

* * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p my (1+j/m)

R** n= m Log ( 1 + j / m)

4.2

ANUALIDADES PAGADERAS CADA “K” AÑOS

Simbología

( 1 + j / m)

Monto Valor Actual Renta Tiempo No. de años para cada pago Tasa nominal de interés No. de capitalizaciones en el año Período de diferimiento

= = = = = = = =

S A W n k j m y

4.2.1 Monto

S =

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mn (1 + j/m) -

1

mk (1 + j/m) -

1

mk (1+j/m)

W

4.2.2 Valor actual

1 A =

-

- mn (1 + j/m)

W mk (1 + j/m) -

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

mk 1

my (1+j/m)

( 1 + j / m)

4.2.3 Renta en función del monto

mk (1 + j/m) W

=

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

-

1

mn (1 + j/m) -

1

S

- mk (1+j/m)

4.2.4 Renta en función del valor actual

mk (1 + j/m) W

=

-

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

1

A 1

-

- mk (1+j/m)

-mn ( 1 + j/m)

my ( 1 + j / m)

4.2.5 Tiempo en función del monto

mk S { (1 + j/m) -

* FACTOR DE ANTICIPACIÓN

1}

Log

mk

+ 1

(1+j/m)

W* n = m Log (1 + j/m)

4.2.6 Tiempo en función del valor actual

* * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

1 mk A { (1 + j/m) Log 1 W** n= m Log ( 1 + j / m)

mk 1}

my (1+j/m)

( 1 + j / m)

4.3

ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Simbología Monto Valor Actual Primer pago Diferencia Tiempo No. de pagos en un año Tasa nominal de interés No. de capitalizaciones en el año Período de diferimiento

= = = = = = = = =

4.3.1 Factor del monto (FM) mn (1 + j/m) - 1 S p ┐n j(m)

= m/p (1 + j/m) - 1

4.3.2 Factor del valor actual (FVA)

1 A p ┐n j(m)

-

- mn (1 + j/m)

= m/p (1 + j/m) -

1

S A B d n p j m y

4.4

ANUALIDADES

VARIABLES

EN

PROGRESIÓN

ARITMÉTICA

CRECIENTES En las siguientes fórmulas para que se conviertan en “Decrecientes” se le cambia de signo a la diferencia “d”. 4.4.1 Monto

FACTOR DE ANTICIPACIÓN S p ┐n j(m)

- np

S = B S p ┐n j(m) + d m/p (1 + j/m) -

m/p (1+j/m)

1

4.4.2 Valor actual

mn Ap ┐n j(m) -

np (1 +

j/m) A = B Ap ┐n j(m) +d m/p

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p my (1+j/m)

( 1 + j / m)

En las siguientes fórmulas el factor del monto aparecerá con las iniciales “FM” y el factor del valor actual con las iniciales (FVA).

4.4.3 Primer pago en función del monto FACTOR DE ANTICIPACIÓN

FM - np S - d B

(1 + j/m)

m/p (1+j/m)

m/p -

1

=

Se coloca como denominador de

FM

4.4.4 Primer pago en función del valor actual

-

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

mn FVA - np (1 + j/m) A -d B

m/p (1 + j/m) -

m/p (1+j/m)

1

=

- my ( 1 + j / m)

Se colocan como denominador de

4.4.5 Diferencia en función del monto

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

S FM d

-

B (FM) -

np

= m/p (1 + j/m) - 1

m/p (1+j/m) Se coloca como denominador de

4.4.6 Diferencia en función del valor actual

A d

=

-

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

B (FVA)

-mn FVA - np (1+j/m)

m/p (1+j/m)

Se colocan como denominador de

m/p (1 + j/m) - 1

4.5

ANUALIDADES

VARIABLES

EN

PROGRESIÓN

CRECIENTES Simbología Monto Valor Actual Primer pago Razón Tiempo No. de pagos en un año Tasa nominal de interés No. de capitalizaciones en el año Período de diferimiento

