Antiderivadas Y La Integral Definida

2007-A UNAC-FIEE

Integrales

Lic. Julio Chicana

ANTIDERIVADAS y LA INTEGRAL DEFINIDA (ASPECTOS BÁSICOS) Dada una función F como por ejemplo F(x) = x2 + x - sen(x), mediante las reglas de 1 - cos (x). Ahora estamos interesados derivación podemos hallar su derivada F' (x) = 2x + 2 x

en el proceso inverso, por ejemplo si f (x) = x - 2 cos(x) + 3, ¿qué función F tiene por derivada a f? Este proceso de hallar F se llama Antiderivación.

01.

LA INTEGRAL INDEFINIDA

Definición 1. Dada una función f, si F es una función tal que

F' (x) = f (x), x ∈ I entonces F se llama una antiderivada de f en I. Así, una antiderivada de f es simplemente una función cuya derivada es f. Por ejemplo, como la derivada de (x2) es (2x), entonces se dice que F(x) = x2 es una antiderivada de f(x) = 2x. Note que la antiderivada de f(x) = 2x no es única, dado que d 2 (x + 4 ) = 2x dx

d 2 ( x − 100) = 2 x dx

y

entonces las funciones (x2 + 4) y (x2 - 100) también son antiderivadas de (2x), la razón es que la derivada de una constante es cero. Por lo expuesto, podemos decir que x2 + C

(1)

es antiderivada de la función (2x), para cualquier constante C.

Definición 2. Sea f una función real y F una antiderivada de f. La expresión ∫f(x)dx de llama integral indefinida de f y se define por:

∫ f ( x) dx

= F ( x) + C

(2)

En (2), f se llama “función integrando” y “dx” se llama diferencial de “x” e indica la variable de integración, que en este caso es “x”.

Física I - Capítulo 1: Elementos de Cálculo Integral para Física

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Por ejemplo, de (1) se sigue que

∫ (2 x)dx En resumen:

∫ f ( x) dx

= x2 + C

= F ( x) + C

si y solo si

F ' ( x) = f ( x )

Ejemplo 1. 1. Hallar ∫3dx. Una función que tiene derivada 3 es 3x, por lo que ∫3dx = 3x + C. 2.

Hallar ∫4x3dx. Derivando (x4) se obtiene 4x3, entonces ∫4x3dx = x4 + C.

3.

Comprobar que ∫cos(x)dx = sen(x) + C. Se observa que

d ( sen( x) + C ) = cos( x) . dx

FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION a)

∫ k dx = k x + C n ∫ x dx =

b)

x n +1 + C, n +1

c)

∫ cos(x)dx = sen(x) + C

d)

∫ sen(x)dx = -cos(x) + C

e)

∫sec2(x)dx = tan(x) + C

f)

∫ x dx = ln( x) + C

g)

∫e

n ≠ −1

1

x

dx = e x + C

Ejemplo 2. 1.

∫ 0.5dx= 0.5x + C.

2.

∫ 4dx = 4x + C.

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Página 2

3.

2 ∫ x dx =

x 2+1 x3 + C = + C. 2 +1 3

∫

5.

x −1 1 1 −2 dx = x dx = + C = − + C. ∫ x2 ∫ −1 x

6.

∫

02.

x dx = ∫ x1 / 2 dx =

x3/ 2 2 + C = x 3 / 2 + C. 3/ 2 3

4.

1 dx = ? x

PROPIEDADES DE INTEGRACION

Sean f y g funciones continuas en un intervalo I y k una constante, entonces se cumplen las siguientes propiedades: P1)

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

P2)

∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

P3)

∫ dx = x+ C

P4)

∫ k dx= kx + C.

En particular se verifica que.

Example 3. x2 − 3x + C = x 2 − 3x + C 2

1.

∫(2x - 3)dx = 2∫xdx - ∫3dx = 2

2.

∫(sen(x)+2cos(x))dx = ∫sen(x)dx+2∫cos(x)dx = - cos(x) + 2sen(x) +C.

3.

∫ (5

4.

