Antwoorden Hoofdstuk 09

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

9

Beweging in de sport

9.1

Inleiding

11

2 Nettokracht en beweging A • Fr = 0 want Fvw = Fa; • de baan is rechtlijnig; • de snelheid blijft constant. B • Fr > 0 want Fvw > Fa; • de baan is ‘rechtlijnig’ omdat de snelheid in dezelfde richting is als de Fr; • de snelheid neemt toe. C • Fr < 0 want Fvw < Fa; • de baan is ‘rechtlijnig’ omdat de snelheid in precies de tegenovergestelde richting is als de Fr; • de snelheid neemt af. D • Fr = Fz; • de baan is ‘rechtlijnig’ naar beneden; • de snelheid neemt toe. E • Fr = Fz; • we hebben hier te maken met een verticaal omhoog geschoten voorwerp omdat v omhoog is. de baan is eerst ‘rechtlijnig’ omhoog en dan recht naar beneden; • de snelheid neemt eerst af tot ‘0' en neemt daarna weer toe, maar dan naar beneden gericht. F • Fr = Fz; • we hebben hier te maken een voorwerp dat met een snelheid v horizontaal is weggeschoten. Fr is verticaal naar beneden gericht. De baan is dan een boog waarbij de helling naar beneden steeds groter wordt; • de snelheid neemt toe, in het begin is de richting horizontaal, maar geleidelijk aan wordt deze meer naar beneden afgebogen. 3 Bewegingen bekijken a De snelheid van het racket is het grootst vlak voor het raken van de bal. Je ziet dat de racket daar de grootste afstand aflegt tussen twee lichtflitsen. b

De snelheid van de bal is het grootst net na het wegslaan (loskomen van het racket). De tennisser is in werkelijkheid 180 cm lang en op de foto is hij ongeveer 4,0 cm lang. De schaal van de foto is dan 1: 45. De afstand tussen de 2 beelden van de bal is 2,0 cm. Dat is in werkelijkheid 2,0 ⋅ 45 = 90 cm. ∆s ⇒ v = 0,90 = 30 m/s De tijdsduur tussen twee flitsen 0,030 s. De snelheid v = Afgerond: v = 30 ∆t 0,030 m/s.

c Er wordt een kracht uitgeoefend als de bal versnelt (of vertraagt). Op de foto zou je dit moeten kunnen zien aan de afstand tussen 2 opeenvolgende ballen: die zou moeten veranderen. Op de foto is te zien dat de bal eerst door de hand opgeworpen wordt en even later naar rechts bewogen is. d Bespreek je antwoord in de klas. 4 Arbeid en energieomzetting a Er is sprake van arbeid door een kracht als de kracht voor een verplaatsing zorgt in de richting van de kracht (zie hoofdstuk 5). b De arbeid wordt berekend met de formule: W = F⋅ s. c Bewegingsenergie (of kinetische energie). d Zwaarte-energie. e Ja, bij het vallen wordt zwaarte-energie omgezet in bewegingsenergie.

Newton vwo deel 1b

9.2

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

12

Bewegingen

Verwerken 20 000 m = 5,6 m/s 9 a v = 20 km/h = 3600 s

6 5,6

v(t) 5 (m/s)

25

4

s(t) 20 (m)

3

15

2

10

1

5

20 of: v = 20 km/h ⇒ 3,6 = 5,6 m/s De snelheid blijft hetzelfde in de loop van de tijd, dus je krijgt een horizontale rechte lijn. b De verplaatsing neemt gelijkmatig toe: s = v · t = 5,6 · t. Zie nevenstaande diagrammen.

0

0

2

4

6

0 0

8

2

4

6

8

10

t (s)

t (s)

∆s = 500 10 v gem = = 12,5 m/s ∆t 40,13 12,5 m/s =

12,5 ⋅ 10 −3 km = 44,9 km/h (korter: 12,5 · 3,6 = 44,9 km/h) 1/3600 uur

∆s 11 a v gem = ∆t ∆s = 36·103 m Eerste deel: s = v ⋅ t ⇒ t =

s 18 ⋅ 103 = = 3,0 ⋅ 103 s 6,0 v

s 18 ⋅ 103 = = 4,5 ⋅ 103 s 4,0 v ∆t = 3,0⋅103 + 4,5⋅103 = 7,5⋅103 s Tweede deel: t =

36 ⋅ 103 v gem = ∆s = = 4,8 m/s ∆t 7,5 ⋅ 103

Afgerond: vgem = 4,8 m/s

b De gemiddelde snelheid is lager dan 5,0 m/s. Je mag dus niet het gemiddelde nemen van de twee snelheden.

∆s 12 a v gem = ∆t Eerste deel: s = v · t = 6,0 · 600 = 3,6·103 m Tweede deel: s = v · t = 4,0 · 600 = 2,4·103 m ∆s = 6,0·103 m ∆t = 1,2⋅103 s 6,0 ⋅ 103 v gem = ∆s = = 5,0 m/s ∆t 1,2 ⋅ 103

Afgerond: vgem = 5,0 m/s

b De gemiddelde snelheid is gelijk aan 5,0 m/s. Je mag dus het gemiddelde nemen van de twee snelheden. 13 a Het is een eenparige beweging (constante snelheid). Tot de knik voorwaarts, na de knik met een lagere snelheid achterwaarts. b Van t = 0 s tot t = 4 s: Van t = 4 s tot t = 7 s:

100 v gem = ∆s = = 25 m/s ∆t 4,0 s − sb 75 − 100 −25 v gem = ∆s = e = = = –8,3 m/s ∆t te − tb 7,0 − 4,0 3

c De plaats s(t) is de afstand tot het beginpunt: s(7) = 75 m Tot t = 4 s legt het voorwerp een afstand af van 100 m (voorwaarts). Vervolgens beweegt het voorwerp 25 m achterwaarts. De afgelegde weg is dus 100 + 25 = 125 m

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

13

∆v 14 a a = De snelheidsverandering is hetzelfde en de tijdsduur ook. ∆t De versnelling is dus gelijk. b Nee, je moet ook weten in welke tijdsduur de snelheidsverandering plaatsvindt.

8

v(t) 6 (m/s) 4

15 a v(t) = a ⋅ t ⇒ v(4,5) = 1,6 ⋅ 4,5 = 7,2 m/s Zie nevenstaand diagram. b s( t ) =

1 2

⋅ a ⋅ t 2 ⇒ s ( 4,5 ) =

1 2

2

⋅ 1,6 ⋅ 4,52 = 16,2 m

Om een diagram te tekenen van een kromme lijn kun je het beste meerdere punten berekenen. Zie het diagram rechtsonder. 16 a De grafiek stijgt steeds sneller. b De grafiek lijkt op een parabool. Dat duidt op een kwadratisch verband. Dat is het geval bij een eenparig versnelde beweging (zie de formule bij opgave c). c Als je uitgaat van een eenparig versnelde beweging, geldt: 2 ⋅ s(t ) 2 ⋅ 25 = s ( t ) = 21 ⋅ a ⋅ t 2 ⇒ a = = 0,080 m/s2 t2 252 17 Bij de beweging van de bovenste grafiek hoort de grootste versnelling. De grafiek stijgt sneller, terwijl de asindeling hetzelfde is. 18 144 km/h = 40 m/s; 20 km/h = 5,56 m/s (nogal veel gezien de situatie) v − vb 40 − 5,56 a = ∆v = e = = 1,38·103 m/s2 ∆t t e − tb 25 ⋅ 10 −3 − 0

0 20

0

1

2

3

4

t (s)

s(t) 16 (m)

12 8 4 0 0

1

2

3

4

t (s)

Afgerond: a = 1,4·103 m/s2

19 a De beweging in het eerste diagram is niet versneld maar eenparig (de snelheid is constant). Het tweede diagram en het derde diagram horen bij een eenparig versnelde beweging, omdat het (v,t)diagram een schuine rechte lijn te zien geeft. Dat betekent dat de snelheid per seconde steeds met dezelfde hoeveelheid toeneemt.

