Antologia Sobre Reparto Proporcional Y Optimizacion Lineal

ANTOLOGIA SOBRE REPARTO PROPORCIONAL Y OPTIMIZACION LINEAL 1. RESEÑA DE LA PROGRAMACION LINEAL Uno de los precursores de la Programación Lineal fue Jean Baptiste-Joseph Fourier, matemático francés quien intuyó rudimentariamente los métodos que actualmente se conoce. En 1939, Leonid Vitalevich Kantorovitch publica su obra titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gamma de problemas una teoría matemática precisa y bien definida, llamada hoy en día Programación Lineal, autor que recibió el premio Nobel d economía en 1975. Posterior a la segunda guerra mundial, en Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas la energías y recursos era un problema de tal complejidad que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la Programación Lineal recibiendo así, junto a la Investigación de operaciones un gran impulso y consecuentemente una rápida evolución de las computadoras. Uno de los aportes de la época lo constituyo la aparición del Método Simples, el cual fue desarrollado por Dantzig (1947) que es un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas. Los fundamentos matemáticos de la Programación Lineal se deben al matemático norteamericano Jhon Von Neumann quien en 1947 conjetura la equivalencia de los Problemas de Programación Lineal y la Teoría de Matrices desarrollada en sus trabajos. 2. PROGRAMACION LINEAL La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL. La industria petrolera parece ser el usuario más frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calculó que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informático de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares. La programación lineal aborda una clase de problemas de programación donde tanto la función objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40. Rara vez una nueva técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo teórico tan exhaustivo en un período tan corto. Hoy en día, esta teoría se aplica con éxito a problemas de presupuestos de capital, diseño de dietas, conservación de recursos, juegos de estrategias, predicción de crecimiento económico y sistemas de transporte.

Recientemente la teoría de la programación lineal también contribuyó a la resolución y unificación de diversas aplicaciones. Para su adecuado entendimiento es necesario plantear adecuadamente las restricciones que se traducen en inecuaciones, las cuales deben ser determinadas en forma correcta para una buena optimización de la función I MATEMÁTICAS ADMINISTRATIVAS objetivo. 3.-

Reparto Proporcional (Variación Proporcional)

CLASIFICACIÓN DE LOS REPARTOS PROPORCIONALES (VARIACION PROPORCIONAL) • En un reparto proporcional tenemos una cantidad a repartir en proporción a determinados elementos dados. • Para repartir puede ser que se tome en cuenta solo un elemento, en este caso el reparto es simple. • Si se toman más elementos se dice que el reparto es compuesto. • En ambos casos los elementos pueden estar en proporción directa o inversa a la cantidad que se va a repartir. Esta relación es muy importante para hacer los cálculos relativos. • Pueden existir repartos mixtos esto quiere decir que tienen elementos directos o inversos. . REPARTOS DIRECTOS Se presenta este caso cuando los elementos están en forma directa en relación con la cantidad a repartir. Ejemplos.- Repartir un premio en proporción a calificaciones obtenidas, repartir según el lugar en quedaste en una prueba deportiva, la depreciación proporcional a valor de los activos, una gratificación en proporción a la venta de un producto. Ejemplo 1: Se desea repartir la cantidad de $12,000 de gratificación entre departamentos de una tienda, en proporción a la productividad. El primer departamento (M) produjo $20,000, el segundo (N) $40,000 y el tercero (O) $60,000. Solución: Sea: M = gratificación al primer departamento N = gratificación al segundo departamento O = gratificación al tercer departamento M + N + O = 12, 000 Como las gratificaciones son directamente proporcionales a la productividad M N O = = = constante = x Æ 20, 000 40, 000 60, 000 M = x(20, 000) N = x(40, 000) 20, 000 x + 40, 000 x + 60, 000 x = 12, 000 Æ O = x(60, 000) 120, 000 x = 12, 000; x = 101

M = x(20, 000) = $ 2, 000

lo que nos da N = x(40, 000) = $4, 000 O = x(60, 000) = $6, 000

El valor de x es el factor de reparto que corresponde a cada elemento. Si salen decimales multiplica los posibles para asegurarse de tener resultados más completos. REPARTOS INVERSOS Los elementos pueden tener uno o mas elementos pero en proporción inversa a la cantidad a repartir. Ejemplo 2: Un despacho de contadores repartió $35,500 a sus 3 secretarias, con la finalidad de incentivarlas, otorgando un bono en proporción inversa a los días faltados en el año: Alicia faltó 5 días, Carmen faltó 3 días y Nidia 7 días. ¿Cuánto recibió cada una de ellas? Solución: Sea: A = gratificación a Alicia C = gratificación a Carmen N = gratificación a Nidia A + C + N = 35,500 Como las gratificaciones son inversamente proporcionales a la productividad ⎧ A = 5x ⎪ A(5) = C (3) = N (7) = constante = x Æ ⎨ C = 3x ⎪N = x 7 ⎩ x 5

+ 3x + 7x = 35,500 Æ

71 x 105

= 35,500

Æ x = 52,500

A = 5x = $10,500 C = 3x = $17,500 N = 7x = $7,500 REPARTOS MIXTOS En algunos casos se presentan elementos inversos con elementos directos, en cuyos casos se nos indicarán las condiciones del reparto y lo haremos por separado para las partes directas y las partes inversas.