∫ tan2(x)dx = ∫(sec2(x)-1)dx = ∫sec2(x)dx - ∫dx = tan(x) – x + C

x−

1 3 x

)dx = 5∫ x dx −

1 −1 / 2 10 2 x dx = x 3 / 2 − x +C ∫ 3 3 3

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∫ sen (ax + b) dx

INTEGRALES DE LA FORMA

y

∫ cos (ax + b) dx , donde a ≠ 0.

1

P5)

∫ sen(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

P6)

∫ cos(ax + b)dx = a sen(ax + b) + C

1

Example 4. 1

1.

∫ sen(2 x)dx = − 2 cos(2 x) + C

2.

∫ cos( 2 )dx = 2sen( 2 ) + C

3.

∫ [cos(wt ) − wt + 1]dx = w sen(wt ) − 2 t

4. 5.

03.

x

x

1

w

2

+t +C

(observe que dt está indicando que la

variable de integración es t.) 1 ∫ sen(3x − 4) dx = − 3 cos(3x − 4) + C 1 − cos(2kx) 1 1  ∫ sen2(kx) dx = ∫ ( 2 )dx = 2  x − 2k sen(2kx) + C

LA INTEGRAL DEFINIDA

Sea f una función continua en un intervalo [a, b] y F una antiderivada de f en [a, b]. Presentamos la “integral definida de f en [a, b]” por: b

∫ f ( x) dx

= F (b) − F (a )

(3)

a

Donde los números a y b se llaman límites de integración: a es el límite inferior y b es el límite superior. El lado izquierdo de (3) se lee “integral definida de f de a hasta b”. El lado derecho de (3) expresa que se evalúa F en b y a esto se le resta el valor de F en a. Ejemplo 5

1.

Hallar

1

∫ xdx 0

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x2 1 . Evaluando esta antiderivada en 1 resulta y en cero 2 2 1 1 1 ∫0 xdx = 2 − 0 = 2

El integrando x tiene una antiderivada

da cero. Entonces: π

Hallar ∫ cos xdx

2.

0

Siendo sen(x) una antiderivada de cos(x), se tiene:

∫

∫

π

0

cos xdx = sen(π ) − sen(0) = 0

π

π /2

sen( x) dx = − cos( ) − (− cos(0)) =1 0 2 π 3 3 ∫π / 2 3sen(2 x) dx = − 2 cos(2π ) − (− 2 cos(π )) = − 3

3. 4.

b

OBSERVACION: La expresión F(b) – F(a) frecuentemente es representada por F ( x) a Por ejemplo:

∫

4

2 2 2 14 x dx = x 2 / 3 = (4) 2 / 3 − (1) 2 / 3 = 3 3 3 3 1

4

1

04. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Sean f y g funciones continuas [a, b] y k una constante real. Entonces: b

b

1.

∫

2.

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫

a

k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx a

b

b

a

a

f ( x) dx ±

∫

b

a

g ( x) dx

NOTA: El valor de la integral definida no depende de la variable que se emplea en el proceso de integración, siempre que los límites de integración no cambien:

∫

b

a

f ( x) dx =

∫

b

a

f (t ) dt

Ejemplo 6.

1.

∫

2

1

2

( x − x + 3)dx = ∫ x dx − ∫ 2

1

2

2

1

x3 xdx + 3∫ dx = 1 3

2

2

1

Física I - Capítulo 1: Elementos de Cálculo Integral para Física

x2 − 2

2

1

1 1 23 2 + 3 x 1 = (7) − (3) + 3(1) = 3 2 6

Página 5

2.

∫

π /2

0

cos 2 x ( sen2 x − cos x)dx = − 2

π /2

0

π /2

x − 2 sen ( ) 2 0

=?

Teorema 1: Sean m y n constantes tales que m ≠ 0. Entonces: b b 1 ∫a sen (mx + n)dx = − m cos (mx + n) a

∫

b

∫

b

a

b

1 sen (mx + n) m a

cos (mx + n)dx =

2 (mx + n) 3 / 2 3m

(mx + n) dx =

a

b

a

Ejemplo 7.

1.

∫

2 4 x + 1 dx = (4 x + 1) 3 / 2 3(4)

2

0

2

= 0

13 3

π

1 π 2. ∫ sen (2 x − )dx = − cos(2 x − ) =? −π / 2 3 2 3 −π / 2 0

Teorema 2.