4.5.1 Monto

- my ( 1 + j / m)

= = = = = = = = =

S A B r n p j m y

GEOMÉTRICA

np mn (r) - ( 1 + j/m) S

=

m/p (1+j/m)

B m/p - ( 1 + j/m)

r

Si

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m=p

y

r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se

aplica la siguiente:

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

S

=

mn - 1 B n p ( 1 + j/m)

m/p (1+j/m)

4.5.2 Valor actual

np

-mn (1 + j/m)

(r) 1 A

=

-

m/p

B m/p r

Si

m=p

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

-

y

(1 + j/m)

my (1+j/m)

( 1 + j / m)

r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se

aplica la siguiente:

-1 S

=

B n p ( 1 + j/m)

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p my (1+j/m)

( 1 + j / m)

4.5.3 Primer pago partiendo del monto

r B

=

m/p - ( 1 + j/m)

S np mn (r) - ( 1 + j/m)

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

- m/p (1+j/m)

Si

m=p

y

r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se

aplica la siguiente:

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

S B

- m/p (1+j/m)

= mn – 1 n p ( 1 + j/m)

4.5.4 Primer pago partiendo del valor actual

r B

=

m/p - ( 1 + j/m)

S np -mn (r) - ( 1 + j/m) -

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- m/p (1+j/m)

my ( 1 + j / m)

1

Si

m=p

y

r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se

aplica la siguiente:

A B

( 1 + j/m)

= np

4.6

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- m/p (1+j/m)

my ( 1 + j / m)

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO – RENTAS PERPETUAS

Simbología

Valor Actual Renta para períodos menores a un año Renta para períodos mayores a un año Tiempo No. de pagos en un año Períodos de pago mayores de 1 año Tasa nominal de interés No. de capitalizaciones en el año Período de diferimiento

= = = = = = = = =

A R W n p k j m y

4.6.1 Valor actual 3.6.1.1

Pagadera cada “k” años

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

W A = mk (1 + j/m) -

3.6.1.2

1

mk my (1+j/m)

( 1 + j / m)

Pagadera anualmente o en períodos menores de un año

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

R A = m/p (1 + j/m) -

1

m/p my (1+j/m)

( 1 + j / m)

4.6.2 Rentas 3.6.2.1

W

Pagadera cada “k” años

=

mk A [ ( 1 + j/m ) - 1 ]

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- mk (1+j/m)

my ( 1 + j / m)

3.6.2.2

R

Pagadera anualmente o en períodos menores de un año

=

A [ ( 1 + j/m )

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p -1]

- m/p (1+j/m)

my ( 1 + j / m)

4.6.3 Tasa de interés 3.6.3.1

j

Pagaderas cada “k” años

3.6.3.2

j

4.7

1/mk m [(W/A +1)] -1

=

Pagadera anualmente o en períodos menores de un año

=

p/m m [(R/A +1) -1 ]

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTO CAPITALIZADO

Simbología Costo capitalizado Costo de reemplazo Costo inicial del activo No. de años de vida útil Tasa de interés Número de capitalizaciones

= = = = = =

C W F k j m

4.7.1 Costo inicial y de reemplazo diferentes

W C

=

F

W

+ mk (1 + j/m) -

F

=

C

mk (1 + j/m) -

1

1

4.7.2 Costo inicial y de reemplazo iguales

F C

=

F 1

4.8

-

=

C

- mk [ 1 - ( 1 + j/m) ]

-mk (1 + j/m)

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTOS EQUIVALENTES

Simbología Costo equivalente del bien que desea obtener Costo inicial y de reemplazo del bien base Vida útil estimada del bien base Vida útil del bien que se quiere adquirir o comparar su costo Tasa de interés Número de capitalizaciones al año

F’

=

1

-

-mt (1 + j/m)

1

-

-mk (1 + j/m)

F

= = = = = =

F’ F k t j m

4.9

LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE UN ACTIVO

Simbología Valor de la mejora o cantidad máxima a invertir Costo inicial del activo Vida útil del activo Años que se puede prolongar la vida útil de un activo Tasa de interés Número de capitalizaciones

