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Breve Historia sobre el origen del Cálculo.

Antes de iniciar propiamente con los temas del curso, es importante realizar un pequeño recorrido acerca de la que ha sido la historia y origen del calculo, ya que ello permitirá tener un panorama sobre esta área del conocimiento, que no solo tiene su importancia en la aplicación de conceptos hacia otras ramas de la matemática sino que dichos conceptos han sido muy importantes en otras áreas de la ciencia como la economía, la física, la administración, la biología entre muchas otras más. Pues bien, entonces podemos iniciar con esta reseña histórica.

El Cálculo Diferencial e Integral es una rama de la Matemática que se fue desarrollando desde la Antigüedad Clásica hasta alcanzar la forma en la que la conocemos actualmente, en la segunda mitad del siglo XIX. El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. De entre los grandes precursores del calculo se encuentra Arquímedes por haber inventado métodos generales para encontrar las áreas de figuras planas curvilíneas y los volúmenes limitados por superficies curvas, y aplicó estos métodos a muchos casos especiales, incluyendo el círculo, la esfera, segmentos de una parábola, el área limitada entre dos radios y dos pasos sucesivos de una espiral, segmentos de esfera y segmentos de superficies engendradas por la revolución de rectángulos (cilindros), triángulos (conos), parábolas (paraboloides), hipérbolas (hiperboloides) y elipses (esferoides), alrededor de sus ejes principales. Ideó un método para calcular ( (la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro), y fijó el valor de pi ( entre 3 1/7 y 3 10/71.

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También encontró métodos para hallar las raíces cuadradas aproximadas, lo que muestra que se anticipó a la invención hecha por los hindúes, respecto a las fracciones continuas periódicas. En Aritmética sobrepasó extraordinariamente la incapacidad del método no científico griego de simbolizar los números al escribir o incluso escribir grandes números, e inventó un sistema de numeración capaz de tratar números tan grandes como se deseara.

A Arquímedes se debe, no sólo una obra maestra, sino muchas. ¿Cómo pudo hacerlo? Sus exposiciones lógicas no permiten intuir el método de que se valió para llegar a sus maravillosos resultados. Pero en 1906, J. L. Heiberg, el historiador y estudioso de la Matemática griega, hizo en Constantinopla el notable descubrimiento de un tratado hasta entonces "perdido" de Arquímedes, dirigido a su amigo Eratóstenes: Sobre teoremas mecanices, método en él Arquímedes explica cómo pesando, en la imaginación, una figura o sólido cuya área o volumen sea desconocida frente a una conocida se llega al conocimiento del hecho buscado; conocido el hecho, era relativamente fácil para él demostrarlo matemáticamente. Brevemente, utilizó su mecánica para hacer avanzar la Matemática.

Este es uno de sus títulos para ser considerado como una mente moderna: lo utilizó todo, y todas las cosas que sugirió fueron un arma para abordar sus problemas. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea relativas a las cantidades infinitamente pequeñas como el ejemplo de las

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ distancias que recorre una tortuga para impedir ser alcanzada por Aquiles obstaculizaron de cierta manera el desarrollo de una teoría sistemática de esta rama de la matemática. En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660) y Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. Del trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales: Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo.

El desarrollo de estos conceptos en los que se emplean las cantidades infinitesimales a las que llama evanescentes es lo que lo lleva a proponer su teoría del cálculo.

Por otra parte Leibniz, un filósofo, matemático alemán trabaja en lo relativo a las sucesiones y series aplicándolas para resolver problemas geométricos y cálculo de áreas curvas empleando la suma total de las diferencias entre esas pequeñas cantidades infinitesimales de la sucesión. Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos "ʃ" y "d" de la integral y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas.

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En matemáticas su cálculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y fórmulas. Al publicarse la teoría del calculo de Newton y la de Leibniz surge una seria disputa que tardaría muchos años en resolverse, debido a que al parecer Newton lo había descubierto primero pero no lo publicó y Leibniz lo hizo antes que él. La conclusión de este asunto es que al hacer un análisis profundo se sabe que los argumentos y enfoques de ambas teorías son diferentes y su origen por lo tanto no es el mismo.

Este desafortunado incidente separó en dos bandos los matemáticos de Inglaterra y del Continente por mucho tiempo. La ironía del destino, fue que la victoria inglesa hizo que sus matemáticos rehusaran sistemáticamente el uso de los métodos de Newton, cerrando para si con ello el tremendo desarrollo que la matemática tuvo en el siglo XVIII. Por otro lado, debido a su facilidad y al genial tratamiento que tuvo por parte de los hermanos Bernoulli y por Euler el cálculo de Leibniz empezó a cosechar grandes éxitos. Sus seguidores se preocupaban menos de sus aspectos lógicos y más de sus aplicaciones ya que era un cálculo que funcionaba. Asi las cosas, la notación de la derivada, concepto fundamental del calculo empleada por Leibniz fue la que terminó adoptándose. En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los

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límites y las derivadas, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales.

Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo. Así sucesivamente en la evolución del cálculo se entrelazan el genio y el esfuerzo tenaz de grandes científicos a lo largo de muchos siglos, en una historia que no dejó de sufrir las pasiones humanas. Todas estas características hacen que el Cálculo Diferencial e Integral sea una parte de la cultura universal. Desde el punto de vista geométrico puede verse como una herramienta muy versátil para resolver los problemas de trazar las tangentes a una amplia familia de curvas y de calcular longitudes de curvas, áreas y volúmenes de una extensa variedad de figuras.

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Entre sus aplicaciones se encuentra la descripción del movimiento y, más en general, la de cualquier Sistema - Físico o no - que evolucione en el tiempo, muchos problemas de optimización, el tratamiento de fenómenos aleatorios que no estén gobernados por variables discretas, etc. Se combinan en esta disciplina la belleza y elegancia de la Matemática, con la potencia de una herramienta indispensable para la modelización de la naturaleza, sin la cual sería impensable la tecnología de que dispone en la actualidad la humanidad. Los problemas vinculados a los Números Reales, la Existencia de Límites, el Trazado de tangentes y el Cálculo de Áreas, están tan íntimamente relacionados que es posible presentar la asignatura haciendo un desarrollo en paralelo de los cuatro temas o siguiendo un orden que pase por la formalización del Número Real, para luego introducir la Definición de Límite, para luego de allí pasar a considerar las Funciones Continuas, y después las Derivables. Interesa el estudio de la Sucesiones por su liga estrecha con la idea de límite. Los conceptos de derivada y tangente, y el de derivada y velocidad aparecen ligados indisolublemente desde el inicio del Cálculo Diferencial, allá por la mitad del siglo XVII. Fermat, Newton, Leibniz, etc. fueron los primeros que reflexionaron sobre estos tópicos. La derivada entonces, nació y se desarrolló desde un inicio como una fuerte relación entre la matemática y la física, tal como puede verse desde los tiempos de Arquímedes.

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TEMAS DEL CURSO.

Los temas centrales de la asignatura de calculo diferencial, están relacionados al concepto de límite, por ello es el primer concepto que se estudiará ya que de este se desprenden los demás temas como lo son la derivada y sus aplicaciones de manera sucesiva. La adecuada comprensión de estos temas permitirá definir e interpretar el concepto fundamental del calculo: la derivada al cual se le asigna una parte importante dentro de este texto. Una vez explicado el concepto de derivada y resueltos los ejercicios por medio, se continúa con las aplicaciones a diferentes tipos de fenómenos. Esto es de manera general una descripción de los temas que se estudiarán en el transcurso del semestre, esperando complementar el aprendizaje por medio de lecturas relativas a la historia del cálculo, las biografías de los personajes importantes en el desarrollo de esta rama de la matemática y empleando programas de computadora en donde se pueda visualizar los resultados obtenidos, todo con el fin de lograr una buena comprensión de los contenidos temáticos.

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CONCEPTOS BÁSICOS DE CÁLCULO.

La enseñanza de la cinemática (relacionada al estudio del movimiento) se hace con un desarrollo metodológico de ideas y conceptos que resulta ser diferente a como ha sido su origen.

De hecho existe en muchos casos un desconocimiento de que el estudio de la física se puede llevar a cabo desde el conocimiento del cálculo, ya que los fenómenos de cambio de velocidad y posición, se pueden determinar cuando se tienen conocidas las expresiones matemáticas.

El cálculo diferencial e integral tuvo su origen en problemas relacionados a la mecánica. La derivada tuvo su origen y desarrollo ligada a la Física: en cuestiones cinemáticas, las cuales pueden ser aprovechadas en la enseñanza moderna de la física. Un hecho interesante en la enseñanza del cálculo y de la cinemática es la fastuosa utilización del concepto de límite matemático. Al revisar los escritos originales de Newton, Euler, D’Alembert y Lagrange, no encontramos vestigio alguno del límite como metodología para enseñar la mecánica clásica; cierto es que estos hombres fueron pioneros en su campo y muchos años después, al editarse diversos textos de cálculo y de mecánica, se inicia la tradición actual de enseñanza de la física.

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Muchas personas se asombrarían al saber el poco espacio que Newton dedicó al concepto de límite en su Principia, y la sencilla aproximación geométrica que utilizó, la cual fue más intuitiva que analítica, en el tratamiento de diversos problemas físicos. Newton fue un experto en resolver problemas cinemáticos usando el concepto de derivada, pero las técnicas que utilizaba eran puramente geométricas y se reducían a calcular las componentes normal y tangencial a una curva.

Tuvieron que pasar alrededor de sesenta años para que el genio de Euler pudiera sintetizar el gran aparato matemático utilizado por Newton, y establecer ecuaciones matemáticas que permitieran una solución directa de los problemas de dinámica y cinemática. La presentación formal del cálculo fue realizada en el siglo XIX por Cauchy, y su aparición en los libros de texto se encuentra sólo a principios del siglo XX. Por ello, la estrategia que se presenta en este trabajo es utilizar las ideas fundamentales que dieron origen al cálculo infinitesimal, así como sus diferentes aplicaciones.

En el ambiente escolar a menudo la derivada es considerada como un algoritmo o como una fórmula, y posiblemente como un concepto asociado a la pendiente de una recta tangente a una curva. Pero bien sabemos que la derivada es mucho más que eso. Por lo general el alumno no entiende que la derivada es un concepto matemático para medir los cambios relativos en un instante, en un punto. Los cambios relativos como la velocidad media (por mencionar el más común) permite saber cuánto cambia la variable distancia cuando la variable tiempo cambia una determinada magnitud; es, pues, una razón o cociente entre cambios.

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No obstante, en muchos problemas de la variación lo que interesa es la velocidad en un instante o las razones de cambio en un punto. La idea principal que se presenta en el concepto de derivada es precisamente la medición de cambios relativos por medio de razones entre los cambios; este es el aspecto esencial de la derivada.

Las variables y las funciones Puesto que primero se introducirán algunos conceptos matemáticos para abordar después los conceptos físicos, y otros fenómenos, conviene pues comenzar desde los rudimentos básicos, esto es, desde el concepto de variable, que nos permite cuantificar diversos cambios para analizar distintas causas y fenómenos de la vida cotidiana.

Un concepto muy importante en el estudio de la variación es el de variable y función. La conexión entre sus expresiones analíticas y representaciones gráficas es utilizada para manipular los procesos de cambio, pues se considera que es muy difícil realizar operaciones con los cambios si no se cuenta con una fórmula matemática y una gráfica que ayude a representar el comportamiento de esos cambios. Sobre esta base se aborda el cambio y su medición. Es necesario enfatizar que la noción de función no siempre es comprendida por el alumno, y es necesario conseguir una comprensión total de este concepto fundamental.. La tabulación como tal debe ser utilizada para registrar datos numéricos experimentales para estudiar la variación, esto con el fin de recalcar el papel de las variables dependientes y las independientes.

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Un rasgo importante que debe estudiarse en lo referente a las funciones y sus gráficas es el comportamiento cualitativo de la función; Para cuantificar cuanto cambia una función utilizamos el método de la variación; esto es un procedimiento que nos permite saber cuanto aumenta o disminuye en función de la variación de cualesquiera de las variables involucradas. Sobra decir la gran importancia que tienen las variables y funciones en la descripción del mundo que nos rodea, ya que existe infinidad de fenómenos naturales, en donde se encuentran involucradas dos o más variables entre sí. Nos introducimos pues al estudio de la variación por medio de modelos matemáticos simples para determinar cuanto cambia una variable en un fenómeno dado en un instante inicial y en uno posterior utilizando la expresión de diferencias:

Podemos encontrar en la naturaleza diferentes fenómenos y problemas en donde se presenta una relación entre variables, por ejemplo podemos decir que el área de un círculo es una función de su radio: “ A= f(r) ” , al cambiar el valor de éste, en consecuencia habrá también un cambio en el área. Es decir: el incremento del radio repercutirá en un incremento del área:

NOTA: El símbolo

se emplea para indicar “un incremento” de la variable

Otro caso es el que la distancia recorrida por un atleta es una función del tiempo: d = f(t) ; al cambiar la variable tiempo también se verá modificada la variable distancia.

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Podemos citar una cantidad enorme de problemas donde se puede observar la relación entre dos variables, pero cabe señalar sin embargo que existe una infinidad de fenómenos en donde las variables no son únicamente dos, sino 3 o más; por ejemplo si deseamos estudiar el crecimiento de una planta podemos decir por simple inspección que depende de muchos factores (variables) entre los que podemos mencionar al clima, el tipo de suelo, la cantidad de agua, la cantidad de fertilizante, el tiempo de exposición al sol, la genética de la planta entre otros factores más. Puede verse a simple vista que este es tan solo un ejemplo de la cantidad de variables que implica el estudio de un fenómeno, lo que en consecuencia aumenta el nivel de complejidad en el análisis.