∆v v e − v b = 6,5 − 0 2 b Tweede diagram: a = ∆t = 20 − 0 = 0,33 m/s te − tb Derde diagram:

15,0 − 5,0 a = ∆v = = 0,50 m/s2 ∆t 20 − 0

20 a In het begin neemt de snelheid snél toe, later neemt de snelheid nauwelijks meer toe (de helling van de raaklijn wordt steeds kleiner). Het is dus geen eenparig versnelde beweging, want de snelheidstoename is niet gelijkmatig (het is geen schuine rechte lijn). b De helling wordt steeds kleiner, dus de versnelling neemt af. c De versnelling kun je bepalen met behulp van een raaklijn. De versnelling is gelijk aan de richtingscoëfficiënt (= de helling) van de raaklijn. Hoe steiler de helling, hoe groter de versnelling. In nevenstaand diagram is met pijltjes aangegeven welke twee punten van de raaklijn zijn afgelezen. Het tekenen van een raaklijn gaat niet zo heel precies, dus de waarde van de versnelling die je zelf bepaald hebt, kan enigszins afwijken van onderstaand antwoord. v − vb a( t ) = ∆v = e ∆t t e − tb a(10 ) =

10,0 − 2,5 7,5 = = 0,375 m/s2 20 − 0 20

5

Afgerond: a = 0,4 m/s2

5

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

14

d De verplaatsing is gelijk aan het oppervlak onder het (v,t)-diagram. Om de verplaatsing op het tijdstip t = 25 s te bepalen, kies je een aantal handige oppervlakken die samen ongeveer gelijk zijn aan het oppervlak onder de kromme grafiek. In het nevenstaande diagram is bijvoorbeeld gekozen voor de oppervlakken A, B en C. s(25) = sA + sB + sC 0 + 6,5 ⋅ 10 + 7,5 ⋅ 10 + 8,5 ⋅ 5 = 32,5 + 75 + 42,5 = 150 m s(25) = 2 Afgerond: s(25) = 1,5·102 m 12

21 a Zie nevenstaande grafiek. b De versnelling is gelijk aan de helling van de grafiek. v − v b 12 − 0 a( t ) = ∆v = e = = 1,2 m/s2 ∆t te − tb 10 − 0 c s( t ) =

1 2

⋅a⋅t2 =

1 2

v(t) 9 (m/s) 6 3

⋅ 1,2 ⋅ t 2 Als je in deze formule de tijd invult, krijg je er

dezelfde getallen uit voor de plaats van de skiër als in de tabel. 22 a v = 64,8 km/h = 18 m/s v 18 v(t) = a · t ⇒ t = = = 6,0 s a 3,0

0 0

2

4

6

8

t (s)

20

b Zie nevenstaande grafiek. Vanaf het moment dat auto B in beweging komt, doet deze er 5,0 s over om een snelheid van 18 m/s te bereiken. c De auto’s hebben dezelfde snelheid op het tijdstip t = 7,0 s. 0 + 18 ⋅ 6 + 18 ⋅ 1 = 72 m sA(7) = 2 0 + 18 ⋅ 5 = 45 m sB(7) = 2 De afstand tussen beide auto’s is dus: 72 – 45 = 27 m

v(t) 15 (m/s) 10 5 0 0

2

4

6

8

10

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

t (s)

23 Eerste diagram:

s(20) = v · t = 5,0 · 20 = 100 m v + ve 0 + 6,8 ⋅ 20 = 68 m ⋅t = Tweede diagram: s(20) = vgem · t = b 2 2 5,0 + 15,0 ⋅ 20 = 200 m Derde diagram: s(20) = vgem · t = 2 Vierde diagram: s(20) = sA + sB 0 + 6,5 ⋅ 10 + 7,5 ⋅ 10 = 32,5 + 75 = 107,5 m s(20) = 2 Afgerond: s = 108 m

24 a v(t) = a · t ⇒ t = s(t) = vgem · t =

v 6,4 = = 4,0 s a 1,6

vb + ve 6,4 + 0 ⋅ 4,0 = 12,8 m ⋅t = 2 2

2

Afgerond: s = 13 m

a(t) 1 (m/s2) 0

b Zie nevenstaande grafieken. c De remweg is het oppervlak onder het v,t-diagram: ½ · basis · hoogte = ½ · 4,0 · 6,4 = 12,8 m Afgerond: s = 13 m

-1 -2 0

t (s)

8

v(t) 6 (m/s) 4 2 0 0

t (s)

10

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

15

Controleren 31 Oppervlaktemethode 0 + 7,6 ⋅ 8,0 = 38,4 m 2 Tweede grafiek: 110 + 150 + 200 + 280 = 740 hokjes; 1 hokje = 1,0 · 0,20 = 0,20 m; 740 · 0,20 = 148 m Derde grafiek: s(t) = vgem · t = 5,8 · 8,0 = 46,4 m Eerste grafiek: 2,0 · 8,0 + ½ · 8,0 · 5,6 = 38,4 m andere manier: s(t) = vgem · t =

32 Snelheidsmeting ℓ = 15,0 + 10 · 26,4 = 279 m  279 v = = = 29,4 m/s (= 106 km/h) t 9,5 33 Inhalen a De auto heeft een constante snelheid: vA = 72 km/h = 20 m/s. Plaatsformule: sA(t) = vA ⋅ t = 20 ⋅ t. Zie het diagram hiernaast. b Ook de fietsers hebben een constante snelheid: vF = 18 km/h = 5,0 m/s Bovendien rijden de fietsers 200 ‘verderop’. Plaatsformule: sF(t) = 200 + 5,0 ⋅ t. Verder zie diagram hiernaast. c • Daar waar de twee lijnen elkaar snijden zijn de posities gelijk: t1 = 13,3 s ⇒ t1 = 13 s • De auto moet een inhaalmanoeuvre beginnen als de afstand tussen fietsers en auto 30 m is. In het diagram vind je dat deze afstand gehaald wordt op t2 = 11,2 s ⇒ t2 = 11 s • Uit het diagram blijkt dat de auto 40 m verder is dan de fietsers op t3 = 16 s.

Afgerond: v = 29 m/s 400

s(t) 350 (m) 300

fietsers

250 200 150 100

auto A

50 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

t (s)

d De inhaaltijd is gelijk aan de tijdsduur waarop de auto 40 m voorbij de fietsers is dus 16 s. De verplaatsing van auto A: sA(t) = 20 ⋅ t ⇒ sA(16) = 20 ⋅ 16 = 320 m Afgerond: sA(16) = 0,32 km e Voor de verplaatsing van auto B geldt: sB(t) = –15 ⋅ t ⇒ sB(16) = –15 ⋅16 = –240 m Auto B is dus in 16 s 240 m dichterbij gekomen. Afgerond: sB(16) = 0,24 km Voor een veilige manier van inhalen zou de beginafstand 320 + 240 = 560 m moeten zijn. De afstand is in het begin echter slechts 500 m. Conclusie: Op deze manier kan deze inhaalmanoeuvre niet veilig gebeuren. 34 Relatieve snelheid a Auto A heeft ten opzichte van de fietsers een relatieve snelheid van vrel = 72 – 18 = 54 km/h = 15 m/s. Het is dus alsof de fietsers stilstaan en de auto met een snelheid van 15 m/s wil passeren. De auto moet een afstand van 200 + 40 = 240 m afleggen (naar de fietsers toe en er voorbij). Bij een snelheid van 240 m 15 m/s doet hij hier 16 s over: t3 = = 16 s 15 m/s b De auto’s hebben ten opzichte van elkaar een relatieve snelheid van vrel = 72 + 54 = 126 km/h = 35 m/s. Ze naderen elkaar dus met een snelheid van 35 m/s. In 16 s leggen ze ten opzichte van elkaar een afstand van s = v · t = 35 · 16 = 560 m af. Die afstand moeten ze in het begin dus hebben ten opzichte van elkaar om de inhaalmanoeuvre veilig te kunnen uitvoeren. Dat kan dus niet, want de afstand is 500 m. Andere manier: Je kunt ook berekenen hoeveel tijd de auto’s er over doen om de 500 m af te leggen: 500 t= = 14,3 s. Voor de inhaalmanoeuvre is 16 s nodig, dus er is te weinig tijd. 35 35 Sprinten Gedurende de eerste 3,0 s legt de sprinter een afstand af van s = vgem · t = De overige 82 m legt hij af met een snelheid van 12 m/s: t =

12 ⋅ 3,0 = 18 m. 2

s 82 = = 6,83 s. v 12

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

De eindtijd is dus 3,0 + 6,83 = 9,83 s

16

Afgerond: te = 9,8 s

36 Schaatsen Gevraagd: tA, tB, winnaar? Schaatser A:

Eerste 20 m: eenparig versneld. Tweede gedeelte (= 500 – 20 = 480 m): constante snelheid.

tA = tA,v + tA,c

(v = versneld ; c = constante snelheid) Nieuwe onbekende: tA,c ∆ s ∆ s Tweede gedeelte: v = ⇒ t A,c = Nieuwe onbekende: v. ∆t v Eerste gedeelte: v(t) = a ⋅ t ⇒ v(3,2) = a ⋅ 3,2 en s 2 ⋅ 20 2⋅s 2 s(t) = 21 ⋅ a ⋅ t ⇒ a = 1 2 ⇒ a = 2 = = 3,91 m/s2 ⇒ v(3,2) = 3,91 ⋅ 3,2 = 12,5 m/s ⋅ t 3,2 2 t 2

t A,c = ∆s = 480 = 38,4 s v 12,5 tA = tA,,v + tA,c = 3,2 + 38,4 = 41,6 s Schaatser B:

Afgerond: tA = 41,6 s

Eerste gedeelte: eenparig versneld met a = 4,5 m/s2 tot v = 12,6 m/s. Tweede gedeelte: constante snelheid.

tB = tB,v + tB,c Eerste gedeelte: v ( t ) = a ⋅ t

⇒ t B,v =

v e 12,6 = = 2,8 s a 4,5

∆s ∆s ∆s Tweede gedeelte: v = ∆t = t ⇒ t B,c = Nieuwe onbekende: ∆s. v B,c ∆s = 500 - s1 en s1 ( t ) =