1 x

=

-

= = = = = =

-mb (1 + j/m)

F -mk (1 + j/m)

-

1

4.10 RENTAS VITALICIAS Simbología Valor actual de una renta vitalicia Edad de la persona que adquiere la renta vitalicia Período de diferimiento Plazo temporal de una renta vitalicia Renta o cantidad a recibir en forma anual

Nx + 1 Ax

=

R Dx

= = = = =

Ax x m n R

x F k b j m

m Ax R

=

Nx

+ m

+

1

Dx

4.11

DOTE PURA

Simbología Valor actual de una dote pura Cantidad de la dote Edad actual de la persona Tiempo o plazo para recibir la dote

Dx + n nEx

=

K Dx

nEx K

=

Dx + n Dx

= = = =

nEx k x n

4.12 SEGURO DE VIDA Simbología Edad de la persona asegurada Plazo del seguro Gastos fijos – Quetzales Gastos variables – Porcentaje Cantidad asegurada

PT

Px

+

K

1

-

h

=

= = = = =

x n k h K

CAPÍTULO V

EJEMPLOS DE ANUALIDADES En el presente capítulo se dan a conocer ejemplos de algunas anualidades que se utilizan frecuentemente. OBJETIVOS •

Aplicar las fórmulas establecidas en el capítulo anterior.

•

Desarrollar de manera correcta los diferentes tipos de anualidades.

EJEMPLO No. 1 - ANUALIDADES EN GENERAL

5.1

Hace 3 años el señor Culebro Delgado recibió un préstamo, con el compromiso de cancelarlo en 5 años, mediante pagos mensuales de Q.300.00 cada uno, dicho préstamo se concedió con una tasa de interés del 10% anual, capitalizable semestralmente; el día de hoy le han notificado al Sr. Delgado que la nueva tasa de interés vigente, por el saldo del préstamo, será el 12 % anual, capitalizable trimestralmente. ¿Cuál debe ser la nueva renta considerando que el plazo del préstamo no se modifica y cuál es el valor del préstamo original?

1

2

3

4

5

HO Y

DATOS R

=

Q. 300.00 (vencidas)

n

=

5

p

=

12

j

=

0.10

m

=

2 -

-

mn

10 1

A =

-

(1 + j/m) A =

m/p (1 + j/m) -

A

1

R

=

1

-

(1 + 0.05)

300 2/12 (1 + 0.05) -

Q. 14, 185.94 PRÉSTAMO ORIGINAL

1

DATOS R

=

Q. 300.00 (vencidas)

n

=

2

p

=

12

j

=

0.10

m

=

2 -

mn

1 1

A =

-

(1 + j/m)

=

Q. 6, 514.42

-4 (1 + 0.05)

300

R m/p (1 + j/m) -

A

A =

-

2/12 (1 + 0.05) -

1

1

VALOR INSOLUTO PARA CALCULAR LA NUEVA RENTA

DATOS A

=

Q. 6,514.42

n

=

2

p

=

12

j

=

0.12

m

=

4

A { (1 + j/m) R

=

=

4/12 6514.42 { (1 + 0.03) - 1 } R =

1

R

m/p - 1}

-

-mn ( 1 + j/m)

Q. 306.29

1

-

-8 ( 1 + 0.03)

LAS NUEVAS RENTAS

5.2

EJEMPLO No. 2 - ANUALIDADES EN GENERAL

Una lotificadora ofrece lotes con un enganche fraccionado de Q. 7,000.00, pagando Q. 2,000.00 el día de hoy y la diferencia dentro de 2 años, luego se efectuarán 180 mensualidades de Q. 840.00 cada una pagaderas al final de cada mes, se considera en la operación el 16% anual de interés capitalizable semestralmente. ¿Cuál será el precio de contado de cada lote?