Este tipo de fenómenos que presentan muchas variables, se conoce como calculo de varias variables y el tipo de problemas que se abordan en donde solo hay dos de ellas, se conoce como calculo de una variable, que como ya es de tu conocimiento es muy común representar matemáticamente mediante: y = f (x)

En este curso se estudiaran por lo tanto, las relaciones entre los cambios de las variables de una función considerando que estos cambios (que pueden ser incrementos o decrementos) en los valores de las variables se dan en términos muy pequeños (infinitesimales) y el cociente de la relación que hay entre estos cambios de cada variable es lo que conocemos como derivada. En términos matemáticos esto es:

…………….. que se lee como:

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El límite del incremento de la variable dependiente (y) con respecto a la variable independiente (x) cuando el incremento de la variable independiente tiende a ser cero es equivalente a la derivada.

EJERCICIO: 1).- escribe tres ejemplos de fenómenos donde exista una relación entre dos variables, indicando matemáticamente la función que representa el fenómeno, es decir cual es la variable independiente y cual es la dependiente. Esto te permitirá recordar que en el estudio del cálculo se debe tener conocimientos sobre las funciones.

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Ahora bien, retomando la idea del origen del cálculo y su relación con la mecánica abordaremos un ejemplo del cálculo diferencial aplicado a la física:

Un concepto de la mecánica que es fácil introducir siguiendo este concepto de cambio es el de rapidez y la definiremos simplemente como

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Los cambios relativos se miden por medio de razones o cocientes entre cambios. Este es un concepto fundamental en el Cálculo Diferencial, ya que siempre que se estudia un fenómeno de la variación lo importante no es sólo determinar los cambios, sino determinar qué tan rápido cambia lo que está cambiando, y la mejor forma de averiguarlo es por medio de las razones entre los cambios.

La rapidez media es un recurso para medir cambios relativos, e indica cuánto cambia una variable cuando la otra cambia una determinada magnitud. Existe una gran cantidad de movimientos en los que la rapidez sigue un determinado comportamiento; en algunos casos aumenta o disminuye la misma magnitud, y en otros es variable. Los cambios infinitamente pequeños y la velocidad instantánea Cuando se utilizan los conceptos de rapidez media, se hace referencia a la variación considerando intervalos relativamente grandes. Pero una realidad del mundo físico es que los cambios no suceden a saltos, sucede lo contrario: los cambios se dan de manera continua, o continuos por tramos, etc, cambian a cada instante. Si conocemos la ley de algún movimiento, con sólo los conceptos de rapidez y velocidad media se tendrá una aproximación muy burda de cómo se comportan los cambios. Aquí es necesario introducir el concepto de velocidad instantánea ya que al tratar de calcular la velocidad en un instante directamente con la fórmula de velocidad media se llegará a inconsistencias tales como dividir entre cero. La estrategia que se aplica para eludir este problema es calcular la fórmula que nos determina la variación del espacio recorrido, y aplicarla para conocer la variación alrededor del punto donde se quiere calcular la velocidad. Un ejemplo a considerar es el movimiento descrito por la fórmula s(t) = 20t-5t2; la rapidez media estará dada por

Aplicando esta fórmula para conocer la velocidad de un cuerpo exactamente en t = 1 segundo, obtenemos:

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que como se explicó conduce a un absurdo, ya que no es posible aplicar la fórmula de la velocidad media para un problema en el que se pide la velocidad en un instante.

Por otro lado, los cambios de distancia están dados por s=20 t-5 t2. Para comenzar a estudiar cómo son los cambios alrededor de t = 1 segundo, se fijará ti en 1 segundo mientras el que varía es el tiempo tf . La estrategia es considerar cambios de distancia cada vez más pequeños respecto de t. A medida que las velocidades medias sean mas pequeñas se van comportando de una manera especial, esto es, tienden a un límite. Se deben calcular diferentes velocidades medias cada vez mas cerca de 1 segundo hasta llegar a considerar tiempos infinitamente pequeños, y se verá cómo la velocidad será más cercana a un límite, en este caso el límite es 10 m/s. Se puede concluir que si t es un cambio infinitamente pequeño, en este caso infinitamente cercano a t = 1seg, entonces la velocidad del cuerpo en t = 1seg es exactamente igual a 10 m/s. Así definimos entonces la velocidad instantánea como:

aplicando esta definición para calcular la velocidad en t = 1 seg, tenemos que

Haciendo un recuento del método utilizado para calcular la velocidad instantánea, tenemos que:

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1) El problema principal consiste en la imposibilidad de calcular la velocidad en un instante o en un punto por medios aritméticos conocidos. 2) La estrategia central del método consiste, ya que se desconoce la velocidad en un punto, en explorar qué ocurre con la sucesión de velocidades medias muy cerca del punto en cuestión, acercándose a éste tanto por la derecha como por la izquierda. 3) La sucesión de velocidades medias resulta de los cocientes entre cantidades cada vez más pequeñas que se obtienen, a su vez, al reducir el intervalo de variación.

4) La velocidad instantánea se evalúa cuando el cambio de tiempo es infinitamente pequeño. La sucesión de cocientes de cambios cada vez más pequeños de distancia y tiempo tiende a un número. Este número es su límite. Tal número es la velocidad instantánea buscada."

En la interpretación geométrica de la velocidad instantánea lo novedoso que aquí se introduce es que, infinitesimalmente hablando, una curva cualquiera puede ser considerada como formada por pequeños segmentos infinitesimales de rectas, es decir:

.

Que es el concepto de derivada.

Ahora bien, para poder entender con mayor claridad se pondrán algunos ejemplos más acerca del concepto relativo a la aplicación del calculo y sus conceptos.

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SUCESIONES

Una sucesión se denota por: a1, a2, a3, ....... an,........ y se puede considerar como una colección de números reales para los que hay una correspondencia unívoca con los enteros positivos. Por comodidad a veces se le llama sucesiones (secuencias o progresiones).

Un aspecto importante de las sucesiones es que por medio de estas se puede expresar una función, un término algebraico o un numero. Cada número real an es un término de la sucesión. La sucesión está ordenada ya que hay un primer término a1, un segundo término a2, un tercer término a3,....... etc. Una sucesión infinita es aquella en la que no existe un número definido de términos. Las sucesiones infinitas se presentan con anterioridad al cálculo. Por ejemplo la sucesión: 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, 0.33333,............... puede emplearse para representar el número racional 1/3 se puede ver que en este caso el “n” ésimo término se va acercando cada vez más a 1/3 cuando n crece. esta definición permite expresar el número racional _1_ por medio de una serie o (suma infinita). 3 en este caso, para 1/3 la serie infinita es: 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003......... de manera que el número _1_ 3

se puede obtener agregando más y mas términos a la suma.

EJERCICIO: a partir de la sucesión: 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, 0.33333,............... determine el valor del octavo término de dicha sucesión.

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Solución: los términos son: a1= 0.3 a5 = 0.33333 a2= 0.33 a6 = 0.333333 a3= 0.333 a7 = 0.3333333 a4= 0.3333 a8 = 0.33333333 Ahora bien, aunque es un poco prematuro hablar sobre el concepto de límite, existe una relación entre una sucesión, la serie y límite por el siguiente hecho:

A medida que la serie 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003......... va teniendo más y más términos, es decir “an” va aumentando, si se sumaran cada uno de sus correspondientes términos hasta el “n” ésimo los cuales dan origen a cada uno de los términos en la sucesión 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, 0.33333,........ se obtendría como resultado : 1/3 esto significa en pocas palabras: que a medida que “la serie tiende a infinito”, el resultado que se obtiene es una fracción , es decir el límite como resultado de la sumatoria es : _1_ 3 es conveniente mencionar que una sucesión puede ser: -finita- si el número de términos está determinado, o bien –infinita- si el número de términos es indefinido (como en el ejemplo dado). De la misma manera, las series pueden ser: finitas o infinitas, dependiendo si el número de términos es determinado o no. Por medio de una serie se puede expresar una función, un termino algebraico o un numero como en los siguientes casos: Por ejemplo:

La función exponencial y= ex se puede expresar por medio de la serie infinita: 1 + x + x2 + x3 +..... 2! 3!

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Existen otras muchas aplicaciones y usos de las sucesiones y series las cuales no detallaremos, sin embargo cabe resaltar el hecho de que estos conceptos con sus operaciones de sumas y diferencias permitieron construir la teoría del cálculo.

Veamos un caso sobre los conceptos de límite:

Si tenemos una cuerda que mide 2 metros de longitud y la cortamos a la mitad, una de esas mitades que mide 1 metro se aparta y el otro se vuelve a cortar por la mitad otra vez. Uno de los trozos ahora de 1/4 se aparta y el otro se vuelve a cortar, obteniéndose ahora dos trozos de 1/8 de longitud. Si se continúa con este procedimiento en forma indefinida, el número de trozos que resultan puede considerarse como una suma infinita:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ........... que como vimos al inicio daría como resultado 2 metros.

Y como puede observarse, a medida que la serie va incrementando el número de términos, el resultado va aproximándose al número 2. para este caso la sumatoria infinita de este ejemplo se escribe como:

y su límite es: 2, es decir converge a 2 Debe tenerse en cuenta que no todas las series (tienen como resultado un valor definido), esto es, no convergen.

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MAS EJEMPLOS PARA IR COMPRENDIENDO EL CONCEPTO DE LÍMITE.

Una vez vistos algunos ejemplos donde se aborda y expresan ideas acerca de la palabra límite profundizaremos en el estudio de este concepto y su significado.

La palabra límite en ciertos aspectos puede parecer semejante en cuanto a su significado en diferentes áreas del conocimiento, sin embargo a lo que podamos referirnos por ejemplo en geografía no siempre significa lo mismo que en matemáticas por decirlo tan solo un caso.

Veamos esta situación: Un limite o frontera se utiliza convencionalmente para determinar, separar o definir algún territorio en geografía, o bien cuando alguna persona suele decir “esta situación ha llegado a su límite”, o todo tiene un limite, es que se refiere a que existe una restricción en la que queda definido un espacio, lugar, o tiempo que se puede medir y queda perfectamente definido el intervalo o el plazo, por lo que si hablamos de asuntos relativos al tiempo y se dice “el limite para empezar es a las….”, significa que hay una variable que queda establecida y todos los involucrados se sujetan a esa restricción. Ahora bien, usando esta misma palabra en el contexto matemático y su relación con otros conceptos vamos a solicitar que investigues el significado del símbolo ∞, cual es su nombre, los personajes a los que se les atribuye el uso de este símbolo y para que se utiliza, así como también cual es la relación que existe con la palabra límite.

Una vez que tengas recopilada la información, entonces podemos proceder a la segunda parte de la explicación. En el siguiente espacio escribirás un resumen acerca de todo lo que investigaste al respecto.

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Ahora bien, una vez que has escrito tu explicación, puedes tener una idea mas o menos aproximada que te permita contestar las siguientes preguntas. 

El universo de que tamaño es?, es finito o infinito, porque?.



Menciona algunos ejemplos de cosas u objetos que tengan o sean infinitos

Puedes observar que este concepto de limite tiene sus particularidades para poder entender su significado, sobre todo cuando se trata de asuntos relacionados con matemáticas.

En particular podemos decir que para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Y esto que significa? Si ponemos atención detenidamente y regresamos a analizar con detalle esta definición así como los ejemplos que se han citado, entonces podemos preguntarnos como es que puede entenderse que un limite es una aproximación?, y que esta cantidad que se obtiene se logra a través de un proceso infinito?.

Es decir aquello que es una operación infinita da en algunos casos un resultado finito, esto parece en primer lugar algo difícil de aceptar o entender, pero resulta ser cierto, y para ello vamos a poner algunos ejemplos adicionales.

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Ejemplo 1. Imagina como el caso que ya se ha visto anteriormente que tienes un listón que mide ½ metro, luego lo cortas a la mitad y se lo sumas al ½ que ya tienes, es decir: ½ + ¼ = ¾ = 0.75, luego vuelves a repetir el proceso, cortas el ¼ de listón a la mitad (obtienes 1/8) y se lo sumas a la cantidad que ya tenías, esto es: ½+ ¼ +1/8 =0.875, y repites el proceso, ahora entonces tienes 1/8 a la mitad, que es 1/16 y lo sumas, Esto es: ½+ ¼ +1/8 + 1/16= 0.9375, y las preguntas que resulta evidente hacer es:

-

A que cantidad vas a llegar en la suma si esto lo haces muchas veces? , puedes hacer mas sumas para averiguar el resultado?

-

Cuantas veces puedes realizar este proceso? Existe una ultima cantidad que exista para obtener el resultado?

-

Las sumas que se están realizando corresponde a un proceso finito o infinito?

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-

El resultado que se obtendría sería una cantidad finita? Porque?

-

Que concluyes de este ejemplo? Anota tu explicación.

Ejemplo 2: Ahora analiza la siguiente expresión: Y continúa la siguiente tabla con los valores que se solicitan Valor de n Valor de n 1 2 2 2.25 4 2.44 5 2.48832 10 50 100 1 000 10 000 100 000

Las preguntas son ahora las siguientes:  A que valor crees que vas a llegar si continúas el proceso con valores mas grandes de “n” ?