1 2

⋅ a ⋅ t 2 ⇒ s1 ( 2,8 ) =

1 2

⋅ 4,5 ⋅ 2,8 2 = 17,64 m ⇒ ∆s = 500 - 17,64 = 482,4 m

482,4 t B,c = ∆s = = 38,28 s v 12,6 tB = tB,v + tB,c = 2,8 + 38,28 = 41,08 s

Afgerond: tB = 41,1 s

Conclusie: Schaatser B legt de afstand in kortere tijd af en wint dus de wedstrijd. 37 Tramnoodstop a Voor het gegeven diagram geldt: een oppervlak van 1 cm2 komt overeen met een verplaatsing van 20 ∆s = v ⋅ t = ⋅ 1 = 5,56 m Kortom: 1 cm2 ≅ 5,56 m. 3,6 Schatting van oppervlakte: 7,25 cm2 dus ∆s = 7,25 ⋅ 5,56 = 40,3 m Afgerond: remweg = 40 m N.B. Een tweede manier is dat je in het diagram een rechte schuine lijn door de kromme probeert te trekken waarbij de oppervlakte onder de lijn even groot is als de oppervlakte onder de ‘echte’ lijn. Deze lijn loopt door ongeveer door de punten (0 ; 54 km/h = 15 m/s) en (5,3 s ; 0). Dan is ∆s = 21 ⋅ hoogte ⋅ breedte = 21 ⋅ 15 ⋅ 5,3 = 39,8 m 20 Afgerond: remweg = 40 m b Voor de snelheid geldt nu het verband: v(t) = vb + a · t = 15 – 5,0 ⋅ t Na 3,0 s staat de tram dus stil. Zie de figuur hiernaast. c De remweg bij normaal remmen vind je door de oppervlakte onder de grafieklijn weer uit te rekenen: ∆s = 21 ⋅ hoogte ⋅ breedte = 21 ⋅ 15 ⋅ 3,0 = 22,5 m De extra remweg is dus 40 – 22,5 = 17,5 m ⇒ srem,extra = 18 m

v(t) 15 (m/s) 10 5 0 0

1

2

3

4

5

t (s)

38 Skiën a v(4) = a · t = 3,0 · 4,0 = 12 m/s v(7) = 12 – 4,0 · 3,0 = 0 m/s Conclusie: de skiër staat op het tijdstip t = 7,0 s inderdaad stil. b Zie nevenstaand diagram.

15

v(t) 12 (m/s) 9 6 3 0 0

2

4

6

8

t (s)

10

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

17

39 Duiken a Het meisje raakt het wateroppervlak op het tijdstip t = 1,4 s. 0 + 14 ⋅ 1,4 = 9,8 m s(t) = vgem · t = Afgerond: s = 9,8 m 2 b Het meisje is op het diepste punt als haar snelheid nul is (t = 2,3 s). Je kunt een schuine lijn trekken van het punt (1,4;14) tot het punt (2,1;0). Het oppervlak onder deze lijn is ongeveer even groot als onder de grafiek (van 1,3 s tot 2,3 s). Vervolgens bepaal je de afgelegde afstand: 14 + 0 ⋅ (2,1 − 1,4) = 4,9 m (t) = vgem · t = Afgerond: s = 4,9 m 2 40 Wereldrecord 2 ⋅ 200 vb + ve 0 + ve ⋅ t ⇒ 200 = ⋅ 19,65 ⇒ v e = = 20,36 m/s 19,65 2 2 (De eindsnelheid is 2 keer zo groot als de gemiddelde snelheid als de beginsnelheid nul is.) s 4800 Rest van de rit: v = = = 13,24 m/s t 362,55 De eindsnelheid is veel lager dan met een eenparig versnelde beweging over de eerste 200 m het geval zou zijn. Blijkbaar heeft Gianni in het begin sterk versneld en is de versnelling daarna afgenomen. Als je na korte tijd al op snelheid bent, is de gemiddelde snelheid groter dan de helft van de eindsnelheid. s(t) = vgem · t =

41 Geluidsbarrière 0º C = 273,15 K (BINAS tabel 7) 40º C = 313,15 K 313,15 De temperatuur is = 1,1464 keer zo groot geworden. 273,15 De geluidssnelheid is dus

1,1464 = 1,0707 keer zo groot geworden. 1,0707 · 330 = 353,3 m/s = 1272 km/h Afgerond: vgeluid = 1,27·103 km/h Conclusie: De geluidssnelheid kan in de woestijn dus groter geweest zijn dan 1223 km/h. Andy Green heeft de geluidsbarrière dus waarschijnlijk niet doorbroken.

9.3

Kracht en beweging

Verwerken 44 De maximale statische wrijving is in het algemeen groter (in elk geval nooit kleiner) dan de glijdende wrijving. Bij een voorwerp in rust is de maximale wrijving groter dan de wrijving als het voorwerp in beweging is. Als het voorwerp in rust is haken de oneffenheden van de ondergrond en het voorwerp dieper in elkaar. Om het voorwerp in beweging te krijgen moet het als het ware ietsje opgetild worden. 45 30 km/h = 8,33 m/s Fres = m · a ∆v 8,33 a= = = 2,08 m/s2 ∆t 4,0 Fres = m · a = 80 · 2,08 = 167 N

Afgerond: Fres = 1,7·102 N

46 Fres = m · a ∆v 40 a= = = 1,6·103 m/s2 ∆t 25 ⋅ 10 −3 Fres = m · a = 130·10–3 · 1,6·103 = 208 N

Afgerond: Fres = 2,1·102 N

47 a Fnetto = m · a = m ⋅

∆v 0,50 = 700 ⋅ = 700 · 2,5 = 1750 N ∆t 0,20

b Fnetto = Fsleep – Frolwr ⇒ Fsleep = Fnetto + Frolwr = 1750 + 200 = 1950 N

Afgerond: 1,8·103 N Afgerond: 2,0·103 N

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

18 10

49 a De beweging stopt als het voorwerp de grond raakt. s( t ) =

1 2

⋅g ⋅t 2 ⇒ t =

2 ⋅ s (t ) = g

a(t) 8 (m/s 2)

2 ⋅ 100 = 4,52 s 9,81

6

b (a,t)-diagram (zie hiernaast) Het betreft een vrije val dus a = g = 9,81 m/s². Deze blijft constant.

4 2

(v,t)-diagram (zie hiernaast) De beweging is eenparig versneld: v(t) = 9,81 ⋅ t. De maximale snelheid wordt behaald na 4,52 s: v(4,52) = 44,3 m/s

0

(s,t)-diagram (zie rechtsonder) Om het diagram te tekenen, bereken je eerst een aantal punten: s ( t ) = 21 ⋅ g ⋅ t 2 s (1,0 ) =

1 2

0

1

2

3

0

1

2

3

4

5

4

5

t (s)

50

v(t) 40 (m/s) 30 20

⋅ 9,81⋅ (1,0) 2 = 4,9 m

s ( 2,0 ) = 19,6 m s ( 3,5 ) = 60,1 m s ( 4,52) = 100 m

10 0

t (s)

100

50 Voor de verplaatsing in verticale richting geldt: y (t ) = 21 ⋅ g ⋅ t 2 (BINAS tabel 35.2)

s(t) 80 (m) 60

Bij de onderste stip (bij de twaalfde flits) is de verplaatsing y(t) = 0,76 m. Volgens het bijschrift gaf de stroboscoop 30 lichtflitsen per seconde, dus 40 1 het tijdsinterval tussen twee flitsen bedraagt 30 s. Op het moment van de 20 twaalfde (en laatste) flits zijn elf intervallen voorbij, dus t = 0,366 s. 0 2 ⋅ 0,76 2 ⋅ y (t ) y (t ) = 21 ⋅ g ⋅ t 2 ⇒ g = 0 1 2 3 ⇒ g= = 11,34 m/s2 0,366 2 t2 Afgerond: g = 11 m/s2 1 Dit antwoord wijkt af van de werkelijke waarde (9,81 m/s2). Blijkbaar is de intervaltijd kleiner dan 30 s.

4

t (s)

51 a De snelheid is constant vanaf ongeveer t = 25 s. b Een versnelde beweging: de snelheid neemt toe (maar niet eenparig). 52 s ( t ) =

1 2

⋅g ⋅t2 =

1 2

⋅ 9,81 ⋅ 2,8 2 = 38,46 m

Afgerond: s = 38 m

N.B. Het geluid doet er ongeveer een tiende seconde over om van de bodem bij de opening te komen. De put is dus minder diep dan de hier berekende waarde, maar het verschil is verwaarloosbaar. 53 Voor de verplaatsing in verticale richting geldt: y (t ) =

1 2

⋅ g ⋅ t 2 (BINAS tabel 35.2).