HO Y

2,000

5,000

180 / 12 = 15 años

17 años

DATOS n

=

15 años

R

=

Q. 840.00 (vencidas)

j

=

0.16

m

=

2

p

=

12

y

=

2 años de diferimiento

1 A =

-

- mn (1 + j/m)

R m/p (1 + j/m) -

1

FACTOR DE DIFERIMIENTO

- my ( 1 + j / m)

1 A =

-

- 30 (1 + 0.08)

FACTOR DE DIFERIMIENTO

840 2/12 (1 + 0.08) -

-4 ( 1 + 0.08)

1

A

=

(840) (69.76456641) (0.735029852)

A

=

Q.

43, 074.40

DATOS DEL RESTO DEL ENGANCHE (Q. 5,000.00) S

=

Q. 5,000.00

j

=

0.16

m

=

2

n

=

2

- mn P

P

=

S

=

ENGANCHE

(1 + j/m )

Q.

4 P

=

5000

(1 + 0.08 )

3,675.15 Q.

2,000.00 +

A

43,074.40

P

3,675.15 Q.

48,749.55

PRECIO DE CONTADO DE CADA LOTE

5.3

EJEMPLO No. 3 - ANUALIDADES EN GENERAL

Un préstamo recibido hace 7 años fue cancelado mediante pagos de Q. 600.00 al final de cada mes, y se sabe que el mismo devengó intereses del 8% anual capitalizable semestralmente durante los primeros 3 años y por el resto del tiempo el banco cobró una tasa de interés del 10% anual capitalizable semestralmente. ¿Cuál fue el valor original de dicho préstamo?

7 años

HO Y

1

2

3

1

2

3

DATOS No. 1

DATOS No. 2

j

=

0.08

j

=

0.10

R

=

Q. 600.00

R

=

600.00

m

=

2

m

=

2

p

=

12

p

=

12

n

=

2

n

=

4

y

=

3

1 A =

-

- mn (1 + j/m)

R m/p (1 + j/m) -

1

-6 1 A1 =

-

(1.04)

600 (1.04)

2/12 -

1

4

FACTOR DE DIFERIMIENTO

- my ( 1 + j / m)

A1

-8 1 A2 =

-

Q.

=

Q.

19,183.82

FACTOR DE DIFERIMIENTO

(1.05)

600 2/12 (1.05) -

A2

=

-6 ( 1.08)

1

18,768.16

A1

Q. 19,183.82 +

A2

Q. 18,768.16 Q. 37,951.98 VALOR ORIGINAL DEL PRÉSTAMO

5.4

EJEMPLO No. 4

-

ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN

ARITMÉTICA DECRECIENTE ANTICIPADA

Un estudiante inició el día de hoy una serie de depósitos semestrales para comprar un vehículo al final de cinco años, y para tal efecto depositó la cantidad de Q. 6,000.00 y los siguientes depósitos disminuyen en Q. 500.00 cada uno de su inmediato anterior; la institución bancaria le reconoce una tasa de interés del 10% anual, capitalizable semestralmente. ¿Cuánto podrá acumular al final de dicho plazo? HO Y

6000

5000

DATOS B

=

Q. 6,000.00

d

=

Q. 500

p

=

2

j

=

0.10

m

=

2

n

=

5

mn (1 + j/m) - 1 S p ┐n j(m)

10 (1.05) -

=

S p ┐n j(m) m/p (1 + j/m) - 1

S p ┐n j(m) =

1

= 2/2 (1.05) - 1

12.57789254

FACTOR DE ANTICIPACIÓN S p ┐n j(m)

- np

m/p (1+j/m)

S = B S p ┐n j(m) - d m/p (1 + j/m) -

1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN 12.57789254

- 10

S = 6000(12.57789254) -500

( 1.05 ) (1.05)

S

=

Q.