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ 

Cual es el valor que obtienes?, escribe todas las cifras que resulte,



Investiga que numero es el que has obtenido, una pista es que esta cantidad se utiliza muy ampliamente en los logaritmos, y esta relacionada con el nombre de un Matemático famoso.



El proceso que se hace se puede continuar de manera indefinida? Si, no porque?



El resultado corresponde a un valor finito o infinito?



Escribe tus conclusiones acerca de este ejemplo que has trabajado.

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Como puedes observar, en estos ejemplos mostrados y otros muchos mas que existen se pueden realizar cálculos de manera infinita, pero que su resultado corresponde a una cantidad finita, esto nos lleva a entender que de una manera metódica podemos aproximarnos a una cantidad a través de un proceso infinito, y podemos obtener un resultado conocido, bien definido. Ahora en el siguiente espacio piensa en dos ejemplos en los que el proceso que se realiza sea infinito pero el resultado que se obtenga sea finito. Explica con detalle cada caso y lo compartes con tus compañeros a ver si existen coincidencias de los que ellos proponen.

Caso 1.

Caso 2

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Actividad adicional.

Investiga el método exhaustivo o de agotamiento de Eudoxio o Eudoxo, de Cnido para el calculo de área del circulo. Explica en el siguiente espacio en que consiste y su resultado.

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Con estos ejemplos mostrados, podemos ahora enfocarnos ya con mayor detalle a nuestro tema de estudio desde el punto de vista de la asignatura, es decir el calculo de limites, que como podrás ver no resulta complicado, sin embargo es importante que pongas atención para revisar los procedimientos aplicados y la forma de llegar a los resultados para que una vez estudiados los ejemplo puedas aplicar procedimientos en la solución de casos que el profesor proponga.

El concepto de límite se explica y define desde diferentes perspectivas en los libros de cálculo. Se habla por ejemplo del límite de una sucesión (como ya se explicó), o bien del límite de una variable. A continuación se describen algunas situaciones más que permiten entender matemáticamente este concepto.

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DEFINICIÓN.

Dados algunos ejemplos anteriores sobre el tema, procedemos a citar una definición de limite respecto de una función, se dice que esta es continua cuando se encuentra definida en todos y cada uno de los puntos del intervalo donde se estudia, es decir que para cada valor de “x” siempre existe un valor de “y”. Por otra parte se dice que una función es discontínua si para algún (os) valor (es) de “x” no existe valor de “y”. Para que una función sea continua se deben cumplir las tres condiciones siguientes:

es importante mencionar, que cuando una función no se encuentra definida para un valor dado “a”, pero el límite existe, se dice entonces que la función tiene una discontinuidad evitable. Por ejemplo la función

no está definida en x= 0, y por lo tanto es discontínua en este punto.

La observación en forma grafica es muy importante para poder comprender el concepto de límite, por ello es que la grafica de esta función se observa a continuación.

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Ahora respecto a la relación de continuidad con el concepto de límite. Podemos decir como se ve en la grafica que a medida que los valores de “x” se van aproximando a “cero”, ya sea por la izquierda o por la derecha, “y” se va haciendo cada vez más grande, de manera que en términos matemáticos escribimos:

esto significa que: como “el límite cuando x tiende a cero” es igual a infinito, es decir no hay límite, entonces la función es discontínua en este punto como en efecto se puede comprobar en la grafica. Es decir no hay un valor definido para (x=0), porque el infinito no es un valor conocido .

conclusión: la función es discontinua en x=0 nota: se recuerda que al dividir cualquier cantidad entre cero, el resultado es ∞

Ejemplo. Demostrar que la función

tiene una discontinuidad evitable en x=2.

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Verificamos la condición 1): definida

es decir calculamos f (2) = 2 2 – 4 = 0

..... se observa que no está

2–2 0 por lo tanto como no se cumple el primer criterio, entonces no es continua en x=2, sin embargo al calcular el límite cuando “x tiende a 2”, haciendo previamente una factorización en el numerador resulta:

que como puede comprobarse en la grafica el resultado corresponde en efecto a 4

También podemos comprobar en una tabla que al asignar valores un poco menores y un poco mayores a “2”, que el resultado del límite cuando “x tiende a 2” se obtiene como se ha dicho 4.

Valores de “x” 3 2.6 2.4 2.3 2.1

X+2 3+2 = 5 2.6 + 2 = 4.6 2.4 +2= 4.4 2.3+ 2= 4.3 2.1+2= 4.1

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Conclusión: la función tiene una discontinuidad evitable en (x=2), ya que la función no está definida en este punto, pero el límite existe. Por medio de estos dos ejemplos se proporciona una breve explicación sobre la importancia de los límites en el estudio de las funciones; Este concepto a su vez es esencial en la definición de la derivada

CALCULO DE LÍMITES. Se ha visto hasta el momento el concepto de límite con respecto a su relación con algunos temas del cálculo diferencial (sucesiones, series, y continuidad), pero la aplicación que puede considerarse como primordial para propósitos de este curso es en la definición de derivada que se verá a detalle más adelante.

Como se ha podido ver, ya se han mostrado algunos ejemplos de procedimientos para el calculo de limites y continuaremos a resolver otros ejercicios adicionalmente.

En primer lugar, debemos considerar que en el cálculo de límites se aplican diversos procedimientos analíticos. Estos procedimientos son básicamente:

- La división entre la potencia de mayor valor - la factorización. - La regla de L’hoppital (que no se explicará hasta que se haya aprendido a realizar la operación derivada).

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EJERCICIOS RESUELTOS.

Calcular los siguientes límites: a). lim x + 3 x → 2

solución: según el teorema (2) de la suma de límites, el resultado es: lim (x +3) = lim ( x ) + lim (3) = (2) + 3 = 5 x →2 x→2 x →2

b).- lim (5x) Solución : aplicando el teorema (3) de la multiplicación tenemos: x→ 4 lim 5x = 5 lim (x) = 5 ( 4) = 20 x→ 4 x→ 4

c). lim (x2 - 4x +1) = 22 – 4(2) + 1 = 4 – 8 +1 = - 3 x→ 2

d). lim (x2 +9) = 32 +9 = 18 = 3 x →3 x+3 3+3 6

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EJERCICIOS PARA RESOLVER Encontrar los límites siguientes: 1. lim (3x –2) x → -1

2. lim (4x 2 + 3x – 5) x→1

3. lim (x 2 - 9) x → -3 (x +3 )

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ 4. lim (x2 – 1) x → -1 (x +1 )

(aplicar un procedimiento de simplificación)

LIMITES INFINITOS. De los ejemplos anteriores se observa que en cada uno se obtuvo un resultado, sin embargo no debe esperarse que siempre se presente esta situación, ya que en algunos casos deben realizarse algunas transformaciones algebraicas para obtener la solución correcta :

Recordar el ejemplo de

Es común que al estudiar el límite de funciones de la forma f(x) , se llegue a un resultado como 0 ,o bien g(x) 0 que se conocen como formas indeterminadas.

∞ ∞

Debe aclararse que el hecho de que se tenga un resultado como 0 , 0 no significa que el resultado sea cero, sino que existe una indeterminación y debe emplearse un procedimiento mediante el cual se busque eliminar dicha indeterminación y obtener la solución correspondiente. A continuación se proporcionan algunos ejemplos de límites e indeterminaciones con su respectivo resultado. 1).

c = ∞ 0

formas indeterminadas:

2). ∞=  c

3). c = 0 ∞

c= constante (diferente de cero)

0 , ∞ 0 ∞

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

A continuación se presentan algunos ejemplos de límites a manera de que se observe la aplicación del procedimiento.

Nota: debe aclararse antes de iniciar, que el infinito (∞ ) no es un límite.

EJERCICIOS RESUELTOS. Calcular los siguientes límites: a). Lim x- 4 x→ 4 x2 –x-12

solución al sustituir la variable tenemos: 4- 4 = 0 que nos conduce a una indeterminación, por lo que 42 – 4 –12 0 debemos aplicar un método para eliminarla, y en este caso factorizamos el denominador antes de tomar el límite, y después sustituimos así: lim x- 4__ = 1 = 1 = 1 x → 4 (x+3)(x-4) x+3 4+3 7

b). Lim x2 –25 x → -5 x +5

solución: -52 –25 = 0 Indeterminación, por lo que factorizamos el numerador, -5 +5 0

quedando: lim x2 –25 = (x+5)(x-5) = x-5, y el límite es: lim (x-5) = -5 –5 = -10 x → -5 x +5 x+5 x→ -5

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c). Lim x →2

x-1 = x-1 = 1 = 1 = 1 2 x – 1 (x-1) (x+1) x+1 2+1 3

d). lim 2x +3 = ∞ x→∞ 4x -5 ∞

que representa una indeterminación

por lo que ahora como no podemos factorizar ni numerador o denominador, lo que haremos es dividir cada término entre la variable de mayor potencia que en este caso es “x”, y simplificamos:

lim 2x +3 x→∞ 4x -5

recordando que: constante = 0 ∞ e). Lim x→∞

2x3 solución: ∞ que es una indeterminación. x2 +1 ∞

dividimos entre la mayor potencia que es “x3” y simplificamos:

y por lo tanto el límite no existe.

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EJERCICIOS PARA RESOLVER. Calcule los siguientes límites y compara tus resultados con los compañeros, observa su procedimiento y en caso necesario verifica que sea correcto el resultado. 1). Lim 7 – 4x x→∞ 5-2x

2). Lim 4 - x2 x → -2 2+x

3.- lim x →1

x2 + x –2 (x-1)2

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DEMOSTRAR LOS RESULTADOS DE LOS SIGUIENTES LÍMITES.

Lim 3x –2 = 1 x → 9x+7 3

lim 6x2 +2x +1 = 1 x→ 6x2 –3x+4

Lim x2 –81 = -18 x → -9 x +9

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Lim t→ 0

4t2+3t+2 = -1 t3+2t-6 3

Lim x2+5x+6 =  , no hay límite. x→ x+1

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

LA DERIVADA. El cálculo se fortaleció a raíz de cuatro clásicos problemas sobre los que los matemáticos europeos trabajaron durante el siglo XVII. Estos problemas fueron: (1) El problema de la recta tangente. (2) El problema de la velocidad y la aceleración. (3) El problema de los máximos y mínimos. (4) El problema del área.

Conceptos básicos. Derivada de una función

El concepto de derivada no implica un término difícil de comprender, dado lo que ya se ha explicado al inicio del curso en cuanto a sucesiones, límites y la misma derivada que son términos intrínsecamente relacionados entre sí. Explícitamente tenemos que: dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x. Esto es, dada una función y = f (x), si hallamos su derivada se obtiene una nueva función llamada derivada de la anterior. Es decir: función : y = f (x)

Operación derivada: dy dx

Función derivada: y’ = f ’(x)

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ El procedimiento para obtener dicha derivada se llama “derivación”.

Por otro lado es importante mencionar que: para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto. Para representar la derivada de una función se utilizan los símbolos: y', f '(x) y es muy importante darse cuenta que en ésta notación:

“

” es un símbolo y no una fracción.

Los otros símbolos que también se usan para denotar una derivada fueron introducidos por algunos matemáticos que también hicieron aportaciones muy importantes a esta ciencia del cálculo.

La notación

de la derivada, se llama notación de Leibniz. quien la utilizó para indicar

simbólicamente el paso al límite de

cambiando

por d.

Trabajo de investigación. En algunas fuentes como internet, o libros investiga cuales son las notaciones que se han usado para las derivadas por los diferentes matematicos, y completa la siguiente tabla.

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matematico

(nombre completo)

Notación de derivada

Leibniz dy/dx Newton

Cauchy

Lagrange

Jacobi

una vez visto algunas ideas básicas acerca de la derivada, procedemos a explicar el proceso a través del cual se obtiene la derivada de una función.

Para hallar el resultado de la función derivada basta con aplicar la definición del concepto derivada que es: La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. Matemáticamente se representa por:

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Hay una fórmula que se conoce como “regla general ó de los 4 pasos” para obtener dicha derivada de acuerdo con la definición dada anteriormente. La aplicación de esta fórmula se observa a continuación, hay que poner espacial atención a cada uno de los pasos.

EJEMPLO. Obtener por medio de la definición, la derivada de la función y = x2 PASO 1 : se sustituye en la función x por “x + Δx” , como también y por “y + Δy”. PASO 2 : se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene incremento de la función”.

Δy (que es el

PASO 3 : se divide Δy (incremento de la función) entre Δx (incremento de la variable independiente). PASO 4 : se calcula el límite del cociente cuando Δx “tiende” a cero, y el límite que se ha obtenido es la derivada que se estaba buscando.

Explicamos un ejemplo; es decir

MATEMÁTICAMENTE: Sea la función y= x2 Paso 1: suma de incrementos: Y + Δy = ( x + Δx)2 = x2 + 2x Δx + Δx

2

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Paso 2: resta de la función: Y + Δy = x2 + 2x Δx + Δx y

2

= x2____________ Δy = 2x Δx + Δx 2

Paso 3 división entre el incremento de la variable independiente: Δy = 2x Δx + Δx2 Δx Δx

es decir:

Δy = 2x Δx + Δx2 Δx Δx Δx

o sea:

Δy = 2x + Δx Δx

Paso 4: calculo del límite cuando Δx tiende a cero: Lim Δ x→0

Δy = lim (2x + Δx) Δx Δ x → 0

=

lim (2x + 0) = 2x Δx→ 0

Por lo que finalmente La función derivada es :

Ahora veamos gráficamente el resultado obtenido. Sabemos que la grafica de la función a derivar y = x2 es una parábola. Asimismo la grafica de la función derivada f ´(x) o bien

es una recta, que observamos a continuación.