5,0 = 0,50 s. 10 Gedurende deze valtijd is de verplaatsing y(t) = h = 1,22 m. 2 ⋅ y ( t ) 2 ⋅ 1,22 = y (t ) = 21 ⋅ g ⋅ t 2 ⇒ g = = 9,76 m/s2 t2 0,50 2 Het tijdsinterval tussen twee druppels bedraagt: t =

Afgerond: g = 9,8 m/s2

54 v(t) = v(0) + a·t = g·t s = 21 ·a·t2 ⇒ h =

1 2

·g·t2 ⇒ t2 =

1 2

h 2⋅h 2⋅h = ⇒ t= ⋅g g g

Van 6,0 m hoogte : t =

2⋅h 2 ⋅ 6,0 = = 1,11 s; v(t) = g·t = 9,81 · 1,11 = 10,8 m/s = 39 km/h g 9,81

Van 14 m hoogte : t =

2⋅h 2 ⋅ 14 = = 1,69 s; v(t) = g·t = 9,81 · 1,69 = 16,6 m/s = 60 km/h g 9,81

Van 25 m hoogte : t =

2⋅h 2 ⋅ 25 = = 2,26 s; v(t) = g·t = 9,81 · 2,26 = 22,1 m/s = 80 km/h g 9,81

5

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

19

Controleren 59 Sprinten a treactie = 0,16 s (BINAS tabel 35.2) krachtstoot: F ⋅ ∆t = m ⋅ ( ∆v ) , waarbij F = Fgem (F is niet constant) Fgem ⋅ ∆t 1000 ⋅ 0,24 = 3,2 m/s ∆v = = m 74 Andere manier: v = a ⋅ t F 1000 Fres = m ⋅ a ⇒ a = gem = = 13,5 m/s2 m 74 v = a ⋅ t = 13,5 ⋅ 0,24 = 3,2 m/s b Raaklijn: a =

∆v v 2 − v 1 16,0 − 6,0 = = = 1,39 = 1,4 m/s2 ∆t t 2 − t1 7,2 − 0

Fres = Fvw – Faw ⇒ Faw = Fvw – Fres Fres = m ⋅ a = 74 ⋅ 1,39 = 103 N Faw = Fvw – Fres = 220 – 103 = 117 = 1,2·102 N c Van t = 0 s tot t = 4,0 s legt hij af: 15,5 hokjes van 0,5 × 0,5 cm. 1 hokje komt overeen met 2,0 m. Dus van 0 tot 4,0 s legt hij 15,5 · 2,0 = 31 m af. s 69 Hij moet dan nog 100 – 31 = 69 m afleggen bij een snelheid van 11 m/s. Dat kost t = = = 6,3 s. v 11 Hij doet er in totaal dus 4,0 + 6,3 = 10,3 s over. 60 Kogelstoten Gegeven: kogel onder hoek van 45°; m = 5,0 kg; ∆v = 6,0 – 2,0 = 4,0 m/s in ∆t = 0,21 s a Fres = m · a ∆v 6,0 − 2,0 a= = =19,05 m/s2 ∆t 0,21 Fres = m · a = 5,0 · 19,05 = 95,2 N

Afgerond: Fres = 95 N

b Je mag aannemen dat de kogel een snelheidsverandering ondergaat langs een rechte lijn onder een hoek van 45°. De nettokracht werkt dus in die richting. De nettokracht is het resultaat van de zwaartekracht en de stootkracht. Fstoot = 134 N Teken een assenstelsel met daarin Fz op schaal. Fz = m · g = 5,0 · 9,81 = 49,05 N ⇒ 49 N Teken de nettokracht (de resultante) onder een hoek van 45° (voor de Fr = 95 N grootte: zie vraag b). Je kunt vervolgens een parallellogram maken (zie figuur) en de stootkracht bepalen. Je kunt ook ‘kop aan staart leggen’ (kop aan kop eigenlijk in dit 60 45 geval): ‘verschuif’ de pijl van de zwaartekracht (zonder de richting te veranderen) zodat de pijlpunt van bovenaf de pijlpunt van de nettokracht raakt. De stootkracht loopt dan vanaf het aangrijpingspunt (de kogel) naar Fz = 49 N de staart van de verschoven pijl van de zwaartekracht. In de figuur kun je de lengte van de pijl van Fstoot Fstoot = 134 N Afgerond: Fstoot = 1,3·102 N De richting geef je aan door middel van de hoek met het horizontale vlak: α = 60º o

o

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

20

61 Parachutespringen 2⋅h g

a v(t) = g·t, waarbij t =

want: h =

1 2

· g · t2 ⇒ t2 =

2⋅h 2 ⋅ 1,5 ⋅ 10 3 = = 17,5 s g 9,81 v(17,5) = g · t = 9,81 · 17,5 = 172 m/s = (618 km/h)

1 2

h 2⋅h 2⋅h = ⇒ t= ⋅g g g

t=

Andere manier: ∆Ez = ∆Ek m ⋅ g ⋅ ∆h = E k,eind − E k,begin m ⋅ g ⋅ ∆h = v2 =

1 2

Afgerond: v = 1,7·102 m/s

(de zwaarte-energie wordt volledig omgezet in bewegingsenergie)

⋅ m ⋅ (v eind ) 2 − 0

2 ⋅ m ⋅ g ⋅ ∆h m

2 v = 2 ⋅ g ⋅ ∆h = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 1,5 ⋅ 10 3 = 1,7·10 m/s

b Fw.l = 0,25 ⋅ v 2 ⇒ v =

Fw.l 0,25

Als v = constant geldt: Fw,l = Fz (krachtenevenwicht). v =

Fw.l = 0,25

90 ⋅ 9,81 = 59,4 m/s (= 214 km/h) 0,25

Afgerond: v = 59 m/s

c Het frontaal oppervlak A is veel groter en waarschijnlijk ook de wrijvingsconstante (= de cw-waarde die afhankelijk is van de aërodynamische vorm). Hierdoor is de luchtwrijvingskracht Fw,l al bij een veel lagere snelheid gelijk aan de zwaartekracht op het voorwerp. De snelheid neemt dan niet meer toe. Fw.l = 31

d Fw.l = 31 ⋅ v 2 ⇒ v =

Fz = 31

90 ⋅ 9,81 = 5,33 m/s 31

Afgerond: v = 5,3 m/s

62 Beeldbuis a Uit de tweede wet van Newton (Fres = m · a) volgt dat de beweging eenparig versneld is, want de nettokracht op het elektron en de massa van het elektron zijn constant. b Eerste manier: bewegingsvergelijkingen v(t) = v(0) + a · t v(0) = 0 m/s a berekenen: Fel = me·a ⇒ a =

Fel 2,7 ⋅ 10 −13 = = 2,967·1017 m/s2 me 9,1⋅ 10 −31

s 2⋅s 2 ⋅ 1,1⋅ 10 −2 2⋅s = ⇒ t= = = 7,415 ⋅ 10 −20 = 2,723·10–10 s ⋅a a a 2,967 ⋅ 1017 v(t) = v(0) + a·t = 0 + 2,967·1017 · 2,723·10–10 = 8,079·107 Afgerond: 8,1·107 m/s t berekenen: s =

1 2

·a·t2 ⇒ t2 =

1 2

Tweede manier: wet van behoud van energie De arbeid die de elektrische kracht op het elektron verricht, wordt omgezet in kinetische energie van het elektron. De wrijving is verwaarloosbaar, want de beeldbuis is vacuüm getrokken. Wel = ∆Ek Fel · s = Ek,eind − Ek,begin Fel · s = v2 = v=

1 2

· m · v e2 – 0

(de snelheid v is in het begin verwaarloosbaar klein)

2 ⋅ Fel ·s m 2 ⋅ 2,7·10 -13 · 1,1·10 -2 2 ⋅ Fel ·s = = 6,53·1015 = 8,1·107 m/s m 9,1⋅ 10 −31

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

21

63 Raketlancering Fres m Fres = Fstuw – Fz = 3,9·105 – 2,1·104 · 9,81 = 1,84·105 N F 1,84 ⋅ 10 5 a = res = = 8,76 m/s2 m 2,1 ⋅ 10 4

a Fres = m · a ⇒ a =

Afgerond: 8,8 m/s2

b De massa is kleiner geworden (er is veel brandstof uitgestoten), de gravitatiekracht is kleiner geworden (de afstand tot het middelpunt van de aarde is groter geworden) en de luchtwrijving is minder (de lichtdichtheid is veel kleiner op grotere hoogte). N.B. De luchtwrijving is helemaal in het begin bij de start verwaarloosbaar (door de lage snelheid). Vergeleken met vlak na de start is de luchtweerstand dus niet kleiner. 64 Vrije val Natuurkundige vrije val (zonder luchtwrijving) : h 2⋅h 2⋅h 2 ⋅ 4300 h = 21 · g · t2 ⇒ t2 = 1 = ⇒ t= = = 29,6 s ⋅g g g 9,81 2 Afgerond: ∆t = 35 s

In werkelijkheid doet hij er ongeveer 65 s over: 65 – 29,6 = 35,4 s langer. 65 Glijbaan Fres m Fres = Fz,x – Fw = 35 · 9,81 · sin 70º – 80 = 243 N F 243 a = res = = 6,94 m/s2 Afgerond: 6,9 m/s2 m 35

a Fres = m · a ⇒ a =

b Zie nevenstaande grafiek.

v(t) 8 (m/s) 6 4 2

2 ⋅ 2,5 2⋅s s = ⋅a⋅t ⇒ t = = = 0,849 s 6,94 a v = a · t = 6,94 · 0,849 = 5,89 m/s 2

1 2

10

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

t (s)

c Op het gedeelte CD is de normaalkracht groter dan op het gedeelte AB, want: Fn = Fz · cos α. Dus als α kleiner wordt, wordt Fn groter. De wrijvingskracht wordt dus ook groter. 66 Space Mountain De stoel moet een kracht uitoefenen die gelijk is aan de kracht die nodig is om te versnellen plus de zwaartekracht. De versnelling is al drie keer de zwaarteversnelling, dus de totale kracht moet gelijk zijn aan vier keer de zwaartekracht. Fres = Fstoel – Fz Fstoel = Fres + Fz = m · a + m · g = 70 · 29 + 70 · 9,81 = 2,71·103 N Fz = m · g = 70 · 9,81 = 6,87·102 N 2,71 ⋅ 10 3 De kracht van de stoel op de persoon is = 4,0 keer zo groot als de zwaartekracht. 6,87 ⋅ 10 2 67 De tweede wet van Newton a s( t ) =