0

Si f es continua en [a, b] y a < c < b. Entonces:

∫

b

a

f ( x)dx =

∫

c

a

f ( x)dx +

∫

b

c

f ( x)dx

(4)

3

Para hallar I = ∫ x − 2 dx , sabiendo que 1

x − 2 , x ≥ 2 x−2 =  2 − x , x < 2

Basándonos en la ecuación (4), podemos proceder como sigue: 3

I = ∫ (2 − x) dx + 1

3

∫ (2 − x) dx = ... 1

Física I - Capítulo 1: Elementos de Cálculo Integral para Física

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05.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

I.

Para hallar áreas de regiones planas

1.

Sea f(x) = C, C es una constante. Observe que:

∫

b

a

f ( x)dx =

b

∫ C dx = C (b − a) a

Dicho número representa el área de la región sombreada. 2.

Sea f(x) = x. Entonces:

∫

b

a

f ( x)dx =

∫

b

a

b

x2 x dx = 2

a

(b 2 − a 2 ) = 2

Observe que el resultado de la integral representa el área de la región sombreada que sigue.

Problema: ¿Cómo calcular el área de una región limitada por la gráfica de una función, cuando ésta no está delimitada por figuras conocidas? Definición 3. Sea f una función continua en [a, b] tal que f(x) ≥ 0, ∀ ∈ [a, b] . Entonces el área

de la región limitada por la grafica de f, el eje X y las rectas x = a y x = b, se designa por:

∫

b

a

f ( x) dx

Ejemplo 8. Hallar el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = sen(x), el eje de X y las rectas x = 0 y x = π. π

π

Area = ∫ sen( x) dx = − cos( x) 0 = − cos(π ) − (− cos(0)) = 2 0

Ejemplo 9. Hallar el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = x , el eje X y las rectas x = 1 y x = 4.

Area = ∫

4

1

2x 3 / 2 x dx = 3

4

= 0

14 3

Física I - Capítulo 1: Elementos de Cálculo Integral para Física

Página 7

II.

Aplicación Física

Una partícula que sigue un movimiento rectilíneo con una velocidad v(t) en el instante t , después de partir de t = 0 al cabo de t segundos se encuentra a

s (t ) =

t

∫ v(t )dt 0

Unidades de longitud del punto de partida. Ejemplo 10. La velocidad en m/s de un móvil varía según la ecuación v(t) = 0.5t + 3. ¿qué espacio ha recorrido el móvil al cabo de los 6 segundos? s (t ) =

∫

8

0

8

(0.5t + 3)dt = (0.25t 2 + 3t ) = 40 0

Ejercicio 1. Para el móvil del ejemplo anterior ¿cuál es el espacio recorrido en los cuatro últimos de los seis segundos?

06.

I.

PROBLEMAS PROPUESTOS.

Hallar las siguientes integrales indefinidas:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

II.

∫ x dx 2x − 3 ∫ x dx 2

3

∫ (3x − 2 x − 6) dx ∫ 3 cos(t ) − + 2) dt x ∫ (cos(2 x) − sen( 3 )) dt 2

sen ( t ) 2t

3x − 1

∫ (2 sen( 2 ∫ ( 3x + 2 −

)) dx

1 − 2 x )dx

Hallar las siguientes integrales definidas: 1

1. 2.

∫ ∫

3

0

1

−1

x 2 dx

(3x 2 − 2 x − 6) dx

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3. 4. 5. III.

 1 − cos(t )    dt 0 2   π x ∫0 (cos(2 x) − sen( 3 )) dx

∫

∫

π /2

2

1

3 x − 2 − x + 1) dx

Hallar el área de las regiones limitadas por: 1. 2.

La función f(x) = x + 2, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2. La función f(x) = x2 + 1, el eje X y las rectas x = -1 y x = 2.

3.

La función f ( x ) =  − 3

4.

La parábola y = 2x2 y su lado recto.

, − 2 ≤ x ≤1 x + 2  , y el eje X. ( x − 3 ) , 1 < x ≤ 3  2

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