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Podemos interpretar con estos datos como se ve en la figura, que la derivada representa una recta secante, la cual al tomar el límite cuando Δ x 0 , se viene a transformar en una recta tangente debido a que como se ha de recordar del tema de geometría analítica, el cociente que estamos analizando: Δ y Δx

es una diferencia de coordenadas y2 – y1 que representa como ya sabemos x 2 – x1

La pendiente “m” de una recta.

Ahora bien, si nos proponemos sustituir el valor de x=3 en la función derivada nuestro resultado es:

es decir queda: m= 6 que viene a ser el valor de la pendiente de la recta que pasa por este punto.

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SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DE LA DERIVADA. Finalmente podemos concluir que la tangente en un punto de una curva se obtiene como límite de la secante en ese punto.

en la siguiente figura se observa el ejemplo resuelto: la función a derivar, la derivada y la recta tangente en el punto x=3

y = x2

Recta secante: Derivada: dy = 2x dx

Recta tangente: límite de la recta secante (derivada en x = 3).

Como hemos podido darnos cuenta, hemos llegado a definir matemáticamente y demostrar el significado de la derivada. Y esto fue lo que por mucho tiempo así como procedimos, según se dice es lo que llevó a Leibniz al descubrimiento del cálculo diferencial.

Otros matemáticos como por ejemplo Newton, definen la derivada desde otra perspectiva, con relación al cambio en las variables del movimiento de un cuerpo, lo que permite determinar la rapidez o posición de un objeto por medio de la aplicación de la derivada. Nosotros nos enfocaremos a usar desde la perspectiva geométrica de Leibniz su significado de este concepto fundamental del cálculo.

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Ejercicios propuestos para calcular derivadas por medio de la regla general. Escribe el procedimiento completo en forma ordenada y clara. Resuelva

derivada ( Resultado)

y = 2x2 - 2x + 7

y ’ = 4x – 2

y= x2 + 3x +7

y ’ = 2x +3

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Ejercicio adicional: Obtener y Representar gráficamente la derivada de la función: y= 4x2 – 5x +4

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La regla general para derivación es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de derivada, y es muy importante familiarizarse con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por consiguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales o fórmulas para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia. ( Es importante no solo aprender de memoria cada formula sino también poder enunciar en palabras la regla correspondiente ).

Actividad de investigación. La simbología y significado de la derivada es como se ha mencionado de acuerdo a la teoría propuesta de Leibniz, sin embargo, muy importante resulta conocer la perspectiva que desarrolla Newton desde el estudio de la física al publicar un famoso tratado llamado: Philosophiae naturalis principia mathematica por lo que en el siguiente espacio escribes un resumen de la influencia de este trabajo.

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FORMULAS DE DERIVACIÓN De acuerdo a las clasificaciones de funciones, se han agrupado estas formulas en: Algebraicas y Trascendentes (trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.). una vez que las hayas revisado y analizado, elabora un formulario para que lo tengas a la mano y lo uses cuando estés resolviendo los ejemplos propuestos por el profesor.

Derivadas Algebraicas: dc I.  0 .....la derivada de una constante es cero dx

II.

dx 1 dx

....... la derivada de “x” respecto de sí misma es igual a 1

III.

...... la derivada de una suma de funciones es

IV.

igual a la suma de las derivadas de cada función

d cv   c dv .... la derivada de una constante por la función es igual a dx dx

la constante multiplicada por la derivada de la función.

V.

 

d n x  nx n 1 dx

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VIII.

 

VI.

d n dv v  nv n 1 dx dx

VII.

d uv   u dv  v du dx dx dx

d u   dx  v 

v

du dv u dx dx 2 v

derivadas trascendentes: logarítmicas y exponenciales IX.

 

d u dv e  eu dx dx

dv d ln u   1 . du  dx X. dx u dx u

 

XI.

d u dv a  a v . ln a. dx dx

XII.

d log v   log e . dv dx v dx

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Derivadas trigonométricas (directas e inversas): XIII.

d senu   cos u. dv dx dx

XIV.

d cos u   senu. dv dx dx

XV.

d tan u   sec 2 u. dv dx dx

XVI d (ctg u ) = - csc2 u du dx dx XVII d (sec u ) = sec u . tg u du dx

XVIII

dx d (csc u ) = - csc u . ctg u du dx dx

A continuación se presenta una serie de ejercicios resueltos de derivadas, indicando las formulas que se emplean y el procedimiento usado. Es importante tengas una especial atención en la aplicación de las formulas, asi como también comprender los conocimientos de algebra que serán fundamentales para poder resolver posteriormente los ejercicios que se propongan.

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Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1. y = x4 Utilizando d (xn ) = nx dx d ( x4) = 4 ( x4-1 ) = dx

2. y = x3 Utilizando d (xn ) = nx dx d ( x3) = 3 ( x3-1 ) = dx

3. y = 3x6 Utilizando d (xn ) = nx dx

n-1

Obtenemos que:

4 x3

n-1

Obtenemos que:

3 x2

n-1

d ( x6) = 6(3) ( x6-1 ) = dx

Obtenemos que:

18 x5

cuando se tienen ejemplos de funciones en las que se tienen exponentes negativos, se aplica de manera semejante los procedimientos descritos como se observa a continuación:

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4. y = x -3 Utilizando d (xn ) = nx dx d ( -3x-3-1) = -3 ( x dx

n-1

-4

5. y = 4x -2 Utilizando d (xn ) = nx dx

Obtenemos que:

)=

n-1

d ( (-2)(4) x-2-1) = -8 ( x dx

-3x

-4

Obtenemos que:

-3

)=

-8x

-3

es importante mencionar que en el caso de resultados que se obtengan con exponentes negativos, hay que transformarlos a exponentes positivos, por ello primero debes tener en cuenta el conocimiento de este tema y se te sugiere practiques con los siguientes casos:

convertir los exponentes negativos a positivos mostrados. a) x - 3

d) x - 3

b) x - 2

e) x - 2

c) x - 4

f) x - 4

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

g)

2 x- 4

h) 3 x -1

i) 4 x -2

Continuando con la aplicación de formulas, entonces ahora podemos proponer algunos ejercicios para que los resultados obtenidos los escribas con exponentes positivos en caso de que el resultado haya sido negativo.

Integrate con otros 2 compañeros y resuelvan los ejercicios siguientes, Calcula la derivada de las siguientes funciones y comparen sus resultados para que posteriormente pasen a explicarlos a los demás. a) Y= x

d) y= 3 x-2

-4

b) y= x

e)

-3

y= 5 x-2

c) y= x -2

f) y=

2 x –4

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

d) y= 3x

-5

e)

y= 5 x-2

f) y=

-2x-3

cuando se tienen casos en existen términos radicales, entonces primero se transforman los radicales a exponentes fraccionarios y se procede posteriormente a determinar la derivada como se ve en los siguientes ejemplos.

Calcula la derivada de la función: √ Primero convertimos la expresión radical a y= x 1/6 luego Utilizando d (xn ) = nx dx d (x1/6 ) = 1/6x dx

1/6-1

n-1

Obtenemos que:

= 1/6X -5/6 = 1 6X5/6

AHORA PRACTICA CALCULANDO LA DERIVADA CON LOS SIGUIENTES EJEMPLOS Y COMPARA TU PROCEDIMIENTO Y RESULTADO CON LOS DEMAS COMPAÑEROS.

A)

√

B)

√

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Pasemos a hora a la aplicación de otra formula:

6. y = 2x Utilizando d (cx ) = c Obtenemos que: dx d ( 2x) = 2 dx

7. y = -1/2 x Utilizando d (cx ) = c Obtenemos que: dx d ( -1/2x) = -1/2 dx Calcula ahora las derivadas de las siguientes funciones: a) y= -3x

d) y= -1/2 x

b) y= -3/4 x

e) y= 3/2 x

c) y= 2/5 x

f) y= 5/3 x

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

SI SE TIENEN CASOS EN DONDE HAY VARIOS TERMINOS EN LA FUNCION A DERIVAR, ENTONCES LA FORMULA QUE SE APLICA, ES COMO SE MUESTRA A CONTINUACION: y = 6 x2 + 3x – 1 Utilizando d (u+v-w) = du + dv – dw dx dx dx dx

Obtenemos que:

= d ( 6x2 ) + d ( 3x ) – d ( 1 ) =6( 2x2-1 ) + 3( 1 ) – 0 = 12x + 3 dx dx dx PUEDE VERSE QUE EL TERCER TERMINO DE LA EXPRESION, ES UN VALOR QUE NO TIENE VARIABLE, ES DECIR ES UN TERMINO CONOCIDO COMO CONSTANTE, POR ELLO COMO LA FORMULA INDICA, LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A CERO, POR ELLO SE ELIMNA. LO MISMO SUCEDE EN EL SIGUIENTE CASO DONDE EL CUARTO TERMINO NO TIENE VARIABLE Y POR CONSECUENCIA SU DERIVADA ES CERO.

y = 6x3 – 5x2 + x + 9 Utilizando d (u+v-w) = du + dv – dw dx dx dx dx

Obtenemos que:

= d ( 6x3 ) - d ( 5x2 ) + d ( x ) +d ( 9 ) dx dx dx dx =6 ( 3x3-1 ) -5 ( 2x2-1 ) + 1 + 0= 18x2 – 10x + 1

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

PRUEBA AHORA TUS CONOCIMIENTOS Y CALCULA LA DERIVADA DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES: A) y = -3x2 +4x3 +2

D)y = -3x2 +4x3 +2

F) y=-3x

-2

+4x

1/2

B) y = 2x 4 – 5x3 + 2x + 1

E) y = 7x5 – 5x4 + 2/3x

+1/5

G) y=-2x

-3

+1/2x -1/2 +1/4x

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Ahora procedemos a resolver ejercicios de la formula de la derivada del producto y cociente de 2 funciones, hay que poner especial atención al procedimiento con sus respectivos pasos. Ejemplo 1 y = ( x3 – 7) (2x2 + 3) Utilizando d (uv ) = u dv + v du dx dx dx

Obtenemos que:

dy =( x3 – 7 ) d ( 2x2 + 3 ) + ( 2x2 + 3 ) d ( x3 – 7 ) dx dx dx

luego procedemos a realizar las operaciones indicadas quedando: ( x3 – 7 ) ( 4x +0 ) + ( 2x2 + 3 ) ( 3x2 -0 ) = 4x4 - 28x + 6x4 + 9x2 = 10x4 + 9x2 - 28x que es la derivada

Ejemplo 2 Calcula la derivada de: Y= (x2)( 3x4 –7x) Utilizando d (uv ) = u dv + v du dx dx dx

Obtenemos que:

d (uv)= ( x2 ) d ( 3x4 –7x ) + ( 3x4 –7x ) d ( x2 ) dx dx dx

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ = ( x2 ) ( 12x3-7 ) + ( 3x4 –7x ) ( 2x ) = 12x5 – 7x2 + 6x5 – 14x2 = 18x5 – 21x2

Ejemplo 3 y = ( x3 – 5x +9) (2x + 1) Utilizando d (uv ) = u dv + v du dx dx dx

Obtenemos que:

d (uv ) = ( x3 – 5x +9 ) d ( 2x + 1 ) + ( 2x + 1 ) d ( x3 – 5x +9 ) dx dx dx = ( x3 – 5x + 9 ) ( 2 + 0 ) + ( 2x + 1 ) ( 3x2 – 5 + 0 ) = 2x3 – 10x + 18 + 6x3 + 3x2 – 10x - 5 =

8x3 + 3x2 – 20x + 13

Practica ahora para que aprendas el procedimiento que se ha mostrado, revisa y compara tus soluciones con los demás compañeros. Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) Y=(7x2 -4x)(2x+8)

b) Y=(x3 – x)(x2+2x)

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

d) Y=(2x5 + 4x)(5x3+3)

f) Y=(-2x2+x)(3x+1)

h) Y=(x4+x)(x-4)

e) Y=(2-x)(-x+1)

g) Y=(-2x2+x)(3x+1)

i) Y=(-3x2+2x)(3x+6)

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Ahora se procede a la aplicación de la formula VIII de la derivada de un cociente de 2 funciones: Ejemplo 1: y = 8 – x +3x2 x – 9x Utilizando d u dx v

= v du – u dv Obtenemos que: dx dx 2 v 2 ( x – 9x ) d ( 8 – x +3x ) - ( 8 – x + 3x2 ) d ( x – 9x ) dx dx 2 (x – 9x) = ( x – 9x ) ( -1 + 6x ) - ( 8 – x + 3x2 ) ( 1 - 9 ) (x – 9x)2

= -x + 9x + 6x2 - 54x2 – 8 + x – 3x2 + 72 – 9x + 27x2 (x – 9x)2 = -24 x2 + 64 = -24 x2 + 64 = 64 –24x2 (x – 9x)2 x2 – 18x2 + 81x2 64x2

Ejemplo 2 y = 1 - x3 x2 + 4 Utilizando d u dx v

= v du – u dv dx dx 2 v

Obtenemos que:

87

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ dy= ( x2 + 4 ) d ( 1 - x3 ) - ( 1 - x3 ) d ( x2 + 4 ) dx dv dv 3 2 (v +1) =( x2 + 4 ) ( 0 – 3x2 ) - ( 1 - x3 ) ( 2x + 0 ) ( v3 + 1 )2 = -3x4 – 12x2 – 2x + 2x4 ( x2 + 4 )2 =