1 2

⋅a ⋅t2 ⇒ a =

2 ⋅ s( t ) t2

=

2 ⋅ 0,802 1,62 2

= 0,611 m/s2

Afgerond: a = 0,61 m/s2

b Hoe dichter voor de fotocel losgelaten, hoe kleiner de snelheid. De glijder doet er dan dus langer over om de afstand af te leggen. De waarde van 1,63 s hoort dus bij de meting waarbij de glijder het dichtst bij de eerste fotocel is losgelaten. c Uit de grafiek blijkt dat je nog 1,50 keer een gewichtje van het bakje naar de glijder zou moeten verplaatsen om de versnelling terug te brengen tot nul. Dan zou er dus geen massa meer in het bakje zitten. Het bakje heeft dus een massa van 1,50 · 2,00 g = 3,00 g d De tweede wet van Newton luidt: Fres = m · a. De massa die bij het experiment wordt versneld is telkens gelijk. Door het verplaatsen van de gewichtjes neemt de resulterende kracht af. Volgens de grafiek neemt de versnelling evenredig af met de resulterende kracht, overeenkomstig de tweede wet van Newton. Vervolg op de volgende bladzijde

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

e Zie nevenstaande grafiek. F Fres = m · a ⇒ a = res m Stel dat de massa van de glijder 7,0 g is. Dan is de totale massa bij de proef met de vijf gewichtjes dus 20,0 g. aantal deel van de deel van de gewichtjes oorspronkelijke oorspronkelijke Fres m 5 13 20 13 20 4 11 18 13 20 3

9 13 7 13 5 13 3 13

2 1 0

9.4

22

deel van de oorspronkelijke a 1,00 11 13 18 20

16 20 14 20 12 20 10 20

a (hokjes) 48,5 45,6

= 0,94

0,87

42,2

0,76

36,9

0,64

31,0

0,46

22,3

Energie en bewegingen

Verwerken 2

70 E k =

1 2

⋅ m ⋅v 2 =

1 2

 120  5 ⋅ 1200 ⋅   = 6,667·10 J  3,6 

Afgerond: Ek = 6,67·105 J

71 Een 2 keer zo grote snelheid betekent een 22 = 4 keer zo grote kinetische energie. Een 2 keer zo grote massa betekent een 2 keer zo grote kinetische energie. De kinetische energie van auto A is dus 2 keer zo groot als de kinetische energie van auto B. 72 De kinetische energie is evenredig met het kwadraat van de snelheid. 102 = 100 202 = 400 302 = 900 Bij een snelheid van 20 km/h is de kinetische energie 4 keer zo groot als bij 10 km/h. Bij een snelheid van 30 km/h is de kinetische energie 9 keer zo groot als bij 10 km/h. Bij een snelheidstoename van 20 naar 30 km/h neemt de kinetische energie dus veel meer toe. N.B. Je kunt dit eventueel narekenen door een auto met een bepaalde massa te kiezen en de kinetische energie bij de drie snelheden uit te rekenen. 73 E k =

1 2

⋅ m ⋅v 2 ⇒ v 2 =

74 E z = m ⋅ g ⋅ ∆h ⇒ ∆h =

Ek ⇒ v = ⋅m

1 2

2 ⋅ Ek = m

2 ⋅ 163 = 50,1 m/s 0,130

Ez 21 ⋅ 10 3 = = 25,2 m m ⋅ g 85 ⋅ 9,81

75 a W = Fvw ⋅ s ⇒ W = 40 ⋅ 20 = 800 J

Afgerond: v = 50 m/s

Afgerond: ∆h = 25 m Afgerond: W = 8,0⋅102 J

b De verrichte arbeid wordt omgezet in kinetische energie (als je wrijvingsinvloeden mag verwaarlozen): Ek = 8,0⋅102 J. 2 2 c E k = 21 ⋅ m ⋅ v ⇒ v =

Ek ⇒ v= ⋅m

1 2

2 ⋅ Ek = m

2 ⋅ 800 = 32,66 m/s 1,5

Afgerond: v = 33 m/s

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

23

Afgerond: Fnetto = 30 N

76 a Fnetto = Fvw - Fw = 40 – 10 = 30 N b W = Fnetto ⋅ s ⇒ W = 30 ⋅ 20 = 600 J

Afgerond: W = 6,0⋅102 J

c De verrichte arbeid wordt omgezet in kinetische energie: Ek = 6,0⋅102 J.

77 a E k =

1 2

Ek =

1 2

⋅ m ⋅v 2 = 2

⋅ m ⋅v =

1 2 1 2

2 ⋅ Ek = m

Ek ⇒ v= ⋅m

2 2 d E k = 21 ⋅ m ⋅ v ⇒ v =

1 2

2 ⋅ 600 = 28,28 m/s 1,5

⋅ 5,0 ⋅ 2,0 2 = 10 J

Afgerond: v = 28 m/s

Afgerond: Ek = 10 J

2

⋅ 5,0 ⋅ 6,0 = 90 J

Afgerond: Ek = 90 J

∆Ek = 90 – 10 = 80 J

Afgerond: ∆Ek = 80 J

b ∆h = 1,1 · sin 45º = 0,778 m ∆E z = m ⋅ g ⋅ ∆h = 5,0 · 9,81 · 0,778 = 38,2 J

Afgerond: ∆h = 0,78 m Afgerond: ∆Ez = 38 J

c W = ∆Ek + ∆Ez = 80 + 38 = 118 J

Afgerond: W = 118 J.

78 E z = m ⋅ g ⋅ ∆h ⇒ ∆h =

79 E k =

1 2

⋅ m ⋅v 2 ⇒ v 2 =

Ez 2,40 ⋅ 10 3 = = 1,747 m m ⋅ g 140 ⋅ 9,81 Ek ⇒ v = ⋅m

1 2

2 ⋅ Ek = m

2 ⋅ 17,2 ⋅ 10 6 6,96 ⋅ 10 4

Afgerond: ∆h = 1,74 m

= 22,23

80 Zie nevenstaand diagram.

1000

81 a E z = m ⋅ g ⋅ ∆h = 1,5 · 9,81 · 10 = 147 J Afgerond: Ez = 1,5·102 J De kinetische energie is nul (want de snelheid is nul). b Vlak boven de grond is alle zwaarte-energie omgezet in kinetische energie. De zwaarte-energie is dus nul en de kinetische energie is 147 J. E k = 21 ⋅ m ⋅ v 2 v= 82 a E k =

2 ⋅ Ek = m 1 2

2 ⋅ 147 = 14 m/s 1,5

⋅ m ⋅v 2 =

1 2

⋅ 1,5 ⋅ 13 2 = 127 J

Afgerond: v = 22,2 m/s

E (J)800 Ek

600 400

Ez

200 0 0

Afgerond: v = 14 m/s

1

2

3

4

h (m)

Afgerond: Ek = 1,3·102 J

De zwaarte-energie is dan nul. b Op het hoogste punt is de snelheid van het voorwerp nul en de kinetische energie dus ook. De zwaarte-energie is dan gelijk aan de kinetische energie in het begin. Ez 127 E z = m ⋅ g ⋅ ∆h ⇒ ∆h = = = 8,63 m Afgerond: ∆h = 8,6 m m ⋅ g 1,5 ⋅ 9,81 83 a E k =

1 2

⋅ m ⋅v 2 =

1 2

⋅ 1,5 ⋅ 13 2 = 127 J

E z = m ⋅ g ⋅ h = 1,5 · 9,81 · 10 = 147 J b Vlak boven de grond is alle zwaarte-energie omgezet in kinetische energie. De zwaarte-energie is dus nul. De kinetische energie is 127 + 147 = 274 J. E k = 21 ⋅ m ⋅ v 2 v =

2 ⋅ Ek = m

2 ⋅ 274 = 19,1 m/s 1,5

Afgerond: Ek = 1,3·102 J Afgerond: Ez = 1,5·102 J

Afgerond: Ek = 2,7·102 J

Afgerond: v = 19 m/s

5

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

24

84 Aangezien je de luchtwrijvingskracht mag verwaarlozen, geldt hier de wet van behoud van energie: Ek + Ez = constant. Vergelijken we de uiterste stand van de slinger met de evenwichtsstand dan kun je deze wet ook schrijven als: Ek,u + Ez,u = Ek,e + Ez,e. 2 Ek,u = 0 want vu = 0; E k,e = 21 ⋅ m ⋅ v e ; E z,u = m ⋅ g ⋅ hu en E z,e = m ⋅ g ⋅ he . Invullen: m ⋅ g ⋅ hu = 1 2

1 2

⋅ m ⋅ v e 2 + m ⋅ g ⋅ he ⇒

1 2

⋅ v e 2 = g ⋅ hu − g ⋅ he = g ⋅ ∆h , want je kunt m wegdelen.

