Anreal [supriyati,anggia,noordiana] Pmtk 5b

TUGAS ANALISIS REAL

Pendidikan Matematika 5 B Disusun Oleh: Supriyati [107017001090 Noordiana Ulfah[107017002070] Anggia Isti Prasetyani [107017002995]

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2009

Lema 1.2.1 Misalkan S ⊂ N

dan S ≠ ϑ , maka S

memiliki unsur terkecil,

yaitu terdapatn0 ∈ S , sehinggan0 ≤ n, ∀n ∈ S . contoh 1 :

misal n0 = 1, n = {1,2,3,..., n} , maka 1 ∈ S , sehingga 1 ≤ 2, ∀ n ∈ S terbukti

contoh 2 :

misal n0 = 1, n = {1,2,3,..., n} , maka 1 ∈ S , sehingga 1 ≤ 3, ∀n ∈ S terbukti

contoh 3 :

misal n0 = 1, n = {1,2,3,..., n} , maka 1 ∈ S , sehingga 1 ≤ 3, ∀n ∈ S terbukti

contoh 4 :

misal n0 = 1, n = {1,2,3,..., n} , maka 1 ∈ S , sehingga 1 ≤ 4, ∀ n ∈ S terbukti

contoh 5 :

misal n0 = 1, n = {1,2,3,..., n} , maka 1 ∈ S , sehingga 1 ≤ 5, ∀n ∈ S terbukti

lema 1.2.2

jika

x, y ∈ Q

dan

x < y,

maka terdapat z ∈ Q,

sehingga x < z < y

Contoh 1 : m1 m2 x=2= dan y = 3 = n1 n2 6 12 ⇔2= dan 3 = 3 4 x+ y m1n 2 + m 2n1 Misalkan: z = atau z = ∈Q 2 2n1n 2 2+3 6.4 + 12.3 Maka : z = atau z = 2 2.3.4 5 60 5 5 z= atau z = = , sehingga ∈ Q 2 24 2 2 Didapat x + x < x + y < y + y 2x < x + y < 2 y . 1/ 2 x < z < y, dengan demikian 2 <

5 < 3 terbukti 2

Contoh 2 : m1 m2 x=3= dan y = 4 = n1 n2 6 12 ⇔3= dan 4 = 2 3 x+ y m1n 2 + m2n1 Misalkan: z = atau z = ∈Q 2 2n1n 2 3+ 4 6.3 + 12.2 Maka : z = atau z = 2 2.2.3 7 42 7 7 z= atau z = = , sehingga ∈Q 2 12 2 2 Didapat x + x < x + y < y + y 2x < x + y < 2 y . 1/ 2 7 x < z < y, dengan demikian 3 < < 4 terbukti 2 Contoh 3 : m1 m2 x=4= dan y = 5 = n1 n2 8 5 ⇔4= dan 5 = 2 1 x+ y m1n 2 + m2n1 Misalkan: z = atau z = ∈Q 2 2n1n 2 4+5 8.1 + 5.2 Maka : z = atau z = 2 2.2.1 9 18 9 9 z= atau z = = , sehingga ∈Q 2 4 2 2 Didapat x + x < x + y < y + y 2x < x + y < 2 y . 1/ 2 9 x < z < y, dengan demikian 4 < < 5 terbukti 2

Contoh 4 : m1 m2 x=5= dan y = 6 = n1 n2 10 6 ⇔5= dan 6 = 2 1 x+ y m1n 2 + m2n1 Misalkan: z = atau z = ∈Q 2 2n1n2 5+6 10.1 + 6.2 Maka : z = atau z = 2 2.2.1 11 22 11 11 z= atau z = = , sehingga ∈Q 2 4 2 2 Didapat x + x < x + y < y + y 2x < x + y < 2 y . 1/ 2 11 x < z < y, dengan demikian 5 < < 6 terbukti 2 Contoh 5 : m1 m2 x=6= dan y = 7 = n1 n2 18 14 ⇔6= dan 7 = 3 2 x+ y m1n 2 + m2n1 Misalkan: z = atau z = ∈Q 2 2n1n2 6+7 18.2 + 14.3 Maka : z = atau z = 2 2.3.2 13 78 13 13 z= atau z = = , sehingga ∈Q 2 2 2 2 Didapat x + x < x + y < y + y 2x < x + y < 2 y . 1/ 2 13 x < z < y, dengan demikian 6 < < 7, terbukti 2