- x4 +12x2 -2x (x2 + 4)2

Caso 3: y = 10 2 x + 1 Utilizando d u dx v

= v du – u dv dx dx 2 v

Obtenemos que:

dy= (x2 + 1) d (10) - (10) d (x2 + 1) dx dx dx 2 2 (x + 1) =( x2 + 1) ( 0 ) - (10) (2x + 0 ) (x2 + 1)2 = - 20 x 4 x + 2x2 + 1

= 0 – 20x (x2 + 1)2

88

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

ahora es momento de que practiques esta formula en los siguientes casos mostrados, después que hayas terminado compara con tus compañeros las soluciones: a)

b)

89

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ c)

d)

e)

90

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

procedemos a mostrar la aplicación de la formula numero VI: Ejemplo 1: calcula la derivada de la función: y = (x2 + 4x ) 3 Utilizando d (vn ) dx

= nv n-1 dv dx

Obtenemos que:

dy= 3 ( x2+4x) 3-1 d ( x2 +4x)2 dx dx = 3( x2 +4x) 2 ( 2x +4 ) =

Ejemplo 2: Utilizando d (vn ) dx

y = (8x -7)

(6x +12)( x2 +4x) 20

-5

= nv n-1 dv Obtenemos que: dx

dy= -5 ( 8x – 7 ) -5-1 d ( 8x – 7 ) dx dx

-6

= -5 ( 8x – 7 )-6 ( 8 ) que al realizar las operaciones y pasamos a exponente positivo queda: =

-40 ( 8x – 7 ) –6 = =

- 40 ( 8x – 7 ) 6

Observa ahora que en el siguiente ejemplo la variable independiente es “t”, es decir la derivada se calcula respecto a “t”, y se trabaja igual, observa el procedimiento, nota cual es la notación de la derivada:

91

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Ejemplo 3: calcula la derivada de: y = (4t5 – 3t3 + 2t )-2 Utilizando d (vn ) dx

= nv n-1 dv Obtenemos que: dx

dy= -2 ( 4t5 – 3t3 + 2t ) -2-1 d ( 4t5 – 3t3 + 2t ) dt dt = -2 ( 4t5 – 3t3 + 2t )-3 ( 20t4 – 9t2 + 2 ) = (-40t4 + 18t2 – 4)( 4t5 – 3t3 + 2t ) -3 que de igual manera una vez realizadas las operaciones y pasando el exponente negativo a positivo resulta:

=

-40t4 + 18t2 - 4 (4t5 – 3t3 + 2t )3

4. y = (4 – 9x)1/3 Utilizando d (vn ) dx

= nv n-1 dv Obtenemos que: dx

dy= 1 (4 – 9x )1/3 –1 d ( 4-9x ) = 1 (4 – 9x)–2/3 ( -9 ) dx 3 dx 3 = -9 ( 4 – 9x )–2/3 = -3 3 (4 – 9x)2/3

=

3

-3 (4 – 9x)2

92

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

AHORA ESTAS EN POSIBILIDAD DE VERIFICAR SI HAS COMPRENDIDO LA APLICACIÓN DE LA FORMULA, RESOLVIENDO LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, CUANDO HAYAS TERMINADO LOS MUESTRAS AL PROFESOR PARA QUE LOS REVISE.

Y= (5x – 4)2

Y= (6x – 3)2

Y= (-3x +1)3

Y= (5x – 2) -2

Y= (5x + 2) 1/2

Y= (3x – 4) -2/3

Y= (6x +1)2/3

Y= (4x – 3) - 1/3

93

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

AHORA EN LOS SIGUIENTES EJEMPLOS RECUERDA QUE PRIMERO DEBES TRANSFORMAR LA EXPRESION EN EXPONENTE PARA PODER PROCEDER A CALCULAR LA DERIVADA.

√

√

√

√

√

√

94

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

EJERCICIOS de derivadas y graficas: Aunque es importante aprender a resolver derivadas, también se requiere para tener una comprensión eficiente del tema, el poder comprender el significado y la representación geométrica ya que ello será de gran utilidad en los siguientes temas de aplicación de la derivada, por ello en los siguientes casos, se explica el resultado de la derivada de una función y su representación grafica.

Hallar la derivada de las siguientes funciones y representa su grafica.

a) y = 3x2– 4x + 8 su derivada es: dy = 6x -4 dx

ahora sus graficas respectivas se representan en la siguiente tabla:

95

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Función: Primitiva: Y= 3x2– 4x + 8

grafica

Derivada: dy = 6x -4 dx

b) y = 2x + 1 su derivada es: dy = 6x -4 dx Función: Primitiva: Y= 2x+1

grafica

96

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Derivada: dy = 2 dx

Ahora es momento que practiques de manera integral tus conocimientos de graficacion de funciones, así como lo aprendido de cálculo de derivadas en los siguientes ejemplos.

De los ejemplos que se muestran calcula la derivada de las funciones asi como realiza su grafica de la función primitiva de cada ejercicio con su respectiva derivada. a) Y=3x3-7x2+3

GRAFICAS:

97

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

b) Y=-5x3-4x2-2x

GRAFICAS:

c) Y=x4-2x2+x

d) Y=-2x3-2x2+6x-18

GRAFICAS:

GRAFICAS:

98

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

e) Y=1/4x3+1/5x2+3

f)

Y=-3/5x2+2x+1

g) Y=-2x+1

GRAFICAS

GRAFICAS

GRAFICAS

99

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

derivadas logarítmicas y exponenciales. Ejercicios resueltos.

Observación: habrá que tener especial atención en los ejemplos 2,4, 6 y 7 donde se han empleado las propiedades de los logaritmos. HAY QUE RECORDAR QUE LA FORMA DE EXPRESAR UN LOGARITMO ES EN EL CASO DE: 

Logaritmo natural: se escribe: Ln, por ejemplo: algunas funciones como: y= Ln 3x, y= Ln x y= Ln (2x-1)



para el caso de logaritmos de base 10 u otra se entenderá que se usa un subíndice, sin embargo de no escribir el subíndice, se dará por hecho que se trata de un logaritmo de base 10 como por ejemplo:

y= Log (x+2 y= Log (1/2x)

una vez explicado y aclarado estos conceptos procedemos a resolver algunos ejemplos de la aplicación de formulas para la derivada de funciones logarítmicas y exponenciales, hay que tener en cuenta lo que se había dicho anteriormente de tener el formulario de derivadas a la mano para que se facilite la observación de la formula.

100

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ ejemplo: Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1. y = Ln (2x + 1) Utilizando d ( ln v ) = 1 dv Obtenemos que: dx v dx dy = ___1__ dx (2x + 1)

2. y = Ln x3

d ( 2x + 1 ) = ___1__ ( 2 ) = 2 dx (2x + 1) 2x + 1

que escribimos como: y = 3 ln x

Utilizando d ( ln v ) = 1 dv y la derivada del producto, Obtenemos que: dx v dx dy = 3d ( Ln x ) = (3) 1 d( x) = = 3 (1)= 3 dx dx x dx x x

3. y = Ln (2x3 –3x2 + 4) Utilizando d ( ln v ) = 1 dv Obtenemos que: dx v dx dy = 1 3 dx ( 2x –3x2 + 4 ) =

1 3 ( 2x –3x2 + 4 )

d ( 2x3 –3x2 + 4 ) dx

( 6x2 – 6x + 0 ) =

6x2 – 6x ( 2x3 –3x2 + 4 )

101

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

4. y = log 2 x

que escribimos como y = log 2 – log x

Utilizando d ( log v ) = log e dx v dy = dx

dv Obtenemos que: dx

d (log 2) - d(log (x)) = log e d(2) – log e d(x) = 0 – log e (1) = - log e x dx dx 2 dx x dx x

5. y = log (4x – 3) Utilizando d ( log v ) = log e dx v dy = log e dx 4x – 3

dv Obtenemos que: dx

d (4x – 3) dx

=

4 log e 4x – 3

= 4 log e 4x – 3

(25 – 4x)1/2 = 1 Ln (25-4x) 2 Utilizando d ( ln v ) = l dv y la derivada de un producto , Obtenemos que: dx v dx 6. y = Ln

dy = 1 d(ln (25-4x) = 1 1 dx 2 dx 2 25-4x

=

d( 25 – 4x) = 1 (-4) = -4 dx 2(25-4x) 2 (25-4x)

-2 25-4x

102

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

7. log

(3x – x2)

1/2

= 1 log( 3x – x2 ) 2

Utilizando d ( log v ) = log e dx v

dv y la derivada de un producto, Obtenemos que: dx

dy = 1 d ( log (3x-x2) =1 log e dx 2 dx 2 3x –x2

d(3x –x2) = log e (3-2x) dx 2(3x-x2)

= (3-2x) log e 6x- 2x2

Funciones exponenciales: 8. y = e3x Utilizando d ( ev ) = e v dv Obtenemos que: dy = e3x d (3x) = e3x (3 ) = 3 e3x dx dx dx dx

9. y = 2 ex Utilizando d u dx v

= v du – u dv dx dx 2 v

dy = ex d ( 2 ) - 2 d ( ex ) = dx dx dx ( ex )2

Obtenemos que:

ex ( 0 ) – 2 ( ex ( 1 ) ) = -2ex = -2 e 2x ex

103

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ 10.

y =

e

5x

Utilizando d ( ev ) = e v dv Obtenemos que: dx dx dy = e5x d (5x ) = e 5x ( 5) = 5e 5x dx dx

11.

y = x2 e-x

Utilizando d (uv ) = u dv + v du dx dx dx dy = x2 d ( e-x ) + e dx dx

-x

Obtenemos que:

d ( x2 ) dx

= x2 ( e-x d ( -x ) ) + e -x ( 2x ) = x2 ( -e-x ) + e dx 2 -x = -x e + 2x e -x = e-x (- x2 + 2x )

12.

y =

-x

( 2x )

ex - 1 ex + 1

Utilizando d u dx v

= v du – u dv dx dx 2 v

Obtenemos que:

dy = (ex + 1) d (ex - 1 ) - (ex – 1 ) d (ex + 1 ) dx dx dx x 2 (e + 1 ) = (ex + 1) ( ex ) - (ex - 1 ) (ex ) = e2x + ex – e2x +ex (ex + 1)2 ( ex + 1)2

104

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

2ex

=

(ex + 1)2

13.

y = 83x

Utilizando d ( av ) = a v Ln a dv Obtenemos que: dx dx dy = 8 dx

14.

3x

Ln (8) d (3x ) = 8 3x Ln (8) ( 3) = 3(8 dx

3x

) Ln (8)

y = a 2x

Utilizando d ( av ) = a v Ln a dv Obtenemos que: dx dx 2x 2x dy = a Ln (a) d (2x ) = a Ln (a) ( 2) = 2(a 2x ) Ln (a) dx dx

15.

y = e (3x +2)

Utilizando d ( ev ) = e v dv Obtenemos que: dx dx dy = e3x +2 d (3x +2 ) = e (3x +2) ( 3) = dx dx

3e 3x +2

105

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

ahora es importante que practiques las derivadas de estas funciones y sus respectivas graficas en los siguientes casos:

Calcula la derivada de las siguientes funciones y representa las 2 graficas de cada caso completando la tabla .

FUNCION

DERIVADA

GRAFICAS

Y= Ln (3x-2)

Y= e-2x

Y= e-1/3 x

Y= Log (x-1)

106

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Y= Ln ( ½ X)

Y= Log (x)

Minicompetencia.

Integrate con otros 3 compañeros, elijan y resuelvan uno cada quien compara con tus compañeros de otros equipos el resultado. Lleven a que los revise el profesor. Y= e 3/2x

Y= -2e-3x

Y= Ln ( x -1)1/2

Y= log ( 2x +1)1/3

107

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Y= 2e

- 4x

Y= 3e 1/2x

Y= e1/3x

Y= Ln ( x -2)

Y= Ln ( 2x +1)1/4

Y= -2e -3x

Y= log ( 1/4x -2) 1/3

Y= - 4e-3x

108

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Y= 4e x

Y= Log ( 3x)

actividad de investigación. Elabora un resumen acerca de la historia de los logaritmos, sus aplicaciones y los personajes que hicieron aportaciones a esta área de la matemática y escribe tus conclusiones en el siguiente espacio.

________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ _______________________________________________________________

109

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Derivadas Trigonométricas Antes de proceder a la aplicación de las formulas relativas a las funciones trigonométricas, es igualmente importante como en los casos anteriores que recuerdes las características de este tipo de funciones para ello, se propone que primero realices unos breves ejercicios de las graficas y completes la tabla que esta a continuación para poder tener bien presente el tema que vamos a estudiar.

Completa la tabla de las funciones trigonométricas siguientes y contesta lo que se solicita:

Función trigonometrica

Grafica

Características (periodo, amplitud)

Y= sen x

Y= cos x

Y= sen 2x

110

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Y= - cos x

Y= 2 sen x

Y= 2cos 3x

Y = tang x

111

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Ejercicios resueltos. Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1. y = Sen 4x Utilizando d (sen u ) = cos u du dx dx

Obtenemos que:

dy= cos 4x d ( 4x ) = cos 4x ( 4 ) = dx dx

4 cos 4x

la grafica de la función se muestra a continuación.

La grafica de la derivada es la siguiente:

Es muy importante que analices el cambio de la grafica de la primera función y como se modifica en la derivada.