52,172.85

5.5

EJEMPLO No. 5

-

-

1

MONTO ACUMULADO AL FINAL DEL PLAZO

ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN

ARITMÉTICA CRECIENTE VENCIDA

La empresa “Ganadores, S. A.”, terminó el día de hoy de cancelar un préstamo obtenido hace 5 años, por Q. 50,000.00, el cual fue cancelado mediante pagos al final de cada seis meses, variables en progresión aritmética, se sabe que el primer pago fue por Q. 6,000.00 y que la financiera le aplicó una tasa de interés del 20 % anual, capitalizable semestralmente. Se desea saber ¿en qué cantidad variaron los pagos periódicos? A = 50,000

HO Y

6000

DATOS n

=

5

A

=

Q. 50,000.00

p

=

2

B

=

Q. 6,000.00

j

=

0.20

m

=

2

1 A p ┐n j(m)

- mn (1 + j/m)

-

10

=

1 m/p (1 + j/m) -

A p ┐n j(m)

-

1 (1.10)

A p ┐n j(m) =

6.144567106

A d

=

-

B (FVA)

-mn FVA - np (1+j/m) m/p (1 + j/m) - 1

(1.10)

= -

1

50,000 - 6,000 (6.144567106) d

=

6.144567106

-10 - 10 (1.10)

(1.10) - 1

d

=

Q.

573.69

CANTIDAD EN LA QUE AUMENTARON LOS PAGOS PERIÒDICOS

5.6

EJEMPLO No. 6

-

ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN

GEOMÉTRICA CRECIENTE VENCIDA Un activo fijo será cancelado en 4 años mediante pagos semestrales vencidos que aumentan cada uno de su inmediato anterior un 15%, el primero de estos será por

Q. 15,000.00, se aplica una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es el valor original del activo fijo?

B = 15,000

DATOS n

=

4

p

=

2

r

=

1.15

B

=

Q. 15,000.00

j

=

0.18

m

=

4 np (r)

1 A

=

-mn (1 + j/m)

-

B m/p r

-

(1 + j/m)

8 -16 (1.15) (1.045) A

-

1

= 15000 2 1.15

Q.

-

(1.045)

A

=

132,624.31 VALOR ORIGINAL DEL ACTIVO

5.7

EJEMPLO No. 7 - RENTA PERPETUA VENCIDA

Una empresa depositó cierta cantidad de dinero para que al final de cada año se le entregue a una asociación Q. 10,000.00. Considerando que la financiera aplica una tasa de interés del 18% anual, capitalizable trimestralmente. ¿Qué cantidad

de dinero depositó la empresa para que la asociación reciba los

Q.

10,000.00 a perpetuidad? DATOS R

=

Q. 10,000.00

p

=

1

j

=

0.18

m

=

4

R A = m/p (1 + j/m) -

1

10,000 A = 4 (1.045)

A

=

Q.

-

51,943.03

1

ES LA CANTIDAD DE DINERO QUE DEPOSITÓ LA EMPRESA.

5.8

EJEMPLO No. 8 - COSTO CAPITALIZADO

Una empresa tiene las siguientes ofertas de maquinaria: •

Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 25,000.00 y debe reemplazarse cada 8 años por otra cuyo costo es de Q. 30,000.00.

•

Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 28,000.00 y debe reemplazarse cada 10 años por otra a un costo de Q. 30,000.00.

Considerando una tasa de interés del 10% anual, capitalizable trimestralmente. ¿Cuál de las dos alternativas es la más conveniente desde el punto de vista financiero? DATOS No. 1

DATOS No. 2

F

=

Q. 25,000.00

F

=

Q. 28,000.00

k

=

8

k

=

10

W

=

Q. 30,000.00

W

=

Q. 30,000.00

j

=

0.10

j

=

0.10

m

=

4

m

=

4

=

Q.

W C

=

F

+ mk (1 + j/m) -

C1

30,000 C1 =

25,000 + 32 (1.25)

-

1

30,000 C2 =

28,000 + 40 (1.25)

-

1

1

49, 921.97

C2

=

Q.

45,803.48

LA SEGUNDA ALTERNATIVA ES LA MÁS CONVENIENTE PUESTO QUE EL COSTO CAPITALIZADO ES MENOR QUE EL PRIMERO.