2

⋅ v e = 9,81⋅ 0,045 ⇒ v e = 2 ⋅ 9,81⋅ 0,045 = 0,940 m/s

Afgerond: ve = 0,94 m/s

85 Gegeven: m = 0,80 kg; ve = 8,1 m/s; vs = 7,5 m/s. Bij het stuiteren wordt de kinetische energie eerst omgezet in veerenergie en gedeeltelijk ook in warmte. Daarna wordt die veerenergie weer omgezet in kinetische energie (= bewegingsenergie). Ook hierbij zal weer een klein gedeelte omgezet worden in warmte door de vormverandering van de bal. De warmte die ontstaat is dus gelijk aan het verschil in kinetische energie vóór en ná het stuiteren. Q = ∆Ek = ∆Ek,e - ∆Ek,s ⇒ ∆E k,e = a

1 2

⋅ m ⋅ v b 2 + m ⋅ g ⋅ hb =

hb =

1 2

⋅ m ⋅ve2 m⋅g

=

1 2

1 2

(

)

⋅ m ⋅ v e2 − v s2 =

1 2

(

)

⋅ 0,80 ⋅ 8,12 − 7,5 2 = 3,74 J Afgerond: Q = 3,7 J

⋅ m ⋅ v e 2 + m ⋅ g ⋅ he ⇒ m ⋅ g ⋅ hb = 21 ⋅ m ⋅ v e 2

v e2 8,12 = 3,34 m = 2 ⋅ g 2 ⋅ 9,81

Afgerond: hb = 3,3 m

b Verlies van kinetische energie: c

1 2

⋅ m ⋅ v b 2 + m ⋅ g ⋅ hb =

he =

1 2

⋅ m ⋅vb2 m⋅g

=

1 2

⋅ m ⋅ v e 2 + m ⋅ g ⋅ he ⇒

1 2

⋅ m ⋅ v b 2 = m ⋅ g ⋅ he

v e2 7,5 2 = 2,87 m = 2 ⋅ g 2 ⋅ 9,81

Afgerond: hb = 2,9 m

86 Bij deze beweging op de skatebaan wordt bewegingsenergie Ek omgezet in zwaarte-energie Ez: m ⋅ g ⋅ hb = v e2 =

1 2

⋅ m ⋅v e2

m⋅g ⋅h ⇒ ve = 2⋅g ⋅h 1 ⋅m 2

De hoogte h = r = 2,4 m.

v e = 2 ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ 9,81⋅ 2,4 = 6,86 m/s

Afgerond: v = 6,9 m/s

Controleren 91 Hoogspringen a Ek =

1 2

⋅ m ⋅ v 2 = 21 ⋅ 60 ⋅ 4,0 2 = 480 J

b De kinetische energie wordt omgezet in zwaarte-energie: 480 J

Afgerond: Ek = 4,8·102 J Afgerond: Ez = 4,8·102 J

c De vraag is welke hoogte het zwaartepunt bereikt. Het moet hoogteverschil tussen voor en na de sprong moet minstens ∆h = 0,7 m bedragen, want het zwaartepunt bevindt zich al op 1,0 m hoogte. Er wordt kinetische energie omgezet in zwaarte-energie: 1 ⋅ m ⋅ v 2 = m ⋅ g ⋅ Δh 2 1 2

⋅ m ⋅v 2

v2 4,0 2 Afgerond: ∆ h = 0,82 m = = 0,815 m m⋅g 2 ⋅ g 2 ⋅ 9,81 Conclusie: ∆h is groter dan 0,7 m, dus het zwaartepunt van de hoogspringster komt over de lat. Δh =

=

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

25

92 Bobslee We gaan ervan uit dat de beginsnelheid nul is. Punt B: De kinetische energie in het punt B is gelijk aan de verandering van de zwaarte-energie tussen punt A en punt B. 1 ⋅ m ⋅ v 2 = m ⋅ g ⋅ Δh 2 Afgerond: vB = 34 m/s v = 2 ⋅ g ⋅ ∆h = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 60 = 34,3 m/s Punt C: De kinetische energie in het punt C is gelijk aan de verandering van de zwaarte-energie tussen punt A en punt C. 1 ⋅ m ⋅ v 2 = m ⋅ g ⋅ Δh 2 Afgerond: vB = 28 m/s v = 2 ⋅ g ⋅ ∆h = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 40 = 28,0 m/s Punt D: De kinetische energie in het punt D is gelijk aan de verandering van de zwaarte-energie tussen punt A en punt D. Net als bij punt B bedraagt het hoogteverschil tussen punt A en D 60 m, dus de snelheid is gelijk aan de snelheid bij punt B: 34,3 m/s. Afgerond: vB = 34 m/s 93 Trampolinespringen a E k,b + E z,b = E k,e + E z,e 1 2

2

⋅ m ⋅ v b + m ⋅ g ⋅ hb =

0 + m ⋅ g ⋅ hb =

1 2

De totale hoeveelheid zwaarte-energie en kinetische energie blijft gelijk. 1 2

⋅ m ⋅ v e 2 + m ⋅ g ⋅ he

2

⋅ m ⋅ v e + m ⋅ g ⋅ he

1 2

⋅ m ⋅ v e 2 = m ⋅ g ⋅ hb − m ⋅ g ⋅ he

1 2

⋅ m ⋅ v e 2 = m ⋅ g ⋅ ( hb − he )

v e2 =

m ⋅ g ⋅ ( hb − he ) 1 ⋅m 2

v e = 2 ⋅ g ⋅ ( hb − he ) = 2 ⋅ 9,81 ⋅ ( 3,5 − 1,0 ) = 7,00 m/s

Afgerond: v = 7,0 m/s

b De kinetische energie (Ek) plus de resterende zwaarte-energie (Ez) worden omgezet in veerenergie (Ev) van de trampolineveren. c De zwaarte-energie (Ez) wordt omgezet in bewegingsenergie (Ek) die op zijn beurt weer wordt omgezet in veerenergie (Ev). Resultaat: de zwaarte-energie wordt omgezet in veerenergie. Kies als nulniveau van de zwaarte-energie het laagste punt: als de trampoline 0,55 m is ingeveerd. De zwaarte-energie in het begin (op het hoogste punt) bedraagt dan ten opzichte van het laagste punt: Ez,b = m · g · ∆h = 70 · 9,8 · 3,05 = 2,09·103 J Let op: ∆h = (3,5 – 1,0) + 0,55 = 3,05 m ! De veerenergie aan het eind is dus gelijk aan de zwaarte-energie in het begin: Ev,e = Ez,b = 70 · 9,8 · 3,05 = 2,09·103 J Afgerond: Ev,e = 2,1·103 J 94 Polsstokhoogspringen a Ek =

1 2

⋅ m ⋅v 2 =

1 2

⋅ 70 ⋅ 10 2 = 3500 J

E z = m ⋅ g ⋅ h = 70 · 9,81 · 1,0 = 687 J

Afgerond: Ek = 3,5·103 J Afgerond: Ez = 6,9·102 J

b 20% · 3500 = 700 van de kinetische energie is nog over. Afgerond: Ek = 0,70·103 J De overige 2800 J van de kinetische energie is in de vorm van veerenergie in de stok opgeslagen. Afgerond: Ev = 2,8·103 J 50% van de veerenergie, dus 1400 J, kan de stok ook daadwerkelijk terugleveren. c De springer heeft nog 700 + 1400 = 2100 J energie over, die wordt omgezet in zwaarte-energie. E z = m ⋅ g ⋅ ∆h Ez 2100 = = 3,06 m m ⋅ g 70 ⋅ 9,81 Het zwaartepunt van de springer bevindt zich voor de sprong op 1,0 m hoogte. Het zwaartepunt van de springer bereikt dus een hoogte van 1,0 + 3,06 = 4,06 m Afgerond h = 4,1 m De lat ligt op een hoogte van 5,5 m, dus de bereikte hoogte is niet voldoende om over de lat te komen. ∆h =

Vervolg op de volgende bladzijde

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

26

d Het zwaartepunt moet 5,5 – 4,06 = 1,44 m hoger komen. Dat betekent een toename van de zwaarteenergie van: ∆Ez = m ⋅ g ⋅ ∆h = 70 ⋅ 9,81 ⋅ 1,44 = 989 J Afgerond: Espier = 9,9 ⋅102 J Het mag nog iets minder zijn als de springer voldoende techniek heeft om zijn zwaartepunt onder de lat door te laten gaan, door mooi om de lat te ‘krullen’. Toch is dit wel erg veel; waarschijnlijk zal het niet lukken. 95 Verspringen a De bewegingsenergie van de aanloop wordt omgezet in zwaarte-energie: b Je kunt dit bepalen als je de schaal kent waarop de foto is afgedrukt: De lengte van de springer op de foto is ca. 2,0 cm en in werkelijkheid 180 cm. De schaal waarop de foto is afgedrukt, is 1 : 90. Het ‘hoogste punt’ bepalen we voor zijn zwaartepunt, ongeveer ter hoogte van zijn navel: De lengte van de stok tot dat punt is ca. 6,4 cm (in werkelijkheid wellicht iets langer, want door het perspectief is hij op de foto iets korter). Dus het hoogste punt is ca. 6,4 ⋅ 90 = 576 cm = 5,8 m. De zwaarte-energie van dat moment: E z = m ⋅ g ⋅ h ⇒ E z = 80 ⋅ 9,81 ⋅ 5,76 = 4520 J Afgerond: Ez = 4,5 ⋅103 J = 4,5 kJ c De bewegingsenergie van de aanloop wordt omgezet in zwaarte-energie: 1 ⋅ m ⋅ v 2 = m ⋅ g ⋅ Δh Als je aanneemt dat de oever 1,0 m hoog ligt, is ∆h = 5,76 – 1,0 = 4,76 m 2 Afgerond: v = 9,7 m/s = 35 km/h v = 2 ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 4,76 = 9,66 m/s Het is niet waarschijnlijk dat een springer dat haalt, omdat hij ook nog eens de polsstok moet hanteren tijdens de aanloop. d Door te klimmen tijdens het ‘hangen’ aan de stok (dus door arbeid te verrichten) vergroot de springer zijn zwaarte-energie. 96 Raketlancering a Het oppervlak van de driehoek in nevenstaande afbeelding is ongeveer gelijk aan het oppervlak onder de grafiek. s = 21 · basis · hoogte = 21 · 3,6 · 24 = 43,2 m Afgerond: s = 43 m b Je kunt dit bepalen als je de schaal kent waarop de foto is afgedrukt: W = E z = m ⋅ g ⋅ h = 2,4 ⋅ 10 3 ⋅ 9,81 ⋅ 43,2 = 1,02·106 J Afgerond: W = 1,0⋅106 J