112

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

2.

S = tang 2t

Utilizando d (tang u ) = sec2 u du dx dx dS= sec dt

2

Obtenemos que:

2t d ( 2t ) = sec2 2t ( 2 ) = dt

3. y = sec 3x Utilizando d (sec u ) = sec u . tg u dx

du dx

2 sec2 2t

Obtenemos que:

dy= (sec 3x) ( tg 3x) d ( 3x ) = sec 3x tg 3x ( 3 ) dx dx =

3 sec 3x tg 3x

4. y = 3 cos 2x Utilizando d (uv ) = u dv + v du Obtenemos que: dx dx dx dy= 3 d(cos 2x) + cos 2x d (3) = 3(– sen 2x) d ( 2x ) + cos 2x (0) dx dx dx dx = -3 sen 2x ( 2 ) = -6 sen 2x

113

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ 5. y =

4 ( sec x )1/2

Utilizando d u dx v

= v du – u dv dx dx 2 v

Obtenemos que:

d y= ( sec x )1/2 d ( 4 ) - 4 d ( sec x )1/2 dx dx dx 1/2 ( ( sec x ) ) 2 = ( sec x )1/2 ( 0 ) - 4 1 ( sec x )1/2 – 1 d (sec x) 2 dx sec x = - 4 ( sec x ) 2

=

-2 ( sec x )

-1/2

(sec x tg x d ( x ) ) dxº sec x (sec x tg x ( 1 ) )

1/2

=

sec x

-2 tg x ( sec x ) 1/2

- 2 tg x sec x

6. y = x cos x Utilizando d (uv ) = u dv + v du dx dx dx

Obtenemos que:

dy= x d ( cos x ) + cos x d ( x ) dx dx dx = x ( - sen x d ( x) ) + cos x ( 1 ) dx = x ( - sen x ( 1) ) + cos x =

- x sen x + cos x

114

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

7. y = e

– 2t

cos t3

Utilizando d (uv ) = u dv + v du Obtenemos que: dx dx dx –2 t 3 dy= e d (cos t ) + cos t3 d (e –2 t ) dx dt dt = e –2 t

( - sen t3 d ( t3 ) ) + cos t3 ( e –2 t ) d ( –2t ) dt dt

= e –2 t

(- sen t3 ( 3 t2 ) ) + cos t3 ( e –2 t ( -2 ) )

= e –2 t (- 3 t2 sen t3 ) + cos t3 ( -2 e –2 t ) = - 3e –2 t t2 sen t3 - 2 e –2 t cos t3 = - e –2 t ( 3t2 sen t3 + 2 cos t3 )

En los siguientes ejemplos deberás investigar las formulas correspondientes y anotarlas en tu formulario, después revisar con detalle el procedimiento de cada caso.

22 y = arc tan (5x2) Utilizando d (arc tan u ) = du 1 Obtenemos que: 2 dx dx 1+u

dy= dx

d (5x2 ) 1 dx 1 +(5x2)2

=

10x 1 + 25x4

115

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

23 y = arc sec (3x) Utilizando d (arc sec u ) = du dx dx u

1 u2 -1

dy= d (3x) dx dx

1 = 2 3x 9x –1

1 3x (3x)2 -1

= 3

Obtenemos que:

3 3x 9x2 –1

EJERCICIOS PARA RESOLVER. Hallar la derivada de las siguientes funciones: y = sen (x +2)

y= csc ( ex –1)

y= tan (5x)

y= arc sec (2x –3)

116

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ y= arc cos 4x

y= cos (1/2x +3)

y= 2 cos x

y = 3sen (x )

y= e

(cos 3x)

y= 3 sen 2x

y= x2 sen (4x)

y = 2 cos x

de los ejemplos anteriores elige y resuelve adicionalmente otros 2 casos con sus respectivas graficas de la función primitiva y su derivada.

117

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ CASO 1: FUNCION:

DERIVADA:

GRAFICAS:

118

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ CASO 2: FUNCION:

DERIVADA:

GRAFICAS:

119

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

ACTIVIDADES DE REFUERZO. PARA QUE PUEDAS DETERMINAR TU NIVEL DE CONOCIMIENTOS QUE HAS OBTENIDO, ES CONVENIENTE QUE PRACTIQUES LO SUFICIENTE YA QUE EN EL SIGUIENTE CAPITULO SOLO SE HABALARA YA DE LA UTILIDAD DE LAS DERIVADAS PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS

Elige algunos ejemplos de cada sección y en tu libreta obtener la derivada de las siguientes funciones, escribiendo el procedimiento completo en forma clara y ordenada. Sección 1: a) Y=2x7 b) Y=-3x5 c) Y=1/3 x3 Sección 2: d) Y= 2x-4 e) Y= -3x 1/6 f) Y= -3x-1 g) Y= ½ x-1/8 h) Y= -5x -1/5 i) Y= -4x2/3 j) Y= 2x -2 k) Y= -3x 1/2 l) Y= -6x 1/3 m)

√

n)

√

o) p)

√ √ √

120

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

sección 3: r) Y=-4x2+3x s) t) u) v) w) x) y)

Y=7x3-6x2+4x Y=-4x3-6x2-x Y=2x4-8x2+4x Y=-4x6-3x5+7x4-6x3-3x2+6x-18 Y=1/4x3+1/5x2+3 Y= 3/5x3+5x+7 Y= 2x3-6x2+9x-2

A) Y= 3x-2- x -3 B) Y= 2x -2+ 4x-1 -1 C) Y= -3x-4+ 5x-3 –x-4+6 D) Y= 10x-2+ 2x3 –2x+5 F) Y= -1/2x - 3+ 6x - 2 –3x - 4 +7x E) Y= 1/3x -3 + 4x - 2 F) Y= 1/4x-2 + 1/2x - 4 G) Y= 1/2x -4 + 1/3x -6 H) Y= -1/2x-4 + 1/4x -2

Sección 4: aa) Y=-3x(-2x+1) bb) Y=-4x2(-x+7x2) cc) Y= 2x3(4x2+6x) dd) Y=-2x3(5x3+12) ee) Y=(2-3x)(-4x+1) ff) Y=(-x2+2x)(3x+1) gg) Y=(x2-6x)(3x3+1) hh) Y=(-5x3+4x)(-4x2-5x) ii) Y=(-4x2+x-1)(7x2-3) mm) Y=(x3+4x2-8)(6x2-6x) nn) Y= (3x3- 9x)( 5x- 1) pp)Y= (x2+6x)( 8x3+ 7x2) qq)Y= (2x+3x4)( 3x3+ 2x2)

121

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ rr) Y= (-2x4-x)( 4x2+ 7x) ss) Y= (x-4x2)( 2x+ 6x3) tt) Y= (x3-2x)( 5x4+ x)

sección 5: Ejercicios de derivadas del cociente de una función: uu) Y= x 2 2X-1

vv) Y= 3x2-2 X +4

xx) Y=

2x+3 3X2 -2

Sección 6: 11) Y= (3x – 4)2 22)Y= (3x – 4)-3 33) Y= (4x +1)-4 44) Y= (3x – 2) -6 55) Y= (2x – 1) 2 66) Y= (4x + 2) ½ 77) Y= (8x – 4) -2 88) Y= (6x +1)2/3 99) Y= (4x – 3) - 1/3

√ √ √ √ √ √

122

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Sección 7: DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES. B1) Y= 2e2x B2) Y= -4e-2x B3) Y= 2e4x B4) Y= 2e1/2x B5) Y= -2e8x B6) Y= -e-3x B7) Y= - e1/3x B8) Y= log ( x -2) B9) Y= log ( 2x -1) B10) Y= log ( 2x -2) B11) Y= Ln ( x2 -x) B12) Y= Ln ( 2x +1) B 13) Y= Ln ( x -3) B14) Y= Ln( 3x -2)

Sección 8: Funciones trigonométricas: calcula la derivada de las siguientes funciones: C1) Y= sen 2x C2) Y= cos 3x C3) Y= 3 cos 2x C4) Y= 2 sen x C5) Y= tang 3x C6) Y= 2 cos x C7) Y= -2 sen x C8) Y= 3 sen 2x C9) Y= sec 3x C10) Y= csc 2x

123

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN.

Derivadas de orden superior: Una función f(x) , tiene una derivada f´(x) conocida como primera derivada, la cual como ya se ha mencionado se escribe como: siendo a su vez esta nueva expresión una nueva función a la cual también se le puede calcular su derivada, llamándose entonces segunda derivada, y escribiéndose como f´´(x), o también EN LA SIGUIENTE TABLA SE MUESTRAN funciones donde se presenta la primera derivada y su segunda derivada:

Función primitiva

Primera derivada

Segunda derivada

Y= x3

Y= x2

Y=2 x-3

Y= 3x2 – 4x + 5

Y= 4x2

Y= e2x

124

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Y= e-3x

EJERCICIOS PARA PRACTICAR: Completa la siguiente tabla con las derivadas que faltan Primera derivada

Segunda derivada

Función primitiva

Y= x-2

Y= x4

Y=4x1/2

Y= -3x2 +5x + 3

Y= 6x1/3

Y= e -2x

Y= e-4x

125

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Entonces se puede definir que dada una función f(x), se obtiene a partir de un primer proceso una nueva función que es la derivada, denotándose como f’(x). A su vez se denomina segunda derivada f’’(x) de la función f(x) a aquella que resulta de derivar por segunda vez ésta primera. A continuación se muestran algunos ejemplos donde se observan los procedimientos aplicados.

Ejemplo 1. Obtener la derivada de la función y = 5x2 +3x +1 la primera derivada es: dy = 10x + 3 dx ahora la segunda derivada es: d2

y = d (10x + 3 ) = 10 dx2 d x por lo que la función con sus respectivas derivadas sucesivas son: función: y = 5x2 +3x +1 primera derivada : dy = 10x +3 dx segunda derivada: d2y = 10 dx2

126

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

resumiendo entonces una función tiene una ó mas derivadas que se denominan derivadas sucesivas o de orden superior. Estas derivadas se conocen como primera, segunda, tercera derivada,..... etc y su notación es: Primera derivada: y’(x) o bien dy dx Segunda derivada: y’’(x) o bien tercera derivada: y’’’(x) o bien

d2y dx2 d3y dx3

EJERCICIOS RESUELTOS: Hallar las segundas derivadas de las siguientes funciones. A) Y= x3 + 2x +4 La primera derivada es: dy = d( x3 +2x +1) = 3x2 +2 dx dx Y la segunda derivada es: d2y = d(3x2 +2) = 6x +0 = 6x dx2

127

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ B ) Y= Ln (5x2 +1) La primera derivada es: dy = d ln ( 5x2 +1) = 1 d (5x2 +1) dx dx (5x2 +1)

=

1 10x = 10x 2 5x +1 5x2 +1

Y la segunda derivada es: d2y = d 10x = (5x2 +1) d(10x) - 10x d(5x2+1) = (5x2+1)(10) – 10X(10X) dx2 dx 5x2 +1 dx dx ( 5x2+1)2 2 2 ( 5x +1) = 50x2 +10 - 100x2 = -50X2 +10 ( 5x2+1)2 ( 5x2+1)2

c) y = sen x3 primera derivada: dy = cos x3 d (x3) = cos x3 (3x2) = 3x2 cos x3 dx dx segunda derivada: d2y = d(3x2 cos x3 ) = 3x2d( cos x3 ) + cos x3 d(3x2 ) = 3x2 (-sen x3)(3x2)+cos x3 (6x) dx2 dx dx dx = -9x4 sen x3 + 6x cos x3

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

EJERCICIOS PARA RESOLVER Hallar las segundas derivadas de las siguientes funciones: Y = (2x3) ( x-2)

Y= e 3x

y= Ln (x2 –3x)

y= e

2x

primera derivada:

primera derivada:

primera derivada:

primera derivada:

segunda derivada:

segunda derivada:

segunda derivada:

segunda derivada:

129

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ y= sen 2x

y= (4 - x2)

primera derivada:

3

y= 3x4+5x2 -2x +1

primera derivada:

primera derivada:

segunda derivada:

segunda derivada:

segunda derivada:

y= cos 2x

primera derivada:

segunda derivada:

y= Ln (3x+2)

primera derivada:

segunda derivada:

130

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ y= cos (ex)

y= e

3x

primera derivada:

segunda derivada:

primera derivada:

segunda derivada:

Para reafirmar tus conocimientos, elige 2 ejemplos y Calcula la derivada segunda de la función indicada. a) Y= -2 cos x

b) Y= - sen 2x

c) Y= 3sen 2x

131

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

d) Y= 2 cos x

e) Y= 2 cos 3x

EJERCICIOS PARA PRACTICAR: Calcula la segunda derivada de las siguientes funciones y elabora sus graficas de cada función en el mismo plano cartesiano. Y= sen 2x GRAFICAS:

Y= 2 cos x

Y= sen 3x

GRAFICAS:

GRAFICAS:

132

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Practica tus conocimientos y Completa la siguiente tabla con las funciones que faltan:

Función primitiva Y = - sen x

Primera derivada

Segunda derivada

Y= cos x

133

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. Existe una gran cantidad de problemas en diversas áreas que se resuelven a partir del concepto de derivada, sin embargo nos enfocaremos en concreto a los siguientes: 1.- calculo de velocidades y aceleraciones ( Física) 2.- calculo de máximos y mínimos (trazado de curvas) 3.- cálculo de límites. A continuación observaremos la manera como se aplican los conceptos vistos de la derivada en la solución de problemas.