Lemma 1.2.3 (Sifat Archimedes) Jika

, maka terdapat

n∈Z

x∈Q

Contoh 1 Misal x=

, sehingga

1 ,x∈Q 2

x
,

, 1∈ Z 1 ≡ n

1 <1 2

Sehingga didapat

Terbukti

x
Contoh 2 Misal x = −5, x ∈ Q

,

,

−5<1

1∈ Z 1 ≡ n

Sehingga didapat

x
Terbukti

Contoh 3 Misal 1 x = − , x ∈Q 5

, −

, −1 ∈ Z −1 ≡ n

1 < −1 5

Sehingga didapat

x
Terbukti

Contoh 4 Misal x = 3, x ∈ Q

,

3<5

,

5∈ Z 5 ≡ n

Sehingga didapat

Contoh 5

x
Terbukti

Misal 3 x = , x ∈Q 5

,

, 2∈Z 2 ≡ n

3 <2 5

Sehingga didapat

Terbukti

x
Teorema 1.4.1 (Sifat Archimedes) Untuk setiap

dan x >0, terdapat x, y ∈ R

, sehingga nx > y.

n∈ N

Contoh 1 Misal

dan

x>0

x = 3, x ∈ R,

, y = 4 y∈R

Ambil n = 2, n ∈ N

Sehingga

3 ⋅ 2 > 4 → nx > y

Terbukti

Contoh 2 Misal

dan x = 2, x ∈ R,

x>0

, y = −6 y ∈ R

Ambil n = 1, n ∈ N

Sehingga

2 ⋅ 1 > −6 → nx > y

Terbukti

Contoh 3 Misal

dan

x>0

x = 1, x ∈ R,

, y =3 y∈R

Ambil n = 5, n ∈ N

Sehingga

1 ⋅ 3 > 5 → nx > y

Terbukti

Contoh 4 Misal

dan

x>0

x = 7, x ∈ R,

, y =8 y∈R

Ambil n = 2, n ∈ N

Sehingga

7 ⋅ 2 > 8 → nx > y

Terbukti

Contoh 5 Misal

dan x = 1, x ∈ R,

x>0

, y = −1 y ∈ R

Ambil n = 1, n ∈ N

Sehingga

1 ⋅ 1 > −1 → nx > y

Terbukti

Teorema 1.4.2 Untuk setiap x, y Є R dan x < y, terdapat p Є Q, sehingga x < p < y.

Contoh 1 Misal : x = 2 dan y = 3 Sehingga

x
Ambil p = 5/2 → p Є Q

Terbukti

Contoh 2 Misal : x = 3 dan y = 5 Sehingga

x
Ambil p = 4 → p Є Q

Terbukti

Contoh 3 Misal : x = 3/2 dan y = 4 Sehingga

x
Ambil p = 7/2 → p Є Q

Terbukti

Contoh 4 Misal : x = -1 dan y = 2 Sehingga

x
Ambil p = 1 → p Є Q

Terbukti

Contoh 5 Misal : x = -3 dan y = 1 Sehingga

x
Ambil p = -1 → p Є Q

Terbukti

Teorema 1.4.3 Untuk setiap a Є R, a > 0 dan n Є N, terdapat x Є R, sehingga xn = a Catatan 1.4.4 x Є R yang memenuhi xn = a, biasa dilambangkan x = n√a atau x = a 1/n

Contoh 1 Misal : a = 3/2 dan n = 3 Sehingga

xn = a x3 = 3/2 x = 3√3/2 x = 1,144714243 → x Є R

Terbukti

Contoh 2 Misal : a = 5 dan n = 5/2 Sehingga

xn = a x5/2 = 5 x = 5/2√5 x = 1,903653939 → x Є R

Terbukti

Contoh 3 Misal : a = 7 dan n = 4 Sehingga

xn = a x4 = 7 x = 4√7 x = 1,626576562 → x Є R

Terbukti

Contoh 4 Misal : a = 800 dan n = 9 Sehingga

xn = a x9 = 800 x = 9√800 x = 2,10167498 → x Є R

Terbukti

Contoh 5 Misal : a = 10025 dan n = 11 Sehingga

xn = a x11 = 10025 x = 11√10025 x = 2,310654134 → x Є R

Terbukti