9.6

Afsluiting

Controleren 101 Sprinten Carl Lewis loopt het tussenstuk met een constante snelheid (zie nevenstaand diagram). Bij de 200 m legt hij 100 m meer af met die snelheid. Hij doet daar 19,78 – 9,86 = 9,92 s over. Zijn snelheid tijdens het tussenstuk was dus: s 100 v= = = 10,08 m/s Afgerond: v = 10,1 m/s t 9,92

20 18 16,6

v(t)

16

(m/s) 14 12 10,1 10

8 6 4

s 100 v= = = 10,08 m/s t 9,92

Afgerond: v = 10,1 m/s

2 0

0

2

4

6

8 6,84

10 9,84

12

20 14 16 18 tijd t (s) 16,78 19,78

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

27

102 Trampolinespringen Oriëntatie: Gevraagd: Extra hoogte ∆h bij veren door de knieën. Gegeven: m = 60 kg; (v,t)-diagram met stijve benen; (v,t)-diagram met verende benen. Elk diagram geeft de snelheid weer vanaf het moment dat de springer omhoog gaat (beginsnelheid vb = 0) tot het moment dat de springer het hoogste punt bereikt (eindsnelheid ve = 0). In die tijdsduur neemt eerst de snelheid toe tot het moment dat de springer het contact met de trampoline verliest. Daarna neemt de snelheid eenparig af vanwege de tegenwerking van de zwaartekracht. Je kunt aannemen dat de springer bij het loskomen steeds dezelfde hoogte heeft. (Als de springer door de knieën zakt legt zij tot aan het loskomen een grotere afstand af. De trampoline buigt blijkbaar verder door. Bovendien ligt het zwaartepunt lager tengevolge van het door de knieën zakken.) Planning: De oppervlakte onder de grafieklijn in een (v,t)-diagram is een maat voor de afstand die in die tijd wordt afgelegd. Je kunt direct inzien dat deze oppervlakte vanaf het moment van loskomen tot het moment van het hoogste punt in de rechterfiguur groter is dan in de linkerfiguur. Hij komt dus duidelijk hoger. De oppervlakte kun je het beste in twee delen bepalen. Bepaling springhoogte ( van het moment van loslaten van de trampoline tot het hoogste punt): hier is duidelijk sprake van een eenparig vertraagde beweging aangezien de lijn schuin én recht is. v + ve ⋅ Δt In dit gedeelte is de afstand ∆s het gemakkelijkst te berekenen met s = v gem ⋅ Δt = max 2 Uitvoering: Linker diagram (met stijve benen): het moment van loslaten is 0,19 s en maximale hoogte op 0,70 s waarbij vmax = 5,0 m/s. v + ve 5,0 + 0 s1 = v gem ⋅ Δt = max ⋅ Δt = ⋅ ( 0,70 − 0,19 ) = 1,28 m 2 2 Rechter diagram (met verende benen): het moment van loslaten is 0,24 s en maximale hoogte op 0,88 s waarbij vmax = 6,2 m/s. v + ve 6,2 + 0 s 2 = v gem ⋅ Δt = max ⋅ Δt = ⋅ ( 0,88 − 0,24 ) = 1,98 m 2 2 De extra hoogte ∆h = 1,98 - 1,28 = 0,70 m.

Afgerond: ∆h = 0,70 m

Controle: Conclusie: Het lijkt een redelijke afstand die je met het extra afzetten (verende knieën) kunt winnen. 103 Wisselen op de estafette Het beste resultaat wordt behaald als de sprinters tijdens het dragen van het estafettestokje beiden op topsnelheid lopen. Als sprinter B nog niet op topsnelheid is op het moment dat het estafettestokje doorgegeven moet worden (dus als de sprinters zich naast elkaar bevinden), dan loopt sprinter B enige tijd niet op topsnelheid met het stokje. Als sprinter B al op topsnelheid is vóór de sprinters zich naast elkaar bevinden, dan zal sprinter A hem nooit meer inhalen. Als dat gebeurt zal sprinter B dus alsnog moeten inhouden en bij een lagere snelheid het stokje moeten overnemen.

30 s(t) (m) Wisselzone

20

10

Sprinter B

Startzone 0

1

2

3

4

5

6

tijd t (s) B doet er 4,0 s over om op topsnelheid te komen. Hij moet dus starten op tijdstip t = 0, vier seconden voordat de - 10 sprinters zich naast elkaar bevinden. Sprinter A Sprinter A legt in die vier seconden 40 m af. Sprinter B legt in die tijd de volgende afstand af: - 20 v + v eind 0 + 10 ⋅ 4 = 20 m s = vgem · t = begin ⋅t = 2 2 Conclusie: Sprinter B moet dus beginnen te lopen als sprinter A nog 20 m van hem verwijderd is. Vanaf het moment dat de sprinters naast elkaar lopen leggen ze nog tien meter af in de wisselzone. Omdat ze een snelheid hebben van 10 m/s, hebben ze dus nog één seconde de tijd om het stokje door te geven.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

28

104 Speedskiën Oriëntatie: Gevraagd:Snelheidsgegevens in overeenstemming met gegevens piste? Gegeven: In ∆t = 3 s een snelheidstoename van 0 m/s tot ve = 90 km/h = 25 m/s. Na aanloop van 400 m is ve = 200 km/h = 55,6 m/s. Beginhelling 76% ⇒ 76 m dalen op baanlengte van 100 m. 100 m Planning: We gaan controleren of het mogelijk om in de eerste 3 seconden een eindsnelheid te halen van 25 m/s. We nemen aan dat de helling hierbij constant is namelijk 76%. Aangezien in het begin de snelheid 0 is, nemen we voor het gemak ook aan dat de luchtwrijving en schuifwrijving gedurende de eerste 3 seconden 76 m verwaarloosbaar klein is. Neem verder aan dat de persoon een massa heeft van 80 kg.

We gaan ervan uit dat de beweging eenparig versneld is. Dan geldt: v ( t ) = a ⋅ t en Fr = m ⋅ a. In dit geval is de Fr = Fz,h namelijk de component van de zwaartekracht evenwijdig aan de helling (zie de figuur hiernaast). Aan de hand van de figuur kun je concluderen dat Fz,h 76 = = sin α . Fz 100

Fz,h Fz α

α

Fz = m ⋅ g . Uitvoering: Fz = 80 ⋅ 9,81 = 784,8 N Fz,h Fz,h 76 76 76 = ⇒ = ⇒ Fz,h = ⋅ 784,8 = 596,4 N Fz 100 784,8 100 100 Fr = m ⋅ a ⇒ 596,4 = 80 ⋅ a ⇒ a = v ( 3 ) = 7,46 ⋅ 3 = 22,4 m/s = 80,5 km/h .

596,4 = 7,46 m/s 2 80

Controle: Conclusie: De genoemde snelheid van 90 km/h is met de gegeven helling van 76% niet na 3 s te bereiken. Bij ‘gewoon’ vallen (loodrecht naar beneden) bereik je zonder luchtwrijving maximaal een snelheid van v ( 3 ) = 9,81⋅ 3 = 29,4 m/s = 106 km/h . Op een steilere helling is 90 km/h dus wellicht haalbaar, bijvoorbeeld als de hellingshoek 76º zou zijn geweest. We houden hierbij overigens nog geen rekening met de lucht- en schuifwrijving. N.B. de massa van de skiër doet er in feite niet toe: bij de berekening van Fz vermenigvuldig je ermee, terwijl bij de berekening van de versnelling a je weer deelt door de massa. De massa heeft geen invloed op de grootte van de versnelling a. We controleren ook nog het tweede gegeven: na een aanloop van 400 m is ve = 200 km/h = 55,6 m/s. We gaan weer uit van het ontbreken van wrijving: a = 7,46 m/s2. 55,6 v ( t ) = a ⋅ t ⇒ 55,6 = 7,46 ⋅ t ⇒ t = = 7,45 s 7,46 s( t ) =

1 2

⋅ a ⋅ t 2 ⇒ s ( 7,45 ) =

1 2

⋅ 7,46 ⋅ 7,45 2 = 414,4 m

Dit lijkt goed in overeenstemming met elkaar te zijn. Bekijken we echter de helling dan kun je stellen dat over 400 m baanlengte de helling zeker niet constant 76% zal zijn. Bovendien zullen de lucht- en schuifwrijving over deze afstand en bij deze eindsnelheid zeker niet verwaarloosbaar zijn. Dat blijkt ook uit het feit dat zelfs het bewegen van de hand de krachtbalans al kan verstoren (vanwege de luchtweerstand). Dus ook hier moet je concluderen dat de gegevens van piste en snelheid hoogstwaarschijnlijk niet met elkaar overeenstemmen. Overigens kloppen de gegevens over de recordsnelheid wel degelijk. Op de in het artikel afgebeelde helling zijn de genoemde snelheden echter niet te bereiken binnen de genoemde tijdsintervallen.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