EJEMPLO. CALCULO DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UNA PARTÍCULA. Se sabe que el cambio de posición con respecto al tiempo representa una magnitud denominada velocidad, que de acuerdo con los conceptos ya vistos de cálculo escribimos como: v = ds , es decir : la velocidad representa la derivada (cambio) de la posición dt con respecto al tiempo (t). De manera similar, se denomina “Aceleración” a la variación de la velocidad (v) con respecto al tiempo, por lo que para calcular dicha magnitud se debe derivar la función velocidad. Esto es:

134

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ a= dv esto significa que la aceleración es la segunda derivada de la dt posición con respecto al tiempo, o bien es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo: a = d2s = dv dt2 dt Ejemplo: La posición de una partícula que se desplaza por una recta horizontal se puede determinar por medio de la ecuación s = t4 -6t3+ 12t2-10t +3 Determine: a).- la posición, b).- velocidad y c).- aceleración de dicha partícula cuando han transcurrido t = 4 segundos. SOLUCIÓN: a). La función que determina la posición de la partícula en cualquier instante “t” es: s = t4 -6t3+ 12t2-10t +3 (s: metros, t: segundos) lo que hacemos es sustituir “t=4 seg” en la ecuación para determinar la posición: s = t4 -6t3+ 12t2 -10t +3 = 44-6(4)3+12(4)2 -10(4)+3= 256-384+192-40+3= 27 mts. b). Proseguimos a calcular la velocidad, para lo que derivamos la función s = t4 -6t3+ 12t2-10t +3 , resultando: V=ds = d(t4 -6t3+ 12t2 -10t +3) = 4t3 –18t2+24t –10 dt dt ahora que conocemos la ecuación de velocidad procedemos a calcular cuando t=4 seg. V= 4t3 –18t2+24t –10 = 4(4)3-18(4)2+24(4)-10 = 54 mts/seg

135

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ c). finalmente obtenemos la aceleración derivando por segunda ocasión la función de la posición (o lo que es lo mismo derivamos la función velocidad): a= d2s =dv = d(4t3 –18t2+24t –10) = 12t2 – 36t + 24 dt2 dt dt ahora sustituimos cuando t=4 seg: a= 12t2 – 36t + 24 = 12(4)2 – 36(4) + 24= 72 mts/seg2

ejercicio para practicar: un cuerpo se mueve con respecto a la ecuación: f(t) = t3-9t2+ 24t determine a)la posición, velocidad y aceleración de dicho cuerpo cuando han transcurrido 5 segundos de tiempo b). Calcule la distancia recorrida cuando han transcurrido 6 segundos. c).la velocidad en t= 6 segundos. Ahora te corresponde investigar en algún libro de calculo, un ejemplo de este tema de la aplicación de la derivada para su uso en la cinematica. El ejemplo lo escribes en el siguiente espacio. Caso investigado y resuelto:

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN EL CALCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. (PARA TRAZADO Y GRAFICACIÓN DE CURVAS).

Procedimiento para hallar máximos y mínimos locales. a) Se calcula la derivada primera f ' (x) b) Se resuelve la ecuación obtenida de la primera derivada; f ' (x)=0 c) Sustituimos los valores de “x” obtenidos anteriormente en la función f (x) y se obtienen los posibles puntos de los máximos y mínimos. d) Hallamos la derivada segunda f ''( x) e) Sustituimos en f ''(x) los valores de las soluciones de x, posibles máximos o mínimos y vemos si:  

Si f''(x) > 0 es un mínimo. Si f''(x) < 0 es un máximo.

Ejemplo: y =0.25x4-2x2+3 

La Primera derivada es: f ' (x)= x3- 4x



Ahora Resolvemos la derivada obtenida: f ' (x)=0 : x(x2-4)=0 de donde las soluciones son: x= 0, x= 2, x = -2

137

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ 

ahora sustituimos las soluciones en la primera derivada: f(0)=3, f(2)= -1, f(-2)= -1



f''(x)=3x2-4



procedemos a sustituir; f ''(0)= -4 <0 : Máximo (0,3)



f''(-2)= 8 >0 : Mínimo (-2,-1)



f''(2)= 8 >0 : Mínimo (2,-1)

a continuación se verifican los resultados gráficamente.

138

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Ejercicios: En equipo de 3 compañeros resuelve los siguientes ejemplos, escribiendo en forma clara y ordenada el procedimiento y la grafica. Analizar las siguientes funciones; determine sus máximos y mínimos según sea el caso. 1: f(x)=0.5x3-2x

GRAFICA:

PROCEDIMIENTO:

139

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ 2: f(x)=x3-x2

GRAFICA

PROCEDIMIENTO

140

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ 3: f(x)= x3-3x2+3x+2

GRAFICA

PROCEDMIENTO

141

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ 4).- Un cochecito teledirigido se mueve según la ecuación d=0.2t 2+0.03t3, en el intervalo t[0,20] (d en metros y t en segundos)

a) Hallar su velocidad en los instantes 2 s, 8 s, 15 s, 20 s. b) ¿En qué instante su velocidad es de 13 m/s?

5).- Imaginemos que el número de bacterias de un cultivo varía con el tiempo, expresado en minutos, según la ecuación N=500+50t-t2 para t [0,35] siendo la variable “t” medida en minutos ¿Cuál es la velocidad de crecimiento de la población en el instante t=7 min?

142

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA ECONOMIA Existen como se ha dicho anteriormente, muchos campos donde el cálculo es de gran utilidad, por ello se considera muy importante en casos donde medir los cambios entre variables puede determinarse de una manera precisa. La economía no es la excepción y por ello a continuación se describen algunos elementos básicos donde el cálculo tiene su aplicación en las leyes de la oferta y la demanda por ejemplo. Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.

Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista.

De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la(s)

143

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.

No hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una función cualesquiera se maximiza (minimiza) -sea cual sea el número involucrado de variables independientes-. De nuevo el cálculo diferencial es de gran ayuda en estas situaciones. También para la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funciones mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de KühnTucker (esta última para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida con desigualdades).

Las derivadas en sus distintas presentaciones ( Interpretación geométrica, Razón de cambio, variación Instantánea, etc.,) son un excelente instrumento en Economía, para toma de desiciones, optimización de resultados ( Máximos y Mínimos).

Hablaremos un poco sobre los conceptos de economía para poder describir con detalle acerca de este tema. Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.

Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico. Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta.

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

A esta función la simbolizamos p d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.

Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.

SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio.

El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores. El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y  p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.

El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p  d(q) y p  p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida (concepto inverso de la derivada).

Ejemplos resueltos de FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA. Si x es el número de Unidades de un bien producido: siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por: Y = f (x)

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Donde:, en la practica x se toma siempre positivo. Si: f’ > 0 ; la función es de oferta Si: f < 0; La función es de Demanda.

El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio. El punto de equilibrio aplicado en una empresa por ejemplo es aquella situación donde por ejemplo los ingresos y los costos son iguales en valor, es decir no existen ganancias para la empresa.

Vamos ahora a proceder a ejemplificar y resolver algunos casos para que se observe la aplicación de la derivada en la economía.

Estudio de casos.

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda : Respectivamente : Y = (2008 -8x – x2) / 16 ; y = (1 x 2) /13 Y = (208 -8x – x2) /16  x=8 ; y = 5 Y = (1 + x2) /13

 -11,5 : y = 10.4

Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que : x debería ser positivo.

La pendiente de la demanda en: P(8,5) Y = (208 -8x – x2) /16  Y’ = ½ -x/8 Reemplazando x=8  y’(s) = -3/2 <0 La pendiente de la oferta en: P(8,5) Y= 0 1 + x2 / 13  y’(8) = 16/13 > 0

Por la interpretación geométrica de la Derivada, una Derivada es una Pendiente es una Razón o relación de Variación Instantánea.

Por tanto en el anterior calculo de las pendiente de las funciones de oferta y Demanda, representan las variaciones instantáneas de los Precios Unitarios (y) con respecto al numero de Unidades (x); exactamente en el instante en que: x = 8.

Tomando en Valor absoluto las Pendientes de la Demanda 3/2 ; de la Oferta 16/13, se aprecia que mayor es la variación de la demanda. La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio, o un concepto margina.

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ El concepto Promedio , es la variación de una primera cantidad, respecto a un Intervalo limitado de la Segunda cantidad.

El concepto Marginal, es la variación de una Primera Cantidad, respecto a un intervalo tendiente a Cero de una Segunda Cantidad, es decir se trata de una variación Instantánea. Comúnmente la primera cantidad es de un concepto Económico (Costo, Ingreso, etc.), La segunda Cantidad es el número de unidades.

COSTOS

Si el numero de unidades de un bien es . x ; entonces el costo Total puede expresarse como: Cx

A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:

COSTO PROMEDIO:

Cp = C (x) / x = y

COSTO MARGINAL: Cm = C ‘ (x) = dy / dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL: Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x2

 d/dx * Cp

Ejemplos: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes

Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Costo Marginal: Cm = C’(x) = a

Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x2

INGRESOS:

Si el Numero de unidades de un bien que se produce en un país, o empresa es x: Siendo la Función de demanda: y = f(x); donde y es el Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:

R(x) = xy = x-f(x)

A partir de esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:

INGRESO PROMEDIO

Rp = r(x) / x

INGRESO MARGINAL: Rm = R ‘(x)

Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien. Ejemplo : Una función de Demanda es: Y = 12 – 4x

150

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ El Ingreso : R(x) = xy = x(12 -4x) El Ingreso Marginal: R’ (x) = 12 -8x

Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de Máximos y mínimos conocidas ( Derivar e igualar a Cero)

Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y = 60 -2x La demanda: y = 60 – ex El Ingreso: R(x) = xy = x( 60 – 2x) = 60x – 2x2 El Ingreso Marginal: R’(x) = 60 – 4x

Maximizando la ecuación de Ingreso Total: Si. R(x) = 60x – 2x2 R’(x) = 60 – 4x = 0  x=15 Rmax. = 60+15 – 2*152” = 450

En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante la derivada igualada a Cero, determina evidentemente a un máximo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada problema ( de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada)

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ GANACIAS:

Si x es el numero de Unidades producidas en una empresa, siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x), el costo total; la ganancia entonces es: G(x) = R(x) – C(x)

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa : G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0  r’(x) = C’(x)

Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal.

Ejemplo

Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x

El costo total C(x) = 20 + 14x

La Demanda y = 90-2x

El ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x) La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x) = x(90-2x) – (20 + 14 x)

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ = -2x2 +76x – 20 Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0  x = 19 GMax. = 2+192 + 76*19 – 20 = 702

Se supone que las unidades del ingreso ; Costo, Ganancia son unidades monetarias iguales. Similarmente en el problema se supone que las unidades monetarias de la Demanda y Costo son iguales.

Hasta el momento se ha operado en los distintos problemas, con funciones ya conocidas de Demanda, costo, etc.

Sin embargo en la práctica es preciso a veces obtener tales funciones a partir de las situaciones que presenten los problemas, que utilizan a las Derivadas como aplicación económica.

Para obtener las funciones de costo demanda, etc. Es conveniente ordenar datos, que provienen de las condiciones del problema de ser necesario se utilizaran variables auxiliares, que posteriormente dieran ser eliminadas, siguiendo luego pasos equivalentes a los sugeridos en los problemas de Máximos y mínimos. Se obtendrán los resultados pedidos.

ESTUDIO DE CASOS:

A) Un propietario de 40 departamentos puede alquilarlos a 100 $ c/u, sin embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vez que alquila un Departamento menos.

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ ¿ cuantos Departamentos debe alquilar para un máximo ingreso?

Reordenando los datos:

Nº Total Dep.

: 40

Nº Dep. Alquilados : x Nº Dep. no alquilados: u

Alquiler de 1 dep. originalmente : 100$ Incremento por 1 Dep. no alquilado : 5$ Ingreso por u Dep. no alquilados: 5u$ Ingreso por alquiler de 1 DEp. : 100 + 5u Ingreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u)

Reemplazando la ecuación de ingreso es: R = x((100+5(40-x)) = -5x2 + 300x R’ = -10x + 300 = 0  x = 30 Rmax. = -5*302 + 300*30 = 4500$

Nótese que no se alquilan 10 dep. ( u = 10) El alquiler de 1 Dep. es : 100 + 5u = 100 + 5*10 = 150$

B). Una entidad bancaria cobra una tarifa de 20$; por cada 1000$ de transacción comercial que efectúa, ofreciendo una rebaja de 0,1$ por cada 1000$ encima del monto de 100000 $.

Hallar su máximo Ingreso si: a) La rebaja afecta al monto total de la transacción.

154

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ b) La rebaja afecta únicamente al monto por encima de 100000$

Reordenando datos: Nº de miles de $ d4e transacción total : x Nº de miles de $ encima de 100 mil $ :u  x = u + 100

Tarifa original por mil $ : 20$ Rebaja por mil $ encima de 100mil : 0,1 $ Rebaja por u miles, encima de 100mil : 0,1u $ Tarifa con rebaja: 20 – 0,1u

a) Si la rebaja afecta al monto total de la transacción (x en miles de $); el ingreso es:

R = x(20-0,1u)

R’ = - 0,2x+30 = 0  x = 150

= x ( 20 – 0,1(x-100)  Rmax. = 0.1*150^2 + 30*150 = 2250 mil = 0,1x2 + 30x

=2250000$

b) Si la rebaja afecta únicamente a 1 monto por encima de 100miles de $ ( u en miles de $) ; el ingreso provendrá del monto con tarifa fija, mas el monto con rebaja: R = 100*20 + u(20-0,1u)

R’ = -0,2x + 40 = 0 =0> x=200

= 2000 + ( x-100) (20-0,1(x-100)  Rmax = -0,1 -0,2x +40 0 0  x=200 = -0,1x2 + 40 x – 1000

= 3000 miles de $ = 3000000$

Veamos algunos adicionalmente mas conceptos de ANÁLISIS MARGINAL.