5.9

EJEMPLO No. 9 - COSTOS EQUIVALENTES

Una constructora tiene equipo con un costo de Q. 100,000.00, debe ser reemplazado cada 10 años al mismo costo. Un fabricante ofrece otro equipo con un costo inicial y de reemplazo de Q. 125,000.00, debe ser reemplazado cada 12 años. El gerente de la constructora desea saber ¿cuál de los 2 equipos resulta más económico y cuánto puede pagar por el segundo para que su costo resulte

equivalente al del primero?

Considere el 18% anual de interés capitalizable

trimestralmente. DATOS No. 1

DATOS No. 2

F

=

Q. 100,000.00

F

=

Q. 125,000.00

k

=

10

k

=

12

j

=

0.18

j

=

0.18

m

=

4

m

=

4

C1

=

Q.

120,762.55

C2

=

Q.

142,190.51

F C

= 1

100,000 C1 =

-

-mk (1 + j/m)

-40 1

-

(1.045)

125,000 C2 = -48 1

-

(1.045)

DATOS F

=

Q. 100,000.00

k

=

10

t

=

12

j

=

0.18

m

=

4

-

-mt (1 + j/m)

1

-

-mk (1 + j/m)

1

-

(1.045)

1 F’

=

F

-48 F’

= 100,000 -40 1

F’

=

Q.

-

(1.045)

106,162.63 PARA QUE EL COSTO DEL SEGUNDO SEA EQUIVALENTE AL DEL PRIMERO.

5.10 EJEMPLO No. 10 - LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE UN ACTIVO Una empresa posee cierto equipo que tiene un costo de Q. 50,000.00, y debe reemplazarse cada 10 años, el proveedor de dicho equipo ofrece cambiarle ciertos componentes para alargarle la vida útil en 4 años más.

¿Hasta qué cantidad se

podrá pagar por el cambio de componentes considerando una tasa de interés del 12% anual, capitalizable trimestralmente?

DATOS F

=

Q. 50,000.00

k

=

10

b

=

4

j

=

0.12

m

=

4

1 x

=

-

-mb (1 + j/m)

F -mk (1 + j/m)

-

1

-16 1 x

-

(1.03)

= 50,000 - 40 ( 1.03 )

x

=

Q.

-

8,329.50

1

ES LO MÁS QUE SE PUEDE PAGAR POR EL CAMBIO DE COMPONENTES

CONCLUSIONES

1. Las anualidades son fondos para crear, mediante la acumulación de los pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas niveladas.

2. Las anualidades son utilizadas en el mercado financiero guatemalteco. Al realizar un análisis

al mercado local, se puede visualizar una serie de

productos que estas entidades ofertan a potenciales compradores. Existen muchas

opciones

para

aplicar

anualidades,

dígase,

por

ejemplo

recomendar a una empresa, la mejora de un activo, y esta será beneficiosa, financieramente hablando.

RECOMENDACIONES

1. La aplicación de herramientas financieras son la base para tomar decisiones acertadas, para esto se necesita de un plan de acción en las instituciones, ayudando a las empresas a tener un plan estructurado de sus activos, pasivos, ingresos y gastos financieros. 2. El mercado financiero guatemalteco es muy competitivo, en dicho mercado se pueden encontrar muchas ofertas de productos y servicios financieros. Al existir mucha oferta, el mercado carece de reglamentaciones, que hagan que estos productos y servicios sean confiables. Para fiarse de estos instrumentos financieros se necesita de herramientas matemáticas que dan el aval en la toma de decisiones.

BIBLIOGRAFíA

•

http://laberintos.itam.mx/PDF/num11/243

•

www.project2061.org/esp/publications/bsl/online/ch2/ch2.htm

•

http://home.galileo.edu/~tutor03540/Matem%E1ticas%20financieras%20PU BLICACION.doc

•

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/Lecciones/ Cap%201/Conceptos%20basicos.htm

•

http://www.monografias.com/trabajos12/mafin/mafin.shtml