29

105 Mislukte start Je kunt deze opgave grafisch oplossen (kijken in het s,t-diagram waar de lijnen elkaar snijden en de schaatsers dus dezelfde afstand hebben afgelegd). Je kunt het echter ook berekenen: Op het tijdstip t = 6 s heeft schaatser A de volgende afstand afgelegd: v begin + v eind 0 + 11 van t = 0 s tot t = 5 s: s = v gem ⋅ t = ⋅t = ⋅ 5,0 = 27,5 m 2 2 van t = 5 s tot t = 6 s: s = v·t = 11 · 1,0 = 11 m; Dus in totaal 38,5 m Op het tijdstip t = 6 s heeft schaatser B de volgende afstand afgelegd: van t = 0 s tot t = 1 s: s = 0 m v begin + v eind 0 + 13 van t = 1 s tot t = 6 s: s = v gem ⋅ t = ⋅t = ⋅ 5,0 = 32,5 m; Dus in totaal 32,5 m. 2 2 Schaatser B moet dus 38,5 – 32,5 = 6,0 m inhalen. Hij rijdt 13,0 – 11,0 = 2,0 m/s sneller dan schaatser A. s 6,0 t= = = 3,0 s later (dus op t = 9,0s) heeft schaatser B schaatser A ingehaald. v 2,0 Is dat binnen de 500 m? Schaatser B (en dus ook schaatser A) heeft op het moment van inhalen 32,5 + 13,0 · 3,0 = 71,5 m afgelegd. Schaatser B haalt de ander dus makkelijk in voor de eindstreep. 106 Strafschop Oriëntatie: Gevraagd: Of een strafschop onhoudbaar is indien de doelman zich aan de regels houdt. Gegeven vgem,bal = 84 km/h = 23,3 m/s; 0,15 s ≤ treactie ≤ 0,21 s; vgem,doelman = 5,6 m/s; afstand speler - doel = 11 m en doelbreedte is 7,3 m. Planning: De doelman moet een afstand  7,3  sdoelman =   = 3,65 m  2 

sb sd

overbruggen in de beschikbare tijd ∆t. De afstand sd die de doelman in die tijd aflegd is: 7,3 m sd = v gem, doelman ⋅ ∆t Voor de tijdsduur ∆t die de doelman ter beschikking heeft, geldt ∆t = tbal - treactie. En voor de bal: sbal = sb = v gem, bal ⋅ tbal

baan van de bal

11 m

sb is te bepalen m.b.v. de stelling van Pythagoras (zie figuur). Uitvoering: 2

 7,3  sb 2 =   + 112 = 134,3 ⇒ s b = 11,6 m  2  11,6 11,6 = 23,3 ⋅ t bal ⇒ t bal = = 0,497 s ⇒ 23,3 ∆t = 0,497 - 0,15 = 0,347 s. sd = 5,6 ⋅ 0,347 = 1,94 m Controle: Conclusie: De afstand die de doelman aflegt, is duidelijk korter dan de afstand die hij zou moeten overbruggen. De bovenstaande berekening geldt echter voor het midden van zijn lichaam. In de praktijk zal de doelman zijn bovenlichaam richting bal laten hellen, waarbij hij bovendien nog zijn armen zal uitstrekken. Daarmee zou hij echter zo'n 3,65 - 1,94 = 1,71 m verder moeten kunnen reiken. Dit is in de praktijk duidelijk niet mogelijk. De doelman moet dus de regels aan zijn laars lappen om de bal tegen te kunnen houden.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

30

107 Space Shot Eerste bewering: snelheid 85 km/h De maximale snelheid is af te lezen uit de grafiek: 20,8 m/s = 74,9 km/h. Conclusie: Dit is minder dan de in de folder opgegeven waarde. Tweede bewering: hoogte 60 m De hoogte is op drie verschillende manieren te bepalen: Eerste manier: Het oppervlak van de driehoek in nevenstaande afbeelding is ongeveer gelijk aan het oppervlak onder de grafiek. s = 21 · basis · hoogte = 21 · 3,62 · 24,0 = 43,4 m Tweede manier: Het oppervlak is ook gelijk aan de gegeven waarde van 27,7 m plus de oppervlakte van de driehoek tussen t = 1,80 s en t = 3,62 s. s = 21 · basis · hoogte = 21 · 1,82 s · 18,5 m/s = 16,8 m De totale hoogte is dus 27,7 + 16,8 m = 44,5 m Derde manier: Je kunt ook de oppervlakte bepalen met je grafische rekenmachine: Voer de vergelijkingen in: Y1 = 30,8X – 11,4X2 (Omdat de afgelegde afstand tot t = 1,80 s al gegeven is, heb je deze vergelijking eigenlijk niet nodig.) Y2 = 36,9 – 10,2X Bepaal de integraal f(x)dx (2nd [CALC] 7:). Bepaal de oppervlakte onder Y1 van 0 tot 1,8 s en onder Y2 van 1,8 tot 3,62 s. Optellen en afronden levert 44,5 m. Conclusie: Dit is minder dan de in de folder opgegeven waarde. Derde bewering: versnelling van 4g Eerste manier: De versnelling is gelijk aan de steilheid van de raaklijn aan het v,t-diagram. Teken de raaklijn bij t = 0. ∆v 25 a= = = 31 m/s2 ∆t 0,80 Tweede manier: Je kunt ook de afgeleide bepalen van de vergelijking v(t) = 30,8t – 11,4t2 De afgeleide is a(t) = 30,8 – 11,4t, op het tijdstip t = 0 levert dit: 30,8 m/s2. Derde manier: Je kunt dat ook doen door met je grafische rekenmachine op het tijdstip t = 0 de afgeleide dy/dx te berekenen (2nd [CALC] 6:). Dit levert op: a = 30,8 m/s2 Conclusie: Dit is minder dan de in de folder opgegeven waarde (4 · g = 4 · 9,81 = 39,2 m/s2). 108 Oortrekken De afstand die afgelegd wordt gedurende het versnellen is ongeveer: v + v eind 0 + 0,55 ⋅ 9,0 = 2,5 m s = vgem · t = begin ⋅t = 2 2 Na de eerste 9,0 s wordt de overige 20 m – 2,5 = 17,5 m afgelegd met een snelheid van 0,55 m/s. s 17,5 s=v·t⇒ t = = = 32 s v 0,55 In totaal duurt de recordpoging dus ongeveer 9,0 + 32 = 41 s. 109 Parachutesprong Zowel op een hoogte van1500 m als op een hoogte van 500 m is de snelheid constant. De grafiek loopt zowel bij 1500 m als bij 500 m recht. Een (schuine) rechte lijn duidt op een constante snelheid. Bij een constante snelheid is sprake van een krachtenevenwicht. Conclusie: De wrijvingskracht is in beide gevallen gelijk aan de zwaartekracht.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 9 – Beweging in de sport

31

110 Bungeejump De sprong is veilig als alle in kinetische energie omgezette zwaarte-energie in veerenergie wordt omgezet 5,0 m voordat de grond bereikt wordt (de grafiek gaat niet verder). In nevenstaande grafiek is met een rechte lijn de in kinetische energie omgezette zwaarte-energie van de springer uitgezet tegen de afstand. (Ez = m · g · h = 70 · 9,81 · 35 = 24,0 kJ) Waar de lijnen elkaar snijden heeft het elastiek alle bewegingsenergie geabsorbeerd en is de snelheid 0. De lijnen snijden echter niet. Conclusie: Deze sprong kan niet veilig uitgevoerd worden. De kinetische energie neemt toe doordat zwaarte-energie wordt omgezet in kinetische energie. De kinetische energie neemt af doordat deze wordt omgezet in veerenergie. Als de grafiek van de veerenergie (horend bij de omzetting Ek → Ev) sneller stijgt dan de rechte lijn (horend bij de omzetting Ez → Ek), dan neemt de snelheid af. Als de kromme lijn minder snel stijgt dan de rechte lijn, neemt de snelheid toe. Conclusie: Als de grafiek van de veerenergie even steil loopt als de lijn van de in kinetische energie omgezette zwaarte-energie is de snelheid maximaal. Dat is het geval bij x = 20 m. 111 Golf

η=

E nuttig E toegevoerd

E k,bal = E k,club =

1 2

=

E k,bal E k,club

⋅ m ⋅v 2 =

1 2

⋅m ⋅v 2

1 2

⋅ 0,085 ⋅ 63 2 = 169 J Nieuwe onbekende: vclub

33 = 0,25 s. 132 Uit het v,t-diagram kun je de snelheid op dat tijdstip aflezen: vclub = 50 m/s E k,club = 21 ⋅ m ⋅ v 2 = 21 ⋅ 0,450 ⋅ 50 2 = 563 J De club raakt de bal bij de 34e flits, dus na 33 flitstijden: t =

η=

E k,bal E k,club

=

169 = 0,300 563

Afgerond: η = 0,30 = 30%