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ La derivada y, en consecuencia la integral (el proceso inverso), tienen aplicaciones en administración y economía en la construcción de las tasas marginales. Es importante para los economistas este trabajo con el análisis marginal porque permite calcular el punto de maximización de utilidades. En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad más.

Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades se deben cumplir las siguientes condiciones: 

Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo total.



Las funciones de ingreso y costo deben formularse en términos del nivel de producción o del número de unidades producidas y vendidas.

Damos algunas definiciones importantes para nuestro trabajo: Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad más de un producto o servicio. También se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Debemos tener en cuenta que si c(x) es la función costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total dividido por el número de artículos producidos.

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida. Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad más de un producto o servicio. Para una función de ingreso total r(x), la derivada r’(x) representa la tasa instantánea de cambio en el ingreso total con un cambio del número de unidades vendidas. Podemos decir que el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Representa la tasa con que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas. Utilidad marginal que obtiene una empresa está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es r(x) cuando se venden x artículos y si la función de costo es c(x) al producirse esos mismos artículos, la utilidad p(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por p(x)  r(x) – c(x). La derivada p’(x) se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por artículo si la producción sufre un pequeño incremento.

EJEMPLOS PARA RESOLVER: INTEGRA EQUIPOS DE 3 COMPAÑEROS Y RESUELVAN LOS SIGUIENTES CASOS:

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________

CALCULO DE LÍMITES : los ejercicios que al principio del curso se han explicado y resuelto también se pueden resolver usando métodos alternativos como lo es la (REGLA DE L’ HOPPITAL) En algunos ejemplos de calculo de límites que ya se analizaron, se observó que se tenían algunas indeterminaciones como: 0 e  0  En estos casos se puede derivar el numerador y denominador para eliminar la indeterminación para obtener el resultado.

EJERCICIOS : 1.

Lim x2 + 5x+6 = X   x+ 1 d dx

Lim 2 + 5+6 =   +1 

x2+5x+0 = 2x+5 = 2+5 =  =  1+0 1 1 1

d2 = 2x + 5 = 2 + 0 = dx2 1 0



Y el límite no existe.

2. Lim x2 - 64 = Lim (8)2 -64 = 64 -64 = X  8 x-8 8-8 0 d dx

0 0

x2-64 = 2x-0 = 2(8) = 16 = 16 x-0 1-0 1 1

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3. Lim x2 - 25 X  5 x - 5 d dx

4. Lim X  -1 d dx

=

Lim (5)2 -25 = 25-25 = 5-5 0

0

0

x2-25 = 2x-0 = 2x = 2( 5 ) = 10 = 10 x-5 1-0 1 1

x2 +3x+2 = x2+4x+3

(-1)2 +3 (-1)+2 = (-1)2+4(-1)+3

1-3+2 = 1 –4+3

0 0

x2 + 3x + 2 = 2x + 3 = 2( -1 ) + 3 = -2 + 3 = 1 x2 + 4x + 3 2x + 4 2( -1 ) + 4 -2 + 4 2

determine los límites siguientes empleando la regla de L’hoppital

Lim X  4

Lim X 3

x4 - 256 x- 4

x2 -3x x2- 9

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Otras aplicaciones de la derivada, mas propiamente sobre conceptos de la misma matemática, en particular para determinar aspectos geométricos de las graficas es en el cálculo de rectas tangentes y normales a una curva, lo cual puede observarse a continuación.

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Angulo entre dos curvas.

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Ejercicios para verificar: Te corresponde ahora que verifiques por medio de la grafica de los ejemplos anteriores las soluciones que se han obtenido, es importante para poder comprender mejor el tema.

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resumen de métodos y formulas de matemáticas. CONCEPTOS BASICOS DE ARITMETICA. Operaciones entre números racionales. Sea a y b

c d

dos números racionales,

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LEYES DE LOS SIGNOS 3 + 2 = 5 ................... - 3 – 2 = -5..................... 3 – 2 = 1 ................... -3 +2 = -1 ...................

(para la adición)

(+) + (+) = (+) la suma de dos números positivos es otro numero positivo (-) + (-) = (-) la suma de dos números negativos es otro numero negativo (+) + ( -) =...... el resultado tendrá el signo del numero de mayor valor absoluto (-3) + (+) =..... el resultado tendrá el signo del numero de mayor valor absoluto

LEYES DE LOS SIGNOS (para la multiplicación) (+) (+) = + ejemplo: ( 3 )( 2) = 6 (-)(-)=+ ejemplo : ( - 3)( -2) = 6 (+) ( - ) = ejemplo: ( 3 )( -2) = - 6 ( - ) (+) = ejemplo: ( -3 )( 2 ) = - 6

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Practica los siguientes ejercicios que te serán de ayuda para poder aplicarlos correctamente en la solución de los ejercicios y problemas del temario de las distintas unidades del curso. 3- 4=

5- 2=

- 6 - 2=

-3+ 2 =

-2 – 3=

2- 4 =

4–3=

3+ 5=

½- ¾=

½- 2=

-½+¾=

½- 1=

½+ ¾=

√

-2 -3 =

- ½ - 1=

- ½ - ¾=

½-3=

-1 - ¾ =

=

√

√

=

=

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ÁLGEBRA leyes de los exponentes: sean dos términos U, V con sus respectivos exponentes a,b, de manera que las operaciones de multiplicación y división de U a con V b se definen por: multiplicación: (U a ) ( V b )= UV ( a+b)

ejemplos : (x2 ) (x3) = x2+3 = x5 ,

(4y) (5y3) = 20y (1+3 ) = 20y4

división:

U a = U (a-b) Vb V

ejemplos:

m5 = m (5-2) = m3 m2

,

12 d6 = 2d (6-2) = 2d4 6d2

Es decir: en la multiplicación los exponentes se suman y en la división los exponentes se restan

Reducción de términos semejantes. Cuando se tienen dos o mas términos con las mismas variables y sus respectivos exponentes iguales, éstos se pueden simplificar (sumando o restando) únicamente los coeficientes y la parte algebraica permanece igual. Ejemplos: 7x2 - 3x2 = 4x2 ,

4m + m = 5m ,

2a3b + 6a3b = 8a3b

,

2kl2 – 5kl2 = - 3kl2

resuelve ahora los siguientes ejemplos: 3x – 4x+ 2x- 5x+ x – 4x =

3x- 2x- 3x – 4x + 2x + x + 3x+ 5x- 2x=

3y- 4y- 3y- 5y =

12a – 3b + 4b – + 5a 2a –b 3a – 4a = 3m – n- 2n- 2m- 4n + 5n + 3n – 2m = 174

Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ CUADRADO DE UN BINOMIO: (a + b)2 ..... .. como resultado se deben obtener un trinomio procedimiento: a). Se eleva al cuadrado el primer término b). Se escribe el signo del binomio, se multiplican los dos términos y el resultado se duplica (se multiplica por dos) c). Se eleva el segundo término al cuadrado ejemplo: (x+3)2 aplicamos el procedimiento: a) el primer término elevado al cuadrado: x2 b). El signo es en este caso “mas” y la multiplicación: (x)(3)= 3x , a su vez el resultado por dos: 3x (2)= 6x c). Se eleva el segundo término al cuadrado: 32 = 9 y finalmente el resultado es: (x+3)2 = x2 + (3)(x)(2) + 9 = x2 +6x + 9

a este resultado se le conoce como Trinomio cuadrado perfecto

nota: el signo del tercer término siempre será positivo. Ejemplo 1: (y - 4)2 = (y)2 – (y)(4)(2) + (4)2 = y2 – 8y +16 Ejemplo 2: (a + 5)2 = (a)2 + (a)(5)(2) + (5)2 = a2 + 10a +25 Ejemplo 3: (2 – 3b)2 = (2)2 – (2)(3b)(2) + (3b)2 = 4 – 12b + 9b2

Resolver: (4 +b)2

(x – 2)2

(a – b)2

(m – n)2

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solución de EXPRESIONES de segundo grado: ax2 + bx + c métodos: LA FACTORIZACIÓN Una ecuación de la forma x2 + bx + c, proviene del producto de dos binomios cuyo primer término es x, y los segundos términos son tales que dan por suma el coeficiente ( b ) del término lineal de x, y por producto el término independiente ( c ) de x. Por ejemplo los dos binomios de la ecuación : x2 + 8x +15 = 0 son: (x + 3) (x + 5) ya que multiplicando 3X5 resulta 15 y sumando 3 + 5 resulta 8. Para obtener entonces las dos soluciones de la ecuación igualamos cada binomio a cero y despejamos "x" de lo que resulta: (x+3) = 0 ; de donde al despejar "x" queda: x1 = - 3 y de (x + 5) = 0 despejamos "x" y resulta: x2 = - 5 entonces las soluciones de esta ecuación: x2 + 8x +15 = 0 son x1 = - 3 y x2 = - 5 ejemplo: encontrar las soluciones de : x2 - 7x + 12 = 0 Solución: Se buscan dos números que multiplicados nos resultan 12 y sumados algebraicamente resulten –7. Como el producto (12 ) es positivo significa que los factores deben tener igual signo. Para que la suma (-7) sea negativa se requiere que los dos factores sean negativos los números buscados son: - 3 y – 4 Ya que multiplicando (- 3)(-4) = 12 y sumando -3 - 4 = - 7 Por lo que los factores son (x – 3 )(x – 4) = 0 Igualando a cero cada factor resulta: (x – 3) = 0 y (x - 4) = 0 De donde x1 = 3 y x 2 = 4 Ejemplo: x2 – 16 se resuelve de manera similar. En este caso el término lineal es cero, y los números son los que multiplicados nos den – 16 y sumados cero por los que estos son (uno positivo y otro negativo siendo además iguales), o sea: 4 y - 4: y resulta: x2 – 16 = (x+4)(x- 4) “se observa que la solución se obtiene también sacando raíz cuadrada al término independiente (que es 16), es decir 4 ejemplo factorizar: x2 – 9 ; los números son la raíz cuadrada de 9 pero cada uno con signo distinto. Es decir: x2 – 9 = (x+3)(x-3) Nota : es importante decir que este método se aplica siempre y cuando el coeficiente “a” que es el del término cuadrático sea igual a uno. En caso de que no sea así se debe aplicar otro método. De igual manera no siempre será posible hallar los dos números, por lo que en caso de que eso suceda se deberá emplear otro método que puede ser la fórmula general.

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logaritmos. El logaritmo de un número “a” cuya base es “b”, es el exponente al que se debe elevar dicha base para obtener el número “c” es decir log b(a) = c ejemplo: log 10 100 = 2, en este caso la base “b”del logaritmo es 10, el numero “a ” que deseamos calcular su logaritmo es 100 y el resultado (o sea el logaritmo) es “e” =2, es decir: el logaritmo de 100 en base 10 es igual a 2. En este caso: a=100 b= 10 e= 2 esto significa que si elevamos la base “b” al cuadrado el resultado es 100, lo cual comprobamos: 10 x = 100, que en efecto el exponente buscado es 2, es decir : 10 2 = 100 propiedades de los logaritmos: 2).- log (a) = log (a) – log (b) (b)

1).- log (ab) = log (a) + log (b)

3).-

log a n = n log a

4).- log √

= 1 log a n

TRANSFORMACIÓN DE UNA EXPRESIÓN QUE ESTÁ EN FORMA DE RADICAL A UNA EXPRESIÓN EN FORMA DE POTENCIA. La expresión radical

x

1/n

√

se escribe también en forma de potencia fraccionaria como:

Que como se puede observar, el subíndice del radical es el denominador en la potencia. Ejemplos: √

= x 1/3

√

= (5x3 y) 1 / 2

√

– = (6 a – b) 2 / 5

De manera similar una expresión dada en forma de potencia se puede escribir también en forma de radical como se ve a continuación:

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Aprendiendo Calculo Diferencial ___________________________________________________________________ Completa la siguiente tabla Expresión en forma de potencia

Expresión equivalente en forma de radical

(X+2) 1/3 (4 –5y) 3/2 (3a2b+7)1/2 asimismo una expresión que esté elevada a una potencia, ya sea positiva o negativa, se puede escribir con una potencia equivalente pero con el signo contrario. Ejemplos: 4y - 1/3 = 4 y 1/ 3

5

= 5 x –2

x2

3a 2 = 3 a -2

6

= 6x1 = 6x

x -1

Leyes de los exponentes: se aplican las mismas propiedades de los exponentes enteros cuando se tienen exponentes fraccionarios y/o negativos En la multiplicación : los exponentes se suman Ejemplo:

(x+1)2

x+1 = (x+1)2 (x+1)1/2= (x+1)2+1/2 = (x+1)5/2 =

(x+1)5

en la división: los exponentes se restan ejemplos:

(y –2)3 = (y-2)3 (y-2)1/2 = (y-2)3+1/2 = (y-2) 7/2 = (y- 2)-1/2

(y-2)7

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ANOTACIONES IMPORTANTES. actividad

fecha

calificación

observaciones

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TEMA

PAGINA

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